Tài liệu Tổng hợp hình học 10-11-12 luyện thi đại học pdf

Hình học mặt phẳng tọA độ
Cách giải các bài toán về tam giác: viết pt các cạnh của tam giác, tìm các đỉnh
chú ý:
- 2 đg thẳng // thì có cùng véc tơ pháp tuyên và véc tơ chỉ phương
- 2 đg thẳng vuông góc thì pháp tuyến đường này là chỉ phương của đg kia,
chỉ phương đường này là pháp tuyến của đg kia
C(x;y)
Loại 1: cho 1 đỉnh và 2 đường cao không qua đỉnh đó:
cách giải: - viết phương trình cạnh AB qua A và vuông góc với CK
- viết phương trình cạnh AB qua A và vuông góc với BH

A

B

B
Loại 2: cho 1 đỉnh và 2 đường trung tuyến không qua đỉnh đó
cách giải:
- Lấy điểm M thuộc BM theo tham số, theo công thức trung điểm tìm
toạ độ C , thay toạ độ C vào PT ®­êng CN t×m tham sè t  ®iĨm C
- LÊy ®iÓm N thuéc CN theo tham sè, tõ CT trung điểm tìm toạ độ B
thay voà PT đường BM tìm tham số t điểm B

C

C
A

loại 3: cho 1 đỉnh và 2 đường phân giác trong không qua đỉnh đó
cách giải: - gọi A và A là diểm đối xứng của A qua đường phân giác
BB và CC A và A thuộc cạnh BC

- viết PT cạnh BC, tìm giao của nó với đường CC, BBta có điểm
B và C

A

B

B

A(x;y)

C

I

B
A(x;y)
J
chú ý :
A
các bài toán kết hợp đường cao và phân giác; đường cao và trung tuyến; trung tuyến và phân giác ta đều dựa vào
cách giải 3 bài toán cơ bản trên
loại 4: Bài toán cho diện tích, cho điểm trên đoạn thẳng theo tỉ số cho trước
cách giải: Ta dùng công thức diện tích, công thức tìm toạ độ của điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k
Bài tËp:
3
1/ Cho A ( 4 ; 6 ) , B( 1; 4) ,C( 7 ; ), D (- 2; 2)
2
a/ Chứng minh rằng A , B, C không thẳng hàng : A , B , D thẳng hàng.
b/ Tìm điểm E đối xứng với A qua B.

c/ Tìm điểm M sao cho tứ giác ABCM là hình bình hành.
d/ Tìm tọộ trọng tâm G của tam giác ABC .
2/ Cho A ( -1 : 3 ) ,B (1 ; 1 ) , C ( 2 ; 4 ) .
a/ Xaùc định tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b/ Xác định tọa độ trọng tâm G, trực tâm H của tam giác ABC .suy ra ba điểm G,H,I thẳng hàng.
3/ Cho hai điểm A( 1; -2 ) và B( 3 ; 4 ) .
a/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua trục hoành.
b/ Tìm điểm M trên trục hoành sao cho MA +MB nhỏ nhất .
c/ Tìm điểm N trên trục tung sao cho NA + NB nhỏ nhất.




d/ Tìm điểm I trên trục tung sao cho | IA IB | ngắn nhất.
e/ Tìm J trên trục tung sao cho JA –JB dài nhất.
1


4/Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1;1) . Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y =3 và điểm C
trên trục hoành sao cho ABC là tam giác đều.
5/Trong mặt phẳng Oxy cho điểm B trên đường thẳng x + 4 = 0 và điểm C trên đường thẳng x–3 =0
a) Xác định tọa độ B và C sao cho tam giác OBC vuông cân đỉnh O
b) Xác định tọa độ B;C sao cho OBC là tam giác đều.
CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng:
Bài 1 : Viết phương trình tham số phương trình , chính tắc rồi suy ra phương trình
thẳng trong các trường hợp sau:

tổng quát của đường



1/ Qua điểm M(2 ; -5) và nhận vectơ u =( 4; -3) làm vectơ chỉ phương .
2/ Qua hai điểm A(1 ; - 4 ) vaø B( -3 ; 5 ) .


3/ Qua điểm N ( 3 ; -2 ) và nhận vectơ n = ( 5 ; - 2 ) làm vectơ pháp tuyến .
Bài 2: Viết Phương trình tham số , phương trình chính tắc của đường thẳng có phương trình tổng quát là: 3x
– 2y + 6 = 0 .
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các ñieåm A( 5 ; 5) , B( 1 ; 0) , C( 0; 3) . Viết phương trình đường
thẳng d trong các trường hợp sau :
a) d đi qua A và cách B một khoảng bằng 4.
b) d đi qua A và cách đều hai điểm B , C
c) d cách đều ba điểm A; B ; C
d) d vuông góc với AB tại A.
e; d là trung tuyến vẽ từ A của tam giác ABC.
Bài 4: Cho tam giác ABC . M ( 1 ; - 2 ) , N ( 8 ; 2 ) , P ( -1 ; 8 ) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC
, CA .
1/ Viết phương trình tổng quát của các cạnh của tam giác ABC.
2/ Viết phương trình các đường trung trực của các cạnh của tam giác ABC.
Bài 5: Cho đường thẳng (d) có phương trình : 4x – 3y + 5 = 0 .
1/ Laäp phương trình tổng quát đường thẳng ( d’) đi qua điểm A (1 ; -2 ) và song song với (d).
2/ Lập phương trình đường thẳng (d’’) đi qua điểm M( 3 ; 1 ) và (d’’) vuông góc với (d).
Bài 6 : Cho hai đường thẳng d: 2x + 7y – 8 = 0 vaø d’ : 3x + 2y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi
qua giao điểm của d và d’và thoả mản môït trong các điều kiện sau đây :
1/ Đi qua điểm ( 2 ;- 3)
2/ Song song với đường thẳng x – 5y + 2 = 0
3/ Vuông góc với đường thẳng x- y + 4 = 0 .
Bài 7 :Tam giác ABC có A( -1 ; - 3 ) , các đường cao có phương trình : BH: 5x + 3y –25 = 0;
CH : 3x + 8y – 12 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC và đường cao còn lại.

