Kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán khoảng cách

PHẦN I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Hình học khơng gian là mơn học địi hỏi nhiều ở người học về tư duy. Là môn
học làm cho nhiều học sinh cảm thấy chán nản bởi sự trừu tượng, khó hiểu của nó.
Nhất là trong bối cảnh thi theo hình thức trắc nghiệm địi hỏi học sinh phải tính
tốn nhanh và chính xác. Điều này càng làm cho các em thêm phần lo lắng.
Hiện nay, giáo dục phổ thông nước ta đã và đang chuyển từ chương trình giáo
dục tiếp cận nội dung sang chương trình giáo dục tiếp cận năng lực người học. Phát
triển năng lực người học được xem là cốt lõi trong các mơn học nói chung và mơn
tốn nói riêng. Để đáp ứng u cầu trên, địi hỏi giáo viên phải có phương pháp
phù hợp nhằm hình thành các năng lực chung và năng lực chuyên biệt cho học
sinh.
Bản thân tơi cũng đã suy nghĩ, tìm tòi nhiều phương pháp giảng dạy mới để
bài dạy của mình ngày một hồn thiện hơn, gần gũi với học sinh hơn và mang lại
hiệu quả cao. Và trong quá trình đó, tơi nhận thấy “Các bài tốn về khoảng cách”
là một vấn đề mà bản thân đang còn phải trăn trở bởi nó cịn tồn tại nhiều hạn chế
về phát triển năng lực người học và chưa kích thích được sự hứng thú cho học sinh.
Với những lí do như trên tác giả lựa chọn đề tài:
“Kĩ thuật di chuyển điểm trong bài tốn khoảng cách”.
1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài
+) Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo.
+) Tìm hiểu về kĩ thuật di chuyển điểm trong các bài toán khoảng cách.
+) Đưa ra một số phương pháp dạy học giúp học sinh biết cách vận dụng kĩ
thuật di chuyển điểm trong các bài tốn khoảng cách, góp phần nâng cao chất
lượng dạy học chủ đề này ở trường phổ thông.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình dạy học chủ đề khoảng cách trong chương trình mơn Tốn 11
trường THPT.
1.4. Giới hạn của đề tài
Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các bài toán về khoảng cách và các phương
pháp vào dạy học Toán THPT.

1.5. Phương pháp nghiên cứu
+) Phương pháp nghiên cứu lí luận.
+) Phương pháp điều tra quan sát.
1


+) Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
1.6. Bố cục của đề tài SKKN
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày
trong 3 chương.
Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Vận dụng một số phương pháp dạy học giúp học sinh hình thành
kĩ thuật di chuyển điểm trong bài tốn khoảng cách.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

2


PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn.
1.1. Cơ sở lí luận
Căn cứ kế hoạch giảng dạy mơn Tốn tại trường THPT ......năm học 2020 –
2021.
Căn cứ vào thực tiễn dạy học chủ đề khoảng cách và mục tiêu cần đạt được:
- Kiến thức: Học sinh cần nắm được các bài tốn tính khoảng cách trong
không gian như khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa
đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau.
- Kĩ năng: Biết tính khoảng cách từ một điểm điểm đến một mặt phẳng,
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

1.2. Cơ sở thực tiễn
1.2.1. Phương pháp điều tra nghiên cứu để xác định cơ sở thực tiễn của
đề tài.
Để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài, sau khi học sinh học xong phần lý
thuyết về khoản g cách, bản thân tôi đã tiến hành khảo sát đối với việc nắm bài và
kĩ năng giải toán của học sinh trong trường THPT mình giảng dạy. Kết quả thu
được như sau:
- Số lượng học sinh được khảo sát: 122 em ( 3 lớp )
- Số học sinh đạt mức giỏi: 11 em, chiếm 9,02%
- Số học sinh đạt mức khá: 30 em, chiếm 24,59%
- Số học sinh đạt mức trung bình: 59 em, chiếm 48,36%
- Số học sinh đạt mức yếu: 22 em, chiếm 18,03%
Như vậy, tỉ lệ học sinh nắm vững kiến thức và có kĩ năng giải tốn là chưa
cao, chủ yếu là các em đang ở mức trung bình trở xuống.
1.2.2. Những khó khăn của giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và
học chủ để khoảng cách
Qua quá trình giảng dạy và trao đổi với nhiều giáo viên dạy toán ở các trường
THPT, bản thân tơi nhận thấy những khó khăn trong dạy và học chủ đề khoảng
cách như sau:
3


