Tài liệu Phụ đạo đại số 10 docx

Ebook4Me.Net
1

PHẦN 1 HÀM SỐ BẬC NHẤT
y ax b
 

I. Kiến thức cơ bản:
1. Hàm số


0
y ax b a
  
:
- Tập xác định
D R

.
- Hàm số
y ax b
 
đồng biến trên
0
R a
 

- Hàm số
y ax b
 
nghịch biến trên

0
R a
 

- Đồ thị là đường thẳng qua
 
0; , ;0
b
A b B
a
 

 
 
.
2. Hàm số hằng
y b

:
- Tập xác định
D R

.
- Đồ thị hàm số
y b

là đường thẳng song song với trục hoành
Ox
và đi qua



0;
A b
.
3. Hàm số
y x

:
- Tập xác định
D R

.
- Hàm số
y x

là hàm số chẵn.
- Hàm số đồng biến trên


0;

.
- Hàm số nghịch biến trên


;0

.

4. Định lý:



:
d y ax b
 
và


' : ' '
d y a x b
 

-


d
song song


'
d

'
a a

và
'
b b

.

-


d
trùng


'
d

'
a a

và
'
b b

.
-


d
cắt


'd

'
a a


.
Bài tập ví dụ:

1) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ:
2
y x

;
2 2
y x
 
;
3
y x
  
;
2
y


Hàm số
2
y x

Hàm số
2 2
y x
 
Hàm số
3

y x
  

Cho
0 0
x y
  
,


0;0
O
cho
0 2
x y
   
,


0; 2
B

cho
0 3
x y
  
,


0;3

D

Cho
1 2
x y
  
,


1;2
A
cho
1 0
x y
  
,


1;0
C
cho
1 2
x y
  
,


1;2
A

Hàm số
2
y

là đường thẳng song song với trục hoành
Ox
và đi qua điểm


0;2
E

(Học sinh tự vẽ hình)
2) Tìm a,b để đồ thị hàm số
y ax b
 
đi qua hai điểm


2;1
A
và


1;3
B 
.
Giải:
Vì đồ thị hàm số
y ax b

 
đi qua hai điểm


2;1
A
và


1;4
B 
nên ta có hệ phương trình
2 1
4
a b
a b
 


  


Giải hệ ta được
1
a
 
và
3
b


. Vậy hàm số cần tìm là
3
y x
  
.

3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số bậc nhất: tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của đồ thị
hai hàm số bậc nhất sau đây
2 1
y x
 
và
3 2
y x
 
.
Giải:
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ
2 1 2 1 3 2 1
3 2 3 2 1
y x x x x
y x y x y
     
  
 
  
    
  
.
Vậy giao điểm cần tìm là điểm



1;1
M


4) Tìm a,b để đường thẳng
y ax b
 
đi qua


1;1
M 
và song song với đường thẳng
3 2
y x
 

Giải: Vì đường thẳng
y ax b
 
song song với đường thẳng
3 2
y x
 
nên ta có
3
a


.
Ebook4Me.Net
2

Vì
y ax b
 
đi qua


1;1
M 
nên ta có
1 1.
a b
  
, thế
3
a

ta tìm được
4
b


Vậy đường thẳng cần tìm là
3 4
y x
 
.

5) Vẽ đồ thị hàm số cho bởi nhiều công thức:
Vẽ đồ thị hàm số
 
1, khi 1
2 , khi 1
x x
y f x
x x
 

 

 


Với
1
x

ta có
1
y x
 
Với
1
x

ta có
2

y x
 

Cho
1 2
x y
  
,


1;2
A
cho
0 2
x y
  
,


0;2
C

Cho
2 3
x y
  
,


2;3

B
cho
1 3
x y
   
,


1;3
D 


BÀI TẬP

1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ:
2 ; 2 ; 2 3 ; 2
y x y x y x y
     
.
2. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
1, khi 0
2 , khi 0
x x
y
x x
 




 

b)
3 1, khi 1
1, khi 1
x x
y
x x
  



   

c)
2 4, khi 2
4 2 , khi 2
x x
y
x x
 



 

d)
2, khi 1
2 1, khi 1
x x

y
x x
  



 


e)
1
y x
 
f)
2 3
y x
 
g)
1
y x
 
h)
1 2
y x
  

3. Tìm
m
để các hàm số:
a)



1 3
y m x
  
đồng biến trên
R
. b)


2 3 6
y m x
  
nghịch biến trên
R
.
c)


1 3 2
y m x x m
   
tăng trên
R
. d)


2 3 2
y m x x m
   

giảm trên
R
.
4. Tìm a,b để đồ thị hàm số
y ax b
 
:
a) Đi qua hai điểm


1; 3
A

và


2;3
B
. c) Đi qua điểm


2; 1
M

và song song với
3
y x
 

b) Đi qua gốc tọa độ và



2;1
A
. d) Đi qua gốc tọa độ và song song với
2 2009
y x
 

5. Tìm
m
để:
a) Đồ thị hàm số
3 5
y x
 
cắt đồ thị hàm số


2 5
y m x
  
.
Ebook4Me.Net
3

b) th hm s
2 2
y x

song song vi th hm s


2
1 2
y m x m

.
c) th hm s
2
y x

trựng vi th hm s
2
2
y m x m

.
6. Tỡm ta giao im nu cú ca th hai ham s:
a)
3 1
y x

v
1
y x

b)
3 1
y x

v
1
y x

c)
5 6
y x

v
6
y x


7. Tỡm
m
th ca ba hm s sau ng quy (cựng i qua mt im):
a)
2
y x

v
3
y x

v
1
y mx

b)
1
y x

v
3
y x

v
2
3 2
y m x m


c)
2
y x

v
3
y x m

v


2 5
y m x


8. Cho hm s

1 2
y m x


a) Chng minh rng th hm s trờn luụn i qua mt im c nh vi mi
m
.
b) Tỡm
0
m

th hm s


1 2
y m x

ct
,
Ox Oy
ti hai im
,
A B
sao cho
OAB

cõn ti O.
PHN 2

Hàm số bậc hai - một số dạng toán liên quan

Dạng 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)y= x
2
- 6x+ 3 b)y= x
2
- 4x+ 3 c)y= -x
2
+ 5x- 4
d) y= 3x
2
+ 7x+ 2 e) y= -x
2
- 2x+ 4
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)
2
y x 4x 3

b)
2
y x 4x 3

c)
2
y x 4 x 3

d)
2
y x 4 x 3

e)
2
y x 4x 3


Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
a) y = x
2
-5x + 7 trên đoạn [-2;5] b) y = -2x
2
+ x -3 trên đoạn [1;3]
c) y = -3x
2
- x + 4 trên đoạn [-2;3] d) y = x
2
+ 3x -5 trên đoạn [-4; -1]
Bài 4.
Tìm m để các bất phơng trình sau đúng với mọi giá trị của m:
a) x
2
- 3x + 1 > m b) -x
2
+2x - 1 > 4m c)
2
2x x 1 2m 1

Ebook4Me.Net
4

d)
2
3x x 3 3m

e)








x 1 x 2 x 3 x 4 m

f)
2 2
x 2x 1 m m


g)

x 3 x 5 x 2 x 4 3m 1


Dạng 2. Lập phơng trình của parabol khi biết các yếu tố của nó
Bài 5. Xác định phơng trình các parabol:
a) y= x
2
+ ax+ b đi qua S(0; 1)
b) y= ax
2
+ x+ b đi qua S(1; -1)
c) y= ax
2
+ bx- 2 đi qua S(1; 2)
d) y= ax
2
+ bx+ c đi qua ba điểm A(1; -1), B(2; 3), C(-1; -3)
e) y= ax
2
+ bx+ c cắt trục hoành tại x
1
= 2và x
2
= 3, cắt trục tung tại: y= 6
f) y= ax
2
+ bx+ c đi qua hai điểm m(2; -7), N(-5; 0) và có trục đối xứng x= -2

g) y= ax
2
+ bx+ c đạt cực tiểu bằng 6 tại x= -3 và qua điểm E(1; -2)
h) y= ax
2
+ bx+ c đạt cực đại bằng 7 tại x= 2 và qua điểm F(-1; -2)
i) y= ax
2
+ bx+ c qua S(-2; 4) và A(0; 6)
Bài 6. Tìm parabol y=ax
2
+ bx+ 2 biết rằng parabol đó:
a) Đi qua hai điểm A(1; 5) và B(-2; 8) b)Cắt trục hoành tại x
1
= 1 và x
2
= 2
c) Đi qua điểm C(1; -1) và có trục đối xứng x= 2 d)Đạt cực tiểu bằng 3/2 tại x= -1
e) Đạt cực đại bằng 3 tại x= 1
Bài 7.
Tìm parabol y= ax
2
+ 6x+ c biết rằng parabol đó
a) Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(-1; -10) b)Cắt trục hoành tại x
1
= -2 và x
2
= -4
c) Đi qua điểm C(2; 5) và có trục đối xứng x= 1 d)Đạt cực tiểu bằng -1 tại x= -1
e) Đạt cực đại bằng 2 tại x= 3