Bài 8 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M (5 ; 5 ) , N (1 ; 0 ), P( 0 ; 3 ). Viết phương trình đường
thẳng d trong mổi trường hợp sau :
1/ d qua M và cách N một khoảng bằng 4.
2/ D qua M vàcách đều hai điểm N, P.
Bài 9: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết A( 1; 3) và hai trung
tuyến có phương trình là x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0.
Baøi 10: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC nếu cho điểm B(-4;-5) và hai
đường cao có phương trình là :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0.
Baøi 11 : Cho điểm P( 3; 0) và hai đường thẳng d1: 2x – y – 2 = 0 , d2:x + y + 3 = 0. Gọi d là đường thẳng qua
P cắt d1 , d2 lần lượt tại A và B .Viết phương trình của d biết PA = PB.
Bài 12 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4 ; -1 ) đường cao và trung tuyến kẻ từ một
đỉnh lần lượt có phương trình : 2x – 3y +12 = 0 , 2x + 3y = 0 .
Bài 13 : Cho tam giác ABC có M( - 2 ; 2) là trung điểm của cạnh BC cạnh AB có phương trình là x – 2y
– 2 = 0,cạnh AC có phương trình là 2x + 5y + 3 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
2


Bài 14 : Cho hai đường thẳng d1: x – y = 0 , d2 :x – 2y – 2 = 0. Tìm điểm A trên d1, C trên d2 và B , D trên
trục hoành sao cho ABCD là hình vuông .
Dạng 2 : Hình chiếu của một điểm trên đường thẳng
1 / Phương pháp : Xác định hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d:
 Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua diểm M và vuông góc với d .
 Giải hệ gồm hai phương trình của d và d’ ta có tọa độ của điểm H.
2/ Phương pháp :Xác định điểm N đối xứng của điểm M qua d.
 Dùng phương pháp trên để tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d.
 Điểm N đối xứng với M qua d nên H là trung điểm đoạn MN , từ điều kiện đó ta tìm được tọa độ
điểm N
Bài tập :
Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(-6 ; 4 ) và đường thẳng d: 4x – 5y + 3 = 0.
1/ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d.

2/ Tìm điểm N đối xứng với điểm M qua d .
Bài 2 : Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho hai đểm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) và đường thẳng d : 2x – y – 1 = 0 .
1/ Chứng minh rằng A , B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d.
2/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d .
3/ Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB bé nhất.
Dạng 3 : Các bài toán về vị trí tương đối của hai đường thẳng
Bài 1: Xác định a để các đường thẳng sau đây ñoàng quy: 2x–y+3 = 0 ,x+y+3= 0 , ax + y – 3 = 0 .
Baøi 2 : Cho hai đường thẳng d: mx –2y – 1 = 0 , d’: 2x – 4y + m = 0 .Với giá trị nào của m thì :
1/ d và d’ cắt nhau.
2/ d // d’.
3/ d trùng với d’.
Bài 3: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau cắt nhau tại một điểm trên trục hoành
d: ( m -1) x + my – 5 = 0 , d’: mx +( 2m – 1) y + 7 = 0.
Daïng 4 : Các bài toán Sử dụng công thức tính góc và khoảng cách.
Bài 1 : Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau :
1/ 4x + 3y +1 = 0 , x+ 7y – 4 = 0
2/ 6x – 8y –15 = 0 , 12x + 9y + 4 = 0 .
Bài 2 : Tính khoảng cách từ điểm M ( 3 ; 2) đến các đường thẳng sau ñaây:
1/ 12x – 5y – 13 = 0 , 2/ 3x – 4y –16 = 0 , 3/ x + 2y +8 = 0 .
Bài 3: Cho đường thẳng d: 3x – 2y +1 = 0 và điểm A(1;2) . Lập phương trình đường thẳng  đi qua A và
hợp với d một góc 450 .
Bài 4 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A . Cho biết BC: 2x – 3y –5 = 0 ,
AB :x + y + 1 = 0. Lập phương trình cạnh AC biết rằng nó đi qua điểm M(1;1).
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 2;7 ) và cách điểm A(1;2) một khoảng bằng1.
Bài 6 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2 : -1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường
thẳng : (d1):2x – y + 5 = 0 , (d2) : 3x + 6y – 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
(d1) và (d2) .
Bài 7 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B( 2 ;- 1 ),đường cao qua đỉnh A có phương trình
3x – 4y +27 = 0 và phân giác trong của góc C có phương trình x + 2y – 5 = 0.
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng song song với d:3x –4y +1=0 và cách d một khoảng bằng 1

CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Trong mặt phẳng Oxy một tam giác có phương trình hai cạnh 5x-2y + 6 =0 và 4x +7y – 21 =0. Viết
phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm của tam giác trùng với góc tọa độ .
2/ Lập phương trình các cạnh của hình vuông có một đỉnh là (-4; 5)và một đường chéo có phương trình laø
7x- y +8 = 0
3


3/ Chgo tam giác ABC ,cạnh BC có trng điểm M(0; 4) còn hai cạnh kia có phương trình :
2x + y – 11 =0 vaø x + 4y – 2 =0
a. Xác định tọa độ điểm A.
b. Gọi C là điểm trên đường thẳng x – 4y – 2 = 0 , N là trtrung điểm AC . Tìm N rồi suy ra tọa độ của
B , C.
4/ Cho tam giác ABC có M(-2 ;2) là trung điểm của BC , cạnh AB có phương trình x –2y–2=0
cạnh AC có phương trình 2x + 5y + 3 =0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giácABC.
5/ Cho A(-1; 2)và B(3;4).Tìm điểm Ctrên đường thẳng x –2y +1=0 sao cho tam giác ABC vuông tại C .
6/ Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5),đường cao vẽ từ A có phương trình 2x –5y +3 = 0 ,trung tuyến vẽ từ
C có phương trình x + y – 5 =0
a. Tìm tọa độ điểm A.
b, Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
7/ Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;1)và có các cạnh AB:4x+y 15 = 0 và AC :2x+5y +3 = 0.
a,Tìm tọa độ A và trung điểm M của cạnh BC b,Tìm tọa độ điểm B và viết phưng trình đường thẳng BC.
8/ Cho A(1;1), B(-1;3)và đường thẳng d:x+y+4 =0.
a, Tìm điểm C trên d cách đều hai điểm A,B. Với C vừa tìm được .Tìm D s/cho ABCD là hbh .tính Shbh.
9/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3)
a. Biết đường cao BH:5x+3y –35=0, đường cao CK:3x+8y – 12 =0 .Tìm B,C.
b. Biết trung trực của cạnh AB có phương trình x+2y –4=0 và trọng tâm G(4;-2).Tìm B,C.
10/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến vẽ từ một đỉnh
có phương trình 2x-3y +12 =0,2x+3y =0.
11/Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai trung tuyến có phương trình x-2y+1

