20 Chuyen Toan 9 Nguyen Van Dai

“Biển học” Kiến thức Rỗng lớn Mênh mông, chỉ lấy “Siêng năng” làm
“Bờ bến”.
20 Bộ Toán 9 thi vào 10 THPT Chuyên Tỉnh; TP – Cả nước
Phần I
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2018 – 2019
Mơn thi: TỐN (Chung)
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đề số 1
x 4
1


1
P 
 1 :
x 0; x  ; x 1; x 4
 x  3 x  2  2 x  3 x  1 với
4
Câu 1: (2,5đ) Cho biểu thức:
.

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x sao cho P 2019 .
c) Với x 5 , tìm giá trị nhỏ nhất của

T P 

10
x .

1
1
x
m
m (với m tham số,
Câu 2: (0,75đ) Cho hai đường thẳng (d1): y mx  m và (d2):
2
2
m 0 ). Gọi I( x0 ; y0 ) tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d ) với (d ). Tính T  x0  y0 .
y 

1

2

2
Câu 3: (1,25đ) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm phương trình: x  (2  m) x  1  m 0 (m tham số).
x  x 2 2
a)Tìm m để 1 2
.
1
1
T

( x1  1) 2 ( x2  1) 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Tìm m sao cho

Câu 4: (1,5 điểm)
4 x  8072  9 x  18162 5 .
3
3
2
 x  y  3 x  6 x  3 y  4 0
 2
2
b) Giải hệ phương trình:  x  y  3 x 1
Câu 5: (3,5 điểm)
Cho đường trịn tâm O bán kính a và điểm J có JO = 2a. Các đường thẳng JM, JN theo
thứ tự là các tiếp tuyến tại M, tại N của đường tròn (O). Gọi K là trực tâm của tam giác JMN, H là
giao điểm của MN với JO.
a) Chứng minh rằng: H là trung điểm của OK.
b) Chứng minh rằng: K thuộc đường trịn tâm O bán kính a.
c) JO là tiếp tuyến của đường trịn tâm M bán kính r. Tính r.
d) Tìm tập hợp điểm I sao cho từ điểm I kẻ được hai tiếp tuyến với đường trịn (O) và hai
tiếp tuyến đó vng góc với nhau.
Câu 6: (0,5 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn: 12 x  10 y  15 z 60 . Tìm giá trị lớn nhất
2
2
2
của T x  y  z  4 x  4 y  z .

a) Giải phương trình:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: TỐN (Chun Tốn, Tin)
Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề)

Đề số 2
Câu 1. (2,0 điểm)
2
2
1) Cho phương trình: x  2mx  m  2m  4 0 (1) (với m là tham số). Tìm m để phương
P  x1  x2
trình (1) có hai nghiệm khơng âm x1 , x2 . Tính theo m giá trị biểu thức
và tìm giá

trị nhỏ nhất của P.
y

x2  2
x  2 . Tìm tất cả các giá trị x nguyên để y nguyên.

2) Cho hàm số
Câu 2. (2,0 điểm)
1) Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a  2b  5c 0 . Chứng minh phương trình
2
ax  bx  c 0 có nghiệm.
3

(4 x 3  x  3)3  x3 :
2
2) Giải phương trình:
Câu 3. (1,0 điểm)
Hai cây nến cùng chiều dài và làm bằng các chất liệu khác nhau, cây nến thứ nhất cháy hết
với tốc độ đều trong 3 giờ, cây nến thứ hai cháy hết với tốc độ đều trong 4 giờ. Hỏi phải cùng bắt
đầu đốt lúc mấy giờ chiều để đến 4 giờ chiều, phần còn lại của cây nến thứ hai dài gấp đơi phần
cịn lại của cây nến thứ nhất?
Câu 4. (1,0 điểm)
2
2
Cho các số x, y dương thỏa mãn điều kiện ( x  1  x )( y  1  y ) 2018 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  x  y .
Câu 5. (3,5 điểm)
1) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, BC = 5, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ
BC chứa điểm A vẽ hai nửa đường trịn đường kính BH và HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB,
AC lần lượt tại E, F.
a) Tính diện tích của nửa hình trịn đường kính BH.
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai
đường trịn đường kính BH và CH.
2) Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R. Tìm kích thước hình chữ nhật MNPQ có hai
đỉnh M, N thuộc nửa đường trịn, hai đỉnh P, Q thuộc đường kính AB sao cho diện tích MNPQ
lớn nhất.

