Chuyên đề nguyên hàm luyện thi THPT quốc gia

Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ

NGUYÊN HÀM LUYỆN THI
THPT QUỐC GIA

Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020


Website: tailieumontoan.com

CHỦ ĐỀ 1. NGUYÊN HÀM

KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F ( x )
được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K nếu F ' ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ K .
Định lí:
1) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

G=
( x ) F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K .
2) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì mọi nguyên hàm của f ( x ) trên K đều
có dạng F ( x ) + C , với C là một hằng số.
Do đó F ( x ) + C , C ∈  là họ tất cả các nguyên hàm của f ( x ) trên K . Ký hiệu
2. Tính chất của nguyên hàm
′

Tính chất 1: ∫ f ( x ) dx = f ( x ) và

(

)

) dx
∫ f ' ( x=

) dx
∫ f ( x=

F ( x) + C .

f ( x) + C

Tính chất 2: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k là hằng số khác 0 .

Tính chất 3: ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số hợp ( u = u ( x ) )
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

∫ dx=

∫ du=

x+C

α
=
∫ x dx

1

dx
∫ x=
∫ e dx=
x

1 α+1
x + C ( α ≠ −1)
α +1

u +C

α
=
∫ u du

1

du
∫ u=
∫ e du=

ln x + C
ex + C

u

1 α+1
u + C ( α ≠ −1)
α +1
ln u + C
eu + C

ax
+ C ( a > 0, a ≠ 1)
ln a
− cos x + C
∫ sin xdx =

au
+ C ( a > 0, a ≠ 1)
ln a
− cos u + C
∫ sin udu =

xdx
∫ cos =

=
∫ cos udu

x
∫ a dx =

1

∫ cos

2

1

∫ sin

sin x + C

u
∫ a du =

1

∫ cos

=
dx tan x + C
x

2

sin u + C

=
du tan u + C
u

1

∫ sin

du =
− cot u + C
2
u
x
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu ∫ f ( u=
) du F ( u ) + C và u = u ( x ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
2

− cot x + C
dx =

' ( x ) dx
∫ f ( u ( x ) ) u=

Hệ quả: Nếu u =ax + b ( a ≠ 0 ) thì ta có ∫ f ( ax + b =
) dx

F (u ( x )) + C

1
F ( ax + b ) + C
a

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u ( x ) và v = v ( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 1/34


Website: tailieumontoan.com

v ' ( x ) dx u ( x ) v ( x ) − ∫ u ' ( x ) v ( x ) dx
∫ u ( x )=

Hay

∫ udv=

uv − ∫ vdu

A. KỸ NĂNG CƠ BẢN
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 3 + 3 x + 2 là hàm số nào trong các hàm số sau?
x 4 3x 2
x4
B. F ( x ) =
+
+ 2x + C .

+ 3x 2 + 2 x + C .
4
2
3
x4 x2
C. F ( x ) =
D. F ( x ) = 3 x 2 + 3 x + C .
+ + 2x + C .
4 2
Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
Hàm số F ( x ) = 5 x3 + 4 x 2 − 7 x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. F ( x ) =

Câu 2.

A. f ( x )= 15 x 2 + 8 x − 7 .

B. f ( x ) = 5 x 2 + 4 x + 7 .

5 x 2 4 x3 7 x 2
.
D. f ( x ) = 5 x 2 + 4 x − 7 .
+
−
4
3
2
Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số F ( x ) ta được kết quả.
C. f ( x ) =

1
là
x

Câu 3.

Họ nguyên hàm của hàm số: y = x 2 − 3 x +

Câu 4.

x3 3
A. F ( x ) = − x 2 + ln x + C .
3 2
x3 3
C. F ( x ) = + x 2 + ln x + C .
3 2
Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
( x + 1)( x + 2 )

x3 2 2
+ x + 2x + C .
3 3
x3 2 2
C. F ( x ) = 2 x + 3 + C .
D. F ( x ) =
− x + 2x + C .
3 3
Hướng dẫn giải: f ( x ) = ( x + 1)( x + 2 ) = x 2 + 3 x + 2 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
A. F ( x ) =

Câu 5.

x3 3 2
+ x + 2x + C .
3 2

x3 3 2
− x + ln x + C .
3 2
1
D. F ( x ) = 2 x − 3 − 2 + C .
x
B. F ( x ) =

Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f (=
x)

B. F ( x ) =

2
2 3
+ + 2 là hàm số nào?
5 − 2x x x

3
A. F ( x ) =
− ln 5 − 2 x + 2 ln x − + C .
x
3

C. F ( x )= ln 5 − 2 x + 2 ln x − + C .
x
Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2 x
1
A. ∫ sin 2 xdx =
− cos 2 x + C .
2
2 xdx cos 2 x + C .
C. ∫ sin =

3
+C.
x
3
D. F ( x ) =
− ln 5 − 2 x − 2 ln x + + C .
x

B. F ( x ) =
− ln 5 − 2 x + 2 ln x +

1
cos 2 x + C .
2
− cos 2 x + C .
D. ∫ sin 2 xdx =

B. ∫ sin

=
2 xdx

1
1
sin 2 xd (2 x) =
− cos 2 x + C .
Hướng dẫn giải ∫ sin 2 xdx =
∫
2
2
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 2/34


Website: tailieumontoan.com

π

Tìm nguyên hàm của hàm số=
f ( x) cos  3 x +  .
6

1 
π
π

B. ∫ f ( x).dx
A. ∫ f ( x=

= sin  3 x +  + C .
)dx
sin  3 x +  + C .
6
3 
6

1 
1
π
π

C. ∫ f ( x)dx =
D. ∫ f ( x=
− sin  3 x +  + C .
)dx
sin  3 x +  + C .
3 
6
6
6

1
π 
π 1 
π

Hướng dẫn giải: ∫ f ( x=
)dx
cos  3 x +  d  3 x + =

sin  3 x +  + C .

∫
3
6 
6 3 
6

x
Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 + tan 2 .
2
x
x
A. ∫ f =
B. ∫ f ( x=
( x)dx 2 tan + C .
)dx tan + C .
2
2
x
1
x
D. ∫ f ( x)dx =
C. ∫ f=
−2 tan + C .
( x)dx
tan + C .
2
2
2

x
d 
x
1
dx
 2  2 tan x + C .
Hướng dẫn giải: f ( x) =
1 + tan 2 = nên ∫ = 2 ∫ =
x
x
2 cos 2 x
2
cos 2
cos 2
2
2
2
1
Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
π
2
sin  x + 
3

π
1
π



A. ∫ f ( x)dx =
B. ∫ f ( x)dx =
− cot  x +  + C .
− cot  x +  + C .
3
3
3


π
1
π


C. ∫ f ( x)dx= cot  x +  + C .
D. ∫ f ( x)=
dx
cot  x +  + C .
3
3
3


π

dx+ 
π
dx
3



Hướng dẫn giải: ∫
=
=
− cot  x +  + C .
∫
π
π
3



sin 2  x + 
sin 2  x + 
3
3


3
Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x.cos x .
Câu 7.

sin 4 x
f
(
x
)
dx
=
−

+C .
∫
∫
4
sin 2 x
C. ∫
D. ∫ f ( x)dx =
−
+C .
2
sin 4 x
3
Hướng dẫn giải ∫ sin 3 x.cos=
x.dx ∫ sin x.d (sin
=
x)
+C.
4
4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LƠGARIT.
Câu 11. Tìm ngun hàm của hàm số f ( x=
) e x − e− x .
A.

sin 4 x
+C .
4
sin 2 x
f (=
x)dx
+C .

2
f (=
x)dx

∫ f ( x ) dx =e
C. ∫ f ( x ) dx =e
A.

x

+ e− x + C .

x

− e− x + C .

Hướng dẫn giải:

∫ (e

x

B.

∫ f ( x ) dx =−e
D. ∫ f ( x ) dx =
−e
B.

− e − x ) dx =e x + e − x + C .

x

+ e− x + C .

x

− e− x + C .

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x.3−2 x .
x

1
2
A. ∫ f ( x ) dx   .
=
+C .
 9  ln 2 − ln 9

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

x

1
9
B. ∫ f ( x ) dx   .
=
+C .
 2  ln 2 − ln 9

Trang 3/34


Website: tailieumontoan.com
x

x

1
2
C. ∫ f ( x ) dx   .
=
+C .
 3  ln 2 − ln 9

1
2
D. ∫ f ( x ) dx   .
=
+C .
 9  ln 2 + ln 9
x

x

1
2
2
+C
  dx   .

