(Luận văn thạc sĩ) nghiên cứu tương tác lưu chất và vật thể đàn hồi bằng phương pháp IBM (immersed boundary method)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
LÊ THANH TÙNG

NGHIÊN CỨU TƯƠNG TÁC LƯU CHẤT VÀ VẬT THỂ ĐÀN HỒI
BẰNG PHƯƠNG PHÁP IBM (IMMERSEDBOUNDARY METHOD)

NGÀNH: KỸ THUẬT CƠ KHÍ - 605204

S K C0 0 4 4 4 7

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 07/2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


LUẬN VĂN THẠC SĨ
LÊ THANH TÙNG

NGHIÊN CỨU TƯƠNG TÁC LƯU CHẤT VÀ VẬT
THỂ ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP IBM
(IMMERSEDBOUNDARY METHOD)

NGÀNH: KỸ THUẬT CƠ KHÍ - 605204

TP. Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


LUẬN VĂN THẠC SĨ
LÊ THANH TÙNG

NGHIÊN CỨU TƯƠNG TÁC LƯU CHẤT VÀ VẬT
THỂ ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP IBM
(IMMERSEDBOUNDARY METHOD)

NGÀNH: KỸ THUẬT CƠ KHÍ - 605204

Hướng dẫn khoa học:
PGS.TS

NGUYỄN HỒI SƠN

TS

PHAN ĐỨC HUYNH

TP. Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2014


LÝ LỊCH KHOA HỌC

I. LÝ LỊCH SƠ LƯỢC:
Họ & tên: Lê Thanh Tùng

Giới tính: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 29/09/1986

Nơi sinh: Bình Trị Thiên

Q qn: Thanh Hố

Dân tộc: Kinh

Địa chỉ: tổ 8, ấp Phước Tân 4, xã Tân Hưng, thành phố Bà Rịa, tỉnh Bà Rịa –
Vũng Tàu.
E-mail:

II. QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO:
Đại học:
Hệ đào tạo: Chính qui

Thời gian đào tạo từ 9/2004 đến 9/2009

Nơi học: trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật, tp. Hồ Chí Minh
Ngành học: Cơ tin – Kỹ thuật
Tên đồ án, luận án tốt nghiệp: Sử dụng cánh mỏng để ổn định khí động cầu
treo có nhịp dài bằng phương pháp bị động.
Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án tốt nghiệp: tháng 7 năm 2009, trường Đại
học Sư Phạm Kỹ Thuật, tp Hồ Chí Minh.

Người hướng dẫn: TS. Phan Đức Huynh

i


LỜI CAM ĐOAN

Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai
công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 17 tháng 7 năm 2014

ii


LỜI CẢM ƠN
----

Luận văn Thạc sĩ này được hoàn thành là kết quả của một quá trình học tập
rèn luyện và trao dồi kiến thức tại Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TPHCM. Qua
đây, em xin trân trọng cảm ơn các thầy cơ giáo đã tận tình truyền đạt những kinh
nghiệm, kiến thức quý báu và vô cùng phong phú cho em trong suốt hai năm học
vừa qua. Đặc biệt là thầy TS. Phan Đức Huynh và PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn,
người đã trực tiếp hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành luận văn này. Đồng thời,
em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu nhà trường, q thầy cơ
trong Khoa Cơ khí Chế tạo máy, các thầy cơ và anh chị trong Phịng Đào tạo –
Sau đại học cùng tồn thể các thầy cơ giáo đã nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo
điều kiện thuận lợi cho em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại Trường
Đại học Sư phạm Kỹ thuật TPHCM..
Sau cùng, em xin cảm ơn tất cả bạn bè cùng những người thân đã luôn quan

tâm động viên và ủng hộ em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Do thời
gian thực hiện luận văn có hạn và kiến thức còn những hạn chế nên luận văn khơng
tránh khỏi những sai sót nhất định. Kính mong sự đóng góp ý kiến của Ban giám
hiệu, q thầy cơ giáo và các anh chị học viên cùng các bạn để luận văn này được
hoàn thiện hơn.

iii


MỤC LỤC
Trang tựa

TRANG

Quyết định giao đề tài
Lý lịch khoa học ......................................................................................................