Câu 6. (0,5 điểm)
1
1 1
 2  2 1
2
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c

.
1
1
1
P


5a 2  2ab  2b 2
5b 2  2bc  2c 2
5c 2  2ca  2a 2 .
Tìm giá trị lớn nhất biểu thức:

-------------------- HẾT --------------------


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: TỐN (Chung)
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề).

Đề số 3
T

a  33 a 6



a  9  a  4

Câu 1: (1,0 đ) Cho biểu thức
a) Rút gọn T.
b) Xác định các giá trị của a để T > 0

a



a  2 
, với a  0, a  4, a  9

Câu 2: (2,0 đ)
1. Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  m 2  3m  2  0
2
1

(m là tham số). Tìm m để phương

2
2

trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa x  x  x1 x2 5
2018
2

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2  2 x  x  7

Câu 3: (2,0 điểm)
Một người dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km bằng xe máy với vận tốc không đổi để
đến B vào thời điểm định trước. Sau khi đi được 1 giờ người đó nghỉ 10 phút, do đó để đến B
đúng thời điểm đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/giờ so với vận tốc ban đầu trên
qng đường cịn lại. Tính vận tốc ban đầu của người đó.
Câu 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) có các góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. AD là
đường kính của đường trịn (O), H là trung điểm của BC. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường
thẳng BC tại M. Đường thẳng MO cắt AB, AC lần lượt tại E và F.
2

a) Chứng minh MD  MB.MC
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với M cắt đường thẳng AD tại P. Chứng minh bốn
điểm B, H, D, P cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh O là trung điểm của EF.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6.
2
2
2
Chứng minh rằng a  b  c  3


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP HUẾ
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn thi: TỐN (Chung)

Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề).

Đề số 4
Bài 1: (3 điểm)
a) Hãy chứng minh đẳng thức:

3

3  13  4 3 1

.


 x  1  y 5
 2
( x  2 x  1) y 36
b) Giải hệ phương trình : 
Bài 2: (1,5 điểm)
4
2
Cho phương trình: x  2mx  2m  1 0 .

x,x ,x ,x
Tìm giá trị m để phương trình có bốn nghiệm 1 2 3 4 sao cho:
x1  x2  x3  x4 và x4  x1 3  x3  x2  .
Bài 3: (3 điểm)
Cho đường trịn (O), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của bán kính OB và (S) là đường
trịn đường kính AC. Trên đường trịn (O) lấy hai điểm tùy ý phân biệt M, N khác A và B. Gọi P,
Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM và AN với đường tròn (S).
a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ.

2
b) Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm. Chứng minh: ME = MA MP .
ME AM

c) Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm. Chứng minh: NF AN .

Bài 4: (1,5 điểm)
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho hai điều kiện sau đồng thời
được thỏa mãn:
(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
(ii) Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng
đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.
Bài 5: (1 điểm)
Một tấm bìa dạng tam giác vng có độ dài ba cạnh là các số nguyên. Chứng minh rằng có
thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên.
Hết


SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH
Đề chính thức

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: TỐN (Chung)
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề)

Đề số 5
a  3  3 a 6
a 




a 9  a 4
a  2 
Câu 1(1đ) Cho biểu thức T =
với a 0,a 4, a 9

a) Rút gọn T
b) Xác định các giá trị của a để T > 0
Câu 2 (2đ)
a) Cho phương trình
x2 – 2( m – 1)x + m 2 – 3m +2 = 0 , (m là tham số). Tìm m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x12 + x22 – x1.x2 = 5
2018
2  2x  x 2  7

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
Câu 3 (2đ)
Một người dự định đi từ A đến B cách nhau 120km bằng xe máy với vận tốc không đổi để
đến B vào thời điểm định trước. Sau khi đi được 1 giờ người đó nghỉ 10 phút, do đó để đến B
đúng thời điểm đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/h so với vận tốc ban đầu trên
qng đường cịn lại. Tính vận tốc ban đầu của người đó.
Câu 4 (4đ)
Cho tam giác ABC ( AB < AC) có các góc đều nhọn nội tiếp trong đường trịn tâm O . AD
là đường kính của đường tròn (O), H là trung điểm BC. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường thẳng
BC tại M. Đường thẳng MO cắt AB, AC lần lượt tại E và F .
a) Chứng minh : MD2 = MB.MC
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường thẳng AD tại P. Chứng minh bốn
điểm B, H, D, P cùng nằm trên một đường tròn.

c) Chứng minh O là trung điểm của EF.
Câu 5 (1đ)
Cho ba số thực a ,b , c thỏa mãn điều kiện: a + b + c + ab + bc + ca = 6.
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2
3


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
Nămhọc 2018 – 2019
Mơn: TỐN (Chung)
Thời gian: 120 phútkhơng kể thời gian giao đề

HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 6
Câu1 (1,5điểm). Rút gọn các biểu thức sau:
1.