∫=
9
 9  ln 2 − ln 9
Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f =
( x) e x (3 + e − x ) là
x −2 x
Hướng dẫn giải: ∫ 2=
.3 dx

A. F ( x)= 3e x + x + C .
1
C. F ( x) = 3e x − x + C .
e
Hướng dẫn giải: F(=
x)

B. F ( x) =
3e x + e x ln e x + C .
D. F ( x)= 3e x − x + C .

∫ e (3 + e
x

−x

)=
dx

∫ (3e

x

dx 3e x + x + C
+ 1)=

Câu 14. Hàm số F (=
x ) 7e x − tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?


e− x 
A. f =
( x) e  7 − 2  .
cos x 


B. f (=
x ) 7e x +

x

1
.
cos 2 x

1
D. f =
( x ) 7  e x − 2  .
cos x 

−x

1
e
Hướng dẫn giải: Ta có g '( x) =
7e x −
=
e x (7 −
)=
f ( x)
2
cos x
cos 2 x

7e x + tan 2 x − 1 .
C. f ( x ) =

Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 4 x − 2 .
1 2 x −1
e +C .
2
1 4 x−2
f (=
x ) dx
e
+C .
2

A.

x ) dx
∫ f (=

B.

dx
∫ f ( x )=

e 2 x −1 + C .

C.

∫

D.

( x ) dx
∫ f=

1 2 x −1
e
+C .
2

1 2 x −1
e +C .
2
4.1.4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.
1
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f ( x) =
là
2x −1

Hướng dẫn giải:

A.

∫ f ( x ) dx=

∫

x−2
e 4=
dx

dx
∫ e=
2 x −1

2x −1 + C .

B.

dx
∫ f ( x )=

2 2x −1 + C .

2x −1
D. ∫ f ( x ) dx =−2 2 x − 1 + C .
+C .
2

1
1 d ( 2 x − 1)
Hướng dẫn giải: ∫
=
= 2x −1 + C .
dx
2 ∫ 2x −1
2x −1
1
Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
3− x

C.

( x ) dx
∫ f=

∫ f ( x ) dx =−2 3 − x + C .
C. ∫ f ( x ) dx= 2 3 − x + C .

A.

∫ f ( x ) dx =− 3 − x + C .
D. ∫ f ( x ) dx =−3 3 − x + C .
B.

d (3 − x )
1
dx =− ∫

=−2 3 − x + C .
3− x
3− x
Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f =
( x)
2x +1 .
Hướng dẫn giải:

∫

A.

1
dx
( 2 x + 1)
∫ f ( x)=
3

C.

∫ f ( x ) dx =− 3

1

2x +1 + C .

2x +1 + C .

t
Hướng dẫn giải: Đặt =

2
( 2 x + 1) 2 x + 1 + C .
3
1
f ( x )=
dx
2x +1 + C .
2

B.

dx
∫ f ( x )=

D.

∫

2 x + 1 ⇒ dx
= tdt

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 4/34


Website: tailieumontoan.com

t3

1
+ C = ( 2 x + 1) 2 x + 1 + C .
3
3
Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x=
)
5 − 3x .
⇒ ∫ 2 x + 1dx=∫ t 2 dt =
2

A.

− ( 5 − 3x )
∫ f ( x ) dx =
9

C.

∫ f ( x ) dx =9 ( 5 − 3x )

5 − 3x + C .

2

5 − 3x .

2

B.

− ( 5 − 3x )
∫ f ( x ) dx =
3

D.

−
∫ f ( x ) dx =
3

2

5 − 3x .

5 − 3x + C .

2tdt
Hướng dẫn giải: Đặt t =5 − 3 x ⇒ dx =
−
3
2
− ( 5 − 3x ) 5 − 3x + C .
∫ 5 − 3xdx =
9
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( =
x) 3 x − 2 .
3
( x − 2) 3 x − 2 + C .
4
2

f ( x ) dx = ( x − 2 ) x − 2 .
3

A.

∫ f ( x ) dx=

B.

C.

∫

D.

Hướng dẫn giải: Đặt t =

C.

1

− (1 − 3 x )
∫ f ( x ) dx =
4

∫

3

3

2
1
−
( x − 2) 3 + C .
3
3
x − 2dx=
( x − 2) 3 x − 2 + C
4

∫

3

1 − 3x .

1 − 3x + C .

1
(1 − 3x ) 3 1 − 3x + C .
4

f ( x ) dx =

∫

x−2 +C .

3

f ( x ) dx =

x − 2 ⇒ dx = 3t 2 dt . Khi đó

3

Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x=
)
A.

3

∫ f ( x ) dx =− 4 ( x − 2 )

3

B.

− (1 − 3 x )
∫ f ( x ) dx =
4

D.

f ( x ) dx =
− (1 − 3 x )

∫

3
Hướng dẫn giải: Đặt t =
1 − 3 x ⇒ dx =
−t 2 dt . Khi đó

∫

3

−

2
3

3

1 − 3x + C .

+C .

1
1 − 3 xdx =
− (1 − 3 x ) 3 1 − 3 x + C
4

Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e3 x .
A.

2 e3 x
+C

3

∫

f (=
x ) dx

∫

3 e3 x
f (=
x ) dx
+C
2

B.

x ) dx
∫ f (=

3
2 e3 x

+C

3x+2

C.

Hướng dẫn giải:

Câu 23. Hàm số F ( x ) =

∫

D.

∫

2e 2
f (=
x ) dx
+C
3x + 2

2 32x  3 x  2 32x
2 e3 x
.e + C
e dx
e .d  =
=
=
+C

3∫
3
 2  3
3x

( x + 1)

2

x + 1 + 2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

5
( x + 1) x + 1
2
2
C. f ( x ) = ( x + 1) x + 1
5

A. f ( x ) =

Hướng dẫn giải: F ' ( x ) =

B. f ( x=
)

5
( x + 1) x + 1 + C
2

D. f ( x ) =

( x + 1)

x +1 + C

5
( x + 1) x + 1

2

Câu 24. Biết một nguyên hàm của hàm số =
f ( x)

2
1
+ 1 là hàm số F ( x ) thỏa mãn F ( −1) =.
3
1 − 3x

Khi đó F ( x ) là hàm số nào sau đây?
A. F ( x ) =x −

2
1 − 3x + 3
3

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

B. F ( x ) =x −

2
1 − 3x − 3
3

Trang 5/34


Website: tailieumontoan.com

2
2
D. F ( x ) =
4−
1 − 3x
1 − 3x + 1
3
3
Hướng dẫn giải
1 d (1 − 3 x )
2
 1

+ 1dx =− ∫
+ x =x −
F ( x ) =∫ 
1 − 3x + C
3
3
1 − 3x
 1 − 3x 
2
2
F ( −1) = ⇒ C = 3 ⇒ F ( x ) = x −
1 − 3x + 3
3
3
a
Câu 25. Biết F (=

. Khi đó giá trị của a bằng
x) 6 1 − x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =
1− x
1
B. 3 .
C. 6 .
D. .
A. −3 .
6
−3
′
Hướng dẫn giải: F '( x) = 6 1 − x =
⇒a=
−3
1− x
4.1.5. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 26. Tính F ( x) = ∫ x sin xdx bằng

C. F ( x ) =x −

(

)

A. F ( x) =
B. F ( x) = x sin x − cos x + C .
sin x − x cos x + C .
C. F ( x) =
D. F ( x) = x sin x + cos x + C .
sin x + x cos x + C .

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần
Phương pháp trắc nghiệm:
d
Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập
( F ( x) ) − f ( x) , CALC ngẫu nhiên tại một
dx
số điểm x0 thuộc tập xác định, kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng
u và đạo hàm của dv và nguyên hàm của
u
+ v
x
sin x
− cos x
1
0
− sin x
Vậy F ( x) =
sin x − x cos x + C .
Câu 27. Tính

∫ x ln

2

xdx . Chọn kết quả đúng:

(

)

(

)

(

)

(

)

1
1 2
B. x 2 2 ln 2 x − 2 ln x + 1 + C .
x 2 ln 2 x − 2 ln x + 1 + C .
2
4
1
1
C. x 2 2 ln 2 x + 2 ln x + 1 + C .
D. x 2 2 ln 2 x + 2 ln x + 1 + C .
4
2
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần.
Phương pháp trắc nghiệm
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0 .

d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng:
u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm của v
2
x
ln x
+
2 ln x
x2
x
2

A.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 6/34


Website: tailieumontoan.com

ln x (chuyển

2
qua dv )

x
-

1
x
1
1 (chuyển qua dv )
x
+
0

x (nhận

2
từ u )
x

x2
2

1
x
(nhận
từ u )
x
2
x2
4
1
1 2 2

1
1
Do đó ∫ x ln 2 xdx
x ln x − x 2 ln x + x 2 + C = x 2 ( 2 ln 2 x − 2 ln x + 1) + C .
=
4
2
2
4
Câu 28. Tính F ( x) = ∫ x sin x cos xdx . Chọn kết quả đúng:
1
x
A. F ( x) = sin 2 x − cos 2 x + C .
8
4
1
x
C. F ( x) = sin 2 x + cos 2 x + C .
4
8
Hướng dẫn giải:

1
x
cos 2 x − sin 2 x + C .
4
2
−1
x
D. F ( x) =

sin 2 x − cos 2 x + C .
4
8

B. F ( x) =

1
Phương pháp tự luận: Biến đổi sin x cos x = sin 2 x rồi sử dụng phương pháp nguyên hàm
2
từng phần.
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
x

Câu 29. Tính F ( x) = ∫ xe 3 dx . Chọn kết quả đúng
x

x

A. F ( x) =3( x − 3)e 3 + C

B. F ( x) =
( x + 3)e 3 + C

x − 3 3x
C.=
F ( x)
e +C
3
Hướng dẫn giải:

x + 3 3x
D.=
F ( x)
e +C
3
x

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với
=
u x=
, dv e 3 dx .
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0 .
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
x
Câu 30. Tính F ( x) = ∫
dx . Chọn kết quả đúng
cos 2 x

A. F ( x) =
B. F ( x) =
x tan x + ln | cos x | +C .
− x cot x + ln | cos x | +C .
C. F ( x) =
D. F ( x) =
− x tan x + ln | cos x | +C .
− x cot x − ln | cos x | +C .
Hướng dẫn giải:
1
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với
=
u x=
, dv
dx
cos 2 x
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0 .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 7/34


Website: tailieumontoan.com

d
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.

