32 bài toán phương trình và bất phương trình logarit chứa tham số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (734.07 KB, 25 trang )
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT CHỨA THAM SỐ
Câu 1.
Cho phương trình 4 x 10.2 x 16
Câu 2.
nguyên m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt?
A. 7 .
B. 2 .
C. 1.
D. 6 .
Có bao nhiêu số nguyên a , a 3 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn
a
log 2021 x
3
log 2021 a
A. 2019 .
Câu 3.
3x m 0 , với m là tham số thực. Có bao nhiêu số
x 3
B. 2018 .
C. 2020 .
D. 2003 .
2
Gọi S là tập hợp nghiệm nguyên của bất phương trình mx log 2 mx 2 2log2 x log 22 x .
2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tập hợp S có đúng 8 phần tử ?
A. 5.
B. 6.
C. 10.
D. 11.
Câu 4.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 3x
có 5 nghiệm ngun?
A. 65021.
B. 65022.
Câu 5.
Câu 6.
Câu 7.
x
2
9 2x m 0
D. 65024.
Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình 2m 23m2 x 9 x 2
5 x
9 x 2 có
nghiệm?
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. Vơ số.
Cho hàm số bậc 4 có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m
f x
và m 2021; 2021 để phương trình log
x f x mx mx 3 f x có hai
2
mx
nghiệm phân biệt dương ?
A. 2019 .
B. 2021 .
C. 2022 .
D. 2020 .
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m 10;10 để phương trình
2x
Câu 8.
C. 65023.
2
2
2 x 3
2 2
2m x
1
1 m2 x 2 2 x 2 có hai nghiệm phân biệt. Số phần tử của S là
A. 17 .
B. 15 .
C. 18 .
D. 16 .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc 20; 20 để bất phương trình
log 3 x 2 a log 3 x 3 a 1 0 có khơng q 20 nghiệm ngun?
Câu 9.
A. 22 .
B. 23 .
C. 21 .
D. 24 .
Có bao nhiêu số nguyên m 2021 để có nhiều hơn một cặp số
x; y
mãn log x2 y2 4 4 x 2 y m 1 và 4 x 3 y 1 0 ?
A. 2017 .
B. 2020 .
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
C. 2019 .
D. 2022 .
Trang - 1 -
thỏa
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
Câu 10 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a trên đoạn 10;10 để phương trình
e x a e x ln 1 x a ln 1 x có nghiệm duy nhất?
A. 2 .
B. 10 .
C. 1 .
D. 20 .
3
log 2020 x a
Câu 11.
2021 với a là số thực dương. Biết tích các nghiệm của
Cho phương trình x
phương trình là 32 . Mệnh đề nào sau đây là đúng
A. 1 a 2 .
B. 3 a 4 .
C. 4 a 5 .
D. 2 a 3 .
Câu 12. Có bao nhiêu số nguyên m 20; 20 để phương trình log 2 x log3 m x 2 có
nghiệm thực
A. 15 .
Câu 13. Cho phương trình
B. 14 .
C. 24 .
D. 21 .
m
2
1
2 2
3 cos x
m cos x 8 4 2(cos x 1) 3cos x 1 (1)
9 2
3
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình (1) có nghiệm thực?
m
sin 2 x
A. 3 .
1
2
cos x
B. 5 .
C. 7 .
D. 9 .
ln x 1 ln x m
, x 0, x 1 ?
Câu 14. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn
x 1 x x 1 x
A. 2.
B. 1.
C. Vô số.
D. 0.
Câu 15. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m 5;5 để phương trình
log 32 f x 1 log 2 2 f x 1 2m 8 log 1
f x 1 2m 0 có nghiệm x 1;1 ?
2
A. 7 .
B. 5 .
C. vô số.
D. 6 .
2
Câu 16. Cho phương trình log 3 x 3log 3 x 2m 7 0 có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa
mãn x1 3 x2 3 72 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
7
A. m 2; .
2
Câu 17. Cho phương trình
7
B. m ; .
2
C. m ; 2 .
7
D. m ; .
2
log 32 x 4log3 x 5 m log3 x 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả
các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc [27; ) .
A. 0 m 1 .
B. 0 m 2 .
C. 0 m 1 .
D. 0 m 2 .
Câu 18. Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như sau.
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 2 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
Tổng các giá trị ngun của tham số m để phương trình
f ( x )
2
4
f ( x)
log 2 f 2 ( x) 4 f ( x) 5 m có đúng hai nghiệm phân biệt bằng
A. 34 .
B. 50 .
C. 67 .
D. 83 .
x
Câu 19. Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình a 9 x 1 nghiệm đúng với mọi
x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a 0;10 2 .
B. a 102 ;103 .
C. a 104 ; .
D. a 10 3;10 4 .
Câu 20. Giả sử a , b là các số thực sao cho x3 y 3 a.103 x b.102 x đúng với mọi số thực dương
x , y , z thỏa mãn log x y z và log x 2 y 2 z 1 . Giá trị của a b bằng
29
.
2
Câu 21. Có bao
A.
31
.
2
trị nguyên
B.
nhiêu
giá
31
.
2
của tham
C.
âm
25
.
2
để phương
D.
số
m
trình
16.3x m 4 4.9 x 18.3x 4 m có đúng một nghiệm ?
A. 3 .
B. 5 .
C. 4 .
D. Vô số.
Câu 22. Gọi S là tập các giá trị của tham số m để phương trình
x m 1
2
3( x 1) 27 x m 1 log 3 2
có có đúng 3 nghiệm phân biệt. Tổng tất cả các phần
x 2x 4
tử của S bằng
13
5
A. 3 .
B.
.
C.
.