A 4 2  3 8  18.

 x 2 x
B 

x 4

2.
Câu2 (2,0điểm).

2  
 : 1 
x 2 

4 
,
x 2

(với x 0, x 4 ).

2
1. Giải phương trình: 3x  2 x  1 0.

2 x  3 y 13
.

2
x

y

1
2. Giải hệ phương trình: 

Câu 3 (1,5điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol 
có phương trình

y 2  m  1 x  m 2

có phương trình y x và đường thẳng 

P

2

d

(vớim là tham số).

1. Tìm điều kiện của m để đường thẳng

 d  cắt parabol  P  tại hai điểm phân biệt A và B.

2 x  1 2 x  1 13.
2. Gọi x1 , x2 lần lượt là hoành độ của A và B. Xác định m để  1   2 

Câu 4 (4,0điểm).
Cho đường trịn 

O

, đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đoạn AB (H khác A và B),

O
đường thẳng vng góc với AB tại H cắt đường trịn   tại hai điểm C và D. Trên cung nhỏ BC
lấy điểm M (M khác B và C), gọi N là giao điểm của AM và CD.
1. Chứng minh tứ giác BMNH nội tiếp đường tròn.


2. Chứng minh MA là tia phân giác của CMD.
2
3. Chứng minh AD  AM . AN .
4. GọiI là giao điểm của BC và AM; P là giao điểm của AB và DM. Chứng minh I là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác CMP.
Câu 5 (1,0 điểm).
2
2
2
Cho các số thực a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c 3. Chứng minh rằng

1
4

ab



1
4

bc



1
4

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
-----HẾT-----

ca

1.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP HUẾ

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2007 – 2008
Mơn thi: TỐN (Chung)
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề).

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 7

Bài 1: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:

{

x 2+ 2 y =8
y 2 −2 x=8

Bài 2: (2 điểm)
x 4  2  m 2  2  x 2  m4  3 0

Chứng minh rằng phương trình:

phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 với mọi giá trị của m .
x 2  x22  x32  x42  x1 x2 x3 x4 11
Tìm giá trị m sao cho 1
.

ln có 4 nghiệm

Bài 3: (3 điểm)
Cho hình vng cố định PQRS. Xét một điểm M thay đổi ở trên cạnh PQ (M P,
M Q). Đường thẳng RM cắt đường chéo QS của hình vng PQRS tại E. Đường tròn
ngoại tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS tại F (F Q). Đường thẳng RF cắt cạnh SP
của hình vng PQRS tại N.



1. Chứng tỏ rằng: ERF QRE + SRF .
2. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh PQ của hình vng PQRS thì đường
trịn ngoại tiếp tam giác MEF luôn đi qua một điểm cố định.
3. Chứng minh rằng: MN = MQ + NS.
Bài 4: (2 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên p, q sao cho đẳng thức sau đúng:
√ p − 2+ √ q −3=√ pq −2 p −q+ 1
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh với mọi số thực x, y, z luôn có:

x  y  z  y  z  x  z  x  y  x  y  z 2  x  y  z 

Hết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2005 – 2006
Môn thi: TỐN (Tốn Tin)
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề).

Đề số 8
Bài 1 (3đ):
1. Giải phương trình: x  1  3x 2 x  1
2. Trong hệ trục toạ độ Oxy hãy tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm M(x; y)
2

thoả mãn điều kiện: y  5 y x  6 x 0
Bài 2 (2,5đ):
1. Cho phương trình: (m + 1)x2 – (m – 1)x + m + 3 = 0 (m tham số). Tìm tất cả các giá trị
của m để phương trình có nghiệm là các số ngun.
2. Cho ba số x, y, z ; đặt a = x + y + z; b = xy + yz + zx; c = xyz. Chứng minh các
phương trình sau đều có nghiệm:
t2 + 2at + 3b = 0;
at2 – 2bt + 3c = 0
Bài 3 (3đ): Cho ∆ABC
1, Gọi M là trung điểm của AC. Biết BM = AC. Gọi D là điểm đối xứng của B qua A, E
là điểm đối xứng của M qua C. Chứng minh: DM  BE.
2, Lấy một điểm O bất kỳ nằm trong ∆ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA,
AB theo thứ tự tại các điểm D, E, F.
Chứng minh rằng:
OD OE OF



