Chuyên đề dời hình luyện thi THPT quốc gia

Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ
PHÉP DỜI HÌNH

Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020


Website: tailieumontoan.com
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
PHÉP BIẾN HÌNH
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Phép biến hình là một quy tắc để mỗi điểm M của mặt phẳng xác định được một điểm duy nhất M ′
thuộc mặt phẳng đó .

2. Kí hiệu và thuật ngữ:
Gọi P là tập hợp các điểm trong mặt phẳng và một phép biến hình F :
F:P→P
M → M′ =
F (M )
- Điểm M ′ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F , hay M là điểm tạo ảnh của điểm M ′ .
- Nếu Η là một hình nào đó thì H ′ ( gồm các điểm M ′ là ảnh của M ∈ Η ) được gọi là anh của Η qua
phép biến hình F .
- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
3. Tích của hai phép biến hình
Cho hai phép biến hình F và G . Gọi M là điểm bất kỳ trong mặt phẳng. M ′ là ảnh của M qua F ,
M ′′ là ảnh của M ′ qua G .
Ta nói, M ′′ là ảnh của M trong tích của hai phép biến hình F và G . Ký hiệu G.F

M ′′ = G ( F ( M ) )

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com
PHÉP TỊNH TIẾN
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa


 
Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M ′ sao cho MM ′ = v


được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v .





•

Phép tịnh tiến theo vectơ v kí hiệu là: Tv , v được gọi là vectơ tịnh tiến.
 
M ′ ⇔ MM ′ =
v
Ta có: Tv ( M ) =

•

Phép tịnh tiến theo vecto – khơng chính là phép đồng nhất.

•


v
2. Tính chất:
 
Tính chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M , N thành hai điểm M ′, N ′ thì M ′N ′ = MN , từ đó suy
ra M ′N ′ = MN .

v


v


v

Tính chất 2:
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, đường trịn
thành đường trịn có cùng bán kính.
STUDY TIP
Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm
đó.
3. Biểu thức tọa độ:



Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v = ( a; b ) , M ( x; y ) . Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ

 x '= x + a
v : Tv ( M ) = M' ( x '; y ') có biểu thức tọa độ: 
 y =' y + b
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TỊNH TIẾN
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP
TỊNH TIẾN
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép tịnh tiến.
Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép tịnh tiến.
Tìm quĩ tích điểm thơng qua phép tịnh tiến.
Ứng dụng phép tịnh tiến vào các bài tốn hình học khác ...
Ví dụ 1: Kết luận nào sau đây là sai?
 
 (A) = B
B. T
A. Tu ( A) =B ⇔ AB =u
AB


 ( M ) =N ⇔ AB =
C. T0 ( B) = B
C. T2 
MN
2

AB
Lời giải:
Đáp án D


 (M ) =
Ta có T2 
N ⇔ MN =
2 AB . Vậy D sai.
AB
STUDY TIP
 
Định nghĩa phép tịnh tiến: Tv ( M ) =
M ′ ⇔ MM ′ =
v .
Ví dụ 2: Giả sử
=
T ( M ) M
=
'; Tv ( N ) N ' . Mệnh đề nào sau đây sai?
 
v 
A. M ' N ' = MN .
B. MM ' = NN '
C. MM ' = NN ' .
D. MNM ' N ' là hình bình hành.
Lời giải:
Đáp án D

Theo tính chất của một phép tịnh tiến thì các đáp án A, B, C là đúng.

MNM ' N ' khơng theo thứ tự các đỉnh của hình bình hành nên D sai.
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d1 thành d 2
A. Không.
B. Một.
C. Hai.
D. Vô số.
Đáp án A
Lời giải:
Do phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên
khơng có phép tịnh tiến nào biến d1 thành d 2 .
Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD tâm I . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD, DC . Phép tịnh tiến theo
vectơ nào sau đây biến tam giác AMI thành INC


A. AM .


B. IN .


C. AC .
Lời giải:

Đáp án D
  
 ( ∆AMI ) =
AI =
IC ⇒ T
∆INC
Ta có MN =

MN

Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD tâm I . Kết luận nào sau đây là sai?
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


D. MN .


A. T ( D) = C .

AB

Đáp án D

B. T ( B) = A .
C. T ( I ) = C .
Lời giải:

AI


CD

Website: tailieumontoan.com
D. T
(I ) = B .
ID

 

Ta có T
I
=
I
⇔
II ' = ID ⇔ I ' ≡ D . Vậy D sai
(
)
'
ID
Ví dụ 6: Trong các đối tượng: con cá (hình A), con bướm (hình B), con mèo (hình C), con ngựa (hình
D), hình nào có phép tịnh tiến?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:
Đáp án D
Trong hình D đối tượng con ngựa này là ảnh của con ngựa kia qua một phép tịnh tiến theo một
hướng xác định.
Ví dụ 7: Cho đường trịn ( C ) có tâm O và đường kính AB . Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A .

Phép tịnh tiến theo vectơ AB biến ∆ thành:
A. Đường kính của đường trịn ( C ) song song với ∆ .
B. Tiếp tuyến của ( C ) tại điểm B .

C. Tiếp tuyến của ( C ) song song với AB .
D. Đường thẳng song song với ∆ và đi qua O
Lời giải:
Đáp án B.

 ( ∆ ) = ∆′ ⇒ ∆′ //∆, ∆′ là tiếp tuyến của đường trịn
Theo tính chất 2 của phép tịnh tiến nên T
AB

( C ) tại điểm

B.

Ví dụ 8: Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn ( O, R ) và A thay đổi trên đường trịn đó, BD là
đường kính. Khi đó quỹ tích trực tâm H của ∆ABC là:
A. Đoạn thẳng nối từ A tới chân đường cao thuộc BC của ∆ABC .
B. Cung trịn của đường trịn đường kính BC .
.
C. Đường trịn tâm O′ bán kính R là ảnh của ( O, R ) qua T
HA

.
D. Đường tròn tâm O ' , bán kính R là ảnh của ( O, R ) qua T
DC
Lời giải:
Đáp án D.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

Kẻ đường kính BD ⇒ ADCH là hình bình hành(Vì AD //CH và AH //DC cùng vng góc
với một đường thẳng)
 
 ( A) = H .
⇒ AH = DC ⇒ T
DC
.
Vậy H thuộc đường tròn tâm O ' , bán kính R là ảnh của ( O, R ) qua T
DC

Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD , hai điểm A, B cố định, tâm I di động trên đường trịn ( C ) . Khi
đó quỹ tích trung điểm M của cạnh DC :
 , K là trung điểm của BC .
A. là đường tròn ( C ′ ) là ảnh của ( C ) qua T
KI
 , K là trung điểm của AB .
B. là đường tròn ( C ′ ) là ảnh của ( C ) qua T
KI
C. là đường thẳng BD .
D. là đường trịn tâm I bán kính ID .
Lời giải:
Đáp án B.

