Bài tập vi tích phân b1

om

BỘ MƠN GIẢI TÍCH

cu

u

du

on

g

th

an

co

ng

.c

BÀI TẬP GIẢI TÍCH B1

KHOA TỐN TIN HỌC, ĐHKHTN THHCM.

CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 1

A.

.c

om

Dãy số, chuỗi số
Bài tập mở đầu chuỗi số

nD1
1
X

2.

3.

p

g

n2 C 4

1
X
7nC1
10n

6.

nD1

1
X
nD1

1
n.n C 2/

2n
.
3n C 1

du

7. Đặt an D

a) Dãy fan g hội tụ hay không.
1
X
b) Chuỗi
an hội tụ hay khơng.

u
cu
8.

nD1

a) Giải thích sự khác biệt giữa

n
X

ai

và

iD1

b) Giải thích sự khác biệt giữa

n
X
iD1

n
X

aj .

j D1

ai

và

n
X

aj

iD1

II Xác định chuỗi hình học hội tụ hay phân kỳ. Nếu hội tụ thì tính tổng.

CuuDuongThanCong.com

p

nD1

on

4.

1 Â
X
1
5.
p
n

n

nD1

cos n

nD1

1
X

an

1.

12
. 5/n

th

1
X

co

ng

I Tìm ít nhất 10 tổng riêng phần của chuỗi. Vẽ đồ thị của dãy các số hạng và dãy các
tổng riêng trên cùng hệ trục tọa độ. Chuỗi có vẻ hội tụ hay phân kỳ? Nếu hội tụ thì
tìm tổng của chuỗi. Nếu nó phân kỳ thì giải thích tại sao.

/>
1
nC1

Ã


A. Bài tập mở đầu chuỗi số
4C

11. 10

2 C 0:4

64
C
9
27
C
16

15.

13.

6.0:9/n

16.

0:08 C

17.

1

1
X

1
p
. 2/n
nD0
1
X

n

3nC1

18.

1

1
X
en
3n 1

nD1

.c

nD1

10n
. 9/n

1
X

nD0

nD1

14.

1

nD1

12. 2 C 0:5 C 0:125 C 0:03125 C
1
X

1
X
. 3/n
4n

om

16
3

9
10. 4 C 3 C C
4
9. 3

3

1 1 1
1
1
19. C C C
C
C
3 6 9 12 15

1
X

n2 C 1
ln
2n2 C 1

co

27.

ng

III Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ. Nếu hội tụ, tính tổng chuỗi.

nD1

th

1
X
n 1
21.
3n 1

on

du

kD1

g

nD1

1
X
k.k C 2/
22.
.k C 3/2

u

1
X

1 C 2n
23.
3n

29.

1
X

30.

1

nD1 1 C
1
X

1
X

2
3

Án

Ák

kD0

3

.cos 1/k

kD0

31.

cu

nD1

28.

an

1 2
1
2
1
2
20. C C C C
C
C
3 9 27 81 243 729

!

1
X

arctan n

nD1

1
X
1 C 3n
24.
2n

32.

nD1

Ã
1 Â
X
3
2
C
5n
n

nD1

25.

1
X

p
n

Ã
1 Â
X
1
1
33.
C
en
n.n C 1/

2

nD1

26.

1
X

nD1

n 1

Œ.0:8/

nD1

CuuDuongThanCong.com

n

.0:3/ 

1
X
en
34.
n2
nD1

/>

4

Chương 1. Dãy số, chuỗi số
IV Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ bằng cách triệt tiêu từng cặp số hạng của tổng
riêng phần sn để rút gọn. Nếu chuỗi hội tụ thì tính tổng của chuỗi.

nD2
1
X

36.

n2
ln

nD1
1
X

37.

nD1

38.

1

1 Â
X
nD1

n
nC1

39.

1
X

1
cos 2
n

1
cos

.n C 1/2

e 1=n

e 1=.nC1/

Á

nD1

3
n.n C 3/

40.

1
X

1
n3

nD2

n

.c

35.

2

om

1
X

41. Cho x D 0:999999::::

ng

a) x < 1 hay x D 1?

co

b) Dùng tổng của chuỗi hình học để tìm x.

c) Có bao nhiêu biểu diễn thập phân đại diện cho số 1?

an

d) Những số nào có hơn một biểu diễn thập phân?

1
X

n/an

1

an .

on

Tính

a1 D 1; an D .5

g

th

42. Cho dãy được định nghĩa bởi

du

nD1

B.

Bài tập tiêu chuẩn tích phân, ước lượng tổng chuỗi

cu

u

I Dùng Tiêu chuẩn Tích phân để xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ.

1.

1

X
1
p
5
n

3.

1
X
1
n5

4.

nD1

2.

nD1

1
X
nD1
1
X
nD1

1
.2n C 1/3

p

1
nC4

5.

nD1

6.

II Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ.

CuuDuongThanCong.com

1
X

/>
1
X
nD1

n2

n
C1

n2 e

n3

Ã


B. Bài tập tiêu chuẩn tích phân, ước lượng tổng chuỗi
1
X
1

p

nD1

8.

1
X

n
n

17.

2

nD1

0:9999

:

18.

nD3

1 1 1 1
11. 1 C C C C C
3 5 7 9
1
1
1
1 1
C C C
12. C C
5 8 11 14 17
1 p
X
nC4
13.
n2

16.

1
:
n.ln n/2

.c

ng

co

1
X
n2
:
22.
en

an

nD3

1
:
n2 C 4

23.

1
X
nD1

24.

n2

1

:
C n3

n4

n
:
C1

1
X
nD1

du

nD3

1
X

nD1

n2
:
n3 C 1

1
X
3n 4
:

n2 2n

1
:
n ln n

1
X
e 1=n
21.
:
n2

th

nD1

1
X
nD2

g

15.

1
X

1
:

n2 C 6n C 13

nD2

on

nD1

19.

20.

nD1

14.

1
X
nD1

1
1
1
1
9. 1 C C
C
C
C
8 27 64 125
1

1
1
1
10. 1C p C p C p C p C
2 2 3 3 4 4 5 5

1
X

1
X
ln n
:
n3

om

7.

5

cu

u

III Giải thích tại sao Tiêu chuẩn Tích phân khơng thể áp dụng để xác định chuỗi hội tụ
hay không.
1
X
cos . n/

25.
.
p
n
nD1

1
X
cos2 n
:
26.
n2 C 1
nD1

IV Tìm giá trị p để chuỗi hội tụ.
27.

