De cuong on thi

Ôn tập hè Lớp 7 lên 8
Chuyên đề 1 :

Các phép tính trên tập hợp số hữu tỉ.

I. Nhng kin thức cần nhớ
1. Định nghĩa: Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng

a
b

với a, b

Z; b

0.

Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là Q.
2. Các phép tốn trong Q.
a) Cộng, trừ số hữu tỉ:
a
m

b
m
a b a+ b
x+ y= + =
;
m m
m

Nếu x= ; y= (a ,b ,m ∈ Z , m≠ 0)
Thì

a
b
a−b
x − y=x+(− y)= +(− )=
m
m
m

b) Nhân, chia số hữu tỉ:

a
c
a c a. c
b
d
b d b.d
a
c
1 a d a.d
x= ; y = ( y ≠ 0) thì x : y=x . = . =
b
d
y b c b.c

* Nếu x= ; y = thì x . y = . =
* Nếu

Thương x : y còn gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu

x
(hay x : y)
y

Chú ý:
+) Phép cộng và phép nhân trong Q cũng có các tính chất cơ bản như phép cộng và
phép nhân trong Z
+) Với x
Q thì
|x|=¿ x nêu x ≥0
− x nêu x <0
¿{

Bổ sung:
* Với m > 0 thì
|x||x|>m ⇔
x> m
x <− m
¿{
x . y=0 ⇔
x=0
y=0
¿{
x ≤ y ⇔ xz ≤ yz voi z >0
x ≤ y ⇔ xz ≥ yz voi z <0

II. Bài tập

Bài 1. Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí

11
17 5 4 17
− − + +
125 18 7 9 14
1
2
3
1
1
1
b) 1− +2 − +3 − + 4 − −3 − −2 − − 1
2
3
4
4
3
2

a)

Bài làm.
a)

11
17 5
17 4 11
1 1 11
+

− −
− =
+ − =
125 14 7
18 9 125 2 2 125

(

)(

)

1


b) (−1+1)+(− 2+ 2)+(−3+3)+ 4 −

( 12 + 12 )− ( 23 + 13 )− ( 34 + 14 )=4 − 1− 1− 1=1

Bµi 2 TÝnh:
A = 26 :

[

3 :(0,2 −0,1)
(34 , 06 −33 , 81)× 4
+
2,5 ×(0,8+1,2) 6 , 84 :(28 ,57 − 25 ,15)

]

2

4

+ 3 : 21

Bài làm
3: 0,1
0 ,25 × 4
7
+
+
2,5× 2 6 , 84 :3 , 42 2
30 1 7
13 7
2 7
1
¿ 26 :
+ + =26 : + =26 × + =7
5 2 2
2 2
13 2
2
A=26 :

[

[

]

]

*Bài tập luỵên
Bi 1: Thc hin phộp tớnh :
a)

1 1
;
39 52

b)

 6  12

;
9
16

c)

2 3

;
5 11

d)

5

 0, 75
12
;

e)

5
1 5 1
12  5
7
2 7 2

Bµi 2 : Thực hiện phép tính
2 7

b) 5 21
1  5
1  

f ) 9  12 

1 1

a) 3 4
 16 5

e) 42 8
 35 
  42 



i)
2 1

o) 21 28
 1  5 1
 2  
s) 12  8 3 


9

12

0,75  2

k)

3 5

c) 8 6
 4
0, 4    2 
 5
g)

1
3

2 5


p) 33 55
1 
1
 1,75    2 
18 
 9
t)

2  4  1
     
v) 5  3   2 

3

x) 12

15  1

d) 12 4
 4,75  1

h)

7
12

1
1
1

 1    2,25
3  2
4
m) 4
n) 2
3
4
 7 3 17
2
 
69
q) 26
r) 2 4 12
5  3 1
    
u) 6  8 10 

 6 3
 15  10 



Bµi 3. Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
 3
1,25.   3 
 8
a)
1 11
 2 .2
7 12

e)

i)

  3,8    2


 9 17
.
b) 34 4
4  1
.  3 
21
 9
f)
9 
28 

8 1
.1
k) 15 4

 20  4
.
c) 41 5
 4   3
  17  .   6 8 
 

g) 

2 3
2 .
m) 5 4

 6 21
.
d) 7 2

h)
1

n)

  3,25 .2

10
13

1  1
. 2
17  8 

Bµi 4. Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
5 3
:
a) 2 4
6 
 1 
  3 7  :   1 49 


 


1  4
4 :  2 
b) 5  5 
2  3
2 : 3 
g) 3  4 

 3
1,8 :   
 4
c)
3  5
1 : 5 
h) 5  7 

2

 12 34
:
e) 21 43
3
  3,5 :   2 
 5
i)

17 4
:

d) 15 3

f)


1 4 
1
1 6  7 
18  5   3 
 1 . .   11 
 3 . . 
.  1  :   6 

3  m)
7 55  12 
k) 8 51 
n) 39  8   4 
 1   15  38
 2 9 3   3
  6  .   19  . 45
2 . .  : 


 

q)  15 17 32   17 

2  4 5
:   5  .2
o) 15  5  12 p)

4. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ( tÝnh nhanh nÕu cã thÓ )
 1  1  1 7 
     
24
 4  2 8 
a)
 1  3  1 1
           
c)  2   5   9  71

 2 4 7
  7   35  18



 5 7   1  2 1 
 7  5    2    7  10  
 


b) 
1 2 
1 6

3 4  3    5 3  5  
 

d) 

1 2 
1
3 5 
2 1

 5  5  9    2  23  2 35  6    8  7  18 
 
 
 f)
e) 
5  5  13 1  5 
3  2
  
     1  1    

g) 7  67  30 2  6  14  5 
h)
 3 5 2  1 8 2
  :  2  :
i)  4 13  7  4 13  7

7 3

6 4  2 



1 3  3 1 2 1 1
  
  