D. 2 .
4
4
Câu 23. Cho phương trình log 2 mx 3 5mx 2 6 x log 2 m 3 x 1 , với m là tham số. Số
các giá trị x nghiệm đúng phương trình đã cho với mọi m 1 là
A. 2.
B. Vô số.
C. 0.
D. 1.
f
x
f
m
2 f x f m 1 có
Câu 24. Cho hàm số f x x 2 2 x . Tìm m để phương trình 3
nghiệm x 0 ;1 .
A. 3 ; 1 \ 1 .
B. 5 ; 1 \ 1 .
C. m 3 ; 4 \ 1 D. m 3 ; 4 \ 2
Câu 25. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
4 x 1 41 x m 1 22 x 2 2 x 16 8m có nghiệm thuộc đoạn 0;1 .
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 26. Gọi S là tập hợp các số nguyên m 2020; 2020 để phương trình
log 22 x log
2
x m m log 2 x có đúng hai nghiệm. Số phần tử của S bằng
A. 2021 .
B. 0 .
C. 2020 .
D. 1 .
Câu 27. Trong tất cả các cặp số thực x; y thỏa mãn log x2 y2 2 2 x 2 y 5 1 , có bao nhiêu giá
trị
2
thực
của
m
để
tồn
tại
duy
nhất
cặp
số
thực
x; y sao
2
x y 4 x 6 y 13 m 0 ?
A. 1 .
B. 2 .
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghieäp
C. 3 .
D. 0 .
Trang - 3 -
cho
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Câu 28.
Tìm
số
các
giá
Lớp Toán Thầy Nghiệp
trị
ngun
của
m để
phương
trình
log32 x log32 x 1 2m 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3 .
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương
x 2 m3 m x m ln x 2 1 nghiệm đúng với mọi số thực x ?
trình
A. 2 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 1 .
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để tập nghiệm của phương trình
2
2
2 x x 2 m 2 x xm 4 23 xm 2 x 4 có đúng hai phần tử?
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
Câu 31. Gọi S tập hợp các giá trị của tham số m sao cho phương trình
2
D. 4 .
2
m.32 x 7 x 5 33 2 x m 38 7 x
có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. Số phần tử của tập S là
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
D. 3 .
2m
x log 3 x 1 log 9 9 x 1
có hai nghiệm thực phân biệt.
A. m 1;0 .
B. m 2;0 .
C. m 1; .
1.D
11.A
21.C
31.D
2.B
12.A
22.A
32.C
3.A
13.B
23.D
4.D
14.C
24.A
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
BẢNG ĐÁP ÁN
5.A
6.A
15.A
16.D
25.C
26.C
7.D
17.A
27.B
8.A
18.B
28.C
D. m 1;0 .
9.A
19.D
29.C
10.D
20.A
30.B
Trang - 4 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
Cho phương trình 4 10.2 x 16
Câu 2.
nguyên m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt?
A. 7 .
B. 2 .
C. 1.
D. 6 .
Lời giải
m
Điều kiện: x .
3
x
x
x
x 1
2
2
4 10.2 16 0
2x 8 x 3 .
4 x 10.2 x 16 3x m 0
m
x
m
m
3
x
x
3
3
m
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi 1 3 3 m 9 .
3
Vậy có 6 giá trị m thỏa mãn.
Có bao nhiêu số nguyên a , a 3 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn
a
x
3x m 0 , với m là tham số thực. Có bao nhiêu số
log 2021 x
3
log 2021 a
x 3
A. 2019 .
B. 2018 .
C. 2020 .
Lời giải
D. 2003 .
Điều kiện có nghiệm: x 3 .
a
log 2021 x
3
log 2021 a
x 3 xlog2021 a 3
log 2021 a
x 3.
Đặt t x log2021 a 3 , t 0 . Ta được:
xlog2021 a t 3
xlog2021 a t log2021 a t x xlog2021 a x t log2021 a t .
log2021 a
x 3
t
Xét hàm số f X X log2021 a X đồng biến trên khoảng 0; .
Do đó xlog2021 a x t log2021 a t x t .
Suy ra, ta có phương trình:
x xlog2021 a 3 xlog2021 a x 3 log 2021 a.log 2021 x log 2021 x 3
log 2021 x 3
log 2021 x
log 2021 a
. 1
log 2021 x 3
log 2021 a 0 mà log 2021 x 0 suy ra
log 2021 x
log 2021 x 3
1 , x 3 .
0 log 2021 x 3 log 2021 x , x 3 nên
log 2021 x
Vì a 3 và x 3 nên
Suy ra, điều kiện cần để phương trình có nghiệm là: log2021 a 1 0 a 2021 .
Kết hợp với điều kiện a 3 , suy ra a 3; 4;5;....; 2020 .
Ngược lại, nếu 3 a 2021 , đặt log 2021 a m , với 0 m 1 . Khi đó, phương trình 1
tương đương với
log 2021 x 3
m log x x 3 m x 3 xm x x m 3 0 .
log 2021 x
Xét hàm số g x x x m 3 liên tục trên 3; , g 3 3m 0 và lim g x nên
x
m
phương trình x x 3 0 có nghiệm x 3; .
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 5 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
Vậy có 2018 số ngun a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3.
2
Gọi S là tập hợp nghiệm nguyên của bất phương trình mx 2 log 2 mx 2 2log2 x log 22 x .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tập hợp S có đúng 8 phần tử ?
A. 5.
B. 6.
C. 10.
D. 11.
Lời giải
Điều kiện: x 0 và m 0 .
Bất phương trình tương đương với:
2
2
2
mx 2 log 2 mx 2 2log2 x log 2 2log2 x f mx 2 f 2log2 x (1)
Với hàm f t t log 2 t , t 0 . Ta có: f t 1
1
0 với t 0 nên hàm số f t
t ln 2
đồng biến trên 0; . Khi đó ta được:
2
(1) mx 2 2log 2 x log 2 m 2 log 2 x log 22 x log 2 m log 22 x 2 log 2 x g x
Ta có: g x
2
2
2
log 2 x
log 2 x 1 ; g x 0 log 2 x 1 x 2 (nhận)
x ln 2
x ln 2 x ln 2
Để S có đúng 8 nghiệm nguyên (gồm các nghiệm là: 1; 2; 3; 4; …; 8) thì
3 log2 m 3,708 8 m 13,068 .