Câu 31. Tính F ( x) = ∫ x 2 cos xdx . Chọn kết quả đúng

Nhập máy tính

A. F ( x) =
B. F (=
( x 2 − 2) sin x + 2 x cos x + C .
x) 2 x 2 sin x − x cos x + sin x + C .
C. F ( x) = x 2 sin x − 2 x cos x + 2sin x + C .
D. F ( x) =
(2 x + x 2 ) cos x − x sin x + C .
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần với
2
=
u1 x=
; dv1 sin xdx .
=
u x=
; dv cos xdx , sau đó
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Câu 32. Tính F ( x) = ∫ x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng
1

1
B. F=
A. F ( x) =
− (2 x cos 2 x − sin 2 x) + C .
( x)
(2 x cos 2 x − sin 2 x) + C .
4
4
1
1
C. F ( x) =
D. F=
− (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C .
( x)
(2 x cos 2 x + sin 2 x) + C .
4
4
Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với
=
u x=
; dv sin 2 xdx
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng hoặc sử dụng máy tính: Nhập
d
( F ( x)) − f ( x) , CALC ngẫu nhiên tại một số điểm x0 bất kỳ, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì
dx
chọn đáp án đó.
Câu 33. Hàm số F ( x) = x sin x + cos x + 2017 là một nguyên hàm của hàm số nào?

B. f ( x) = x sin x .
A. f ( x) = x cos x .

C. f ( x) = − x cos x .
D. f ( x) = − x sin x .
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Tính F '( x) có kết quả trùng với đáp án chọn.
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn.
1 + ln( x + 1)
Câu 34. Tính ∫
dx . Khẳng định nào sau đây là sai?
x2
−1 + ln( x + 1)
x
1 + ln( x + 1)
x
A.
B. −
+ ln
+C
+ ln
+C
x
x +1
x
x +1
x +1
1 + ln( x + 1)

C. −
D. −
− ln x + 1 + ln x + C
(1 + ln( x + 1) ) + ln | x | +C
x
x
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với
1
1
u=
1 + ln( x + 1); dv =
− 2 dx hoặc biến đổi rồi đặt u =
ln( x + 1); dv =
=
− 2 dx .
x
x
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra bằng định nghĩa.
4.1.6. ÔN TẬP
Câu 35. Hãy chọn mệnh đề đúng
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 8/34


Website: tailieumontoan.com

A. ∫ a x dx=

ax
+ C ( 0 < a ≠ 1) .
ln a

xα +1
+ C , ∀α ∈ R .
α +1
f ( x)
∫ f ( x)dx .
D. ∫
dx =
g ( x)
∫ g( x)dx
B. ∫ xα dx
=

C. ∫ f ( x).g ( x)dx = ∫ f ( x)dx.∫ g( x)dx .

Hướng dẫn giải: A đúng. B sai vì thiếu điều kiện α =/ −1 ; C, D sai vì khơng có tính chất.
Câu 36. Mệnh đề nào sau đây sai?
1
A. ∫ sin =
B. ∫ dx = ln x + C , x ≠ 0 .
xdx cos x + C .
x
x
a
D. ∫ a x dx=
C. ∫ e x dx= e x + C .
+ C , (0 < a ≠ 1) .

ln a
Hướng dẫn giải: ∫ sin xdx =
− cos x + C
Câu 37. Hàm số f ( x) = x3 − x 2 + 3 +

1
có nguyên hàm là
x

x 4 x3
− + 3 x + ln x + C .
4 3
1
C. F ( x) = 3 x 2 − 2 x − 2 + C .
x
A. F ( x) =

B. F ( x) = x 4 −

x3
+ 3 x + ln x + C .
3

D. F ( x) = x 4 − x3 + 3 x + ln x + C .

1
x 4 x3
3
2
(

x
−
x
+
3
+
)
dx
=
− + 3 x + ln x + C
∫
x
4 3
Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = tan 2 x là
Hướng dẫn giải: F ( x) =

A. F ( x=
) tan x − x + C .

B. F ( x ) =− tan x + x + C .

C. F ( x=
) tan x + x + C .

D. F ( x ) =− tan x − x + C .


− 1 dx
= tan x − x + C
x 

Câu 39. Hàm số F ( x) = 7 sin x − cos x + 1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Hướng dẫn giải:



1

∫ f ( x)dx= ∫  cos

2

A. f =
( x ) sin x + 7 cos x .

B. f ( x ) =
− sin x + 7 cos x .

C. f =
( x ) sin x − 7 cos x .

− sin x − 7 cos x .
D. f ( x ) =

Hướng dẫn giải: =
F '( x) 7 cos x + sin x
1
Câu 40. Kết quả tính ∫ 2
dx là
sin x cos 2 x

A. tan x − cot x + C .
B. cot 2x + C .
C. tan 2x − x + C .
D. − tan x + cot x + C .
1
1 
 1
Hướng dẫn giải: ∫ 2
dx = ∫ 
+ 2  dx = tan x − cot x + C
2
2
sin x cos x
 cos x sin x 
1
1
Câu 41. Hàm số F ( x) = 3 x 2 −
+ 2 − 1 có một nguyên hàm là
x x
1
1
A. f ( x) = x3 − 2 x − − x .
B. f ( x) = x3 − x − − x .
x
x
1
1
1
C. f ( x) =
D. f ( x) = x3 −

x − −x.
x3 − 2 x + .
x
2
x
1
1
1


Hướng dẫn giải: Ta có ∫ F ( x)dx = ∫  3 x 2 −
+ 2 − 1dx = x 3 − 2 x − 2 − x + C
x
x x


cos x
Câu 42. Hàm số f ( x) =
có một nguyên hàm F ( x) bằng
sin 5 x
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 9/34


Website: tailieumontoan.com

1
.
4sin 4 x

A. −

1
4
−4
.
C.
.
D.
.
4
4
4sin x
sin x
sin 4 x
cos x
1
1
f ( x)dx =
−
+C
∫ sin 5 xdx =
∫ sin 5 x d (sin x) =
4sin 4 x

B.

Hướng dẫn giải:

∫

Câu 43. Kết quả tính ∫ 2 x 5 − 4 x 2 dx bằng
A. −
C.

1
6

1
6

(5 − 4x )

2 3

(5 − 4x )

2 3

3
(5 − 4 x2 ) + C .
8
3
1
D. −
5 − 4 x2 ) + C .
(
12

+C .

B. −

+C.

Hướng dẫn giải: Đặt t =5 − 4 x 2 ⇒ tdt =
−4 xdx
1
1
1
Ta có ∫ 2 x 5 − 4 x 2 dx =
− ∫ t 2 dt =
− t3 + C =
−
2
6
6
sin x
Câu 44. Kết quả ∫ e cos xdx bằng

(5 − 4x )

2 3

+C

A. esin x + C .
B. cos x.esin x + C .
C. ecos x + C .

Hướng dẫn giải: Ta có ∫ esin x cos xdx
= ∫ esin x d (sin =
x) esin x + C
Câu 45. Tính

D. e − sin x + C .

∫ tan xdx bằng

A. − ln cos x + C .

B. ln cos x + C .

C.

1
+C.
cos 2 x

D.

−1
+C.
cos 2 x

D.

1
−C .
sin 2 x

1
Hướng dẫn giải: Ta có ∫ tan xdx =
−∫
d (cos x) =
− ln cos x + C
cos x
Câu 46. Tính ∫ cot xdx bằng

A. ln sin x + C .

B. − ln sin x + C .

Hướng dẫn giải: Ta có ∫ cot
xdx
=
Câu 47. Nguyên hàm của hàm số y =

1

C.