Bài 8.
Lập phơng trình của (P) y = ax
2
+ bx + c biết (P) đi qua A(-1;0) và tiếp xúc với đờng
thẳng (d) y = 5x +1 tại điểm M có hoành độ x = 1
Dạng 3. Sự tơng giao của parabol và đờng thẳng
Bài 9. Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số sau:
a) y= x- 1 và y= x
2
- 2x- 1 b) y=-x+ 3 và y= -x
2
- 4x +1
c) y= 2x- 5 và y=x
2
- 4x+ 4 d) y= 2x+ 1 và y=x
2
- x- 2
e) y= 3x- 2 và y= -x
2
- 3x+ 1 f) y= -
4
1
x+ 3 và y=
2
1
x
2
+ 4x+ 3
Bài 10. Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số sau:
a) y= 2x

2
+3x+ 2 và y= -x
2
+ x- 1 b) y= 4x
2
- 8x+ 4 và y= -2x
2
+ 4x- 2
c) y= 3x
2
+ 10x+ 7 và y= -4x
2
+ 3x+ 1 d)y= x
2
- 6x+ 8 và y= 4x
2
- 5x+ 3
e)y= -x
2
+ 6x- 9 và y= -x
2
+ 2x+ 3 f) y= x
2
- 4 và y= -x
2
+ 4
Bài 11 Biện luận số giao điểm của đờng thẳng (d) với parabol (P)
Ebook4Me.Net
5

a) (d): y= mx- 1 và (P): y= x
2
- 3x+ 2
b) (d): y= x- 3m+ 2 và (P): y= x
2
- x
c) (d): y= (m- 1)x+ 3 và (P): y= -x
2
+ 2x+ 3
d) (d): y= 5x+ 2m+ 5 và (P): y= 5x
2
+ 3x- 7
Bài 12. Cho họ (P
m
) y = mx
2
+ 2(m-1)x + 3(m-1) với m0. Hãy viết phơng trình của parabol
thuộc họ (P
m
) tiếp xúc với Ox.
Bài 13Cho họ (P
m
) y = x
2
+ (2m+1)x + m
2
1. Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (P
m
) luôn cắt
đờng thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng hằng số.

Dạng 4.
Phơng trình tiếp tuyến của Parabol
Bài 14. Viết phơng trình tiếp tuyến của (P) y = x
2
- 2x +4 biết tiếp tuyến:
a) Tiếp điểm là M(2;4) b) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (d
1
) y = -2x + 1
c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(1:2) d) Tiếp tuyến vuông góc với (d
2
) y = 3x + 2
Bài 15. Viết phơng trình tiếp tuyến của (P) y = -2x
2
+ 3x -1 biết tiếp tuyến:
a) Tiếp điểm là M(-1;3) b) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (d
1
) y = 3x -2
c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(-3:2) d) Tiếp tuyến vuông góc với (d
2
) y = -3x -1
Dạng 5. Điểm đặc biệt của Parabol
Bài 16. Tìm điểm cố định của (P
m
): y = mx
2
+ 2(m-2)x - 3m +1.
Bài 17.
Tìm điểm cố định của (P
m
): y = (m+1)x

2
- 3(m+1)x - 2m -1
Bài 18. Tìm điểm cố định của (P
m
): y = (m
2
- 1)x
2
- 3(m+1)x - m
2
-3m + 2
Dạng 6. Quĩ tích điểm
Bài 19. Tìm quĩ tích đỉnh của (P
m
) y = x
2
- mx + m
Bài 20.
Tìm quĩ tích đỉnh của (P
m
) y = x
2
- (2m+1)x + m-1
Bài 21. Cho (P) y = x
2

a) Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó có thể kẻ đợc đúng hai tiếp tuyến tới (P).
b) Tìm quỹ tích tất cả các điểm mà từ đó ta có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (P) và hai tiếp tuyến
đó vuông góc với nhau.
Dạng 7. Khoảng cách giữa hai điểm liên quan đến parabol

Bài 22. Cho (P)
2
x
y
4

và điểm M(0;-2). Gọi (d) là đờng thẳng qua M có hệ số góc k
a) Chứng tỏ với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Tìm k để AB ngắn nhất.
Bài 23.
Cho (P) y = x
2
, lấy hai điểm thuộc (P) là A(-1;1) và B(3;9) và M là một điểm thuộc cung
AB. Tìm toạ độ của M để diện tích tam giác AMB là lớn nhất.
Bài 24.
Cho hàm số y = x
2
+(2m+1)x + m
2
- 1 có đồ thị (P).
Ebook4Me.Net
6

a) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (P) luôn cắt đờng thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và
khoảng cách giữa hai điểm này không đổi.
b) Chứng minh rằng với mọi m, (P) luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định. Tìm phơng trình
đờng thẳng đó.
Bài 25. Cho (P)
2
y 2x x 3

. Gọi A và B là hai điểm di động trên (P) sao cho AB=4. Tìm quĩ
tích trung điểm I của AB.
Dạng 8.
ứng dụng của đồ thị trong giải phơng trình, bpt
Bài 26. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
a) x
2
+ 2x + 1 = m b) x
2
-3x + 2 + 5m = 0 c) - x
2
+ 5x -6 - 3m = 0
Bài 27. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
a)
2
x 5x 6 3m 1

b)
2
x 4 x 3 2m 3

c)
2
2x x 4m 3 0


Bài 28. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:

2
2 2
x 2x 4 x 2x 5 m


Bài 29. Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
2
x x 2 4m 3


Bài 30. Tìm m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
2
x x 2 5 2m


Bài 31. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
( )
4 3 2
y f x x 4x x 10x 3

trên đoạn [-1;4]
Bài 32. Cho x, y, z thay đổi thoả mãn x
2
+ y
2
+ z
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P= x +

y + z + xy

+ yz + zx
Bài 33.
Tìm m để bất đẳng thức
2 2
x 2x 1 m 0

thoả mãn với mọi x thuộc đoạn [1;2].












PHN III
Ebook4Me.Net
7

Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

Bài tập 1 : Định giá trị của tham số m để phơng trình

2

( 1) 5 20 0
x m m x m


Có một nghiệm x = - 5 . Tìm nghiệm kia.
Bài tập 2 :
Cho phơng trình

2
3 0
x mx

(1)
a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia.
Bài tập 3 : Cho phơng trình

2
8 5 0
x x m

(1)
a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các
nghiệm của phơng trình trong trờng hợp này.
Bài tập 4 :
Cho phơng trình

2
( 4) 2 2 0

m x mx m

(1)
a) m = ? thì (1) có nghiệm là x =
2
.
b) m = ? thì (1) có nghiệm kép.
Bài tập 5 : Cho phơng trình

2
2( 1) 4 0
x m x m

(1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi m.
b) m =? thì (1) có hai nghiệm trái dấu .
c) Giả sử
1 2
,
x x
là nghiệm của phơng trình (1) CMR : M =




2 1 1 2
1 1
x x x x

không phụ

thuộc m.
Bài tập 6 :
Cho phơng trình

2
2( 1) 3 0
x m x m

(1)
a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi m.
b) Đặt M =
2 2
1 2
x x

(
1 2
,
x x
là nghiệm của phơng trình (1)). Tìm min M.
Bài tập 7: Cho 3 phơng trình

2
2
2
1 0(1);
1 0(2);
1 0(3).
x ax b
x bx c

x cx a




Chứng minh rằng trong 3 phơng trình ít nhất một phơng trình có nghiệm.
Bài tập 8:
Cho phơng trình

2 2
( 1) 2 0
x a x a a

(1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm trái dấuvới mọi a.
b)
1 2
,
x x
là nghiệm của phơng trình (1) . Tìm min B =
2 2
1 2
x x

.
Bài tập 9:
Cho phơng trình

2
2( 1) 2 5 0

x a x a

(1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi a
b) a = ? thì (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
thoả mãn
1 2
1
x x

.
c) a = ? thì (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
thoả mãn
2 2
1 2
x x

= 6.


