Bài tập ví dụ vi tích phân 1b đạo hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM
KHOA CÔNG NGHỆ THƠNG TIN

an

co

ng

.c
om

BTC ƠN THI HỌC KỲ 1 KHĨA 2016

du
o

ng

th

BÀI TẬP VÍ DỤ
VI TÍCH PHÂN 1B

u

CHƯƠNG: ĐẠO HÀM

cu

PHẦN: CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

 Lâm Cương Đạt

Cập nhật: 14/02/2017

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
Bài 1: Một máy bay bay theo chiều ngang ở độ cao 1 dặm, với vận tốc v = 500 dặm/giờ,
bay thẳng qua phía trên một trạm radar. Tìm tốc độ tăng cự ly giữa máy bay và trạm khi
máy bay các trạm 2 dặm

Ta có h = 1 dặm, D = 2 dặm, D là cự ly của
máy bay và trạm radar.

an

co

ng

.c
om

Ở đây ta sẽ đặt ra câu hỏi là tại sao ta biết
lúc này ta biết máy bay nằm bên phải radar
mà không là bên trái. Vì đề bài đang hỏi độ

tăng cự ly, tức là máy bay đang bay ra xa
trạm.

th

Ta có D  L2  h 2 , đạo hàm hai vế theo biến khoảng cách L (dặm).

dL
dD
L
 2
1 , ta lại có  v  2  chính là độ tăng khoảng cách theo thời gian
2
dt
dL
L h
(vận tốc)

dD
Lv
 2
dt
L  h2

u

Lấy 1   2  

du
o

ng



cu

Khi D = 2 dặm  L  D2  h 2  3
Vậy ta đã có biểu thức của độ tăng cự ly theo khoảng cách L, thay L  3 , h = 1 ta có
độ tăng cự ly tại thời điểm mà khoảng cách giữa máy bay và trạm là
3  500
 433.0127 (dặm/giờ)
2
2
3 1
Bài 2: Nếu một quả cầu tuyết tan chảy sao cho diện tích bề mặt của nó giảm với tốc độ
2
1 cm
min , tìm tốc độ giảm của đường kính khi đường kính là 10 cm.

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
Diện tích bề mặt của quả cầu tuyết là S    a 2 (cm2) trong đó a (cm) là đường kính của
quả cầu.
Lấy đạo hàm theo biến đường kính a 
Ta lại có

1

 2

 2   da  v
1 dt 2a

.c
om

Lấy

2
dS
 v  1cm
min
dt

dS
 2a
da

ng

Ta vừa thiết lập được mối liên hệ của độ giảm đường kính theo thời gian và đường kính.
Thay a = 10 cm, ta có độ giảm đường kính của quả cầu tại thời điếm đường kính nó còn
1
10 cm là
 0.0159 cm

min
210

cu

u

du
o

ng

th

an

co

Bài 3: Vào lúc 12:00 PM, tàu A cách 150 km về phía tây của tàu B. Tàu A di chuyển về
phía đơng với tốc độ 35 km/h và tàu B di chuyển về phía bắc với tốc độ 25 km/h. Khoảng
cách giữa 2 chiếc xe thay đổi theo thời gian như thế nào vào lúc 4:00PM

Ở đây sẽ phát sinh câu hỏi rằng nếu như
thời điểm t đủ lớn thì A có thể sẽ vượt qua
O vậy thì có cần chia ra 2 trường hợp. Câu
trả lời là không, khi ta thiết lập được biểu
thức, ta có thể sẽ thấy rõ điều đó.

OA  s A  v A t  150 (km) ở mọi thời điểm
bất kỳ.

Tại thời điểm t bất kỳ, khoảng cách giữa
hai tàu là
L  s 2A  s B2 

Vị trí của A và B so với O (vị trí ban đầu
của B) tại thời điểm t bất kì.

CuuDuongThanCong.com

150  v A t 

2

  vBt 

2

Vậy biểu thức trên luôn đúng tại mọi thời
điểm t.

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
Lấy đạo hàm theo biến thời gian t (giờ), ta có được biểu thức thay đổi khoảng cách L theo
2
dL  150  v A t   v A  v B t
thời gian t là

2

2
dt
150  v t    v t 
A

B

Thay t = 4 giờ ta có tốc độ thay đổi khoảng cách của hai tàu theo thời gian là
 150  4v A   v A  4v 2B
 21.3933 km h
2
2
150

4v

4v

 B
A
Đáp số dương cho thấy khoảng cách này đang tăng.

