21 bài tập tỉ số THỂ TÍCH file word có lời giải chi tiết

/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

Câu 81. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đơi một vng góc. Các điểm
M , N , P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC , CD, BD. Biết rằng AB = 4a , AC = 6a ,
AD = 7a . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP .
A. V = 7a3 .
B. V = 28a 3 .
C. V = 14a 3 .
D. V = 21a 3 .
Câu 82. Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi V ' là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là
V'
trọng tâm của các mặt của khối tứ diện ABCD. Tính tỉ số
.
V
V'
V ' 23
V'
V'
8
1
4
A.
B.
C.
D.
=
=
=
=
.

.
.
.
V
V
V
V
27
27
27
27
Câu 83. Cho hình chóp S .ABC có chiều cao bằng 9 , diện tích đáy bằng 5 . Gọi M là trung
điểm của cạnh SB và N thuộc cạnh SC sao cho NS = 2NC. Tính thể tích V của khối chóp
A.BMNC .
A. V = 15.
B. V = 5.
C. V = 30.
D. V = 10.
Câu 84. Cho khối chóp S .ABC có thể tích bằng 16. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các
cạnh SA, SB, SC. Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP .
A. V = 2.
B. V = 4.
C. V = 6.
D. V = 8.
Câu 85. Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Xét các điểm P thuộc đoạn AB , điểm Q thuộc
PA
QB
RB
đoạn BC và điểm R thuộc đoạn BD sao cho
= 2,

= 3,
= 4 . Tính thể tích của
PB
QC
RD
khối tứ diện BPQR theo V .
V
V
V
V
A. VBPQR = .
B. VBPQR = .
C. VBPQR = .
D. VBPQR = .
4
6
5
3
Câu 86. Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi một vng góc và AB = 6a, AC = 9a,

AD = 3a . Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ACD, ADB . Tính thể
tích V của khối tứ diện AMNP .
A. V = 8a3 .
B. V = 4a 3 .
C. V = 6a3 .
D. V = 2a3 .
· = BSC
· = CSA
· = 600.
Câu 87. Cho hình chóp S .ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 5 và ASB

Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. V = 5 2.
B. V = 5 3.
C. V = 10.
D. V = 15.
Câu 88. (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Cho tứ diện có thể tích bằng V . Gọi V ¢ là thể tích
của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số
V¢
.
V
V¢ 1
V¢ 1
V¢ 2
V¢ 5
A.
B.
C.
D.
= .
= .
= .
= .
V
2
V
4
V
3
V
8

Câu 89. Cho hình chóp đều S .ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Gọi M là trung
điểm SB , N là điểm trên đoạn SC sao cho NS = 2NC . Tính thể tích V của khối chóp
A.BCNM .
A. V =

a 3 11
.
36

B. V =

a 3 11
.
16

C. V =

a 3 11
.
24

D. V =

a 3 11
.
18

1 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

Vấn đề 4. TỈ SỐ THỂ TÍCH


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

Câu 90. Cho hình chóp đều S .ABC có tất cả các cạnh bằng a . Mặt phẳng (P ) song song với
mặt đáy (ABC ) và cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại M , N , P . Tính diện tích tam
giác MNP biết mặt phẳng (P ) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau.
a2 3
a2 3
a2 3
a2 3
C. SD MNP = 3 .
D. SD MNP = 3 .
. B. SD MNP =
.
16
8
4 4
4 2
Câu 91. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a . Trên đường thẳng qua C và vng góc với
(ABC ) lấy điểm D sao cho CD = a . Mặt phẳng (a ) qua C và vng góc với BD , cắt BD tại F

và cắt AD tại E . Tính thể tích V của khối tứ diện CDEF .
a3
a3
a3

a3
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
36
54
6
24
Câu 92. Cho tứ diện ABCD có thể tích V và các điểm M , N , P thỏa mãn điều kiện
uuuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
AM = 2 AB , AN = 3 AC và AP = 4 AD . Mệnh đều nào dưới đây đúng?
V
V
.
A. VAMNP =
B. VAMNP = 8V .
C. VAMNP = 24V .
D. VAMNP = .
24
8
Câu 93. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt phẳng (MNE ) chia khối tứ diện
ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V .