1
X
nD2

28.

1
X
nD3

1
:
n.ln n/p

29.

1
:
n ln nŒln .ln n/p

30.

CuuDuongThanCong.com

1
X

n.1 C n2 /p :

nD1
1
X
ln n
:
np

nD1

/>

6

Chương 1. Dãy số, chuỗi số

C.

Bài tập tiêu chuẩn Leibnitz (chuỗi đan dấu)
I Kiểm tra sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi.
2 2
C
5 7
2 4
C
5 6

2.

1
3. p
2

2
2
C
9 11
6 8
C
7 8

1
1
p Cp
3

4

11.

12.

1
1
p Cp
5
6

13.

nD1

nD1
1
X

nC1

co
an

n

du

cu

10.

. 1/ e

n

p
n
. 1/
2n C 3

1
X

u

9.

n3 C 2

on

8.

n

nD1

. 1/

1 2=n

. 1/n

1

e

1
X

arctan n

1
X
sin .n C 21 /
p
1C n

n2
n3 C 4

nD0

1
X
n cos n
15.
2n

nD1

16.

1
X
nD1

th

. 1/ p

nD1
1
X

n

g

7.

3n 1
. 1/n
2n C 1
n

. 1/n

.c

ng

14.

nD1

1
X

1
X

nD1

1
X
. 1/n 1
5.
ln .n C 4/

nD1

n

nD1

nD1

6.

. 1/nC1 ne

nD1

10
C
9

1
X
. 1/n 1
4.
2n C 1

1
X

1
X

om

2
3

1.

17.

1
X
nD1

18.

1
X

. 1/n sin. /
n
. 1/n cos. /
n
. 1/n

nD1

19.

1
X

nn
n!

p
. 1/n . n C 1

p

n/

nD1

II Chứng minh rằng chuỗi hội tụ. Ta cần cộng bao nhiêu số hạng của chuỗi để tìm tổng
với sai số tương ứng.
1
X
ˇ
. 1/nC1 ˇˇ
ˇ < 0:00005
20.
,
sai
số
n6
nD1

1
X
ˇ
. 1/n ˇˇ
ˇ < 0:0001
21.
,
sai
số
n5n
nD1

CuuDuongThanCong.com

1
X
ˇ
. 1/n ˇˇ
ˇ < 0:000005
22.
,
sai
số
10n n!
nD0

23.

1
X

. 1/n

1

ne

nD1

/>
n

ˇ
ˇ
, ˇsai sốˇ < 0:01


D. Bài tập tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối, Cauchy, D’ Alembert

7

III Xấp xỉ tổng của chuỗi đúng đến 4 chữ số thập phân.
1
X
. 1/n
24.
.2n/!

1
X
. 1/n 1 n2
26.
10n

1
X
. 1/nC1
25.
n6

1
X

. 1/n
27.
3n n!

nD1

nD1

nD1

Bài tập tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối, Cauchy, D’ Alembert

om

D.

nD1

1
X
. 1/n e 1=n
10.
n3

11.

1
X

. 1/

n
2
n C4

13.

 Ãk
2
k
3

7.

8.

nD1

1
X
nD1

1
X
n!
100n

16.

nD1

1
X

1
X

. 1/n

1
X

.1:1/n
n4

n

n

. 1/ p
n3 C 2
nD1

26. 1

1:3 1:3:5
C
3!
5!

CuuDuongThanCong.com

21.

n10
. 10/nC1

17.

nD1

22.

3 cos n
n2=3 2

23.

n2 C 1
2n2 C 1

24.

Ã5n

1
1C
n

Ãn2

1
X
.2n/!
.n!/2

1
X
n100 100n
n!

nD1

2
1
X
2n
25.
n!

nD1

nD1

:.2n
.2n 1/!

1 1:3:5:7:

1/

!n

2n
nC1

nD1

n!
nn

C . 1/n

1 Â
X
nD1

1
X
cos n =3
18.
n!

1:3:5:7
C
7!

1 Â
X
nD2

1
X
. 1/n
ln n

nD1

nD1

9.

1
X

nD1

cu
kD1

20.

1
X
nD1

1
X
. 1/n arctan n
14.

n2

15.

u

1
X

. 3/n
.2n C 1/!

du

1
X
nD0

6.

nD1

1
X
. 1/n
5n C 1

nD0

5.

12.

nD1

10n
.n C 1/42nC1

th

n 1

1
X
. 2/n
19.
nn

an

nD1

1
X

nD1

4.

1

X
sin 4n
4n

nD1

g

3.

1
X
n
n5

on

2.

nD1

co

nD1

ng

1
X
. 2/n

1.
n2

.c

1-27. Cho biết chuỗi hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện, hay phân kỳ?

C

/>

8

Chương 1. Dãy số, chuỗi số
2 2:6 2:6:10 2:6:10:14
C
C
C
C
5
5:8
5:8:11
5:8:11:14

27.

28-57. Kiểm tra sự hội tụ và phân kỳ của các chuỗi sau
1
n C 3n

39.

nD1

. 1/n

nD1
1
X

31.

nD1

1
X
sin 2n
41.
1 C 2n
nD1

nD1

kD1

u

1
X

cu

36.

37.

2k k!
.k C 2/!

du

1
X

2

k e

k

n e

n3

nD1

E.

kk

53.
.2n
.3n

nD1

1
X
. 1/n 1
45.
p
n 1
nD2

46.

1
X

1
2C sin k
tan.1=n/

nD1
1
X

n sin.1=n/

1

X
n!
2

en

1
X
n2 C 1
5n

nD1

1
X
1 3 5
44.
2 5 8

1
X

1
X

nD1

nD1

n ln n

. 1/ p

nD1
2

51.

52.

1
X
n2 C 1
43.
n3 C 1

kD1
1
X

1 3kC1

an

on

1
34.
p
n ln n

nD1

g

1
X

th

1
2n C 1

nD1

35.

kD1

1
X

nD1

co

42.

1
X
2k

. 1/n cos.1=n2 /

kD1

50.

nD1

n
. 1/ 2
n C2

49.

k k2 C 1

1
X
3n n2
40.
n!

n
nC2

1
X
n2 2n 1
32.

. 5/n

33.

1
p

kD1

n

1
X

1
X

1
X
nD1

om

1
X

30.

48.

nD1

1
X
.2n C 1/n
n2n

29.