.c
om

Bài 4: Một sân bóng chày hình vuông với chiều dài cạnh a = 90 ft. Một vận động viên
bóng chày đánh vào bóng và chạy về mức đầu tiên với tốc độ 24 ft/s.

ng

a) Khoảng cách của anh ta so với mức hai giảm với tốc độ như thế nào khi anh ta ở chính
giữa của mức thứ nhất?

cu

u

du
o

ng

th

an

co

b) Khoảng cách của anh ta so với mức thứ ba tăng với tốc độ như thế nào tại cùng một
thời điểm?

a) Khoảng cách của vận động viện so với
mức 2 tại thời điểm t (s) bất kỳ (khi vận động
viên vẫn chưa chưa đến mức 1) là
L2 

a  v  t 

2

 a 2 (ft)

Lấy đạo hàm hai vế theo biến thời gian t



 a  v  t    v  (ft/s)
dL2

2
dt
a  v  t   a2

a
Thay t  t 2  2 là thời gian kể từ lúc ném đến khi người này chạy đến giữa mức 1 và vị
v
trí ném. Tại thời điểm t 2 , độ thay đổi khoảng cách của người với mức 2 theo thời gian là

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
a 

 a  v     v 
24 5
2v 




 10.733 ft , dấu trừ thể hiện khoảng cách đang giảm và
2
s
5
a 

2
a  v   a
2v 

giảm với “vận tốc” có độ lớn là

24 5
 10.733 ft
s
5

b) Tương tự ta có khoảng cách của vận động viên so với mức 3 ở thời điểm t bất kỳ (khi
vân động viên cịn ở trong khoảng từ vị trí ném đến mức 1) là

.c
om

dL
L3   v  t   a , lấy đạo hàm hai vế theo biến thời gian t  3 
dt
2

2

v2 t

v t

2

 a2

ng

th

an

co

ng

a
Thay t  t 3  2 là thời gian kể từ lúc ném đến khi người này chạy đến giữa mức 1 và vị
v
trí ném. Tại thời điểm t 3 , độ thay đổi khoảng cách của người với mức 3 theo thời gian là
a
v2 
24 5
2v

 10.733 ft , đáp số dương thể hiện khoảng cách đang tăng và

2
s
5
a 

2
v   a
 2v 

du
o

tăng với “vận tốc” có độ lớn là

24 5
 10.733 ft .
s
5

cu

u

Bài 5: Độ cao của một tam giác đang gia tăng với tốc độ 1 cm/min trong khi diện tích của
tam giác đang gia tăng với tốc độ 2 cm 2 min . Cạnh ứng với chiều cao (cạnh đay) của
tam giác thay đổi với tốc độ bao nhiêu khi độ cao của tam giác là 10 cm và diện tích là
100 cm 2 .

Đặt cạnh đáy là a (cm), chiều cao là h (cm), diện tích là S (cm2) thay đổi theo thời gian t
(min)

Ta có

dh
dS
 1 cm min .
 2 cm2 min ,
dt
dt

Ta có S 

1
2S
a h  a 
. Lấy đạo hàm hai vế theo biến thời gian t.
2
h

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
da 2 dS 2S dh
, thay h = 10 cm và S = 100 cm 2 vào ta tìm được tốc độ thay đổi độ

 2
dt h dt h dt
2

2 100
8
dài của cạnh đáy là
2
1   cm min , đáp số âm cho thấy độ dài đáy đang
2
10
10
5
giảm nhưng do chiều cao tăng nên diện tích vẫn có thể tăng, khơng có điều nghịch lý ở
đây.


.c
om

Bài 6: Một chiếc thuyền được kéo vào một bến tàu bằng một sợi dây gắn vào mũi thuyền
và đi qua một rịng rọc trên bến tàu, mà nó cao hơn 1m so với mũi thuyền. Nếu sợi dây
được kéo vào với tốc độ 1 m/s thuyền tiến đền gần đến bến tàu nhanh như thế nào khi nó
cách bến tàu 8m.

ng

Gọi D (m) là chiều dài dây từ ròng rọc
đến mũi thuyền, D thay đổi theo thời
gian t (s).

dD
 v  1 m s là vận tốc kéo thuyền.
dt

ng

Ta có

Ta có L  D2  h 2

th

an

co

Xét một thời điểm t bất kỳ, lúc thuyền
chưa cập bến.

du
o

dL dL dD
D
dD
Dv





2
2

dt dD dt
D  h dt
D2  h 2

cu

u

Tại thời điểm L = 8 m thì D  L2  h 2  65
Thay D ta có vận tốc thuyền tại thời điểm L = 8 m là

dL

dt

65 1
2

65  12



65 m
s
8

 
Bài 7: Một hạt di chuyển dọc theo đường cong y  2sin  x  . Khi hạt đi qua điểm
2 
1 

 ,1 tọa độ x tăng với tốc độ 10 cm s . Khoảng cách từ hạt tới gốc tọa độ thay đổi
3 
nhanh như thể nào