Gọi K là trung điểm của AB ⇒ K cố định.
 ( I ) = M ⇒ M ∈ ( C ′ ) = T ( ( C ) ) .
Ta có T
KI
KI
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Phương pháp
1. Xác định ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến
- Sử dụng biểu thức tọa độ.

2. Xác định ảnh ∆′ của đường thẳng ∆ qua phép tịnh tiến theo véctơ v .
Cách 1. Chọn hai điểm A, B phân biệt trên ∆ , xác định ảnh A′, B′ tương ứng. Đường thẳng ∆′ cần tìm
là đường thẳng qua hai ảnh A′, B′ .

Cách 2. Án dụng tính chất phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng cùng phương với nó.
Cách 3. Sử dụng quỹ tích.
Với mọi M ( x; y ) ∈ ∆, Tv ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) thì M ′ ∈ ∆′ .
 x′= x + a
 x= x′ − a
Từ biểu thức tọa độ 
ta được 
thế x, y và phương trình ∆ ta được phương trình ∆′ .
 y′= y + b
 y= y′ − b
3. Xác định ảnh của một hình
(đường trịn, elip, parabol…)
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com
, Tv ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) thì M ′ thuộc ảnh ’ của

- Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm M ( x; y ) thuộc hình
hình .
- Với đường trịn: áp dụng tình chất phép tịnh tiến biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính

hoặc sử dụng quỹ tích.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A ( 3; −3) . Tìm tọa độ diểm A′ là ảnh của A qua phép

tịnh tiến theo véctơ v = ( −1;3) .
A. A′ ( 2; −6 ) .

B. A′ ( 2;0 ) .

C. A′ ( 4;0 ) .

D. A′ ( −2;0 ) .

Lời giải:

Đáp án B.

 
x A + xv
 x=
x ′ = 2
A′
⇔ A
⇒ A′ ( 2;0 ) .
Ta có Tv=
AA′ v ⇔ 
( A) A′ ( xA′ y A′ ) ⇔=
y A + yv
 y A′ = 0
A′

 y=
STUDY TIP
 x′= x + a
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: 
 y′= y + b
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M ′ ( −4; 2 ) , biết M ′ là ảnh của M qua phép tịnh tiến

theo véctơ v= (1; −5 ) . Tìm tọa độ điểm M .
A. M ( −3;5 ) .

B. M ( 3;7 ) .

C. M ( −5;7 ) .

D. M ( −5; −3) .

Lời giải:

Đáp án C.
 
 (M )
′
Ta có: T=
M
x
;
y
⇔
=
MM ′ v

(
)
′
′
v
M
M

xv xM ′ − xM
xM ′ − xv
=
 x=
 xM = −5
M
⇔
⇔
⇔
⇒ M ( −5;7 ) .
yv yM ′ − yM
7
yM ′ − yv
 yM =
=
 yM =
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M ( −5; 2 ) và điểm M ′ ( −3; 2 ) là ảnh cảu M qua phép


tịnh tiến theo véctơ v . Tìm tọa độ véctơ v .





A. v = ( −2;0 ) .
B. v = ( 0; 2 ) .
C. v = ( −1;0 ) .
D. v = ( 2;0 ) .
Lời giải:
Đáp án D.
 
xv xM ′ − xM
=
 xv = 2


⇔
⇒v =
Ta có: T=
M ′ ( xM ′ ; yM ′ ) ⇔=
MM ′ v ⇔ 
( 2;0 ) .
v (M )
yv yM ′ − yM
=
 yv = 0

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M ( 0; 2 ) , N ( −2;1) và véctơ v = (1; 2 ) . Ơ. Phép tịnh

tiến theo véctơ v biến M , N thành hai điểm M ′, N ′ tương ứng. Tính độ dài M ′N ′ .
A. M ′N ′ = 5 .

B. M ′N ′ = 7 .
C. M ′N ′ = 1 .
Lời giải:

D. M ′N ′ = 3 .

Đáp án A.
Tv ( M ) = M ′
2
2
Ta có 
⇒ MN = M ′N ′ = ( −2 − 0 ) + (1 − 2 ) = 5 .
Tv ( N ) = N ′
STUDY TIP
Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ∆ABC biết A ( 2; 4 ) , B ( 5;1) , C ( −1; −2 ) . Phép tịnh tiến theo

véctơ BC biến ∆ABC thành ∆A′B′C ′ tương ứng các điểm. Tọa độ trọng tâm G′ của ∆A′B′C ′
là:
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


A. G′ ( −4; −2 ) .

B. G′ ( 4; 2 ) .

C. G′ ( 4; −2 ) .

Website: tailieumontoan.com
D. G′ ( −4; 4 ) .

Lời giải:
Đáp án A.

Ta có tọa độ trọng tâm ∆ABC là G ( 2;1) ; BC =( −6; −3) .
 

 xG′ = −4
 xG=′ xG + x
BC
′
′
=
⇔
=
T
G
G
x
y
GG
BC
;
⇔
⇔
⇒ G′ ( −4; −2 ) .
(
)
(
)



′
′
G
G
BC

=
+
=
−
2
y
y
y
y
 G′
G
 G′
BC

STUDY TIP
Phép tịnh tiến biến trọng tâm G của ∆ABC thành trọng tâm G′ của ∆A′B′C ′
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đườn thẳng ∆′ là ảnh của đường thẳng

∆ : x + 2 y − 1 =0 qua phép tịnh tiến theo véctơ v= (1; −1) .
A. ∆′ : x + 2 y =
B. ∆′ : x + 2 y − 3 =
0.

0 . C. ∆′ : x + 2 y + 1 =
0 . D. ∆′ : x + 2 y + 2 =
0.
Lời giải:
Đáp án A.
Cách 1:
Chọn A (1;0 ) ∈ ∆ ⇒ Tv =
( A) A′ ( 2; −1) ∈ ∆′ .

Tv ( B ) B′ ( 0;0 ) ∈ ∆′ .
Chọn B ( −1;1) ∈ ∆ ⇒ =
⇒ đường thẳng ∆′ chính là đường thẳng A′B′ .