Ã
1 Â
X
1
1
C
3n
n3

.c

nD1

38.

ng

1
X

28.

n

1/
1/

54.

kD1

.k C 1/3

1
X
e 1=n
55.
n2
nD1

1
X
. 1/n
56.
cosh n
nD1

p
3

k 1

47.
p
k. k C 1/
kD1

1
X
k ln k

57.

1
X

p

j

. 1/

j D1

j
j C5

Bài tập chuỗi luỹ thừa

1-26. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi
1.

1
X
nD1

CuuDuongThanCong.com

. 1/n nx n

2.

1
X
. 1/n x n
p
3
n

3.

nD1

/>
1
X
nD1

xn
2n 1

E. Bài tập chuỗi luỹ thừa
1
X
. 1/n x n
n2

12.

nD1

n!
nn x n

14.

7.

. 1/n

21.

22.

nD1

nD1

1
X
. 3/n n

9.
p x
n n

17.

nD1

1
X
.x
nD1

nn

1
X
.2x 1/n
18.
p
5nn

an

1
X
xn
10.
n3n

2/n

23.

19.

1
X
n
.x
bn

nD1

a/n , với

n2 x n
2 4 6 .2n/

1
X
.5x

24.

1
X
nD1

25.

1
X
nD1

26.

1
X
nD1

x 2n
n.ln n/2
xn
1 3 5 .2n

1/

n!x n
1 3 5 .2n

1/

du
u
cu
CuuDuongThanCong.com

4/n

n3

on

nD2

th

xn
4n ln n

. 1/n

1/n

n!.2x

nD1

nD1

g

nD1

1
X
nD1

nD1

1
X
n
.x C 1/n
16.
4n

1
X

a/n , với

nD1

1
X
3n .x C 4/n
15.
p
n

n2 x n
. 1/n n
2

1
X
10n x n
8.

n3

1
X

.x
2n C 1

3/n

nD0

nD1

11.

1
X

.x
n2 C 1

2/n

nD0

nD1
1
X

1
X

1
X
bn
.x
ln n
nD2
b>0

om

1
X

13.

20.

.c

nD0

6.

nD0

xn

b>0

x 2nC1
.2n C 1/!

. 1/n

ng

5.

1
X

1
X

co

4.

9

/>

Chương 2

1. Cho đồ thị hàm số f như hình dưới.

.c

om

Hàm số liên tục

ng

a) Tìm các điểm gián đoạn của f và giải thích.

du

on

g

th

an

co

b) Từ các điểm tìm được trên câu .a/, xác định tại điểm nào mà hàm số liên tục
bên trái hoặc bên phải hoặc không liên tục cả hai bên.

cu

u

2. Từ đồ thị hàm số g cho bên dưới, tìm các khoảng mà hàm số g liên tục.

3. Vẽ đồ thị minh hoạ hàm số f liên tục thoả mãn từng khẳng định gián đoạn sau
a) Gián đoạn nhưng liên tục bên phải tại 2.
b) Gián đoạn tại 1 và 4 nhưng liên tục bên trái tại 1 và liên tục bên phải tại 4.

CuuDuongThanCong.com

/>

11
4. Giải thích vì sao mỗi hàm số sau liên tục hay không liên tục
a) Nhiệt độ của một vùng cụ thể là một hàm số theo thời gian.
b) Nhiệt độ tại một thời điểm cụ thể như là một hàm số theo khoảng cách lấy gốc
là Hà Nội dọc theo tia hướng vào Tp. Hồ Chí Minh.
c) Độ cao so với mực nước biển như là một hàm số theo khoảng cách dọc Bắc Nam
tính từ Hà Nội.
d) Giá cước của taxi như là một hàm số theo khoảng cách đi được.
e) Dòng điện trong mạch qua đèn điện như là một hàm số theo thời gian.

om

5. Giả sử f và g là các hàm số liên tục sao cho g.2/ D 6 và lim Œ3f .x/ C f .x/g.x/ D
x!2

.c

36. Tính f .2/.

b) f .x/ D .x C 2x 3 /4 ;
2t
;

1 C t3

aD

a D 1:

1:

an

c) h.t/ D

3t 2

co

ng

6. Sử dụng định nghĩa liên tục và các tính chất của giới hạn để chỉ ra hàm số sau liên tục
tại điểm a cho trước.
p
3
a) f .x/ D 3x 4 5x C x 2 C 4; a D 2:

th

7. Sử dụng định nghĩa liên tục và các tính chất của giới hạn để chỉ ra hàm số sau liên tục
trên khoảng cho trước.

g

p
b) g.x/ D 2 3

.2; 1/:

on

2x C 3
a) f .x/ D
;
x 2

x;

. 1; 3:

du

8. Giải thích vì sao các hàm số sau gián đoạn tại điểm a cho trước. Vẽ đồ thị mỗi hàm
số.
1
; a D 2:
xC2
8
1
<
nếu x Ô
b) f .x/ D
xC2

: 1
nu x D

cu

u

a) f .x/ D

c) f .x/ D

1 x2
1=x

2

nếu x < 1
nếu x 1:

8
< x2 x
nu x Ô 1
d) f .x/ D
2
1
: x
1
nu x D 1:
8
nếu x < 0

< cos x
0
nếu x D 0
e) f .x/ D
:
1 x 2 nếu x > 0:

CuuDuongThanCong.com

aD

2:

2:
a D 1:

a D 1:

a D 0:

/>

12

Chương 2. Hàm số liên tục
f) f .x/ D

8
< 2x 2
6

:

5x
x 3

3

nu x Ô 3

a D 3:

nu x D 3:

9. Hãy định nghĩa f .2/ sao cho mỗi hàm số có gián đoạn khử được trở thành liên tục tại
2.
a) f .x/ D

x2

x
x

2

b) f .x/ D

2

x3

x2

8
4

an

co

ng

.c

om

10. Sử dụng định lý 4; 5; 7 và 9 giải thích vì sao các hàm số sau liên tục trên miền xác
định. Tìm miền xác định.
p
3
tan x
x 2
a) F.x/
D
p
4 x2
2x 2 x 1
x3 2
sin x
g) M.x/
D

x2 C 1
r
d) h.x/ D
1
xC1
b) G.x/
D
1C
e) h.x/ D cos.1
x2 C 1
x
x2/
h) F.x/
D
2x 2 x 1
c) Q.x/
D
f) B.x/
D
sin.cos.sin x//
11. Xác định các điểm gián đoạn của các hàm số sau và vẽ đồ thị.

on

g

th

1
1 C sin x

p
b) y D tan x
a) y D

x!

