Chuyên đề hình học không gian 7 trang đề

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Website: tailieumontoan.com

CHUN ĐỀ

HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019
(Sản phẩm của tập thể thầy cô Tổ 1-STRONG TEAM)

Câu 1.

[1H3-2.3-2] Cho hình chóp S . ABC có SA , SB , SC đơi một vng góc và SA  SB  SC , M là
trung điểm của AB . Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC .
�
A. 30 .

Câu 2.

�
B. 60 .

�
C. 90 .

�

D. 120 .

�

�
[1H3-2.3-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh AB  a và ABC  60 . Hình chiếu

vng góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng SC
�
và mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC .

2
A. 5 .
Câu 3.

1
2
C. 2 10 .
D. 5 .
A�B�C �có đáy ABC là tam giác cân AB  AC  a
[1H3-2.3-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC �
1
B. 2 10 .

�

BAC  120�, cạnh bên AA� a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB �và BC .
�
A. 90 .

Câu 4.

�
B. 30 .

�
�
C. 45 .
D. 60 .
B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vng góc
[1H3-2.3-3] Cho hình hộp ABCD.A����

 ABCD  là trung điểm H của AB . Cho AB  2a AD  4a AA � 8a . Gọi
của A�lên mặt phẳng
B . Gọi  là góc giữa MN và AD �Thì tan
E , N , M lần lượt là trung điểm của BC , DE , A �
là.
B. tan  

A. tan   2 .
Câu 5.

2.

C.

tan  

2
2 .

D. tan   2 .

[1H3-2.3-2] Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , đáy có tâm O và cạnh bằng a

SO 

a 30
2

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , BC . Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng

 ABCD  .
�
A. 30 .

Câu 6.

�
B. 45 .

�
C. 60 .

�
D. 90 .

[1H3-3.3-2] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB  a , BC  2a .
Hai mặt bên

 SAB 

và

 SAD 

cùng vng góc với mặt phẳng đáy

 ABCD  ,

cạnh SA  a 15 .

 ABCD  .
Tính góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng
�
A. 30 .

Câu 7.

�
B. 45 .

�
C. 60 .

�
D. 90 .

�

�
[1H3-3.3-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ; ABC  60 và SB  a .

 ABC  trùng với trọng tâm của tam giác ABC .

Hình chiếu vng góc của điểm S lên mặt phẳng
 SCD  . Tính sin  .
Gọi  là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

A.
Câu 8.

sin  

3
2 .

[1H3-3.3-3]

sin  

B.

Cho

hình

chóp

tứ

Website: tailieumontoan.com

1
4.

C.

sin  

1
2.

đều S . ABCD , O là

giác

D.
giao

sin  

điểm

2
2 .

của AC và BD ,

 SBC  . Tính sin  .
biết SO  AB  a . Gọi  là góc giữa SA với mặt phẳng
sin  
A.

Câu 9.

4
30 .

sin  
B.

C.

2
30 .

4
15 .

sin  
D.

AA�

a 5
2 .

A B C có đáy là tam giác đều cạnh 2a , cạnh bên

[1H3-3.3-3] Cho hình lăng trụ ABC �
�
Hình chiếu vng góc của A trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của cạnh AB . Tính góc giữa

�
A. 60 .

 BCC B  .
� �

�
B. 30 .

�
C. 90 .

�
D. 45 .

[1H3-4.3-2] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C . Gọi H là trung
điểm AB . Biết rằng SH vng góc với mặt phẳng ( ABC ) và AB  SH  a . Gọi  là số đo góc
tạo bởi hai mặt phẳng
A.

Câu 11.

sin  

� � �

�
đường thẳng A H và mặt phẳng

Câu 10.

2
15 .

 � 90�;100�

 SBC 

.

B.

và

 SAC  . Khẳng định nào sau đây là đúng?

 � 80�;90�

.

C.

 � 60�;70�

.

D.

 � 70�;80�

.

[1H3-4.3-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi nhưng khơng là hình

a3 2
vuông, AB  SA  SB  SD  a . Biết rằng thể tích khối chóp bằng 6 , khi đó góc giữa hai mặt
phẳng

 SBC 

và

 SCD 

�
A. 30 .

Câu 12.

là
�
B. 45 .

�
C. 60 .

�
D. 90 .

[1H3-4.3-2] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB  a , cạnh

 ABCD  và SA  2a , gọi M là trung điểm cạnh SD . Góc giữa hai mặt
bên SA vng góc với
phẳng

 MBC 

�
A. 60 .

Câu 13.

và

 ABCD 

bằng

�
B. 30 .

�
C. 45 .

�

D. 120 .

A�B �C �có đáy là tam giác đều, hình chiếu của A�trên mặt
[1H3-4.3-3] Cho lăng trụ ABC �
phẳng

 ABC 

�
trùng với trung điểm H của cạnh BC , cạnh bên tạo với đáy một góc 30 . Gọi M là





�
�
 MBC  và MB�C � .
điểm thuộc cạnh AA sao cho AM  2 MA . Tính cosin của góc giữa

9 7
A. 49 .
Câu 14.

10 7
B. 49 .

11 7
C. 49 .

12 7
D. 49 .

[1H3-4.3-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , đường thẳng SO
vng góc với

 ABCD  . Biết

AB  2a , AD  a , SO  a . Gọi J , H là trung điểm của CD , SB .

Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng

 AHJ 

và

 ABCD  .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
A. 0, 231 .
Câu 15.

B. 0, 436 .

C. 0, 741 .

D. 0,87 .

�

�
[1H3-4.3-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Biết BAD  60 , cạnh

bên SA  a 3 và vng góc mặt phẳng
. Tính  (làm trịn đến phút).
� �
A. 39 13 .

