1
£23
Tích phân
Luyện thi Đại học
Tích phân
Đề thi 1999-2009
7 tháng 2
2010
2
£1
Tích phân 1999-2008
I.Bất đẳng thức tích phân
1.Chứng minh các bất đẳng thức sau :
1)
2
1
2
1
2
lnxdxdx(lnx)
2)
3
1
x
cotgx
12
3
3
4
π
π
3)
4
x-1
dx
2
1
2
1
0
2000
π
4)
26
1
dx
x1
x
226
1
1
0
3
10
25
3
5)
3
32
1cosxxcos
dx
3
3
0
2
ππ
π
6)
108dxx117x254
11
7
3.Giải bất phương trình :
x
e
lnx2
lnx
4
3
t
dt
t2
dt
Phương pháp đổi biến số
Tích phân của các hàm phân thức
1999-2000
1.Tính tích phân :
a)
dx
x1
x1
1
2
1
3
2
b)
3
1
24
2
dx
1xx
1x
c)
1
0
6
4
dx
1x
1x
d)
2)3x(x
dx
1
0
22
e)
1
0
2
23xx
dx
f)
1)(x
xdx
1
0
3
g)
dx
1x
1x
1
0
6
2
h)
4
1
2
1)(xx
dx
i)
dx
1xx
26x
2
0
2
£22
3.Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi cho hình
phẳng giới hạn bởi các đường : y = e
x
, y = 1/e, y = e và trục
tung quay xung quanh trục Oy.
Đề thi Tú tài năm 2008
Kỳ I
Tính tích phân
1.Không phân ban
1
0
)xdx
x
e(1
2.Phân ban Ban A
1
1-
dx
4
)
3
x(1
2
x
Ban CB
2
π
0
cosxdx1)(2x
3.Bổ túc
2
π
0
sinxdxcosx
Đề thi Tú tài năm 2008
Kỳ II
Tính tích phân
1.Không phân ban
1
0
dx13x
2.Phân ban Ban A
1
0
dx
x
e1)(4x
Ban CB
2
1
1)dx4x
2
(6x
3.Bổ túc
1
0
1)dx2x
2
(3x
3
£21
Từ đó tìm
CĐ Kinh tế – Công nghệ tp.HCM năm 2007
4. Hãy chứng minh
54
dx
x
2
cos4
1
57
ππ
4
π
6
π
Diện tích hình phẳng
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :
1.
3xy,34x
2
xy
. 2.
24
2
x
y
4
2
x
4y ,
.
3.
)x
x
e(1y1)x,(ey
Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2007
4. x + y = 0, x
2
2x + y = 0
CĐ KTKT Công nghiệp II năm 2007
5. y = 7 2x
2
, y = x
2
+ 4.
CĐ KT Cao Thắng năm 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol (P) : y = – x
2
+ 4x và
đường thẳng d : y = x.
Đề thi CĐ khối A, B, D năm 2008
Thể tích của các khối tròn xoay
1.Cho hình phẳng H giới hạn bỏi các đường y = xlnx, y = 0, x = e.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh
trục Ox.
Đề thi ĐH-CĐ khối B năm 2007
2.Cho hình phẳng H giới hạn bỏi các đường y = e
x
, y = e
x + 2
x = 0, x = 2.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh
trục Ox.
£2
2. Chứng minh rằng :
cotga
1/e
2
tga
1/e
2
0)(tga1
)xx(1
dx
x1
xdx
3.Tính tích phân :
dxa1)x(ax
2
1
2
trong đó a là một số cho trước .
4 Tính :
dx
1)(x
x
lim
1
0
22n
13n
n
Tính các tích phân :
a)
dx
x1
arctgxxx
1
0
2
2
b)
5
4
20
dx4)-x(x
2000-2001
Tính các tích phân :
a.
dx
92xx
110x2xx
2)dx
92xx
103xx
1)
1
0
2
23
1
0
2
2
b.