Bài tập 10: Cho phơng trình

2
2 (2 1) 1 0

x m x m

(1)
Ebook4Me.Net
8

a) m = ? thì (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
thoả mãn
1 2
3 4 11
x x

.
b) Chứng minh (1) không có hai nghiệm dơng.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa
1 2
,
x x
không phụ thuộc m.
Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dơng -> vô lý
Bài tập 11:
Cho hai phơng trình

2
2
(2 ) 3 0(1)
( 3 ) 6 0(2)

x m n x m
x m n x



Tìm m và n để (1) và (2) tơng đơng .
Bài tập 12: Cho phơng trình

2
0( 0)
ax bx c a

(1)
điều kiện cần và đủ để phơng trình (1) có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là
2 2
( 1) 0( 0)
kb k ac k


Bài tập 13:
Cho phơng trình

2
2( 4) 7 0
mx m x m

(1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
,

x x
.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
thoả mãn
1 2
2 0
x x

.
c) Tìm một hệ thức giữa
1 2
,
x x
độc lập với m.
Bài tập 14: Cho phơng trình

2 2
(2 3) 3 2 0
x m x m m

(1)
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để phong trình có hai nghiệm đối nhau .
c) Tìm một hệ thức giữa
1 2
,
x x

độc lập với m.
Bài tập 15: Cho phơng trình

2
( 2) 2( 4) ( 4)( 2) 0
m x m x m m

(1)
a) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép.
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
. Tìm một hệ thức giữa
1 2
,
x x
độc lập với m.
c) Tính theo m biểu thức
1 2
1 1
1 1
A
x x


;
d) Tìm m để A = 2.

Bài tập 16: Cho phơng trình

2
4 0
x mx

(1)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi .
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
2 2
1 2
2( ) 7
x x
A
x x



.
c) Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phơng trình đều là nghiệm nguyên.
Bài tập 17: Với giá trị nào của k thì phơng trình
2
7 0
x kx

có hai nghiệm hơn kém nhau
một đơn vị.

Bài tập 18: Cho phơng trình

2
( 2) 1 0
x m x m

(1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt.
Ebook4Me.Net
9

c) Tìm m để phơng trình có nghiệm âm.
Bài tập 19:
Cho phơng trình

2
( 1) 0
x m x m

(1)
a) CMR phơng rình (1) luôn có nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phơng trình . Tính
2 2
1 2

x x

theo m.
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
thoả mãn
2 2
1 2
x x

= 5.
Bài tập 20: Cho phơng trình

2 2
(2 1) 3 0
x m x m m

(1)
a) Giải phơng trình (1) với m = -3.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó bằng 4. Tìm hai nghiệm đó .
Bài tập 21: Cho phơng trình

2
12 0
x x m

(1)
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm

1 2
,
x x
toả mãn
2
2 1
x x

.
Bài tập 22: Cho phơng trình

2
( 2) 2 1 0
m x mx

(1)
a) Giải phơng trình với m = 2.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
thoả mãn




1 2
1 2 1 2 1

x x

.
Bài tập 23: Cho phơng trình

2
2( 1) 3 0
x m x m

(1)
a) Giải phơng trình với m = 5.
b) CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m.
c) Tính A =
3 3
1 2
1 1
x x

theo m.
d) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau.
Bài tập 24:
Cho phơng trình

2
( 2) 2 4 0
m x mx m

(1)
a) Tìm m để phơng trình (1) là phơng trình bậc hai.
b) Giải phơng trình khi m =

3
2
.
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm.
Bài tập 25:
Cho phơng trình

2
0
x px q

(1)
a) Giải phơng trình khi p =


3 3

; q =
3 3
.
b) Tìm p , q để phơng trình (1) có hai nghiệm :
1 2
2, 1
x x


c) CMR : nếu (1) có hai nghiệm dơng
1 2
,
x x

thì phơng trình
2
1 0
qx px

có hai nghiệm
dơng
3 4
,
x x

d) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là
1 2
3 3
x va x
;
2
1
1
x
và
2
2
1
x
;
1
2
x
x

và
2
1
x
x

Bài tập 26:
Cho phơng trình

2
(2 1) 0
x m x m

(1)
a) CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn :
1 2
1
x x

;
Ebook4Me.Net
10

c) Tìm m để
2 2
1 2 1 2
6
x x x x

đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 27: Cho phơng trình

2
2( 1) 2 10 0
x m x m

(1)
a) Giải phơng trình với m = -6.
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
. Tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 2 1 2
10
A x x x x


Bài tập 28: Cho phơng trình

2
( 1) (2 3) 2 0
m x m x m

(1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để (1) có hai nghiệm
1 2

,
x x
. Hãy tính nghiệm này theo nghiệm kia.
Bài tập 29: Cho phơng trình

2 2
2( 2) ( 2 3) 0
x m x m m

(1)
Tìm m để (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
phân biệt thoả mãn
1 2
1 2
1 1
5
x x
x x



Bài tập 30:
Cho phơng trình

2
0
x mx n

có 3
2
m
= 16n.
CMR hai nghiệm của phơng trình , có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia.
Bài tập 31 : Gọi
1 2
,
x x
là các nghiệm của phơng trình
2
2 3 5 0
x x

. Không giải phơng trình ,
hãy tính : a)
1 2
1 1
x x

; b)
2
1 2
( )
x x

;
c)
3 3

1 2
x x

d)
1 2
x x


Bài tập 32 :
Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng :
a)
3
và 2
3
; b) 2 -
3
và 2 +
3
.
Bài tập 33 :
CMR tồn tại một phơng trình có các hệ số hữu tỷ nhận một trong các nghiệm là :
a)
3 5
3 5


; b)
2 3
2 3

; c)
2 3


Bài tập 33 : Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng :
a) Bình phơng của các nghiệm của phơng trình
2
2 1 0
x x

;
b) Nghịch đảo của các nghiệm của phơng trình
2
2 0
x mx


Bài tập 34 : Xác định các số m và n sao cho các nghiệm của phơng trình

2
0
x mx n

cũng là m và n.
Bài tập 35:
Cho phơng trình

2 3
2 ( 1) 0

x mx m

(1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = -1.
b) Xác định m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm bằng bình
phuơng nghiệm còn lại.


Bài tập 36: Cho phơng trình

2
2 5 1 0
x x

(1)
Tính
1 2 2 1
x x x x

( Với
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phơng trình)
Bài tập 37: Cho phơng trình

2
(2 1) 2 1 0
m x mx

(1)
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; 0 ).
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
thoả mãn
2 2
1 2
1
x x


Ebook4Me.Net
11

Bài tập 38 :
Cho phng trỡnh x
2
- (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k l tham s).