Câu 16.

Website: tailieumontoan.com

 ABCD  . Góc giữa hai mặt phẳng  SAC 

0
�
B. 78 28 .

� �
C. 39 12 .

�

và

 SCD 

là 

�

D. 39 14 .
� bằng
B C D . Biết khoảng cách giữa AB và BC
[1H3-4.3-4] Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A����

2a 5
2a 5
a 3
5 , khoảng cách giữa BC và AB�bằng 5 , khoảng cách giữa AC và BD�bằng 3 .

AD 
C . Tính tan của góc tạo bởi hai mp  BMD  và  B�
Gọi M là trung điểm B�
.
3
A. 2 .
Câu 17.

2 5
B. 5 .

5
C. 5 .

2 3
D. 3 .

[1H3-5.3-2] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB . Biết
rằng AB  2a , AD  DC  CB  a .
phẳng

 ABCD 

Hình

chiếu

vng

góc H của

đỉnh S lên

mặt

�
trùng với trung điểm của cạnh AB , góc giữa SB và đáy bằng 60 . Tính khoảng

cách từ điểm H đến đường thẳng SC .

a 3
A. 2 .
Câu 18.

C. a 3 .

B. C .

a
D. 2 .

B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu
[1H3-5.2-3] Cho lăng trụ tam giác ABC. A���
vng góc của A�trên mặt phẳng

 ABC 

là trung điểm O của cạnh AB . Góc giữa đường thẳng

���
C . Khoảng cách từ I đến đường
AA�và mặt phẳng  A B C  là 60�
. Gọi I là trung điểm cạnh B��
C bằng
thẳng A�
a 21
A. 4 .
Câu 19.

a 42
B. 6 .

a 21
C. 6 .

a 42
D. 8 .

[1H3-5.3-2] Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất các các cạnh bằng a . Khoảng cách từ

 SBC  bằng
điểm A đến mặt phẳng
a 6
A. 3 .
Câu 20.

a 6
B. 6 .

a 2
C. 2 .

a 3
D. 2 .

[1H3-5.3-2] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B ,

AB  BC  a , AD  2a . SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , đường thẳng SC tạo với mặt
phẳng

 SAB 

A. 3a .

0
 SCD  bằng
một góc 30 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

a
B. 2 .

C. 2a .

D. a .

�

�
Câu 21. [1H3-5.3-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , BAD  60 .
0
Đường thẳng SO tạo với mặt phẳng ( ABCD) một góc 60 . Hình chiếu vng góc của S trên mặt

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 3


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Website: tailieumontoan.com

 ABCD 

là điểm H thuộc đoạn BD sao cho BD  4 BH . Tính khoảng cách từ điểm B đến

mặt phẳng ( SCD ) theo a .
phẳng

3a 39
A. 52 .
Câu 22.

2a 39
B. 13 .

3a 39
C. 13 .

a 39
D. 13 .

[1H3-5.3-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD  2 AB  2a . Cạnh
bên SA  2a và vng góc với mặt đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB và SD . Tính

 AMN  .
khoảng cách từ S đến mặt phẳng
a 6
A. 3 .

Câu 23.

B. 2a .

3a
C. 2 .

B C có thể tích
[1H3-5.3-2] Cho hình lăng trụ đều ABC . A���

D. a 5 .

V

a3 3
C có diện
2 , tam giác AB��

a 2 19
4 . Gọi M là trung điểm của cạnh AA�. Khoảng cách từ điểm M đến mặt
tích là
phẳng

C
 AB��
bằng

2a 57
A. 19 .
Câu 24.

a 57
B. 19 .

6a 57
C. 19 .

3a 57
D. 19 .

A���
B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc
[1H3-5.3-3] Cho lăng trụ ABC �

 ABC  trùng với trọng tâm G của tam giác ABC . Cạnh bên BB�hợp với
của B�lên mặt phẳng
đáy

 ABC 

�
 BCC B��
 là
góc 60 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

3a
A. 2 13 .
Câu 25.

2a
C. 13 .

�

3a
D. 13 .

ABC. A1 B1C1 AA1  2a 5 và BAC  120�có AB  a ,
[1H3-5.3-3] Cho hình lăng trụ đứng
AC  2a , Gọi I , K lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1 , CC1 . Tính khoảng cách từ điểm I
đến mặt phẳng

a 5
A. 3 .
Câu 26.

a
B. 13 .

 A1BK 
B. a 15 .

a 15
C. 3 .

a 5
D. 6 .

[1H3-5.4-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD  2a , tam giác SAB là tam giác
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB . Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng SH và CD .
A. a .

B. 2a .

a

C. 2 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

D. a 5 .

Trang 4


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Câu 27.

Website: tailieumontoan.com

�

�
[1H3-5.4-3] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB  AC  2a , góc BAC  120

 SBC 
. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy, góc tạo bởi mặt phẳng
và mặt phẳng đáy

a 15
A. 10 .
Câu 28.

�
bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

a 6
B. 4 .

a 6
C. 2 .

a 15
D. 5 .

�

�
[1H3-5.4-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD  60 , tam
giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA
và BD bằng

a 6
A. 4 .
Câu 29.

 ABC 

a 6
B. 2 .

a 15
C. 10 .

a 15
D. 5 .

A���
B C có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vng
[1H3-5.4-3] Cho hình lăng trụ ABC �
góc của

A�trên mặt phẳng  ABC 

trùng với trung điểm H của BC . Biết

A�
H

a
2 . Tính khoảng

cách h giữa 2 đường thẳng AA�và BC .

A.
Câu 30.

h

3a
2 .

B.

h

3a
4 .

C.

h

3
a
4 .

