Chuyen de on vao truong Chuyen

Tốn 9
CHUN ĐỀ TỐN THI VÀO 10
CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC _ BÀI TOÁN PHỤ
A. LÝ THUYẾT
1. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
1.

 A neu A 0
A2  A 
  A neu A < 0

2.

AB  A B

(Với A 0; B 0 )

3.

A
A

B
B

(Với A 0; B  0 )

4.

A2 B  A

5.

A B  A2 B

6.

A B 

A2 B

(Với A  0; B 0 )

7.

A
1

B
B

AB

(Với A 0; B  0 )

8.

A
A B

B

B

(Với B 0 )

B

(Với A 0; B 0 )

(Với B  0 )



9

C A B
C

A  B2
A B

1
0

C
C

A B

1
1

 A
3

3





A B

2
(Với A 0; A B )



A B

(Với A 0; B 0; A B )

 3 A3  A

2. XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC

BIỂU THỨC - ĐKXĐ:
1.

A

ĐKXĐ:

A 0

VÍ DỤ
Ví dụ:

Trang 1

x  2018

ĐKXĐ:

x 2018


Tốn 9

2.

A
B

ĐKXĐ: B 0

x2
Ví dụ: x  3

ĐKXĐ:

x 3

Ví dụ:

x2
x 3

ĐKXĐ:

x 3

Ví dụ:

x
x 3

ĐKXĐ:

 x 0
 x 3

x  3

ĐKXĐ:

  x  1 0

 x  2  0 
  x  1 0


  x  2  0

3.

A
B

ĐKXĐ: B  0

4.

A
B

ĐKXĐ: A 0; B  0

A
B

  A 0

 B  0
  A 0

B 0
ĐKXĐ:  

5.

Ví dụ:

x 1
x2

Cho a > 0 ta có:
6.

7.

x a

2
 x   a
Ví dụ: x  1

x  a
x2  a  
 x   a
Cho a > 0 ta có:

2

Ví dụ: x  4   2  x  2

2

x a   a x a

Chú ý 1: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Dạng tổng quát 1:

A( x) k  A( x) k ( k 0)
với k là hằng số

2. Dạng tổng quát 2:

A( x)  B ( x)  A( x) B( x)

3. Dạng tổng quát 3:

A( x) B( x)

 Trường hợp 1

Nếu A( x) 0 thì phương trình trở thành A( x) B( x)

 Trường hợp 2

Nếu A( x)  0 thì phương trình trở thành A( x)  B ( x)

Chú ý 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Trang 2

x2
 x 1


Toán 9

Dạng tổng quát 1:
1.

f ( x)  g ( x)   g ( x)  f ( x)  g ( x)
f ( x)  k   k  f ( x)  k
Đặc biệt với hằng số k  0 thì

Dạng tổng quát 2:
2.

 f ( x )  g ( x)
f ( x )  g ( x)  
 f ( x)   g ( x)
 f ( x)  k
f ( x)  k  
 f ( x)   k
Đặc biệt với hằng số k  0 thì

3. Dạng tổng quát 3:

 Trường hợp 1
 Trường hợp 2

2

2

2

2

f ( x )  g ( x)  f ( x )  g ( x )
f ( x )  g ( x)  f ( x )  g ( x )

Chú ý 3: Bất đẳng thức Cô – Si cho hai số a, b khơng âm ta có:

a  b 2 ab
Dấu “ = ” xảy ra

 a b

Ví dụ: cho x 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A x 

1
x

Hướng dẫn
Vì x 1  0. Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có

A x 

1
1
2 x. 2
x
x

1
 x   x 1
x
Dấu “ = ” xảy ra

Vậy Amin 2  x 1
Ví dụ: cho x 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hướng dẫn

Trang 3

B x 

1
x


Tốn 9

Cách giải sai: Vì x 2  0. Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có

B x 

1
1
2 x. 2
x
x

1
 x   x 1
x
Dấu “ = ” xảy ra
(khơng thỏa mãn vì x 2 )