1
a, AD BE CF

AD  
BE  
CF 

1 
 1 
 1 
 64
b,  OD   OE   OF 

Bài 4 (0,75đ): Cho các đa thức: P(x) = x3 + ax2 + bx + c và Q(x) = x2 + x + 2005
Biết phương trình P(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt, cịn phương trình P(Q(x)) = 0 vơ
1
nghiệm. Chứng minh: P(2005) > 64

Bài 5 (0,75đ):
Có hay khơng 2005 điểm phân biệt trên mặt phẳng mà bất kỳ 3 điểm nào trong chúng đều
tạo thành một tam giác có góc tù.

…… Hết …….

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

NĂM HỌC 2004 – 2005
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề).

Đề số 9

Bài 1 (3đ):
Giải phương trình:
1,

x 2  2 x  3  x 2  3x  2  27

1
1
1


2
20
2, x( x  2) ( x  1)

Bài 2 (1đ):
Cho ba số a, b, c  R+ thoả mãn: ab > c và a3 + b3 = c3 + 1
Chứng minh rằng: a + b > c + 1
Bài 3 (2đ):
Cho a, b, c, x, y là các số thực thoả mãn các đẳng thức sau:

a  x  y
 3
3
3
b  x  y
c 5  x 5  y 5


Tìm đẳng thức liên hệ giữa a, b, c khơng phụ thuộc vào x, y.
Bài 4 (1,5đ):
Cho phương trình:
(n + 1)x2 + 2x – n(n + 2)(n + 3) = 0 (*)
Chứng minh rằng (*) có nghiệm là số hữu tỉ với mọi số nguyên m.
Bài 5 (2,5đ):
Cho đường trịn (O) và dây AB khơng đi qua O. M là điểm trên đường tròn sao cho
∆AMB nhọn. Đường phân giác của góc MAB và góc MBA cắt đường trịn (O) lần lượt tại
P và Q. Gọi I là giao điểm của AP và BQ. Chứng minh rằng:
1, MI  PQ
2, Tiếp tuyến chung của đường tâm P tiếp xúc với MB và đường tròn tâm Q tiếp
xúc với MA luôn song song với một đường thẳng cố định khi M thay đổi.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VŨNG TÀU

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2004 – 2005


Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề).

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 10

Bài 1:
1, Giải phương trình:
5 x

5
2 x

 2x 

1
4
2x

2, Chứng minh không thể tồn tại các số nguyên x, y, z thoả mãn:
x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2005
Bài 2:
Cho hệ phương trình:
 x 2  xy a ( y  1)
 2
 y  xy a ( x  1)

1, Giải hệ khi a = - 1
2, Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 3:
1, Cho x, y, z  R thoả mãn:

x2 + y2 + z2 = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 2xy + yz + zx
2, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
x4 – 2x3 + 2(m + 1)x2 – (2m + 1)x + m(m + 1) = 0
Bài 4:
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). D là một điểm trên cung BC không chứa đỉnh
A. Gọi I, K, H lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BC, AB, AC. Đường
thẳng qua D song song với BC cắt đường tròn (O) tại N (N ≠ D); AN cắt BC tại M.
Chứng minh:
1, ∆DKI đồng dạng với ∆BAM
BC AB AC


2, DI DK DH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP. HCM
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2004 – 2005
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề).


Đề số 11

Bài 1:
Cho phương trình: x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a1, a2 và phương trình:
x + qx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b1, b2.

a  b (a  b )( a  b b  b )  q 2  p 2
Chứng minh:  1 1  2 1 1 1 2 2

Bài 2:
Cho các số a, b, c, x, y, z thoả mãn:
 x by  cz
 y ax  cz


 z ax  by
 x  y  z 0
1
1
1


2
Chứng minh: 1  a 1  b 1  c

Bài 3:
1, Tìm x, y thoả mãn:
5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + 2 = 0
2, Cho các số x, y, z thoả mãn:
x3 + y3 + z3 = 1
x2

Chứng minh:

1  x2



y2
1  y2



z2
1  z2

2

Bài 4:
Chứng minh rằng khơng thể có các số nguyên x, y thoả mãn phương trình:
x3 – y3 = 1993

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHỊNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2002 – 2003
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề).