D.

3
a
2 .

h

B C có đáy là một tam giác vng cân tại B
[1H3-5.4-3] Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. A���

 a 2 , M là trung điểm BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM
AB  BC  a , AA�
C.
và B�
a 7
A. 7 .
Câu 31.

a 3
B. 2 .

2a
C. 5 .

D. a 3 .

B C D có tất cả các cạnh đều bằng a và ba góc đỉnh A đều
[1H3-5.4-3] Cho hình hộp ABCD. A����
�
bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC �

a 6
A. 2 .
Câu 32.

a 6
a 6
a 6
B. 3 .
C. 4 .
D. 6 .
[1H3-5.4-4] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều đường kính AD , O là
trung điểm CD , AD  4a, SA  SB  SO  2a . Tính khoảng cách giữa SA và CD .

2a
A. 7 .
Câu 33.

a 14
B. 4 .

a
C. 7 .

4a
D. 7 .

�
[1H3-5.4-3] Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Gọi O
2
là tâm của hình vng ABCD . Biết diện tích tam giác OAB bằng 2a , tính thể tích khối chóp đã
cho.

A. 16a

3

3.

16a 3
B. 3 .

16a3 3
3
C.
.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

3

D. 16a .

Trang 5


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Câu 34.

Website: tailieumontoan.com

[2H1-3.2-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh BD  2a . Hai tam

 ABCD  là 60�. Tính
giác SAB , SAD là các tam giác đều và góc giữa cạnh bên SC và mặt phẳng
thể tích khối chóp S . ABCD .

a3 2
A. 12 .
Câu 35.

2a 3
C. 3 .

a3 6
B. 4 .

a3 3

D. 6 .

[2H1-3.2-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trọng tâm
của các tam giác SAB, SBC , SCD, SDA . Gọi O là điểm bất kỳ trên mặt phẳng đáy ABCD . Biết thể
tích khối chóp O.MNPQ bằng V . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .

27
V
A. 8 .
Câu 36.

27
V
B. 2 .

9
V
C. 4 .

27
V
D. 4 .

[2H1-3.4-3] Cho tứ diện ABCD có AB  AC  BD  CD  1 . Khi thể tích của khối tứ diện lớn nhất
thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng

2
A. 2 .

2 3

B. 3 .

3
C. 6 .

3
D. 3 .

SA   ABC 
Câu 37. [2H1-3.4-3] Cho hình chóp tam giác S . ABC ,
. Đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh
B , SB  a . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  SCB  và  ABC  . Xác định giá trị của sin  để thể
tích khối chóp S . ABC lớn nhất.

A.
Câu 38.

sin  

3
.
3

B.

sin  

2 3
.
3

C. sin   1.

D.

sin  

3
.
2

B C . Tam giác ABC �
[2H1-3.2-2] Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A���
có diện tích bằng 8 và hợp với
�
mặt phẳng đáy một góc có số đo 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ.

A. 8 3 .
Câu 39.

B. 4 3 .

C. 16 3 .

D. 24 3 .

B C có đáy ABC là tam giác vng tại A , AB  1, AC  2 .
[2H1-3.4-3] Cho lăng trụ ABC. A���

 ABC  trùng với trung điểm cạnh BC . Biết khoảng cách giữa hai

Hình chiếu của A�lên mặt phẳng
B là
đường thẳng CC �và A�

1
A. 2 .
Câu 40.

2 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A���
B C bằng

2
B. 3 .

C.

2.

D.1

B C có đáy là tam vng cân tại A . Hình chiếu vng góc
[2H1-3.4-3] Cho hình lăng trụ ABC. A���

 ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai
của điểm A�lên mặt phẳng
đường thẳng AA�và BC bằng

17
a
6

, cạnh bên AA�bằng 2a . Tính theo a thể tích V của khối

B C biết AB  a 3 .
lăng trụ ABC. A���

A

V

34 3
a
18
.

B.

V

102 3
a
6
.

C.

V

102 3
a
18

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

D.

34 3
a
6
.

Trang 6


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Câu 41.

Website: tailieumontoan.com

B C D có đáy là hình thang vng tại A và B , gọi E là
[2H1-3.4-3] Cho lăng trụ đứng ABCD. A����
điểm AD .

trung

Cho AD  2 AB  2 BC  2a .

Hãy

tính

theo a thể

tích

khối

lăng

3 22
a
B C D biết khoảng cách giữa hai đường thẳng BE và A�
D là 22
trụ ABCD. A����
.
9 22 3
a
B. 11
.

3

A. 9a .
Câu 42.

9 3
a
C. 2 .

9 22 3

a
D. 22
.

[2H1-3.6-4] Cho x , y là những số thực dương khơng đổi. Xét hình chóp S . ABC có SA  x
BC  y các cạnh cịn lại đều bằng 1. Khi thể tích khối chóp S . ABC đạt giá trị lớn nhất thì tích x.y
bằng

4
A. 3 .
Câu 43.

4 3
B. 3 .

C. 2 3 .

1
D. 3 .

SA   ABC  AB  a
[2H1-3.2-2] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A .
,
, AC  a 3 , SA  a 2 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SC . Tính thể tích khối
chóp S . AHK theo a ?

a3 6
A. 6 .
Câu 44.

2a 3 6
B. 45 .

a3 6
C. 12 .

2a 3 2
D. 15 .

[2H1-3.3-3] Cho tứ diện SABC và hai điểm M , N lần lượt thuộc các cạnh SA , SB sao

SM 1 SN

2
cho AM 2 , BN
. Mặt phẳng ( P ) đi qua hai điểm M , N và song song với cạnh SC ,

VSCMNKL
cắt AC , BC lần lượt tại L , K . Tính tỉ số thể tích VS.ABC .
V SCMNKL 4

V
9.
SABC
A.