(sin x)
∫ sin x d=

−1
+C .
sin 2 x
ln sin x + C

x3
là
x −1

1 3 1 2
1
1
B. x3 + x 2 + x + ln x + 1 + C .
x + x + x + ln x − 1 + C .
3
2
3
2
1
1
1
1
C. x3 + x 2 + x + ln x − 1 + C .
D. x 3 + x 2 + x + ln x − 1 + C .
6
2
3
4
3
x
1
Hướng dẫn giải: Ta có
. Sử dụng bảng nguyên hàm suy ra đáp án.
= x2 + x + 1 +
x −1

x −1
x2 − 2x + 3
Câu 48. Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
là
x +1
x2
x2
A.
B.
− 3 x + 6 ln x + 1 .
+ 3 x + 6 ln x + 1 .
2
2
x2
x2
C.
D.
+ 3 x − 6 ln x + 1 .
− 3 x + 6 ln ( x + 1) .
2
2
x2 − 2x + 3
6
Hướng dẫn giải: f ( x ) =
. Sử dụng bảng nguyên hàm.
= x −3+
x +1
x +1
1
dx bằng

Câu 49. Kết quả tính ∫
x ( x + 3)

A.

A.

1
x
ln
+C.
3 x+3

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

x
1
B. − ln
+C .
3 x+3
Trang 10/34


Website: tailieumontoan.com

C.

2 x+3
ln
+C .

3
x

Hướng dẫn giải:
Câu 50. Kết quả tính

1

D.

2
x
ln
+C .
3 x+3

1
1 1
1 
=  −
 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
x ( x + 3) 3  x x + 3 

∫ x ( x − 3) dx

bằng
1 x+3
+C.
ln
x

3
x
1
D. ln
+C .
3 x −3

1 x −3
+C .
ln
x
3
1
x
C. ln
+C.
3 x+3

A.

B.

1
1 1
1
Hướng dẫn giải: = 
−  . Sử dụng bảng nguyên hàm.
x ( x + 3) 3  x − 3 x 
1
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2

là
x + x−2
1 x −1
1 x+2
A. F ( x )
B. F ( x )
=
ln
+C .
=
ln
+C .
3 x+2
3 x −1
x −1
C.=
D. F ( x=
F ( x ) ln
+C.
) ln x 2 + x − 2 + C .
x+2
1
1 1
1 
Hướng dẫn giải:=
f ( x)
= 
−
 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
2

x + x − 2 3  x −1 x + 2 
 1− x 
Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 
 là
 x 
1
1
A. F ( x ) =− − 2 ln x + x + C .
B. F ( x ) =− − 2 ln x + x + C .
x
x
1
1
C. F ( x ) = − 2 ln x + x + C .
D. F ( x ) =− − 2 ln x − x + C .
x
x
2

2
1 2
 1− x  1− 2x + x
Hướng dẫn giải: f ( x ) = 
=
= 2 − + 1 . Sử dụng bảng nguyên hàm.

2
x
x
x

 x 
1
Câu 53. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2
với a ≠ 0 là
x − a2
1
x−a
1
x+a
B.
A.
ln
+C .
ln
+C .
2a x + a
2a x − a
1 x−a
1 x+a
C. ln
D. ln
+C .
+C .
a x+a
a x−a
1
1  1
1 
Hướng dẫn giải:=
−


 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
2
2
x −a
2a  x − a x + a 
x
Câu 54. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
thoả mãn F ( 2 ) = 0 . Khi đó phương
8 − x2
trình F ( x ) = x có nghiệm là
2

A. x = 1 − 3 .

B. x = 1 .

C. x = −1 .

D. x = 0 .

Hướng dẫn giải: Đặt t = 8 − x 2 ⇒ t 2 = 8 − x 2 ⇒ −tdt = xdx
x
tdt
2
∫ 8 − x 2 dx =−∫ t =−t + C =− 8 − x + C .
Vì F ( 2 ) = 0 nên C = 2 . Ta có phương trình − 8 − x 2 + 2 = x ⇔ x =1 − 3
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 11/34

Website: tailieumontoan.com

Câu 55. Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. ln 2 + 1 .

B. ln
1

∫ x − 1 dx=

Hướng dẫn giải:
x = 3 ta có đáp án.

3
.
2

1
và F ( 2 ) = 1 thì F ( 3) bằng
x −1
1
C. ln 2 .
D. .
2

ln x − 1 + C , vì F ( 2 ) = 1 nên C = 1 . F ( x=
) ln x − 1 + 1 , thay

Câu 56. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số =
f ( x)

ln 2 x + 1.

của F 2 ( e ) là
A.

8
.
9

B.

Hướng dẫn giải: Đặt
=
t

1
.
9

ln 2 x + 1 ⇒=
tdt
3

ln x
t
dx = ∫ t 2 dt = + C =
x

3
8
Vậy F 2 ( e ) = .
9

∫

C.

ln 2 x + 1.

(

π2
16

.

C. − cot x + x 2 .

8
.
3

D.

1
.
3

ln x
dx
x

ln 2 x + 1
3

Câu 57. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x=
) 2x +
A. − cot x + x 2 −

1
ln x
thoả mãn F (1) = . Giá trị
3
x

)

3

+ C . Vì F (1) =

1
nên C = 0
3

1
π 
thỏa mãn F   = −1 là

2
sin x
4

B. cot x − x 2 +
D. cot x − x 2 −

π2
16

π2
16

.
.

π2
1 
π 

Hướng dẫn giải: ∫  2 x + 2 dx =
.
x 2 − cot x + C . F   = −1 nên C = −
16
sin x 
4

4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Câu 58. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 2 x.sin x .
cos3 x

f ( x)dx =
−
+C .
3
sin 2 x
f ( x)dx =
−
+C .
2

cos3 x
+C .
∫
∫
3
sin 2 x
C. ∫
D. ∫ f (=
x)dx
+C .
2
cos3 x
Hướng dẫn giải: ∫ cos 2 x sin xdx =
− ∫ cos 2 xd (cos x) =
−
+C
3
sin 2 x
Câu 59. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.

cos 2 x − 1
A. ∫ f ( x)dx =
B. ∫ f =
( x)dx ln cos 2 x − 1 + C .
− ln sin x + C .
A.

C. ∫=
f ( x)dx ln sin 2 x + C .

B.

f (=
x)dx

D.

( x)dx
∫ f=

ln sin x + C .

Hướng dẫn giải
d ( sin x )
sin 2 xdx
2sin x cos x
cos x
−∫
dx =
−∫

=
− ln sin x + C
∫ cos 2 x − 1 =
∫ 1 − 2sin 2 x + 1 dx =
sin x
sin x
Câu 60. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x.cos 2 x.dx .
A.

∫

C.

∫

−2 cos3 x
+ cos x + C .
3
cos3 x
f ( x)dx =
+ cos x + C .
3
f ( x)=
dx

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

1
1
cos 3 x + sin x + C .

6
2
1
1
f ( x)dx =
cos 3 x − sin x + C .
6
2

B.

∫ f ( x)dx =

D.

∫

Trang 12/34


Website: tailieumontoan.com

Hướng dẫn giải
−2 cos3 x
2
2
x
xdx
=
x

−
xdx
=
−
x
−
d
x
=
+ cos x + C
sin
.cos
2
2
cos
1
sin
2
cos
1
cos
(
)
)
)
(
(
∫
∫
∫

3
Câu 61. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2sin x.cos 3 x .
1
1
1
1
A. ∫ f ( x)dx = cos 2 x − cos 4 x + C .
B. ∫ f ( x)dx = cos 2 x + cos 4 x + C .
2
4
2
4
4
2
4
C. ∫ f ( x)dx = 2 cos x + 3cos x + C .
D. ∫ f ( x)dx = 3cos x − 3cos 2 x + C .
Hướng dẫn giải: ∫ 2sin x.cos 3 xdx =

1

1

∫ ( sin 4 x − sin 2 x ) dx = 2 cos 2 x − 4 cos 4 x + C .