Chng minh rng phng trỡnh luụn luụn cú nghim.
Bài tập 39
:
Tìm các giá rị của a để ptrình :



032)3(
222

axaxaa

Nhận x=2 là nghiệm .Tìm nghiệm còn lại của ptrình ?
Bài tập 40

Xác định giá trị của m trong phơng trình bậc hai :

2
8 0
x x m


để 4 +
3
là nghiệm của phơng trình . Với m vừa tìm đợc , phơng trình đã cho còn một
nghiệm nữa . Tìm nghiệm còn lại ấy?
Bài tập 41:
Cho phơng trình :
2
2( 1) 4 0
x m x m

(1) , (m là tham số).
1) Giải phơng trình (1) với m = -5.
2) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm
1 2
,
x x
phân biệt mọi m.
3) Tìm m để

1 2
x x

đạt giá trị nhỏ nhất (
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2/ ) .
Bài tập 42:

Cho phng trỡnh
1. Gii phng trỡnh khi b= -3 v c=2
2. Tỡm b,c phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit v tớch ca chỳng bng 1
Bài tập 43:

Cho phng trỡnh x
2
2mx + m
2
m + 1 = 0 vi m l tham s v x l n s.
a) Gii phng trỡnh vi m = 1.
b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit x
1
,x
2
.
c) Vi iu kin ca cõu b hóy tỡm m biu thc A = x
1
x
2

- x
1
- x
2
t giỏ tr nh nht.
Bài tập 44:

Cho phơng trình ( ẩn x) : x
4
- 2mx
2
+ m
2

3 = 0
1) Giải phơng trình với m =
3

2) Tìm m để phơng trình có đúng 3 nghiệm phân biệt

Bài tập 45: Cho phơng trình ( ẩn x) : x
2
-
2mx + m
2


2
1
=

0 (1)

1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt đối bằng nhau
2) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc vuông của một
tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.

Bài tập 46: Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là:

53
4
1

x
và
53
4
2

x

1) Tính : P =
44
53
4
53
4

Bài tập 47: Tìm m để phơng trình :
012
2
mxxx
có đúng hai nghiệm phân biệt.
Ebook4Me.Net
12


Bài tập 48: Cho hai phơng trình sau :
2
2
(2 3) 6 0

2 5 0
x m x
x x m


( x là ẩn , m là tham số )
Tìm m để hai phơng trình đã cho có đúng một nghiệm chung.

Bài tập 49:

Cho phơng trình :
2 2
2( 1) 1 0
x m x m

với x là ẩn , m là tham số cho trớc
1) Giải phơng trình đã cho kho m = 0.
2) Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm dơng
1 2
,
x x
phân biệt thoả mãn điều kiện
2 2
1 2
4 2
x x

Bài tập 50: Cho phơng trình :

2
2 1 2 3 0
m x m x m

( x là ẩn ; m là tham số ).
1) Giải phơng trình khi m = -
9
2

2) CMR phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m.
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp
ba lần nghiệm kia.

Bài tập 52: Cho phơng trình x
2
+ x 1 = 0 .
a) Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm trái dấu .
b) Gọi
1
x
là nghiệm âm của phơng trình . Hãy tính giá trị biểu thức :
8
1 1 1
10 13
P x x x

Bài tập 53: Cho phơng trình với ẩn số thực x:
x
2
- 2(m 2 ) x + m - 2 =0. (1)
Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.


Bài tập 54:

Cho phơng trình : x
2
+ 2(m-1) x +2m - 5 =0. (1)
a) CMR phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để 2 nghiệm
1 2
,
x x
của (1) thoả mãn :
2 2
1 2
14
x x

.
Bài tập 55:
a) Cho a =
11 6 2 , 11 6 2
b
. CMR a, ,b là hai nghiệm của phơng trình bậc hai với hệ số

nguyên.
b) Cho
3 3
6 3 10, 6 3 10
c d

. CMR
2 2
,
c d
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai với hệ số
nguyên.
Bài tập 56: Cho phơng trình bậc hai :

2 2
2( 1) 1 0
x m x m m

(x là ẩn, m là tham số).
1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình có 2 nghiệm
1 2
,
x x
thoả mãn :
1 2
3
x x

.

3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tập giá trị của hàm số
y=
2 2
2( 1) 1
x m x m m

chứa đoạn


2;3
.
Ebook4Me.Net
13

Bài tập 57:Cho phơng trình :
x
2
- 2(m-1) x +2m - 3 =0.
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm này bằng bình phơng nghiệm kia.

Bài tập 58: Cho phơng trình :
2 2
6 6 0.
x x a a


1) Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm.
2) Giả sử
1 2

,
x x
là nghiệm của phơng trình này. Hãy tìm giá trị của a sao cho
3
2 1 1
8
x x x


Bài tập 59: Cho phơng trình :
mx
2
-5x ( m + 5) = 0 (1) trong đó m là tham số, x là ẩn.
a) Giải phơng trình khi m = 5.
b) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
c) Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
, hãy tính theo m giá trị của
biểu thức B =
2 2
1 2 1 2
10 3( )
x x x x

. Tìm m để B = 0.

Bài tập 60:

a) Cho phơng trình :
2 2
2 1 0
x mx m

( m là tham số ,x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị nguyên
của m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
thoả mãn điều kiện
1 2
2000 2007
x x

b) Cho a, b, c, d

R . CMR ít nhất một trong 4 phơng trình sau có nghiệm

2
2
2
2
2 0;
2 0;
2 0;
2 0;
ax bx c
bx cx d
cx dx a

dx ax b







Bài tập 61:
1) Cho a, b , c, là các số dơng thoả mãn đẳng thức
2 2 2
a b ab c

. CMR phơng trình
2
2 ( )( ) 0
x x a c b c

có hai nghiệm phân biệt.
Cho phơng trình
2
0
x x p

có hai nghiệm dơng
1 2
,
x x
. Xác định giá trị của p khi
4 4 5 5

1 2 1 2
x x x x


đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập 62:
Cho phơng trình :
(m + 1 ) x
2

( 2m + 3 ) x +2 = 0 , với m là tham số.
a) Giải phơng trình với m = 1.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia.

Bài tập 63:
Cho phơng trình
:
2 2
3 2 2 10 4 0
x y xy x y

(1)
1) Tìm nghiệm ( x ; y ) của phơng trình ( 1 ) thoả mãn
2 2
10
x y


2) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình (1).
Bài tập 64: Giả sử hai phơng trình bậc hai ẩn x :

2
1 1 1
0
a x b x c

và
2
2 2 2
0
a x b x c


Có nghiệm chung. CMR
:






2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
.
a c a c a b a b b c b c


Bài tập 65: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :
Ebook4Me.Net

14


2 2
2( 1) 2 3 1 0
x m x m m


a) Chứng minh phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi
0 1
m


b) Gọi
1 2
,
x x
là nghiệm của phơng trình , chứng minh :
1 2 1 2
9
8
x x x x


Bài tập 66: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :

2 2
2 2 2 0
x mx m

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm.
b) Gọi
1 2
,
x x
là nghiệm của phơng trình , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
1 2 1 2
2 4
A x x x x

.
Bài tập 67:
Cho phơng trình bậc hai ẩn x :

2
( 1) 2( 1) 3 0
m x m x m

với m

1. (1)
a) CMR (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi
1 2
,
x x
là nghiệm của phơng trình (1) , tìm m để
1 2
0

x x

và
1 2
2
x x


Bài tập 68: Cho a , b , c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác . CMR phơng trình

2
( ) 0
x a b c x ab bc ac

vô nghiệm .
Bài tập 69:
Cho các phơng trình bậc hai ẩn x :

2
2
0(1);
0(2).
ax bx c
cx dx a



Biết rằng (1) có các nghiệm m và n, (2) có các nghiệm p và q. CMR :
2 2 2 2
4

m n p q

.
Bài tập 70: Cho các phơng trình bậc hai ẩn x :

2
0
x bx c

có các nghiệm
1 2
,
x x
; phơng trình
2 2
0
x b x bc

có các nghiệm
3 4
,
x x
.
Biết
3 1 4 2
1
x x x x

. Xác định b, c.
Bài tập 71

: Giải các phơng trình sau
a) 3x
4
- 5x
2
+2 = 0
b) x
6
-7x
2
+6 = 0
c) (x
2
+x +2)
2
-12 (x
2
+x +2) +35 = 0
d) (x
2
+ 3x +2)(x
2
+7x +12)=24
e) 3x
2
+ 3x =
xx
2
+1
f) (x +

x
1
) - 4 (
)
1
x
x
+6 =0
g)
121
2
xx

h)
20204 xx

i)
(10
48
3
2
2

x
x
)
4
3
x
x

Bài tập 72. giải các phơng trình sau.
a) x
2
-
5
x - 5 =0 b) -
5
.x
2
- 2 x +1=0
c) ( 1 -
03)13()3
2
x
d)5x
4
- 7x
2
+2 = 0 e) (x
2
+2x
+1)
2
-12 (x
2
+2x +1) +35 = 0 f) (x
2
-4x +3)(x