VSCMNKL 1

V
3.

S
ABC
B.

VSCMNKL 2

V
3.
S
ABC
C.

VSCMNKL 1

V
4.
S
ABC
D.

B C . Trên tia đối của tia B�
A�lấy điểm M
Câu 45 . [Mức độ 3] Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A���

sao cho

1
B�
M  A��
B

 MNP  chia khối
�� �
2
. Gọi N , P lần lượt là trung điểm của A C , B B. Mặt phẳng
B C thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A�có thể tích V1
lăng trụ ABC. A���
V1
V
V
khối đa diện chứa đỉnh C �có thể tích 2 Tỉ số 2 bằng
97
A . 59 .

Câu 46.

49
144
B.

49
95
C.
.

95
144
D.
.

B C D , điểm M thuộc cạnh CC �sao cho CC �

 3CM . Mặt
[2H1-3.3-3] Cho khối hộp ABCD. A����

M
 AB�

V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A�
V
, 2 là
V
V
thể tích khối đa diện chứa đỉnh B . Tính tỉ số thể tích 1 và 2 .
phẳng

41
A. 13 .

chia khối hộp thành hai khối đa diện.

14
B. 13 .

45
C. 13 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

13
D. 5 .
Trang 7

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Câu 47.

B C D cạnh bằng a . Trong các mặt phẳng chứa đường
[1H3-5.3-4] Cho hình lập phương ABCD. A����
B�
   là mặt phẳng tạo với  BDD�
 một góc nhỏ nhất. Tính d  A,     .
thẳng CD�
, gọi

a 6
A. 6 .
Câu 48.

Website: tailieumontoan.com

a 6
C. 2 .

B. a 6 .

a 6
D. 3 .

[2H1-3.2-3] Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh AB bằng a . Các cạnh bên SA , SB , SC
�
cùng tạo với mặt đáy một góc 60 . Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vng

góc với SA . Thể tích V của khối chóp S .BCD là:

A.
Câu 49.

V

5a 2 3
96 .

B.

V

a2 3
12 .

C.

V

5a 2
96 .

D.

V

5a 2 3

32 .

B C có cạnh đáy bằng C và cạnh bên
[2H1-3.2-3] Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A���

AM A�N 1


, A�
C sao cho AB� A�C 3 . Tính thể tích V của
bằng a 2 . Lấy M , N lần lượt trên AB�
�
khối BMNC C ?

a3 6
A. 108 .
Câu 50.

2a 3 6
B. 27 .

3a 3 6
C. 108 .

a3 6
D. 27 .

[2H1-3.2-4] Cho hình chóp S . ABCD . Đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SB , N

SN 2

SP 3


 MNP  cắt
thuộc cạnh SC sao cho SC 3 , P thuộc cạnh SD sao cho SD 4 . Mặt phẳng
SA, AD, BC lần lượt tại Q, E , F . Biết thể tích khối S .MNPQ bằng 1 . Tính thể tích khối
ABFEQM
73
.
A. 15

154
.
B. 66

207
.
C. 41

29
.
D. 5

------------------ Hết -----------------

LỜI GIẢI CHI TIẾT
CHUN ĐỀ

HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019

1.B
11.D
21.D
31.B
41.C

2.B
12.C
22.A
32.D
42.A

3.D
13.B
23.B
33.C
43.B

4.A
14.D
24.D
34.D
44.A

BẢNG ĐÁP ÁN
5.C
6.C
15.D
16.B

25.D
26.B
35.B
36.D
45.C
46.A

7.D
17.A
27.C
37.B
47.D

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

8.A
18.D
28.D
38.A
48.A

9.A
19.A
29.C
39.D
49.B

Trang 8

10.B

20.D
30.A
40.D
50. A


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 1.

Website: tailieumontoan.com

[1H3-2.3-2] Cho hình chóp S . ABC có SA , SB , SC đơi một vng góc và SA  SB  SC
M là trung điểm của AB . Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC .
�
A. 30 .

�
B. 60 .

�
C. 90 .

�

D. 120 .

Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Phương Thúy; Fb: thuypham
Chọn B

Cách 1

�

�

�
��
� �
��
SM , BC � �
SM , SN � SMN
�
��
�
��
�
Gọi N là trung điểm AC . Ta có MN // BC . �
1
1
1
MN  BC SM  AB SN  AC  1
2
2
2
Ta có
,
,
.

Mặt khác SA , SB , SC đơi một vng góc và SA  SB  SC
� SAB  SBC  SAC � AB  BC  AC

Từ

 1 và  2 

�

 2

�

0
ta có MN  SM  SN � SMN đều � SMN  60 .

�
� �
SM , BC � SMN  600
�
�
�
�
Vậy �
.

Cách 2
Đặt SA  SB  SC  a .
Mặt khác SA , SB , SC đơi một vng góc và SA  SB  SC

� SAB  SBC  SAC � AB  BC  AC  a 2 � ABC là tam giác đều cạnh a 2 .



uur uur



uuu
r uur





uur uuu
r uur uur uur uuu
r uur



uur

2
1 2
1
uuur uuur  1 . SA  SB . SC  SB  1 . SA �
SC  SA.SB  SB �
SC  SB

 SB  a 2
BC 2
2
+) SM �
= 2
= 2

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 9


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Website: tailieumontoan.com

1
uuur uuur
 a2
uuur uuur
SM �
BC
1
�
�
c os �SM , BC � cos SM , BC 
 22 
SM .BC

a
2 � �SM , BC �
�
�
�
� �
�
� 60 .
Suy ra

�

Câu 2.