11 2a 3
13 2a 3
7 2a 3
2a 3
B. V =
C. V =
D. V =
.
.
.
.
216
216
216
18
Câu 94. Mặt phẳng đi qua trọng tâm của tứ diện, song song với một mặt phẳng của tứ diện và
chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của hai phần đó.
3
27
5
2
A. .
B. .
C.
D. .
.
4

37
7
3
Câu 95. Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng 1 . Mặt phẳng (P ) đi qua điểm S và trọng tâm

A. V =

G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N . Tính thể tích nhỏ nhất Vmin
của khối tứ diện SAMN .

4
2
2
2
B. Vmin = .
C. Vmin =
D. Vmin =
.
.
.
18
36
27
9
Câu 96. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 48. Gọi
M , N lần lượt là điểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho MA = MB, NC = 2ND . Tính thể
tích V của khối chóp S .MBCN .
A. V = 8.
B. V = 20.
C. V = 28.

D. V = 40.
Câu 97. Cho hình chóp S .ABCD . Gọi A ', B ', C ', D ' lần lượt là trung điểm của SA, SB,
SC , SD. Tính tỷ số k của thể tích khối chóp S . A ' B ' C ' D ' chia cho thể tích khối chóp
S .ABCD .
1
1
1
1
A. k = .
B. k = .
C. k = .
D. k =
.
2
4
16
8
Câu 98. Cho khối chóp S .ABCD có thể tích bằng V . Lấy điểm A ' trên cạnh SA sao cho
1
SA ' = SA . Mặt phẳng (a ) qua A ' và song song với đáy (ABCD ) cắt các cạnh SB, SC , SD
3
lần lượt tại B ', C ', D ' . Tính thể tích V ' của khối chóp S . A ' B ' C ' D ' .
V
V
V
V
A. V ' =
.
B. V ' =
.

C. V ' =
.
D. V ' =
.
27
81
3
9
A. Vmin =

2 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

A. SD MNP =


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

Câu 99. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng (a ) đi qua A, B
và trung điểm M của SC . Mặt phẳng (a ) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích
lần lượt là V1 , V2 với V1 < V2 . Tính tỉ số

V1
.
V2

V1 1

V
V
V
3
5
3
B. 1 = .
C. 1 = .
D. 1 = .
= .
V2 4
V2 8
V2 8
V2 5
Câu 100. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B ,
BA = BC = 1 , AD = 2 . Cạnh bên SA vng góc với đáy và SA = 2 . Gọi H là hình chiếu
vng góc của A trên SB . Tính thể tích V của khối đa diện SAHCD .
2 2
2 2
4 2
4 2
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
9
3

9
3
Câu 101. Cho hình chóp đều S . ABCD. Gọi N là trung điểm SB, M là điểm đối xứng với B
qua A. Mặt phẳng (MNC ) chia khối chóp S .ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là

A. V =

V1 , V2 với V1 < V2 . Tính tỉ số

V1
.
V2

V
V1 5
V
V
5
5
5
= .
.
B. 1 =
C. 1 = .
D. 1 =
.
V2 11
V2 7
V2 13
V2 9

Câu 102. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA = a vng góc
SM
với mặt phẳng đáy (ABCD ). Điểm M thuộc cạnh SA sao cho
= k. Xác định k sao cho
SA
mặt phẳng (MBC ) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau.

A.

- 1+ 3
- 1+ 5
- 1+ 2
1+ 5
C. k =
D. k =
.
. B. k =
.
.
4
2
2
2
Câu 103. Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' , V1 là thể tích tứ diện
A ' ABD . Hệ thức nào sau đây đúng?
A. V = 6V1.
B. V = 4V1.
C. V = 3V1.
D. V = 2V1.
Câu 104. Cho lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' . Gọi D là trung điểm AC . Tính tỉ số k của thể

tích khối tứ diện B ' BAD và thể tích khối lăng trụ đã cho.
1
1
1
1
A. k = .
B. k =
.
C. k = .
D. k = .
12
4
6
3
Câu 105. Cho khối lăng trụ ABC .A ¢B ¢C ¢. Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC
và song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N . Mặt phẳng (A¢MN ) chia
A. k =

khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của chúng.
4
4
2
4
A. .
B.
C. .
D.
.
.
27

23
3
9
Câu 106. Cho hình lăng trụ ABC .A ¢B ¢C ¢ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,
AC = 2 2 . Biết AC ¢ tạo với mặt phẳng (ABC ) một góc 600 và AC ¢= 4 . Tính thể tích V
của khối đa diện ABCC ¢B ¢.