=0, y -1=0 .
12/ Cho tam giác ABC có A(2;-1) và phương trình hai phân giác trong của góc B và C lần lượt là d:x –
2y+1=0 , d’:x+y+3 = 0. Tìm phương trình cạnh BC.
13/ Cho tam giác ABC có A(2;-3) ,B(3;-2)trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng
3x –y – 8 =0,diện tích tam giác ABC bằng 3/ 2.Tìm C.
14 / Cho tam giác cân ABC có phương trình cạnh đáy AB:2x –3y+5=0cạnh bên AC:x+y+1=0.
Tìm phương trình cạnh bên BC biết nó đi qua điểm D(1;1).
15/ Cho hình chử nhật ABCD có tâm I(1/ 2;0),phương trình đường thẳng AB là
x –2y+2=0,AB=2AD . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết A có hoành độ âm.
16/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1:x-y=0,d2:2x+y+1=0.Tìm tọa độ các đỉnh của
hình vuông ABCD biết A thuộc d1, C thuộc d2và cả hai đỉnh B,D thuộc trục hoành.
17/ Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: 3x – y -8 = 0, diện
tích tam giác ABC bằng 3/2 . Tìm C.
18/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến ke û từ một
đỉnh có phương trình 2x -3y +12 = 0 và 2x + 3y = 0.
20/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có
phương trình là x -2y+1= 0 và y-1 =0.
21/ Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE)
4x+13y-10 = 0. Lập phương trình ba cạnh.
22/ Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và C
lần lượt là d: x-2y+1=0 và x+y+3=0 .Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC.
23/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm trên đường thẳng y= x , phân giác
trong góc C nằm trên đường thẳng x+3y+2=0 . Viết phương trình cạnh BC .
24/ Cho tam giác ABC vuông ở A , phương trình BC là 3x  y  3  0 , các đỉnh A và B thuộc trục
hòanh và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
4


ĐƯỜNG TRÒN
A . LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

I .phương trình đường tròn :

* Đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b) ,bán kính R có phương trình là :
(x – a )2 + ( y – b)2 = R2
* Phương trình : x2+ y2 –2ax – 2by + c = 0 , a2+ b2 – c > 0 là phương trình của một đường tròn có tâm
I ( a ; b ) ,bán kính R = a 2  b 2  c
II. Phương tích của một điểm đối với đường tròn.
Cho đường tròn ( C ) có phươngtrình : F ( x ; y ) = x2+y2 – 2ax – 2by + c = 0 vá điểm M0(x0 ;y0)
PM / (C ) = F (x0 ; y0 ) = x02 +y02 –2ax – 2by + c .
III. Trục đẳng phương của hai đường tròn :
Cho hai đường tròn không đồng tâm ( C1) : x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1 = 0 ,
( C2 ) : x2 + y2 – 2a2x - 2b2y + c2 = 0 .
Trục đẳng phương của hai đường tròn ( C1) , ( C2) có phương trình là :
2( a1- a2) x + 2( b1- b2) y – c1+ c2 = 0 .
IV. Tiếp tuyến của đường tròn
1/Dạng 1: Cho đường tròn ( C ) : ( x – a )2 + ( y –b)2 = R2. Taâm I ( a ;b) , bán kính R.
Tiếp tuyến với ( C ) tại điểm M0( x0 ; y0)  ( C ) có phương trình :
(x0 – a) (x – a ) + ( y0 – b)( y – b) = R2
Chú ý: Tiếp tuyến với ( C ) tại M0 nhận vectơ M0I làm vectơ pháp tuyến từ đó suy ra phương trình
tiếp tuyến với ( C ) tại M0.
2/ Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.
* Đường thẳng  có hệ số góc k có phương trình : y = kx + m
*  tiếp xúc với ( C )  d( I ,  ) = R.Từ điều kiện này ta tìm được m.
3/ Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) đi qua M( xM ; yM).
* Đường thẳng  qua M có phương trình : A ( x – xM ) + B ( y – yM) = 0.
*  tiếp xúc với ( C )  d( I ,  ) = R.Từ điều kiện này ta tìm được A và B.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 1 :Xác định tâm và bán kính của các đường tròn sau :
1/ x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 . 2/ 2x2 + 2y2 + 4x - 8y - 2 = 0 .

3/ x2 + y2 – 6x – 16 = 0 . 4/ x2 + y2 - 8y - 9 = 0 .
Bài 2 :Lập phương trình đường tròn ( T ) trong các trường hợp sau:
1/ ( T ) có tâm I ( 2 ; - 1) và có bán kính R = 3 .
2/ ( T ) có đường kính AB với A ( 1 ; 2 ) , B( - 5 ; 4 ) .
3/ ( T ) có tâm I ( 3 ; - 1 ) và tiếp xúc với đường thẳng  : 4x –3y + 5 = 0 .
4/ ( T ) đi qua ba điểm A ( - 1 ; - 5 ), B ( 5 ; - 3 ) , C ( 3 ; -1 ).
5/ ( T )tiếp xúc với hai trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng  :2x – y – 8 = 0.
6/ ( T ) qua hai điểm A(1;2 ),B(3; ) và tiếp xúc với đường thẳng  có phương trình : 3x +y–3 = 0
Bài 3 : Cho đường tròn ( C ) có phương trình x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0 .Lập phương trình tiếp tuyến d với (
C):
1/ Tại điểm M ( 2 ; 1 ) .
2/ Biết d song song với  : 3x – 4y – 2004 = 0.
3/ Bieát d đi qua điểm A ( 2 ; 6 ) .
Bài 4: Cho đường tròn ( T ) có phương trình : x2 + y2 – 4x – 2y = 0 .
1/ Tính phương tích của điểm M ( 5 ; -2) đối với đường tròn ( T ).
2/Viết phương trình tiếp tuyến với (T)vuông góc với đường thẳng  :2x – 3y + 1= 0.
5


3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( T ) kẻ từ N (– 2 ; 6 ).
Bài 5 : Cho hai đương tròn ( C1 ) và ( C2 ) lần lượt có phương trình là :
x2 + y2 + 4x + 4y –13 = 0 , x2 + y2 - 2x + 8 y + 5 = 0 .Viết phương trình trục đẳng phương của hai đường
tròn đó .
Bài 6 : Cho ( Cm) có phương trình : x2 + y2 – 2mx – 4my + 2m2 – 1 = 0.
1/ Tìm các giá trị của m sao cho (Cm ) là đường tròn.
2/ Tìm tập hợp tâm I của ( Cm ) .
2
2
Bài 7 : Cho đường tròn (T) có phương trình : x + y – 2x + 4y – 20 = 0.
a) Viết phương trình tiếp tuyế của (T) tại các điểm A(4 ;2) , B(-3 ; -5) .