2
-12x +35)=-16 g) 2x
2
+ 2x =
xx
2

+1 .
Bài tập 73.Cho phơng trình bậc hai 4x
2
-5x+1=0 (*) có hai nghiệm là

x
1
, x
2
.
1/ không giải phơng trình tính giá trị của các biểu thức sau:
2
2
2
1
11
xx
A
;

B
2
2

2
2
1
1
44
x
x
x
x


;
5
2
5
1
xxC
;
7
2
7
1
xxD

2/ lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng:
a) u = 2x
1
- 3, v = 2x
2
-3

Ebook4Me.Net
15

b) u =
1x
1
1

, v =
1x
1
2

.
Bài tập 74
. Cho hai phơng trình : x
2
- mx +3 = 0 và x
2
- x +m+2= 0 .
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm chung.
b) Tìm m để hai phơng trình tơng đơng.
Bài tập 75. Cho phơng trình (a-3)x
2
- 2(a-1)x +a-5 = 0 .
a) tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.

b) Tìm a sao cho
1
x
1
+
2
x
1
<3 .
c) Tìm một hệ thức độc lập giữa x
1
, x
2
.
Bài tập 76. Cho phơng trình bậc hai: x
2
+(m+2)x +m= 0 .
a) Giải phơng trình với m =-
2
.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
2
1

xxC

Bài tập 77:
Cho phơng trình:
mx
2
2( m + 1) x + (m- 4) = 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để PT(1) có hai nghiệm trái dấu . Khi đó trong hai nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
c) Xác định m để nghiệm x
1
; x
2
của PT (1) có hai nghiệm thoả mãn x
1
+ 4x
2
= 3
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào m

Bài tập 78:
Cho phơng trình mx
2
2( m -2) x + (m 3) = Tìm các giá trị của m để nghiệm x
1
;x

2
của PT
thoả mãn điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 1
Bài tập 79:
Xác định giá trị m để PT sau có hai nghiệm phân biệt trái đấu
(m 1)x
2
2x + 3 = 0
Bài tập 80
Cho PT : x
2
2(m-2) x + ( m
2
+ m 3) = 0
Tìm các GT của m để PT có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn :

1 2
1 2
1 1
5

x x
x x



Bài tập 81 .Cho PT : x
2
(m+2) x + ( 2m 1) = 0 có các nghiệm x
1
; x
2
. Lập hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
độc
lập với m .
Bài tập 82Cho PT x
2
2(a 1) x + 2a 5 = 0 (1)
a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi a
b) Với mọi giá trị của a thì (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn x
1
< 1 < x
2

c) Với GT nào của a thì (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 6.
Bài tập 83: Cho PT : x
2
10x m
2
= 0 (1)
mx
2
+ 10x 1 = 0 (2) ( m khác không )
1) Chứng minh rằng nghiệm PT (1) là nghịch đảo các nghiệm của PT hai
2) Với GT nào của m thì PT (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn điều kiện 6x
1
+ x
2
= 5
Bài tập 84

: Cho Phơng trình x
2
2(m+1) x 3m
2
2m 1 = 0 (1)
1) C/mr với mọi m PT luôn có hai nghiệm trái dấu
2) Tìm GT của m để PT (1) có một nghiệm x = -1
3) Tìm các GT của m để PT (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 2x
1
+ 3x
2
= 5
4) Tìm các GT m để PT (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= m
2
2m + 3 .
Bài tập 85: Cho PT : x

2
(a- 1) x + a = 0
a) Tìm các GT của a sao cho tổng lập phơng các nghiệm bằng 9
b) Với GT nào của a thì tổng các bình phơng các nghiệm có GTNN
Bài 14: Cho PT x
2
5x + 6 = 0 (1) . Không giải PT lập phơng trình bậc hai có các nghiệm y
1
; y
2

a) Đều là số đối các nghiệm của PT (1)
b) Đều lớn hơn các nghiệm cảu PT(1) là 2
Bài tập 87. Cho Phơng trình x
2
(m 1) x m
2
+m 2 = 0
Ebook4Me.Net
16

a) Giải PT khi m = 2
b) C/mr phgơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi GT của m
c) Gọi hai nghiệm cảu PT đã cho là x
1
; x
2
.Tìm m để hai nghiệm đó thoả mãn

3 3

1 2
2 1
x x
x x




đạt GTLN
Bài tập 88: Cho Phơng trình : x
2
mx m 1 = 0 (*)
a) C/mr PT (*) có nghiệm x
1
; x
2
với mọi GT của m ; tính nghiệm kép ( nếu có ) của PT và GT m tơng ớng
.
b) Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
6x
1
.x
2

1) Chứng minh A = m

2

-8m + 8
2) Tìm m sao cho A= 8
3) Tìm GTNN của a và GT m tơng ứng .
Bài tập 89: Cho phơng trình x
2
2(a- 1) x + 2a 5 = 0 (1)
a) C/mr PT(1) có nghiệm với mọi a
b) Với giá trị nào của a thì (1) có nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
< 1 < x
2

c) Với giá trị nào của a thì phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
x
1
2
+ x
2
2
=6

Bài tập 90
: Cho phơng trình : x
2
2(m+1)x + m 4 = 0 ( *)
a) Chứng minh (*) có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị của m để PT (*) có hai nghiệm trái dáu
c) Giả sử x
1
; x
2
là nghiệm của PT (*)
Chứn minh rằng : M = (1 x
1
) x
2
+ (1 x
2
)x
1

Bài tập 91: Cho phơng trình : x
2
(1- 2n) x + n 5 = 0
a) Giải PT khi m = 0
b) Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi giá trị của n
c) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm cảu PT đã cho

Chứng minh rằng biểu thức : x
1
(1 + x
2
) + x
2
(1 +x
1
)
Bài tập 92: Các nghiệm của phơng trình
x
2
+ ax + b + 1 = 0 (b khác -1) là những số nguyên
Chứng minh rằng a
2
+ b
2
là hợp số
Bài tập 93: Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác .C/m:
x
2
+ ( a + b + c) x + ab + bc + ca = 0
vô nghiệm
Bài tập 94
: Cho các phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a.c

0) và cx
2

+ dx + a = 0 có các nghiệm x
1
; x
2
và y
1
;
y
2
tơng ớng C/m x
1
2
+ x
2
2
+ y
1
2
+ y
2
2


4
Bài tập 95: Cho các phơng trình x
2
+ bx +c =0 (1) và x
2
+cx +b = 0 (2)
Trong đó

2
111

c
b

Bài tập 96: Cho p,q là hai số dơng .Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
px
2
+ x +q = 0 và x
3
; x
4
là nghiệm của phơng trình qx
2
+ x + p = 0
C/m :
1 2 3 4
. . 2
x x x x


Bài tập 97: Cho a,b,c là ba số thực bất kỳ .Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình sau có nghiệm
:
2 2 2
1 0; 1 0; 1 0

x ax b x bx c x cx a


Bài tập 98: Cho phơng trình bậc hai :x
2
+ (m+2) x + 2m = 0 (1)
a) C/m phơng trình luôn luôn có nnghiệm
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm m để 2(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
x
2

Bài tập 99: Cho phơng trình x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 (1) ;
x

2
+ a
2
x + b
2
= 0 (2)
Có các hệ số thoả mãn


1 2 1 2
2
a a b b

.Cmr ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm
Ebook4Me.Net
17

Bài tập 100: Chứng minh rằng phơng trình :


2 2 2 2 2 2
0
a x b a c x b


Vô nghiệm
Nếu a + b > c và
a b c

Bài tập 101: Cho hai phơng trình :
x
2
+ mx + 1 = 0 (1) x
2
+ x + m = 0 (2)
a) Tìm m để hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung
b) Tìm m để hai phơng trình trên tơng đơng