Do m nên ta chọn m 9;10;11;12;13 . Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m .
Câu 4.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 3x
có 5 nghiệm ngun?
A. 65021.
B. 65022.
C. 65023.
Lời giải
2
x
2
9 2x m 0
D. 65024.
Trường hợp 1: m 0
2
Ta có: 2x m 0 nên bất phương trình tương đương với
2
3x x 9 x2 x 2 0 1 x 2 .
Do x nên ta chọn x 1;0;1; 2 , có 4 giá trị nguyên là nghiệm (không thỏa đề bài).
Trường hợp 2: m 1 (do m )
3x
2
x
9 0 x2 x 2 x 1 x 2 .
2x m 0 x2 0 x 0 .
Ta có bảng xét dấu sau:
2
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 6 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
Vậy có các giá trị ngun là nghiệm của bất phương trình gồm 1;0;1; 2 , tức là có 4
nghiệm ngun (khơng thỏa đề bài).
Trường hợp 3: m 2 (do m )
2
2 x m 0 x 2 log 2 m x log 2 m x log 2 m .
Do số nghiệm nguyên của bất phương trình là 5 nên ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng xét dấu, để bất phương trình có 5 nghiệm ngun thì
3 log 2 m 4 9 log 2 m 16 512 m 65536 (thỏa mãn điều kiện)
Do m nên ta chọn m 512;513;....;65535 tức là có 655035 512 1 65024 giá trị
nguyên của tham số m thỏa đề bài.
Câu 5.
Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình 2m 23m2 x 9 x 2
nghiệm?
A. 2.
B. 3.
C. 1.
Lời giải
5 x
9 x2
D. Vô số.
*Điều kiện xác định: 3 x 3 .
y2 9
.
2
x
9 x2 x
Ta có y f ' x 1
.
9 x2
9 x2
Đặt y f x x 9 x 2 x 9 x 2
x 0
x 0
3
Do đó f ' x 0 9 x x
.
2 9x
2
2
2
9 x x
x 2
2
Bảng biến thiên y f x x 9 x 2 trên 3;3
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 7 -
có
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
Suy ra 3 y 3 2 x 3;3 .
y2 9
m 1
3m 3
*Phương trình trở thành: 2 m 23m 2 y. 5
y y 2 1
2 2
2
Đặt t 2m1 t 3 t y 3 y (1).
Ta có (1)
2
y 3y2
t 3 y 3 t y 0 t y t 2 ty y 2 1 0 t y t
1 0
4
2
t y.
Vậy phương trình có nghiệm 3 2 m1 3 2 . Suy ra m log 2 3 2 1 .
Vì m là số tự nhiên nên m0;1. Vậy có hai số tự nhiên m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 6.
Cho hàm số bậc 4 có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
f x
và m 2021; 2021 để phương trình log
x f x mx mx 3 f x có hai
2
mx
nghiệm phân biệt dương ?
A. 2019 .
B. 2021 .
C. 2022 .
D. 2020 .
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta thấy f x 3 và f x 0 có ba nghiệm phân biệt
1;0;1 nên f ' x ax x 2 1 f x
a 4 a 2
x x b.
4
2
f 0 b 4
a 4
Ta có
f x x4 2 x2 4 .
a
b
4
f 1 b 3
4
Mặt khác, từ phương trình suy ra m 0 .
PT log f x log mx 2 xf x mx 2 mx3 f x
log f x xf ( x ) f x log mx 2 x. mx 2 mx 2
Cộng vào hai vế của phương trình trên với log x 1
x 0 ta được :
log x 1 f x x 1 f ( x ) log x 1 mx 2 x 1 mx 2 *
Đặt g t log t t , t 0 . Dễ thấy hàm g t luôn đồng biến t 0 .
f x
4
Từ (*) x 1 f x x 1 mx 2 f x mx 2 2 m x 2 2 m 2 .
x
4
8
Xét hàm h x x 2 2 h ' x 2 x 3 , h x 0 x 2 .
x
x
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
x
Trang - 8 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
Vậy PT đã cho có hai nghiệm dương phân biệt m 2 4 m 2 .
Vì m 2021; 2021 nên có 2019 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Câu 7.
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m 10;10 để phương trình
2x
2
2 x 3
2 2
2m x
1
1 m2 x 2 2 x 2 có hai nghiệm phân biệt. Số phần tử của S là
A. 17 .
Ta có: 2 x
2x
2
B. 15 .
2
2 x 3
2 x 3
2 2
2m x
1
C. 18 .
Lời giải
D. 16 .
1 m2 x 2 2 x 2
2 2
x 2 2 x 3 2m x
1
m2 x 2 1 .
(*)
Xét f (t ) 2t t , với t 1 .
f (t ) 2t.ln 2 1 0 , t 1 .
f (t ) đồng biến trên 1; .
Do đó, pt (*) f x 2 2 x 3 f m 2 x 2 1
x2 2 x 3 m2 x2 1
1 m 2 x 2 2 x 2 0 .
(1)
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
m 1
1 m2 0
m 1
2
2
2.
0
8
m
4
0
m
m
2
2
Mà m và m 10;10 nên suy ra m 9; 8;...;9 \ 1;0;1 .
Câu 8.
Vậy tập S có 16 phần tử.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc 20; 20 để bất phương trình
log 3 x 2 a log 3 x 3 a 1 0 có khơng q 20 nghiệm ngun?
A. 22 .
B. 23 .
C. 21 .
Lời giải
D. 24 .
x 0
x 0
3
x 1.