2
1
2
2
1
0
2
dx
127xx
x
2)dx
65xx
114x
1)
1
0
24
34xx
dx
3)
2
0
2
3
dx
12xx
3x
4)
1
0
24
dx
1xx
x
5)
1
0
3
dx
x1
3
6)
2001-2002
1.Tìm họ nguyên hàm :
dx
1)3x1)(x5x(x
1x
22
2
4
£3
2
2
51
1
dx
1
2
x
4
x
1
2
x
3.
1
1
12xx
dxx
24
4.
1
1
22
)x(1
dx
5.
2
1
1)
4
x(x
dx
6.
2
1
dx
1)x(x
1x
2
x
7.
b
0
dx
2
)
2
x(a
2
xa
(a,b là các tham số dương cho trước)
2002-2008
1.
1
0
3
1)(x
xdx
2.
0
2
x1
xdx
1
3.
1
0
1
2
x
dx
3
x
4.
0
25x
2
2x
dx
1
5.
1
3
xx
dx
3
6.
dx
x
2
x
22x
2
3x
3
x
4
x
2
1
CĐ GTVT III năm 2007
7.
dx
1
2
x
1x
1
0
CĐ Công Nghiệp Thực phẩm Tp.HCM năm 2007
8.
0
1-
22x
2
x
dx
9.
dx
1x
2
x
12x
1
0
10.
0
1-
42x
2
x
dx
Đề thi ĐH Sài gòn khối A năm 2007
£20
T
0
Ta
a
f(x)dxf(x)dx
Dùng tính chất chẵn lẻ của hàm số
1999 − 2000
Tính tích phân :
1
1
2
4
dx
1x
sinxx
I
2000 − 2001
1.Chứng minh rằng :
0nx)dx-sin(sinxI
2π
0
với mọi n nguyên
2.Tính tích phân :
1)
dx
xsin-4
cosxx
2
π
2
π
2
2)
)dxxexsin(eI
2x
1
1-
x
2
Các tích phân đơn giàn
2002-2008
1.Cho hàm số
x
bxe
3
1)(x
a
f(x)
TÌm a và b biết rằng f’(0) = 22 và
5dxf(x)
1
0
.
2.Tính tích phân
2
0
dxx
2
xI
3. Tính tích phân
I(x) =
x
1
dt
1)t(t
1
với x > 0.
5
£19
19
19
C
21
1
18
19
C
20
1
2
19
C
4
1
1
19
C
3
1
0
19
C
2
1
S
2.a)Tính tíc h phân :
dx)x(1xI
1
0
n32
n
b)Chứng minh rằng
1)3(n
1-2
C
33n
1
C
12
1
C
9
1
C
6
1
C
3
1
1n
n
n
3
n
2
n
1
n
0
n
Các dạng toán khác
Các tích phân đơn giàn
2000 − 2001
1.Tính các tíc h phân :
dx
e
)e(1
2)dx4-2J1)
1
0
3
2x
3
0
x
2.Tính tích phân :
(x)]dxgmax[f(x),
2
0
trong đ ó : f(x) = x
2
và g(x) = 3x 2 .
3.Cho f(x) = Asin2x + B . Tính A, B để
.3f(x)dx,4(0)f
2π
0
2
2001 − 2002
1.Tính tích phân :
dx
4
0
m-xx
tuỳ theo m.
2.Tính tích phân :
2
1
x
dx
2
1)(2x
.
Dùng tính chất tuần hoàn của hàm số
Chứng minh rằng nếu f(x) là ha øm liên tục với mọi giá trò của
x và tuần hoàn với c hu kỳ T thì :
£4
11.
dx
4
2
x
1x
4
x
2
0
Tích phân của các hàm căn thức
1999-2000
Tính tích phân :
a.
3
7
0
3
dx
13x
1x
b.
4
7
2
9xx
dx
c.
dx
23x
1x
2
0
3
d.
1
0
2
2
1x
x)dx(x
e.
1x1)(2x
dx
3
1
0
22
f.
dx
1x
2xx
3
0
2
35
g.