�

�

0
[1H3-2.3-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh AB  a và ABC  60 . Hình
chiếu vng góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB , góc giữa
�
đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB
và AC

2

A. 5 .

1
C. 2 10 .

1
B. 2 10 .

2
D. 5 .

Lời giải
Tác giả: Đào Văn Tiến ; Fb: Đào Văn Tiến
Chọn B
Cách 1

Ta có:

�
�, CH 
,  ABCD     SC
 SC
 SCH
�  60
.
�

2
uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
� a

SB �
AC  ( SH  HB ). AC  SH . AC  HB. AC  HB.AC  AH �
AC �
cos HAC
4 .
+

+ AC  a ,

CH 

a 3
�  3a
SH  CH �
tan SCH
2 .
2 ,

a2
4
uur uuur 
2
2
SB
�
AC
1
9a
a
a 10

a 10


� cos �
SB , AC  
�
a 
2
2 
2 10 .
4
4
2
SB �
AC
2
+ SB  SH  HB
Cách 2
�a
� �a
� � a 3 �
A � ;0;0 �
, B � ;0;0 �
,C�
0;
;0 �
�
2
�2
� �2

� �
Oxyz
H
(0;0;0)
�
�.
+ Chọn trục toạ độ
, với
,
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 10


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Website: tailieumontoan.com

3a �
�  3a � S �
SH  CH �
tan SCH
0;0; �
�
2
2 �.
�
+
uur �a a 3 �
uur �a

3a �u
AC �
SB � ;0;
�2 ; 2 ; 0 �
�
�
2
2
�
�
�,
+ �
.

+ Ta có
Câu 3.

cos �
SB , AC  

uur uuur 
SB �
AC
SB �
AC

a2
4
2

2

2

a 9a
a 3a

.

4
4
4
4

2



1
2 10

.

A�B �C �có đáy ABC là tam giác cân AB  AC  a
[1H3-2.3-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC �
�
�
�
�
, BAC  120 , cạnh bên AA  a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và BC .

�
A. 90 .

�
B. 30 .

�
C. 45 .

�
D. 60 .

Lời giải
Tác giả: Trần Lê Hương Ly; Fb: Trần Lê Hương Ly
Chọn D

2
2
2
�  3a 2 � BC  a 3
AC �
cos BAC
Ta có: BC  AB  AC  2 AB �
.

��� �
AC � AB� AB 2  BB �2  a 3 � AB�C �đều � AB C  60 .
� �� �
; BC   �
AB�

; B��
C�
AB��
C  60�
 AB�
Vì BC // B C
.

B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vng
Câu 4. [1H3-2.3-3] Cho hình hộp ABCD.A����
 ABCD  là trung điểm H của AB . Cho AB  2a AD  4a
góc của A�lên mặt phẳng
AA�
 8a . Gọi E , N , M lần lượt là trung điểm của BC , DE , A�
B . Gọi  là góc giữa MN
và AD�
.
Thì tan là

A. tan   2 .

B. tan   2 .

C.

tan  

2
2 .

D. tan   2 .

Lời giải
FB: Nguyễn Trí Chính
Chọn A
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 11


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Website: tailieumontoan.com

Cách 1

C thì HI // AD�
Gọi F , I lần lượt là trung điểm của DC và D��
.

Suy ra góc



 

� ; AD� MN
� ; HI
  MN

.

Gọi K là giao điểm của HI và MN .

�
*Tính HKM .

� �
H . Suy ra FH   AA BB  .
+) FH  AB , FH  A�
NL HN 3
3
3
3

 � NL  FI  AA�
 .8a  6a
HF 4
4
4
4
+) Vẽ NL // FI , L �HI , có FI
.
B nên
+) MH là đường trung bình AA�

MH 

AA�
 4a

2

2
2
2
2
+) MN  MH  HN  16a  9a  5a ,

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 12


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

+)

 3a   6a
2

HL  HN 2  LN 2 

+) MH // NL

�

2

 3a 5

Website: tailieumontoan.com

.

KM KH MH 4a 2




KN KL LN 6a 3 .

�KM KN MN 5a



a
�
�KM  2a
�2
3
5
5
�
�
��
6a 5
�KH  KL  HL  3a 5
�KH 
�
5

�
3
5
5
+) � 2


KM 2  KH 2  MH 2
�
cos MKH 
2.KM .KH
+)
+)

tan 2  

1
1 
cos 2 

 5

2

1  4

36 2
a  16a 2
5
5


5
5
6a 5
� cos 
2.2a.
5
5 .

4a 2 

� tan   2 .

Cách 2:

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, chọn a là 1 đơn vị độ dài.













A  1;0;0  B  1;0;0  C  1; 4;0  D  1; 4;0  A�0;0; 63 B�2;0; 63 C �2; 4; 63

,
,
,
,
,
,
,

Có

�1
r �1
63 � uuuu
63 � uuuu
r
M � ;0;
� MN  �

;3;

�
�2
� AD�
�2
�
D�0; 4; 63 E  1;2;0 N  0;3;0
 1; 4; 63
2
2
�

�,
�,
,
,
, �
.







1
63
uuuu
r uuuu
r
  12 
MN . AD� 2
u
u
u
u
r
u
u
u
u
r

2  1

cos �
MN , AD�
  cos MN , AD�
5.4. 5
5.
MN . AD
Có



Có

tan 2  



1
1  4
cos 2 
, tan   0 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 13



Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Website: tailieumontoan.com

Suy ra tan   2 .
Câu 5.

[1H3-2.3-2]

Cho hình

chóp

tứ

giác

đều S . ABCD , đáy có

tâm O và

cạnh bằng a

a 30
2 .Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , BC . Tính góc giữa đường
,
thẳng MN và mặt phẳng ( ABCD) .
SO 

�

A. 30 .

�
B. 45 .