16
8 3
16 3
.
.
C. V =
D. V =
.
3
3
3
Câu 107. Cho khối hộp ABCD.A¢B ¢C ¢D ¢ có thể tích V . Các điểm M , N , P thỏa mãn điều
uuuur
uuur
uuur
uuuur
uuur uuur
kiện AM = 2 AC , AN = 3 AB ¢ và AP = 4 AD ¢. Tính thể tích của khối tứ diện AMNP theo
V.
A. V = 8 3.

B. V =

3 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

A.


/>
A. VAMNP = 8V .
B. VAMNP = 4V .
C. VAMNP = 6V .
D. VAMNP = 12V .
Câu 108. Cho hình lăng trụ ABC . A ' B ' C ' có thể tích bằng V . Các điểm M , N , P lần lượt
AM
1 BN
CP
2
= ,
thuộc các cạnh AA ' , BB ' , CC ' sao cho
=
= . Tính thể tích V ' của khối
AA ' 2 BB ' CC ' 3
đa diện ABC .MNP .
20
11
9
2
A. V ' = V .
B. V ' =

C. V ' =
D. V ' = V .
V.
V.
16
18
27
3
Câu 109. Người ta cần cắt một khối lập phương thành hai
B
C
khối đa diện bởi một mặt phẳng đi qua A (như hình vẽ)
M
sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa điểm B bằng
D
A
một nửa thể tích của khối đa diện cịn lại. Tính tỉ số
CN
k=
.
N
CC '
P
1
2
B'
C'
A. k = .
B. k = .
3

3
1
3
C. k = .
D. k = .
A'
D'
2
4
Câu 110. Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D '. Gọi M là điểm thuộc đoạn CC ' thỏa mãn
CC ' = 4CM . Mặt phẳng (AB ' M ) chia khối hộp thành hai phần có thể tích là V1 và V2 . Gọi

V1 là phần có chứa điểm B . Tính tỉ số k =
A. k =

7
.
32

B. k =

7
.
16

V1
.
V2

C. k =

7
.
25

D. k =

25
.
32

Vấn đề 4. TỈ SỐ THỂ TÍCH

Câu 81. Tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đơi
1
một vng góc nên VABCD = AB.AC .AD = 28a 3 .
6
1
1
Ta có SD MNP = SD BCD , suy ra VAMNP = VA. BCD = 7a 3 .
4
4
Chọn A.

A

M

B

C

P

N
D

4 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

SN 2
SM 1
= và
= .
SC 3
SB
2
1
Thể tích khối chóp VS . ABC = .9.5 = 15.
3
VS . AMN
SM SN 1

2
Ta có
=
.
= Þ VABMNC = VS . ABC = 10.
VS . ABC
SB SC
3
3
Chọn D.

A

M
E
F

B

C

D
S

Câu 83. Từ giả thiết, ta có

M
N

A

B

C
é
ù
Câu 84. Ta có d éëS ,(MNP )ù
û= d ëA,(MNP )û nên VAMNP = VSMNP .
V
SM SN SP 1
1
.
.
=
Mà SMNP =
nên VAMNP = VS . ABC = 2 . Chọn A.
VSABC
SA SB SC 8
8
Câu 85. Từ giả thiết, ta có
BP 1 BQ 3 BR 4
= ,
= ,
= .
BA 3 BC 4 BD 5
V
BP BQ BR 1 3 4 1
.
.
= . . = .

Ta có BPQR =
VBACD
BA BC BD 3 4 5 5

Suy ra VBPQR

1
V
= .VBACD = .
5
5

B
P
R

Q

D

A
C

Chọn A.