- Về phía giáo viên: Các bài tốn tính khoảng cách giữa các đối tượng trong
không gian là một vấn đề phức tạp.Vì vậy, một số giáo viên đang cịn thấy lúng
túng trong việc hướng dẫn học sinh giải quyết các bài tốn. Đa số các giáo viên
đang cịn dạy theo cách: thầy đưa ra cách giải và trò áp dụng. Hơn nữa, thời lượng
giảng dạy trên lớp lại có hạn cũng làm cho việc truyền tải kiến thức cho học sinh
cịn nhiều hạn chế.
- Về phía học sinh: Đa số học sinh đều học kém hình học khơng gian vì đây là
mơn học địi hỏi cao ở người học. Khi gặp một bài tốn tính khoảng cách, học sinh

thường loay hoay, không biết giải như thế nào. Gặp bài tốn tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng thì khơng biết xác định hình chiếu, gặp bài tốn tính
khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau thì chỉ biết xác định và tính độ dài
đoạn vng góc chung dẫn đến khó khăn trong giải tốn,….Nhiều học sinh đã học
thuộc phương pháp thầy cô đưa ra nhưng vẫn không giải được.
1.2.3. Mục tiêu của đề tài
Học sinh được trang bị đầy đủ kiến thức và kĩ năng, biết định hướng và giải
quyết được các bài tốn tính khoảng cách trong không gian bằng kĩ thuật di chuyển
điểm. Khi đứng trước một bài tốn khoảng cách, các em khơng cịn thấy bỡ ngỡ,
khó khăn mà phải biết tháo gỡ nút thắt, biết tìm cách giải quyết vấn đề, biết quy lạ
về quen.

4


Chương 2. Vận dụng một số phương pháp dạy học giúp học sinh hình thành
kĩ thuật di chuyển điểm trong bài tốn khoảng cách.
2.1. Một số bài tốn tính khoảng cách trong khơng gian.
Bài tốn 1. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cho điểm M và mặt phẳng ( P ) . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng ( P ) .
Cách giải:
d

( M, (P ) )

M

= MH

Với H là hình chiếu của điểm M
mặt phẳng ( P ) .

lên
H

P

Bài tốn 2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) . Tính khoảng cách giữa
đường thẳng ( d ) và mặt phẳng ( P ) .
Cách giải:
d

Chọn điểm M bất kì trên đường thẳng
d . Khi đó khoảng cách giữa d và ( P )
chính là khoảng cách từ điểm M đến
 P ) và :
d

( M, (P ) )

= MH

trong đó ( H ) là hình chiếu của điểm
M lên mặt phẳng ( P ) .

M

H

P

(Trở lại bài toán 1)
Bài tốn 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo chau a
thẳng a và b .

và b . Tính khoảng cách giữa hai đường

5


Cách giải:

M

a

Tìm mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng
b

và song song với đường thẳng a . Khi
đó:
d

( a, b )

= d

H

( a , ( P) )