Bài tập 102
: Cho phơng trình:
x
2
2( a + b +c) x + 3( ab + bc+ ca) = 0 (1)
a) C/mr phơng trình (1) luôn có nghiệm
Trong trờng hợp phơng trình (1) có nghiệm kép xác định a,b,c .Biết a
2
+ b
2
+ c
2
= 14
Bài tập 103: Chứng minh rằng nếu phơng trình :x
2
+ ax + b = 0 và x
2
+ cx + d = 0 có nghiệm chung thì : (b
d)
2
+ (a- c)(ad bc) = 0

Bài tập 104: Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 .C/mr nếu b > a + c thì phơng trình luôn có 2 nghiệm phân
biệt
Bài tập 105
: G/s x
1
, x
2
là hai nghiệm của hai phơng trình x
2
+ ax + bc = 0 và x
2
, x
3
là hai nghiệm của
phơng trình x
2
+ bx + ac = 0 ( với bc khác ac ) . Chứng minh x
1
, x
3
là nghiệm của phơng trình x
2

+ cx + ab =
0 .
Bài tập 106
: Cho phơng trình x
2

+ px + q = 0 (1) .Tìm p,q và các nghiệm của phơng trình (1) biết rằng khi
thêm 1 vào các nghiệm của nó chúng chở thành nghiệm của phơng trình : x
2
p
2
x + pq = 0
Bài tập 107
: Chứng minh rằng phơng trình :
(x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = 0
Luôn có nghiệm với mọi a,b,c.
Bài tập 108
: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình : 2x
2
+ 2(m +1) x + m
2
+4m + 3 = 0
Tìm GTLN của biểu thức A =
1 2 1 2
2 2
x x x x


Bài tập 109: Cho a

0 .G/s x
1

; x
2
là nghiệm của phơng trình
2
2
1
0
2
x ax
a


Chứng minh rằng :
4 4
1 2
2 2
x x

Bài tập 110
Cho phơng trình
2
2
1
0
x ax
a

.Gọi x
1
; x

2
là hai nghiệm của phơng trình
Tìm GTNN của E =
4 4
1 2
x x


Bài tập 111: Cho pt x
2
+ 2(a + 3) x + 4( a + 3) = 0
a) Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm kép
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm lớn hơn 1








Ebook4Me.Net
18


Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
Dạng

''' cybxa
cbyax

1. Giải hệ phơng trình
1)







3)12(4
12)12(
yx
yx
2)









5
3

1
7
3
1
3
2
5
3
yx
yx

2. Giải và biện luận hệ phơng trình
1)





55
55
myx
ymx
2)





mmyxm
myxm

3)1(
72)5(

3. Tìm giá trị của tham số để
hệ phơng trình có vô số nghiệm
1)





23)12(
3)12(
mmyxm
mymmx
2)





mnmynx
nmnymx
2
22

4. Tìm m để hai đờng thẳng sau song song

my
m

xmyx
1
)1(,046

5. Tìm m để hai đờng thẳng sau cắt nhau trên Oy

mymxmmyx 3)32(,2









Hệ gồm một phơng trình bậc nhất vàmột phơng trình bậc hai hai ẩn
Dạng





)2(
)1(
22
khygxeydxycx
cbyax

PP giải: Rút x hoặc y ở (1) rồi thế vào (2).

1. Giải hệ phơng trình
1)





423
532
22
yyx
yx
2)





5)(3
0143
yxxy
yx

3)





100121052

132
22
yxyxyx
yx

2. Giải và biện luận hệ phơng trình
1)





22
12
22
yx
ymx
2)





22
12
22
yx
ymx

3. Tìm m để đờng thẳng

0)1(88




mymx

cắt parabol
02
2
xyx
tại hai điểm phân biệt.



Hệ phơng trình đối xứng loại I
Dạng





0),(
0),(
2
1
yxf
yxf
; với
),( yxf

i
=
),( xyf
i
.

Ebook4Me.Net
19

PP giải: đặt
PS
Pxy
Syx
4;
2







1. Giải hệ phơng trình
1)





7

5
22
xyyx
xyyx
2)






30
11
22
xyyx
xyyx

3)







931
19
2244
22
yxyx

xyyx
4)







243
2
111
33
yx
yx

5)

49
1
1)(
5
1
1)(
22
22
yx
yx
xy
yx
6)

2
5
17
22
y
x
y
x
yx

2.
Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm

1)







myx
yx
66
22
1

2)





mxyyx
yxyx
)1)(1(
8)
22

3.
Cho hệ phơng trình





3
2
22
xyyx
myx


Giả sử


yx;

là một nghiệm của hệ. Tìm m để biểu thức F=
xyyx
22
đạt max, đạt min


Hệ phơng trình đối xứng loại II
Dạng





0),(
0),(
xyf
yxf

PP giải: hệ tơng đơng





0),(),(
0),(
xyfyxf
yxf

hay

0),(),(
0),(),(
xyfyxf
xyfyxf

1. Giải hệ phơng trình
1)







yxx
xyy
43
43
2
2
2)

yxyx
xxyy
3
3
2
2

3)







yxyx
xyxy
40
40
23
23
4)

yxx
xyy
83
83
3
3

2. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
1)







myxx
myxy
2)(
2)(
2
2
2)

myyyx
mxxxy
232
232
4
4


Hệ phơng trình đẳng cấp
(cấp 2)
Dạng







)2(''''
)1(
22
22
dycxybxa
dcybxyax

PP giải: đặt
tx
y

nếu
0

x

1. Giải hệ phơng trình

Ebook4Me.Net
20


1)







932
222
22
22
yxyx
yxyx
2)








42
1332
22
22
yxyx
yxyx

3)







16
17243
22
22
yx
yxyx
4)








137
15
2
22
xyy
yx

2. T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
1)







myxyx
yxyx
1732
1123
22
22
2)








myxyx
yxyx
22
22
54
132


Mét sè HÖ ph¬ng tr×nh kh¸c
1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

1)





7
1
22
yxyx
yx
2)






180
49
22
xyyx
xyyx

3)





7
2)(
33
yx
yxxy
4)





0)(9)(8
012
33
yxyx
xy

5)







21
1
22
yx
yx
6)







yxyx
xyxy
10)(
3)(2
22
22

2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
1)








12
527
yxyx
yxyx
3)








7
14
2
222
zyx
yxz
zyx

2)








523
5
3
2
323
22
yx
x
xyy

3. T×m m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung
a)
mx 31


vµ
124
22
 mx

b)
01)2()1(
2
 xmxm

vµ

012
2
 mxx

4. T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm





02
)1(
xyyx
xyayx








11
1
xy
myx

4.

T×m m, n ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nhiÒu

h¬n 5 nghiÖm ph©n biÖt









myxyyxmx
ynxyx
22
22
)(
1



PHẦN 5
BẤT ĐẲNG THỨC
Dùng định nghĩa

Chứng minh các bất đẳng thức sau
Ebook4Me.Net
21

1.Cho a,b,c,d > 0

a) nếu a < b thì
a
b
<
a + c
b + c
b) nếu a > b thì
a
b
>
a + c
b + c

c) 1 <
a
a + b
+
b
b + c
+
c
c + a
< 2
d) 2 <
a + b
a + b + c
+
b + c
b + c + d
+

c + d
c + d + a
+
d + a
d + a + b
< 3
2.Cho
a
b
<
c
d
và b,d > 0, Chứng minh rằng
a
b
<
a + c
b + d
<
c
d

3.Chứng minh rằng  a , b ,c
a) a
2
– ab + b
2
≥ ab b) a
2
+ 9 ≥ 6a

c) a
2
+ 1 > a d) (a
3
– 1)(a – 1) ≥ 0 e) 2abc  a
2
+ b
2
c
2

f) (a + b)
2
≥ 4ab g) a
2
+ ab + b
2
≥ 0 h) a
4
+ b
4
≥ a
3
b + ab
3

i) 4ab(a – b)
2
 (a
2

– b
2
)
2
j) a
2
+ 2b
2
+ 2ab + b + 1 > 0
k)
a
b
+
b
a
≥ a + b l) 2 + a
2
(1 + b
2
) ≥ 2a(1 + b)
m)
a
2
1 + a
4