3 4  5  64 9 36 15
3 1 1 3 1
1 
:    :  1 
5  15 6  5  3
15 

2 8 1 2 5 1

  12. 7  9 : 3 2  7 . 18  .3 2

m) 
5
5
 5
 8 11  3 8   3 11

q) 

 1 13  5  2 1  5
 :
 
:  
k)  2 14  7  21 7  7
3
3
1  5
1
 3

11   2  5 
 13 5  4 4   8 5
4

n) 
p) 4  7
4  1
5  1
1
9
2
:  6 : 
.13  0,25.6
9  7
11
11
u) 4
v) 9  7 

2
 1 3
 4.   
 2 4
a) 3
 5  3  13  3
  9  . 11    18  . 11


c)  

 1 5
  3  6  .11  7

b) 
  2  3   16  3
 3  . 11   9  . 11


d)  

  1  2  7  2 
.  
  .   
e)  4   13  24  13 

  1 3  5   3 
 .   .  
f)  27  7  9   7  g)

5.Thùc hiÖn phÐp tÝnh

 1 3 2  4 4 2
  5  7  : 11    5  7  : 11





*N©ng cao
Bài 1: Rút gọn biểu thức:

27.93
;
5 2
a) 6 .8

63  3.62  33
b)
;
 13

54.204
c) 5 5 ;
25 .4

(54  53 )3
d)
;
1254

Bµi 2 . Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
1 1
1 1
1 2
1 2
2
a. 1 .2  1 .
b. .
 4 .

2 3

3 2
9 145
3 145 145
7 1 1
1
2 1

c.   2  : 2 
:2 2 :2
9 7
 12  7 18 7
7  3 2 
8   5   10
8
d.
:  1   :8  
.
2 
80  4  9 
3  24  3
15 

2

Bµi 3 . Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

1 1 1 1
1
1
+ 3 + 4 +.. .+ 2004 + 2005

2
3 3 3 3
3
3

a, B= +

3

2

e) (2,5  0, 7) ;

f)

32  392
7 2  912 1


b, A=1+5+52 +53+54+…+549+550
1
1
1
1
 1).( 2  1).( 2  1)...(
 1)
2
3
4
1002

c, A=( 2

d, A=2100 -299 +298 -297 ++22 -2

Chuyên đề2:Các bài toán tìm x ở lớp 7

A.Lý thuyết:
Dạng 1: A(x) = m (m Q) hoặc A(x) = B(x)
Cách giải:
Quy tắc : Muốn tìm x dạng: A(x) = B(x)
-Ta thực hiƯn c¸c phÐp tÝnh ë tõng vÕ (nÕu cã).
-Chun c¸c số hạng chứa x sang một vế,các số hạng không chứa x( số hạng đà biết )
chuyển sang vế ngợc lại.
-Tiếp tục thực hiện các phép tính ở từng vế (nếu có).Đa đẳng thức cuối cùng về một
trong các dạng sau:
1. x có một giá trị kiểu: ax = b ( a 0) x=
2. x không có giá trị nào kiÓu: ax = b ( a = 0)
3. x cã vô số giá trị kiểu: ax = b ( a = 0, b = 0)
Sau đây là các ví dụ minh ho¹:
D¹ng 2: |A(x)| = B ; ( B ≥ 0)
Cách giải:
Công thức giải nh sau:
|A(x)| = B ; ( B 0)
Dạng 3 :|A(x)| = B(x)
Cách giải:
Công thức gi¶i nh sau:
1. |A(x)| = B(x) ; (B(x)  0) 

4

2. |A(x)| = B(x) ; (B(x) <0)  x kh«ng có giá trị nào.
Dạng 4: + |B(x)| =0
Cách giải:
Công thức giải nh sau:
+ |B(x)| =0
Dạng5: |A(x)| = |B(x)|
Cách giải:
|A(x)| = |B(x)| 
D¹ng 6: |A(x)|  |B(x)| = c (c 0 ; c Q)
Cách giải:
Ta tìm x biết: A(x) = 0 (1) giải (1) tìm đợc x1 = m .
Và tìm x biết: B(x) = 0 (2) giải (2) tìm đợc x2= n.
Rồi chia khoảng để phá dấu GTTĐ ( dấu giá trị tuyệt đối)
TH1 : Nếu m > n x1 > x2 ; ta có các khoảng sau đợc xét theo thứ tự trớc sau: x< x2 ;
x2 x < x1 ; x1 x .
+ Víi x< x2 ta lấy 1 giá trị x = t (t khoảng x< x2;t nguyên cũng đợc) thay
vào từng biểu thức dới dấu GTTĐ xem biểu thức đó dơng hay âm để làm
căn cứ khử dâú GTTĐ để giải tiếp.
+Với:x2 x < x1 hoặc x1 x ta cũng làm nh trên.
TH2 : NÕu m < n  x1 < x2 ; ta có các khoảng sau đợc xét theo thứ tự tríc sau: x< x1 ;
x1 x < x2 ; x2 x .
+ Với x< x1 ta lấy 1 giá trị x = t (t khoảng x< x1;t nguyên cũng đợc) thay
vào từng biểu thức dới dấu GTTĐ xem biểu thức đó dơng hay âm để làm
căn cứ khử dâú GTTĐ để giải tiếp.
+Với:x1 x < x2 hoặc x2 x ta cũng làm nh trên
Chú ý:
1. Nếu TH1 xảy ra thì không xét TH2 và ngợc lại ;vì không thể cùng một lúc xảy ra 2
TH
2. Sau khi tìm đợc giá trị x trong mỗi khoảng cần đối chiếu với khoảng đang xét xem

x có thuộc khoảng đó không nếu x không thuộc thì giá trị x đó bị loại.
3. Nếu có 3;4;5Biểu thứccó dấu GTTĐ chứa x thì cần sắp xếp các x1;x2;x3;x4;x5;
Theo thứ tự rồi chia khoảng nh trên để xét và giải.Số khoảng bằng số biểu thức
có dấu GTTĐ+1
Dạng 7:(biểu thức tìm x có số mũ) Dạng n = m hoặc
A(x) = mn
B. Bài tập:
DNG 1 :