(Trở về bài toán 2)

b
P

Kết luận: Các bài toán trên đều dẫn đến bài tốn tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
2.2. Vận dụng một số phương pháp dạy học giúp học sinh hình thành kĩ
thuật di chuyển điểm trong bài tốn khoảng cách.
Các bài tốn tính khoảng các trong khơng gian đều được quy về bài tốn tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Nếu giáo viên chỉ đưa ra phương
pháp giải và phân loại các bài toán cụ thể thì học sinh chỉ làm theo rập khn,
khơng nắm rõ bản chất vấn đề và chưa sáng tạo trong các bài tốn dẫn đến nhiều
lúc cịn mơ hồ, khó hiểu.
Chính vì vậy, bản thân tơi nhận thấy khi giải quyết một bài toán, một vấn
đề…giáo viên nên định hướng cho học sinh tự tìm đường đi hơn là vẽ sẵn đường đi
cho học sinh.
Trong mục này, tôi vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực như: dạy
học phân hóa, dạy học gợi mở - vấn đáp, dạy học khám phá… giúp cho học sinh
hình thành kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán khoảng cách.
2.2.1. Kĩ thuật di chuyển điểm trên đường thẳng song song với mặt
phẳng.
2.2.1.1 Hình thành kĩ thuật
Phương pháp: dạy học phân hóa kết hợp dạy học gợi mở- vấn đáp giúp học
sinh hình thành kĩ thuật.
Bài tốn hình thành kĩ thuật: Cho hình chóp S . ABCD đáy ABCD là hình
vng tâm O , cạnh a . SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a .

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) .
b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SBC ) .
Hoạt động 1: Chia nhóm
Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm và sắp xếp chỗ ngồi phù hợp để thuận tiện
cho việc thảo luận của học sinh.
6


Nhóm 1, 2: Học sinh có học lực mức trung bình khá trở xuống.
Nhóm 3, 4: Học sinh có mức học khá trở lên.
Hoạt động 2: Phân chia nhiệm vụ.
Giáo viên yêu cầu nhóm 1, 2 giải quyết câu a đồng thời đưa ra bài toán tổng
quát.
Giáo viên yêu cầu nhóm 3, 4 giải quyết câu b đồng thời đưa ra bài tốn tổng
qt.
Hoạt động 3: Hình thành kĩ thuật.
Học sinh thực hiện nhiệm vụ dưới sự hướng dẫn của giáo viên thông qua
phương pháp gợi mở- vấn đáp và khám phá.
Hoạt động thành phần 3.1: Học sinh tiến hành thảo luận để giải quyết bài
toán.
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

- Giáo viên quan sát các nhóm thảo
Học sinh tiến hành thảo luận, khám phá
luận, nắm bắt tình hình và hỗ trợ kịp
cách giải quyết bài tốn.
thời thông qua các câu hỏi gợi mở- vấn
đáp.

- Đặt câu hỏi cho nhóm 1,2:
+ Gọi H là chân đường vng góc kẻ
từ A đến mặt phẳng ( SBC) thì mọi mặt
phẳng chứa AH sẽ như thế nào với mặt
phẳng ( SBC) ?
+ Hãy chọn một mặt phẳng chứa A
và vuông góc mặt phẳng ( SBC) ?

- Vng góc

- Mặt phẳng ( SAB)

- Đặt câu hỏi cho nhóm 3,4:
+ Hãy tìm đường thẳng qua B và
song song với mặt phẳng ( SBC) ?

- Đường thẳng AB

Hoạt động thành phần 3.2: Học sinh báo cáo kết quả
Nhóm 1, 2: ( kết quả giáo viên mong muốn)

7


Do BC ⊥ ( SAB)

S

nên ( SAB ) ⊥ ( SBC )

H

(SAB) ∩ ( SBC) = SB

Kẻ AH ⊥ SB tại H ⇒ d

( A, ( SBC ) )

= AH
A

Áp dụng
AH

1
2

=

BM

AS

1

+

2

AB

1
2

⇒ AH =

a 2
2

O
C
D

Từ việc giải quyết câu a, nhóm 1, 2 đưa ra bài toán tổng quát, giáo viên chỉnh sửa
và rút ra kết luận.
Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) trong trường hợp có mặt
phẳng ( Q) chứa điểm M và vng góc với mặt phẳng ( P ) .
Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng : ( Q ) ∩ ( P) = ∆
Bước 2: Kẻ MH ⊥ ∆ , cắt ∆ tại H
Bước 3: MH = d