1
AB.AC .AD = 27a 3 .
6
Gọi E , F , G lần lượt là trung điểm của BC , CD, DB .
Câu 86. Ta có VABCD =

A

1
27 3
a .
Suy ra VAEFG = VABCD =
4
4
Do M , N , P là trọng tâm của các tam giác ABC ,

AM
AN
AP 2
=
=
= .
AE
AF
AG 3
AM AN AP
8
=
.
.
=
AE AF AG 27

ACD, ADB nờn ta cú

Ta cú

VA. MNP
VA.EFG

ắắ
đ VA. MNP

8
=
VA.EFG = 2a 3 . Chọn D.
27

M

P

N

G

B

D
F

E
C

5 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu

FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

Câu 82. Gọi M là trung điểm AC ; E , F làn lượt là trọng
tâm của tam giác ABC , ACD.
1
Trong tam giác MBD có EF = BD.
3
Tương tự ta có các cạnh cịn lại của tứ diện mới sinh ra
1
bằng cạnh của tứ diện ban u.
3
3
V' ổ
1ử
1
Do ú
= ỗỗ ữ
=
. Chn C.
ữ
ữ
ỗ
ố3 ứ
V
27


/>

FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

Câu 87. Trên các đoạn SB, SC lần lượt lấy các điểm
E , F sao cho SE = SF = 3.
Khi đó S .AEF là khối tứ diện đều có cạnh a = 3.

S

a3 2 9 2
=
.
12
4
SE SF
3 3
9
=
.
= . =
SB SC 4 5 20

F

Suy ra VS . AEF =

ắắ
đ VS . ABC

B

A
E

20
=
VS . AEF = 5 2. Chọn A.
9

C

Câu 88. Kí hiệu tứ diện và các điểm như hình v.
V
SA Â SB Â SC Â 1
V
.
.
= ị VS . A ¢B ¢C ¢ = .
Ta có S . A ¢B ¢C ¢ =
VS . ABC
SA SB SC
8
8
Tương tự VA. A ¢MP = VB.B ¢MN = VC .C ¢NP =
Do đó V ¢= VS . ABC - (VS . A ¢B ¢C ¢ + VA. A ¢MP

S
A'

V
.

8
+ VB .B ¢MN + VC .C ¢NP )

C'
P B'

A

N

M

ỉV V V V ư V
VÂ 1
= V - ỗỗ + + + ữ
ữ
ữ= 2 ị V = 2 . Chn A.
ỗố 8 8 8 8 ø

C

B

Câu 89. Gọi O là tâm của D ABC , suy ra SO ^ (ABC ) .
Tam giác vuông SOA , có SO =

SA 2 - AO 2 =

a 11
3

S

.

1 a 2 3 a 11 a 3 11
.
.
=
.
3 4
12
3
SM SN 1 2 1
=
.
= . = .
SB SC
2 3 3

Suy ra VS . ABC =
VS . AMN
VS . ABC

Ta có

Suy ra

M

N
C

A
O

VABCNM
2
2
a 3 11
= Þ VABCNM = VS . ABC =
. Chọn D.
VS . ABC
3
3
18

B

Câu 90. Mặt phẳng (P ) (ABC ) và cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại M , N , P.

SM SN SP
=
=
= x.
SA
SB SC
SM SN SP
=
.

.
= x 3.
SA SB SC

S

Theo Talet, ta có
Do đó

VS . MNP
VS . ABC

VS . MNP
1
1
1
= ® x3 = ® x = 3 .
VS . ABC
2
2
2
a
Suy ra tam giác MNP là tam giác đều cạnh 3 .
2
2

ỉ a ư 3 a2 3
Vy din tớch SD MNP = ỗỗ 3 ữ
ữ
ữ . 4 = 3 . Chn D.

ỗố 2 ứ
4 4

P

M

Theo giả thiết

A

C
N
B

6 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

VS . AEF
VS . ABC

Ta có


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

ìï AB ^ AC

Câu 91. Ta có ïí
Þ AB ^ (ACD ) ị AB ^ CE . (1)
ùùợ AB ^ CD
Lại có BD ^ (a ) Þ BD ^ CE . (2 )

D
F

Từ (1) và (2 ) , suy ra CE ^ (ABD ) Þ CE ^ AD.

Tam giác vng DCB , có BD =

AB 2 + AC 2 = a 2 .
2

E

2

BC + CD = a 3 .