Vậy Bmin 2  x 1
Gợi ý cách giải đúng:
1

 nx 

x

1
B nx   x  nx

x

2
Bmin

x
Dự đoán
đạt được tại mức x 2 ta có
. Dấu “ = ” xảy ra

B

Do đó ta có

3x  x 1 
  
4  4 x  Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có

4 1
x 1
1
 2 . 2. 1
x x
4 x
2


Dấu “ = ” xảy ra

x 1
  x 2
4 x
(vì x 2 )

5
Bmin   x 2
2
Vậy

Ví dụ: cho x 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C x 

1
x

Hướng dẫn
Tương tự: Vì x 3  0. Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có

C x 

Dấu “ = ” xảy ra  x 3

D

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Hướng dẫn

Trang 4

x  12
x  2 với x 0

1 8x  x 1  10
    
x 9  9 x 3


Toán 9
D  x2 

Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có

16
 4 4
x 2

Dấu “ = ” xảy ra  x 4

3. CÁC BƯỚC RÚT GỌN MỘT BIỂU THỨC
Bước 1:

Tìm điều kiện xác định

Bước 2:

Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích
tử thành nhân tử

Bước 3:

Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu

Bước 4:

Khi nào phân thức tối giản thì ta hồn thành việc rút gọn


x 2
A 

x  2 x 1


Ví dụ: Rút gọn biểu thức

x  2   x 1

.
x  1   x

Hướng dẫn
x  0

Điều kiện:  x 1

Trang 5


x  1



Toán 9

x 2
A 

 x  2 x 1

A 



x 2




A 

 
A

A

2

x  2   x 1

.
x  1   x






x  1 
x 2

2

2 x




 . x 1  x  x
x
x 1 


x 2

  x  1 
x  2   x  1 

x  1  x  1 
x 1

2



x 1


x 1 




x 1  x  1
.
2 
x
x 1 






x 1
x

.

x1

2
x 1

B
. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Các bài tốn rút gọn, tính giá trị của biểu thức chứa số
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức.
a) A  6  2 5

b) B  4  12

c) C  19  8 3

d) D  5  2 6
Hướng dẫn

a)

b)

c)

A 6 2 5 





51

2

 51  51

B  4  12  4  2 3 
C  19  8 3 

 4  3

2





3 1

4

2

 3 1

3 4 

3

Trang 6


Tốn 9

d)



D  5 2 6 

3



2

2

 3

2  3

2

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức.
a) A  4  2 3

b) B  8  2 15

c) C  9  4 5

d) D  7  13 

7  13

Hướng dẫn

a)

b)

c)



3 1



B  8  2 15 

2

 3 1



15  1
2

2

C  9 4 5 

 2 5

D  7  13 

7  13 


d)



A  42 3 

1 

2





2

13  1 



 15  1

 5 2
1
2



14  2 13  14  2 13



2

13  1   2




Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức.

A
a)

C
c)

62 5
5 2 6

5 1
3 2

B
b)

1
1
1
1


 ... 
1 2

2 3
3 4
99  100

3
d) D  5 2  7 

3

5 2 7
Hướng dẫn

A
a)

62 5
5 2 6
5 1
3



5 1
3 2
5 1
3

2
2
2

Trang 7

3
4
1


5 2
6 2
6 5


Toán 9
3
3
4
1



5 2
6 2
6 5

B

b)  5  2  6 



 

21 



5 2
3

  4

6

2

4





6

5



5 2 6

1
1
1
1


 ... 
1 2
2 3
3 4
99  100

C
c)

2 6



 

3

D 3 5 2  7 

2 

3



4

3  ... 