( M , ( P) )

Nhóm 3,4: ( kết quả giáo viên mong muốn)
Do AD BC nên AD
⇒d

2

( D, ( SBC ) )

= d

( SBC )

( A, ( SBC ) )

S

= AH =

a

H

2

A
BM
O
C
D

Từ việc giải quyết bài câu b, các nhóm 3, 4 đưa ra bài toán tổng quát, giáo viên
chỉnh sửa và rút ra kết luận.
Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) trong trường hợp có đường
thẳng d chứa điểm M và song song với mặt phẳng ( P ) .


8

A

M

P

Bước 1: Xác định mặt phẳng ( Q) vng góc mặt phẳng ( P ) .
Bước 2: Xác định giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( Q) là A .
Bước 3: Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( P ) .
Nhận xét: Thông qua việc chuyển giao nhiệm vụ, bằng cách học sinh tự giải quyết
vấn đề và rút ra kết luận sẽ làm cho học sinh nhớ dạng toán một cách thấu đáo.
Học sinh được tự mình khám phá tri thức, được ghi nhận sự đóng góp, tạo nên
khơng khí lớp học sơi nổi hơn.
2.2.1.2 Một số ví dụ
Bài 1.Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vng tại A , AC = a , I là trung
điểm SC . Hình chiếu vng góc của S lên ( ABC ) là trung điểm H của BC . Mặt
phẳng
 SAB) tạo với ( ABC ) một góc 60°. Tính khoảng cách từ I đến ( SAB) .
Phân tích: - Để tính được khoảng cách này, đầu tiên giáo viên cần vấn đáp hướng
dẫn cho các em cách giải quyết bài toán theo hướng sau:
+) Từ điểm I có thể dựng được hình chiếu lên mặt phẳng ( SAB) không?
Gợi ý của giáo viên là: Để tìm được hình chiếu của I lên mặt phẳng ( SAB)
cần phải dựng được một mặt phẳng qua I và vng góc với mặt phẳng ( SAB) , tuy
nhiên quan sát để làm được điều đó cần phải tìm ra được một đường thẳng vng
góc với mặt phẳng ( SAB) và giả thiết chưa cho phép vì mới có được một yếu tố
vng góc duy nhất là AC ⊥ AB .
+) Nếu không dựng được đường vuông góc xuất phát từ I , vậy có điểm nào khác
có thể dựng được đường vng góc với ( SAB) khơng, vì sao?

9


Câu trả lời mong muốn đó là: Có điểm H , vì H là chân đường vng góc kẻ
từ đỉnh S nên SH ⊥ AB , vậy chỉ cần kẻ HK ⊥ AB thì sẽ có ngay AB ⊥ ( SHK )
hay ( SHK ) ⊥ ( SAB) và hai mặt này có đường giao tuyến là SK do đó chỉ cần kẻ
thêm HJ ⊥ SK thì suy ra HJ ⊥ ( SAB) .
+) Vậy hãy liên hệ khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( SAB) so với khoảng
cách từ điểm H đến ( SAB) ? Vì sao lại được kết quả so sánh như vậy?
Câu trả lời mong muốn nhận được từ học sinh: Khoảng cách từ điểm I đến
mặt phẳng ( SAB) bằng khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( SAB) vì HI ||
( SAB) .
+) Vậy tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( SAB) bằng cách nào?
Câu trả lời giáo viên chờ đợi: Bằng cách tính khoảng cách từ điểm H đến
mặt phẳng ( SAB) và chính bằng HJ .
- Giáo viên chốt vấn đề:
+) Như vậy thay vì tính khoảng cách trực tiếp từ điểm I đến mặt phẳng ( SAB) ,
chúng ta đã chuyển khoảng cách này sang khoảng cách từ điểm H sang mặt phẳng
 SAB) bằng một đường thẳng song song với ( SAB) là đường HI .
+) Chú ý rằng điểm xuất phát của con đường di chuyển này là điểm I và đích đến là
một điểm mà chúng ta có thể dễ dàng dựng được chân đường vng góc đến mặt
phẳng ( SAB) , trong trường hợp này là điểm H (Giáo viên hỏi thêm học sinh tại sao
lại là điểm H ). Thông thường chúng ta chọn nó là chân đường vng góc từ đỉnh
đến mặt đáy của các hình chóp, hình lăng trụ.
Lời giải