Tam giác vng DCB , có CD 2 = DF .DB Þ
DE CD 2
1
=
= .
2
DA DA
2
VD.EFC

DE DF 1
=
.
= ắắ
đ VD.EFC =
Suy ra
VD. ABC
DA DB 6
Câu 92. Từ giả thiết, suy ra
AB
1 AC 1 AD 1
= ;
= ;
= .
AM 2 AN 3 AP 4
V
AB AC AD 1 1 1
.
.
= ´ ´ =
Ta có A.BCD =
VA. MNP
AM AN AP 2 3 4

B

C
2

DF CD

1
=
= .
DB DB 2 3
A

Tương tự, ta cũng có

ư a3
1
1 ỉ1 1
.VD. ABC = .ỗỗ . a 2 .a ữ
=
. Chn C.
ữ
ữ
ứ 36
6
6 ỗố3 2

A
D
B
1
.
24

C
P

M

Suy ra VA. MNP = 24.VA.BCD = 24V . Chọn C.
N
Câu 93. Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là VABCD =

a3 2
.
12

Gọi P = EN Ç CD và Q = EM Ç AD .
Suy ra P , Q lần lượt là trọng tâm của D BCE và D ABE .
Gọi S là diện tích tam giác BCD , suy ra SD CDE = SD BNE = S.

1
S
.SD CDE = .
3
3
Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD , suy ra
h
é
ù h
d éëM ,(BCD )ù
û= 2 ; d ëQ,(BCD )û= 3 .

A
M

Ta có SD PDE =

Khi đó VM .BNE =
Suy ra VPQD.NMB

Q
D

B
N

E

P

C
1
1
S.h
é
ù S.h
SD BNE .d éëM ,(BCD )ù
û= 6 ; VQ.PDE = 3 SD PDE .d ëQ,(BCD )û= 27 .
3
S.h S.h 7S.h
7 S.h
7
= VM .BNE - VQ.PDE =
=
=
.

=
.VABCD .
6
27
54
18 3
18

Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là V = VABCD - VPQD.NMB =

11 a 3 2 11 2 a 3
.
=
.
18 12
216

Chọn B.

7 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

Tam giác vng ABC , có BC =


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

Câu 94. Gọi E, F , I lần lượt là trung điểm của các cạnh
AC , BD, EF khi đó I là trọng tâm của tứ diện
ABCD. Ta sẽ dựng mặt phẳng qua I song song với
(BCD ).
Trong mặt phẳng (EBD ) dựng đường thẳng qua I
song song với BD cắt FB, FD lần lượt tại M , N .
Qua M , N lần lượt kẻ các đường thẳng lần lượt song
song với BC , CD cắt AB, AC , AD lần lượt tại
P , Q, J .

A

F

P
M

B

J

I
E

Q

N

D

AP
AJ
AQ 3
AQ 3
=
=
= , suy ra
= .
AB AD AC 4
AC 4
VA.PQJ
AP AQ AJ
3 3 3 27
27
=
.
.
= . . =
Þ
=
. Chọn C.
AB AC AD 4 4 4 64 VPQJBCD 37

Do Q là trung điểm của EC Þ
VA. PQJ

Ta có

VA. BCD

Câu 95. Gọi E là trung điểm của BC . Qua B, C lần lượt kẻ đường thẳng song song với MN
và cắt đường thẳng AE tại P , Q .
S
A

N

G
M
N

A
M

P
E

C
B

G

Q

C

B
ìï
ïï
ï

Theo định lí Talet, ta cú ùớ
ùù
ùù
ùợ

AB
AP
=
AB
AC
AP AQ AP + AQ
AM
AG
ị
+
=
+
=
.
AC
AQ
AM AN
AG AG
AG
=
AN
AG
đ PE = QE Þ AP + AQ = (AE - PE )+ (AE + QE ) = 2 AE .
Mặt khác D BPE = D CQE ¾ ¾

Do đó

AB
AC 2 AE
3
1
1
+
=
= 2. = 3 Þ
+
= 3 . Đặt
AM AN
AG
2
AM AN

Vì SABC là tứ diện đều Þ SG ^ (ABC ) và SG =
Do đó VSAMN =
Ta có 3 =

2
3

ìïï AM = x
1 1
ị
+ = 3.
ớ
ùùợ AN = y

x y

.