b) Viết phương trình tiếp tuyế của (T) đi qua C( 6 ; 5) .
c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (T) và (T’) có pt : x2 +y2 -10x + 9 = 0
d) Với giá trị nào của m thì (T) tiếp xúc với đường tròn (T’’) có pt: x2 + y2 – 2my = 0.
CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh A(1;1),B(-1;2),C(0; -1)
2/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng :
x 2
(d1) : y   , (d2) : y = x+2 , (d3): y = 8 – x
5 5
3/ Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh A(-1;7),B(4;-3)C(-4;1).
4/ Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm A( -1;1) , B(1;-3) và có tâm nằm trên đường thẳng (d)
:2x – y + 1 = 0
5/ Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với đường thẳng
(d) : 7x-y-5= 0 tại điểm M(1;2)
6/ Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d1) : 2x +y = 0 và tiếp xúc với đường
thẳng (d2): x -7y+10 = 0 tại điểm M(4;2).
7/ Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d1) : 4x + 3y – 2 = 0 vaø tiếp xúc với hai
đường thẳng (d2) : x +y+4 = 0 ,(d3) :7x – y+4 = 0
8/ Viết phương trình đường tròn qua A( 2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ .
9/ Cho hai đường tròn (C1): x2+y2 -10x = 0 , (C2): x2+y2 +4x – 2y – 20 = 0
a. Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C1) ,(C2) và có tâm (d):x+6y – 6 = 0.
b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) ,(C2)
10/ Cho (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 và đường thẳng (d) : x – y – 1 = 0 . Viết phương trình đường tròn ( C’)
đối xứng với ( C) qua (d)
11/ Cho hai đường tròn (C1) : x2+y2 – 4x – 5 = 0 , (C2): x2+y2 – 6x +8y +16 = 0 . Viết phương trình tiếp
tuyến chung của hai đường tròn .
12/ Cho hai đường tròn : (C1) : x2+y2 – 4x +2y –4 = 0 , (C2): x2+y2 – 10x – 6y +30 = 0 có tâm I, J.
a. Chứng minh rằng (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài với nhau , tìm tọa độ tíêp điểm H.
b. Gọi (d) là một tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) không qua H .Tìm tọa độ giao điểm K của (d) với
IJ .Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với (C1) và (C2) tại H.

13/ Cho điểm M(6;2) và đường tròn (C) :x2+y2 – 2x – 4y = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M
và cắt (C ) tại hai điểm A,B sao cho AB = 10 .
14/Cho đường tròn (C ) : x2+y2 – 2x – 6y – 9 = 0 và điểm M(2;4) .
a. Chứng tỏ rằng M nằm trong đường tròn.
b. Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho M là trung
điểm của đoạn AB.
c. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với (C ) qua AB.
15 / Cho ba đường thẳng (d1) : 3x +4y -6 = 0, (d2):4x +3y -1 = 0 , (d3) : y = 0 .(d1)  (d2) = A,
6


(d2)  (d3) =B , (d3)  (d1) = C.
a. Viết phơng trình phần giác trong của góc BAC .
b. Tính diện tích tam giác ABC .
c. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
16/ Cho đường tròn (C) :x2 + y2 -8x -6y = 0 và điểm A(14;8) . Qua A kẻ các tiếp tuyên AM,AN với
(C) . Lập phương trình đường thẳng MN .
17/ Cho (Cm) : x2+y2 +2(m – 1)x – 2(m – 2 )y +m2 -8m +13 = 0.
a.Xác định m để (Cm) là đường tròn .
b. Tìm quỹ tích tâm I của (Cm) .
18/ Cho (C) : x2 + y2+2x – 4y – 20 = 0 và A(3 ; 0) .Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cắt (C)
theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
19/ Cho hai đường tròn (C1) :x2 + y2 – 2x – 9y – 2= 0 vaØ (C2) : x2 + y2 – 8x – 9y +16 = 0.
a. Chứng minh rằng (C1) và (C2) tiếp xúc nhau .
b. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó .
20/ Viết phương trình các tiếp tuyến chung của các cặp đường troøn sau :
a. (C1): x2 + y2 -10x = 0 , (C2): x2 + y2 +4x -2y -20 = 0
b. (C1): x2 + y2 - 4x - 5 = 0 , (C2): x2 + y2 - 6x +8y +16 = 0
Công thức về E-Líp
Phương trình tổng quát:

x2 y2
+
= 1 (a,b>0)
a2 b2

b2= a2- c2
trục lớn là 2a
trục nhỏ là 2b
tiêu cự là 2c
tâm sai e=c/a
tiêu điểm ( thuộc Ox) F1=(-c;0) F2=(c;0)
Với điểm M(x;y) thuộc (E) bán kính qua tiêu là
c
MF1 a  ex  a  x
a
c
MF2  a  ex  a  x
a
NÕu a>b th×:

a2= b2- c2
trơc lín là 2b
trục nhỏ là 2a
tiêu cự là 2c
tâm sai e=c/b
tiêu ®iĨm ( thc Oy) F1=(0;-c) F2=( 0;c)
Víi ®iĨm M(x;y) thc (E) bán kính qua tiêu là
c
MF1 b ex  a  x

b
c
MF2  b  ex  a  x
b
NÕu b>a th×:

. CÁC DANG BÀI TẬP:
Bài 1 : Tìm tiêu điểm , tọa độ các đỉnh , tiêu cự , độ dài các trục và tâm sai của elip (E ) cho bởi các
phương trình sau :
1/ 16x2 + 25y2 = 400 ;
2/ 4x2 + 9y2 = 144 ;
3/ 9x2 +25 y2 = 225 ;
4/ 4x2 + 9y2 = 25.
Bài 2 : Lập phương trình chính tắc của elip ( E ) trong các trường hợp sau :
1/ ( E ) có tiêu cự bằng 6 ; trục lớn là 2 10 .
2/ ( E ) có trục lớn bằng 20 tâm sai bằng 3/5,
3/ ( E ) có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M ( 15 ; - 1 ).
12
4/ ( E ) coù một tiêu điểm F2 ( 4 ; 0 ) và ñi qua ñieåm N ( 3 ;
)
5
5/ ( E ) ñi qua hai ñieåm A ( 5 ; 0 ) vaø B ( 4 ; 3 2 )
6/ ( E ) có trục nhỏ bằng 6 , phương trình hai đường chuẩn x 7  16 = 0.
7


1
, khoảng cách giữa hai đườg chuẩn bằng 32.
2
Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) :4x2 + 25y2 = 100.

1/ Tìm các điểm trê ( E ) có hoành độ bằng 3 và tính khoảng cách giửa hai điểm đó.
2/ Tìm những điểm M trên ( E ) sao cho bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua
tiêu điểm bên phải .
Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 2x2 + 6y2 = 12 .
1/ Xác định tọa độ các tiêu điểm và độ dài các trục của ( E ) .
2/ Tìm những điểm M trên ( E ) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông .
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 16x2 + 25y2 = 400 .
1/ Tìm các điểm M trên ( E ) sao cho 3F1M = F2M.
2/ Cho A , B là hai điểm thuộc ( E ) sao cho AF1+ BF2 = 8 .Hãy tính AF2 + BF1 .
Bài 6 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) 16x2 + 25y2 = 100.
1/ Tìm tọa độ các tiêu điểm , tọa độ các đỉnh , tính tâm sai của ( E ) .
2/ Đường thẳng d đi qua một tiêu điểm của ( E ) cắt ( E ) tại hai điểm A , B .Tính độ dài AB
3/ Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = x + m cắt (E )tại hai điểm phân biệt.
Bài 7: Cho elip ( E ) : x2 + 4y2 =25 ; (d) : 7x – 2y – 25 = 0.
1/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và ( E ) .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm đó.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( E ) biết tiếp tuyến đi qua M( 5; 5 ).
Bài 8 : Viết phương trình tiếp tuyến với (E) : 9x2+ 16y2 = 144 biết tiếp tuyến :
1/ song song với đường thẳng :3x – 2y +1 = 0.
2/ vuông góc với đường thẳng :x + 2y – 3 = 0.
Bài 9: Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) nhận các đường thẳng:
3x – 2y – 20 = 0 và x + 6y – 20 = 0 làm tiếp tuyến.
4
Bài 10 : Cho elíp (E) có hai tiêu điểm F1(- 3 ;0) ,F2( 3 ;0) và một đg chuẩn có phương trình x =
.
3
1/ Viết phương trình chính tắc của (E).
2/ M là điểm thuộc (E) .Tính giá trị của biểu thức :P = F1M2 + F2M2 – 3OM2 – F1M.F2M.
3/ Viết phương trình đường thẳng (d) // Ox và cắt (E) tại hai điểm A,B sao cho OA  OB.
Bài 11:1/ Lập pt chính tắc của elíp (E) có tiêu điểm F1( - 15 ;0), tiếp xúc với (d) : x + 4y – 10 = 0.