Câu 62. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 3 x.sin 3 x .
3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 
A. ∫ f ( x)=
−

dx

− x−
+C .
8 2
4  8
6 
3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 
B. ∫ f ( x)=
dx
−

+ x−
+C .
8 2
4  8
6 
1  sin 2 x sin 4 x  3 
sin 6 x 
C. ∫ f ( x)=
dx
−

− x−
+C .
8 2
4  8
6 
3  sin 2 x sin 4 x  1 

sin 6 x 
D. ∫ f ( x)=
dx
+

− x+
+C.
8 2
4  8
6 
Hướng dẫn giải
3sin x − sin 3 x
3
.sin 3 xdx
∫ sin x.sin 3xdx = ∫
4
3
1
3
1
=
xdx
2sin x.sin 3 xdx − ∫ 2sin 2 3=
( cos 2 x − cos 4 x ) dx − ∫ (1 − cos 6 x ) dx
∫
∫
8
8
8
8

3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 
= 
−
− x−
+C
8 2
4  8
6 
Câu 63. Tìm nguyên hàm của hàm
số f ( x) sin 3 x.cos 3 x + cos3 x.sin 3 x .
=
−3
3
A. ∫=
B. ∫=
f ( x)dx
cos 4 x + C .
f ( x)dx
cos 4 x + C .
16
16
3
−3
C. ∫=
D. ∫=
sin 4 x + C .
sin 4 x + C .
f ( x)dx
f ( x)dx

16
16
Hướng dẫn giải:
cos 3 x + 3cos x
 3sin x − sin 3 x

3
3 x + cos3 x.sin 3 x ) .dx ∫ 
.cos 3 x +
.sin 3 x  dx
∫ ( sin x.cos=
4
4


3
3


= ∫  sin x.cos 3 x − sin 3 x.cos 3 x + sin 3 x.cos x + sin 3 x.cos 3 x  dx
4
4

3
3
−3
=
sin 4 xdx =
cos 4 x + C
( sin x.cos 3x + sin 3x.cos x ) dx =

∫
∫
4
4
16
x
π  π
Câu 64. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin 2 biết F   = .
2
2 4
x sin x 3
x sin x 1
A. F ( x ) =−
B. F ( x ) =+
+ .
+ .
2
2
2
2
2
2
x sin x 5
x sin x 1
C. F ( x ) =+
D. F ( x ) =+
+ .
+ .
2
2

2
2
2
2
Hướng dẫn giải
1
x 1
2 x
• F ( x) =
− sin x + C
(1 − cos x ) dx =
∫ sin 2 dx =
∫
2
2 2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 13/34


Website: tailieumontoan.com

π 1 π
π
1
π  π
• F   = ⇔ − sin + C = ⇔ C =
4 2
2

4
2
2 4
4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT.

e− x 
Câu 65. Hàm số=
f ( x) e x  ln 2 + 2  có họ nguyên hàm là
sin x 

A. F ( x ) = e x ln 2 − cot x + C .

B. F ( x ) = e x ln 2 + cot x + C .

1
1
D. F ( x ) = e x ln 2 −
+C .
+C .
2
cos x
cos 2 x
1 

Hướng dẫn giải: ∫ f ( x)dx = ∫  e x ln 2 + 2 dx = e x ln 2 − cot x + C
sin x 

x
x x
Câu 66. Hàm số f ( x=

) 3 − 2 .3 có nguyên hàm bằng
C. F ( x ) = e x ln 2 +

3x
6x
−
+C.
ln 3 ln 6
3x 3x.2 x
C.
+
+C .
ln 3 ln 6

B. 3x ln 3(1 + 2 x ln 2) + C .

A.

D.

3x
6x
+
+C.
ln 3 ln 3.ln 2

3x
6x
+
+C

∫
ln 3 ln 6
Câu 67. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f (=
x) (e − x + e x ) 2 thỏa mãn điều kiện F (0) = 1 là
1
1
A. F ( x) =
B. F ( x) =
− e −2 x + e 2 x + 2 x + 1 .
−2e −2 x + 2e 2 x + 2 x + 1 .
2
2
1
1
1
1
C. F ( x) =
D. F ( x) =
− e −2 x + e 2 x + 2 x − 1 .
− e −2 x + e 2 x + 2 x .
2
2
2
2
1 −2 x 1 2 x
Hướng dẫn giải: Ta có F ( x) =
1 C=
1
− e + e + 2 x + C , F (0) =⇔
2

2
2x −1
Câu 68. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
x +1
A. F ( x ) = 2 x − 3ln x + 1 + C .
B. F ( x ) = 2 x + 3ln x + 1 + C .
f ( x)dx = ∫ ( 3x + 6 x )dx =

Hướng dẫn giải:

C. F ( x ) = 2 x − ln x + 1 + C .
Hướng dẫn giải:

∫

2x −1
dx =
x +1

D. =
F ( x ) 2 x+ ln x + 1 + C .


3 

∫  2 − x + 1  dx =

2 x − 3ln x + 1 + C

2x2 + 2x + 3
Câu 69. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
2x +1
1
1
5
2
2
A. F ( =
B. F ( =
x)
x)
( 2 x + 1) + 5ln 2 x + 1 + C .
( 2 x + 1) + ln 2 x + 1 + C .
8
8
4
2
2
C. F ( x )= ( 2 x + 1) + ln 2 x + 1 + C .
D. F ( x )= ( 2 x + 1) − ln 2 x + 1 + C .
Hướng dẫn giải:
 2x +1

2 x2 + 2 x + 3
5
1
5
2

= ∫ 
+
= ( 2 x + 1) + ln 2 x + 1 + C
 dx
∫ 2 x + 1 dx
2 ( 2 x + 1) 
8
4
 2
x3 − x
Câu 70. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2
.
x +1
x2
x2
A. F ( x ) =
B. F ( x ) =
− ln ( x 2 + 1) + C .
+ ln ( x 2 + 1) + C .
2
2
D. F ( x ) = x 2 + ln ( x 2 + 1) + C .
C. F ( x ) = x 2 − ln ( x 2 + 1) + C .
Hướng dẫn giải:

x3 − x
∫ x 2 + 1 dx =

d ( x 2 + 1) x 2
2x 

x2

x
−
dx
=
−
=
− ln ( x 2 + 1) + C
2
∫  x 2 + 1 
∫
2
x +1
2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 14/34


Website: tailieumontoan.com

1
.
x ln x + x

Câu 71. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. F =
( x ) ln ln x + 1 + C .

C. F ( x=
) ln x + 1 + C .
Hướng dẫn giải:

B. F =
( x ) ln ln x − 1 + C .
D. F ( x=
) ln x + 1 + C .

d ( ln x + 1)

1

dx ∫
=
∫ x ( ln x + 1)=
( ln x + 1)

Câu 72. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. F ( x ) = e x − ln ( e x + 1) + C .

e2 x
.
ex + 1

ln ln x + 1 + C

B. F ( x ) = e x + ln ( e x + 1) + C .

C. F ( x=

) ln ( e x + 1) + C .

D. F ( x ) = e 2 x − e x + C .

d ( e x + 1)
 x
e2 x
ex 
x
x
x
dx
=
e
−
dx
=
e
−
∫ e x + 1 ∫  e x + 1 
∫ e x + 1 = e − ln ( e + 1) + C
4.1.4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.
1
Câu 73. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
x +1

Hướng dẫn giải:

∫ f ( x ) dx = 2 x − 2 ln (1 + x ) + C .

C. ∫ f ( x ) dx = ln (1 + x ) + C .

A.

Hướng dẫn giải
2
Đặt t =1 + x ⇒ x =( t − 1) ⇒ dx =2 ( t − 1) dt .
Khi đó

= 2

(

1

∫ 1+

x

dx =∫

2 ( t − 1) dt
 1
=2 ∫ 1 −  dt =2 ( t − ln t ) + C1
t
 t

)

(

)

x + 1 − ln 1 + x + C=
2 x − 2 ln 1 + x + C . (Với C= 2 + C1 và 1 + x > 0 )
1
x+2
.
x +1

Câu 74. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
2
( x + 4) x + 1 + C .
3
x
C. ∫ f ( x ) dx
=
+C .
2 ( x + 1) x + 1

A.

∫ f ( x ) dx = 2 x + 2 ln (1 + x ) + C .
D. ∫ f ( x ) dx =
2 + 2 ln (1 + x ) + C .

B.

∫ f ( x ) dx=

Hướng dẫn giải:

∫

x+2
dx
=
x +1



∫ 

x +1 +

Câu 75. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =

B.

∫ f ( x ) dx = ( x + 4 )

D.

∫ f ( x ) dx=

2x −1
.
1− x

1− x + C .

B.

=
∫ f ( x ) dx

2

1− x + C .

D.

∫

∫ f ( x ) dx =− 3 ( 2 x + 1)

C.

∫ f ( x ) dx =− 3 ( 2 x − 1)

1
+C.
x +1

1 
2
) ( x + 4) x + 1 + C
 d ( x + 1=
3
x +1 

2

A.

x +1 +

x +1 + C .

2
( 2 x + 1) 1 − x + C .
3
1
f ( x ) dx =−2 1 − x +
+C .
1− x

Hướng dẫn giải
2x −1
1 

∫ 1 − x dx =−∫  −2 1 − x + 1 − x  d (1 − x )
3
1
2
2
=
− ( 2 x + 1) 1 − x + C
(1 − x ) 2 − 2 (1 − x ) 2 + C =
3

3
x
Câu 76. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
3x 2 + 2
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 15/34


Website: tailieumontoan.com

1
3x 2 + 2 + C .
3
1
3x 2 + 2 + C .
f ( x=
) dx
6

1

A.