10

S

I

A

J

C

K

H
B

Gọi K là trung điểm của AB . Khi đó:
SK

)

( ( SAB ) , ( ABC ) ) = (

HK ,

= SKH

IH là đường trung bình của ∆ SCB ⇒ IH || SB ⊂ ( SAB) ⇒ IH ||( SAB)

 d ( I , ( SAB ) )

= d

( H , ( SAB) )

Kẻ HJ ⊥ SK, J ∈ SK . Khi đó HJ ⊥ ( SAB) ⇒ d
AC

Xét ∆ SHK vng tại H có HK =
1 =

1+

1 ⇒HJ =
AK 2

HJ 2

SH 2

Vậy d

( I , ( SAB ) )

=

= 60°

a

( H , ( SAB ) )

; SH = HK . tan

2 = 2 SKH

= HJ

a 3
= 2

3
= a
2
2
SH + HK
4
SH.HK

4

3a

.

Nhận xét:
+) Sau khi giải quyết xong bài toán giáo viên cần chốt lại vấn đề:
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( P ) và A, B là hai điểm bất kì trên
đường thẳng a , khi đó ta ln có:

11


a

d

( A, ( P ) )

= d

A

B

( B, ( P) )

P

+) Giáo viên có thể khắc sâu kĩ thuật và nâng cao kiến thức của các em thông qua
IH ||
( SAB)

câu hỏi: Qua bài tốn này chúng ta thấy có một sự gợi ý nhẹ từ giả thiết, đó là IH
là đường trung bình của tam giác SBC nên phát hiện được quan hệ
và từ
đó chuyển khoảng cách từ điểm I sang điểm H và điểm H lúc này giống như là điểm
“cơ sở” để tính mọi loại khoảng cách, vậy nếu bài tốn khơng có sự gợi ý như vậy
thì làm thế nào để dựng được đường song song và tìm ra điểm H ?
Bài 2.Cho hình chóp S . ABC . Tam giác ABC vuông tại A , AB = 1cm , AC = 3cm .

Tam giác SAB , SAC lần lượt vuông tại B và C . Khối cầu ngoại tiếp hình chóp
5 5π
S . ABC có thể tích bằng
3 . Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng ( SAB) .
6

cm

Phân tích: Dữ liệu từ đề bài chưa cho thấy chân đường vng góc H kẻ từ đỉnh S
đến mặt phẳng ( ABC ) như trong bài 1), hơn nữa cũng chưa thấy hướng dựng
được
đường vuông góc từ C đến ( SAB) hay hướng để chuyển khoảng cách từ C đến một
điểm khác theo quan hệ song song. Giáo viên cần tương tự hóa bài 1 và vấn đáp
giúp học sinh tìm ra điểm H để từ đó củng cố kĩ thuật di chuyển điểm C theo đường
thẳng CH song song với mặt ( SAB) .
Lời giải

Ta có tam giác SAB và SAC lần lượt vng tại B , C nên mặt cầu ngoại tiếp S . ABC là


mặt cầu đường kính SA .
12


4

Suy ra

π

3

5 5π

SA  3

=



 2

⇒ SA = 5 cm .

6

Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng ( ABC ) hay
SH ⊥ ( ABC ) .
SH ⊥ AB
Ta có 
⇒ AB ⊥ ( SBH ) ⇒ AB ⊥ BH .

SB ⊥ AB



Tương tự, ta có AC ⊥

CH

.
= 90° ⇒ ABHC là hình chữ nhật.