2/ Vieát phương trình tiếp tuyến của (E) vuông góc với (d’) : x + y + 6 = 0.
Baøi 12 : Cho (E) : 4x2 + 9y2 =36 và đường thẳng (d) có phương trình mx – y – 1 = 0 .
1/ Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt với mọi m .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;3)
Bài 13: 1/Lập phương trình chính tắc của elíp (E) có một tiêu điểm F2( 10 ;0) độ dài trục lớn 2 18
2/ Đường thẳng (d) tiêp xúc với(E) tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B .Tìm M để diện tích tam giác
OAB nhỏ nhất .
x2 y2

 1 .Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) trong đó a,b là hai số thay đổi
Bài 14 : Cho (E) :
9
4
1/ Xác định tọa độ giao điểm I của AN và BM .
2/ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đường thẳng MN tiếp xúc với (E) là ab = 4 .
x2 y2
x2 y2

 1 vaø (E2):

1
Baøi 15 : trong mặt phẳng tọa độ cho hai elíp (E1) :
16 1
9
4
1/ Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của hai elíp .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai elíp .

7/ ( E ) có tâm sai bằng

8


I.TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. AB  ( x B  x A , y B  y A , z B  z A )

 x B  x A 2   y B  y A 2  z B  z A 2

2. AB  AB 

3. a  b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 
4. k.a  ka1 , ka2 , ka3 
2
2
5. a  a12  a2  a3

 a1  b1

6. a  b  a 2  b2
a  b
3
 3
7. a.b  a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3
8. a // b  a  k.b  a  b  0 

a1 a 2 a3


b1 b2 b3

9. a  b  a.b  0  a1 .b1  a 2 .b2  a 3 .b3  0
a
10. a  b   2
b
 2

a1 a1
,
b1 b1

a2 

b2 




a3 a3
,
b3 b3



11. a , b, c đồng phẳng  a  b .c  0





12. a , b, c không đồng phẳng  a  b .c  0
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1
 x kx B y A  ky B z A  kz B 
,
,
M A

1 k
1 k 
 1 k

14. M là trung điểm AB
 x  xB y A  y B z A  zB 
M A
,
,

2
2 
 2

15. G là trọng tâm tam giác ABC
 x  x  x y  yB  yC z A  z B  zC 
,
,
G A B C , A
3
3
3



16. Véctơ đơn vị cđa 3 trơc: e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1)
17. M ( x,0,0)  Ox; N (0, y,0)  Oy; K (0,0, z )  Oz
18. M ( x, y,0)  Oxy; N (0, y , z )  Oyz; K ( x,0, z )  Oxz
1
1
2
2
a12  a 2  a3
19. S ABC  AB  AC 
2
2
1
20. V ABCD  ( AB  AC ). AD
6
21. V ABCD . A B C D  ( AB  AD ). AA /
/

/

/

/

9


2.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác





A,B,C là ba đỉnh tam giác  [ AB , AC ] ≠ 0

1 

SABC =
[AB , AC]
2


Đường cao AH =



2.S ABC
BC

Shbh = [AB , AC]





Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
 Chứng minh A,B,C không thẳng hàng


ABCD là hbh  AB  DC

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:









[ AB , AC ]. AD ≠ 0


1 
Vtd =
[AB , AC] . AD
6

*Đường cao AH của tứ diện ABCD
1
3V
V  SBCD.AH  AH 
3
SBCD


Thể tích hình hộp :





V ABCD. A/ B /C / D /  AB; AD . AA /
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp : ta có a d  n 
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)
*Viết phương trình mp qua M và vuông góc với (d): ta có

n  a d

*Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M/ đối xứng với M qua mp
*Tìm hình chiếu H của M trên mp (dạng 4.1)
*H là trung điểm của MM/
2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:
*Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
H là trung điểm của MM/

10


3.BI TP P DNG

1: Viết tọa độ của các vectơ say đây: a 2 i j ;








b 7 i 8k ;





c  9 k ;







d  3 i  4 j5k





2: Cho ba vect¬ a = ( 2;1 ; 0 ), b = ( 1; -1; 2) ,








c = (2 ; 2; -1 ).



  

a) T×m tọa độ của vectơ : u = 4 a - 2 b + 3 c

b) Chøng minh r»ng 3 vect¬ a , b , c không đồng phẳng .




c) H·y biĨu diĨn vect¬ w = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬ a , b , c .






3: Cho 3 vect¬ a = (1; m; 2), b = (m+1; 2;1 ) , c = (0 ; m-2 ; 2 ) .Định m để 3 vectơ đó ®ång ph¼ng .








1
2













b) e  a  4 b  2 c

4: Cho: a   2; 5;3 , b   0; 2; 1 , c  1; 7; 2 . Tìm tọa độ của vectơ: a) d  4 a  b  3 c


5: T×m täa ®é cđa vect¬ x , biÕt r»ng:











a) a  x  0 vµ a  1; 2;1
















b) a  x  4 a vµ a   0; 2;1

c) a  2 x  b vµ a   5; 4; 1 , b   2; 5;3 .

6: Cho ba điểm không thẳng hàng: A(1;3; 7), B ( 5; 2;0), C (0; 1; 1). HÃy tìm trọng tâm G của tam giác
ABC.
7: Cho bốn diểm không đồng phẳng : A(2;5; 3), B(1;0;0), C(3;0; 2), D(3; 1;2). H·y t×m täa ®é träng t©m G
cđa tø diƯn ABCD.
8: Cho ®iĨm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz.
b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz
9: Cho ®iĨm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cđa ®iĨm ®èi xøng víi ®iĨm M:
a) Qua gèc täa ®é O
b) Qua mặt phẳng Oxy
c) Qua Trục Oy.
10: Cho hình hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của các đỉnh còn
lại.
11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.
a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ?
b) Tìm tọa độ điểm M.