Đề số 12
2 x  x2  1
2
Bài 1 (2đ): Cho biểu thức: P(x) = 3x  4 x  1

1, Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
2, Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x). P(- x) < 0
Bài 2 (2đ):
x 2  2(2m  1) x  3m 2  6m
 0 (*)
x 2
1, Cho phương trình:
2
a, Giải phương trình trên khi m = 3

b, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x 1, x2 thoả mãn:
x1 + 2x2 = 16
2, Giải phương trình:

2x
1 1


2
1 x
2 2x

Bài 3 (2đ):
1, Cho x, y là hai số thực thoả mãn: x2 + 4y2 = 1. Chứng minh rằng:

x y 

5
2

n2  4
2, Cho phân số: A = n  5 . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1 ≤ n ≤ 2004

sao cho A là phân số chưa tối giản ?
Bài 4 (3đ):
Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn
của hai đường tròn tiếp xúc với (O 1) tại A, tiếp xúc với (O 2) tại B. Tiếp tuyến của (O 1) tại
P cắt (O2) tại điểm thứ hai D khác P. Đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Chứng
minh rằng:
1, Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường tròn.
2, ∆BPR cân
3, Đường tròn ngoại tiếp ∆PQR tiếp xúc với PB và RB.
Bài 5 (1đ):
Cho ∆ABC có BC < CA < AB. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E sao cho
DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC bằng bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ADE.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2002 – 2003
Mơn thi: TỐN (Tốn Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề).


Đề số 13



x2 4 x 2  x24 x 2



4 4
 1
x2 x

Bài 1 (3đ): Cho biểu thức: A =
1, Rút gọn biểu thức A.
2, Tìm các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị là một số nguyên.
Bài 2 (3đ):
1, Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình:
x2 – (2m – 3)x + 1 – m = 0
Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 + 3x1. x2. (x1 + x2) đạt giá trị lớn nhất
2, Cho a, b là các số hữu tỉ thoả mãn:
a2003 + b2003 = 2. a2003. b2003
Chứng minh rằng phương trình x2 + 2x + ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ
Bài 3 (3đ):
BC
1, Cho tam giác cân ABC, góc A = 180 . Tính tỉ số AB
o

2, Cho hình quạt trịn giới hạn bởi cung trịn và hai bán kính OA, OB vng góc
với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, Phân giác của góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ
đường thẳng song song với OB cắt cung trịn ở C.
Tính góc ACD.
Bài 4 (1đ):

Chứng minh bất đẳng thức:
a2  b2 

a2  c2

 b c

Với a, b, c là các số thực bất kỳ.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHỊNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2001 – 2002
Môn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề).


Đề số 14
2 x  x2  1
2
Bài 1 (2đ): Cho biểu thức: P(x) = 3x  4 x  1

1, Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
2, Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x). P(- x) < 0
Bài 2 (2đ):
x 2  2(2m  1) x  3m 2  6m
 0 (*)
x 2

1, Cho phương trình:
2
a, Giải phương trình trên khi m = 3

b,Tìm tất cả các giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x 1, x2 thoả mãn:
x1 + 2x2 = 16
2, Giải phương trình:
Bài 3 (2đ):

2x
1 1


2
1 x
2 2x

1, Cho x, y là hai số thực thoả mãn: x2 + 4y2 = 1. Chứng minh rằng:

x y 

5
2

n2  4
2, Cho phân số: A = n  5 . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1 ≤ n ≤ 2004

sao cho A là phân số chưa tối giản ?
Bài 4 (3đ):
Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn

của hai đường tròn tiếp xúc với (O 1) tại A, tiếp xúc với (O 2) tại B. Tiếp tuyến của (O 1) tại
P cắt (O2) tại điểm thứ hai D khác P. Đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Chứng
minh rằng:
1, Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường tròn.
2, ∆BPR cân
3, Đường tròn ngoại tiếp ∆PQR tiếp xúc với PB và RB.
Bài 5 (1đ):
Cho ∆ABC có BC < CA < AB. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E sao cho
DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC bằng bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ADE.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP. HCM
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2004 – 2005
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề).


