Đề luyện tập Xác Suất Thống Kê Có Đáp Án LÝ THUYẾT MẪU THỐNG KÊ SUY DIỂN

5
Bài tập
1. Sau khi áp dụng một chế độ dinh dưỡng đặc biệt cho dân cư một vùng, người ta đo hàm lượng
cholesterol X (đơn vị mg%) cho một nhóm người trong vùng, với số liệu sau
X

150-160

160-170

170-180

180-190

190-200

200-210

9

11

6

4

3

Số người
3
Già sử X có phân phối chuẩn.

a) Tìm khoảng tin cậy cho phương sai tổng thể 2X và độ lệch chuẩn tổng thể X ở độ tin cậy
  0.95 .
b) Tìm khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể,  X , ở độ tin cậy   0.95 .
c) Nếu muốn sai số ước lượng cho trung bình tổng thể,  X , không quá 0  4 mg%, ở độ tin cậy
  0.95 , thì phải thu thập thêm ít nhất bao nhiêu số liệu ?
d) Trước đây, lượng cholesterol trung bình của dân cư vùng này là  0  180 mg%. Hỏi rằng chế độ
dinh dưỡng mới có làm thay đổi hàm lượng cholesterol trung bình khơng ? (kết luận với   0.1).
e) Người có hàm lượng cholesterol từ 180 mg% trở lên được gọi là có hàm lượng cholesterol cao.
Tìm khoảng ước lượng tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao tổng thể, p, ở độ tin cậy   0.95 .
f) Nếu muốn sai số ước lượng cho tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao, p, không quá
0  15% , ở độ tin cậy   0.95 , thì phải thu thập thêm ít nhất bao nhiêu số liệu ?
g) Trước đây, tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao của dân cư vùng này là p0  55% . Hỏi rằng
chế độ dinh dưỡng mới có làm thay đổi tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao khơng ? (kết luận
với   0.1).
Lời giải. Ta có n  36 , X  177.22 , SX  13.96 , và S2X  194.92 .
a) Thống kê trục xoay T 

 n  1 S2X

 2  n  1 .

2

 2  35  , nên với   0.95 , ta tìm được khoảng ước lượng hai bên  a, b  cho T

Do n  36 , T

ở mức xác suất   0.95 , với a  20.569 , b  53.203 , nghĩa là
P  20.569  T  53.203  0.95 .

Với T 

 n  1 S2X


2

35 194.92
, ta có
2



35 194.92
35 194.92
35 194.92
 53.203 
 2 
2

53.203
20.569
2
 128.23    331.67  11.32    18.21

20.569  T  53.203  20.569 

Do P 128.23  2  331.67   P 11.32    18.21  0.95 , ta được khoảng tin cậy của
phương sai tổng thể 2 và của độ lệch chuẩn tổng thể  ở độ tin cậy   0.95 lần lượt là

128.23,331.67  và 11.32,18.21 .
b) Thống kê trục xoay T 

X 
SX / n

t  n  1 .


6
Do n  36 , T

 2  35  , nên với   0.95 , ta tìm được khoảng ước lượng hai bên  C, C cho

T ở mức xác suất   0.95 , với C  1.960 , nghĩa là
P  1.96  T  1.96   0.95 .

Với T 

X 
177.22  

, ta có
SX / n 13.96 / 36

177.22  
 1.96
13.96 / 36
13.96

13.96
 177.22  1.96
   177.22  1.96
36
36
 172.66    181.78

1.96  T  1.96  1.96 

Do P 172.66    181.78   0.95 , ta được khoảng tin cậy của trung bình tổng thể  ở độ tin
cậy   0.95 là

172.66,181.78 .
c) Với cỡ mẫu n, ta có sai số ước lượng cho  X ở độ tin cậy   0.95 là

C

SX
13.96
.
 1.96
n
n

Do vậy, nếu ta muốn sai số ước lượng không quá mức 0  4 , ta cần
2

 S  
13.96 
n   C X   1.96

  46.79 ,
4 
 0  
2

nghĩa là ta cần ít nhất n  47 số liệu. Do đó, ta cần thu thập thêm 47  36  11 số liệu.
d) Ta có bài tốn kiểm định :
H 0 :   180

H A :   180

với thống kê kiểm định T 
Với T

X  0
SX / n

t  n  1 .

t  35  và   0.1, ta được C  1.645 , với
P  1.645  T  1.645  0.9  1   .