1
0
1x
xdx
2000-2001
Tính c ác tích phân :
a.
dxx2xx1)
4
0
23
3
0
23
dxx2xx2)
b.
dxxax1)
a
0
222
(a là hằng số dương )
dx)x(12)
1
0
32
c.
1xx
dx
1)
2
2
1
2
x1x
dx
2)
2001-2002
1.
dx
3
x1
5
x
1
0
2.
1
0
23
dxx1.x
3.
10
2
15x
dx
:
6
£5
2002-2008
1.
9
1
dx
3
x1x
2.
1
0
dx
2
x1
3
x .
3.
1
0
.dx1
2
xx
4.
dx
3
x2
2
x
5.
1
0
.dxx1x
6.
3
0
dx
5
.x1
2
x
7.
dx
1x1
x
2
1
8.
10
5
1x2x
dx
9.
32
5
4
2
xx
dx
10.
7
0
dx
3
1x
2x
11.
dx
1
5
x
4
x
2
0
12.
dx
3x1x3
3x
3
1-
13.
dx
1
2
x
3
2x
5
x
3
0
14.
3
7
0
dx
3
13x
1x
15.
dx
12x
xdx
1
0
CĐ Nguy ễn tất Thành năm 2007
16.
dx
5x
1xx
2
1
17.
1
5
3x11
dx
18.
6
2
14x12x
dx
Tích phân của các hàm mũ
1999-2000
a)
ln2
0
x
1e
dx
b)
1
1-
dx
21
x
x
4
£18
2.Cho tích phân :
2
π
0
n
n
xdxcosI
với n là số nguy ên dương .
1) Tính I
3
và I
4
.
2) Thiết lập hệ thức giữa I
n
và I
n-2
với n > 2 . Từ đ ó tính I
11
và
I
12
.
3.Cho
1
0
2x
2nx
n
dx
e1
e
I
với n = 0,1,2,3,…
1) Tính I
o
.
2) Tính I
n
+ I
n+1
.
Công thức Newton
2000 − 2001
1.Tính tích phân :
)*Nn(dx)x-x(1I
1
0
n2
Từ đó chứng minh rằng :
1)2((n
1
C
1)2(n
1)(
C
8
1
C
6
1
C
4
1
C
2
1
n
n
n
3
n
2
n
1
n
0
n
2.Tính tích phân :
)*Nn(dxx)(1I
1
0
n
Từ đó chứng minh rằng :
1n
1-2
C
1n
1
C
3
1
C
2
1
1
1n
n
n
2
n
1
n
3.Cho n là một số nguyên dương .
a)Tính tích phân :
dxx)(1I
1
0
n
b)Tính tổng :
n
n
2
n
1
n
0
n
C
1n
1
C
3
1
C
2
1
CS
1.Tính tích phân :
dxx)-x(1I
1
0
19
Rút gọn tổng :
7
£17
4.Chứng minh rằng với mọi n ngyên dương ta c ó :
0dxe1)-(2x
2
x-x
1
0
12n
2000-2001
4.a)Chứng minh rằng :
1)!n(m
n!!m
dxx)-(1xI
1
0
nm
nm,
với mọi m,n = 0,1,2,3,…
( Ky ù hiệu m ! = 1.2.3…m và quy ước 0 ! = 1 ) .
b)Giả sử rằng m + n = 10 . Hỏi với m,n nào thì I
m,n
đạt
giá trò lớn nhất , bé nhất ? Tại sao ?
5.Tính tích phân :
)Nn(dx)x-(1I
1
0
n2
n
a)Tìm hệ thức giữa I
n
và I
n
1
( với n 1 ) .
b)Tính I
n
theo n .