Bi 1. Tìm x, biết:
11
5
15 11
−
− x =−
−
13 42
28 13

(

a)

) (

)

;

11

5
15 11
−
− x =−
−
13 42
28 13
11 5
15 11
− + x=− +
13 42
28 13
15 5
x=− +
28 42
5
x=−
12

(

) (

)

5


Bài 2. T×m x, biÕt:
1

2

( −1 )

3

a. x+ 3 = 5 − 3
KQ: a) x =

2
;
5

1

( 3)

b. 7 − x= 4 5
b) -

59
140

*Bài tập luyện
Bi 1: Tìm x biÕt
x

3 2
 ;

10 15

b) x 

5 2
 
6 5

 2
 ;
 3 

c)

13  3
 
20  5

 5
x 
 8

Bài 2:T×m x biÕt
3
31
a ) x :  1 ;
8
33
* N©ng cao

2
3 4
b) 1 x   ;
5
7 5

c) 

11
5
x  0, 25 
12
6

Tìm x, biết
a) x+ (x+ 1) +( x+ 2)+ …+(x+2003) = 2004
1 
3 
3
2   x    3   .x
2 
2
b) 3 
3 
2
2
5
:  x  1   5 2
3
3

3
c) 2 
D¹ng 2

6
7
 2 4
  2 x  : 3  1 7
5
 5 5
d)  2

Bài 1: ×m x biÕt
a)|x–1,7|=2,3;
b)

|x +154 |−|− 3 ,75|=−|−2 , 15|

Gi¶i
x

4
4
4
  3,75   2,15  x 
 3,75  2,15  x 
 2,15  3,75
15
15
15

4
4


x


1,6
x



4
5
3
x
1,6  

15
 x  4  1,6
 x  28

5
15


a)

x – 1,7 = 2,3

x- 1,7 = -2,3
x= 2,3 + 1,7
x = -2,3 + 1,7
x=4
x = -0,6
Bµi 2 : T×m x
a)

x

3 1
 0;
4 3

b) |x − 1,5|=2

1
c ) x 3 ;
2

e)

d) x 

7
5
3

|x + 34|− 12 =0

Bµi 3 T×m x
6


a. x 5,6

b. x 0

c. x 3

d. x  2,1

d. x  3,5 5

e. x 

f. 4x   13,5  2

1
4

h. x 

2 1 3
 
5 2 4

g.

3 1

 0
4 2

5
1
 2 x 
6
3

i. 5  3x 

k.  2,5  3x  5  1,5

m.

1
5

2 1

3 6

1 1
1
 x
5 5
5

* Bài tập nâng cao:

Bi 1:Tìm x
a)
b)
c)
d)
e)

3 x  4  3 y  5 0

x+

19
1890
+ y+
+ z - 2004 = 0
5
1975

x+

9
4
7
+ y+ + z+ £ 0
2
3
2

x+

3
1
+ y+ x +y +z =0
4
5

x+

3
2
1
+ y+ z+ Ê 0
4
5
2

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
3
1
A= xA = 2x + 107
B = 1,5 + 2 - x
4
3
a)
; b)
;c)
; M=5 -1
1
1
1

B= x+ + x+ + x+
2
3
4 ; e) D = + ; B = + ;
g) C= x2+ -5
h) A =3,7 + ; i) B = -14,2 ; k) C = + +17,5
n) M = +
*Dạng 3

Bi 1:Tìm x
a) (x – 2)2 = 1 ;

b) ( 2x – 1)3 = -27;

16
1
n
c) 2

Bài 2: Tính x2 nếu biết: x 3 ; x 8
* Bài tập nâng cao:
Bài 1:T×m x biÕt
a) 3 =
b) 2 =
c) x+2 = x+6 vµ xZ

7

d)

Bµi 2 : Tìm x, biết :
a)

x  4 ; (x  1)2 1;

x  1 5

Bµi 3 : Tìm x, biết
2

2

x  2  y  3 0

 

a)
b) 5(x-2).(x+3)=1
b) -(x-y)2=(yz-3)2

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của c¸c biĨu thøc sau:
a; A = 2 ;

B = 2+ 2

C= x2+ -5

DẠNG 4: TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.

Bài 1: Tìm hai số x, y biết :
x y

a) 3 5 và x + y = 16
a b c
 
c) 2 3 4 và a + 2b – 3c = -20
x 2
x 9
a)
 ; b)

27 36
4 x
Bài 2:

b) 7x = 3y và x – y = – 16.
a b b c
 , 
d) 2 3 5 4 và a – b + c = – 49.:

*N©ng cao
x  1  60

1, a .  15 x  1

2 x 1 3 y  2 2 x  3 y  1


7

6x
b. 5

x 1 x 2 x 3 x 4



2) T×m x biÕt : 2009 2008 2007 2006

a 9
a1 1 a 2 2

9
8
1
3, Tìm các số a1, a2, ...,a9 biÕt: 9
vµ a1 + a2 + ...+ a9 = 90
x 2
x4

x 1
x 7
31  2 x
9
6,

x  23
4
x
 1, 64

8,

8, 51
 3,11
4,

10,

2
3
3
2 : 2
5
7
5
x 3
2
7,

8
x 3
3x  2
3x  1
9,

5x  7
5x  3

5,  3 x 2 :1

2x 1
18

1
5
2

Chuyên đề 3 :

tỉ lệ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau

I Tóm tắt lý thuyết:
a c
=
+ Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai tỉ số: b d hoặc a:b = c:d.
- a, d gọi là Ngoại tỉ. b, c gọi là trung tỉ.
+ Nếu có đẳng thức ad = bc thì ta có thể lập8được 4 tỉ lệ thức :
a c a b b d c d