) dx
∫ f ( x=

B.

∫ f ( x ) dx =− 3

C.

∫

D.

) dx
∫ f ( x=

3x 2 + 2 + C .

2
3x 2 + 2 + C .
3

2
1 d ( 3x + 2 ) 1
Hướng dẫn giải: ∫
=
=
dx
3x 2 + 2 + C
∫
2
2
6
3
3x + 2

3x + 2
3
x
Câu 77. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
4 − x2
1
1
A. ∫ f ( x ) dx =
B. ∫ f ( x ) dx= ( x 2 + 8 ) 4 − x 2 + C .
− ( x 2 + 8) 4 − x 2 + C .
3
3
2
1
C. ∫ f ( x ) dx =
D. ∫ f ( x ) dx =
− ( x 2 + 8) 4 − x 2 + C .
4 − x2 + C .
−
3
3

x

−tdt . Khi đó
4 t 2 ⇒ xdx =
Hướng dẫn giải: Đặt t = 4 − x 2 ⇒ x 2 =−
4 − t 2 ) ( −tdt )
(

x3
t3
2
= ∫ ( t − 4 ) dt = − 4t + C
∫ 4 − x 2 dx = ∫
t
3

(

4 − x2

)

3

1
− 4 4 − x2 + C =
− ( x 2 + 8) 4 − x 2 + C
3
3
4.1.5. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 78. Tính F ( x )= ∫ (2 x − 1)e1− x dx= e1− x ( Ax + B) + C . Giá trị của biểu thức A + B bằng:
=

A. −3 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 5 .
Hướng dẫn giải:

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng.
u và đạo hàm của
dv và nguyên hàm của
u
v
+
1− x
2x −1
e
2
−e1− x
0
e1− x
Do đó F ( x) =
−(2 x − 1)e1− x − 2e1− x + C =
e1− x (−2 x − 1) + C .
Vậy A + B =
−3 .
Câu 79. Tính F ( x)= ∫ e x cos xdx= e x ( A cos x + B sin x) + C . Giá trị của biểu thức A + B bằng
A. 1 .
B. −1 .
C. 2 .
D. −2 .
Hướng dẫn giải:
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng
u và đạo hàm của
dv và nguyên hàm của
u
v
+

x
cos
x
e
x
sin x
e
− cos x
+
ex
1 x
Do đó F ( x)= e x sin x + e x cos x − F ( x) + C1 hay F ( x) =
e sin x + e x cos x ) + C .
(
2
Vậy A + B =
1.
Câu 80. Tính F ( x)= ∫ 2 x(3 x − 2)6 dx= A(3 x − 2)8 + Bx(3 x − 2)7 + C . Giá trị của biểu thức 12 A + 11B là
A. 1 .

B. −1 .

Hướng dẫn giải:
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

C.

12
.

11

D. −

12
.
11

Trang 16/34


Website: tailieumontoan.com

u và đạo hàm của
dv và nguyên hàm của
u
v
2x
(3 x − 2)6
+
2
1
(3 x − 2)7
21
0
1
(3 x − 2)8
504
2
1

Do đó F (=
x)
x(3 x − 2)7 −
(3 x − 2)8 + C . Vậy 12 A + 11B =
1.
21
252
Câu 81. Tính F (=
x) ∫ x 2 x − 1=
dx ax 2 ( x − 1) x − 1 + bx( x − 1) 2 x − 1 + c( x − 1)3 x − 1 + C . Giá trị của
biểu thức a + b + c bằng:
2
−2
142
−142
B.
C.
D.
A.
7
105
7
105
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận:
Đặt =
u x 2 , dv
=
x − 1dx ta được
2 2

8
16
F=
( x) ∫ x 2 x −=
1dx
x ( x − 1) x − 1 − x( x − 1) 2 x − 1 +
( x − 1)3 x − 1 + C
3
15
105
−82
Vậy a + b + c = .
105
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v
1
x2
+
( x − 1) 2
3
2x
2
( x − 1) 2
3
5
4
( x − 1) 2
15
7
8

( x − 1) 2
105

2

+
0

∫x

F=
( x)

2

2 2
8
16
x ( x − 1) x − 1 − x( x − 1) 2 x − 1 +
( x − 1)3 x − 1 + C
3
15
105

x −=
1dx

2
Vậy a + b + c = .
7

Câu 82. Tính F ( x=
)

)

∫ ln ( x +

(
x ln ( x +

1 + x 2 dx . Chọn kết quả đúng:

)
1+ x ) +

1

A. F ( x=
) x ln x + 1 + x 2 − 1 + x 2 + C .

B.=
F ( x)

C. F ( x=
)

D. F ( x)= ln x + 1 + x 2 − x 1 + x 2 + C .

2

1 + x2

+C.

(

1 + x2 + C .

)

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với

(

)

u= ln x + 1 + x 2 ; dv= dx
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm của v

(

ln x + 1 + x 2

)

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

+

1

Trang 17/34


Website: tailieumontoan.com
1
1 + x2
1
(Chuyển
qua dv )
1 + x2

x

x

1

(Nhận
-

0

1 + x2
1

1 + x2

1 + x2

Câu 83. Hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x) = x 3e x và đồ thị hàm số
quả đúng:
1 2 x2 1 x2 1
A. f ( x)=
B. f ( x)=
xe − e + .
2
2
2
1 2 x2 1 x2 1
C. f ( x)=
D. f ( x)=
xe − e − .
2
2
2
Hướng dẫn giải:
2

2
Phương pháp tự luận: Đặt=
u x=
, dv xe x

từ u )

2

f ( x) đi qua gốc tọa độ O . Chọn kết

1 2 x2 1 x2 1
xe + e − .
2
2
2
1 2 x2 1 x2 1
xe + e + .
2
2
2

chọn=
du 2=
xdx, v

1 x2
e
2

ta được

1 2 x2 1 x2
1
x e − e + C . Đồ thị đi qua O(0;0) nên C = .
2
2

2
Phương pháp trắc nghiệm:
u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm của v
2
2
x
xe x
+
2 x (chuyển 2 x qua dv )
1 x2
e
2
2
1
xe x (nhận 2 x từ u )
0
1 x2
e
2
1
1 2 x2 1 x2
f ( x)=
x e − e + C . Đồ thị đi qua O(0;0) nên C = .
2
2
2
f ( x)=

Câu 84. Tính F

=
( x)

∫

x 2 − 1dx bằng:

1
1
1
1
B. F=
x x 2 − 1 − ln x + x 2 − 1 + C .
( x ) x x 2 − 1 + ln x + x 2 − 1 + C .
2
2
2
2
1
1
1
1
C. F=
( x ) x x 2 − 1 + ln x − x 2 − 1 + C .
( x ) x x 2 − 1 − ln x − x 2 − 1 + C . D. F=
2
2
2
2
Hướng dẫn giải:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
A. F=
( x)

Cách 2: Đặt u = x 2 − 1, dv = dx ta được F (=
x) x x 2 − 1 − F ( x) − J ( x)
dx
x
x 2 − 1 ta được J ( x)= ln x + x 2 − 1 + C
với J ( x) = ∫
, bằng cách đặt u =+
1
x −1
1
1
Vậy F
=
( x)
x x 2 − 1 − ln x + x 2 − 1 + C .
2
2
4.1.6. ÔN TẬP
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 18/34

Website: tailieumontoan.com

Câu 85. Kết quả của ∫ sin 2 x cos xdx bằng
1
C. − sin 3 x + C .
D. − sin 3 x + C .
3
1
2
Hướng dẫn giải: Ta có ∫ sin 2 x cos xdx =
− sin 3 x + C .
∫ sin xd (sin x) =
3
2
Câu 86. Tính ∫ cos x sin xdx bằng
1
A. sin 3 x + C .
3

B. sin 3 x + C .

1
A. − cos3 x + C .
3

B. − cos3 x + C .

1

D. cos3 x + C .
cos3 x + C .
3
1
Hướng dẫn giải: Ta có ∫ cos 2 x sin xdx =
− ∫ cos 2 xd (cos x) =
− cos3 x + C .
3
3
Câu 87. Kết quả của ∫ sin xdx bằng

C.

co s3 x
A.
− cos x + C .
3

co s3 x
B. −
− cos x + C .
3
co s3 x
D.
− cos x + C .
6

C. 3sin 2 x.cos x + C .

1

2
Hướng dẫn giải: ∫ sin 3 xdx =
− ∫ (1 − cos 2 x)d (cos x) =cos3 x − cos x + C .
∫ (1 − cos x) sin xdx =
3
3
Câu 88. Kết quả của ∫ cos xdx bằng

A. sin x −

sin 3 x
+C .
3

sin 3 x
+C .
3
sin 3 x
D. − sin x −
+C .
3
B. sin x +

C. 3sin 2 x.cos x + C .

1
2
2
Hướng dẫn giải: ∫ cos3 xdx =−
sin x − sin 3 x + C .