Tứ giác ABHC có BAC = ABH = ACH

Có HC || AB ⇒ HC || ( SAB ) ⇒ d

( C , ( SAB ) )

= d

( H , ( SAB) ) .

AB 2 + AC2 = 2 cm .

Có AH = BC =

Tam giác SAH vuông tại H nên SH = SA2 − AH 2 = 1 cm .
Kẻ HK ⊥ SB ⇒ HK ⊥ ( SAB ) ⇒ HK = d ( H , ( SAB) ) .
Có HK
Vậy d

1

1

2

= SH 2+ HB

1
2

( C , ( SAB ) ) =

4

3

= 3⇒HK= 2

.

3
2 .

Nhận xét: Qua bài toán này Giáo viên nên hình thành cho học sinh một thói quen
tính khoảng cách theo hướng di chuyển điểm cần tính khoảng cách về điểm cơ sở
là chân đường vng góc kẻ từ đỉnh của hình chóp xuống mặt đáy.
Bài 3.Cho hình chóp
=

°,

BAC 30

SA

S . ABC

và

=

a

=

BA

có SA vng góc với mặt phẳng đáy. Biết góc
. Gọi

=

BC

a

là điểm đối xứng của

D

qua

B

. Tính

AC

khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD) .
Phân tích: Bài tốn đã cho sẵn điểm cơ sở là điểm A và con đường để di chuyển
điểm B về A nhưng lại ẩn đi tính chất song song của BA với mặt phẳng ( SCD) để
học sinh tự tìm ra điểm mấu chốt này.
Lời giải

13


S
K
H
A

D

B

C

Vì D là điểm đối xứng của B qua AC và BA =

BC

nên ABCD là hình thoi cạnh a ,

và từ BAC = 30° suy ra tam giác CBD đều.
Do đó d ( B ,

a 3 và AB || CD ⇒ AB ||
d ( A, ( SCD) )
2

CD) =

Từ A kẻ AH ⊥

CD

tại H , kẻ AK ⊥

SA = a , AH = d

Trong đó CD) =

⇒d

= d

(B,

( B, ( SCD ) )

d ( A, ( SCD
AK =

tại K thì

SH

( A, CD )

( SCD )

=

) ) =

SA⋅ AH
SA2 +
AH2

SA⋅
AH

a 3
2 , nên AK =

SA2 +
AH2

.

21a

.
=

7

Một số bài tập dành cho học sinh luyện tập kĩ thuật
Bài 1.(Trích đề thi thử TPHT Chuyên Quốc Học Huế – 2020) Cho lăng trụ
′′′′

có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a 3 và AD = a . Hình chiếu
vng góc của A ′ trên ABCD trùng với giao điểm O của AC và BD . Tính khoảng
ABCD.A B C D

′

cách từ điểm B đến (
A. a 3 .
4

′

A BD) theo a.

B. a 3 .
2

C. a 3 .
6

D. a 3 .
3

Bài 2.(Trích đề thi thử trường THPT Lương Thế Vinh– Hà Nội – lần 1-2020)
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = 3a

(tham khảo hình vẽ). Tam giác SAB cân ở S và nằm trong mặt phẳng vng góc với
mặt phẳng đáy; góc giữa mặt phẳng ( SCD) và mặt đáy là 45°. Gọi H là trung điểm
cạnh AB . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và CH .


3
A. 11a
11

.

B.

3
14a
7

.

C. 3 10a .
109

D. 3 85a .
17

14


Bài 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a , SA ⊥ ( ABCD) .
Gọi M là trung điểm của cạnh CD , biết SA = a