i

Lời cam đoan ........................................................................................................... ii
Cảm tạ ..................................................................................................................... iii
Tóm tắt .................................................................................................................... iv
Mục lục .................................................................................................................... vi
Danh sách các chữ viết tắt ....................................................................................... vii
Danh sách các hình .................................................................................................. ix
Danh sách các bảng ................................................................................................. xii
Chương 1. TỔNG QUAN ..................................................................................... 1
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP IBM CHO VẬT THỂ ĐÀN HỒI ....................... 9
Chương 3. RỜI RẠC HĨA KHƠNG GIAN VÀ THỜI GIAN .......................... 16
3.1 Rời rạc hóa khơng gian ..................................................................................... 16

3.2 Điều kiện biên .................................................................................................... 23
3.3 Rời rạc hóa thời gian .......................................................................................... 27
Chương 4. LỰC ĐÀN HỒI CỦA BIÊN NHÚNG ............................................... 30
4.1 Năng lượng đàn hồi ........................................................................................... 30
4.2 Năng lượng kéo ................................................................................................. 31
4.3 Năng lượng uốn ................................................................................................. 34
Chương 5. XÂY DỰNG HÀM DELTA DIRAC ................................................. 38
Chương 6. KẾT QUẢ ........................................................................................... 44
6.1 Mô phỏng một sợi nhỏ mềm vỗ trong màng xà phịng ..................................... 47
6.2 Mơ phỏng hai sợi nhỏ mềm vỗ trong màng xà phòng ...................................... 54
Chương 7. KẾT LUẬN ......................................................................................... 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 66
LƯU ĐỒ GIẢI THUẬT

69

CHƯƠNG TRÌNH

74

vi


CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN
1.1 Đặt vấn đề
Việc sử dụng động lực học chất lỏng tính tốn (computational fluid dynamics
(CFD)) để dự đốn các dịng chảy đã tăng đáng kể trong những thập kỷ qua. Trong

những năm 1980 giải pháp của những bài tốn dịng lưu chất bằng phương tiện của
CFD là lĩnh vực của các nhà nghiên cứu khoa học, tiến sĩ, sau đại học hoặc các
chuyên gia được đào tạo tương tự với nhiều năm kinh nghiệm trong cùng lĩnh vực.
Các mã nguồn CFD hiện nay trên thị trường rất mạnh, nhưng địi hỏi người dùng có
trình độ cao về kỹ năng và sự am hiểu về nó để đạt được kết quả chính xác trong
những trường hợp phức tạp [1].
Ngày nay, vai trò của CFD trong dự báo kỹ thuật đã trở nên mạnh tới mức nó
có thể được nhìn nhận như “khía cạnh thứ ba” trong động lực học chất lỏng, hai
khía cạnh cịn lại là những trường hợp cổ điển của thực nghiệm thuần túy và lý
thuyết thuần túy. Mối quan hệ này được phác họa trong hình 1.1 [2].

Hình 1.1: Mối quan hệ giữa các khía cạnh trong động lực học chất lỏng.
Động lực học chất lỏng tính tốn (hoặc CFD) là phân tích các hệ thống liên
quan đến dòng chất lỏng, truyền nhiệt và các hiện tượng liên quan như phản ứng
hoá học bằng các phương tiện mơ phỏng trên máy tính. Kỹ thuật này rất mạnh và

1


mở rộng một loạt các lĩnh vực ứng dụng công nghiệp và phi cơng nghiệp. Một số ví
dụ như:
 khí động học của máy bay và các phương tiện giao thông: nâng và cản
 thuỷ động lực học của tàu
 thiết bị động lực: quá trình cháy trong động cơ đốt trong và tua bin khí
 kỹ thuật điện-điện tử: sự làm mát của thiết bị bao gồm vi mạch
 kỹ thuật chế biến hoá chất: trộn và tách, đúc pơ-li-me
 mơi trường bên trong và bên ngồi của cơng trình: tải trọng gió và sưởi
ấm/thơng gió
 cơ khí hàng hải: tải trên kết cấu ngồi khơi
 cơng nghệ mơi trường: phân bố các chất ô nhiễm và nước thải