Đường thẳng ∆′ qua A′ ( 2; −1) và có một véctơ pháp tuyến n = (1; 2 ) có phương trình là:

∆′ :1( x − 2 ) + 2 ( y + 1) = 0 ⇔ x + 2 y = 0 .
STUDY TIP
Hai đường thẳng cùng phương thì có hai véctơ pháp tuyến cùng phương.
Cách 2.
Tv ( ∆ ) = ∆′ ⇒ ∆′, ∆ là hai đường thẳng cùng phương nên ∆′ có dạng x + 2 y + m =
0.
m 0.
Chọn A (1;0 ) ∈ ∆ ⇒ Tv =
( A) A′ ( 2; −1) ∈ ∆′ ⇒=
Vậy phương trình ∆′ : x + 2 y =
0.
Cách 3: Sử dụng quỹ tích
Lấy M ( xM ; yM ) ∈ ∆ ⇔ xM + 2 yM − 1 = 0 (1) .
xM + 1
x′ − 1

 x′ =
x =
⇔ M
Tv ( M ) M ′ ( x′; y′ ) ∈ ∆′ ⇔ 
Ta có=
yM − 1  yM =
y′ + 1
 y′ =
Thay vào (1) ta được ( x′ − 1) + 2 ( y′ + 1) − 1 =0 ⇔ x′ + 2 y′ =
0.
Vậy ∆′ : x + 2 y =
0.
Nhận xét: Độc giả sử dụng cách 3 tỏ ra có tính tư duy cao hơn, nhanh hơn và áp dụng cho
nhiều loại hình khác nhau.
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đường tròn ( C ′ ) là ảnh cảu đường tròn

( C ) : x 2 + y 2 − 2x + 4 y − 1 =0 qua Tv với v = (1; 2 ) .
A. ( x + 2 ) + y 2 =
6.

B. ( x − 2 ) + y 2 =
6.

0.
C. x 2 + y 2 − 2x − 5 =

0.
D. 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 =

2

2

Lời giải:

Đáp án B.
Cách 1: Theo tính chất của phép tịnh tiến biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.
Ta có: đường trịn ( C ) có tâm I (1; −2 ) , bán kính R = 6 .
Suy ra: Tv ( I ) = I ′ ( 2;0 ) .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Vậy đường trịn ( C ′ ) có tâm I ′ ( 2;0 ) , bán kính R=′ R=

( x − 2)

2

Website: tailieumontoan.com
6 có phương trình:

6.
+ y2 =

Cách 2: Sử dụng quỹ tích:
M ′ ( x′; y′ )
Gọi M ( x; y ) ∈ ( C ) ⇒ Tv ( M ) =
x +1
x′ − 1
 x′ =

x =
⇒
⇔
y+2
y′ − 2
 y′ =
y =
Thế x, y vào phương trình đường trịn ( C ) , ta có:

( x′ − 1) + ( y′ − 2 ) − 2 ( x′ − 1) + 4 ( y′ − 2 ) − 1 =
2
Vậy ( C ′ ) : ( x − 2 ) + y 2 =
6.
2

2

0 ⇔ ( x′ ) + ( y ′ ) − 4 x′ − 2 = 0
2

2

Study Tip
2
2
Phương trình đường trịn ( x − a ) + ( y − b ) =
R 2 có tâm I ( a; b ) bán kính R.

0 có tâm I ( a; b ) bán kính R = a 2 + b 2 − c .
Phương trình đường tròn x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c =



Ví dụ 8. Cho vectơ v = ( a; b ) sao cho khi tịnh tiến đồ thị y = f ( x ) = x 3 + 3 x + 1 theo vectơ v ta nhận
được đồ thị hàm số y = g ( x ) = x3 − 3 x 2 + 6 x − 1 . Tính P= a + b .
A. P = 3 .

B. P = −1 .

C. P = 2 .

D. P = −3 .

Lời giải:

Đáp án A.

3
Từ giả thiết ta có: g ( x ) = f ( x − a ) + b ⇔ x3 − 3 x 2 + 6 x − 1 = ( x − a ) + 3 ( x − a ) + 1 + b


3
2
3
2
2
3
⇔ x − 3 x + 6 x − 1 = x − 3ax + 3 ( a + 1) x − a − 3a + 1 + b

a = 1
Đồng nhất thức ta được: 

⇒ P = a +b = 3.
b = 2
Study Tip
Đồng nhất thức của 2 đa thức ⇔ các hệ số của các đa thức tương ứng bằng nhau.
 ( A) , C
Tv ( B ) .
Ví dụ 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( −5; 2 ) , C ( −1;0 )=
. Biết B T=
u
 
Tìm tọa độ của vectơ u + v để có thể thực hiện phép tịnh tiến Tu + v biến điểm A thành điểm C.
A. ( −6; 2 ) .

B. ( 2; −4 ) .

Lời giải:
Đáp án C.
 
Ta có: Tu ( A ) =B ⇔ AB =u
 
Tv ( B ) =C ⇔ BC =v
    
Mà AC =
AB + BC =+
u v
  
Do đó: Tu + v ( A ) = C ⇔ AC = u + v = ( 4; −2 ) .
Study Tip
Ta có sơ đồ tổng quát:

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

C. ( 4; −2 ) .

D. ( 4; 2 ) .


Website: tailieumontoan.com
T

T

u

A

v

B

C

T

u+v

Ví dụ 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành OABC với điểm A ( −2;1) , điểm B thuộc
đường thẳng ∆ : 2 x − y − 5 =
0 . Tìm quỹ tích đỉnh C ?
A. Là đường thẳng có phương trình 2 x − y − 10 =

0.
B. Là đường thẳng có phương trình x + 2 y − 7 =
0 .
C. Là đường thẳng có phương trình 2 x − y + 7 =
0.

0.
D. Là đường trịn có phương trình x 2 + y 2 − 2 x + y =
Đáp án A.
Lời giải:
Vì OABC hình bình hành nên T
( B) = C
AO

Vậy quỹ tích điểm C là đường thẳng ∆ ' song song với ∆ . Ta tìm được phương trình
∆ ' : 2 x − y − 10 =
0.
Ví dụ 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 3 x + y − 9 =
0 . Tìm phép tịnh tiến theo véc tơ

v có giá song song với Oy biến d thành d ' đi qua A (1;1)




A. v = ( 0;5 ) .
B. =
C. =
D. =
v (1; −5 ) .

v ( 0; −5 ) .
v ( 2; −3) .
Đáp án D.
Lời giải:


Véc tơ v có giá song song với Oy =
⇒ v ( 0; k ) , k ≠ 0
x ' = x
 (M )
Gọi M ( x; y ) ∈ d ⇒ T
=
M
'
x
';
y'
⇔
(
)

v
 y =' y + k
Thế vào phương trình d ⇒ d ' : 3 x '+ y´−k − 9 =
0 mà d ' đi qua A (1;1) nên k = −5 .
Ví dụ 12. Ví dụ 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : 2 x − 3 y + 3 =
0 và

d' : 2 x − 3 y − 5 =
0 . Tìm tọa độ v có phương vng góc với d và Tv biến đường thẳng d thành

d '.