c)

lim x cos2 x

x! =4

d) lim .x 3
x!2

cu

u

du

12. Dùng sự liên tục để tính các giới hạn sau.
p
5C x
a) lim p
x!4
5Cx
b) lim sin.x C sin x/

13. Chứng minh rằng f liên tục trên . 1; 1/, với f định bởi

f .x/ D

CuuDuongThanCong.com

2
x
p
x

nếu x < 1
nếu x 1:

/>
3x C 1/

3


Chương 3

.c

om

Đạo hàm

Bài tập về định nghĩa đạo hàm

co

A.

ng

Chú ý: Phần bài tập A yêu cầu tính độ dốc, đạo hàm bằng định nghĩa.

th

an

1. Tìm phương trình của đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm có tọa độ cho trước.
p
c) y D x, .1; 1/
a) y D 4x 3x 2 , .2; 4/
2x C 1
d) y D
, .1; 1/.
b) y D x 3 3x C 1, .2; 3/
xC2

g

a) Tìm độ dốc (hệ số góc) của tiếp tuyến với đường cong y D 3 C 4x 2
điểm x D a.

2x 3 tại

on

2.

du

b) Tìm phương trình tiếp tuyến tại các điểm .1; 5/ và .2; 3/.
c) Vẽ đồ thị của đường cong và cả hai tiếp tuyến trên một màn hình chung.

u

1
a) Tìm độ dốc hệ số góc của tiếp tuyến tới đường cong y D p tại điểm x D a.
x
1
b) Tìm phương trình của tiếp tuyến tại các điểm .1; 1/ và .4; /.
2
c) Vẽ đồ thị của đường cong và cả hai tiếp tuyến trên một màn hình chung.

cu

3.

4. Đồ thị bên dưới biểu diễn hàm vị trí của hai vận động viên A và B trên đường đua cự
ly 100m.

CuuDuongThanCong.com

/>

14

Chương 3. Đạo hàm

a) Mô tả và so sánh tốc độ chạy của hai vận động viên.
b) Dựa vào đồ thị, ước đoán tại thời điểm nào khoảng cách giữa các vận động viên
là lớn nhất?
c) Ước đoán xem tại thời điểm nào họ có cùng vận tốc?
5. Nếu một quả bóng được ném thẳng đứng lên khơng trung với vận tốc 40f t=s, độ cao
của nó (đơn vị feet) sau thời gian t giây là được cho bởi y D 40t 16t 2 . Tìm vận tốc
khi t D 2.

Tìm vận tốc của hịn đá sau một giây.
Tìm vận tốc của hòn đá khi t D a.
Trong bao lâu hòn đá sẽ quay lại chạm mặt đất?
Vận tốc của hòn đá là bao nhiêu khi hòn đá chạm mặt đất?

.c

a)
b)
c)
d)

om

6. Nếu một hòn đá được ném thẳng đứng lên cao ở hành tinh sao Hoả với vận tốc 10m=s,
chiều cao của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi H D 10t 1:86t 2 .

3 và

co

ng

7. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị y D g.x/ tại x D 5 nếu g.5/ D
g 0 .5/ D 4.

an

8. Nếu một phương trình tiếp tuyến tới đường cong y D f .x/ tại điểm a D 2 là
y D 4x 5, tìm f .2/ và f 0 .2/.
9. Nếu đường tiếp tuyến của y D f .x/ tại .4; 3/ đi qua điểm .0; 2/, tìm f .4/ và f 0 .4/.

th

10. Vẽ đồ thị của một hàm f mà f .0/ D 0, f 0 .0/ D 3, f 0 .1/ D 0, f 0 .2/ D

1.

on

g

11. Vẽ đồ thị của một hàm g mà g.0/ D g.2/ D g.4/ D 0, g 0 .1/ D g 0 .3/ D 0,
g 0 .0/ D g 0 .4/ D 1, g 0 .2/ D 1, lim g.x/ D 1 và lim g.x/ D 1.
x!5

x! 1C

du

12. Nếu f .x/ D 3x 2 x 3 , tìm f 0 .1/ và dùng nó để tìm phương trình tiếp tuyến của
đường cong y D 3x 2 x 3 tại điểm .1; 2/.

cu

u

13. Nếu g.x/ D x 4 2, tìm g 0 .1/ và dùng nó để tìm phương trình tiếp tuyến của đường
cong y D x 4 2 tại điểm .1; 1/.
14.

15.

5x
, tìm F 0 .2/ và dùng nó để tìm phương trình tiếp tuyến của
1 C x2
5x
đường cong y D
tại điểm .2; 2/.
1 C x2
b) Minh hoạ phần (a) bằng cách vẽ đồ thị đường cong và tiếp tuyến trên cùng một
màn hình.
a) Nếu F.x/ D

a) Nếu G.x/ D 4x 2 x 3 , tìm G 0 .a/ và dùng nó để tìm phương trình tiếp tuyến
của đường cong y D 4x 2 x 3 tại điểm .2; 8/ và .3; 9/.
b) Minh hoạ phần (a) bằng cách vẽ đồ thị đường cong và tiếp tuyến trên cùng một
màn hình.

16. Tìm f 0 .a/ vớif định bởi

CuuDuongThanCong.com

/>

B. Bài tập định lý Rolle, Lagrange
a) f .x/ D 3x 2

15

4x C 1

c) f .t/ D

b) f .t/ D 2t 3 C t

2t C 1
t C3

d) f .x/ D x

2

17. Lượng dưỡng khí có thể hồ tan trong nước phụ thuộc vào nhiệt độ của nước (vì vậy
ơ nhiễm nhiệt ảnh hưởng hàm lượng oxy trong nước). Đồ thị sau cho thấy độ hồ tan
S của dưỡng khí thay đổi như một hàm theo nhiệt độ T của nước.
a) Ý nghĩa của đạo hàm S 0 .T / là gì? Đơn vị của nó là gì?

an

co

ng

.c

om

b) Ước tính giá trị S 0 .16/ và giải thích nó.

th

Adapted from Environmental Science: Living Within the System of Nature, 2d ed.; by Charles E. Kupchella,
c 1989. Reprinted by permission of Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ.

on

g

18. Đồ thị sau cho thấy sự ảnh hưởng của nhiệt độ T đối với tốc độ bơi tối đa ổn định S
của cá hồi Soho.

du

a) Ý nghĩa của đạo hàm S 0 .T / là gì? Đơn vị của nó là gì?

cu

u

b) Ước tính giá trị S 0 .15/ và S 0 .25/, và giải thích chúng.