ử
1
1 ổ1
2
2
SD AMN .SG = ỗỗ AM .AN sin 60 0 ữ
.SG =
AM .AN =
xy.
ữ
ữ
ỗ
ứ
3
3 ố2
12
12

1 1
+
x y

2

xy

2
4
2
xy
ị Vmin =
. Chọn C.
3
9
27

xy
Câu 96. Gọi d là khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh CD.

8 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

C


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

Diện tích hình bình hành S ABCD = AB.d .
Ta có S MBCN = S ABCD - SD AMN - SD ADN

S

1
1
1
1
AM .d - DN .d = AB.d - AB.d - AB.d
2
2
4
6
7
7
=
AB.d =
S ABCD .
12
12
7
7
VS . ABCD =
.48 = 28. Chọn C.
Vậy VS . MBCN . =
12
12
= AB.d -

A

B

Câu 97. Lưu ý: Tỉ số thể tích chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác nên nếu đáy là tứ giác ta chia
đáy thành hai tam giác.
S
Ta có VS . A ' B ' C ' D ' = VS . A ' B ' C ' + VS . A ' D ' C ' .
Mà

VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' 1 1 1 1
=
.
.
= . . = .
VS . ABC
SA SB SC
2 2 2 8

1
.VS . ABC .
8

Suy ra VS . A ' B ' C ' =

B'

A'
C'

D'

A

1
Tương tự ta cũng có VS . A ' D ' C ' = .VS . ADC .
8
1
1
1
1
D
Vậy VS . A ' B ' C ' D ' = VS . ABC + VS . ADC = (VS . ABC + VS . ADC ) = VS. ABCD .
8
8
8
8
V
1
Suy ra S . A ' B ' C ' D ' = . Chọn C.
VS . ABCD
8

Câu 98. Từ giả thiết suy ra A ' B '

AB Þ

Ta có VS . A ' B ' C ' D ' = VS . A ' B ' C ' + VS . A ' D ' C ' .
Mà

C

SC ' SD ' 1
SB ' SA ' 1

=
=
= .
= . Tương tự
SC
SD
SB
SA 3
3
S

VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' 1 1 1
1
=
.
.
= . . =
.
VS . ABC
SA SB SC
3 3 3 27

B'

A'

D' C'

1
.VS . ABC .

27

ắắ
đ VS . A ' B ' C ' =

B

A

B

1
D
VS . ADC .
C
27
1
1
1
1
V
Vậy VS . A ' B ' C ' D ' =
VS . ABC +
VS . ADC =
(VS. ABC + VS. ADC ) = VS. ABCD = . Chọn C.
27
27
27
27
27

Câu 99. Kẻ MN PCD (N Ỵ CD ) , suy ra ABMN là thiết diện của khối chóp.

Tương tự ta cũng có VS . A ' D ' C ' =

Ta có VS . ABMN = VS . ABM + VS . AMN .

S

V
SM 1
1
1
= Þ VS . ABM = VS . ABC = VS . ABCD .
 S . ABM =
VS . ABC
SC
2
2
4



VS . AMN
SM SN 1
1
=
.
= Þ VS . AMN = VS . ABCD .
VS . ACD
SC SD 4

8

M

A

1
1
3
VS . ABCD + VS . ABCD = VS . ABCD .
4
8
8
V1 3
5
= . Chọn D.
= VS . ABCD nên
V2 5
8

Do đó VS . ABMN =
Suy ra VABMNDC

Câu 100. Tam giác vuông SAB , có SB =

SA2 + AB 2 =

N

D

C

B

3.

9 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

C

N

D

M


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

Gi M l trung im AD ắ ắ
đ ABCM l hỡnh vuụng nờn CM = AB = a =

ắắ
đ tam giác ACD vng tại C .
Ta có VS . AHCD = VS . ACD + VS . AHC .