Điều kiện
3
x 1
log 3 x 0
Với điều kiện trên, ta có:
log 3 x 2 a log 3 x 3 a 1 0 2 log 3 x a 3log 3 x a 1 0 .
Đặt
3log 3 x t , t 0 log 3 x
Ta có bất phương trình
t2
.
3
2t 2 3
2 2
.
t at a 1 0 3a
3
t 1
Nhận xét:
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghieäp
Trang - 9 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Xét hàm số f t
Lớp Toán Thầy Nghiệp
2t 2 3
trên 0; , ta có:
t 1
2 10
t
2t 4t 3
2
f ' t
. Giải phương trình f ' t 0
2
2 10
t 1
t
2
Bảng biến thiên
2
Bảng giá trị
x
1
t
0
2
3log 3 2
f t
3
6 log 3 2 3
3log 3 2 1
…
…
3
3
9
3 1
…
20
6 log 3 20 3
3log 3 20 1
.
n
21
3log 3 20
l
3log3 21
6 log 3 21 3
3log 3 21 1
5, 054
Bất phương trình log 3 x 2 a log 3 x 3 a 1 0 có khơng q 20 nghiệm nguyên
3a
6 log 3 21 3
2 log 3 21 1
a
1, 685
3log 3 21 1
3log 3 21 1
Tập các giá trị của a thỏa đề là 1;0;....; 20
Có 22 giá trị của a thỏa đề.
Cách 2:
x 0
x 0
x 1.
Điều kiện
3
3
log3 x 0 x 1
Với điều kiện trên, ta có:
log3 x2 a log3 x3 a 1 0 2 log 3 x a 3log 3 x a 1 0
(*)
t2
.
3
Do bất phương trình có khơng q 20 nghiệm ngun nên suy ra:
Đặt
3log3 x t , t 0 log 3 x
1 x 21 0 t 3log 3 21 .
Ta có bất phương trình (*)
2 2
2t 2 3
t at a 1 0 3a
.
t 1
3
2t 2 3
Xét hàm số f t
trên 0; , ta có:
t 1
2 10
l
2
t
2t 4t 3
2
f t
. f t 0
.
2
2 10
t 1
n
t
2
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 10 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
Từ bảng biến thiên suy ra yêu cầu bài toán tương đương với
5
3a 5 a 1, 67 .
3
Mà a 20; 20 nên có 22 giá trị a thỏa u cầu bài tốn.
Câu 9.
Có bao nhiêu số ngun m 2021 để có nhiều hơn một cặp số
x; y
thỏa
mãn log x2 y2 4 4 x 2 y m 1 và 4 x 3 y 1 0 ?
A. 2017 .
B. 2020 .
C. 2019 .
D. 2022 .
Lời giải
Ta có: log x2 y2 4 4 x 2 y m 1 4 x 2 y m x 2 y 2 4 .
2
2
x 2 y 2 4 x 2 y 4 m 0 x 2 y 1 m 1
Như vậy, * là phương trình hình trịn C tâm
* .
I 2; 1 , bán kính
R m 1 (với
m 1 )
Bài toán đưa về xét sự tương giao giữa đường thẳng d : 4 x 3 y 1 0 và hình trịn
C .
Để có nhiều hơn một cặp x; y thì d I ; d R .
4.2 3. 1 1
4 2 3
2
m 1 m 1
12
144
119
m 1
m
4, 76 .
5
25
25
Kết hợp điều kiên m 2021 , suy ra 5 m 2021 .
Vậy có 2017 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Câu 10 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a trên đoạn 10;10 để phương trình
e x a e x ln 1 x a ln 1 x có nghiệm duy nhất?
A. 2 .
B. 10 .
C. 1 .
D. 20 .
Lời giải
x 1 a 0
Điều kiện xác định:
* .
x 1 0
Phương trình đã cho tương đương với e x a e x ln 1 x a ln 1 x 0 .
Đặt f x e x a e x ; g x ln 1 x a ln 1 x ; P x f x g x .
Với a 0 thì P x 0 (ln đúng với mọi x thỏa mãn * ).
Với a 0 thì * x 1, f x đồng biến và g x nghịch biến với x 1 . Khi đó
P x đồng biến với x 1
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghieäp
1 .
Trang - 11 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
1 x a
a
P x lim e x a e x ln
lim e x a e x ln 1
x lim
x 1
1 x x 1
1 x
1
Ta có:
2
a
lim P x lim e x ea 1 ln 1
1 x
x
x
Kết hợp 1 và 2 thì phương trình P x 0 có nghiệm duy nhất.
Với a 0 thì * x 1 a, g x đồng biến và f x nghịch biến với x 1 a . Khi
đó P x nghịch biến với x 1 a
3 .
Ta có:
1 x a
a
P x lim e x a e x ln
lim e x a e x ln 1
x lim
x 1 a
1 x x 1 a
1 x
1 a
4
a
lim P x lim e x ea 1 ln 1
1 x
x
x
Kết hợp 3 và 4 thì phương trình P x 0 có nghiệm duy nhất.
10 a 0
Kết hợp cả 3 trường hợp, yêu cầu bài toán
.
0 a 10
Vậy có tất cả 20 giá trị nguyên của a thỏa mãn.
log 2020 x3 a
2021 với a là số thực dương. Biết tích các nghiệm của
Câu 11. Cho phương trình x
phương trình là 32 . Mệnh đề nào sau đây là đúng
A. 1 a 2 .
B. 3 a 4 .
C. 4 a 5 .
D. 2 a 3 .
Lời giải
Điều kiện: x 0 .
x
2021 3log x a log 2021
2020
x
log 2020 x3 a
3log 2020 x a
log 2020 2021
3log 22020 x a log 2020 x log 2020 2021 0 . 1
log 2020 x
Ta có: x1.x2 32 . Áp dụng định lí Vi-et vào phương trình 1 ta có:
log 2020 x1 log 2020 x2 log 2020 x1.x2 log 2020 32
a
3
a 1,366 .