B.

Bài tập định lý Rolle, Lagrange

1 - 4 Hãy kiểm tra rằng hàm số thoả mãn ba giả thiết của Định lý Rolle trên khoảng cho
trước. Sau đó tìm tất cả các số c thoả mãn kết luận của Định lý Rolle.

CuuDuongThanCong.com

/>

16

Chương 3. Đạo hàm
12x C 3x 2 ; Œ1; 3

1. f .x/ D 5
2. f .x/ D x 3
p

x2

6x C 2; Œ0; 3

1
x; Œ0; 9
3
4. f .x/ D cos 2x; Œ =8; 7 =8

3. f .x/ D

x

5. Cho f .x/ D 1 x 2=3 . Chứng tỏ rằng f . 1/ D f .1/ nhưng không tồn tại số c trong
khoảng . 1; 1/ sao cho f 0 .c/ D 0. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý
Rolle?

.c

om

6. Cho f .x/ D tan x. Chứng tỏ rằng f .0/ D f . / nhưng không tồn tại số c trong
khoảng .0; / sao cho f 0 .c/ D 0. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý
Rolle?

co

ng

7 - 8. Hãy kiểm tra rằng hàm số thoả mãn ba giả thiết của Định lý giá trị trung bình
trên khoảng cho trước. Sau đó tìm tất cả các số c thoả mãn kết luận của Định lý giá
trị trung bình.
p
8. f .x/ D 1=x; Œ1; 3
7. f .x/ D 3 x; Œ0; 1

g

th

an

9 - 10. Tìm số c thoả mãn Định lý giá trị trung bình trên khoảng cho trước. Vẽ đồ
thị của hàm số, đường cát tuyến đi qua hai điểm đầu mút và đường tiếp tuyến tại
.c; f .c//. Đường cát tuyến và đường tiếp tuyến có song song nhau khơng?
p
9. f .x/ D x; Œ0; 4
10. f .x/ D x 3 2x; Œ 2; 2

du

on

11. Cho f .x/ D .x 3/ 2 . Chứng tỏ rằng không tồn tại c trong khoảng .1; 4/ sao cho
f .4/ f .1/ D f 0 .c/.4 1/. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý giá trị
trung bình?

cu

u

12. Cho f .x/ D 2 j2x 1j. Chứng tỏ rằng không tồn tại c sao cho f .3/ f .0/ D
f 0 .c/.3 0/. Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định lý giá trị trung bình?
13 - 14. Chứng tỏ rằng phương trình sau có duy nhất một nghiệm thực.

13. 2x C cos x D 0

15. Chứng tỏ rằng phương trình x 3
Œ 2; 2.

14. 2x

1

sin x D 0

15x C c D 0 có nhiều nhất một nghiệm trong đoạn

16. Chứng tỏ rằng phương trình x 4 C 4x C c D 0 có nhiều nhất hai nghiệm.
17.

C.

a) Chứng tỏ rằng một đa thức bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm thực.
b) Chứng tỏ rằng một đa thức bậc n có nhiều nhất n nghiệm thực.

Bài tập vi phân, hàm hợp và hàm ẩn
1. Tính vi phân.

CuuDuongThanCong.com

/>

C. Bài tập vi phân, hàm hợp và hàm ẩn

17

a) f .x/ D 3x 2 2 cos x
p
b) f .x/ D x sin x

1
c) f .x/ D sin x C cot x
2
d) y D 2 sec x csc x

j) y D sin  cos Â
sec Â
k) f . / D
1 C sec Â
cos x
l) y D
1 sin x
t sin t
m) y D
1Ct
1 sec x
n) y D
tan x
o) h. / D  csc  cot Â

e) y D sec  tan Â
f) g.t/ D 4 sec t C tan t
g) y D c cos t C t 2 sin t

om

h) y D u.a cos u C b cot u/
x
i) y D
2 tan x

p) y D x 2 sin x tan x

g

1
.1 C sec x/2
z2

1
C1

19. y D sin.x cos x/
x
20. f .x/ D p
7 3x
r
z 1
21. F.z/ D
zC1

u

7. f .z/ D

2x

du

6. f .x/ D

x 2 /100

p
3

cu

8. f .t/ D

1 C tan t

9. y D cos.a3 C x 3 /
10. y D a3 C cos3 x

22. G.y/ D

11. y D x sec kx
12. y D 3 cot nÂ
13. f .x/ D .2x

23. y D p

4

2

5

3/ .x C x C 1/

14. g.x/ D .x 2 C 1/3 .x 2 C 2/6
15. h.t/ D .t C 1/2=3 .2t 2

CuuDuongThanCong.com

1/4 .2t C 1/
!3
x2 C 1
17. y D
x2 1
s
s2 C 1
18. f .s/ D
s2 C 4
16. F.t/ D .3t

on

4. F.x/ D .4x
p
5. F.x/ D 1

2/5

th

3. F.x/ D .x 4 C 3x 2

an

Tìm đạo hàm của những hàm sau:

co

ng

.c

2. Viết những hàm sau theo dạng f .g.x// (Xác định hàm bên trong u D g.x/ và hàm
nên ngoài y D f .u/). Sau đó tìm đạo hàm dy=dx.
p
p
3
a) y D 1 C 4x
c) y D tan x
e) y D sin x
p
b) y D .2x 3 C 5/4
d) y D sin.cot x/
f) y D sin x

1/3

.y 1/4
.y 2 C 2y/5
r

r2 C 1
cos x

24. y D
sin x C cos x
p
25. y D sin 1 C x 2

/>
3


18

Chương 3. Đạo hàm
Â

26. F.v/ D

v
3
v C1

Ã6

27. y D sin.tan 2x//

29. y D sec2 x C tan2 x
1
x

3x/5 3

Ã4

39. g.x/ D .2r sin r x C n/p

om

1 cos 2x
31. y D
1 C cos 2x
r
t
32. f .t/ D
2
t C4

35. y D Œx 2 C .1

2

40. y D cos4 .sin3 x/
p
41. y D cos sin.tan x/

.c

Â

x2 C b2/

36. y D sin.sin.sin x//

q
p
37. y D x C x
r
q
p
38. y D x C x C x

28. y D sec2 .m /

30. y D x sin

p

34. y D .ax C

33. y D cot2 .sin  /

ng

42. y D Œx C .x C sin2 x/3 4

43. x 3 C y 3 D 1
p
p
44. 2 x C y D 3

th

xy 3 D 2

on

46. 2x 3 C x 2 y

y2 D 4

g

45. x 2 C xy

an

co

Tìm cơng thức chính xác của dy=dx (dùng cơng thức hàm ẩn) biết :