  −6 4 
A. v =  ;  .
 13 13 
Đáp án D.

  −1 2 
B. v =  ;  .
 13 13 

  −16 −24 
;
C. v = 
.
 13 13 

  16 −24 
D. v =  ;
.
 13 13 

Lời giải:

 x= x '− a
Tv ( M ) M ' ( x '; y') ∈ d ' ⇒ 
Gọi v = ( a; b ) , ta có=
 y= y '− b
Thế vào phương trình đường thẳng d : 2 x '− 3 y '− 2a + 3b + 3 =

0

−5 ⇔ −2a + 3b =
−8 (1)
Từ giả thiết suy ra −2a + 3b + 3 =

  
Véc tơ chỉ phương của d là u = ( 3; 2 ) . Do u ⊥ v ⇒ u.v = 0 ⇔ 3a + 2b = 0
Giải hệ (1) và ( 2 ) ta được
=
a

16
−24
.
=
;b
13
13

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

( 2)


Website: tailieumontoan.com
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP
TỊNH TIẾN
Câu 1: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó?

A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. Vơ số.
Câu 2: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường trịn thành chính nó?
B. 1 .
C. 2 .
D. Vơ số.
A. 0 .
Câu 3: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến hình vng thành chính nó?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. Vơ số.
Câu 4: Phép tịnh tiến khơng bảo tồn yếu tố nào sau đây?
A. Khoảng cách giữa hai điểm.
B. Thứ tự ba điểm thẳng hàng.
C. Tọa độ của điểm.
D. Diện tích.
 
′, Tv ( B ) B′ với v ≠ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
=
Tv ( A ) A=
Câu 5: Với hai điểm A, B phân biệt và
 
 
  
 
A. A′B′ = v .
B. A′B′ = AB .

C. AB = v .
D. A′B′ + AB =
0.
Câu 6: Cho hai đường thẳng d1 và d 2 song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến theo vectơ
 
v ≠ 0 biến d1 thành d 2 ?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. Vô số.



Câu 7: Cho hình bình hành ABCD . Phép tịnh tiến TAB + AD biến điểm A thành điểm nào?
A. A′ đối xứng với A qua C .
B. A′ đối xứng với D qua C .
C. O là giao điểm của AC qua BD .
D. C .
Câu 8: Cho tam giác ABC có trọng tâm G , T
( G ) = M . Mệnh đề nào là đúng?
AG
A. M là trung điểm BC .
B. M trùng với A .
C. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BGCM .
D. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BCGM .

Câu 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Tìm ảnh của ∆AOF qua phép tịnh tiến theo vectơ AB .
B. ∆BOC .
C. ∆CDO .
D. ∆DEO .

A. ∆AOB .
Câu 10: Cho hình bình hành ABCD tâm I . Kết luận nào sau đây sai?
 ( B ) = A .
 ( A) = B .
 (I ) = B .
B. TCD
C. T
D. TIA ( I ) = C .
A. T
DC
DI
Câu 11: Cho hình vng ABCD tâm I . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, DC . Phép tịnh tiến
theo vectơ nào sau đây biến ∆AMI thành ∆MDN ?




B. NI .
C. AC .
D. MN .
A. AM .
Câu 12: Cho hình bình hành ABCD . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng AB thành đường
thẳng CD và biến đường thẳng AD thành đường thẳng BC ?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. Vô số.
Câu 13: Cho đường tròn ( O ) và hai điểm A, B . Một điểm M thay đổi trên đường tròn ( O ) . Tìm quỹ
  
tích điểm M ′ sao cho MM ′ + MA =

MB .
 (O )) .
 (O )) .
A. ( O′ ) = T
B. ( O′ ) = T
( O ) ) . C. ( O′) = TBA ( ( O ) ) . D. ( O′) = T
AM (
AB (
BM (

= 75° và 
ADC= 45° .Tính độ dài AD .
Câu 14: Cho tứ giác lồi ABCD có AB
= BC
= CD
= a , BAD
A. a 2 + 5 .

C. a 2 + 3 .
D. a 5 .
 =150°, D
 =90° . Tính độ dài BC .
3, CD 12 , A =60°, B
Câu 15: Cho tứ giác ABCD=
có AB 6=
A. 4 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 2 .
AC BD

Câu 16: Trên đoạn AD cố định dựng hình bình hành ABCD sao cho
. Tìm quỹ tích đỉnh C .
=
AD AB
A. Đường trịn tâm A , bán kính là AB 3 .
B. Đường tròn tâm A , bán kính là AC .
C. Đường trịn tâm A , bán kính là AD .
D. Đường trịn tâm A , bán kính là AD 2 .
B. a 3 .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com
Câu 17: Cho hai đường trịn có bán kính R cắt nhau tại M , N . Đường trung trực của MN cắt các
đường tròn tại A và B sao cho A, B nằm cùng một phía với MN . Tính
=
P MN 2 + AB 2 .
A. P = 2 R 2 .
B. P = 3R 2 .
C. P = 4 R 2 .
D. P = 6 R 2 .
Câu 18: Cho hai đường trịn có bán kính R tiếp xúc ngoài với nhau tại K . Trên đường tròn này lấy
AKB= 90° . Độ dài AB bằng bao nhiêu?
điểm A , trên đường tròn kia lấy điểm B sao cho 
A. R .
B. R 2 .
C. R 3 .
D. 2R .
Câu 19: Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD kẻ các đường cao BK và BH của nó biết