�
C. 60 .

�
D. 90 .

Lời giải
Tác giả: Ngọc Thanh, FB: Ngọc Thanh
Chọn C

.
Gọi H là trung điểm AO . Ta có MH // SO và

MH 

SO a 30

2
4 .

Mà SO  ( ABCD) nên MH  ( ABCD) .
� NH là hình chiếu vng góc của MH trên mặt phẳng ( ABCD) .

�
�

�
Do đó: ( MN , ( ABCD))  ( MN , NH )  HNM .
�
NH 2  CN 2  CH 2  2.CN �
CH �
cos NCH
2

2
2
a 3 2a
�a � �3 2a �
� 5a
10
 � � �

2
�
�
�
cos
45

�
� NH 
a
�
4
2
4

8
�2 � �
�
�
4
.

�
tan HNM


Câu 6.

MH
 3
�
�
�
� HNM
 60�. Vậy ( MN ,( ABCD ))  60 .
NH

[1H3-3.3-2] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB  a ,
BC  2a . Hai mặt bên ( SAB) và ( SAD) cùng vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) ,
cạnh SA  a 15 . Tính góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 14

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
�
A. 30 .

Website: tailieumontoan.com

�
B. 45 .

�
C. 60 .

�
D. 90 .

Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Thuần; Fb: Phạm Thuần
Chọn C

Ta có

�
 SAB    ABCD 
�
 SAD    ABCD  � SA   ABCD 
�
�
 SAB  � SAD   SA
�

.

ABCD 
Suy ra AC là hình chiếu của SC lên 
.

�
�
SC
,  ABCD    �
SC , AC   SCA

Do đó
.
2
2
2
2
+) AC  AB  BC  a  (2a)  a 5 .

tan �
SCA 
+)

SA a 15

 3
�  60�
AC a 5

� SCA
.

�
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) bằng 60 .

Câu 7.

�
�
[1H3-3.3-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ; ABC  60 và
SB  a . Hình chiếu vng góc của điểm S lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của

tam giác ABC . Gọi  là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( SCD ) . Tính sin  .

A.

sin  

3
2 .

B.

sin  

1
4.

C.

sin  

1
2.

D.

sin  

2
2 .

Lời giải
Fb: Huyen Nguyen

Chọn D

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 15


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Website: tailieumontoan.com

Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC . Theo giả thiết ta có SH  ( ABC ) .
SCD 
Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng 

.

Ta có

sin  

d  B ,  SCD  
SB



3 d  H ,  SCD  
2
SB
.

Kẻ HP  SC tại P.
+) ABC đều � CH  AB � CH  CD .
CD  CH
�
� CD   SHC  � CD  HP
�
CD  SH
+) �
.
�HP  SC
� HP   SCD 
�
� HP  d  H ,  SCD  
HP


CD
�
+)
.

a 3
� HC 
�
�
3 .
Do đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ABC  60 nên ABC đều

Mà

BH 

3a 2 a 6
a 3
� SH  SB 2  BH 2  a 2 

9
3 .
3

d  H ,  SCD   
Câu 8.

SH �
HC

SH  HC
2

2



2a
2a
2
3 � d( B ;( SCD))  2 � sin   2
.

[1H3-3.3-3] Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , O là giao điểm của AC và BD ,
biết SO  AB  a . Gọi  là góc giữa SA với mặt phẳng ( SBC ) . Tính sin  .

A.

sin  

4
30 .

B.

sin  

2
15 .

C.

sin  

2
30 .

D.

sin  

4
15 .

Lời giải
Tác giả: Giáp Minh Đức; Fb: Giáp Minh Đức
Chọn A

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 16


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Website: tailieumontoan.com

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng ( SBC ) .

Ta có

SA ,( SBC )   �
ASH  
�

và

sin  

AH d  A ,  SBC  

SA
SA
.

d  A ,  SBC  

d O ,  SBC  
Ta có AO �( SBC )  C , suy ra 



AC
2
OC

.

OK  d  O ,  SBC  
Kẻ OI  BC và OK  SI � OK  ( SBC ) và

.

a
1
1
1
1
4
5

 2  2  2  2 � OK 
2
2
5.
SO
OI
a
a
a
Ta có OK

Suy ra

d  O ,  SBC   

a
2a
� d  A ,  SBC   
5
5.

SA  SO 2  OA2  a 2 

Vậy
Câu 9.

sin  

d  A ,  SBC  
SA

2a 2 a 6

4
2 .



4
30 .

A�B �C �có đáy là tam giác đều cạnh 2a , cạnh
[1H3-3.3-3] Cho hình lăng trụ ABC �

bên

AA�

a 5
2 . Hình chiếu vng góc của A�trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của





BCC �B�
�
cạnh AB . Tính góc giữa đường thẳng A H và mặt phẳng
.
�
A. 60 .

�
B. 30 .

�
C. 90 .

�
D. 45 .

Lời giải
Tác giả: Trần Thơm; Fb: KEm LY
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 17


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Website: tailieumontoan.com

Chọn A

H �BB�
Gọi E  A�
. Kẻ HF  BC tại F . Kẻ HK  EF tại K .

Ta có
Lại có

BC  HF , BC  A�
E � BC   A�
EF  � BC  HK

.

HK  EF � HK   BCC �
B�


B�
.
� EK là hình chiếu vng góc của HE trên mp  BCC �

Suy ra

�  HEF
�
A�

H ,  BCC �
B�
HE , EK   HEK
   �
�
.

Xét tam giác HEF vuông tại H , ta có
Ta có

HB // A��
B �

� 
tan HEF

HF
HE .