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
Vector vận tốc của hạt này (vector màu xanh) được
phân tích thành 2 vetor thành phần màu đỏ trên hai
phương Ox và Oy. Vì đề bài nói vận tốc của hồnh độ
đang tăng nên vector vận tốc theo phương Ox (vector
màu đỏ ngắn hơn) phải hướng theo trục Ox. Vì vậy ta
xác định được chiều mà hạt đang chuyển động.

dx
 10 cm s , vận tốc trên phương Ox
dt

.c
om

Ta đã có v x 

co

Vậy ta có vận tốc của hạt so với gốc tọa độ là

ng

Tìm vận tốc trên phương Oy. Ta có
dy

 
   dx
 
y  2sin  x   v y 
 2   cos  x  
   cos  x   v x , đạo hàm hai vế theo
dt
2
2 
 2  dt
2 
biến thời gian t.
2

2




 
  
v  v  v     cos  x   v x   v 2x  v x     cos  x    1
2 
 2 





an

2
y

th

2
x

2

ng

1

  1 
Thay x  , ta có v  10     cos      1  9.166 cm s
3
 2 3 


cu

u

du

o

Bài 8: Một máng nước dài 10 m, mặt cắt ngang có hình dạng của một hình thang cân đáy
dưới rộng a = 30 cm, đáy trên rộng b = 80 cm, và có chiều cao H = 50 cm. Nếu máng
được bơm đầy nước với tốc độ 0.2 m3 min . Mực nước tăng lên nhanh như thế nào khi
nước sâu 30 cm.

Ta có

AK
a
  AK  30 cm (tam giác đồng dạng)
AK  H b

Ta có :

ED AK  h
AK  h
AK  h

 ED  BC 
 b
BC AK  H
AK  H
AK  H
Thể tích của phần nước ở trong máng khi ở một thời
điểm t mà mực nước có độ cao là h (h < H)

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
V

1
1 
AK  h 
  a  ED   h  L    a  b 
h L
2
2 
AK  H 

1 
b  AK 
1
h2
 a 
h L  bL
2 
AK  H 
2
AK  H
Lấy đạo hàm hai vế theo biến độ sâu h


2 

v

co

 2   dh 
1 dt 1   a 

b  AK 
h
L  bL
AK  H 
AK  H

an

Lấy

ng

Ta lại có độ biến thay đổi thể tích theo thời gian
dV
 v  0.2 m3 min  200 000 cm3 min  2 
dt

.c
om

dV 1 
b  AK 
h

 a 
1
L  bL
dh 2 
AK  H 
AK  H

du
o

ng

th

Thay h = 30 cm và các số liệu khác, ta có độ tăng mực nước theo thời gian tại thời điểm t
200000
10 cm

mà mực nước cao h = 30 cm là
min
1 
80  30 
30
3
  30 
 1000  80 1000 
2 
30  50 
30  50
Bài 9: Một hồ chứa nước có hình mặt cắt ngang là hình thang BCED trong hình vẽ, dài

20 m, rộng 6 m, chỗ sâu nhất có độ sâu là 3 m. Nước được bơm vào hồ với lưu lượng
3
v  0.025 m
. Mức nước dâng cao nhanh như thế nào nếu lúc đó mực nước trong
min
hồ là 1.6 m.

u



cu



CuuDuongThanCong.com

/>

3
8
 1, tan  
3
3

an

Ta có tan  

co

ng

.c
om

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016

18
(m)
11

th

Ta lại có AH.  tan   tan    6  AH 

du
o

ng

1
1 18
54
Diện tích tam giác ADE là SADE  AH  DE    6  (m 2 )
2
2 11
11
Diện tích tam giác ABC là

cu

u

1
1
 AH  h   BC   AH  h    AH  h    tan   tan   
2
2
1
2
  AH  h   tan   tan  
2

SABC 

Vậy thể tích của bể chứa theo chiều cao h là

V   SABC  SADE   r


1
54
2
 AH  h   tan   tan    r 
2
11

với r là chiều rộng của bể r = 6 m

Đạo hàm hai vế theo biến h

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
dV
  AH  h  tan   tan    r
dh

(1)

Mà ta lại có tốc độ biến thiên thể tích theo thời gian chính là lưu lượng nước được bơm
vào hồ



3
dV
 v  0.025 m
min
dt

(2)

(2)
dh
v

0.025



(1)
dt  AH  h  tan   tan    r  18
 8 
  h  1   6
 11
 3 

.c
om

Lấy



Thay h = 1.6



ng

Vậy tại thời điểm mà mực nước là h=1.6 m thì độ thay đổi mực nước là



cu

u

du
o

ng

th

an

co

dh
0.025
1


 0.00035 m
min
18
8
dt 
2848


  1.6  1   6
 11
 3 

CuuDuongThanCong.com

/>