Câu 12.
Có bao nhiêu số nguyên m 20; 20 để phương trình log 2 x log3 m x 2 có
nghiệm thực
A. 15 .
B. 14 .
C. 24 .
Lời giải
D. 21 .
x 0
Cách 1: Điều kiện:
.
m x
x
1
Đặt: t log 2 log 3
4
m x
x
t
x 4.2t
4 2
1
t
1 m t 4.2 t .
1
3
m x t
3t
3
m x
1
Xét phương trình: f t t 4.2t t .
3
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 12 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
ln 3
1
ln 3
4.ln 2.2t 0 t log 6
.
t
3
2
4 ln 2
Bảng biến thiên:
f 't
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi: m 4, 56 .
Mà m , m 20; 20 m 5; 6;7;...;19 .
Vậy có 15 số ngun thỏa mãn u cầu bài tốn.
Cách 2: Điều kiện: 0 x m .
log 2 x log3 m x 2
4
log 3 m x log 2
x
4
log 2
x
m3
4
m
x
x
log 2 3
x .
4n n
4n x x
x
4n
n
1
Đặt n log 2 3 , ta được: m n x n n 1
4, 56
x
n
x
n n
n
nn
x
( có n số hạng
)
n
Vậy có 19 5 1 15 số nguyên m 20; 20 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 13. Cho phương trình
m
2
1
m cos 2 x 8 4cos x 2(cos x 1) 3cos x 1 (1)
cos x
9 2
3
Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình (1) có nghiệm thực?
2
2m 2sin x 3
A. 3 .
1
B. 5 .
C. 7 .
Lời giải
D. 9 .
Phương trình (1) tương đương
2
m 1cos2 x
1
m 1 cos x
3
2
m 1 cos2 x
2
2cos x 3
1
2 cos x 3
3
2cos x 3
(2).
t
1
Xét hàm số f (t ) 2t t có f (t ) 2t ln 2 1 3t ln 3 0 , t .
3
Suy ra hàm số f (t ) đồng biến trên .
Do đó (2) m 1 cos 2 x 2 cos x 3 m cos 2 x 2 cos x 2 (3).
Vì 1 cos x 1 nên 1 cos 2 x 2 cos x 2 (cos x 1) 2 1 5 .
Suy ra phương trình (3) có nghiệm thực khi và chỉ khi 1 m 5 .
Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 13 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
ln x 1 ln x m
, x 0, x 1 ?
x 1 x x 1 x
A. 2.
B. 1.
C. Vô số.
D. 0.
Lời giải
2 x ln x
m 1 , x 0, x 1 . (1)
Bất phương trình đã cho tương đương với
x2 1
2 x ln x
Xét hàm số f ( x) 2
, x 0, x 1 .
x 1
x2 1
2
ln
x
x2 1
2[( x 2 1) ln x x 2 1]
Ta có f ( x)
.
2
( x 2 1) 2
( x 1)( x 2 1) 2
x2 1
Xét hàm số g ( x) ln x 2
, x 0.
x 1
( x 2 1)2
0 , x 0 , x 1 ; g ( x ) 0 x 1 .
Ta có g ( x)
x( x 2 1) 2
Suy ra g ( x ) g (1) 0 khi x 1 và g ( x ) g (1) 0 khi x 1 .
Do đó ta có bảng biến thiên
Câu 14. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn
Câu 15.
Từ bảng biến thiên suy ra (1) m 1 1 m 0 .
Vậy có vơ số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m 5;5 để phương trình
log 32 f x 1 log 2 2 f x 1 2m 8 log 1
f x 1 2m 0 có nghiệm x 1;1 ?
2
A. 7 .
B. 5 .
C. vô số.
Lời giải
D. 6 .
Xét phương trình:
log 32 f x 1 log 2 2 f x 1 2m 8 log 1
f x 1 2m 0
2
log 32 f x 1 4 log 22 f x 1 m 4 log 2 f x 1 2m 0 1
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 14 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
Điều kiện: f x 1 0
Đặt t log 2 f x 1 .
Vì x 1;1 nên từ đồ thị suy ra: f x 1;3 f x 1 0; 4 t ; 2
1 t 3 4t 2 m 4 t 2m 0 t 2 t 2 2t m 0 2
t 2 ( L )
2
2
t 2t m 0 t 2t m 3
Xét hàm g t t 2 2t với t ; 2
Để PT 3 có nghiệm thì: m 1 , kết hợp m 5;5 và m nguyên m 1;0;...;5 .
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn.
Câu 16. Cho phương trình log 32 x 3log 3 x 2m 7 0 có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa
mãn x1 3 x2 3 72 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
7
A. m 2; .
2
7
B. m ; .
2
C. m ; 2 .
7
D. m ; .
2
Lời giải
Điều kiện: x 0
Ta có: log 32 x 3log3 x 2m 7 0 1
Đặt log3 x t , với t . Khi đó PT 1 t 2 3t 2m 7 0 2
PT 1 có 2 nghiệm thực dương phân biệt x1 , x2 PT 2 có 2 nghiệm thực phân biệt
t1 , t2
9 4 2m 7 0 m
37
8
Theo Vi-et ta có:
log3 x1 . x2 3
log 3 x1 log 3 x2 3
t1 t2 3
t1. t2 2m 7
log 3 x1.log 3 x2 2m 7
log3 x1.log 3 x2 2m 7
x1 . x2 27
log3 x1.log3 x2 2m 7 3
Theo giả thiết ta có:
x1 3 x2 3 72 x1 x2 3 x1 x2 9 72 27 3 x1 x2 9 72 x1 x2 12
x1. x2 27
x1 9
Vậy
x1 x2 12
x2 3
Thay vào 3 ta có: log 3 9.log 3 3 2m 7 m
Câu 17. Cho phương trình
9
(tmđk) .