13 . Cho ba vectơ a 1; 1;1 , b   4;0; 1 , c   3;2; 1 . T×m:
   
a)  a . b  c ;



2

2

2

2


     
  
b) a  b . c  ; c ) a b  b c  c a ;









2


    
d ) 3 a 2 a . b  b c b ;







 

2

2

e) 4 a . c  b  5 c .




b) a   2;5;4  , b   6;0; 3 .
14. Tính góc giữa hai vectơ a và b : a) a   4;3;1 , b   1;2;3
15. a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).
b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).






16. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a , b , c trong mỗi trường hợp sau đây:

a ) a 1; 1;1 , b   0;1; 2  , c   4; 2;3








b) a   4;3; 4  , b   2; 1; 2  , c  1; 2;1






c) a   4; 2;5  , b   3;1;3 , c   2; 0;1
d ) a   3;1; 2  , b  1;1;1 , c   2; 2;1 .
17. Cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba đỉnh của một tam giác.
b) Tính chu vi và diện tích ABC.
c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành. d) Tính độ dài đường cao của ABC hạ từ đỉnh A.
e) Tính các góc cña ABC.
11


18. Cho bèn ®iĨm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).

a) Chøng minh r»ng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diƯn ABCD.
c) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD vµ tÝnh độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
19. Cho  ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). HÃy tìm độ dài đường phân giác trong của góc B.
20. Trong không gian với hệ täa ®é Oxyz cho bèn ®iĨm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D tạo thành tứ diện. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
b) Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh C của tứ diện đó.
c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABD hạ từ đỉnh B.
d) Tính góc ABC và góc giữa hai đường thẳng AB, CD.
21. Cho 3 ®iĨm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường chéo.
c) Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đường cao tam giác ABC vẽ từ A.
Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC .
22. Cho 4 ®iÓm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chøng minh 4 ®iĨm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .
c) Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiỊu cao cđa tø diƯn vÏ tõ D.
d) Tìm tọa độ chân đường cao của tứ diện vẽ từ D .
23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC.
b) Tính cosin các gãc A,B,C .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC

II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp :
 

n ≠ 0 là véctơ pháp tuyến của   n  

2. Cặp véctơ chỉ phương của mp :
 
 
a // b là cặp vtcp của   a , b cuøng // 

  
 
3 Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a , b : n = [ a , b ]

4. Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n = (A;B;C)
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0

() : Ax + By + Cz + D = 0 ta coù n = (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :
x y z
  1
a b c

Chuù ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:
1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa ñoä
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Chùm mặt phẳng : giả sử 1  2 = d trong đó
12


(1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 :
m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0

8. Vị trí tương đối của hai mp (1) và (2) :
°  cắt   A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2
A
B
C
D
°  //   1  1  1  1
A2 B 2
C2
D2
A
B
C
D
°   1  1  1  1
A2 B 2
C2
D2
ª

    A1 A2  B1 B2  C1C 2  0
9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0
Ax o  By o  Cz o  D

d(M, ) 

A 2  B2  C 2

10.Góc giữa hai mặt phẳng :

 
n1 . n 2
cos( ,  )   
n1 . n 2

2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
qua A ( hay B hay C )




° Caëp vtcp: AB , AC

°

 

vtpt n  [ AB , AC ]

Daïng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
qua M trung điểm AB

° 



vtpt n



 AB

Dạng 3: Mặt phẳng  qua M và  d (hoặc AB)
qua M

° 

 
Vì   (d) nên vtpt n  a ....( AB )
d

Dạng 4: Mp qua M vaø // : Ax + By + Cz + D = 0
qua M

° 


Vì  //  neân vtpt n




 n



13

Dạng 5: Mp chứa (d) và song song (d/)
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
a d  a
 Mp chứa (d) nên
Mp song song (d/) nên a d /  b
■



Vtpt n  a d , a d /



Dạng 6 Mp qua M,N và   :
■

Mp qua M,N neân MN  a

■

Mp  mp neân

n  b

qua M (hay N)

°

 


vtpt n  [ MN , n ]



Dạng 7 Mp chứa (d) và đi qua
■

Mp chứa d nên a d  a

■

Mp đi qua M  (d ) và A nên AM  b
qua A

°



vtpt n  [ a , AM ]
d

3.BI TP P DNG
Bài toán 1. Phương trình mặt phẳng

Bài 1: Lập phươngtrình mặt phẳng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt n biÕt

a, M  3;1;1 , n   1;1;2 
b, M  2;7;0  , n   3;0;1



c, M  4; 1; 2  , n   0;1;3 
d, M  2;1; 2  , n  1;0;0 
Bµi 2: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của AB biết:
1 
1 
1


 2 1

a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c, A  ; 1; 0  , B  1;  ;5  d, A  1; ;  , B  3; ;1 
2 
3 
2


 3 2

Bµi 3: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và song song với mặt phẳng  biÕt:
a, M  2;1;5  ,      Oxy  b, M  1;1; 0  ,    :x  2y  z  10  0 c, M 1; 2;1 ,    : 2x  y  3  0


Bµi 4 Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và cặp VTCP là a(2;1; 2); b(3; 2; 1)
Bài 5: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và
a) Song song với các trục 0x và 0y.
b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z.
c) Song song víi c¸c trục 0y, 0z.
Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng ®i qua 2 ®iĨm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ :
a) Cïng ph­¬ng víi trơc 0x. b) Cïng ph­¬ng víi trơc 0y. c) Cùng phương với trục 0z.

Bài 7: Xác định toạ độ của véc tơ n vuông góc với hai véc tơ a(6; 1;3); b(3; 2;1) .
Bài 8: Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là a(2,7,2); b(3,2,4)
Bài 9: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhËn n(2,3,4); lµm VTPT.
14


b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
Bài 10: Lập phương trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ.
Bài 11: (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q).
Bài 12: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:


a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và có cặp VTCP là a 3; 2;1 và b 3;0;1
b) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phương với trục với 0x.
Bài 13: Cho tứ diƯn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) ViÕt ph­¬ng trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói cạnh CD.
Bài 14: Viết phương trình tổng quát của (P)
a) Đi qua ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) ,
d) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3)
Bài 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB.
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) và vuông góc với mặt phẳng y0z
c) Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mặt phẳng (P).