Đề số 15

Bài 1:
Cho phương trình: x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a1, a2 và phương trình:
x + qx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b1, b2.
a  b (a  b )( a  b b  b )  q 2  p 2
Chứng minh rằng:  1 1  2 1 1 1 2 2

Bài 2: Cho các số a, b, c, x, y, z thoả mãn:

 x by  cz
 y ax  cz


 z ax  by
 x  y  z 0
1
1
1


2
Chứng minh: 1  a 1  b 1  c

Bài 3:
1, Tìm x, y thoả mãn:
5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + 2 = 0
2, Cho các số x, y, z thoả mãn:
x3 + y3 + z3 = 1
x2

Chứng minh:

1  x2



y2
1  y2



z2
1  z2

2

Bài 4: Chứng minh rằng khơng thể có các số ngun x, y thoả mãn phương trình:
x3 – y3 = 1993

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2005 – 2006
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề).


Đề số 15

Bài 1 (3đ):
1, Giải phương trình: x  1  3x 2 x  1
2, Trong hệ trục toạ độ Oxy hãy tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm
2

M(x; y) thoả mãn điều kiện: y  5 y x  6 x 0
Bài 2 (2,5đ):
1, Cho phương trình: (m + 1)x2 – (m – 1)x + m + 3 = 0 (m tham số). Tìm tất cả

các giá trị của m để phương trình có nghiệm đều là các số nguyên.
2, Cho ba số x, y, z. Đặt a = x + y + z; b = xy + yz + zx; c = xyz. Chứng minh các
phương trình sau đều có nghiệm: t2 + 2at + 3b = 0 và at2 – 2bt + 3c = 0
Bài 3 (3đ): Cho ∆ABC
1, Gọi M là trung điểm của AC. Biết BM = AC. Gọi D là điểm đối xứng của B qua
A, E là điểm đối xứng của M qua C. Chứng minh: DM  BE.
2, Lấy một điểm O bất kỳ nằm trong ∆ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC,
CA, AB theo thứ tự tại các điểm D, E, F. Chứng minh:
OD OE OF


1
a, AD BE CF
AD  
BE  
CF 

1 
 1 
 1
 64
b,  OD   OE   OF 

Bài 4 (0,75đ):
Cho các đa thức: P(x) = x3 + ax2 + bx + c
Q(x) = x2 + x + 2005
Biết phương trình P(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt, cịn phương trình P(Q(x)) = 0 vơ
1
nghiệm. Chứng minh: P(2005) > 64

Bài 5 (0,75đ):
Có hay không 2005 điểm phân biệt trên mặt phẳng mà bất kỳ 3 điểm nào trong
chúng đều tạo thành một tam giác có góc tù.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 16

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2005 – 2006
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề).


Bài 1 (3đ):
Giải phương trình:
1,

x 2  2 x  3  x 2  3x  2  27

1
1
1


2
20
2, x( x  2) ( x  1)

Bài 2 (1đ):
Cho ba số a, b, c  R+ thoả mãn: ab > c và a3 + b3 = c3 + 1
Chứng minh rằng: a + b > c + 1
Bài 3 (2đ):
Cho a, b, c, x, y là các số thực thoả mãn các đẳng thức sau:
a  x  y
 3
3
3
b  x  y
c 5  x 5  y 5


Tìm đẳng thức liên hệ giữa a, b, c khơng phụ thuộc vào x, y.
Bài 4 (1,5đ):
Cho phương trình:
(n + 1)x2 + 2x – n(n + 2)(n + 3) = 0 (*)
Chứng minh rằng (*) có nghiệm là số hữu tỉ với mọi số nguyên m.
Bài 5 (2,5đ):
Cho đường trịn (O) và dây AB khơng đi qua O. M là điểm trên đường tròn sao cho
∆AMB nhọn. Đường phân giác của góc MAB và góc MBA cắt đường trịn (O) lần lượt tại
P và Q. Gọi I là giao điểm của AP và BQ. Chứng minh rằng:
1, MI  PQ
2, Tiếp tuyến chung của đường tâm P tiếp xúc với MB và đường tròn tâm Q tiếp
xúc với MA luôn song song với một đường thẳng cố định khi M thay đổi.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Chu Văn An – Hà Nội
ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 17

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2002 – 2003
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề


Bài 1 (2 điểm): Cho biểu thức

M

1
x 1

x



1
x 1 x



x3  x
x1

a) Tìm điều kiện tồn tại và rút gọn M.
b) Tìm giá trị của x khi cho M = 2.

c) Tìm giá trị nguyên dương của x để M có giá trị ngun.
Bài 2 (2 điểm):