47. x 4 .x C y/ D y 2 .3x

y/

51. 4 cos x sin y D 1
Á
Á
52. y sin x 2 D x sin y 2
53. tan .x=y/ D x C y
p
54. x C y D 1 C x 2 y 2
p
55. xy D 1 C x 2 y

56. x sin x C y sin y D 1

49. y cos x D x 2 C y 2

57. y cos x D 1 C sin .xy/

50. cos .xy/ D 1 C sin y

58. tan .x

cu

u

du

48. y 5 C x 2 y 3 D 1 C x 4 y

y/ D

y
1 C x2

59. Dùng vi phân ẩn để tìm cơng thức của đường tiếp tuyến của đường cong tại điểm cho
trước.
a) y sin 2x D cos 2y; . =2; =4/
b) sin.x C y/ D 2x

2y; . ; /

c) x 2 C xy C y 2 D 3; .1; 1/
(ellip)
60.

d) x 2 C 2xy y 2 C x D 2; .1; 2/
(hyperbola)
Á2 Â 1 Ã
e) x 2 Cy 2 D 2x 2 C 2y 2 x ; 0;
2
(cardioid)

a) Đường cong với phương trình y 2 D 5x 4 x 2 được gọi là kampyle of Eudoxus.
Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong này tại điểm .1; 2/.

CuuDuongThanCong.com

/>

D. Bài tập ứng dụng đạo hàm

19

b) Vẽ đồ thị của đường cong và tiếp tuyến của nó.
61.

a) Đường cong với phương trình y 2 D x 3 C3x 2 được gọi là Tschirnhausen cubic.
Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong này tại điểm .1; 2/.
b) Tìm điểm trên đường cong có tiếp tuyến nằm ngang.
c) Vẽ đồ thị đường cong và tiếp tuyến của nó.

62. Tìm cơng thức chính xác của y 00
a) 9x 2 C y 2 D 9

p
p
xC yD1

om

D.

b)

Bài tập ứng dụng đạo hàm

.c

1. Mỗi cạnh của một hình vng tăng với một tỷ lệ 6 cm=s. Tỷ lệ diện tích của hình
vng tăng lên bao nhiêu khi diện tích hình vng là 16 cm2 ?

co

ng

2. Chiều dài của một hình chữ nhật tăng với một tỷ lệ 8 cm=s và chiều rộng của nó tăng
với một tỷ lệ 3 cm=s. Khi chiều dài là 20 cm và chiều rộng là 10 cm, diện tích của
hình chữ nhật tăng lên nhanh như thế nào?

an

3. Một thùng hình trụ với bán kính 5 m đang được đổ đầy nước với tốc độ 3 m3 /phút.
Chiều cao của nước tăng nhanh như thế nào?

on

g

th

4. Bán kính của một hình cầu tăng với một tỷ lệ 4 mm=s. Thể tích tăng nhanh như thế
nào khi đường kính là 80 mm?
p
5. Giả sử y D 2x C 1, ở đó x và y là những hàm số của t.
a) Nếu dx=dt D 3, tìm dy=dt khi x D 4.

du

b) Nếu dy=dt D 5, tìm dx=dt khi x D 12.

u

6. Giả sử 4x 2 C 9y 2 D 36, ở đó x và y là những hàm số của t.

cu

1
2p
a) Nếu dy=dt D , tìm dx=dt khi x D 2 và y D
5
3

3
2p
b) Nếu dx=dt D 3, tìm dy=dt khi x D 2 và y D
5.
3

7. Nếu x 2 Cy 2 Cz 2 D 9, dx=dt D 5 và dy=dt D 4, tìm dz=dt khi .x; y; z/ D .2; 2; 1/.
8. Một hạt đang chuyển động dọc theo một hyperbol xy D 8. Khi nó đến điểm .4; 2/,
toạ độ y giảm với tốc độ 3 cm=s. Toạ độ x của điểm thay đổi nhanh như thế nào tại
thời điểm đó?
9-12

a) Chỉ ra những đại lượng được nêu trong bài tốn.
b) Ẩn số là gì?
c) Vẽ một hình minh họa cho tình huống tại mỗi thời điểm t.

CuuDuongThanCong.com

/>

20

Chương 3. Đạo hàm
d) Viết phương trình liên quan tới các đại lượng.
e) Kết thúc giải quyết vấn đề.
9. Một chiếc máy bay bay theo chiều ngang ở độ cao 1 dặm, tốc độ 500 dặm/giờ, bay
thẳng qua phía trên một trạm radar. Tìm tốc độ tăng cự ly giữa máy bay và trạm khi
máy bay cách trạm 2 dặm.

10. Nếu một quả cầu tuyết tan chảy sao cho diện tích bề mặt của nó giảm với tốc độ

1 cm2 = phút, tìm tốc độ giảm của đường kính khi đường kính là 10 cm.

om

11. Một đèn đường được đặt ở trên cùng của cây cột điện cao 15-ft. Một người đàn ông
cao 6 ft đi từ cột với tốc độ 5 ft/s theo một hướng thẳng. Bóng của người đàn ông đang
di chuyển nhanh như thế nào khi ông ta cách cột 40 ft?

.c

12. Vào buổi trưa, tàu A cách 150 km về phía tây của tàu B. Tàu A di chuyển về phía đơng
với tốc độ 35 km/h và tàu B di chuyển về phía bắc với tốc độ 25 km/h. Khoảng cách
giữa hai tàu thay đổi nhanh như thế nào vào lúc 4:00 PM?

co

ng

13. Hai chiếc xe bắt đầu di chuyển từ cùng một điểm. Một chiếc đi về phía nam với tốc độ
60 mi/h và chiếc cịn lại di chuyến về phía tây với tốc độ 25 mi/h. Khoảng cách giữa
hai chiếc xe tăng lên ở mức nào hai giờ sau đó?

th

an

14. Một đèn chiếu trên mặt đất chiếu lên một bức tường cách 12 m. Nếu một người đàn
ông cao 2 m đi từ đèn chiếu đến toà nhà với tốc độ 1:6 m/s, chiều dài của cái bóng
trên bức tường giảm nhanh như thế nào khi ơng ta cách 4 m từ tồ nhà?

on

g

15. Một người đàn ơng bắt đầu đi bộ về phía bắc với vận tốc 4 ft/s từ một điểm P . Năm
phút sau, một người phụ nữ bắt đầu đi bộ về phía nam với vận tốc 5 ft/s từ một điểm
500 ft về phía đơng của P . Ở tốc độ nào hai người di chuyển xa nhau 15 phút sau khi
người phụ nữ bắt đầu di chuyển?

du

16. Một sân bóng chày hình vng với chiều dài cạnh 90 ft. Một vận động viên bóng chày
đánh vào bóng và chạy về mức đầu tiên với tốc độ 24 ft/s.

cu

u

a) Khoảng cách của anh ta so với mức hai giảm với tốc độ như thế nào khi anh ta
là ở chính giữa của mức thứ nhất?
b) Khoảng cách của anh ta so với mức thứ ba tăng với tốc độ như thế nào tại cùng
một thời điểm?