 thuỷ học và hải dương học: dòng chảy ở các sơng, cửa sơng, biển
 khí tượng học: dự báo thời tiết
 kỹ thuật y sinh: dòng máu chảy qua động mạch và tĩnh mạch
Từ năm 1960 trở đi, các ngành cơng nghiệp hàng khơng vũ trụ đã tích hợp kỹ
thuật CFD vào thiết kế, nghiên cứu và phát triển, sản xuất máy bay và động cơ phản
lực. Gần đây nhất là các phương pháp đã được áp dụng cho việc thiết kế của động
cơ đốt trong, buồng đốt của tua bin khí và lị nung. Và hiện nay các nhà sản xuất ơ
tơ thường dự đốn lực cản, dịng khơng khí dưới nắp ca-pơ và mơi trường trong xe
hơi với CFD. CFD ngày càng trở thành một thành phần quan trọng trong việc thiết
kế sản phẩm và qui trình cơng nghiệp. Mục đích cuối cùng của sự phát triển trong
lĩnh vực CFD là cung cấp một tiềm năng tương đương với các công cụ CAE
(Computer-Aided Engineering) khác chẳng hạn như mã phân tích ứng suất.
Các bài tốn về tác động giữa lưu chất và vật thể, lưu chất và lưu chất hiện nay
ngày càng được quan tâm nghiên cứu và khảo sát ở nhiều nước trên thế giới. Để
tính tốn cho các bài tốn thực tế hiện nay đã có rất nhiều phương pháp được sử
dụng như: phương pháp phần tử hữu hạn (FEM – Finite Element Method), phương
pháp thể tích hữu hạn (FVM – Finite Volume Method), phương pháp sai phân hữu

2


hạn (FDM – Finite Difference Method) …, và nói chung các phương pháp này đều
sử dụng việc chia lưới, việc chia lưới lại phải phụ thuộc vào hình dạng của vật thể.
Đối với những bài tốn mà hình dạng vật thể phức tạp thì việc chia lưới theo những
cách thơng thường sẽ càng trở nên khó khăn và chi phí tính tốn lớn. Chính vì vậy
cần tìm ra một phương pháp mà việc chia lưới đơn giản hơn để việc phân tích và
tính tốn bài tốn có hiệu quả. Một phương pháp mới đã ra đời mà việc chia lưới rất
đơn giản bằng cách chia lưới lưu chất trực tiếp trên các ô vuông của lưới Đề các,
các ô lưới này cố định trong suốt q trình tính tốn và khơng phụ thuộc hình dạng
của vật thể. Phương pháp đó có tên là “Phương pháp biên nhúng” (Immersed

Boundary Method (IBM)).

Hình 1.2: Chia lưới theo cách truyền thống (hình trên) và
chia lưới bằng IBM (hình dưới)
Phương pháp IBM (Immersed Boundary Method) lần đầu tiên được sử dụng
và phát triển bởi Peskin (1972) để nghiên cứu lưu lượng máu quanh van tim. Đặc
trưng phân biệt của phương pháp này là toàn bộ việc mô phỏng được tiến hành trực
tiếp trên lưới Đề các, mà khơng phụ thuộc vào hình dạng của vật thể, và các điều
kiện biên sẽ được áp đặt trực tiếp vào lưới Đề các, vì vậy được gọi là phương pháp

3


biên nhúng (IBM). Từ khi Peskin giới thiệu phương pháp này, thì việc phát triển và
cải tiến về phương pháp này đã được đưa ra khá rộng rãi, và ngày nay nhiều phương
thức tiếp cận về phương pháp này vẫn được đưa ra nghiên cứu và phát triển khơng
ngừng. Có khá nhiều phương thức khác nhau sử dụng phương pháp lưới Đề các, mà
phát triển ban đầu là việc mô phỏng dịng chảy khơng nhớt trên lưới Đề các khi
được nhúng vào một vật thể có hình dạng phức tạp (Berger và Aftosmis 1998 [3],
Clarke 1986 [4], Zeeuw và Powell 1993 [5]). Các phương pháp này sau đó đã được
mở rộng để mơ phỏng dịng chảy nhớt tĩnh (Udaykumar 1996 [6]). Về sau các ứng
dụng của phương pháp này liên quan đến các bài toán chất lỏng tương tác chất lỏng
hoặc chất lỏng tương tác với khí đã được phát triển bởi Scardovelli & Zaleski 1999
[7]. Một số bài báo nghiên cứu bằng phương pháp IBM từ năm 2010 đến nay có thể
kể đến như: Ming, Sun, Duan và Zhang 2010 [8] đã cải tiến phương pháp IBM lưới
phi cấu trúc để mô phỏng tương tác lưu chất và kết cấu, X. Zheng, Q. Xue và R.
Mittal 2010 [9] đã kết hợp phương pháp IBM mặt giao phân cách nhọn với phương
pháp phần tử hữu hạn để mô phỏng dao động dòng được tạo ra bởi rãnh phát âm
trong thanh quản của người, Jian Hao and Luoding Zhu 2011 [10] đề xuất phương
pháp IBM ẩn sử dụng xấp xỉ lưới Boltzmann để cải thiện sự hạn chế về kích thước