2/ Bài tập:
Bµi tËp
Bài 1: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:

41
10 = x
x
0,15
11
6,32

- 2,6 - 12
9
7,3
=
=
=
3,15
7,2
10,5
x
42 ; c)
a)
; b) x
; d) 4
;
e) 2,5:x = 4,7:12,1
Bài 2: Tìm x trong tỉ lệ thức:
x- 1 6
x- 2 x +4
x 2 24
=
=
=
x
+
5
7
x
1
x +7

6
25
a)
;
b)
;
c)

x
y
=
Bài 3: Tìm hai số x, y biết: 7 13 vaø x +y = 40.
a a +c
a c
=
=
Baøi 4 : Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức b d (Với b,d  0) ta suy ra được : b b + d .
Bài 5 : Tìm x, y biết :
x 17
x2 y2
x
y
=
=
=
3 vaø x+y = -60 ; b) 19 21 vaø 2x-y = 34 ; c) 9 16 vaø x2+ y2 =100
a) y
Bài 6 : Ba vòi nước cùng chảy vào một cái hồ có dung tích 15,8 m3 từ lúc không có nước
cho tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian chảy được 1m3 nước của vòi thứ nhất là 3 phút, vòi
thứ hai là 5 phút và vòi thứ ba là 8 phút. Hỏi mỗi vòi chảy được bao nhiêu nước đầy hồ.

HD : Gọi x,y,z lần lượt là số nước chảy được của mỗi vòi. Thời gian mà các vòi đã
chảy vào hồ là 3x, 5y, 8z. Vì thời giản chảy là như nhau nên : 3x=5y=8z
Bài 7 : Ba học sinh A, B, C có số điểm mười tỉ lệ với các số 2 ; 3 ; 4. Biết rằng tổng số
điểm 10 của A và C hơn B là 6 điểm 10. Hỏi mỗi em coự bao nhieõu ủieồm 10 ?

**Bài tập nâng cao
Bài;1Tìm các số tự nhiên a và b để thoả mÃn 5 a+7 b =29
6 a+5 b 28

vµ (a, b) = 1

Bài:2: Tìm các số tự nhiên a, b, c, d nhá nhÊt sao cho:
a 3
=
b 5

b 12
=
c 21

;

c 6
=
d 11

;

Bµi;3:Chøng minh r»ng nÕu a = c
b

d

th×

5 a+3 b 5 c +3 d
=
5 a − 3 b 5 c −3 d

cã nghÜa).
bz −cy cx − az ay − bx
=
=
a
b
c
Chøng minh r»ng: a = b = c
x y z

Bµi;5: BiÕt

Bµi:6:Cho tØ lƯ thức a = c
b

d

. Chứng minh rằng:

9

(giả thiết các tỉ sè ®Ịu


ab a2 b 2
=
cd c 2 d 2

Bài:7:Tìm x, y, z biÕt:
x y
=
2 3

;

a+b 2 a2 +b 2
= 2 2
c+ d
c +d

( )

vµ

y z
=
4 5

vµ

x 2 − y 2 =16

Bài; 8:Tìm x, y, z biết 3 x = 3 y = 3 z

vµ 2 x 2 +2 y 2 − z 2=1
8 64 216
2
2
Bµi;9: CMR: nÕu a = c th× 7 a2 +5 ac = 7 b2 +5 bd (Giả sử các tỉ số đều có nghĩa).
b d
7 a − 5 ac 7 b −5 bd
a+ b ¿2
¿
c +d ¿2
a c
=
Bµi:10: Cho
. Chøng minh r»ng:
¿
b d
¿
ab
=¿
cd
Bµi:11:BiÕt bz −cy =cx − az =ay − bx
a
b
c
Chøng minh r»ng: a = b = c
x y z
Bài:12:Cho a, b, c, d khác 0 tho¶ m·n: b2 = ac

; c2 = bd.

a3 +b 3+ c 3 a
=
3
3
3
b +c +d d

Chøng minh r»ng:

Bµi;13: Cho a, b, c khác 0 thoả mÃn: ab = bc = ca
a+b

b+ c

c +a

ab+ bc+ ca
Tính giá trị của biểu thức: M = 2 2 2
a + b +c

Bài:14: Tìm tỉ lệ ba đờng cao của tam giác biết rằng nếu cộng lần lợt độ dài từng cặp
hai cạnh của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8.
Bài:15: Tìm x, y, z biết rằng: 4x = 3y ; 5y = 3z vµ 2x - 3y + z =6
Bµi:16: Cho tØ lƯ thøc: a = c
b

d

. Chøng minh r»ng ta cã:

2002 a+2003 b 2002 c+2003 d
=
2002 a 2003 b 2002 c 2003 d

Bài:17: Tìm x, y biÕt r»ng 10x = 6y vµ 2 x 2 − y 2=− 28
Bµi:18:Cho biÕt a = c . Chøng minh: 2004 a − 2005b =2004 c − 2005 d
b

d

2004 a+ 2005b

2004 c+ 2005 d
2
2
Bµi:19: Cho a, b, c lµ ba số khác 0 và a2 = bc. Chứng minh rằng: a2 +c 2 = c
b +a b

Chuyên đề 4:: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
I/ HÖ thèng lý thuyÕt

1/ Nêu quy tắc cộng hai số nguyên ( cùng dấu ; khác dấu )
2/ Nêu quy tắc nhân dấu , chia dấu ( cùng dấu , khác dấu )
3/ Nêu quy tắc chuyển vế ; quy tắc bỏ dấu ngoặc

1

4/ Đơn thức là gì ? Hai đơn thức đồng dạng? Nêu quy tắc cộng hai đơn thức đồng
dạng ?
5/ Nêu quy tắc nhân hai đơn thức ?
6/ Đa thức là gì ? Nêu quy tắc cộng trừ hai đa thức ?
Các dạng toán : Nêu các bước làm từng dạng tốn sau
Dạng 1: Tính hay thu gọn biểu thức ; cộng trừ đa thức một biến
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức
Dạng 3:Tìm nghiệm của đa thức f (x )
Dạng 4: Tìm bậc của đa thức , hệ số cao nhất , hệ số tự do của đa thức một biến
Dạng 5 : Kiểm tra xem x =a có là nghiệm của đa thức P (x ) hay khơng ?
Dạng 6: Chứng minh đa thức khơng có nghiệm ?