III.NG THNG TRONG KHễNG GIAN
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua

M(xo ;yo ;zo) coù vtcp a = (a1;a2;a3)
 x  x o  a 1t

(d) :  y  y o  a 2 t ; t  R
z  z  a t
o
3


2.Phương trình chính tắc của (d)
(d) :

x  xo
a

1



y  yo
a2

z-z


0

Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0

a3

3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp 1 vaø 2
 A 1 x  B 1 y  C 1z  D 1  0
(d) : 
A 2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0

 B1

Véctơ chỉ phương a  
B
 2

C1 C1
,
C2 C2

A1 A1
,
A2 A2

B1
B2







4.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng :

15




(d) qua M coù vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp a d /





 d chéo d’  [ a d , a d / ]. MN ≠ 0 (không đồng phẳng)





 d,d’ đồng phẳng  [ a d , a d / ]. MN = 0







 d,d’ caét nhau  [ a d , a d / ]  0 vaø [ a d , a d / ]. MN =0



/
 d,d’ song song nhau  { a d // a d / vaø M  (d ) }



 d,d’ truøng nhau  { a d // a d / và M  (d / ) }

5.Khoảng cách :



Cho (d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N coù vtcp a d /

[a d ; AM ]

Kc từ điểm đến đường thẳng: d ( A, d ) 

ad
Kc giữa 2 đường thẳng :

d (d ; d / ) 

[a d ; a d / ].MN
[a d ; a d / ]





6.Goùc : (d) coù vtcp a d ; ’ coù vtcp a d / ; ( ) coù vtpt n

a d .a d /
Goùc giữa 2 đường thẳng : cos(d, d' ) 

ad . ad /
 
ad .n
Góc giữa đường và mặt : sin(d,  )  

ad . n

2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B
( hayB )
 quaA
(d )
a d  AB
 Vtcp
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song ()
qua A

(d )


Vì (d) // (  ) nên vtcp a

d


 a



Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp
qua A

(d )


Vì (d)  ( ) nên vtcp a

d


 n



Dạng4: PT d’ hình chiếu của d leân  : d/ =   
16


 Viết pt mp chứa (d) và vuông góc mp

quaM  (d )


(  )  (d )  a  a

d
 

       n  b
  n  [a d ; n ]


ª (d

/

( )
)
(  )

Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d1),(d2)
qua A



( d ) vtcp a [ a


d1


,a

d2

]

Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 :


+ Tìm a d = [ a d1, a d2]
+ Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d)
 d=

Dạng 7: PT qua A và d cắt d1,d2 : d =   
với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)
Dạng 8: PT d //  và cắt d1,d2 : d = 1  2
với mp1 chứa d1 //  ; mp2 chứa d2 // 
Dạng 9: PT d qua A và  d1, cắt d2 : d = AB
với mp qua A,  d1 ; B = d2  
Dạng 10: PT d  (P) cắt d1, d2 : d =   
với mp chứa d1 ,(P) ; mp chứa d2 ,  (P)

3.BÀI TẬP P DNG
Bài 1:Lập phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau :

a) (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận a(3; 2;3) làm VTCP
b) (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phương trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng
( P) : x - 3 y  2 z - 6 0 và các mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng (d) có phương
x  t

tr×nh:   :  2 2
d y   t

, tR

 z  1  2t


Bµi 4: Cho đường thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phương trình lµ :

 x  t
vµ
d  :  y  2  2t , t  R

 z  1 2t


(P): x+y+z+1=0

Tìm phương trình của đường thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường
thẳng (D)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phương trình tham số của đường
thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ®ã
17


Bài6: Lập phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và vuông góc với mặt
phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) ( P) : x  2 y  3 z - 4  0

b)  P  : x  2 y  3z 1 0 .
Bài 7: Lập phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và song song với đường
thẳng ( ) cho bëi :

 x  2  2t

   :  y  3t


tR

.

 z  3  t


Bµi8: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
x 1 t

a) d :  y  3  t , t  R (P): x-y+z+3=0


b)

z  2  t


 x  12  4t

d  :  y  9  t



, t R

(P): y+4z+17=0

z 1 t


Bài 9: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình (P): 2x+y+z=0 vµ

d  : x  1 
2

y z2
.

3
1

a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
b) Lập phương trình đường thẳng (d1) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) .
Bài 10: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bëi :

d1  : x  2 
1

 x  1  2t

y 1 z 1


2
1

d 2  :  y  t  2


t  R

 z  1 3t


a) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2).
Bài 11: (ĐHNN-96): cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :
x  7  3t
d1  :  y  4  2t

 z  4  3t


 x  1  t1

d 2  :  y  9  2t1


t, t 1  R 

 z  12 t
1

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2) .

III.MẶT CẦU
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R
2

2

2

(1)

S(I, R) : x  a   y  b   z  c   R 2

S(I,R) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (2)

( với a2  b2  c2  d  0 )


2

2

2

Taâm I(a ; b ; c) vaø R a  b  c  d

2.Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho (S): x  a2  y  b2  z  c2  R2
vaø  : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp :
 d > R : (S)   = 
18


 d = R :  tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, : tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mp)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp : ta có a d  n 
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
2
2
2
2

 d < R :  cắt (S) theo đường tròn có pt (S): x  a  y  b  z  c  R

 : Ax  By  Cz  D  0

*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính r  R2  d2(I , )
+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp : ta có a d  n 
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt caàu
 x  x o  a 1t


d : y  y o  a 2 t
z  z o  a 3 t

2

(1) vaø
2

2

(S) : x  a  y  b  z  c  R2 (2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm

2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª

2

2

2

S(I, R) : x  a   y  b   z  c   R 2 (1)

 Theá tọa độ A vào x,y,z tìm R2

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB

 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2

Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp
Pt mặt cầu tâm I

(S )
R  d(I,  ) 

A.x  B . y  C . z  D
I
I
I
A2  B2  C 2

Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2) S(I,R) : x2  y2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 A,B,C,D  mc(S)  heä pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)
S(I,R) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (2)
A,B,C  mc(S): theá tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c) (α): thế a,b,c vào pt (α)
19


Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A




Tiếp diện  của mc(S) tại A :  qua A, vtpt n IA

3.BI TP P DNG
Bài 1: Trong các phương trình sau đây ,phương trình nào là phương trình của mặt cầu ,khi đó chỉ rõ toạ độ tâm
và bán kÝnh cña nã ,biÕt:
a) S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  2  0
b) S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  9  0
c) S  : 3x 2  3 y 2  3 z 2  6 x  3 y  9 z  3  0
d) S  :  x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  5 z  7 0
Bài 2: Cho họ mặt cong (Sm) có phương trình: S m : x 2 y 2  z 2  4mx  2my  6 z m 2 4m 0
a) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (Sm) luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Bài 3: Cho họ mặt cong (Sm) có phương trình: S m : x 2 y 2  z 2  4mx  2m 2 y 8m 2 5 0
a) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu .
b) Tìm quĩ tích tâm của họ (Sm) khi m thay đổi.
c) Tìm điểm cố định M mà (Sm) luôn đi qua.
2
2
Bài 4: Cho họ mặt cong (Sm) có phương trình: S m  : x  y  z 2  2 x sin m  2 y cos m 3 0
a) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (Sm) luôn chạy trên một đường tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi.
c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B. Đường thẳng y=m(-1đường thẳng qua A , T cắt đường thẳng qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi .
Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) ,biết :
a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4.
b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và
tâm I(3;-2;-1).
c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x.
d) Hai đầu đường kính là A(-1;2;3),
B(3;2;-7)