bước thời gian để duy trì ổn định số trong phương pháp IBM, Haeri và Shrimpton
2012 [11] áp dụng phương pháp IBM, phương pháp miền giả tưởng và lưới vật thể bảo giác để mơ phỏng các hạt trong dịng chảy đa pha, Sudeshna Ghosha và John
M. Stockie 2013 [12] mô phỏng sự lắng đọng của các hạt rắn trong chất lỏng nhớt
... Đối với trong nước thì phương pháp IBM là phương pháp cịn khá mới mẻ, các
cơng trình nghiên cứu chưa lớn mạnh và cịn mang tính khởi đầu.
Cơ học lưu chất là một vấn đề rộng lớn và rất khó khăn trong việc giải quyết
vì các tính chất của chúng (tính liên tục, tính nén được, khơng nén được, tính
nhớt…). Chúng ta chỉ nghiên cứu lưu chất trong một số trường hợp mà các tính chất
của nó xem như là lí tưởng. Gần đây hãng phần mềm ANSYS hợp tác với Cascade
Technologies đưa vào một mô đun add-on cho phần mềm ANSYS FLUENT 12.0
sử dụng phương pháp IBM. Liền sau đó hãng xe hơi Loremo AG ở Đức đã làm việc

4


với các nhân viên ANSYS để mô phỏng chiếc ô tô thế hệ mới của Loremo, chiếc ô
tô này sẽ đạt vận tốc tối đa 160 km/h, với lượng tiêu thụ nhiên liệu ít hơn 2 lít trên
100 km. Khí thải CO2 sẽ khoảng 50 grams trên 1 km, thấp hơn rất nhiều so với 130
grams trên 1 km được đưa ra bởi European Union. Ở vận tốc cực đại, sự ổn định sẽ
là một vấn đề, khi mà xe chỉ nặng 600 kilograms. Họ đã mô phỏng vấn đề này bằng
phương pháp IBM so với kết quả mô phỏng thông thường đều cho kết quả tương
đồng tốt, trong khi đó phương pháp IBM tiết kiệm thời gian đáng kể − dưới một giờ
cịn phương pháp thơng thường gần 25 giờ. Chiếc xe này đã được đưa vào sản xuất
năm 2011 [13].

Hình 1.3: Bản thiết kế của xe Loremo với đường vận tốc từ mơ phỏng khí
động học
Bảng 1.1: Thống kê so sánh giữa phương pháp xử lý truyền thống và phương pháp
IBM đối với xe Loremo. Các thông số ở đây là xấp xỉ
Phương pháp truyền thống

Phương pháp IBM

Làm sạch hình học từ
CAD

16 giờ

Khơng áp dụng

Chia lưới bề mặt

8 giờ

Không áp dụng

5


Chia lưới thể tích

0.5 giờ

0.25 giờ

Số lượng lưới

2,000,000

3,000,000

Bộ nhớ số lượng lưới

2 Gb

4.5 Gb

1.2 Tính cấp thiết đề tài
Mặc dù việc tính tốn động lực học chất lỏng với sự hỗ trợ đắc lực của các mã
CFD cùng với máy vi tính hiệu năng cao, nhưng các phương pháp áp dụng cho việc
tính tốn đều sử dụng việc chia lưới, việc chia lưới lại phải phụ thuộc vào hình dạng
của vật thể. Với những bài tốn mà hình dạng vật thể phức tạp thì việc chia lưới
theo những cách này sẽ tạo nên sự khó khăn và chi phí tính tốn lớn. Đã có một
phương pháp mới là phương pháp IBM mà việc chia lưới rất đơn giản bằng cách
chia lưới trực tiếp trên các ô vuông của lưới Đề các, các ơ lưới này cố định trong
suốt q trình tính tốn và khơng phụ thuộc vào hình dạng của vật thể. Tuy vậy, so
với những phương pháp khác thì số lượng người nghiên cứu cũng như các bài báo
khoa học về phương pháp này cũng còn khá khiêm tốn, đặc biệt ở trong nước thì
việc nghiên cứu đối với phương pháp này cịn mang tính khởi đầu.
Ứng dụng của IBM là tập trung chủ yếu vào lưu chất có di chuyển của các
biên, tương tác giữa lưu chất và kết cấu, mơ phỏng dịng chảy xung quanh những
vật thể có dạng hình học phức tạp. Chính vì vậy trong luận văn này tác giả lựa chọn
phương pháp IBM để nghiên cứu tương tác giữa lưu chất và vật thể đàn hồi. Kết
quả của luận văn này cũng mong góp một phần cơng trình nghiên cứu của mình vào
các cơng trình nghiên cứu trong nước giúp những người muốn nghiên cứu về
phương pháp IBM có thêm tài liệu nghiên cứu, tham khảo và phát triển.