●

S

ư
1
1 ỉ1
2
SD ACD .SA = ỗỗ AD.AB ữ
ữ
ữSA = 3 .
ứ
3
3 ỗố2

VS . AHC
SH SA 2 2
2
2
=
=
= Þ VS . AHC = VS . ABC =
.
2
VS . ABC
SB SB
3
3
9

2
2 4 2
+
=
. Chọn B.
3
9
9
Câu 101. Gọi h, S lần lượt là chiều cao và
diện tích đáy của khối chóp S .ABCD . Khi đó
1
VS . ABCD = S.h. Nối MN cắt SA tại E , MC
3
cắt AD tại F . Tam giác SBM có A, N lần
lượt là trung điểm của BM và SB suy ra E
là trọng tâm tam giác SBM . Tứ giác ACDM
là hình bình hành nên F là trung điểm MC .

A

H

Vậy VS . AHCD =

M

D

C

B

S
N
E
B

M
F

A
C

D
Ta có VBNC . AEF = VABCEN + VE . ACF .
VS .ENC SE SN 2 1 1
1
=
.
= = ắắ
đ VS .ENC = VS . ABC
VS . ABC
SA SB
3 2 3
3
ử 1
2
2 ổ1
ắắ
đ VABCEN = VS . ABC = ỗỗ VS . ABCD ữ

= V
.
ữ
ữ
ứ 3 S . ABCD
3
3 ỗố2



1
1 1 1
1
SD ACF .d éëE ,(ACF )ù
= . S. h = VS . ABCD .
û
3
3 4 3
12
1
1
5
Do đó VBNC . AEF = VABCEN + VE . ACF = VS . ABCD + VS . ABCD =
VS . ABCD = V1.
3
12
12
V
7
5

VS . ABCD ¾ ¾
® 1 = . Chọn A.
Suy ra V2 =
12
V2 7
 VE . ACF =

SN SM
=
= k. Khi đó mặt phẳng (MBC ) chia khối
SD
SA
S
chóp thành hai phần là S .MBCN và AMBDNC .
Ta có VS . MBCN = VS . MBC + VS . MCN .
Câu 102. Kẻ MN



AD (N ẻ SD ) ắ ắ
đ

VS . MBC
SM
=
= k ị VS . MBC = k.VS . ABC .
VS . ABC
SA

V

SM SN
.
= k 2 Þ VS . MCN = k 2 .VS . ACD .
 S . MCN =
VS . ACD
SA SD

Từ gi thit, ta cú VS . MBCN =

ắắ
đ k.

VS . ABCD
V
+ k 2 . S . ABCD
2
2

N

M
A

D

1
C
B1
VS . ABCD Þ k.VS . ABC + k 2 .VS . ACD = VS . ABCD
2

2
1
- 1+ 5
= VS . ABCD ắ ắ
đ k + k2 = 1 ® k =
. Chọn B.
2
2

10 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

● VS . ACD =

AD
2


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

1
SD ABD .AA '.
3

A'
B'

1
V
Mà SD ABD = S ABCD ¾ ¾
®
= 6.
2
V1
Suy ra V = 6V1. Chọn A.

C'
A

D
C

B
Câu 104. Ta có VABC . A ' B ' C ' = SD ABC .BB ' và

A'

1
SD BAD .BB '.
3
VB ' BAD
1
1
® k=
= .
Mà SD BAD = SD ABC ¾ ¾
2

VABC . A ' B ' C ' 6
Chọn D.

B'
C'

VB ' BAD =

D
C

C'

2
AB
4
3
Þ SD AMN = SD ABC .
2
9
AC
3

VA '. AMN
VBMNC . A ¢B ¢C ¢

=

M

A
N

G

B

E

C

(1)

Ta có VABC . A¢B ¢C ¢ = SD ABC .AA ' và VA '. AMN =

Vậy

B'

A'

AM
AN
AG 2
Þ
=
=
=
AB
AC

AE 3

Từ (1) và (2 ) , suy ra VA '. AMN =

B

A

Câu 105. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC .
AG 2
Gọi E là trung điểm của BC Þ
= .
AE 3
Đường thẳng d đi qua G và song song BC , cắt các
cạnh AB, AC lần lượt ti M , N .