CuuDuongThanCong.com

/>

D. Bài tập ứng dụng đạo hàm

21

17. Độ cao của một tam giác đang gia tăng với tốc độ 1 cm/phút trong khi diện tích của
tam giác đang gia tăng với tốc độ 2 cm2 /phút. Cạnh ứng với chiều cao của tam giác
thay đổi với tốc độ nào khi độ cao của tam giác là 10 cm và diện tích là 100 cm2 ?

om

18. Một chiếc thuyền được kéo vào một bến tàu bằng một sợi dây gắn vào mũi thuyền và
đi qua một ròng rọc trên bến tàu, mà nó cao hơn 1 m so với mũi thuyền. Nếu sợi dây
được kéo vào với tốc độ 1 m/s, thuyền tiến gần đến bến tàu nhanh như thế nào khi nó
cách bến tàu 8 m?

ng

.c

19. Vào buổi trưa, tàu A cách 100 km về phía tây của tàu B. Tàu A di chuyển về phía nam
với tốc độ 35 km/h và tàu B di chuyển về phía bắc với tốc độ 25 km/h. Khoảng cách
giữa hai tàu thay đổi nhanh như thế nào vào lúc 4:00 PM?

an

co

1
20. Một hạt di chuyển dọc theo đường cong y D 2 sin. x=2/. Khi hạt đi qua điểm . ; 1/,
3
p
toạ độ x tăng với tốc độ 10 cm/s. Khoảng cách từ hạt tới nguồn thay đổi nhanh như
thế nào ngay lúc này?

on

g

th

21. Nước bị rị rỉ ra khỏi bể hình nón ngược với tốc độ 10:000 cm3 /phút cùng một lúc
nước đang được bơm vào bể với một tốc độ không đổi. Bể có chiều cao 6 m và đường
kính ở phía trên cùng là 4 m. Nếu mực nước đang tăng với tốc độ 20 cm/phút khi
chiều cao của mực nước là 2 m, tìm tốc độ nước được bơm vào bể.

du

22. Một máng dài 10 f t và phần đầu và phần cuối của nó có hình dạng của tam giác cân
cạnh bên 3 f t và có chiều cao 1 f t. Nếu máng được bơm đầy nước với tốc độ 12
f t 3 =phút, mức nước dâng cao nhanh như thế nào khi nước sâu 6 inch?

cu

u

23. Một máng nước dài 10 m, mặt cắt ngang có hình dạng của một hình thang cân đáy
dưới rộng 30 cm, và đáy trên rộng 80 cm, và có chiều cao 50 cm. Nếu máng được bom
đầy nước với tốc độ 0:2 m3 /phút. Mực nước tăng lên nhanh như thế nào khi nước sâu
30 cm?
24. Một hồ bơi rộng 20ft, dài 40 ft, sâu 3 ft ở cuối vùng cạn và 9 ft sâu tại điểm sâu nhất
của nó. Một mặt cắt ngang được thể hiện trong hình. Nếu hồ bơi đang được bơm đầy
với tốc độ 0:8 f t 3 /phút. Mức nước dâng cao nhanh như thế nào (tốc độ dâng) khi
mực nước cách đáy ở chỗ sâu nhất là 5 ft?

CuuDuongThanCong.com

/>

22

Chương 3. Đạo hàm

E.

Bài tập xấp xỉ bằng đa thức Taylor
a) Tìm các đa thức Taylor đến bậc 6 của f .x/ D cos x tại a D 0. Vẽ đồ thị f và
các đa thức này trên cùng đồ thị.

1.

b) Đánh giá f và những đa thức này tại x D =4; =2;

.

c) Bình luận sự hội tụ của các đa thức này về f .
a) Tìm các đa thức Taylor đến bậc 3 của f .x/ D 1=x tại a D 1. Vẽ f và các đa
thức này trên cùng đồ thị.

2.

b) Tính f và những đa thức này tại 0:9; 1:3.

om

c) Bình luận sự hội tụ của các đa thức này về f .

3. f .x/ D 1=x;

aD2

.c

3-10 Tìm đa thức Taylor T3 .x/ cho hàm f tại a. Vẽ f và T3 .x/ trên cùng đồ thị.

4. f .x/ D x C e

x

8. f .x/ D x cos x;

x

sin x;

aD0

ng

a D =2

aD1

9. f .x/ D xe

2x

10. f .x/ D tan

1

;

.x/;

aD0
aD0
aD1

an

6. f .x/ D e

aD0

co

5. f .x/ D cos x;

;

7. f .x/ D ln x;

13-22

du

on

g

th

11-12 Sử dụng CAS để tìm đa thức Taylor Tn tại a, bậc n D 2; 3; 4; 5. Vẽ những đa thức
này và f trên cùng đồ thị.
p
3
11. f .x/ D cot x; a D =4
12. f .x/ D 1 C x 2 ; a D 0

a) Xấp xỉ f bằng đa thức Taylor bậc n tại a.

cu

u

b) Sử dụng Bất đẳng thức Taylor để ước lượng độ chính xác của xấp xỉ f .x/
Tn .x/ khi x nằm trong đoạn cho trước.

c) Kiểm tra kết quả phần .b/ bằng đồ thị của jRn .x/j.
p
13. f .x/ D x; a D 4; n D 2; 4 Ä x Ä 4:2

14. f .x/ D x

2

;

a D 1;

n D 2;

0:9 Ä x Ä 1:1

15. f .x/ D x 2=3 ;

a D 1;

n D 3;

0:8 Ä x Ä 1:2

16. f .x/ D sin x;

a D =6;

17. f .x/ D sec x;

a D 0;

18. f .x/ D ln .1 C 2x/;
2

19. f .x/ D e x ;