Từ số liệu nhận được, ta có T 

X  0 177.22  180

 1.19 .
SX / n 13.96 / 36

Do T  C nên ta chấp nhận H0 , nghĩa là chế độ dinh dưỡng mới không làm thay đổi hàm

lượng cholesterol trung bình.
e) Với số liệu nhận được, ta có cỡ mẫu n  36 , và tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao trên
mẫu là

f

643
 0.36  36% .
36


7
ta dùng thống kê trục xoay T 
Do T

f p

N  0,1 .

f 1  f  / n

N  0,1 , nên với   0.95 , ta tìm được khoảng ước lượng hai bên  C, C cho T ở

mức xác suất   0.95 , với C  1.96 , nghĩa là
P  1.96  T  1.96   0.95 .

Với T 

f p
f 1  f  / n



0.36  p
0.36 1  0.36  / 36

, ta có

0.36  p

1.96  T  1.96  1.96 

0.36 1  0.36  / 36

 1.96

0.36 1  0.36 
0.36 1  0.36 
 p  0.36  1.96
36
36
 0.20  p  0.52.
 0.36  1.96

Do P  0.20  p  0.52   0.95 , ta được khoảng tin cậy của p ở độ tin cậy   0.95 là

0.20, 0.52 .
f) Với cỡ mẫu n, ta có sai số ước lượng cho p ở độ tin cậy   0.95 là

C

f 1  f 
0.36 1  0.36 
.
 1.96
n
n

Do vậy, nếu ta muốn sai số ước lượng không quá mức 0  0.15 , ta cần
2

C
 1.96 
n    f 1  f   
  0.36 1  0.36   39.34 ,
 0.15 
 0 
2

nghĩa là ta cần ít nhất n  40 số liệu. Do đó, ta cần thu thập thêm 40  36  4 số liệu.
g) Ta có bài tốn kiểm định :
H 0 : p  0.55

H A : p  0.55

với thống kê kiểm định T 
Với T

f  p0

p 0 1  p 0  n

N  0,1 .

N  0,1 và   0.1, ta được C  1.645 , với
P  1.645  T  1.645  0.9  1   .

Từ số liệu nhận được, ta có T 

f  p0

p0 1  p 0  n



0.36  0.55
0.55 1  0.55  / 36

 2.29 .

Do T  C nên ta bác bỏ H0 , nghĩa là chế độ dinh dưỡng mới có làm thay đổi tỷ lệ người có
hàm lượng cholesterol cao.



8
2. Một máy đóng gói các sản phẩm được thiết kế cho ra sản phẩm có khối lượng trung bình
 0  2kg . Sau một thời gian sử dụng, nghi ngờ máy hoạt động khơng bình thường, người ta thu
thập số liệu trên một mẫu ngẫu nhiên các sản phẩm và nhận được kết quả như sau :
Khối lượng X (kg)

Số sản phẩm
Già sử X có phân phối chuẩn.

1.5

1.7

1.9

2.1

2.3

2.5

6

30

40

15

3

2

a) Tìm khoảng tin cậy cho phương sai tổng thể 2X và độ lệch chuẩn tổng thể X ở độ tin cậy
  0.95 .
b) Tìm khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể,  X , ở độ tin cậy   0.95 .

c) Nếu muốn sai số ước lượng cho trung bình tổng thể,  X , khơng q 0  0.03 kg, ở độ tin cậy
  0.95 , thì phải thu thập thêm ít nhất bao nhiêu số liệu ?
d) Tham số thiết kế máy đóng gói cho biết khối lượng trung bình sản phẩm là  0  2kg . Hỏi rằng số
liệu thu thập nêu trên có cịn phù hợp với tham số trung bình này không ? (kết luận với   0.1 ).
e) Sản phẩm đạt chuẩn phải có khối lượng từ 1.9 kg đến 2.1 kg. Tìm khoảng ước lượng tỷ lệ sản
phẩm đạt chuẩn tổng thể, p, ở độ tin cậy   0.95 .
f) Nếu muốn sai số ước lượng cho tỷ lệ sản phẩm đạt chuẩn, p, không quá 0  9% , ở độ tin cậy
  0.95 , thì phải thu thập thêm ít nhất bao nhiêu số liệu ?
g) Tỷ lệ sản phẩm đạt chuẩn theo thiết kế là p0  80% . Hỏi rằng số liệu thu thập nêu trên có cịn phù
hợp với tham số thiết kế này không ? (kết luận với   0.1).
Lời giải. Ta có n  96 , X  1.87 , SX  0.20 , và S2X  0.04 .
n  1 S2X

a) Thống kê trục xoay T 


2

 2  n  1 .