ỡù
ùù AM =
ù
ị ùớ
ùù
ùù AN =
ùợ

D'

1
SD AMN .AA '.
3

(2 )

4
23
đ VBMNC . A ÂB ÂC Â =
V
V
   ắắ
  Â.
27 ABC . A B C
27 ABC . A B C

4
. Chọn B.
23

Câu 106. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (A ¢B ¢C ¢).
Suy ra HC ¢ là hình chiếu của AC ¢ trên mặt phẳng (A ¢B ¢C ¢).
·
· ¢, HC ¢= AC
· ¢H .
¢,(A ¢B ¢C ¢) = AC
Do đó 600 = AC
· ¢H = 2 3.
Tam giác AHC ¢, có AH = AC ¢.sin AC

A

C
B

AC 2
= 4.
2
Suy ra VABC . A ¢B ¢C ¢ = SD ABC .AH = 8 3.
Diện tích tam giác SD ABC =

Ta có VA. A ' B ' C ' =

1
1
8 3
SD A ' B ' C ' .AH = VABC . A ¢B ¢C ¢ =
.
3
3
3

Suy ra VABCC ¢B ¢ = VABC . A ¢B ¢C ¢ - VA. A ¢B ¢C ¢ =

16 3
. Chọn D.
3

C'
A'

H
B'

11 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

Câu 103. Ta có V = S ABCD .AA ' và V1 =


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

Câu 107. Ta có V = VAB ' D ' C + (VAA ' B ' D ' + VCC ' B ' D ' + VD ' DAC + VB ' BAC ).

V
.
6

D'
B'

A'

V
.
3
AB ¢ 1 AC
1 AD ¢ 1
Từ giả thiết, ta có
= ;
= ;

= .
AN 3 AM 2 AP
4
¢
¢
VA.B ¢D ¢C
AB AD AC
1
Ta có
=
.
.
=
VA.NPM
AN AP AM 24
Suy ra VAB ' D ' C =

C'

D

C

V
B
A
= 8V . Chọn A.
3
Nhận xét: Cơng thức giải nhanh: Thể tích của khối tứ diện (4 đỉnh nằm trên hai đường chéo
1

của hai mặt đối diện) có thể tích bằng của khối lăng trụ tam giác.
3
C
A
ỉm + n + p ÷
ư
Câu 108. Cơng thức gii nhanh VABC . MNP = ỗỗ
V vi
ữ
ữ
ỗố
ứ
3
B
P
M
AM
BN
CP
m=
, n=
, p=
.
AA '
BB '
CC '
N
1
2
11

2
C'
Áp dụng: m = , n = , p = , ta dược VABC . MNP = V .
A'
2
3
18
3
Chn D.
B'
ắắ
đ VA.NPM = 24VA.B ÂD ÂC = 24.

VAMNPBCD
=
Cõu 109. Công thức giải nhanh
VABCDA ' B ' C ' D '
VAMNPBCD
1
= ắắ
đ
Theo gi thit, ta cú
VABCDA ' B ' C ' D ' 3

0+

0+

CN
BM

DP
+
CC ' = BB ' DD ' .
2
2

CN
CN
2
CC ' = 1 ắ ắ
đ
= . Chn B.
2
3
CC ' 3

Câu 110. Trong mặt phẳng (CDD ' C ') , kẻ MN PC ' D với N Ỵ CD . Suy ra CN =

1
CD và V1
4

là khối đa điện ABB ' NCM .
B'

B'

C'
D'

A'

N
A

A'
M

B
D

C'
D'

A'
B

C

C'

A

M

M
C

N
A

C

D

Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ). Khi đó VABB '.NCM = VABB ' CM + VMACN .
0+

 VABB ' CM =

1
+1
5 ỉ
1 ư
4
.VABC . A ' B ' C ' =
.ỗỗ V ữ
ữ.
ỗ
ứ
3
12 ố2 ÷

12 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

Mà VAA ' B ' D ' = VCC ' B ' D ' = VD ' DAC = VB ' BAC =

/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

ử 1
1 1
1 ổ
1
. VC '. ADC =
.ỗỗ VADC . A ' D 'C ' ữ
=
V.
ữ
ữ
ỗ
ứ 96
4 4
16 ố3
V
7
25
7
Vy V1 = VABCMB ' + VMACN =
V ắắ
đ V2 =
ắắ
đ 1=
. Chọn C.
32
32

V2 25
 VMACN =

1 1
. VC '. ADC vì diện tích giảm 4 lần và chiều cao giảm 4 lần.
4 4

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

Nhận xét. Ta có VMACN =

13 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288