6

1.3 Mục đích nghiên cứu, khách thể và đối tượng nghiên cứu
Ứng dụng của IBM là tập trung chủ yếu vào lưu chất có di chuyển của các
biên, tương tác giữa lưu chất và kết cấu, mơ phỏng dịng chảy xung quanh những
vật thể có dạng hình học phức tạp. Trong đề tài này tác giả sẽ nghiên cứu tương tác
lưu chất và vật thể đàn hồi bằng phương pháp IBM. Vật thể đàn hồi được chọn để
mô phỏng là sợi dây mềm mỏng được sử dụng trong thực nghiệm của Zhang [14],
mơ hình được chọn ở đây coi như một lá cờ một chiều trong một dịng chảy hai
chiều.

Hình 1.4: Mơ hình thí nghiệm của Zhang [14]
U: thùng chứa dung dịch xà phòng, V: van và vòi phun,
S: hai màng nylon, F: sợi dây, D: thùng hứng dung dịch xà phòng.

1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu và giới hạn của đề tài
Cơ học lưu chất là một vấn đề rộng lớn và rất khó khăn trong việc giải quyết vì
các tính chất của chúng (tính liên tục, tính nén được, khơng nén được, tính nhớt…).
Chúng ta chỉ nghiên cứu lưu chất trong một số trường hợp mà các tính chất của nó

7


xem như là lí tưởng. Do giới hạn của thời gian nghiên cứu của luận văn cao học nên
tác giả chỉ nghiên cứu tập trung vào dịng chảy nhớt khơng nén được 2D qua vật thể
đàn hồi không nén được có kích thước 1D. Sau khi nghiên cứu lý thuyết để tiện cho
việc tính tốn mơ phỏng tác giả sử dụng sự trợ giúp của phần mềm Matlab để tính
tốn và mô phỏng.
1.5 Kết cấu luận văn
Luận văn gồm các chương
Chương 1: Tổng quan
Chương 2: Phương pháp IBM cho vật thể đàn hồi

Chương 3: Rời rạc hóa khơng gian và thời gian
Chương 4: Lực đàn hồi của biên nhúng
Chương 5: Xây dựng hàm delta Dirac
Chương 6: Kết quả
Chương 7: Kết luận

8


CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP IBM CHO VẬT THỂ ĐÀN HỒI

Phương pháp IBM vừa là một cơng thức tốn học vừa là một phương pháp số.
Cơng thức tốn học của IBM sử dụng được pha trộn giữa các biến Euler và
Lagrange. Những biến này có liên hệ với nhau qua các phương trình tương tác trong
đó hàm delta (δ) Dirac đóng một vai trị chủ đạo. Trong phương pháp số được hình
thành từ công thức IB, các biến Euler được định nghĩa trên một lưới Đề các cố định,
và các biến Lagrange được định nghĩa trên một lưới cong di chuyển tự do qua lưới
Đề các cố định mà không buộc phải thích ứng với nó theo bất kỳ một cách nào cả.
Mơ tả Euler dựa trên các phương trình Navier – Stokes được sử dụng cho động lực
chất lỏng, và một mô tả Lagrange được sử dụng cho từng đối tượng nhúng chìm
trong chất lỏng. Biên được nhúng là những đối tượng có dạng như lá mỏng van tim,
cánh dù, cánh mỏng (bao gồm chim, côn trùng hoặc cánh dơi), cánh diều, lá cờ và
chong chóng gió… Ta coi thể tích bị chiếm bởi các bề mặt như thế bằng 0 [16][17].