6.Tính tích p hân :
.)0,1,2,3, n(dx)x-x(1J,dx)x-(1xI
1
0
1
0
n2
n
n22
n
1)Tính J
n
va ø chứng minh bất đẳng thức :
1)2(n
1
I
n
với mọi n = 0,1,2, …
2)Tính I
n+1
theo I
n
va ø tìm :
n
1n
n
I
I
lim
7.Tính tích phân :
1,2,3, )n(
x1)x(1
dx
1
0
n
nn
2001-2002
1.Cho tích phân :
π
0
m
dx
2cos2x3
sin2mx
I
(m là tham số )
Chứng minh rằng :
I
m
+ I
m-2
= 3I
m-1
với mọi m 2 .
£6
2000-2001
1)
ln2
0
dx
1
x
e
2x
e
2)
1
0
dx
3
2x
e
1
2001-2002
1.
4
4
dx
1
x
6
x
6
cosx
6
sin
π
π
2.
1
0
x
21
dx
2002-2009
1.
ln5
ln3
3
x
2e
x
e
dx
2.
ln2
0
dx
2
x
e
2x
e
3.
8ln
ln3
dx
2x
.e1
x
e
4.
ln5
ln2
1
x
e
dx
2x
e
5.
ln3
0
3
1)
x
(e
dx
x
e
Tích phân của các hàm logarit
1999-2000
a)
dx
x
x)ln1lnx
e
1
3
2
b)
e
1
dx
2x
lnx2
c)
e
1
dx
x
lnx
2000-2001
e
1
dx
x
x
2
ln1
8
£7
2001-2002
1.
dx
cosx1
sinx)(1
ln
2
π
0
cosx1
2.
4
0
tgx)dx(1ln
π
:
2002-2008
1.
e
1
dx
x
lnx3lnx1
2.
e
1
dx
2lnx1x
2lnx3
3.
3
e
1
dx
1lnxx
x
2
ln
4.
3
π
4
π
dx
sin2x
(tgx)ln
5.
e
1
3
lnx1x
xd
CĐ Xây dựng số 2 na êm 2007
Tích phân của các hàm lượng giác
1999 − 2000
1.Cho 2 số nguyên dương p và q . Tính :
xdxcospx.cosqI
2π
0
trong trường hợp p = q và p q .
2.Cho ha øm số :
sin3xsin2xsinxg(x)
a)Tìm họ nguyên hàm c ủa g(x) .
b)Tính tích phân :
dx
1e
g(x)
I
2
π
2
π
x
3.Tính tích phân :
a)
dx
sin2x3
sinxcosx
π/3
π/4
b)
4
π
0
2
xdxtg
c)
dx
53cosx4sinx
67cosxsinx
π/2
0
d)
xcos
dx
π/4
0
4
£16
2) Từ các kết quả trên , ha õy tính c ác giá trò c ủa I , J và :
3
5π
2
3π
sinx3cosx
cos2xdx
K
2.Tính tích phân :
1)
2
0
π
dx
cosxsinx
cosx
2)
8
π
0
dx
cos2xsin2x
cos2x
3)
π
2
0
5c osx 4sinx
dx
3
(cosx sinx)
:
2002-2008
Tính ca ùc tích phân
2
π
0
dx
x
2004
cosx
2004
sin
x
2004
sin
13.
2
π
0
sin5xdx
3x
e
Tích phân truy hồi
1999-2000
1.Tính tích phân :
1,2,3, ndxexI
2x-
1
0
n
n
1)Chứng minh : I
n
I
n+1 .
Tính I
n+1
theo I
n
.
2)Chứng minh :
1)2(n
1
I0
n
với mọi n 2 .
Từ đó tìm
n
n
Ilim
2.Cho :
dx
e1
e
I
1
0
x-
-nx
n
1) Tính I
1
.
2) Với n > 1 hãy tìm c ông thức biểu diễn I
n
qua I
n-1
.
3.Cho tích phân :
1
0
2
dx(xsinx)I(t)
.
a) Tính tích phân khi t = .
b) Chứng minh rằng I(t) + I( t) = 0 ( t R ) .
9
£15
5.
2
π
0
dxxsinx
6.
0
1-
dx)
3
1x
2x
x(e
7.