thẳng SD và BM bằng
A. 2 a 39 .
13

B. 2 a 145 .
15

5 . Khoảng cách giữa hai đường

C. 2 a 145 .
29

D. 2 a 39 .
3

Nhận xét chung mục 2.3.1: Mục này làm rõ hai vấn đề sau
+) Vấn đề 1: Hiểu rõ bản chất của kĩ thuật di chuyển trên đường thẳng song song
để tính khoảng cách là sử dụng tính chất “mọi điểm nằm trên đường thẳng song
song với mặt đều có khoảng cách đến mặt đó là như nhau”, từ đó thay vì tính
khoảng cách từ một điểm khó xác định khoảng cách đến mặt bằng cách chuyển
khoảng cách đó về điểm dễ tính khoảng cách hơn (chẳng hạn điểm cơ sở) bằng con
đường song song.
+) Vấn đề 2: Trong quá trình giảng dạy, biện pháp để giáo viên đưa ra để tính
khoảng cách bằng kĩ thuật này giúp học sinh thấy được bài tốn tính khoảng cách
thật ra cũng rất đơn giản và dấu hiệu để nhận ra kĩ thuật là nối điểm cần tính
khoảng cách đến điểm cơ sở và xem xét đường thẳng tạo thành có song song với
mặt cần tính khoảng cách đến hay khơng.
2.2.2. Kĩ thuật di chuyển điểm trong bài tốn có đường thẳng cắt mặt
phẳng.
Phương pháp: dạy học phân hóa kết hợp dạy học gợi mở- vấn đáp giúp học

sinh hình thành kĩ thuật.
2.2.2.1. Hình thành kĩ thuật
Bài tốn hình thành kĩ thuật:
Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có canh đáy bằng 2a , SA = 4a . M là trọng tâm
tam giác SAB . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) .
Hoạt động 1 : Chia nhóm
Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm và sắp xếp chỗ ngồi phù hợp để thuận tiện
cho việc thảo luận của học sinh.
Nhóm 1, 2: Học sinh có học lực mức trung bình khá trở xuống.
Nhóm 3, 4: Học sinh có mức học khá trở lên.
Hoạt động 2: Phân chia nhiệm vụ.

15


Giáo viên yêu cầu học sinh nhóm 1, 2 giải quyết bài toán bằng cách sử dụng kĩ
thuật di chuyển điểm trên đường thẳng song song với mặt phẳng.
Giáo viên u cầu nhóm 3 giải quyết bài tốn bằng hai cách.
Hoạt động 3: Hình thành kĩ thuật.
Học sinh thực hiện nhiệm vụ dưới sự hướng dẫn của giáo viên thông qua phương
pháp gợi mở - vấn đáp và khám phá.
Hoạt động thành phần 3.1: Học sinh tiến hành thảo luận để giải quyết vấn đề.
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

- Giáo viên quan sát các nhóm thảo
Học sinh tiến hành thảo luận, khám phá
luận, nắm bắt tình hình và hỗ trợ kịp
cách giải quyết bài tốn.

thời thơng qua các câu hỏi gợi mở- vấn
đáp.
- Đặt câu hỏi cho nhóm 1,2:
+ Điểm A nằm trên đường thẳng nào
song song với mặt phẳng ( SCD) ?

- AB || ( SCD) .

+ Em sẽ di chuyển điểm A đến điểm
nào để tính khoảng cách?

- Di chuyển điểm A đến điểm I .

- Đặt câu hỏi cho nhóm 3,4:
+ Hãy tìm đường thẳng qua A cắt
mặt phẳng ( SCD) ?

- Mặt phẳng ( SAB)

- Đường thẳng AC
Hoạt động thành phần 3.2: Học sinh báo cáo kết quả
Nhóm 1, 2 ( kết quả giáo viên mong muốn)
Gọi I , J lần lượt là trung điểm của
AB,CD

Do AB || CD nên

AB ||

 d ( A, ( SCD ) )

 SCD

)

⊥

( SCD)

= d

( I , ( SCD) )

( SIJ ) và ( SCD )

Kẻ IH ⊥ SJ tại H ⇒ d

∩

(

SIJ

( I , ( SCD ) )

)

= SJ

= IH
16

IH

1=
2

IJ

1+
2

1 ⇒ IH = 2a 14
IS 2
15

Vậy d ( A, ( SCD )
d

( I , ( SCD ) )

)