Xét chất lỏng nhớt không nén được trong không gian 2 chiều Ω chứa vật thể
đàn hồi không nén được có dạng là một đường cong khép kín  (xem hình 2.1).

9

Ω

X(s, t)

Hình 2.1: Sơ đồ hệ chất lỏng – biên nhúng

Trong đó, vùng chất lỏng được chia bằng các ơ lưới Đề các cố định, định
nghĩa cho các biến Euler. Vật thể đàn hồi được chia bằng 1 lưới cong di động, di
chuyển tự do qua lưới Đề các mà không bị ràng buộc bởi bất cứ một điều kiện nào,
lưới cong này định nghĩa cho các biến Lagrange. Hai loại biến này liên kết với nhau
qua phương trình tương tác liên quan đến một xấp xỉ trơn của hàm delta Dirac.
Trong khơng gian hai chiều thì chất lỏng chỉ có hai tham số Euler, đặt x = (x, y) là
tọa độ của điểm chất lỏng trên lưới Đề các.
Giả sử rằng tất cả hoặc một phần của vật liệu đàn hồi được giam cầm trong
các bề mặt nhất định và được nhúng trong một chất lỏng. Ví dụ điển hình cho các
dạng vật liệu này như: cánh diều, cánh dù, cánh côn trùng, cánh dơi, lá mỏng van
tim, cánh buồm, cờ, chong chóng gió… Trong khơng gian hai chiều, đối với bất kì
bề mặt như thế chỉ có một tham số Lagrange là cần thiết, trong mơ hình tính tốn
lúc này vật thể tồn tại là hình dạng của một dãi biên. Như vậy thể tích bị chiếm bởi
những bề mặt vật liệu đàn hồi này ta coi như bằng 0. Đặt M là mật độ khối lượng

10


của vật liệu, lưu ý rằng M không phụ thuộc vào thời gian bởi vì khối lượng được
bảo tồn.
Trong luận văn này tác giả sẽ sử dụng từ “biên nhúng” để nói đến biên của vật
thể được nhúng trong chất lỏng. Bởi vì trong phương pháp IBM, vật thể nhúng

trong chất lỏng được đại diện bằng các bề mặt bao phủ vật thể. Đặt X(s, t), 0  s  L
là toạ độ của biên được nhúng tại thời điểm t, ở đây L là chiều dài của biên  .
Phương trình Navier – Stokes được giải để xác định vận tốc chất lỏng suốt miền Ω.
Bởi vì biên nhúng được bao quanh bởi chất lỏng, nên vận tốc của nó phải phù hợp
với điều kiện biên khơng trượt. Phương trình chuyển động của hệ như sau:



u
    u   u  p  u  f   g
t

(2.1)

 u  0

(2.2)

f  x, t    F  s, t  δ  x  X  s, t   ds

(2.3)

  x, t   0   Mδ  x  X  s, t   ds

(2.4)

X  s, t 
 U  s, t    u  x, t  δ  x  X  s, t   dx
t


(2.5)





Ở đây các biến Euler độc lập là toạ độ Đề các x = (x, y ) và thời gian t, và các
biến Lagrange độc lập là toạ độ cong của vật thể s và thời gian t. Các biến Euler phụ
thuộc là vận tốc chất lỏng u  x, t   u  x, t  , v  x, t   , áp suất p  x, t  , mật độ   x, t  ,
và mật độ lực Euler f  x, t    f x  x, t  , f y  x, t   . Các biến Lagrange phụ thuộc là vị
trí

của

biên

nhúng

X  s, t    X  s, t  , Y  s, t   ,

mật

độ

lực

Lagrange

F  s, t    Fx  s, t  , Fy  s, t   , và vận tốc biên U  s, t   U  s, t  ,V  s, t   . Và ở đây μ là

độ nhớt chất lỏng, 0 là mật độ khối lượng chất lỏng, g là gia tốc trọng lượng và g