II/ BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức sau tại x = 1; y = -1; z = 3
2x 2 y
xyz  2
2
y 1
a) (x y – 2x – 2z)xy
b)
Bài 2: Thu gọn các đơn thức:
 1 
2
2
  xy  .(3x yz )
a)  3 
b) -54y2 . bx ( b là hằng số)

2

 1
 2x y    x(y 2 z)3
 2
c)
2

1
x
4
Bài 3: Cho hai đa thức :
1
g(x) 5x 4  x 5  x 2  3x 2 
4
a) Hãy thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên.
b) Tính f(x) + g(x) và f(x) - g(x)
Bài 4: Cho đa thức f(x) = -15x3 + 5x4 – 4x2 +8x2 – 9x3 – x4 + 15 – 7x3
a) Thu gọn đa thức trên.
b) Tính f(1) ; f(-1)
f (x) x 5  3x 2  7x 4  9x 3 

đơn thức: Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số.
 5
 2

x3 .   x 2 y  . x3 y 4 
 5
;
A=  4

 3 5 4
2
  x y  . xy

B=  4

  .  89 x y

đa thức : Bài tập áp dụng : Thu gọn đa thức, tìm bậc, hệ số cao nhất.
A 15x 2 y 3  7 x 2  8 x3 y 2  12 x 2  11x3 y 2  12 x 2 y 3
1
3
1
B 3 x 5 y  xy 4  x 2 y 3  x 5 y  2 xy 4  x 2 y 3
3
4
2

giá trị của đa thức ( biểu thức):
Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Tính giá trị biểu thức
1
1
x  ; y 
2
3
a. A = 3x3 y + 6x2y2 + 3xy3 tại

b. B = x2 y2 + xy + x3 + y3 tại x = –1; y = 3

Bài 2 : Cho đa thức
P(x) = x4 + 2x2 + 1;

1

2 5





Q(x) = x4 + 4x3 + 2x2 – 4x + 1;
1
Tính : P(–1); P( 2 ); Q(–2); Q(1);

Cộng, trừ đa thức nhiều biến:
Bài tập áp dụng:
Bài 1 : Cho đa thức :
A = 4x2 – 5xy + 3y2;
B = 3x2 + 2xy - y2
Tính A + B; A – B
Bài 2 : Tìm đa thức M,N biết :
a. M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2
b. (3xy – 4y2)- N= x2 – 7xy + 8y2
Cộng trừ đa thức một biến:
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho đa thức
A(x) = 3x4 – 3/4x3 + 2x2 – 3
B(x) = 8x4 + 1/5x3 – 9x + 2/5
Tính : A(x) + B(x);

A(x) - B(x);
B(x) - A(x);
Bài 2: Cho các đa thức P(x) = x – 2x2 + 3x5 + x4 + x
Q(x) = 3 – 2x – 2x2 + x4 – 3x5 – x4 + 4x2
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.
b) Tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x).
c) Chứng minh rằng x = 0 là nghiệm của P(x) nhưng không là nghiệm của Q(x)
nghiệm của đa thức 1 biến :
Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Tìm nghiệm của đa thức f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x - x4+2x2-x3 +8x-x3-2
Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau.
f(x) = 3x – 6;
h(x) = –5x + 30
g(x)=(x-3)(16-4x)
Bài 3 : Cho đa thức P(x) = mx – 3. Xác định m biết rằng P(–1) = 2
Bài 4 : Cho đa thức Q(x) = -2x2 +mx -7m+3. Xác định m biết rằng Q(x) có nghiệm là -1.

*Bµi tËp lun
BÀI 1: Tính giá trị của biểu thức: A = 4x2 - 3x -2 taïi x = 2 ; x = -3 ; B = x2 +2xy3x3+2y3+3x-y3 taïi x = 2 ; y = -1
x2+2xy+y2 taïi x= 2; y = 3; C= 3x2 -2x- 5 tại x= 5/3
BÀI 2: Tính:

5 2
2
2
a) A=4 x y −0,5 x y+ 2 x y

b)

3

B= x 2 y 3 +2 x2 y 3 − 1,5 xy +4 xy
4

BÀI 3: Trong các đơn thức sau: a, b là các hằng số, x, y là các biến:
3
− by ¿
3
3
bx
¿
2ay
1
4
1
A= ax . x 2 y ;
− xy ¿3 . ¿ ; D=
3
B=− ¿ ;
3
5
4
4
C=ax ¿

1

3 2 3
4
xy z .(− xy)
8

15


1

6

2

12

2

4

E = 4 x . y . 5 x .y
a) Thu gọn các đơn thức trên
b) Xác định hệ số của mỗi đơn thức
c) Xác định bậc của mỗi đơn thức đối với từng biến và bậc của mỗi đa thức
BÀI 4: Cho A = x3y
B = x2y2
C = xy3
Chứng minh rằng: A.C + B2 – 2x4y4 = 0
BÀI 5: Cho hai đa thức: A = 15x2y – 7xy2 –6y3
B = 2x3 –12x2y +7xy2
a) Tính A + B và A - B
b) Tính giá trị của đa thức A + B , A – B với x = 1, y = 3
Bài 6: Cho đa thức A = x2-2y+xy+1; B = x2+ y- x2y2 –1
Tìm đa thức C sao cho : a. C = A + B
b. C+A = B