HB HE 1
a
2
 �  � HE  A�H  AA�
 AH 2 
� �
AB
AE 2
2.

Xét tam giác HFB vuông tại F có

HF  HB.sin B 

a 3
2 .

�  HF  3 � HEF
�  60�
�
� tan HEF
A�
H ,  BCC �
B�
   60�.

HE
. Vậy

Câu 10. [1H3-4.3-2] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C . Gọi H là
ABC 
trung điểm AB . Biết rằng SH vng góc với mặt phẳng 
và AB  SH  a . Gọi  là

số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng
A.

 � 90�;100�

.

B.

 SBC 

và

 � 80�;90�

 SAC  . Khẳng định nào sau đây là đúng?

.

C.

 � 60�;70�

.

D.

 � 70�;80�

.

Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Thuần; Fb: Phạm Thuần
Chọn B
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 18

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Website: tailieumontoan.com

Dễ thấy SAC  SBC .
2

�a � a 5
SA  SB  SH 2  AH 2  a 2  � � 
2 .
�2 �
Ta có
2

a
�a � a 5
SC  SH 2  HC 2  a 2  � � 
AC  BC 
2 .
�2 �
2,
Kẻ AK  SC tại K � BK  SC . Suy ra,

AK , BK )  
 SAC  ,  SBC    (�
�

Dễ thấy SC  ( ABK ) mà HK �( ABK ) , suy ra SC  HK .

a
HC 
2,
Xét tam giác SHC vuông tại H , ta có

tan �
AKH 

Ta có

HK 

a
a�
HS �
HC
2 a 5

2
2
5
HS  HC
a2
a2 
4
.

a
2

AH
5


HK a 5
2
5
.

Vì SAC  SBC � AK  BK .
� �
�
�
�
ABK cân tại K , H là trung điểm AB � AKB  2 AKH � AKB �96 22 .





 � 80�;90�
� �
Do đó  �83 38 . Vậy
.
Câu 11. [1H3-4.3-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi nhưng khơng là hình
a3 2
vng, AB  SA  SB  SD  a . Biết rằng thể tích khối chóp bằng 6 , khi đó góc giữa hai

mặt phẳng

 SBC 

và

 SCD 

là

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 19


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
�
A. 30 .

Website: tailieumontoan.com

�
B. 45 .

�
C. 60 .

�
D. 90 .

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Anh Đào; Fb:Đào Nguyễn
Chọn D

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD .
Ta có SBC , SDC là các tam giác cân lần lượt tại B, D .

�BI  SC
��
�DI  SC .
Gọi I là trung điểm của SC
Do đó góc giữa hai mặt phẳng

 SBC 

và

 SDC 

là góc giữa hai đường thẳng BI và DI .

SBC  SDC � BI  DI � IBD cân tại I .
ABCD 
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng 
.

Do SA  SB  SD � HA  HB  HD � H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABD .
Mà ABD cân tại A nên H nằm trên đường chéo AC của hình thoi ABCD .
Đặt OB  x(0  x  a ) . Ta có OA  a  x ;
2

2

� 
sin OAB

OB x

AB a .

OB OA 2 x a 2  x 2
�  sin 2OAB
�  2sin OAB
� .cos OAB
�  2�
sin BAD
� 
AB AB
a2
.

BD
a2
 2 AH � AH 
sin BAD
2 a2  x2
Ta có
� SH  SA2  AH 2  a 2 

a4
3a 4  4a 2 x 2 a 3a 2  4 x 2



2 a2  x2
4 a2  x2
4 a2  x2









.

Gọi V là thể tích của khối chóp S . ABCD .
1
1
a 3a 2  4 x 2
a
V  SH .S ABCD  SH �
AO.BD  �
�a 2  x 2 �
2x 
3a 2 x 2  4 x 4
2
2
3
3

6
3
a x
Ta có
.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 20


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Theo giả thiết

V

Website: tailieumontoan.com

a3 2
a
a3 2
a2 2
�
3a 2 x 2  4 x 4 
� 3a 2 x 2  4 x 4 
6
3
6
2

�2 a 2
� a
x
x 
�
�
2
4
4
2 2
4
� 8 x  6a x  a  0 � �
��
2
�2 a
� a 2
x
x 
�
�
2 .
�
�
2
a
a
a 2
x�
x
OB 

2 . Vậy
2 hay
2 .
Do ABCD khơng phải hình vng nên

Mà

OI 

SA a

�
�
�
�
2
2 . Suy ra BIO vuông cân tại O � BIO  45 � BID  90 .

Vậy góc giữa hai mặt phẳng

 SBC 

và

 SCD 

�
là 90 .

Câu 12. [1H3-4.3-2] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB  a

, cạnh bên SA vng góc với ( ABCD) và SA  2a , gọi M là trung điểm cạnh SD . Góc giữa
hai mặt phẳng

 MBC 

�
A. 60 .

và

 ABCD 

bằng

�
B. 30 .

�
C. 45 .

�

D. 120 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Thảo ; Fb: Nguyễn Ngọc Thảo.
Chọn C
Cách 1

MN // AD � MN // BC � N � MBC 

Gọi N là trung điểm SA . Khi đó
.

Khi đó ta có

 MBC  � BCMN  .

Xét hai mặt phẳng
+

 BCMN 

và

 ABCD 

ta có:

 BCMN  � ABCD   BC .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 21


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Website: tailieumontoan.com

�BC  AB

�BC  AB
� BC  ( SAB) � �
�
�BC  BN .
+ �BC  SA
MBC 
ABCD 
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng 
và mặt phẳng 
bằng góc giữa hai đường
�
thẳng AB và BN bằng góc ABN .