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

1
4x  4x  3
2

b) Với những giá trị nào của x, y, z thì biểu thức D = 2x + 3y – 4z đạt giá trị nhỏ
nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:
2x  y  3z 6
(x, y, z  0)

3x  4y  3z 4

Bài 3 (1 điểm): Tổng các chữ số của một số có 3 chữ số bằng 7. Chứng minh rằng số đó
chia hết cho 7 khi và chỉ khi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng nhau. Tìm các
số có tính chất trên.
Bài 4 (3 điểm): Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ dây AC và BD lần lượt
bằng R và R 2 . Gọi E và F là chân đường vuông góc hạ từ A, B xuống đường thẳng CD.
a) Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AC và BD.
b) Tính EF theo R.
c) Chứng minh: SAEFB = SABC + SABD.
Bài 5 (2 điểm): Cho ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Từ một điểm D bất kỳ trên (O)
kẻ DM, DN lần lượt vng góc với đường thẳng AC và BC (M  AC, N  BC).
a) Chứng minh các tam giác ADB, MDN đồng dạng.
b) Xác định vị trí điểm D trên (O) để MN có độ dài lớn nhất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
YÊN BÁI
ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 18
Bài 1 (2,5đ):
Xét biểu thức:

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2092 – 2093
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề


2

P=

1
1
a +2
+
−
2( 1+ √ a) 2(1− √ a) 1− a3

1, Rút gọn P.
2, Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2 (2,5đ):
Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Sau đó một thời gian, xe con cũng

xuất phát từ A với vận tốc 40 km/h và nếu khơng có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ô tô tải tại
B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng tốc thành 45 km/h nên sau
đó 1h thì đuổi kịp xe tải. Tính qng đường AB.
Bài 3 (4đ):
Cho nửa đường trịn đường kính AB, trên đó có một điểm M. Trên đường kính AB
lấy điểm O sao cho OA < OB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M người ta vẽ
các tia Ax, By vng góc với AB. Đường thẳng đi qua M vng góc với MO cắt Ax tại P;
đường thẳng đi qua O vng góc với OP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của OP và AM,
E là giao điểm của OQ và BM.
1, Chứng minh: Các tứ giác AOMP, ODME nội tiếp được.
2, Chứng minh: AB // DE.
3, Chứng minh: Ba điểm P, M, Q thẳng hàng.
4, Ngoài điểm M ra các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn điểm
chung nào nữa không ? Tại sao ?
Bài 4 (1đ):
Giải phương trình:
2x4 – x3 – 5x2 + x + 2 = 0

THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)
Năm học 1998 – 1999
(120 phút)
Đề số 19
Bài 1 (2,5đ):
Cho biểu thức:
2 xy √ x +2 xy √ y
2 xy
2 xy
:
+
A = 1+

x + √ xy y + √ xy
√ x +√ y
1, Rút gọn A.

(

)(

)


2, Tìm m để phương trình A = m – 1, có nghiệm x, y thoả mãn √ x+ √ y=6
Bài 2 (2,5đ):
1, Tìm m để phương trình sau:
x2 – (2m + 1)x + m2 – 1 = 0
Có nghiệm x1, x2 sao cho: x12 + x22 = 5
2, Cho hàm số:
y = x2 – (2m + 1)x + m2 – 1 = 0.
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại hai điểm có hồnh độ x1, x2 thoả mãn:
x1 < 0; x2 > 0 và x1 > 2‫ ׀ ׀‬x
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O) và điểm A cố định thuộc (O). Hai điểm B và C chuyển động
trên đường trịn (O) sao cho góc BAC =
không đổi (
> 90o). Qua B dựng một tia
song song với tia AC, qua C dựng một tia song song với tia AB, hai tia này cắt nhau ở D.
Gọi E là trực tâm tam giác BCD, F là trực tâm tam giác ABC và I là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:
1, Độ dài dây BC không đổi.
2, Điểm E cố định.

3, Ba điểm I, E, F thẳng hàng.
4, Điểm I thuộc một đường tròn cố định.
Bài 4 (1đ):
Cho các số dương x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 ≥ 1. Chứng minh:
x3 y3 z3
+ + ≥1
y z x

THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Đề số 20
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức:
P=

1+ √ x
1
:
x √ x + x + √ x √ x − x2

1, Tìm điều kiện của x để P có ý nghĩa và hãy rút gọn P.