100 

99 9

5 2 7  5 2 7

5 2 7
3

5

2 7



2



3

5



 5

2 7 5 2  7 



2 7

3

2

2

d)
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức.
a) A  3  2 2 
c)



C  14  6



b) B  9  4 5 

6 4 2
5

21

D
d)

9 4 5

3  3 5  2  10
62 5

Hướng dẫn
a) A  3  2 2 

6  4 2  2  1  2  2 2 2  3

b) B  9  4 5 

9 4 5  5  2 

c)



C  14  6

D



5



21 

3  3 5  2  10

62 5

d)



5  2 2 2







7  3 . 10  2 21  7  3 .



5 1 3 





5 1

2
2

  3  2  

7



3 4



51

4

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức.
3
c) C  5 2  7 

a) A  4  2 3  4  2 3
b)

B

5

3

3

5 2 7

3
3
d) D  2  5  2 

29  12 5
Hướng dẫn

Trang 8

5


Toán 9
a) A  4  2 3  4  2 3  3  1  3 1 2 3
b)

B

5

3

C 3 5 2  7 

29  12 5 
3

5

6 2 5 

5

5  1 1

14

5 2 7 
3

5

2 7



2





 5

 3 5 2 7 5 2  7 

2 7

3



2

2

c)
D 3 2  5  3 2 

4

5
3

d)

 2  5

2



3

 2 5  2 5   2 5
3

2

1

Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức.
a) A  7  4 3 

b)

74 3

B  5  13  4 3  3  13  4 3
3
3
d) D  9  4 5  9  4 5

3
3
c) C  20  14 2  20  14 2

Hướng dẫn
a) A  7  4 3 

7  4 3 2 

3 2

3  2 3

b) B  5  13  4 3  3  13  4 3  5  2 3  1  3  2 3  1
 5  2 3  1  3  2 3  1 2 3
3
3
c) C  20  14 2  20  14 2

40


3

 20 14 2 

2



3

 20 14 2   20  14 2    20  14 2 
3

3

d) D  9  4 5  9  4 5

4

18


3

2

3

 9  4 5

2



3

 9  4 5  9  4 5   9  4 5
3

2

3

Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức.

b) B  41  12 5 

a) A  11  6 2  11  6 2

Trang 9

41 12 5


Toán 9
c) C  3  2 2 

6 4 2
d)

D

5



3  29  12 5



Hướng dẫn
a) A  11  6 2  11  6 2 3  2  3 
b) B  41  12 5 
c) C  3  2 2 

d)

D

5

41  12 5 6 

2 6

5  6

5  2 5

6  4 2  2  1  2  2 2 2  3





3  29  12 5 

5

3 2 5 3 

5

5  1 1

Các bài toán rút gọn chứa ẩn và bài toán phụ

x  x0 .
Dạng 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC A KHI
Phương pháp: Rút gọn giá trị của biến (nếu cần) sau đó thay vào biểu thức đã cho rồi
thay vào biểu thức đã cho rồi tính kết quả.
Ví dụ: Cho biểu thức

A 2 x  x  4

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x 3.
Hướng dẫn

 2 x  x  4 khi x 4 3 x  4 khi x 4
A 2 x  x  4 

 2 x  x  4 khi x < 4  x  4 khi x < 4
a) Ta có
b) Khi x 3 ta có: A 3  4 7.

x1 2 x
2 5 x


4 x
x 2
x 2

A

Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A.

x
b) Tính giá trị của A khi

2
2

3

.

Trang 10


Toán 9
Hướng dẫn
x1 2 x
2  5 x  2x



4 x
x 2
x 2

A
a)


x 4 x 4

2 x 2 x
x

b) Ta có:

x
Khi

2
2

2
2

3



2 x
2 x



 

3 Ta có:

A



x1



 x  2  2  5
x 2 x

x  2 2 x

2

x  2x

với ĐKXĐ: x 0; x 2.



2 2  3 

.