∫ (1 sin x) cos xdx =−
∫ (1 sin x)d (sin x) =
3
4
Câu 89. Kết quả của ∫ sin x cos xdx bằng
1
B. − sin 5 x + C .
5

1
A. sin 5 x + C .
5

Hướng dẫn giải: Ta có ∫ sin 4 x cos
=
xdx

∫ sin

C. sin 5 x + C .
4

(sin x)
xd =

1 5
sin x + C .
5

e tan x

Câu 90. Tính ∫
dx bằng
cos 2 x
A. e tan x + C .
B. tan x.e tan x + C .
C. e − tan x + C .
e tan x
Hướng dẫn giải: ∫
=
dx ∫ e tan x d (tan=
x) e tan x + C .
2
cos x
1
Câu 91. Tính ∫
dx bằng:
x cos 2 x
A. 2 tan x + C .
Hướng dẫn giải:
Câu 92. Tính

B. tan x + C .

∫

D. − sin 5 x + C .

C. tan 2 x + C .

D. −e tan x + C .

1
D. tan x + C .
2

1
1
=
dx 2 ∫
=
d ( x ) 2 tan x + C .
2
x cos x
cos 2 x

3x 2
∫ x3 + 1dx bằng

A. ln x3 + 1 + C .

B.

4 x3
+C .
x4 + 4x

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

C. ln( x3 + 1) + C .

D.

x3
+C .
x4 + x

Trang 19/34


Website: tailieumontoan.com

Hướng dẫn giải:

3x 2
=
∫ x3 + 1dx

∫x

1
d ( x3 + =
1) ln x3 + 1 + C .
+1

3

6 x 2 − 12 x
Câu 93. Tính ∫ 3
dx bằng
x − 3x 2 + 6

A. 2 ln x3 − 3 x 2 + 6 + C .

B. ln x3 − 3 x 2 + 6 + C .

1
C. ln x3 − 3 x 2 + 6 + C .
D. 2 ln( x 3 − 3 x 2 + 6) + C .
2
6 x 2 − 12 x
1
Hướng dẫn giải: ∫ 3
dx= 2 ∫ 3
d ( x 3 − 3 x 2 + 6)
= 2 ln x 3 − 3 x 2 + 6 + C .
2
2
x − 3x + 6
x − 3x + 6
3
4x + 2x
Câu 94. Tính ∫ 4
dx bằng
x + x2 + 3
A.. ln x 4 + x 2 + 3 + C .

B. 2 ln x 4 + x 2 + 3 + C .

1
C. ln x 4 + x 2 + 3 + C .
2

4 x3 + 2 x
Hướng dẫn giải: ∫ 4
dx=
x + x2 + 3
x2 + 1
Câu 95. Tính ∫ 3
dx bằng
x + 3x − 1
1
A. ln x3 + 3 x − 1 + C .
3

D. −2 ln( x 4 + x 2 + 3) + C .

∫x

4

1
d ( x 4 + x 2 + 3)= ln x 4 + x 2 + 3 + C .
+ x2 + 3

B. ln x3 + 3 x − 1 + C .

1
D. ln( x3 + 3 x − 1) + C .
3
2
x +1
1

1
1
Hướng dẫn giải: ∫ 3
=
dx
d ( x 3 + 3 x −=
1)
ln x 3 + 3 x − 1 + C .
3
∫
x + 3x − 1
3 x + 3x − 1
3
6 x −5
Câu 96. Tính ∫ e dx bằng

C. ln x3 + 3 x − 1 + C .

A.

1 6 x −5
e
+C .
6

B. e6 x −5 + C .

Hướng dẫn giải: ∫ e6 x −5=
dx

C. 6e6 x −5 + C .

D. e6 x +5 − C .

1 6 x −5
1 6 x −5
e d (6 x −=
5)
e
+C .
∫
6
6

Câu 97. Tính ∫ e − x −5 dx bằng
B. e − x −5 + C .
C. e x +5 + C .
A. −e − x −5 + C .
Hướng dẫn giải: ∫ e − x −5 dx =− ∫ e − x −5 d (− x − 5) =−e − x −5 + C .
Câu 98. Tính

∫ ( 5 − 9x )

12

D. −e x +5 + C .

dx bằng

(5 − 9 x)13

(5 − 9 x)13
(5 − 9 x)13
C.
D.
+C .
+C .
+C .
117
13
9
1
(5 − 9 x)13
12
12
Hướng dẫn giải: ∫ ( 5 − 9 x ) dx =
− ∫ ( 5 − 9 x ) d (5 − 9 x) =
−
+C .
9
117
π

Câu 99. Tính ∫ cos  5 x + dx bằng
4

π
1 
π

A. sin  5 x +  + C .

B. sin  5 x +  + C .
5 
4
4

π
1 
π

C. −5sin  5 x +  + C .
D. − sin  5 x +  + C .
4
5 
4

A. −

(5 − 9 x)13
+C .
117

B.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 20/34


Website: tailieumontoan.com

π
π 
π 1 
π
1


Hướng dẫn giải: ∫ cos  5 x + =
cos  5 x + d  5 x +=
sin  5 x +  + C .
dx

∫
4
5
4 
4 5 
4


1
Câu 100. Tính ∫
dx bằng
π
2
cos  x + 
4

π


B. 4 tan  x +  + C .
4

π
1

D. tan  x +  + C .
4
4

1
1
π
π


Hướng dẫn giải: ∫
tan  x +  + C .
dx= ∫
dx+ =

π
π
4
4



cos 2  x + 
cos 2  x +  

4
4


1
Câu 101. Tính ∫
dx bằng
(cos x + sin x) 2

π

A. tan  x +  + C .
4

π

C. − tan  x +  + C .
4


1
π

A. − cot  x +  + C .
2
4

π

C. − cot  x +  + C .

4

Hướng dẫn giải
1
1
∫ (cos x + sin x)2 dx =
2∫

Câu 102. Tính

∫

1
π

cot  x +  + C .
2
4

1
π

D. − cot  x +  + C .
4
4


B.

1

1
π
1
π


dx =∫
dx+ =
− cot  x +  + C
π
π
2
4
2
4



sin 2  x + 
sin 2  x +  
4
4


1

12 x + 5
dx bằng
3x + 1

6 x2 + 5x
+C .
x3 + x
1
C. 4 x + ln 3 x + 1 + C .
D. 4 x + ln(3 x + 1) + C .
3
12 x + 5
1 
1

Hướng dẫn giải: ∫
dx = ∫  4 +
dx = 4 x + ln 3 x + 1 + C .
3x + 1
3x + 1 
3

1
A. 4 x + ln 3 x + 1 + C .
3

B.

2x2 + x
Câu 103. Tính ∫
dx bằng
2x −1
x2
1

+ x + ln 2 x − 1 + C .
2
2
2
x
1
C.
+ x + ln(2 x − 1) + C .
2
2
2x2 + x
Hướng dẫn giải: ∫
dx=
2x −1
−x
Câu 104. Tính ∫
dx bằng
( x + 1) 2
A.

x2
+ x + ln 2 x − 1 + C .
2
x2
D.
+ x + 2 ln(2 x − 1) + C .
2
1 
x2
1


x
+
+
dx
=
+ x + 2x −1 + C .
1

∫ 
2x −1 
2
2
B.

1
1
B.
− ln x + 1 + C .
− ln x + 1 + C .
x +1
x +1
1
1
C. −
D. −
+ ln x + 1 + C .
− ln( x + 1) + C .
x +1
x +1

 1
−x
1 
1
Hướng dẫn giải: ∫
−
− ln x + 1 + C .
dx =∫ 
dx =−
2
2
( x + 1)
x +1
x +1
 ( x + 1)
A. −

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 21/34


Website: tailieumontoan.com

Câu 105. Tính ∫ sin x(2 + cos x)dx bằng
1
A. −2 cos x − cos 2 x + C
4
1
C. 2 cos x + cos 2 x + C

4

1
B. 2 cos x − cos 2 x + C
4
1
D. 2 cos x + cos 2 x + C
2
1
1
Hướng dẫn giải: ∫ sin x(2 + cos x)dx =
− 2 cos x − cos 2 x + C .
∫ (2sin x + 2 sin 2 x)dx =
4
x
Câu 106. Tính ∫ x.2 dx bằng:
2 x ( x − 1)
x.2 x
2x
B.
− 2 +C .
+C .
ln 2 ln 2
ln 2
C. 2 x ( x + 1) + C .
D. 2 x ( x − 1) + C .
Hướng dẫn giải
du = dx
u = x
x.2 x

2x
x.2 x
2x

x . Ta có x 2 x dx =
Đặt 
−
dx
=
−
+C.
⇒

2
∫
x
ln 2 ∫ ln 2
ln 2 ln 2 2
dv = 2 dx v =
ln 2

Câu 107. Tính ∫ ln xdx bằng:

A.

x2
ln x + C .
2
1
D. x ln x − + C .

x
B. x ln x −

A. x ln x − x + C .

1
ln x − x + C .
x
Hướng dẫn giải
1

u = ln x du = dx
Đặt 
⇒
= x ln x − ∫ dx
= x ln x − x + C .
x . Ta có ∫ ln xdx
dv = dx v = x


C.