=
KH 3,=
BD 5 . Khoảng cách từ B đến trực tâm H1 của tam giác BKH có giá trị bằng bao
nhiêu?
A. 4 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 4,5 .
DẠNG 2. XAC DỊNH ẢNH CỦA MỘT DIỂM HOẶC HINH QUA PHEP TỊNH TIẾN BẰNG
PHƯƠNG PHAP TỌA DỘ
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tọa độ điểm M ′ là ảnh của điểm M (1; 2 ) qua phép tịnh tiến

theo vectơ v = ( 3;1) .
Câu 3:

Câu 6:
Câu 7:

A. M ′ ( 4; −2 ) .

B. M ′ ( 4; 2 ) .

A. (1; 2 ) .

B. ( 2; 4 ) .

C. M ′ ( 2;1) .
D. M ′ ( 4; −1) .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho vectơ v = ( 2;1) và điểm A ( 4;5 ) . Hỏi A là ảnh của điểm nào


sau đây qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
A. (1;6 ) .
B. ( 2; 4 ) .
C. ( 4;7 ) .
D. ( 6;6 ) .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A ( 2; 2 ) , B ( 4;6 ) và Tv ( A ) = B . Tìm vectơ v.

Câu 9:

D. ( −2; −4 ) .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , biết điểm M ′ ( −3;0 ) là ảnh của điểm M (1; −2 ) qua Tu và điểm
 
M ′′ ( 2;3) là ảnh của M ′ qua Tv . Tìm tọa độ vectơ u + v.
A. (1;5 ) .

Câu 8:

C. ( 4; 2 ) .

B. ( −2; −2 ) .

C. (1; −1) .

D. ( −1;5 ) .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A′, B′ lần lượt là ảnh của các điểm A ( 2;3) , B (1;1)



qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 3;1) . Tính độ dài vectơ A′B′.
A. 2 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 2 .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có các điểm A ( 3;0 ) , B ( −2; 4 ) , C ( −4;5 ) . G
 
là trọng tâm tam giác ABC và phép tịnh tiến theo vectơ u ≠ 0 biến điểm A thành G . Tìm tọa
độ G′ biết G′ = Tu ( G ) .
A. G′ ( −5;6 ) .

B. G′ ( 5;6 ) .

C. G′ ( 3;1) .

D. G′ ( −1;3) .

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ∆ : x + 5 y − 1 =0 và vectơ v = ( 4; 2 ) . Khi đó

ảnh của đường thẳng ∆ qua phép tịnh tiến theo vectơ v là
A. x + 5 y − 15 =
B. x + 5 y + 15 =
C. x + 5 y + 6 =
D. − x − 5 y + 7 =0 .
0.
0 .
0.

Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v = ( −4; 2 ) và đường thẳng ∆′ : 2 x + y − 5 =

0 . Hỏi ∆′ là ảnh
của đường thẳng ∆ nào sau đây qua Tv .
A. ∆ : 2 x + y + 5 =
0.

B. ∆ : 2 x + y − 9 =
0.

C. ∆ : 2 x + y − 15 =
0 . D. ∆ : 2 x + y − 11 =
0.
 x = 1 + 2t
Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ∆ : 
và đường thẳng
 y =−1 − t

∆′ : x + 2 y − 1 =0 . Tìm tọa độ vectơ v biết Tv ( ∆ ) =∆′.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038



v
A.=

( 0; −1)

.

Website: tailieumontoan.com


D. v = ( −1;1) .


C. v = ( 0;1) .


B. v = ( 0; 2 ) .

Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đường trịn ( C ′ ) là ảnh của đường tròn

( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 1 =0 qua phép tịnh tiến theo v = (1;3) .
A. ( C ′ ) : ( x − 3) + ( y − 4 ) =
2 .

B. ( C ′ ) : ( x − 3) + ( y − 4 ) =
4.

C. ( C ′ ) : ( x + 3) + ( y + 4 ) =
4.

D. ( C ′ ) : ( x + 3) + ( y − 4 ) =
4.

2

2

2

2

2

2


Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho =
v

2

( 3; −1)

( C ) qua phép tịnh tiến Tv là
2
2
A. ( x − 1) + ( y − 1) =
16 .
2
2
C. ( x − 7 ) + ( y + 1) =
16 .

2

và đường tròn ( C ) : ( x − 4 ) + y 2 =
16 . Ảnh của
2

B. ( x + 1) + ( y + 1) =

16 .
2

2

D. ( x + 7 ) + ( y − 1) =
16 .
2


Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho =
v

(1; −2 )

2

1 . Ảnh của ( C )
và đường cong ( C ) : 2 x 2 + 4 y 2 =

qua phép tịn tiến Tv là

0.
A. 2 x 2 + 4 y 2 + 4 x + 16 y − 17 =

0.
B. 2 x 2 + 4 y 2 − 4 x + 16 y + 17 =

0.
C. 2 x 2 + 4 y 2 − 4 x − 16 y + 17 =

0.
D. 2 x 2 + 4 y 2 − 4 x − 16 y − 7 =
2
2

x
y
Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip ( E ) : +
1 và véc tơ v = ( 2;1) . Ảnh của ( E ) qua
=
16 9
phép tịn tiến Tv là:
A. ( E )

( x − 2)
:
16

2

( y − 1)
+
9

2

=
1.

B. ( E )

( x + 2)
:
16

2

( y + 1)
+

2

9

=
1.

x2 − 2 y 2 −1
x2 y 2
D. ( E ) :
+
=
1.
+
=
1.
16
9
4 9

Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với α , a, b là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi
 x ' = x.cos α − y.sin α + a
điểm M ( x; y ) thành điểm M ' ( x '; y ') trong đó: 
. Cho hai điểm
 y ' = x.sin α + y.cos α + b
C. ( E ) :

M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) , gọi M ', N ' lần lượt là ảnh của M , N qua phép biến hình F . Khi đó
khoảng cách d giữa M ' và N ' bằng:
A. d =

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )

C. d =

( x2 + x1 ) + ( y2 − y1 )

2

2

2

2

.

B. d =

( x2 + x1 ) + ( y2 + y1 )

.

D. d =

( x2 − x1 ) + ( y2 + y1 )

2

2

2

2

.
.



x2 − x + 1
Câu 18: Cho véc tơ v = ( a; b ) sao cho khi phép tịnh tiến đồ thị
theo véc tơ v ta
=
y f=
x
( )
x −1
2
x

nhận đồ thị hàm số
. Khi đó tích a.b bằng:
=
y g=
( x)
x +1
A. 1 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 4 .

Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v = ( −2;1) và đường thẳng d : 2 x − 3 y + 3 =
0,

d1 : 2 x − 3 y − 5 =
0 . Tìm tọa độ w = ( a; b ) có phương vng góc với đường thẳng d để d1 là
ảnh của d qua phép tịnh tiến Tw . Khi đó a + b bằng:
A.

6
.
13

B.

16
.
13

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

C.

−8
.
13

D.

5
.
13


Website: tailieumontoan.com
Câu 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép biến hình F xác định như sau: Với mỗi điểm M ( x; y )
ta có điểm M ' = F ( M ) sao cho M ' ( x '; y ') thỏa mãn: x '= x + 2; y =' y − 3 . Mệnh đề nào sau
đây đúng:


A. F là phép tịnh tiến theo v = ( 2;3) .
B. F là phép tịnh tiến theo v = ( −2;3) .


C. F là phép tịnh tiến theo =
D. F là phép tịnh tiến theo v =( −2; −3) .
v ( 2; −3) .
Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A (1;6 ) ; B ( −1; −4 ) . Gọi C , D lần lượt là ảnh của

A, B qua phép tịnh tiến theo v = (1;5 ) . Kết luận nào sau đây là đúng:

A. ABCD là hình vng.
C. ABDC là hình bình hành.

B. ABCD là hình bình hành.
D. A, B, C , D thẳng hàng.

Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng có phương trình d : y = 2 , và hai điểm A (1;3) ;

B ( 3; −4 ) . Lấy M trên d , N trên trục hồnh sao cho MN vng góc với d và

AM + MN + NB nhỏ nhất. Tìm tọa độ M , N ?
7  7 
6  6 
A. M  ; 2  , N  ;0  .
B. M  ; 2  , N  ;0  .
5  5 
5  5 
8  8 
9  9 
C. M  ; 2  , N  ;0  .
D. M  ; 2  , N  ;0  .
5  5 
5  5 
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
DẠNG 1: CÁC BÀI TỐN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA
PHÉP TỊNH TIẾN
Câu 1: Đáp án D. 
Khi véc tơ v của phép tịnh tiến Tv có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho thì sẽ
có vơ số phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó.
Câu 2: Đáp án B.


Khi v = 0 : Đường trịn ( C ) có tâm I thì Tv biến đường trịn ( C ) thành chính nó.
Câu 3:
Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:

Câu 7.

Câu 8.

Đáp án B.
 
Khi v = 0 có một phép tịnh tiến biến hình vng thành chính nó.
Đáp án C.
 
Khi tọa độ của véc tơ tịnh tiến v ≠ 0 .
Đáp án B.
 
Ta chỉ ra được ABB ' A ' là hình bình hành ⇒ A ' B ' =
AB
Đáp án D.
 ( d ) thành d
Chẳng hạn lấy bất kỳ A ∈ d1 , B ∈ d 2 ⇒ T
2 nên có vơ số phép tịnh tiến thỏa
1
AB
mãn.
Đáp ánD.
  

Ta có AB + AD = AC ⇒ T
( A) = C .
AC
Đáp án C.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

 
Ta có T
G
=
M
⇔
AG =GM ⇒ BGCM là hình bình hành.
(
)
AG
Câu 9.

Đáp án B.

T ( A ) = B
 AB
 (O ) =
 ( ∆AOF ) =
Ta có T
C ⇒ T

∆BCO .
AB
AB

 (F) = O
T
AB

Câu 10. Đáp án D.
Ta có TIA ( I ) = A nên đáp án D sai.
Câu 11. Đáp án A.

 ( ∆AMI ) =
Từ hình vẽ ta có T
∆MDN .
AM

Câu 12. Đáp án B.

Từ hình vẽ ta có
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038


T
( AB ) = CD với AB, CD là các đoạn thẳng.
BC

Website: tailieumontoan.com

T

( AB ) = CD , với AD, BC là đoạn thẳng nên có một phép tịnh tiến thỏa mãn.
BC

Câu 13. Đáp án 
A.   
   
 ( M ) = M′ .
Ta có : MM ′ + MA = MB ⇔ MM ′ = MB − MA = AB ⇔ T
AB
 .
Vậy tập hợp điểm M ′ là ảnh của đường tròn ( O ) qua T
AB

Câu 14. Đáp án C.

Xét T
( A ) = A′.
BC
Khi đó CA=′ BA
= CD ⇒ ∆CA′D cân tại C .

A′CD
⇒
= 600 ⇒ ∆CA′D đều.
′D a
⇒
A′DA =
150 và AA
=′ BC
= CD

= A=


′D =
⇒ AA
1500
2 A′A2 − 2 A′A2 cos AA′D =
2a2 + 3a2 (áp dụng định lí cosin).
Do đó AD 2 =
⇒ AD = a 2 + 3 .

Câu 15. Đáp án C.

Xét T
( A=) M ⇒ ABCM là hình bình hành.
BC

 =300 ⇒ BCD
 =600 và MCD
 = 300
⇒ BCM
Ta có MD 2 =MC 2 + DC 2 − 2 MC.DC.cos300 =36 ⇒ MD =6
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com
1
MD = CD và MC = MD 3 ⇒ ∆MDC là nửa tam giác đều.
2

=
=
⇒ DMC
900 ⇒ MDA
300



Vậy MDA
= MAD
= MAB
= 300 ⇒ ∆AMD cân tại M ⇒ BC = MA = MD = 6 .

Câu 16. Đáp án D.
Chọn hệ trục về chiều dương như hình vẽ.

Cố định D (1; 0 ) . Với B ( x; y ) ⇒ C ( x + 1; y )
Từ giả thiết AC. AB = AD.BD

⇔

( x + 1)

(
⇔ (x
⇔ (x

2

+ y2 . x 2 + y2 =

2

2

+ y2

)( x + y + 2 x ) =1 − 2 x
+ y + 1)( x + y + 2 x ) − x − y − 2 x =1 − 2 x
+ y + 1)( x + y + 2 x − 1) =
0 (do x + y + 1 > 0 ).

⇔ x 2 + y2
2

( x − 1)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

⇔ x 2 + y 2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ ( x + 1) + y 2 = 2 (1) .
2

Suy ra quỹ tích B là đường trịn tâm I , bán kính
Ta có T
(B) = C
BC

2 ( I là điểm đối xứng của D qua A )

Vậy quỹ tích của C là đường trịn tâm A , bán kính AD 2 .
Câu 17. Đáp án C.
Giả sử trung trực MN cắt ( O1 ) tại A , cắt ( O2 ) tại B ( O1 ở giữa A, B )
(Bạn đọc tự vẽ hình)

Thực hiện phép trịnh tiến theo vectơ O2O1 đường tròn ( O2 ) biến thành đường trịn ( O1 ) . vì
vậy B biến thành A , M biến trhành M1 , N biến thành N1 .