2

3 1 

x  3 1

2  3  1 1 3 3  2 3


.
3
2  3 1 3  3

 x 2
x 2 
4x
A 

 :
x  1 x  2 x  1   x  1 2

Ví dụ: Cho biểu thức

a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A biết

x  5 4.
Hướng dẫn


 x 2
x 2 
4x

A 


 :
2

 x  1 x  2 x  1   x  1

a)


b) Khi

2 x





x 1



x1

2

 x  1
.
4x

2



x 1
2 x

x  5 4  x  5 4  x 9 



x 2




  x  2 
x  1  x  1

x1 

2

với ĐKXĐ: x  0; x 1.

x 3

A
. Ta có

3 1 2

6
3

 2 xy
x y  2 x
A 

.
 x  y 2 x  2 y  x  y


Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn A.

Trang 11

x  1   x  1 2
 . 4x






Tốn 9
x 4
 .

y
9
b) Tính giá trị của A biết
Hướng dẫn



 2 xy
x y  2 x
4 xy  x  2 xy  y  2 x

A 

.

.
 x  y 2 x  2 y  x  y  2 x  y

x y
x

y




a)





2








x

1

A
b) Ta có
x 4
 
Khi y 9

x
y

x y
x



2


. 2 x   x
x y
x  y  x  y


y









 1 

y
x

y 3
1
3 5
2

 1    A 
x 2 . Ta có A
2 2

5

 x2  2 x
 1 2
2 x2
A  2
 3
 . 1  
.
2
2x  8 x  2 x  4x  8   x x2 

Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A biết x  4  2 3.
Hướng dẫn
  x2  2 x   x  2  4 x2   x2  x  2  
   x  1  x  2  
x3  4 x


 .
A 
.

  x 1


2
2

 2  x2  4  x  2  


x2
x
2
x

4
x

2



  



 
2x
a)
với ĐKXĐ: x 0; x 2.
b) Khi x  4  2 3  3  1 . Ta có

A
Ví dụ: Cho biểu thức

A

3  1 1 3  3

5
2 3 2

x x
1


x 9
x 3

Trang 12

1
.
x 3


Tốn 9
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A biết x  11  6 2 .

1

3 1

x
c) Tính giá trị của A biết

1
3 1 .

2

3 1


x 2 

d) Tính giá trị của A biết

2 
.
3  1 

Hướng dẫn

A

x

x  x  3 x  3
x 2

 x  3  x  3
x  3 với ĐKXĐ: x 0; x 9.

a)

b) Khi

x  11  6 2 

x
c) Khi

1

3 1


x 2 




3

2



1
1 
3 1

2

3 1

2



x 1

2 
 2
3  1 



x 3 

2

A
. Ta có:

2 28  2

.
34
2

3
A .
4
. Ta có:

3 1



3 1 

d) Khi


5
6

2





3  1
3  1



3 1

3 1



4



3  1

3 1

 (Loại)

Dạng 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Phương pháp:
• Nếu bài tốn u cầu tìm x để A = k thì ta biến đổi A−k = 0 tính kết quả, kết
hợp với điều kiện để kết luận.
• Nếu bài tốn u cầu tìm x để A > k (≥,≤,< k). Ta đi đánh giá dựa vào điều kiện
hoặc đi xét hiệu A−k > 0 với điều kiện của đề bài để tìm x.

A
Ví dụ: Cho biểu thức

2 x
1
A  .
2  x với x 0, x 4. Tìm x để
2

Trang 13


Toán 9
Hướng dẫn

1
2 x
1

  2 x  4  x  2 
2
2
2 x

A 
Để

x 6  x 36.
(thỏa mãn điều kiện)

2
 1
  2
A 

 : x  4 
x

2
x

4
x


4

 
Ví dụ: Cho biểu thức

1 
.
x  2

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A = 0.
Hướng dẫn

 
x 2 2 

A 
:
2 
 x  2  


a)





2



 
 
x  2  
 

 
 . 
2 
x  2  


x 2

x 2





x







x 2





x 2  2 x


x
x 2


với ĐKXĐ: x  0, x 4.