2
log 32 x 4log3 x 5 m log3 x 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả
các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc [27; ) .
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 15 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
A. 0 m 1 .
B. 0 m 2 .
Lớp Toán Thầy Nghiệp
C. 0 m 1 .
Lời giải
D. 0 m 2 .
Đặt t log 3 x, x 27; t 3; .
Khi đó
log32 x 4 log 3 x 5 m log 3 x 11 t 2 4t 5 m t 1 , t 3
t 3
t 5
2
m t 1 0
m 0
( do t 2 4t 5 m 2 t 1 0 t 5 ).
2
t 5
2
2
t 4t 5 m t 1
m2
t 1
6
t 5
0 t 5 .
Xét hàm số f t
2 với t 5 . Có f t
2
t 1
t 1
Bảng biến thiên
Để phương trình 1 có nghiệm x 27; thì phương trình 2 có nghiệm
t 5 0 m 1
Câu 18. Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như sau.
Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
f ( x )
2
4
f ( x)
log 2 f 2 ( x) 4 f ( x) 5 m có đúng hai nghiệm phân biệt bằng
A. 34 .
Xét hàm số g x 2
B. 50 .
f ( x)
4
f ( x)
C. 67 .
Lời giải
D. 83 .
log 2 f 2 ( x) 4 f ( x) 5 .
4
4 f x f ( x ) f ( x )
2 f ( x) f x 4 f x
g
x
f
x
2
ln
2
Ta có
f 2 ( x)
f 2 ( x) 4 f ( x) 5 ln 2
f x 2 f ( x ) 4
2
f (x)
f x f x 2
.2
l
n
2
.
2
2
f
(
x
)
f
(
x
)
4
f
(
x
)
5
ln
2
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 16 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
x 1
x 2
f x 0
.
g x 0
x 3
f x 2
x a 1; 2
x b 2;3
Bảng biến thiên
m 16
Để phương trình có đúng 2 nghiệm thì
.
33 m 32 log 2 5
m 16
Do m nguyên nên
.
m 34
Câu 19. Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình a x 9 x 1 nghiệm đúng với mọi
x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a 0;10 2 .
B. a 102 ;103 .
C. a 104 ; .
D. a 10 3;10 4 .
Lời giải
x
x
a 9x 1 a 9x 1 0
Đặt f ( x) a x 9 x 1 .
Ta có f (0) 0 và f ( x) a x ln a 9 .
Để a x 9 x 1 x thì f ( x ) 0 x . Tức là min f ( x) 0 f (0).
Điều này xảy ra khi f ( x ) đồng biến trên 0; và nghịch biến trên ;0 .
Do đó f (0) 0 ln a 9 0 ln a 9 a e9 10 3;104
Câu 20. Giả sử a , b là các số thực sao cho x3 y 3 a.103 x b.102 x đúng với mọi số thực dương
x , y , z thỏa mãn log x y z và log x 2 y 2 z 1 . Giá trị của a b bằng
A.
29
.
2
B.
31
.
2
C.
31
.
2
D.
25
.
2
Lời giải
x y 0
Điều kiện: 2
2
x y 0
log x y z x y 10 z
Ta có:
log x 2 y 2 z 1 x 2 y 2 10.10 z
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 17 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
2
2
Khi đó x y 10( x y ) x y
2z
xy
10 10.10
2
2
Lớp Toán Thầy Nghiệp
x y
2 xy 10( x y ) xy
2
10( x y )
2
z
2
Để tồn tại x , y thì x y 4 xy 102 z 2 102 z 10.10 z 10z 20 z log 20
3
Mặt khác x3 y 3 a.103 x b.10 2 x x y 3 xy ( x y ) a.103 x b.102 x
102 z 10.10 z
103 z 10.102 z
.10 z a.103 x b.102 x 103 z 3.
a.103 x b.102 x
2
2
103 z 30.10 2 z 2a.103 x 2b.10 2 x (1)
1
2 a 1 a
Vì (1) đúng với mọi 0 z log 20 nên
2
2b 30
b 15
29
Do đó, giá trị a b
2
Câu 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình
103 z 3.
16.3x m 4 4.9 x 18.3x 4 m có đúng một nghiệm ?
A. 3 .
B. 5 .
C. 4 .
Lời giải
D. Vô số.
Đặt u 16.3x m 4; u 0 u 2 16.3 x m 4 4 m 16.3 x u 2
u 2.3x 1
Phương trình trở thành: u u 4.9 2.3 0
x
u 2.3 ( L)
1
Với u 2.3x 1: u 0 2.3x 1 0 3x
2
2
x
x
) u 2.3x 1 16.3x m 4 2.3x 1
16.3x m 4 2.3x 1
2
4.32 x 20.3x 5 m (*)
1
Đặt t 3x ; t . Phương trình (*) 4t 2 20t 5 m
2
1
Xét hàm số f (t ) 4t 2 - 20t 5 trên ; có bảng biến thiên
2
Ứng với mỗi t
1
thì có một x nên phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi
2
m 20
m 4 . m nguyên âm nên m20; 3; 2; 1 . Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn.
Câu 22. Gọi S là tập các giá trị của tham số m để phương trình
x m 1
2
3( x 1) 27 x m 1 log 3 2
có có đúng 3 nghiệm phân biệt. Tổng tất cả các phần
x 2x 4
tử của S bằng
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 18 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
A. 3 .
B.
13
.
4
Lớp Toán Thầy Nghiệp
5
.
4
Lời giải
C.