2
π
0
sinxdxx)
3
cos(x
8.
e
1
lnxdx
x
1
3
x
9.
e
1
lnxdx
x
1
2
x
10.
2
π
0
2xdxsin
cosx
e
Tích phân liên hợp
1999-2000
1.Tính tích phân :
π
0
2x
cosxdxeI
2.1) Cho hàm số f liên tục trên
1,0
.Chứng minh :
π/2
0
π/2
0
f(cosx)dxf(sinx)dx
2) Sử dụng kết qua û trên để tính :
π/2
0
3
π/2
0
3
dx
cosxsinx
xdxsin
Jdx
cosxsinx
xdxcos
I
2001-2002
1. Đặt :
6
π
0
2
6
π
0
2
cosx3sinx
xdxcos
J,
cosx3sinx
xdxsin
I
1) Tính I 3J và I + J .
£8
e)
2
x
sin
dx
3
4π
π
f)
π/2
0
sin2x1
dx
g)
dxx)sinsin2x(1
π/2
0
32
h)
π
0
2
dxcosx)sinxcosx(1
i)
dx
cosx1
x4sin
π/2
0
3
j)
3
π
6
π
4
xcosxsin
dx
k)
2
π
0
cosx1
dx
8.Tính tích phân :
dx
xsinbxcosa
sinxcosx
I
π/2
0
2222
với a 0 , b 0 và a
2
b
2
.
2000 − 2001
1.Chứng minh rằng với hai số tự nhiên m , n khác nhau
0xdxsinmx.sinnxdxcosmx.cosn
π
π-
π
π-
2.Tính các tíc h phân :
a.
xdxcos2)xdxsinxcos1)
/2
/6
3
0
22
π
π
π
π
0
4
π/4
0
4
xdxcos4)xdxsin3)
/2
0
441010
x)dxx.sincos-xsinx(cos5)
π
π
0
3
xcos5xdxcos6)
b.
dx
cosxsinx
cosxsinx
1)
3
4
π
π
4
0
2
dx
xcos
sin2x1
2)
π
10
£9
3)
3
π
6
π
22
dx2xcotgxtg
c.
tgx1
dx
1)
4
π
0
3
π
4
π
4
xdxtg2)
3
π
6
π
6
π
xsinxsin
dx
3)
d.
xcos-2
dx
1)
4
0
2
π
dx
xcos
xsin
2)
3
4
6
2
π
π
dxe
cosx1
sinx1
3)
2
π
0
x
e.
2
2
dx
x
2
sin-4
cosxx
π
π
2001-2002
1.
2
0
xdx
3
sin
π
2.
4
0
2
2cosx)(sinx
dx
π
3.
dx
cos2x
x
3
tg
6
0
π
4.
dx
xcosxsin
sin4x
4
π
0
66
5.
4
π
0
4
dx
xcos
1
6.
2
0
dx
sinx1
x
3
4cos
π
7.
π2
0
dxsinx1
8.
4
0
3x
2
4sin
dx
π
9.
2π
0
dxcos2x1
10.
2
0
)dxsinxcosx(
π
11.a ) Tính tíc h phân :
2
π
0
2
sin2xdxxcos
b) Chứng minh rằng :
2
π
0
5
2
π
0
6
sin6xdxsinxxcoscos6xdxxcos
£14
2.
2
π
0
2xdxsin1)(x
3.
4
π
0
cosxdx1)(x
4.
4
π
0
dx
x
2
cos
x
5.
4
π
0
dx
cos2x1
x
6.
2
π
0
dxx
2
cos1)(2x
7.
1
0
dx
2x
e2)(x
8.
2
π
0
xcosx)cosxd
sinx
(e
9.
4
π
0
dxcosx)
sinx
e(tgx
Pp đổi biến số và pp tích phân từng phần
1999-2000
3
0
1
1-
x.arctgxdx
4x-5
x
2002-2008
1.
4
0
dx
3
1)(2x
12xln
2.