1
2
n) (
a + b

2
)
2

a
2
+ b
2
2
o)
a
2
+ b
2
+ c
2
3
≥ (
a + b + c
3
)
2

p)
a
2
4
+ b
2
+ c

2
≥ ab – ac + 2bc q) a
4
+ b
4
+ c
2
+ 1 ≥ 2a(ab
2
– a + c + 1)
r) a
4
+ b
4
+ c
2
+ 1 ≥ 2a(ab
2
– a + c + 1) s) 2a
2
+ 4b
2
+ c
2
≥ 4ab + 2ac
t) a
2
+ ab + b
2
≥

3
4
(a + b)
2
u) a + b + 2a
2
+ 2b
2
≥ 2ab + 2b a + 2a b
v) (a + b + c)
2
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
4.Cho a ,b  [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b|  |1 + ab|
4.a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì
x
1 + x
≥
y
1 + y

b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có
|a – b|
1 + |a – b|
≤

|a|
1 + |a|
+
|b|
1 + |b|

5.Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b
6.Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x
4
– x
5
+ x – x + 1 > 0
6.Cho ba số a ,b ,c  [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca  1
4.Cho 0 < a  b  c . Chứng minh rằng : b(
1
a
+
1
c
) +
1
b
(a + c)  (
1
a
+
1
c
)(a + c)
5.Cho a > b > 0 và c ≥ ab . Chứng minh rằng

c + a
c
2
+ a
2
≥
c + b
c
2
+ b
2

5.Cho a + b + c  0. Chứng minh rằng :
a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc
a + b + c
≥ 0
5.Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng :

1
a
3
+ b
3
+ abc

+
1
b
3
+ c
3
+ abc
+
1
c
3
+ a
3
+ abc

1
abc

4.Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng :
a) a
2
– b
2
+ c
2
≥ (a – b + c)
2
b) a
2
– b

2
+ c
2
– d
2
≥ (a – b + c – d)
2

5.a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng :
1
1 + a
2
+
1
1 + b
2
≥
2
1 + ab

a) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng :
1
1 + a
3
+
1
1 + b
3
+
1

1 + c
3
≥
3
1 + abc

b) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh rằng :
1
1 + 4
x
+
1
1 + 4
y
≥
2
1 + 2
x+y

6.  a,b,c,d chứng minh rằng
a) a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
≥ (a + c)
2

+ (b + d)
2

Ebook4Me.Net
22

b) 1 <
a
a + b + c
+
b
a + b + d
+
c
b + c + d
+
d
a + c + d
< 2
7.Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
a)
a
b
+
b
c
+
c
a
–

a
c
–
c
b
–
b
a
< 1
b) abc < a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
c) a(b – c)
2
+ b(c – a)
2
+ c(a – b)
2
> a
3
+ b
3
+ c
3

d) a

3
(b
2
– c
2
) + b
3
(c
2
– a
2
) + c
3
(a
2
– b
2
) < 0
e) (a + b + c)
2
 9bc với a  b  c
f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  abc
8. Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a
4
+ b
4
≥ a
3
+ b
3

9.Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng :
a) a
3
+ b
3
+ c
3
≥ 3abc
b) a
3
b + b
3
c + c
3
a ≥ a
2
bc + b
2
ca + c
2
ab
c) a
3
(b
2
– c
2
) + b
3

(c
2
– a
2
) + c
3
(a
2
– b
2
) < 0
10. Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với a  b  c
Chứng minh rằng : (a + b + c)
2
 9bc
*.Cho tam giác ABC,chứng minh rằng :
aA + bB + cC
a + b + c
≥

3

*.Cho a ,b ,c  [0;2] . Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca)  4
. Chứng minh rằng :
1
1.2
+
1
2.3
+

1
3.4
+ …+
1
n(n + 1)
< 1  n  N
. Chứng minh rằng :
1
2!
+
2
3!
+
3
4!
+ …+
n – 1
n!
< 1  n  N n ≥ 2
*.Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng :
3  a + b + c 
1
abc

.11.Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng :
a) a
2
+ b
2
+ c

2
≥ 3
b) a
4
+ b
4
+ c
4
≥ a
3
+ b
3
+ c
3

Bất đẳng thức Cauchy

1.Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng :
a)
a
b
+
b
a
≥ 2 a , b > 0 b) a
2
b +
1
b
≥ 2a b > 0 c)

2a
2
+ 1
4a
2
+ 1
≥ 1
d) a
3
+ b
3
≥ ab(a + b) e) a
4
+ a
3
b + ab + b
2
≥ 4a
2
b
f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )
2

h)
a
2
a
4
+ 1


1
2
i)
1
a
+
1
b
≥
4
a + b
j)
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
2
a + b
+
2
b + c
+
2
c + a

j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )
2
h)
a
2
+ 2
a
2
+ 1
≥ 2 k)
a
6
+ b
9
4
≥ 3a
2
b
3
– 16
l)
a
2
+ 6
a
2
+ 2
≥ 4 m)
a
2

b
2
+
b
2
c
2
+
c
2
a
2
≥
a
c
+
c
b
+
b
a

2.Cho a > 0 , chứng minh rằng : (1 + a)
2







1
a
2
+
2
a
+ 1 ≥ 16
3. Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý . Chứng minh rằng:
a) a
2
b +
1
b
≥ 2a b) a + b + c ≤
1
2
( a
2
b + b
2
c + c
2
a +
1
a
+
1
b
+
1

c
)
Ebook4Me.Net
23

4.Cho 0 < a < b , chứng minh rằng: a <
2
1
a
+
1
b
< ab <
a +b
2

5.Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 , chứng minh rằng : a b – 1 + b a – 1  ab
6.Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng :
a) ab +
c
b
≥ 2 ac (b  0) b) a + b + c ≥ ab + bc + ca
c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc d) ( a + b )
2
≥ 2 2(a + b) ab
e) a
2
+ b
2
+ c

2
≥ ab + bc + ac f) a
2
+ b
2
+ c
2
≥
1
3
(a + b + c)
2

g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc
h) a
2
+ b
2
+ 1 ≥ ab + a + b i) a
2
+ b
2
+ c
2
≥ 2(a + b + c) – 3
i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 +
3
abc
)
3

7. Chứng minh rằng x (0; /2) ta có:
cosx + sinx + tgx + cotgx +
1
sinx
+
1
cosx
> 6
8.Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1. Chứng minh rằng : a
4
+ b
4
+ c
4
≥ abc
9.Cho 3 số a,b,c không âm,Chứng minh rằng :
a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b)
bc
a
+
ac
b
+
ab
c
≥ a + b + c
c)(
a
b

+
b
a
)(
a
c
+
c
a
)(
c
b
+
b
c
) ≥ 8 d) (1 +
a
b
)(1+
b
c
)(1+
c
a
) ≥ 8
e) (a + b + c)(
1
a
+
1

b
+
1
c
) ≥ 9 f) (a + b + c)(
1
a + b
+
1
b + c
+
1
c + a
) ≥
9
2

g)
a + b
c
+
b + c
a
+
c + a
b
≥ 6 g)
a
b+ c
+

b
c + a
+
c
a + b
≥
3
2
h) 3a
3
+ 7b
3
≥ 9ab
2

i) 3a + 2b + 4c ≥ ab + 3 bc + 5 ac
j)
a + b + c + 6
2
≥ a + b + 1 + c + 2
10.Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh rằng :
a) (ab + cd)(
1
ac
+
1
bd
) ≥ 4 b) a
2
+ b