D. 2 .
Phương trình tương đương với
3 xm 3
2
3( x 1) 33 x m log 3
( x 1) 2 3
2
3 xm
3( x 1) log 3 x 1 3 3
log 3 3 x m 3 (*)
Xét hàm số f (t ) 3t log3 t 3 trên 0; . Ta thấy hàm số f (t ) liên tục và đồng
2
biến trên 0;
x 2 x 1 3m
2
(*) f ( x 1) 2 f 3 x m x 1 3 x m 2
x 5 x 1 3m
Vẽ đồ thị hai hàm số y x 2 x 1 và y x 2 5 x 1 trên cùng một hệ trục
Từ đồ thị ta có, phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
3
7
3m 4
m 4
3m 21 m 1 S 7 ; 1 ; 1
4
4
4 4
3m 3
m 1
Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 3.
Câu 23. Cho phương trình log 2 mx 3 5mx 2 6 x log 2 m 3 x 1 , với m là tham số. Số
các giá trị x nghiệm đúng phương trình đã cho với mọi m 1 là
A. 2.
B. Vô số.
C. 0.
D. 1.
Lời giải
Gọi x0 là giá trị x thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vì x0 nghiệm đúng phương trình đã cho với mọi m 1 nên cũng nghiệm đúng với
m 0.
Thay m 0 ta được: log 2
6 x0 log 2 3 x0 1
1 x0 6
6 x0 3 x0 1
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 19 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
1 x0 6
5 2 6 x0 x0 1 9
1 x0 6
2
x0 7 x0 10 0
x0 5
x0 2
Với x0 2 ta có: log 2 12m 2 log 2 m 2 không thỏa mãn với m 1 nên loại x0 2
Với x0 5 ta có log 2 1 log 2 m 1 đúng với mọi m 1 .
Vậy x0 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 24. Cho hàm số f x x 2 2 x . Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương
trình 3
f x f m
2 f x f m 1 có nghiệm x 0 ;1 .
A. 3 ; 1 \ 1 .
B. 5 ; 1 \ 1 .
C. m 3 ; 4 \ 1 D. m 3 ; 4 \ 2
Lời giải
Phương trình 3
f x f m
2 f x f m 1
Đặt t f x f m ta được phương trình 3t 2t 11
Xét hàm số g t 3t 2t
g ' t 3t ln 3 2
2
a
ln 3
Ta có bảng biến thiên
g ' t 0 t log3
Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình 1 có tối đa 2 nghiệm
t 0
Mặt khác, g 0 g 1 1 nên từ đó 1
t 1
f x f m 1
Hay
f x f m
Ta có bảng biến thiên f x trên 0 ; 1
Từ bảng biến thiên thì u cầu bài tốn tương đương
0 f m 1 3
0 f m 3
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghieäp
Trang - 20 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
1 f m 3
2
m 2m 1 0
2
m 2m 3 0
m 1
3 m 1
Vậy m 3 ; 1 \ 1 thỏa mãn u cầu bài tốn.
Câu 25. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
4 x 1 41 x m 1 22 x 2 2 x 16 8m có nghiệm thuộc đoạn 0;1 .
A. 1 .
B. 4 .
4 x 1 41 x m 1 22 x
C. 2 .
Lời giải
2 x
2 16 8m (1)
D. 3 .
1
1
m 1 2 x x 4 2m
x
4
2
1
3
Đặt: t 2 x x . Vì x 0;1 nên t 0; .
2
2
Khi đó phương trình trở thành:
t 2 2 m 1 t 4 2m t 2 t 2 m t 2 t m 1 (2) .
4x
Phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn 0;1 khi và chỉ khi phương trình (2) có
3
nghiệm thuộc đoạn 0; .
2
3
5
3
Mà (2) có nghiệm thuộc đoạn 0; 0 m 1 1 m .
2
2
2
Vì m nên m 1; 2 .
Câu 26. Gọi S là tập hợp các số nguyên m 2020; 2020 để phương trình
log 22 x log
2
A. 2021 .
log 22 x log
x m m log 2 x có đúng hai nghiệm. Số phần tử của S bằng
B. 0 .
2
C. 2020 .
D. 1 .
Lời giải
x m m log 2 x log 22 x 2 log 2 x m m log 2 x (*)
x 0
Điều kiện:
log 2 x m 0
Đặt: t log 2 x
Phương trình trở thành:
t 2 2t m m t t 2 m t t m t t m t t m t 1 0 (**)
t m t 0 (1)
.
t m t 1 0 (2)
t 0
(1) m t t
2
f (t ) t t m
Bảng biến thiên:
Giaùo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 21 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
t 1
(2) m t 1 t
2
g (t ) t 3t 1 m
Bảng biến thiên:
Phương trình (*) có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có đúng 2 nghiệm
1
TH1: m .
4
1
1
(1) t và (2) t .
2
2
1
Do đó m khơng thỏa đề. (a )
4
TH2: (1) có 2 nghiệm phân biệt và (2) vơ nghiệm
1
m 0
Khơng có giá trị m thỏa. (b)
4
m 1
TH3: (1) có 1 nghiệm t 1 và (2) có 1 nghiệm t 1
m 0
m 0 . (c )
m 1
Từ (a )(b)(c) m 0 thỏa đề.
Do m và m 2020, 2020 nên S 1; 2;...; 2020 .
Vậy số phần tử của S bằng 2020 .
Câu 27. Trong tất cả các cặp số thực x; y thỏa mãn log x2 y2 2 2 x 2 y 5 1 , có bao nhiêu giá
trị
2
thực
của
m
để
tồn
tại
duy
nhất
cặp
số
thực
x; y sao
cho
2
x y 4 x 6 y 13 m 0 ?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
Lời giải
D. 0 .
Điều kiện 2 x 2 y 5 0 .
2
2
Ta có log x2 y2 2 2 x 2 y 5 1 x 2 y 2 2 2 x 2 y 5 x 1 y 1 5 . (1)
Tập hợp các cặp số thực x; y là hình trịn C1 có tâm I1 1;1 bán kính R1 5 .