+ Trong tam giác ABN ta có: AB  a ,
Suy ra

tan �
ABN 

AN 

SA
a
2
.

AN
1� �
ABN  45�
AB

.

�
ABCD 
Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( MBC ) và 
bằng 45 .

Cách 2

Đặt BC  b; AD  2c .
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O �A như hình vẽ.
A 0;0; 0  B  0; a; 0  C  b; a; 0  ; D  2c;0; 0  ; S  0;0; 2 a  � M (c; 0; a)
Ta có: 
;
;
.
uuuu
r
uuur
BM   c; a; a  ; BC   b;0;0 
+
.
r
r uuuu
�
n  BM
�
r uuur
r 1 uuuu
�r uuur �

n

[
BM
, BC ]   0;1;1
r
n  BC
ab
+ Gọi n là véc tơ pháp tuyến của ( MBC ) ta có �
chọn
.
ur 1 uur
�
n

SA   0;0;1
ABCD 

2a
Một véc tơ pháp tuyến của
là
.

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( MBC ) và mặt phẳng ( ABCD) .
r r�
n�
n
1
cos   r r 
�   45�

|
n
|
�
|
n
|
2
Ta có
.
�
ABCD 
Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( MBC ) và mặt phẳng 
bằng 45 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 22


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Website: tailieumontoan.com

A�B �C �có đáy là tam giác đều, hình chiếu của A�trên mặt
Câu 13. [1H3-4.3-3] Cho lăng trụ ABC �
�
phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh BC , cạnh bên tạo với đáy một góc 30 .
�
�

Gọi M là điểm thuộc cạnh AA sao cho AM  2 MA . Tính cosin của góc giữa ( MBC )

 MB C  .
và
� �

9 7
A. 49 .

10 7
B. 49 .

11 7
C. 49 .

12 7
D. 49 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trọng Tú ; Fb: Anh Tú

Chọn B
+) Gọi số dương a là độ dài một cạnh đáy hình lăng trụ.





MB�C �


(
MBC
)
+) Gọi là góc giữa
và
.
C .
+) Gọi K là trung điểm của B��

�BC  AH
� BC  A�AHK
�
�
B�C � A�AHK
� �
BC

A
H
�
B
C
/
/
BC
Ta có
. Mà
nên
.









� �
Suy ra BC  MH và B C  MK .

�BC / / B�C �
�
�
�MH �( MBC ) và MH  BC
�
MK � MB�C � và MK  B�C ��   ( MH ; MK ) � cos  | cos HMK
� |
Ta có �
.





��
�
�
+) Góc giữa cạnh bên A A với đáy ( ABC ) là A AH  30 .

+)

AH 

� MH 

AH
2
2
3
a A�A 
 a AM  A�A  a
�
2 ,
cos 30
3
3
,
AH 2  AM 2  2. AH �
AM �
cos 30� 

7
a
6 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 23

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

+)

A�K 

� MK 

Website: tailieumontoan.com

1
1
a 3
A�M  A�A  a
2 ,
3
3
A�M 2  A�K 2  2. A�M �
A�K �
cos150� 

Xét KMH có

MH 

7
7
a MK  a
6 ,

6 , KH  a .

cos   cos �
HMK 
Ta có

7
a
6 .

MH 2  MK 2  KH 2 10 7

2.MH .MK
49

.

Câu 14. [1H3-4.3-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , đường thẳng
SO vng góc với  ABCD  . Biết AB  2a , AD  a , SO  a . Gọi J , H là trung điểm của

CD , SB . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng  AHJ  và  ABCD  .

A. 0, 231 .

B. 0, 436 .

C. 0, 741 .

D. 0,87 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tình; Fb: Gia Sư Tồn Tâm
Chọn D

IH   ABCD 
Kẻ IH // SO , I �BD . Suy ra
.
Trong tam giác BCD :

� 
cos CDB

CD
2

BD
5.

13a 2
13a
�
IJ  DJ  DI  2.DI .DJ .cos CDB 
� IJ 
16
4 .
+)
2

2

2

2
2
+) AJ  AD  DJ  a 2 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 24


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

+)
+)
+)

AI 

+) Đặt
+) Đặt
Vì

�  37a
AB 2  BI 2  2. AB.BI .cos ABI
4 .

HJ  HI 2  IJ 2 
AH 

Website: tailieumontoan.com

AI 2  IH 2 

17 a
4 .
41a
4 .

p1 

AJ  AH  JH
� S AHJ 
2

p2 

AJ  AI  JI
� S AIJ 
2

HI   ABCD 

p1  p1  AJ   p1  AH  

p2  p2  AJ   p2  AI  

p1  JH  

33a 2

8 .

5a 2

p2  JI 
8 .

 ABCD  .
, suy ra AIJ là hình chiếu vng góc của AHJ lên mặt phẳng

 AHJ  và  ABCD  .
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng
cos  
Ta có:

S AIJ 5 33

�0,87
S AHJ
33
.

�
�
Câu 15. [1H3-4.3-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Biết BAD  60 ,

cạnh bên SA  a 3 và vng góc mặt phẳng
và ( SCD ) là  . Tính  (làm trịn đến phút).
� �
A. 39 13 .

0
�
B. 78 28 .

 ABCD  .

Góc giữa hai mặt phẳng ( SAC )

� �
C. 39 12 .

� �
D. 39 14 .

Lời giải
Tác giả: Hoàng Văn Phiên; Fb: Phiên Văn Hoàng
Chọn D

Kẻ AE  CD tại E , kẻ AH  SE tại H (1) .
CD  AE
�
� CD  ( SAE ) � CD  AH
�
CD

SA
(2) .
�
Ta có

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 25