2
+ c
2
+ d
2
≥ (a + b)(c + d)
c)
1
ab
+
1
cd
≥
8
(a + b)(c + d)
d) (a
2
+ 1)(b
2
+ 2)(c
2
+ 4)(d
2
+ 8) ≥ (ac + 2)
2
(bd + 4)
2

e) (a + b)(c + d) + (a + c)(b + d) + (a + d)(b + c) ≥ 6
4

abcd

f)
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
9
a + b + c
g)
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
≥
16
a + b + c + d

h)
a
6
+ b
9
4
≥ 3a
2
b
3
– 16 i) (abc + 1)(
1
a
+
1
b
+
1
c
)(
a
c
+
c
b
+
b
a
) ≥ a + b + c + 6
11.Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng: (1 +

a
b
)
n
+ (1 +
b
a
)
n
≥ 2
n+1
n  N
12.Cho a + b = 1,Chứng minh rằng :
a) ab 
1
4
b)a
2
+ b
2
≥
1
2
c)a
4
+ b
4
≥
1
8

d)a
3
+ b
3
≥
1
4

13.Cho a > b và ab = 1 ,chứng minh rằng :
a
2
+ b
2
a – b
≥ 2 2
Chứng minh rằng –
1
2

(a + b)(1 – ab)
(1 + a
2
)(1 + b
2
)

1
2

13 .a) Chứng minh rằng nếu b > 0 , c > 0 thì :

b + c
bc
≥
4
b + c

Ebook4Me.Net
24

b)Sử dụng kết quả trên chứng minh rằng nếu a ,b ,c là ba số không âm có tổng
a + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc
14.Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: (1 +
1
a
)(1+
1
b
) ≥ 9
15.Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
a) (1 +
1
a
)(1+
1
b
)(1+
1
c
) ≥ 64 b) (a + b)(b + c)(c + a)abc 
8

729

16.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn
1
1 + a
+
1
1 + b
+
1
1 + c
+
1
1 + d
≥ 3
Chứng minh rằng abcd 
1
81

17.Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
a) ab + bc + ca < a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
c) (p – a)(p – b)(p – c) 
abc

8
d)
1
p – a
+
1
p – b
+
1
p – c
≥ 2(
1
a
+
1
b
+
1
c
)
e) p < p – a + p – b + p – c < 3p
18.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1
Chứng minh rằng : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8
19. Cho 3 số x, y, z thoả mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1. Chứng minh rằng

– 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 + 3
20 .Cho n số dương a
1
,a
2
,….,a
n
. Chứng minh rằng
a)
a
1
a
2
+
a
2
a
3
+ … +
a
n
a
1
≥ n b) (a
1
+ a
2
+ … + a
n
)(

1
a
1
+
1
a
2
+ …+
1
a
n
) ≥ n
2

c) (1 + a
1
)(1 + a
2
)…(1 + a
n
) ≥ 2
n
với a
1
.a
2
….a
n
= 1
21.Cho n số a

1
,a
2
,….,a
n
 [0;1] ,chứng minh rằng :
(1 + a
1
+ a
2
+ …+ a
n
)
2
≥ 4(a
1
2
+ a
2
2
+ …+ a
n
2
)
22.Cho a > b > 0 , chứng minh rằng : a +
1
b(a – b)
≥ 3 .Khi nào xảy ra dấu =
23. Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 . Chứng minh rằng :
a) 2 a + 3

3
b ≥ 5
5
ab b)
17
12
5
ab17b12a5 

c)
a
6
+ b
9
4
≥ 3a
2
b
3
– 16
24. Chứng minh rằng 1.3.5….(2n – 1) < n
n

25.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh rằng :
a + b + c ≥
knm
nmk
knm
mkn
knm

knm
cbacbacba



26 .Cho 2n số dương a
1
,a
2
,….,a
n
và b
1
,b
2
,….,b
n
.
Chứng minh rằng :
n
a
1
.a
2
a
n
+
n
b
1

.b
2
b
n

n
(a
1
+ b
1
)(a
2
+ b
2
)….(a
n
+ b
n
)
27. Chứng minh rằng :
4
(a + 1)(b + 4)(c – 2)(d – 3)
a + b + c + d
≤
1
4

 a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 3
28*.  n  N chứng minh rằng :
a) 1

.
1
2
2

.

1
3
3
.
1
4
4
…
1
n
n
<
2
)1n(n
1n
2









b) 1.2
2
.3
3
.4
4
…n
n
<
2
)1n(n
3
1n2









29*.Cho m,n  N ;m > n . Chứng minh rằng :
( 1 +
1
m
)
m
> ( 1 +

1
n
)
n
Ebook4Me.Net
25

30*.Cho x
1
,x
2
,…x
n
> 0 và x
1
+ x
2
+ ….+ x
n
= 1 Chứng minh rằng
(1 +
1
x
1
)(1+
1
x
2
)…(1+
1

x
n
) ≥ (n + 1)
n
31*.Cho các số x
1
,

x
2
,y
1
,

y
2
,

z
1
,

z
2
thoả mãn x
1
.x
2
> 0 ; x
1

.z
1
≥ y
1
2
; x
2
.z
2
≥ y
2
2


Chứng minh rằng : (x
1
+ x
2
)(z
1
+ z
2
) ≥ (y
1
+ y
2
)
2
32*.Cho 3 số a ,b ,c  (0;1). Chứng minh rằng trong 3 bất đẳng thức sau phải có một bất đẳng thức sai:
a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3)

33*.Cho 3 số a,b,c > 0. Chứng minh rằng :

2 a
a
3
+ b
2
+
2 b
b
3
+ c
2
+
2 c
c
3
+ a
2

1
a
2
+
1
b
2
+
1
c

2

34** Cho x ,y ,z  [0;1] ,chứng minh rằng : (2
x
+ 2
y
+ 2
z
)(2
– x
+ 2
– y
+ 2
– z
) 
81
8

(ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên)
35*.Cho a , b , c > 1. Chứng minh rằng :
a)
log
2
a + log
2
b  2 log
2







a + b
2

b) 2






log
b
a
a + b
+
log
c
b
b + c
+
log
a
c
c + a
≥
9
a + b + c

36*Cho a ,b ,c > 0,chứng minh rằng :
a)
a
b + c
+
b
c + a
+
c
a + b
≥
3
2
b)
a
2
b + c
+
b
2
c + a
+
c
2
a + b
≥
a + b + c
2

c)
a + b
c
+
b + c
a
+
c + a
b
≥ 6 d)
a
3
b
+
b
3
c
+
c
3
a
≥ ab + bc + ca
e) (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
) ≥ 9abc f)
bc

a
+
ac
b
+
ab
c
≥ a + b + c
g)
a
2
b + c
+
b
2
c + a
+
c
2
a + b
≥
a + b + c
2
≥
ab
a + b
+
bc
b + c
+

ca
c + a

37.Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý . Chứng minh rằng :
a
2
(1 + b
2
) + b
2
(1 + c
2
) + c
2
(1 +ab
2
) ≥ 6abc
38*Cho a ,b ,c > 0 thoả :
1
a
+
1
c
=
2
b
. Chứng minh rằng :
a + b
2a – b
+

c + b
2c – b
≥ 4
39*Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng :
a)
1
a
+
1
b
+
1
c
≥ 9 b)
1
a
2
+ 2bc
+
1
b
2
+ 2ac
+
1
c
2
+ 2ab
≥ 9
40*Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c  k. Chứng minh rằng :

(1 +
1
a
)(1 +
1
b
)(1 +
1
c
) ≥ (1 +
3
k
)
3
41*Cho ba số a ,b ,c  0. Chứng minh rằng :
a
2
b
2
+
b
2
c
2
+
c
2
a
2
≥

a
b
+
b
c
+
c
a

42*Cho tam giác ABC,Chứng minh rằng :
a) h
a
+ h
b
+ h
c
≥ 9r b)
a – b
a + b
+
b – c
b + c
+
c – a
c + a
<
1
8

43.Dùng tam thức bậc hai

1.  x , y  R Chứng minh rằng :
a) x
2
+ 5y
2
– 4xy + 2x – 6y + 3 > 0
a) x
2
+ 4y
2
+ 3z
2
+ 14 > 2x + 12y + 6z
b) 5x
2
+ 3y
2
+ 4xy – 2x + 8y + 9 ≥ 0
c) 3y
2
+ x
2
+ 2xy + 2x + 6y + 3 ≥ 0
d) x
2
y
4
+ 2(x
2
+ 2)y

2
+ 4xy + x
2
≥ 4xy
3

e) (x + y)
2
– xy + 1 ≥ 3 (x + y)