11


= (0, −gy), M là mật độ khối lượng Lagrange đồng nhất của biên (chú ý M không
phụ thuộc vào thời gian, vì khối lượng được bảo tồn).
Phương trình (2.1) là phương trình Navier–Stokes khơng nén được (cịn gọi là
phương trình động lượng), phương trình (2.2) là phương trình liên tục. Phương trình
(2.3) và (2.4) là các phương trình tương tác giữa biên nhúng và chất lỏng, chúng
chuyển từ các biến Lagrange sang Euler và ngược lại phương trình (2.5) là phương
trình chuyển động của biên, chuyển đổi các biến Euler sang Lagrange. Tất cả các
phương trình tương tác liên quan đến các tốn tử tích phân cùng với một nhân
δ  x  X  s, t   , tuy nhiên có sự khác biệt giữa (2.3), (2.4) và (2.5). Các phương trình

tương tác xác định ρ và f có mối liên hệ giữa các mật độ tương ứng, giá trị bằng số
của ρ và M không giống nhau tại các điểm tương ứng, và tương tự giá trị bằng số
của f và F không giống nhau tại các điểm tương ứng. Nhưng giá trị bằng số của

X
t

và u  x,t  lại giống nhau tại các điểm tương ứng. Mặc dù   x, t  và f  x, t  không
xác định trên biên nhúng, nhưng tích phân của chúng lại xác định trên bất kì một thể
tích xác định nào đó. Đặc biệt, tích phân của   x, t  trên một thể tích là tổng khối
lượng của chất lỏng được chứa trong thể tích đó và khối lượng của phần biên đàn
hồi được chứa trong thể tích đó. Tương tự, tích phân của f  x, t  trên một thể tích là
lực toàn phần tác động vào chất lỏng bởi phần biên nhúng được chứa trong thể tích
đó. Mật độ lực đàn hồi Lagrange F bằng 0 tại các điểm chất lỏng, và mật độ lực đàn

hồi Euler f  x, t  bằng 0 tại các điểm không gian x ngẫu nhiên nằm trong vùng chất
lỏng tại thời điểm t. Tác động của biên nhúng lên chất lỏng xung quanh chủ yếu có
được bằng cách truyền ứng suất của biên nhúng tới chất lỏng. Bởi vì vị trí của biên
nhúng không thường trùng với các điểm nút của lưới Đề các nên lực được phân bố
qua một dãi các ô xung quanh mỗi điểm Lagrange (xem hình 2.2) thơng qua một
xấp xỉ trơn của hàm delta Dirac.

12






Hình 2.2 Chuyển đổi lực Fk từ điểm biên Lagrange ( Xk ) tới các nút chất lỏng xung
quanh. Vùng tô đậm biểu thị mức độ phân bố lực.

Tương tự đối với   x, t  thì tồn miền chất lỏng sẽ có mật độ là 0 , riêng với
mật độ của các điểm chất lỏng lân cận biên nhúng sẽ bằng tổng của 0 và mật độ
của biên nhúng đã được phân bố từ điểm biên sang các điểm chất lỏng lân cận bằng
hàm delta Dirac (xem hình 2.3).

 0  M δ  x  X  s, t 

k

j

M

i

Hình 2.3 Sự phân bố mật độ khối lượng biên nhúng sang các điểm chất lỏng

13


Nhưng ngược lại, trong phương trình (2.5) thì hàm delta Dirac dùng để nội suy
vận tốc vùng chất lỏng lân cận điểm vật liệu cần xác định vận tốc để tìm vận tốc của
điểm vật liệu đó (xem hình 2.4).

j

i

Hình 2.4 Vận tốc biên nhúng được nội suy từ vận tốc vùng chất lỏng lân cận

Mật độ lực F(s, t) được xác định bằng đạo hàm biến phân "E /X" của
hàm năng lượng đàn hồi EXs, t  (sẽ được trình bày trong chương 4). Hàm
δ  x  X  s, t   là hàm δ Dirac (sẽ được trình bày trong chương 5).

Trong trường hợp 2D tốn tử , . và  trong phương trình (2.1) và (2.2)
được tính như sau:

 
   , 
 x y 

14

. 

 

x y

2
2
 2  2
x y
Phương trình (2.1) và (2.2) được viết lại như sau

 u
 u 2 uv  p
  2u  2u 











 2  2   fx
 t
 x y  x

 x y 

2
2
2
  v     uv  v   p     v   v   f   g


 2
y
y
2 
 t
 x y  y
 x y 


u v
 0
x y

(2.6)
(2.7)

(2.8)

Các số hạng trong phương trình (2.6), (2.7) và (2.8) sẽ được tính tốn trong
các chương sau một cách rõ ràng để giải phương trình Navier – Stokes.