1 3 2
5
BÀI 7: Cho hai đa thức: f(x) = 2 x − 4 x − 3 x − x =1

g(x) = x 6 − x2 +3 x − x3 +2 x 4
a) Tính f(x) + g(x) sau khi sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến
b) Tính f(x) - g(x)
BÀI 8: Cho đa thức
f(x) = 2x3+ x2- 3x – 1
g(x) = -x3+3x2+ 5x-1
h(x) = -3x3 + 2x2 – x – 3
a) Tính P(x) = f(x)- g(x); R(x) = P(x) + h(x)
b) Tìm nghiệm của đa thức R(x)
BÀI 9: Cho đa thức
f(x) = x3-2 x2+7x – 1
g(x) = x3-2x2- x -1
Tính f(x) - g(x); f(x) + g(x);
BÀI 10: Tính GT của A = xy+x2y2+x3y3 +………..+ x10y10 tại x = -1; y = 1
BÀI 11: Cho các đa thức A = -3x2 + 4x2 –5x +6
B = 3x2 - 6x2 + 5x – 4
a) Tính C = A + B; D = A – B; E = D – C
b) Tính giá trị của các đa thức A, B, C, D, E tại x = 1
BÀI 12: Tìm nghiệm của các đa thức
2
2
c) −6 x + 3 d) − 3 x +3
e) (x – 3)(x + 2)
f) (x – 1)(x2 + 1) g) ( 5x+5)(3x-6)
h) x2 + x
g) x2 – 1

i) x2 + 2x + 1
k) 2x2 + 3x – 5
l) x2 - 4x + 3 m) x2 + 6x + 5
n) 3x(12x - 4) - 9x(4x -3) = 30
p) 2x(x - 1) + x(5 - 2x) = 15
BÀI 13: Chứng tỏ rằng hai đa thức sau không có nghiệm
a) P(x) = x2 + 1
b) Q(x) = 2y4 + 5
c) H(x) = x2 +2x+2
d) D(x) = (x-5)2 +1
BAØI 14: Cho đa thức: f(x) = x3 + 2x2 + ax + 1
Tìm a biết rằng đa thức f(x) có một nghiệm x = -2
Bài 15: Thu gọn các đơn thức sau :

a) -3x + 12

1
b) 2 x − 3

1


  3x3 y 2 z  .   13 xy 2 
a./
2

 1 3  1 2 4
  x y  .5 x y
c./  2  2

2

2
1
axy 2 .   2 x 2 yz 
b./ 6

1
2 x 2 y 2 . xy 3 ( 3 xy)
4
d./

Bài 16: Cho các đa thức sau :
P(x) = x2 + 5x4- 3x3+ x2+ 4x4+ 3x3- x+ 5
Q(x) = x- 5x3 - x2- x4+ 4x3- x2+ 3x – 1
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm của biến.
b) Tính P(x) +Q(x) và P(x) - Q(x)
Bài 17: Cho các đa thức :
1

P(x) = 3x5+ 5x- 4x4 - 2x3 + 6 + 4x2

Q(x) = 2x4 - x + 3x2 - 2x3 + 4 - x5
a) Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm của biến.
b) Tính P(x) + Q(x) ;
P(x) - Q(x)
c)Chứng tỏ rằng x = -1 là nghiệm của P(x) nhưng khơng phải là nghiệm của Q(x)
Bài 18: Tìm nghiệm của đa thức:
1

a) 4x - 2
;
b) (x-1)(x+1)
c) x2 - 3x + 2.
Bài 19: Cho các đa thức :
A(x) = 5x - 2x4 + x3 -5 + x2
B(x) = - x4 + 4x2 - 3x3 + 7 - 6x
C(x) = x + x3 -2
a)Tính A(x) + B(x) ;
b) A(x) - B(x) + C(x)
c)Chứng tỏ rằng x = 1 là nghiệm của A(x) và C(x) nhưng khơng phải là nghiệm của
B(x).
Bµi 20: Thu gọn các đa thức sau
a, x(4x3 - 5xy + 2x)
g, (x2 - xy + y2)2x + 3y(x2 - xy + y2)
b, - 2y(x2 - xy + 1)
h, 5x(4x2- 2x+1) – 2x(10x2 - 5x - 2)
c, (x - 2)(x + 2)
i, 5x(x-4y) - 4y(y -5x)
2
2
d, x (x + y) + 2x(x + y)
e, x2(x + y) - y(x2 - y2)
*BÀI TẬP NÂNG CAO
Câu 1: Tìm nghiệm của đa thức sau:
a/ x2 -4
b/ x2+ 9
c/ ( x- 3) ( 2x + 7 )
d/ |x| +x
e/ |x| - x

Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a/ (x – 3,5)2+ 1
b/( 2x – 3)4 – 2
Câu 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
a/ √ 2 - x2 : b/ -( x - √ 3 )2 + 1
Câu 4: Cho P(x) = 100x100 +99x99 + 98x98 + … + 2x2 + x . Tính P(1)
Câu 5: Cho P(x) = x99 – 100x98 +100x97 – 100x96 +… +100x – 1
Tính P(99)
HÌNH HỌC
LÝ THUYẾT:
1/ Thế nào là hai đường thẳng song song? Phát biểu định lý của hai đường thẳng
song song
2/ Nêu dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song?
1


3/ Phát biểu định lý về tổng ba góc trong một tam giác , Tính chất góc ngồi của
tam giác
4/ Phát biểu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác , của hai tam giác
vuông?
5/ Phát biểu định lý quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ? Các bất đẳng thức tam
giác
6 Phát biểu định lý quan hệ giữa đường vng góc và đường xiên, đường xiên và
hình chiếu
7/ Phát biểu định lý quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
8/ Nêu định, nghĩa tính chất các đường đồng quy của tam giác
9/ Nêu định nghĩa, tính chất , dấu hiệu nhận biết tam giác cân, tam giác đều, tam
giác vuông
10/ Phát biểu định lý pitago ( thuận , đảo)
11/ Phát biểu tính chất tia phân giác của một góc.