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 22 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
2
2
Mặt khác ta lại có x 2 y 2 4 x 6 y 13 m 0 x 2 y 3 m . (2)
Khi m 0 thì khơng tồn tại cặp số x; y .
x 2
2
2
Khi m 0 thì x 2 y 3 0
không thõa mãn (1).
y 3
Khi m 0 thì (2) là đường trịn C 2 có tâm I 2 2; 3 R2 m .
Ta có I1 I 2 5 . Để tồn tại cặp số thực x; y thì hai đường trịn C1 và C 2 phải tiếp xúc
I1 I 2 R1 R2
nhau
I1 I 2 R1 R2
2
Khi I1 I 2 R1 R2 m 5 5 m 5 5 .
Khi I1 I 2 R1 R2
2
m 5 5 m 5 5 .
Vậy có 2 giá trị thực của m .
Câu 28. Tìm số các giá trị nguyên của m để phương trình log32 x log32 x 1 2m 1 0 có ít
nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3 .
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
Lời giải
D. 4 .
Đặt t log32 x 1 . Điều kiện t 1 .Phương trình trở thành t 2 t 2m 2 0 (*) .
t2 t 2
Khi x 1;3 3 t 1; 2 . Ta có (*) f t
m.
2
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có 0 m 2 . Vậy có 3 giá trị nguyên.
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
x 2 m3 m x m ln x 2 1 nghiệm đúng với mọi số thực x ?
A. 2 .
bất
phương
trình
B. 0 .
C. 3 .
D. 1 .
Lời giải
2
3
2
2
Ta có x m m x m ln x 1 x m3 m x m ln x 2 1 0 (1).
Hàm số f x x 2 m3 m x m ln x 2 1 lên tục trên , gọi đồ thị là C .
2mx
.
x2 1
Vì (1) nghiệm đúng với mọi x nên các điểm của đồ thị C đều nằm phía trên trục
f x 2 x m3 m
Ox .
Mà O 0;0 C điều kiện cần là C tiếp xúc với Ox tại điểm
m 0
O 0;0 f 0 0 m3 m 0
.
m 1
Thử lại:
Với m 0 , 1 trở thành x 2 0 ( đúng x ).
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 23 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
Với m 1 , 1 trở thành x 2 ln x 2 1 0 .
Xét hàm số f t t ln t 1 , t 0 .
1
t
f t 0, t 0 .
t 1 t 1
Vì t 0 f t f 0 t ln t 1 0 x 2 ln x 2 1 0 ( đúng x ).
f t 1
Với m 1 , 1 trở thành x 2 ln x 2 1 0 ( đúng x ).
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu là m 0; m 1 .
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để tập nghiệm của phương trình
2
2 x x2m 2x
A. 3 .
Ta có 2 x
2
2
xm 4
x2m
23 xm 2 x 4 có đúng hai phần tử?
B. 2 .
C. 1 .
Lời giải
2x
2
xm 4
D. 4 .
23 xm 2 x 4 (1)
2
2x x m4 22 x m4 1 2x 4 22 x m4 1
22 x m 4 1 2 x
2
xm4
2x4 0
m4
22 x m 4 1
x
2 x m 4 0
2
2
2
.
x x m 4
2
x
x
m
4
x
4
2x4
2
x 2 x m 0 2
Phương trình (1) có đúng hai nghiệm 2 thỏa mãn một trong hai trường hợp sau:
1 m 0
m4
Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép
m 4
m 1 .
2
1
2
Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là x
m4
2
1 m 0
m 1
m 4 2
m0.
m4
2
m 4 4 m 4 4m 0
2 2. 2 m 0
Vậy có hai giá trị thỏa mãn là m 1 và m 0 .
Câu 31. Gọi S tập hợp các giá trị của tham số m sao cho phương trình
2
2
m.32 x 7 x 5 33 2 x m 38 7 x
có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. Số phần tử của tập S là
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
Lời giải
m.32 x
2
7 x5
2
33 2 x m 38 7 x m.32 x
2
7 x 5
D. 3 .
2
33 2 x m 38 7 x 0
2
2 x2 7 x 5
3
m 3 m 3 0 3
3 2 x 2
5
x 1; x 2
x 2 3 log 3 m
2
3 2 x 2
2 x2 7 x 5
3 2 x 2
1 m 3
32 x 7 x 5 1 0
.
0
3 2 x 2
m 3
*
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 24 -
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học
Lớp Toán Thầy Nghiệp
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt Phương trình * chỉ có nghiệm kép
x 0 hoặc phương trình * có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là x 1
hoặc x
5
2
Phương trình x 2
x
3 log3 m
3 log 3 m
3 log 3 m
với
và
0 luôn có hai nghiệm là x
2
2
2
3 log3 m
nên phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi
2
3 log3 m
3 log 3 m
1
1 log3 m 1 m 3.
Trường hợp 1:
2
2
19
3 log3 m 5
3 log3 m 25
19
log 3 m m 3 2 .
Trường hợp 2:
2
2
2
4
2
Trường hợp 3: x 0 log 3 m 3 m 27 .
Vậy tập S có ba phần tử.
Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực
2m
x log 3 x 1 log 9 9 x 1
có hai nghiệm thực phân biệt.
A. m 1;0 .
B. m 2;0 .
của
tham
số
m để
C. m 1; .
phương
trình
D. m 1;0 .
Lời giải
Điều kiện x 1 0 x 1 .
Phương trình đã cho tương đương với
m
: x log 3 x 1 log 3 3 x 1 x log3 x 1 1 m log3 x 1 1
Dễ thấy x 0 khơng phải là nghiệm của phương trình đã cho.
1
Xét x 0 , khi đó 1 m x
log3 x 1
Đặt f x x
1
.
log 3 x 1
Khi đó f ' x 1
1
x 1 ln 3 log 3 x 1
đồng biến trên 1; 0 và 1; .
2
0 , với mọi x 1 , suy ra f x là hàm
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và
chỉ khi m 1; .
----------HẾT----------
Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp
Trang - 25 -