15

CHƯƠNG 3

RỜI RẠC HỐ KHƠNG GIAN VÀ THỜI GIAN

Trong giải tích số, thuật ngữ rời rạc hóa dùng để chuyển từ một bài toán liên
tục sang bài toán mà chúng ta chỉ quan tâm tại một số điểm xác định. Đặc biệt, rời
rạc hóa được sử dụng trong việc tìm nghiệm số của các phương trình vi phân bằng
cách đưa phương trình vi phân về một hệ phương trình đại số. Những phương trình
này xác định giá trị của nghiệm chỉ tại một số điểm xác định của miền [18].
3.1 Rời rạc hố khơng gian
Phương pháp IBM là hỗn hợp của phương pháp sai phân hữu hạn Euler –
Lagrange để tính tốn tương tác dịng chảy với biên nhúng. Sự rời rạc hóa khơng
gian được mơ tả ở đây sử dụng hai lưới độc lập, một là cho các biến Euler và hai là
cho các biến Lagrange. Mơ hình bài tốn có thể được rời rạc như sau: đặt miền chữ
nhật của chất lỏng là Ω = [0, lx]×[0, ly] và Nx × Ny là số ơ lưới Euler, với

h  hx  hy 

l
lx
 y là kích thước lưới Euler. Kí hiệu của chữ nhỏ bên dưới để
Nx N y

chỉ ra vị trí của biến Euler sẽ được xác định giá trị, chẳng hạn ui, j biễu diễn giá trị
của biến u tại điểm lưới thứ ij. Đặt Nb là số điểm lưới Lagrange (kích thước lưới
s  L / Nb ) và các điểm lưới Lagrange này được xác định bằng một chữ số, chẳng

hạn Fk nghĩa là giá trị lực F tại điểm lưới thứ k, Xk là vị trí điểm lưới Lagrange thứ

k.

16


Đối với các biến Euler, với chỉ số tương ứng (i, j) áp suất p được ấn định tại
tâm ô, vận tốc u đặt tại trung điểm cạnh bên phải và vận tốc v đặt tại trung điểm
cạnh trên của ô này. Vì thế giá trị áp suất pi,j

i  0,5 h ,  j  0,5 h  ,
x

y

được đặt tại toạ độ

giá trị vận tốc theo phương ngang ui,j đặt tại toạ độ

ih ,  j  0,5 h  , và giá trị vận tốc theo phương thẳng đứng v
x

i,j

y

đặt tại toạ độ

i  0,5 h , jh  (xem Hình 3.1). Vì vậy, giá trị rời rạc u, v và p thực tế nằm ở ba
x

y

lưới riêng biệt, mỗi lưới như vậy dịch chuyển một nửa độ rộng lưới xuống phía
dưới, sang bên trái và sang bên trái ở phía dưới.
Do đó, khơng phải tất cả các điểm lưới cực trị đều nằm ở biên của miền, chẳng
hạn như các biên thẳng đứng không mang các giá trị v, các biên nằm ngang không
mang các giá trị u. Vì vậy, các dải biên bổ sung của các ơ lưới được đưa vào (xem
Hình 3.2) [18], sao cho các điều kiện biên được áp dụng bằng cách lấy trung bình
các điểm lưới gần nhất trên cả hai phía.

Hình 3.1 Lưới so le

17


dải biên bổ sung

biên của miền Ω

j=jmax+1
j=jmax
j=2
j=1
j=0
i=0

i=1

i=2

i=imax i=imax+1

Hình 3.2 Miền với các ô biên
Cách sắp xếp xen kẽ các biến này ngăn chặn sự dao động áp suất khả dĩ xảy
ra, mà chúng ta đã ước tính được cả ba hàm ẩn u, v và p tại cùng các điểm lưới.
Phương trình liên tục (2.8) được rời rạc hố tại tâm của mỗi ô (i, j), i = 1,…,
imax, j = 1,…, jmax, bằng cách thay thế các đạo hàm theo không gian

u
v
và
x
y

bằng các sai phân trung tâm dùng phương pháp chia đôi độ rộng lưới.

 u  ui , j  ui1, j
,
  i, j 
hx
 x 

 v  vi , j  vi , j 1
  i , j 
hy
 y 

(3.1)

Mặt khác, phương trình động lượng (2.6) đối với u được rời rạc hóa tại các

trung điểm của các cạnh ô thẳng đứng, và phương trình động lượng (2.7) đối với v
tại các trung điểm của các cạnh ô nằm ngang.

18