MNN1 M1

là

hình

bình

hành

nội

tiếp

nên

là

hình

chữ

nhật.

Vậy

MN 2 + M1 M 2 = MN 2 + AB 2 = 4 R 2 .
Câu 18. Đáp án D.
(Bạn đọc tự vẽ hình).

Sử dụng phép tịnh tiến theo vectơ O1O2 thì K biến thành C , KA thành CB . Vì vậy AB = 2 R

.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

Câu 19. Đáp án A.

P

B

C

H

H1
A

D

K


Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ KD ta có :
K biến thành D , H1 biến thành H , B biến thành P

= 3, KP
= BD
= 5 nên PH = 25 − 9 = 4 ⇒ BH1 = PH = 4 .

Ta có ∆PHK vuông tại H và KH
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ.
Câu 1.

Đáp án B.
 x′ = 4
Tv ( M =
) M ′ ( x′; y′) ⇔  y′ = 2 ⇒ M ′ ( 4;2 )


Câu 3.

Đáp án B.
 x = x + xv
x = 2
Theo biểu thức tọa độ ⇒  A
⇔
y + yv
4
y =
 y A =

Câu 6.

Đáp án B.
 x =
 x =
xB − x A
2

⇔ v
Ta có  v
yB − y A
4
 yv =
 yv =

Câu 7.

Đáp án A.
  
   
′′
′, v M ′M ′′ ⇒ u +=
Ta
có u MM
v MM
=
=
=

Câu 8.

Đáp án C.
T ( A ) = A′
⇒ A′B′ =AB = 5 .
Ta có v
Tv ( B ) = B′

Câu 9.

Đáp án A.
 
Ta tìm được G ( −1;3) ⇒ u =AG =( −4;3)

(1;5) .

 
′
T
G
=
G
⇒
AG =GG′ ⇒ G′ ( −5;6 ) .
( )
AG
Câu 10. Đáp án A.
Ảnh của ∆ có dạng x + 5y + c = 0 ( ∆′ )
Chọn A (1; 0 ) ∈ ∆ :=
Tv ( A ) A′ ( x; y ) ∈ ∆′ ⇒ A′ ( 5;2 ) thế vào ∆′ : 5 + 10 + c =0 ⇒ c =−15
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

⇒ ∆′ : x + 5y − 15 =0 .

Câu 11. Đáp án D.
 x ′= x − 4

Điểm M ( x; y ) ∈ ∆ biến thành M ( x ′; y′ ) ∈ ∆′ ⇒ 
thay x ′, y′ vào
 y′= y + 2
∆′ : 2 x + y − 11 =
0 .

Câu 12. Đáp án C.
Chọn A (1; −1) ∈ ∆
Thử đáp án C ⇒ Tv ( A=
) A′ ⇒ A′ (1; 0 ) ∈ ∆′ (thỏa mãn)
Câu 13. Đáp án B.
Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;1) , bán kính R = 2
Ta có I=′ Tv ( I ) ⇒ I ′ ( 3; 4 ) ⇒ ( C ′ ) : ( x − 3) + ( y − 4 )= 4 .
2

2

Câu 14. Đáp án C.
Đường tròn ( C ) có tâm I ( 4; 0 ) , bán kính R = 4
Ta có Tv=
( I ) I ′ ( 7; −1)

16
Vậy đường tròn ảnh là ( C ′ ) : ( x − 7 ) + ( y + 1) =
2

2

Câu 15. Đáp án B.
 x′ =

x +1 x =
x′ − 1
Sử dụng quỹ tích điểm M ( x; y ) ∈ ( C ) =
: Tv ( M ) M ′ ( x ′; y′ ) ∈ ( C ′ ) ⇒ 
⇒
y − 2 y =
y′ + 2
 y′ =
Thay vào ( C ) ta được đáp án B.

Câu 16. Đáp án A.
 x= x ′ − 2
Sử dụng quỹ tích điểm : Tv ( M ) = M ′ ( x ′; y′ ) với mọi điểm M ( x; y ) ∈ ( E ) ⇒ 
 y= y′ − 2
Thay vào ( E ) ta được đáp án A.

Câu 17. Đáp án A.
 x ′ = x .cos α − y .sin α + a
1
1
Ta có  1
 y1′ = x1 .sin α − y1 .cos α + b

⇒ M ′N ′=

(

=

(

)

=

(x

x2′ − x1′

2

) (
2

+ y2′ − y1′

(

)

)

2

(

2

)

(

2

cos2 α + y2′ − y1′ sin 2 α + x2′ − x1′ sin 2 α + y2′ − y1′

− x1 ) + ( y2 − y1 ) ⇒ d =
2

2

x2′ − x1′

 x ′ = x .cos α − y .sin α + a
2
2
2

 y2′ = x2 .sin α − y2 .cos α + b

2

(x

− x1 ) + ( y2 − y1 ) .
2

2

Câu 18. Đáp án C.

Ta có g ( x )= f ( x − a ) + b

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

2

) cos α
2

2


x2
=
⇔
x +1

Website: tailieumontoan.com

( x − a) − ( x − a) + 1 + b
2

x − a −1
x + ( −2a + b − 1) x + a2 − ab + a − b + 1
x
⇔
=
x +1
x − a −1
a = −2

⇒
⇒ a.b =
6 .
b = −3
Câu 19. Đáp án C.


Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là =
n ( 2; −3) ⇒ w=
2

2

( 2m; −3m )

=
Tw ( M ) M ′ ( 2m;1 − 3m ) , với M ∈ d

0
Tw ( d=
) d ′ ⇒ d ′ có dạng 2 x − 3y + β =

Vì d ′ qua M ⇒ 4m − 3 + 9m + β = 0 ⇔ β = 3 − 13m .
⇒ d ′ : 2 x − 3y + 3 − 13m =
0

8
  16 24 
8
Để d1 ≡ d ′ ⇒ 3 − 13m =−5 ⇔ m = ⇒ w = ; −  ⇒ a + b =−

.
13
13
 13 13 
Câu 20. Đáp án C.

 x′ =
x + a a =
2
Thật vậy theo biểu thức tọa độ của Tv ( M ) = M ′ 
⇒
⇒v=
y + b b =
−3
 y′ =
Câu 21. Đáp án D.
Tv ( A =
) C ⇒ C ( 2;11)

( 2; −3) .