Câu 108. Tính ∫ 2 x ln( x − 1)dx bằng:
x2
A. ( x − 1) ln( x − 1) − − x + C .
2
x2
C. ( x 2 + 1) ln( x − 1) − − x + C .
2
Hướng dẫn giải

1

dx
=
u ln( x − 1) du =
Đặt 
⇒
x −1
2
dv = 2 xdx
=
v x − 1
2

x2
B. x ln( x − 1) − − x + C .
2
x2
D. ( x 2 − 1) ln( x − 1) − + x + C .
2
2

x2
Ta có ∫ 2 x ln( x − 1)dx = ( x − 1) ln( x − 1) − ∫ ( x + 1)dx = ( x − 1) ln( x − 1) − − x + C .
2
1 

Câu 109. Tính ∫  sin x +
 dx bằng:
cos 2 x 


A. − cos x + tan x + C .
B. cos x + tan x + C .
1
C. cos x − tan x + C .
D. − cos x −
+C .
cos x
1 

Hướng dẫn giải: Ta có ∫  sin x +
− cos x + tan x + C
 dx =
cos 2 x 

F ( x) ln sin x − cos x là một nguyên hàm của hàm số
Câu 110. Hàm số=
2

A. f ( x) =

sin x + cos x
.
sin x − cos x

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

2

B. f ( x) =

sin x − cos x
.
sin x + cos x
Trang 22/34


Website: tailieumontoan.com

C. f ( x) =

1
.
sin x + cos x

D. f ( x) =

1
.
sin x − cos x

(sin x − cos x) ' cos x + sin x
.
=
sin x − cos x
sin x − cos x
Câu 111. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3 x3 − 2 x 2 + 1 thỏa mãn điều kiện F (−2) =
3 là:

Hướng dẫn giải:=

Ta có F '( x)

3 4 2 3
37
x − x +x− .
4
3
3
3 4 2 3
C. F ( x) = x − x + x .
4
3
Hướng dẫn giải

3 4 2 3
x − x + x+C .
4
3
3 4 2 3
37
D. F ( x=
)
x − x +x+ .
4
3
3

B. F ( x=
)

A. F ( x=
)

Ta có F ( x=
)
Vậy F ( x=
)

∫ (3x

3

− 2 x 2 + 1)=

37
3 4 2 3
3 C=
−
x − x + x + C và F (−2) =⇔
3
4
3

3 4 2 3
37
x − x +x− .
4
3
3

VẬN DỤNG CAO
4.1.1. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC, PHÂN THỨC.
− x3 + 5 x + 2
Câu 112. Kết quả tính ∫
dx bằng
4 − x2
x2
x2
B.
A. − ln 2 − x + C .
+ ln 2 − x + C .
2
2
x3
x3
C.
D.
− ln 2 − x + C .
+ ln x − 2 + C .
3
3
Hướng dẫn giải
2
− x3 + 5 x + 2 x 3 − 5 x − 2 ( x + 2 ) ( x − 2 x − 1)
1
. Sử dụng bảng nguyên hàm.
=
=
= x−
2

2
4− x
x −4
x−2
( x + 2 )( x − 2 )
Câu 113. Họ nguyên hàm của =
f ( x ) x 2 ( x 3 + 1) là
5

A. F ( x=
)

6
1 3
x + 1) + C .
(
18

B. F ( x=
) 18 ( x3 + 1) + C .
6

6
1 3
x + 1) + C .
(
9
Hướng dẫn giải: Đặt t = x3 + 1 ⇒ dt = 3 x 2 dx . Khi đó
5
6

1 5
1 6
1 3
2
3
∫ x ( x + 1) dx= 3 ∫ t dt= 18 t + C= 18 ( x + 1) + C .
x 2 + x + x3 + 1
là hàm số nào?
Câu 114. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
x3
1
1
1
1
A. F ( x=
B. F ( x=
) ln x − + x − 2 + C .
) ln x + + x − 2 + C .
x
2x
x
2x
3
2
3
2
x 3x
x 3x
C. F ( x ) = −
D. F ( x ) = +

+ ln x + C .
+ ln x + C .
3
2
3
2
x 2 + x + x3 + 1 1 1
1
Hướng dẫn giải: f ( x ) =
= + 2 + 1 + 3 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
3
x
x x
x
3
2
Câu 115. Giá trị m để hàm số F ( x ) = mx + ( 3m + 2 ) x − 4 x + 3 là một nguyên hàm của hàm số

C. F ( x ) = ( x3 + 1) + C .
6

D. F ( x )=

f ( x ) = 3 x 2 + 10 x − 4 là:
A. m = 1 .
B. m = 0 .
C. m = 2 .
D. m = 3 .
2
3

2
Hướng dẫn giải: ∫ ( 3 x + 10 x − 4 ) dx = x + 5 x − 4 x + C , nên m = 1 .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 23/34


Website: tailieumontoan.com

3
Câu 116. Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 4 ( 2 x ) thoả mãn F ( 0 ) = . Khi đó F ( x ) là:
8
3
1
1
3
1
1
B. F ( x ) =−
A. F ( x )= ( x + 1) − sin 4 x + sin 8 x .
sin 4 x + sin 8 x .
x
8
8
64
8
8
64
3
3

1
1
3
C. F ( x ) =−
D. F ( x ) =
sin 2 x + sin 4 x + .
x − sin 4 x + sin 6 x + .
x
8
8
8
64
8
Hướng dẫn giải

1
1 + cos8 x 
 1 − cos 4 x  1
sin ( 2 x ) =
1 − 2 cos 4 x + cos 2 4 x ) =
(

 =
1 − 2 cos 4 x +

2
4
4
2




3 cos 4 x cos8 x
=
−
+
8
2
8
3
sin 4 x sin 8 x
 3 cos 4 x cos8 x 
Nên ∫ sin 4 ( 2 x )dx =
+
+C.
x−
∫  8 − 2 + 8  dx =
8
8
64
3
Vì F ( 0 ) = nên suy ra đáp án.
8
Câu 117. Biết hàm số f (=
x) (6 x + 1) 2 có một nguyên hàm là F ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d thoả mãn điều
kiện F (−1) =
20. Tính tổng a + b + c + d .
A. 46 .
B. 44 .
C. 36 .

D. 54 .
Hướng dẫn giải
2
2
3
2
∫ ( 6 x + 1) dx= ∫ ( 36 x + 12 x + 1) dx= 12 x + 6 x + x + C nên=a 12;=b 6;=c 1
2

4

Thay F (−1) =
20. d = 27 , cộng lại và chọn đáp án.

Câu 118. Hàm số f =
( x ) x x + 1 có một nguyên hàm là F ( x ) . Nếu F ( 0 ) = 2 thì F ( 3) bằng
116
886
105
.
C.
.
D.
.
105
886
15
x + 1 ⇒ 2tdt= dx
5
3

2 5 2 3
2
2
4
2
∫ x x + 1dx= ∫ ( 2t − 2t ) dt = 5 t − 3 t + C = 5 x + 1 − 3 x + 1 + C
34
Vì F ( 0 ) = 2 nên C =
. Thay x = 3 ta được đáp án.
15
Câu 119. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x cos x thỏa mãn F ( 0 ) = 1 . Khi đó phát biểu
nào sau đây đúng?
A. F ( x ) là hàm số chẵn.
146
.
15
Hướng dẫn giải: Đặt t=

A.

B.

(

)

(

)

B. F ( x ) là hàm số lẻ.
C. Hàm số F ( x ) tuần hồn với chu kì là 2π .
D. Hàm số F ( x ) không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
Hướng dẫn giải
∫ x cos xdx = x sin x + cos x + C

F ( 0 ) = 1 nên C = 0 . Do đó F ( x ) là hàm số chẵn.

sin 2 x
thỏa mãn F ( 0 ) = 0 là
sin 2 x + 3
ln 2 + sin 2 x
2
B. ln 1 + sin x .
C.
.
D. ln cos 2 x .
3

Câu 120. Một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x) =
A. ln 1 +

sin 2 x
.
3

Hướng dẫn giải: Đặt=
t sin 2 x + 3 ⇒=
dt 2sin x cos xdx
sin 2 x

dt
2
∫ sin 2 x + 3 dx= ∫ t = ln t + C= ln sin x + 3 + C
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 24/34