12/ Phát biểu tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
BÀI TẬP
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1 : Cho hình vẽ sau
biết A 140 ,B 70 ,C 150 .
Chứng minh rằng Ax // Cy
0



0





0

0

Biết A  B  C 360 .
Chứng minh rằng Ax // Cy






A

x

Bài 2 : Với hình vẽ sau.

a

B

350

y
C

x

Bài 3 : Tính số đo x của góc O ở hình sau :

b

1400
A
D

I

B

E

C

Bài 4 : Cho tam giác nhọn ABC, Kẻ AH vuông góc BC. Tính chu vi của tam giác
ABC biết
AC = 20cm, AH = 12cm, BH = 5cm

Bài 5 : Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông cân có cạnh huyền
A
bằng:
a) 2cm
b) 2 cm
Bài 6: Cho hình vẽ sau trong đó AE  BC .

5

4

B
9

1

E

C


Tính AB biết AE = 4m, AC = 5m, BC = 9m.

Bài 6: Cho tam giác ABC vng tại A . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AC
=AD . Trêntia đối của tia BA lấy điểm M bất kỳ . Chứng minh rằng :

a/ BA là tia phân giác của góc CBD.
b/ MBD = MBC
^ ¿ C
^ , Đường cao AH
Baøi 7:Cho tam giác ABC có B>
1

a/ Chứng minh AH < 2 ( AB + AC )
b/ Hai đường trung tuyến BM , CN cắt nhau tại G Trên tia đối của tia MB lấy
điểm E sao cho ME =MG . Trên tia đối của tia NC lấy điểm F sao cho NF = NG .
Chứng minh : EF= BC
K B>¿
A^
KC
c/Đường thẳng AG cắt BC tại K Chứng minh A ^
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = AC. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm trên cạnh
AC sao cho AD = AE.
a) Chứng minh rằng BE = CD.
b) Gọi O là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng  BOD  COD.
Bài 9 : Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB. Đường thẳng qua D và song
song với BC cắt AC ở E, đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC ở F. Chứng
minh rằng :
a) AD = EF. b)  ADE  EFC. c) AE = EC.
Bài 10: Cho góc x0y , M là điểm nằm trên tia phân giác0z của góc x0y. Trên các tia 0x
và 0y lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Chứng minh rằng:
a/ MA =MB
b/ Đường thẳng chứa tia phân giác Oz là đường trung trực của đoạn thẳng AB
c/ Gọi I là giao điểm của AB và 0z . Tính OI biết AB = 6cm OA = 5cm.
Bài 11: Cho góc nhọn x0y. Trên hai cạnh 0x và 0y lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho
OA = OB . Tia phân giác của góc x0y cắt AB tại I.

a/ Chứng minh OI  AB.
b/ Gọi D là hình chiếu của điểm A trên 0y. C là giao điểm của AD với OI .Chứng
minh:BC 0x
c/Giả sử x 0^ y = 600 , OA = OB = 6cm . Tính độ dài đoạn thẳng OC
Baøi 12: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH . Biết AB = 5cm BC =6cm
a/ Tính độ dài các đoạn thẳng BH , AH.
b/ Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng ba điểm A, G, H
thẳng hàng
^G
AC
c/ Chứng minh : A B^ G=¿
Baøi 13: Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi G là trọng tâm , I là điểm nằm trong tam giác
và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh :
^G
IC
a/ Ba điểm A ,G ,I thẳng hàng b/ BG < BI < BA
c/ I ^BG=¿

1


d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho tổng các độ dài BM + MC có giá trị nhỏ nhất
Baøi 14: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC . Chứng minh rằng tổng MA +MB +MC
lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tam giác ABC
Lưu ý : Ơn cả phần đề cương hình học ở học kỳ I
BÀI 15: Cho hai đoạn thẳng AB & AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. ch/m
rằng:
a) ∆AOC= ∆BOD
b) AD=BC & AD//BC
BÀI 16: Cho góc xOy. Gọi Oz là tia phân giác của nó. Trên tia Ox lấy điểm A, trên

Oy lấy điểm B sao cho OA =OB. M là một điểm bất kỳ trên Oz (M  O).
Chứng minh: tia OM là phân giác của AMB và đường thẳng OM là trung trực
của đoạn AB
BÀI 17: Cho góc xOy. Trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điển M (M  O). Qua
M vẽ MH  Ox (H  Ox) và MK  Oy (K Oy). Chứng minh: MH = MK
BÀI 18: Cho  ABC vuông tại A.Đường phân giác BE. Kẻ EH  BC ( H BC) Gọi
K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh :
a) ABE =  HBE
b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
c) EK = EC
d) AE < EC
Bài tập nâng cao
BAỉI 19: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Các tia phân giác của góc B, C Cắt AB
và AC tại E, F
a) Chứng minh: BE = CF
b) Gọi T là giao điểm của BE và CF. Chứng minh AI là phân giác của góc A
BÀI20: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia
đối của tia CB lấy điểm, N sao cho
BM = CN
a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân
b) Kẻ BH  AM (H  AM). Kẻ CK  AN (K  AN). Chứng minh rằng BH =
CK
c) Chứng minh rằng AH = AK
d) Gọi O là giao điểm của BH và CK. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao?
e) Khi BÂC = 600 và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của ∆AMN và
xác định dạng của ∆OBC.
BÀI 21: Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 20 cm, AC = 15 cm, BC = 25 cm, AH
là đường cao
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b)

Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH, biết AH = 12 cm
BÀI 22: Cho tam giác ABC cân tại A. Có đường cao AD. Từ D kẻ DE  AB, DF
AC. Trên tia đối của tia DE lấy điểm M sao cho DE = DM.
Chứng minh :
a) BE = CF
b) AD là đường trung trực của đoạn thẳng EF
1


c) Tam giác EFM là tam giác vuông
d) BE // CM
Bài 23: Cho  ABC vuông tại A. Trên cạnh BC ta lấy điểm E sao cho BE = BA. Tia
phân giác của góc B cắt AC ở D.
a) So sánh độ dài DA và DE
b) Tính số đo BÊD
Bài 24:  ABC vuông tại A. trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D
sao cho MD = MA.
a) Chứng minh :  AMC =  BMD
b) C/ m Góc ABD = 900
1
c) Chứng minh : AM = 2 BC

Bài 25:  ABC vuông tại C có Â = 600. Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E. Kẻ
EK vuông góc với AB ( ( D  AB ), Kẻ BD vuông góc tai AE ( D  AE ). Chứng
minh
a) AC = AK và AE vuông góc CK
b) KA =KB
c) EB > AC
d) Ba đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm.
BÀI 26: Cho tam giác ABC có BÂ= 600. vẽ phân giác BD. Từ A kẻ đường thẳng

vuông góc với BD, cắt BD tại H và cắt BC tại E.
a) Tính số đo góc BAH. Chứng minh Tam giác ABE là tam giác đều
b) Chứng minh:  DBA =  DBE
c) Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh
:  ABF là tam giác cân
BÀI 27: Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.
a) Chứng minh DEI = DFI
b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì?
c) Biết DE = DF = 13 cm, EF = 10 cm hãy tính độ dài đường trung tuyến DI
Bài 28: Cho ABC cân tại A ( Â< 900). Ba đường cao AH, BD, CE.
a) Chứng minh:ABD =  ACE
b) Chứng minh :  HDC cân tại H
c) Kẻ HM vuông góc với AC ( M thuộc AC). Chứng minh : DM = MC
d) Gọi I là trung điểm của HD. Chứng minh : AH vuông góc với MI
BÀI 29: Cho ABC vuông tại A. biết AC = 5 cm, trung tuyến AM = 3,5 cm
a) Tính các cạnh AB và BC của tam giác ABC
b) Tính các đường trung tuyến BN và CP của ABC

1


BÀI 30 : Cho Cho ABC có ( AB < AC), phân giác AD. Trên cạnh AC lấy điểm E
sao cho AE = AB.
a) Chứng minh : BD = DE
b) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AB và DE. Chứng minh DF = DC
c) Chứng minh  AFC cân
d) Chứng minh : AD vuông góc FC.
Bài 31 Cho ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi E là hình chiếu của H xuống AB, F
là hình chiếu của H xuống AC. Chứng minh
a) AEH = AFH

b) AH là đường trung trực của EF
c) Trên tia đối của tia EH lấy điểm M sao cho EH = EM. Trên tai đối của tia FH
lấy điểm N sao cho FH = FN. Chứng minh AMN cân
0

Bài 32: Cho tam giác ABC có A 90 , trên cạnh BC lấy điểm E
sao cho BE = BA. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D.
a) So sánh các độ dài DA và DE.
b) Tính số đo góc BED.
c) Gọi I là giao điểm của AE và BD.
Chứng minh rằng BD là đường trung trực của AE






A

D
K

C

B

E

Bài 33: Cho tam giác ABC có B 2C . Tia phân giác của góc B cắt AC ở D.
Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC.

Trên tia đối của tia CB lấy diểm K sao cho CK = AB.
a) Chứng minh : EBA  ACK
b) Chứng minh rằng EK = AK.
Bài 34: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD
vng góc với AB và bằng AB ( D khác phía C đối với AB),
vẽ đoạn thẳng AE vng góc với AC và bằng AC
( E khác phía B đối với AC). Chứng minh rằng
a) DC = BE
b) DC  BE.
Bài 35: Cho tam giác ABC. Gọi K, D lần lượt là trung điểm
N
của các cạnh AB, BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm M
sao cho DM = DA. Trên tia đối của tia KM lấy điểm N sao
cho KN = KM. Chứng minh
a) ADC MDB
b) AKN BKM
c) A là trung điểm của đoạn thẳng NC
Bài 36 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC.
D
Qua A kẻ đường thẳng xy ( B, C nằm cung phía đối với xy).
Kẻ BD và CE vuông góc với xy. Chứng minh raèng:
x A

BAD

ACD
a)
B
b) DE = BD + CE.




D

1

B

E

D
A

C

B

B

M

K

D

A

C
E

A

y

C

E

F

C


Bài 37 : Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB,
E là trung điểm của AC, vẽ điểm F sao cho E là
trung điểm của DF. Chứng minh raèng:
a) DB = CF
b)  BDC FCD

y

1
DE  BC
2
c) DE // BC và

D

Bài 38: Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lần lượt lấy hai
điểm B và C, trên tia Oy lần lượt lấy hai điểmA và D sao

cho OA = AB, OD = OC. Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Chứng minh
a) OBD OAC
b) AI = IB
c) OI là tia phân giác của góc xOy
Bài 39: Cho tam giác ABC. vẽ phía ngồi các tam giác ABC
các tam giác vuông tại A là ABD, ACE có AB = AD, AC = AE.
Kẽ AH  BC, DM  AH, EN  AH. Chứng minh rằng:
a) DM = AH
b) EN = AH. Có nhận xét gì về DM và EN
c) Gọi O là giao điểm của AN và DE.
Chứng minh rằng O là trung điểm của DE

A

x

O

C

B

N

E

O
M

D

A

B

2

I

H

C