1
0
dx
2
x
e
3
x
3.
5
0
dx
2
x
e
5
x
4.
9
2
π
0
dxxsin
CĐ GTVT III năm học 2007
11
£13
10.
2
1
dx
2
x
x)(1ln
11.
e
1
dx
x
xln
12.
2
1
dx
3
x
xln
Đề thi ĐH-CĐ khối D năm 2008
Khử hàm đa thức
1999-2000
a.
1
0
x
dxxe
b .
dx1)ex(2x
x2
c.
dxxsin
2
π
0
d.
π
0
2
sinxdxx
e.
π
0
34
xdxxsinxcos
2000-2001
3
π
0
xcosxdx1)
xdxxtg2)
π/4
0
2
2001-2002
)dxxexsin(e
2x
1
1-
x
2
2002-2008
1.
2
π
0
2xdxsinx
CĐ Kinh tế Tp.HCM năm 2007
£10
và tính :
2
π
0
5
cos7xdxxcos
12.Tìm họ nguyên hàm :
dx
6
π
xcotg
3
π
xtgI
2002-2009
1.
4
π
0
xtgxdx
2
sin
2.
4
π
0
x)dx
8
tg1(
3.
2
π
0
dx
3
x)
2
sin2x(1sin
4.
4
π
0
dxx)
4
sinx
4
(cos
5.
2
π
0
dx
cosx1
2xcosxsin
6.
4
π
0
dx
2xsin1
x
2
sin21
7.
4
π
0
dx
2xsin1
cos2x
8.
2
π
0
dx
cosx1
x
3
4sin
9.
2
π
0
dx
12cos3x
sin3x
10.
2
π
0
dx
2sinx5
cosx
11.
2
π
0
dx
2
x)sin(2
2xsin
12.
dx
cosxcos2x
sinx
2
3
π
π
CĐ Tài chính – Hải quan năm 2007
13.
2
π
0
dx
x
2
cos5sinx7
cosxdx
14.
2
π
0
dx
3
3)cosx x(sin
cos2x
15.
2
π
0
xdx
5
sinxcos
6
x
3
cos1
16.
2
π
0
dx
x
2
4sinx
2
cos
2xsin
12
£11
17.
2
π
0
dx
3cosx1
sinx2xsin
18.
2
π
4
π
dx
2xsin1
cosxsinx
19.
6
π
0
dx
cos2x
x
4
tg
Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2008
20.
4
cosx)sinx2(12xsin
dx
4
xsin
π
0
π
Đề thi ĐH-CĐ khối B năm 2008
Phương pháp tích phân từng phần
Khử hàm logarit
1999 − 2000
a.
2
1
xlnxdx
b.
e
e
1
2
dx
x)(1
lnx
c.
2
π
0
dxcosx)cosxln(1
d.
2
π
2
π
2
dx)1x xcosxln(
2000-2001
dx
x
1)ln(x
2
1
2
£12
2001-2002
1.
e
1
xlnxdx
2.
e
1
lnxdx
2
x
3.
10
1
xdx
2
xlg
4.
3
π
3
π
2
dx
xcos
xsinx
5.
2
π
0
dxxsin
6.
dxxsin
3
2
π
0
3
7.Cho hàm số f(x) = ax+b với a
2
+ b
2
> 0 . Chứng minh rằng :
0f(x)cosxdxf(x)sinxdx
2
3
π
0
2
3
π
0
2002-2009
1.
2
1
2)lnxdx(x
2.
e
1
lnxdx
2
x
3.
3
2
x)dx
2
(xln
4.
1
0
dx)
2
x(1xln
5.
2
1
1)lnxdx(4x
6,
2
0
dx1)7)ln(x(2x
7.
3
0
dx5)
2
(xxln
8.
e
1
xdx
2
ln
3
x
Đề thi ĐH-CĐ khối D năm 2007
9.
e
1
dx
3
x
xln
Đề thi ĐH Sài gòn khối D, M năm 2007