CuuDuongThanCong.com

a D 0;

n D 4;
n D 2;

a D 1;
n D 3;

0 Ä x Ä =3
0:2 Ä x Ä 0:2

n D 3;

0:5 Ä x Ä 1:5

0 Ä x Ä 0:1

/>

E. Bài tập xấp xỉ bằng đa thức Taylor
20. f .x/ D x ln x;

a D 1;

21. f .x/ D x sin x;

n D 3;

a D 0;

22. f .x/ D sinh .2x/;

23
0:5 Ä x Ä 1:5

n D 4;

a D 0;

1ÄxÄ1

n D 5;

1ÄxÄ1

23. Sử dụng thông tin từ Bài tập 5 để ước lượng cos 80o chính xác đến 5 chữ số thập phân.
24. Sử dụng thông tin từ Bài tập 16 để ước lượng cos 38o chính xác đến 5 chữ số thập
phân.

om

25. Sử dụng Bất đẳng thức Taylor để xác định số số hạng của chuỗi Maclaurin của e x
dùng để xấp xỉ e 0:1 với độ chính xác khoảng 0:00001:

.c

26. Bao nhiêu số hạng của chuỗi Maclaurin của ln .1 C x/ cần dùng xấp xỉ ln 1:4 với độ
chính xác khoảng 0:001 ?

27. sin x

x

x3
6

28. cos x

1

x2 x4
C
2 24

an

th

x5
x3
C
3
5

du

30. Giả sử ta biết

jsai sốj< 0:005

jsai sốj< 0:05

g

x

jsai sốj<0:01

on

29. arctan x

co

ng

27-29 Dùng Định lý Đánh giá Chuỗi đan dấu hoặc Bất đẳng thức Taylor để ước lượng miền
giá trị của x để các xấp xỉ có độ chính xác tương ứng với giá trị cho trước. Kiểm tra
lại bằng đồ thị.

f .n/ .4/ D

. 1/n n!
3n .n C 1/

cu

u

và chuỗi Taylor của f tại 4 hội tụ về f .x/ với mọi x trong khoảng hội tụ. Chứng
minh rằng đa thức Taylor cấp 5 xấp xỉ f .5/ với sai số bé hơn 0:0002.
31. Một xe hơi di chuyển với tốc độ 20 m/s và gia tốc 2 m/s 2 tại một thời điểm cho trước.
Dùng đa thức Taylor cấp 2 để ước lượng quãng đường xe hơi di chuyển trong giây tiếp
theo. Có hợp lý khi dùng xấp xỉ này để ước lượng khoảng cách di chuyển trong suốt
phút tiếp theo?
32. Điện trở của một dây dẫn tỉ lệ nghịch với tính dẫn và được đo bằng đơn vị ôm-mét
(˝ m). Điện trở của kim loại cho trước phụ thuộc vào nhiệt độ theo phương trình
.t/ D

20 e

˛.t 20/

trong đó t là nhiệt độ tính theo đơn vị o C . Có những bảng liệt kê những giá trị của ˛
(hệ số nhiệt) và 20 (điện trở tại 20o ) cho nhiều kim loại. Trừ trường hợp nhiệt độ rất
thấp, điện trở hầu như biến thiên tuyến tính theo nhiệt độ và vì vậy thơng thường xấp
xỉ cho .t/ bằng đa thức Taylor của nó cấp 1 hoặc cấp 2 tại t D 20.

CuuDuongThanCong.com

/>

24

Chương 3. Đạo hàm
a) Tìm biểu thức cho xấp xỉ tuyến tính và xấp xỉ bậc 2 này.

b) Với đồng, ˛ D 0:0039=o C và 20 D 1:7 10 8 ˝ m. Vẽ đồ thị điện trở của
đồng, xấp xỉ tuyến tính và xấp xỉ bậc 2 trong khoảng 250o C Ä t Ä 1000o C .
c) Với giá trị nào của t thì xấp xỉ tuyến tính sai khác với biểu thức hàm mũ trong
khoảng 1%?

33. Một lưỡng cực điện gồm hai điện tích cùng độ lớn và trái dấu. Nếu điện tích là q và
q và được đặt cách nhau một khoảng d thì điện trường E tại điểm P trong hình là
q
.D C d/2

om

q
D2

.c

ED

ng

Hình 3.1:

co

Bằng cách khai triển biểu thức E như chuỗi lũy thừa của d=D, chứng minh rằng E
tỷ lệ với 1=D 3 khi P xa lưỡng cực.

du

on

g

th

an

34. Nếu sóng nước có bước sóng L di chuyển với vận tốc v ngang qua vùng nước có độ
sâu d như Hình 3.2 thì
gL
2 d
v2 D
tanh
2
L
p
a) Nếu nước sâu, chứng minh v
gL=.2 /:
p
b) Nếu nước cạn, dùng chuỗi Maclaurin cho tanh để chứng minh rằng v
gd :
(Do đó trong nước cạn vận tốc của sóng tiến đến khơng phụ thuộc vào bước
sóng.)

cu

u

c) Sử dụng Định lý ước lượng chuỗi đan dấu để chứng minh rằng nếu L > 10d thì

ước lượng v 2 D gd chính xác đến 0:014gL.

Hình 3.2:
35. Một đĩa tích điện đều có bán kính R và mật độ điện tích mặt như trong hình. Điện
thế V tại điểm P cách một khoảng d dọc theo trục qua tâm và vng góc với đĩa là
p
V D 2 ke . d 2 C R2 d /

CuuDuongThanCong.com

/>

E. Bài tập xấp xỉ bằng đa thức Taylor

25

trong đó ke là hằng số Coulomb. Chứng minh rằng với d lớn
ke R2
d

.c

om

V

ng

Hình 3.3:

co

36. Nếu người quan sát đo sự sai biệt về độ cao khi lên kế hoạch xây dựng đường cao tốc
xuyên sa mạc thì sự hiệu chỉnh phải dựa trên độ cong của trái đất.

th

an

a) Nếu R là bán kính của trái đất và L là chiều dài của đường cao tốc, chứng minh
sự hiệu chỉnh là
C D R sec .L=R/ R

on

g

b) Dùng đa thức Taylor để chỉ ra rằng
C

L2
5L4
C
2R 24R3

cu

u

du

c) So sánh sự hiệu chỉnh được cho bởi phần (a) và (b) cho đường cao tốc dài 100
km. (Lấy bán kính của trái đất là 6370 km.)

Hình 3.4:

CuuDuongThanCong.com

/>