Bài 6: Cho 3 đường thẳng (d1),(d2), (d3) có phương tr×nh :
x 1 y  3 z  2


d1  : x  2  y  2  z  1 , d 2  : x  7  y  3  z  9 , d 3 :
3

4

1

1

2

1

3

2

1

a) Lập ptđt (d) cắt cả (d1),(d2) và song song víi (d3).
b) Gi¶ sư d   d1   A, d   d 2   B .Lập phương trình mặt cầu đường kính AB.
Bài 7: Cho 2 đường thẳng (d1),(d2) có phương trình :

x 2  t

d1  :  y  1  t


 z  2t


tR

, d 2  : x  7  y  3  z  9
1

2

1

a) CMR (d1) và (d2) chéo nhau.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d1) và (d2).
c) Lập mật cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2). d) Viết pttq mp cách đều(d1) (d2).
Bài 8: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1;4;-7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1;1;-3).
Bài 9: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ 0xyz ,cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài10: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA.
b) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A. Gọi K là
giao điểm của hình chiếu đó với 0A. HÃy xác định toạ dộ của K.
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lượt là điểm giữa của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao
cho PQ và KM cắt nhau.

Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz ,cho bốn điểm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD.
b) (HVKTQS-98): Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc chung cđa AC vµ BD.
20


c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD.
Bµi 12: Cho bèn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):Viết phương trình tham số của đường thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ
độ của điểm H.
b) (HVNHTPHCM-99):Viết pttq của (BCD) .Tìm kc từ A đến (BCD). c) Viết ptmc ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 13: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4),
D(3;1;0).
a) Lập pt các mặt của hình chóp.
b) Lập pt mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp .
c) Tính V SABCD
Bài 14: (HVKTMM-97) Cho bèn ®iĨm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tø diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau .
b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ
diện.
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD.

21


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
I. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong khơng gian
Ta có : Ox, Oy, Oz vng góc từng đơi một. Do đó, nếu trong mơ hình chứa các cạnh vng góc

thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :

Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD. A' B' C ' D' 
z

Với hình lập phương .
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

A’

A(0; 0; 0) ; B(a;0;0) ; C (a; a;0) ; D(0;a;0)
A '(0; 0; a ) ; B '(a; 0; a) ; C '(a; a; a ) ; D'(0;a;a )

D’

B’

C’

Với hình hộp chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

D

A

A(0; 0; 0) ; B(a;0; 0) ; C (a; b; 0) ; D(0;b;0)

x

y

C

B

A '(0; 0; c ) ; B '(a; 0; c) ; C '(a; b; c ) ; D'(0;b;c)


Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD. A' B' C ' D'
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

z
A’

D’
O’

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của
hai đường chéo của hình thoi ABCD

B’
A

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

y

C
D

O

B

C

x

Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
z
S
Giả sử cạnh hình vng bằng a và
đường cao SO  h
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vng
 a 2
 a 2

;0;0 ; C 
;0;0 
  2

2

 


A

Khi đó : A 




a 2   a 2 
B  0; 
; 0  ; D  0;
; 0  ; S (0; 0; h)

 

2
2

 


y

D
O

B

C

x

Với hình chóp tam giác đều S.ABC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
z

S

22


Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và
đường cao bằng h . Gọi I là trung điểm
của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
 a



a



Khi đó : A   ; 0; 0  ; B  ; 0; 0 
 2
 2

 a 3 
C  0;
; 0 ;


2



 a 3 
S  0;
;h


6



Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA  (ABCD)
z

ABCD là hình chữ nhật AB  a; AD  b
chiều cao bằng h

S

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
D

A

Khi đó : B  a; 0; 0  ; C  a; b; 0 
D  0; b; 0  ; S (0;0; h)

y

O

B

C

x

Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA  (ABCD)
z

S

ABCD là hình thoi cạnh a
chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho O(0;0;0)

D

A

y

O
B

C

x

Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và  ABC vng tại A

Tam giác ABC vng tại A có
AB  a; AC  b đường cao bằng h .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó : B  a; 0;0  ; C  0; b;0 
S  0; 0; h 

z
S

y

C

A
B

x
23


Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và  ABC vng tại B
Tam giác ABC vng tại B có
BA  a; BC  b đường cao bằng h .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho B(0;0;0)
Khi đó : A  a; 0;0  ; C  0; b;0 

z

S

y

x

S  a; 0; h 

C

A
B

Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân tại S
và  ABC vuông tại C
 ABC vuông tại C CA  a; CB  b
chiều cao bằng h

H là trung điểm của AB

z

S

y

x

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho C(0;0;0)

H

A

B

Khi đó : A  a; 0;0  ; B  0; b; 0 

C

a b
S ( ; ; h)
2 2

Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân tại S
và  ABC vuông tại A
 ABC vuông tại A AB  a; AC  b
chiều cao bằng h

z
S

H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó : B  a; 0;0  ; C  0; b;0 
a
S (0; ; h)
2

C

A

y

H
B

x

Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân tại S
và  ABC vuông cân tại C
24


Tam giác ABC vng cân tại C có
CA  CB  a đường cao bằng h .
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho H(0;0;0)
 a

 a

;0; 0  ; A  0;
;0
2 
 2



a


B  0; 
; 0  ; S  0; 0; h 
2 


z S

Khi đó : C 

y

H

A

B
C

x

b. Bài tập áp dụng
Bài tốn 1. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi
 ,  ,  lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh
rằng : cos2   cos2   cos2   1
( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương

chủ biên, NXBGD 2000 )

Hướng dẫn
Dựng hình :

Bài giải
z

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc
Oxyz như sau : O(0;0;0) ; A(a;0;0) ;
B(0; b;0) C (0;0; c) ;

C



AB  (a ; b ; 0)

y

O

AC  (a ; 0 ; c)
A

x

Tìm vectơ pháp tuyến của :
 Mặt phẳng (ABC) 
 Mặt phẳng (OBC) 

 Mặt phẳng (OCA)
 Mặt phẳng (OAB)
Sử dụng cơng thức tính góc giữa hai
mặt phẳng:
cos  cos(OBC ), ( ABC ) 
cos   cos(OBC ), ( ABC ) 
cos   cos(OBC ), ( ABC ) 



C’

B



n  AB, AC  (bc ; ac ; ab)
i  ( 1, 0, 0)

vì : Ox  (OBC )

j  ( 0, 1, 0)

vì : Oy  (OCA)

k  ( 0, 0, 1)

vì : Oz  (OAB)

cos 


cos  


cos  

b.c
b 2c 2  c 2 a 2  a 2b 2
c.a
2 2

b c  c 2 a 2  a 2b 2
a.b
b 2c 2  c 2 a 2  a 2b 2
25