S

14

=

= a

15
H

A

D

I
J

O

B

C

Nhóm 3,4 ( kết quả giáo viên mong muốn)

Trình bày thêm cách 2:
AO ∩ ( SCD) =
C⇒

( A, ( SCD ) )
2d ( O, ( SCD) )
⇒d

( A, ( SCD
=
))

= AC 2
d (C
, ( SCD) )
OC
d

S

=
A

K

D

Kẻ OK ⊥ SJ tại K thì :
d ( O, ( SCD
OK = a

) )

=

C

15

Vậy d ( A, ( SCD )

)

2d

= a

( O , ( SCD ) )

J

O

14

=

14
15
B

Sau khi nhóm 3,4 giải cách 2 và đưa ra bài toán tổng quát, giáo viên sửa chữa và
rút ra kết luận.
Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) trong trường hợp có đường
thẳng d chứa điểm M và cắt mặt phẳng ( P ) .


17


M

A

I
P

Bước 1: Tìm đường thẳng ∆ đi qua M cắt mặt phẳng ( P ) tại I .
Bước 2: Tìm điểm A trên ∆ sao cho điểm A nằm trên mặt phẳng vng góc mặt
phẳng ( P ) .
Bước 3: Tính
Bước 4: d

MI

AI , d

( A, ( P) ) .

( M, (P ) )

=

MI
AI d

( A, ( P) ) .

Nhận xét: Thông qua kĩ thuật di chuyển điểm trên đường thẳng cắt mặt phẳng, học
sinh sẽ khơng cịn cảm thấy khó khăn trong các bài tốn khoảng cách. Bài tốn
khoảng cách được chuyển về bài tốn tính tỉ số đoạn thẳng.
2.2.2.2 Một số ví dụ

Bài 1. Cho hình chóp SABC , có đáy ABC là tam giác vng tại A , ABC = 30°. Tam
giác SBC đều cạnh a
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Tính khoảng
cách từ C đến ( SAB) .
Phân tích: Để rèn luyện kĩ năng phát hiện ra kĩ thuật di chuyển điểm trên đường
thẳng cắt mặt phẳng, giáo viên có thể vấn đáp học sinh theo câu hỏi: “Hãy tìm mối
liên hệ về khoảng cách từ điểm C và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng
d

( SAB) ?” và câu trả lời mà giáo viên mong muốn nhận được là

(C

,

( SAB) )

d

(H

,

( SAB) )

Đây chính là điểm mấu chốt để đưa ra hướng giải quyết cho bài toán.
Lời giải

= CB .
HB

18


S

I

A

C
K
H
B

Gọi H là trung điểm BC , suy ra SH ⊥ ( ABC ) .

(C

d

; ( SAB) )

d (H
; ( SAB) )

( C ; ( SAB ) )
( H ; ( SAB) ) .

= 2⇒d
= CB 2d

Ta có ( SAB )

HB
∩ ( ABC

)

=

= AB .

Từ H dựng HK vng góc với giao tuyến tại K .
Nối SK , dựng HI vng góc SK tại I . Khi đó HI =
d

( H ; ( SAB) )

Ta có: 

AB ⊥ HK

AB ⊥ SH



⇒ HI ⊥

Mà  HI ⊥

HI ⊥

SK d

( H;

⇒ AB ⊥

(

( SAB )
( SAB) ) .

⇒ HI =

SHK

)

⇒ AB ⊥ HI



AB

Trong tam giác vng ABC ta có: AC = AB. sin
0

30

a.

a

=

⇒HK=
2
HK.SH

= a 39 .
HK2 + SH2
26

Xét tam giác vuông SHK , đường cao HI nên HI =
Vậy d

( C ; ( SAB ) )

= 2d

( H ; ( SAB ) )

4

= 2HI =

a

13

39

.

Nhận xét : +) Giáo viên tổng quát hóa cho tỉ số khoảng cách : Cho hai điểm A, B
không nằm trên mặt phẳng ( P) sao cho đường thẳng AB cắt mặt phẳng ( P) tại
A