A 0 
b) Để

2 x
0 
x 2

x 2  x 4.
(không thỏa mãn điều kiện)

P
Ví dụ: Cho biểu thức

x
x
x 2 x

x 2


Q
x  4 và
x 2
x 2
x  2 với x 0; x 4.

a) Rút gọn P.
b) Tìm x sao cho P= 2.
Hướng dẫn
P

x



a)

P 2 
b) Để




 x  2 

x 2  x



x  2  x2 x
x 2

x
2 
x 2



x
.
x 2

x 4  x 16.
(TMĐK)

A
Ví dụ: Cho biểu thức



1
x  3 với x 0, x 9. Tìm x để A > 1.
Hướng dẫn

Trang 14

Toán 9
1
1 
x 3

A 1 
Để
 

 

 

 

1
 10 
x 3

x 4
0
x 3

x  40

  x  16

x  30
x  9


 9  x  16
  x  16
x  40

  x  9
x  30

A
Ví dụ: Cho biểu thức

(TMĐK)

3 x 5
3
A .
x

0.
2 x  1 với
2
Tìm x để
Hướng dẫn

A
Cách 1: Để

3
3 x 5 3
 13


 
0
2
2 x 1 2
2 2 x 1



A
Cách 2: Xét hiệu

A
Vậy



(luôn đúng)

3
 13

2 2 2 x 1



 <0

3
2 với x 0.

3
x
3 x  3
 1
 
A 


.
 : 
x  3 x x  9 x   x  3 x  3 x 

Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 1.
Hướng dẫn


x  3 x 3
A 
 x x 3
x 3

a)







 
 : x  3 x 3
  x x 3
 






 1 .

x 3

với x  0, x 9.

Trang 15


Toán 9
A 1 
b) Để

1
 1 0 
x 3

x 2
0

x 3
 4  x  9. (TMĐK)

 x2  2 x
  1 2
2x2
A  2
 3
 . 1  
.
2 x  8 x  2 x2  4 x  8   x x2 

Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn A.

1
A .
3
b) Giải bất phương trình
Hướng dẫn
  x2  2 x   x  2  4 x2   x2  x  2  
   x  1  x  2  
x3  4 x



 .
A
.


  x 1


2
2
 2  x2  4  x  2  


x2
x
2
x

4
x

2



  



 
2x
a)
với ĐKXĐ: x 0, x 2.

x 3

x0

(TMĐK)

1
x 3
A 
0
3
6
x
b) Để

P
Ví dụ: Cho biểu thức

x
x
x 2 x
x 2


Q
x  4 và
x 2
x 2
x  2 với x 0; x 4.

a) Rút gọn P.

1
M2  .
4
b) Tìm M = P : Q. Tìm giá trị của x để
Hướng dẫn
P

x



a)

M P : Q 
b)
M2 
Để




 x  2 

x 2  x



x  2  x2 x
x 2





x
.
x 2

x
x 2

1
1
 0M  
4
2

x
1
x 2
 
0
x 2 2
2 x 2



Kết hợp với ĐKXĐ: 0 x  4.

Trang 16



x  2  x  4.


Tốn 9
A
Ví dụ: Cho biểu thức

x1
x
B
x  2 và
x

x 2
x  2 với x 0, x 1, x 4.

a) Tính giá trị biểu thức A khi x  27  10 2  18  8 2  8

B
P .
A
b) Rút gọn biểu thức
P x 
c) Tìm giá trị nguyên của x để

3
.