Tv ( B=
) D ⇒ D ( 0;1)



AB =( −2; −10 ) , CD =( −2; −10 ) , BC =( 3;15)


  

AD =−
( 1; −5) ⇒ BC =−3 AD, AB =CD ⇒ A, B, C, D thẳng hàng.

Câu 22. Đáp án B.
Cách 1 : Thử các tọa độ M , N ta được kết quả AM + MN + NB nhỏ nhất với M ∈ d , N ∈ Ox và
MN ⊥ d .
Cách 2 :
A

d1

H

A1

M

d2 K
N
B

Gọi H ∈ d1 , K ∈ d2 sao cho HK ⊥ d1 .

Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ HK
 ( A ) , A B ∩ d= N , M ∈ d với MN ⊥ d
Gọi A=
T
1
1
1

2
1
HK
AM + MN + NB nhỏ nhất ⇔ AM + NB nhỏ nhất ( MN không đổi)
AM + NB = A1 N + NB ≥ A1B

Dấu " = " xảy ra khi =
N A1B ∩ d2
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com
Lấy A1 (1;1) , điểm N cần tìm là giao điểm của A1B và trục hoành.


Gọi N ( x0 ; 0 ) ⇒ A1 N = ( x0 − 1; −1) , A1B = ( 2; −5)


x − 1 −1
7 
7 
7
= ⇒ x0 = ⇒ N  ; 0  và M  ;2  .
Vì A1 N và A1B cùng phương nên 0
2
−5
5
5 
5 

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A. LÝ THUYẾT
I. Phép đối xứng trục
1. Định nghĩa
Phép đối xứng qua một đường thẳng a là phép biến hình biến điểm M thành điểm M ′ đối xứng với M
qua đường thẳng a .
Kí hiệu : Đa ( a là trục đối xứng)



− M0 M với M0 là hình chiếu của M trên a .
Ña ( M ) =
M ′ ⇔ M0 M ′ =

M

Ña ( M ) = M ⇔ M ∈ a

M0

a

Ña ( M ) =
M ′ ⇔ Ña ( M ′ ) =
M
M'

a là trung trực của đoạn MM ′ .
2. Tính chất
Tính chất 1 : Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Tính chất 2 : Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.
A
d

B

O R
C
a
C'

B'

O'

d'

R'

A'

Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba
điểm đó.
3. Trục đối xứng của một hình
Đường thẳng a gọi là trục đối xứng của hình H nếu Đa biến hình H thành chính nó. Khi đó H được gọi

là hình có trục đối xứng.
4. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy : Ña : M ( x; y ) → M ′ ( x ′; y′ )
 x = x′
Nếu a ≡ Ox ⇒ 
 y = − y′

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com
 x = − x′
Nếu a ≡ Oy ⇒ 
 y = y′

II. Phép đối xứng tâm
1. Định nghĩa
Cho điểm I . Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M ′ sao cho I
là trung điểm MM ′ được gọi là phép đối xứng tâm I .
Kí hiệu: ĐI ( I là tâm đối xứng)



ÑI ( M ) =⇔
M ′ IM ′ =
− IM

M'
I
M

Nếu M ≡ I ⇔ M ′ ≡ I .
Nếu M ≠ I ⇔ I là trung điểm của MM ′ .
2. Tính chất


Tính chất 1 : Nếu ÑI ( M ) = M ′ và ÑI ( N ) = N ′ thì M ′N ′ = − MN , từ đó suy ra M ′N ′ = MN .
Tính chất 2 : Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nóm biến đường trịn thành
đường trịn có cùng bán kính.
Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và khơng làm thay đổi thứ tự ba
điểm đó.
Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

A
B

A

O

B

C

I

A'

B'

C'

I

A

B'

I
A'

A'

O'

3. Tâm đối xứng của một hình.
Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó. Khi
đó H được gọi là hình có tâm đối xứng.
4. Biểu thức tọa độ
Trong

mặt

phẳng

tọa

độ

Oxy ,

cho

I 0 ( x 0 ; y0 )

,

M ( x; y ) và

gọi

M ′ ( x ′; y′ )

với

=
x ′ 2 x0 − x
ÑI ( M=
) M ′ ⇒ =
 y′ 2 y0 − y

I
M(x;y)

M'(x';y')

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM
DẠNG 1. KHAI THÁC DỊNH NGHĨA, TINH CHẤT VA ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
VÀ ĐỐI XỨNG TÂM.
Phương pháp :
- Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Tìm quỹ tích điểm thơng qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Vận dụng đối xứng trục, đối xứng tâm để giải các bài tốn hình học khác…
Ví dụ 10: Cho đường thẳng a . Qua phép đối xứng trục a , đường thẳng nào biến thành chính nó.
A. Các đường thẳng song song với a .
B. Các đường thẳng vng góc với a .
C. Các đường thẳng hợp với a một góc 600 .
D. Các đường thẳng hợp với a một góc 300 .
Đáp án B.
Lời giải:
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

A

l
a

A'
Giả sử l là đường thẳng vng góc với a .
Lấy A ∈ l và Da ( A ) ≡ A′ ⇒ AA′ ⊥ a ⇒ A′ ∈ l và ngược lại vẫn thỏa mãn ⇒ Da ( l ) =
l .
Ví dụ 11: Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d ′ . có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng

này thành đường thẳng kia?
A. Khơng có.
B. Một.
C. Hai.
D. Vơ số.
Lời giải:
Đáp án C.
Có 2 phép đối xứng trục với các trục là hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
cắt nhau d và d ′ .
a'
d

d'

Ví dụ 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình vng có vơ số trục đối xứng.
B. Hình chữ nhật có 4 trục đối xứng.
C. Tam giác đều có vơ số trục đối xứng .
D. Tam giác cân nhưng khơng đều có 1 trục đối xứng.
Lời giải:
Đáp án D.
Tam giác cân nhưng không đều có một trục đối xứng là đường cao ứng với đỉnh của tam giác
cân đó.
Ví dụ 13: Hình nào dưới đây có một tâm đối xứng?

A.
Đáp án C.

.

B.

.
C.
Lời giải:

.

D.

.

Hình C có một tâm đối xứng tại giao điểm của hai đường chéo.
Ví dụ 14: Giải sử phép đối xứng tâm O biến đường thẳng d thành d1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề
nào đúng?
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038