 2  95  , nên với   0.95 , ta tìm được khoảng ước lượng hai bên  a, b  cho T

Do n  96 , T

ở mức xác suất   0.95 , với a  69.925 , b  123.858 , nghĩa là
P  69.925  T  123.858   0.95 .

n  1 S2X

Với T 



2



95  0.04
, ta có
2

69.925  T  123.858  69.925 

95  0.04
95  0.04
95  0.04
 123.858 
 2 
2

123.858
69.925

 0.03  2  0.05  0.18    0.23

Do P  0.03  2  0.05   P  0.18    0.23  0.95 , ta được khoảng tin cậy của phương sai
tổng thể 2 và của độ lệch chuẩn tổng thể  ở độ tin cậy   0.95 lần lượt là

0.03, 0.05 và 0.18, 0.23 .
b) Thống kê trục xoay T 

X 
SX / n

t  n  1 .


9
Do n  96 , T

t  95  , nên với   0.95 , ta tìm được khoảng ước lượng hai bên  C, C cho

T ở mức xác suất   0.95 , với C  1.960 , nghĩa là
P  1.96  T  1.96   0.95 .

Với T 

X 
1.87  

, ta có
SX / n 0.2 / 96

1.87  
 1.96
0.2 / 96
0.2
0.2
 1.87  1.96
   1.87  1.96
96

96
 1.83    1.91

1.96  T  1.96  1.96 

Do P 1.83    1.91  0.95 , ta được khoảng tin cậy của trung bình tổng thể  ở độ tin cậy
  0.95 là

1.83,1.91 .
c) Với cỡ mẫu n, ta có sai số ước lượng cho  X ở độ tin cậy   0.95 là

C

SX
0.2
.
 1.96
n
n

Do vậy, nếu ta muốn sai số ước lượng không quá mức 0  0.03 , ta cần
2

 S  
0.2 
n   C X   1.96
  170.74 ,
0.03 
 0  
2

nghĩa là ta cần ít nhất n  171 số liệu. Do đó, ta cần thu thập thêm 171  96  75 số liệu.
d) Ta có bài tốn kiểm định :
H 0 :   2

H A :   2

với thống kê kiểm định T 
Với T

X  0
SX / n

t  n  1 .

t  95  và   0.1, ta được C  1.645 , với
P  1.645  T  1.645  0.9  1   .

Từ số liệu nhận được, ta có T 

X  0
1.87  2

 6.37 .
SX / n 0.2 / 96

Do T  C nên ta bác bỏ H0 , nghĩa là số liệu thu thập khơng cịn phù hợp với tham số thiết kế
ban đầu.
e) Với số liệu nhận được, ta có cỡ mẫu n  96 , và tỷ lệ sản phẩm đạt chuẩn trên mẫu là

f

40  15
 0.57  57% .
96


10
f p

ta dùng thống kê trục xoay T 
Do T

N  0,1 .

f 1  f  / n

N  0,1 , nên với   0.95 , ta tìm được khoảng ước lượng hai bên  C, C cho T ở

mức xác suất   0.95 , với C  1.96 , nghĩa là
P  1.96  T  1.96   0.95 .

Với T 

f p
f 1  f  / n



0.57  p

0.57 1  0.57  / 96

, ta có

0.57  p

1.96  T  1.96  1.96 

0.57 1  0.57  / 96

 1.96

0.57 1  0.57 
0.57 1  0.57 
 p  0.57  1.96
96
96
 0.47  p  0.67.
 0.57  1.96

Do P  0.47  p  0.67   0.95 , ta được khoảng tin cậy của p ở độ tin cậy   0.95 là

0.47, 0.67 .
f) Với cỡ mẫu n, ta có sai số ước lượng cho p ở độ tin cậy   0.95 là

C

f 1  f 
0.57 1  0.57 
.

 1.96
n
n

Do vậy, nếu ta muốn sai số ước lượng không quá mức 0  0.09 , ta cần
2

C
 1.96 
n    f 1  f   
  0.57 1  0.57   116.24 ,
 0.09 
 0 
2

nghĩa là ta cần ít nhất n  117 số liệu. Do đó, ta cần thu thập thêm 117  96  21 số liệu.
g) Ta có bài tốn kiểm định :
 H 0 : p  0.8

 H A : p  0.8

với thống kê kiểm định T 
Với T

f  p0

p 0 1  p 0  n

N  0,1 .

N  0,1 và   0.1, ta được C  1.645 , với
P  1.645  T  1.645  0.9  1   .

Từ số liệu nhận được, ta có T 

f  p0

p0 1  p 0  n



0.57  0.8
0.8 1  0.8  / 96

 5.63 .

Do T  C nên ta bác bỏ H0 , nghĩa là số liệu thu thập không còn phù hợp với tham số thiết kế.