2

Hướng dẫn
a) Khi x 5  2  4 
P
b)

B

A

x



P x 
c) Để

x 2



x 1

x 3 . Ta có A 2

2  8 9 

x 2



.

x  2 x  x 2

x 1
x1

3
x x  x2 x
3
2 x x  2 x  4 x  3x  3

 0 
0
2
x1
x 1 2
2 x1
x 1













3
x
3 x  3
 1
 
A 

:




x  3 x x  9 x   x  3 x  3 x 

Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn.
b) Tìm x để A  1
Hướng dẫn: ĐK: x  0; x 9

Trang 17


Toán 9
3
x
3 x  3

 1
 
A 



 : 
 x  3 x x  9 x   x  3 x  3 x 
 1
 
3
x
3 x 3 
A 



 : 
x ( x  3)( x  3)   x  3
x ( x  3) 
 x 3
A

x  3 x 3
x  3 x 3
:
x ( x  3)( x  3) x ( x  3)

x  3 x 3
x ( x  3)

.
x ( x  3)( x  3) x  3 x  3
1
A
x 3
A

1
1 x  3
1 
0
x 3
x 3


4 x
0
x 3

  4 

  x 

  4 

  x 
x

0;
x


9
b) Với
để A  1 thì

x 0

  x  16

30
x  9

 9  x  16
  x  16
x 0

  x  9
30

Với x  0; x 9 để A  1 thì 9  x  16

 x2  2x
  1 2
2x2
A  2
 3
 : 1 

2
2 x  8 x  2x  4x  8   x x2 


Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn.
A

b) Giải bất phương trình

1
3

HDG:
ĐKXĐ: x 0; x 2

Trang 18


Toán 9
 x2  2 x
 1 2 
2x2
A  2
 3
 . 1   2 
2
 2x  8 x  2x  4x  8   x x 
 x2  2 x
 x2  x  2
2x2
A 


.
2
2
x2
 2( x  4) ( x  4)( x  2) 
x3  2 x 2  2 x 2  4 x  4 x 2 x 2  x  2
A
.
2( x 2  4)( x  2)
x2
x( x 2  4)
x2  x  2
A 2
.
2( x  4)( x  2)
x2
( x  1)( x  2) x  1
A

2 x( x  2)
2x
x 1 1
3x  3  2 x
x 3
 
0
0
2x 3
6x
6x

 x  3  0
 x   3


x 0
x  0
x  0




 x  3  0
 x   3
x3
1



A
  x  0
  x  0
3 thì
b) Với x 0; x 2 để

P
Ví dụ: Cho biểu thức:

x
x
x 2 x

x 2


Q
x  4 và
x 2
x 2
x  2 với x 0; x 4

a) Rút gọn P
b) Biết M P : Q Tìm giá trị của x để

M2 

1
4

HDG:
a) Với x 0; x 4 ta có:

P

x
x
x 2 x
x
x
x ( x  2)






x 4
x 2
x 2
x 2
x  2 ( x  2)( x  2)

P

x
x 2

M P : Q 
b)

x
x 2
x
:

x 2 x 2
x 2

Trang 19


Toán 9
M2 


 


1
1
1
 ( M  )( M  )  0
4
2
2
x
1 
x
1
  
   0
x 2 2 x 2 2

x
1
 0
x 2 2

Do

x 2
0
2( x  2)
Để  x  4

x  20



Với x 0; x 4

x
1
 0
x 2 2

M2 

để

1
4 thì 0  x  4

A
Ví dụ: Cho biểu thức:

x1
x
B
x  2 và
x

x 2
x  2 với x  0; x 1; x 4

a) Tính giá trị biểu thức A khi x  27  10 2  18  8 2  8
P

b) Rút gọn biểu thức

B
A

c) Tìm giá trị nguyên của x để

P x

3
2

HDG:



x  27 10 2  18  8 2  8  5  2
a)Ta có: x 5  2  3 



2  8 10  0

Thay x 10(TM ) vào biểu thức A ta có:

A

10  1 ( 10  1)( 10  2) 9 10  2


10  4
6
10  2

B
b)

x
x

P
Có:

x 2
x x 2

x  2 ( x  1)( x  2)

B
x  x 2
x  1 x  x 2

:

A ( x  1)( x  2) x  2
x 1

Trang 20

2



3 2

2

8