Tài liệu Giáo trình trường điện từ_Chương 5 + 6 docx

115
Chương V. Chương V. BỨC XẠ ĐIỆN TỪBỨC XẠ ĐIỆN TỪ

V.1 Khái niệm chung về bức xạ điện từV.1 Khái niệm chung về bức xạ điện từ
Bức xạ điện từ là hiện tượng trường biến thiên lan truyền trong không
gian dưới dạng sóng từ các vùng nguồn. Anten là thiết bò để phát và thu sóng
điện từ.
Hiện tượng bức xạ điện từ được ứng dụng rộng rãi trong thông tin vô
tuyến điện, kỹ thuật rada, … Bức xạ điện từ có thể đònh hướng sự lan truyền
sóng tùy thuộc vào cấu trúc của anten. Trên hình 5.1 biểu diễn sự phát và thu
sóng của anten loa.


Hình 5.1

Khái niệm các điểm ở “vùng xa”: Khi khoảng cách R từ điểm xét đến
anten rất lớn, tại điểm đó ta có thể coi sóng bức xạ từ anten là sóng phẳng.
Khái niệm này rất quan trọng bởi trong hầu hết các trường hợp các vùng khảo
sát thuộc “vùng xa”, và các phép tính nhờ đó mà đơn giản hơn rất nhiều.
Có hai loại nguồn bức xạ đơn giản:
– Nguyên tố bức xạ thẳng (nguyên tố anten thẳng);
– Nguyên tố bức xạ vòng (nguyên tố anten vòng).

V.2 Trường bức xạ của nguyên tố anten thẳngV.2 Trường bức xạ của nguyên tố anten thẳng
Nguyên tố anten thẳng (hình 5.2a), còn gọi là dipole Hertz, là đoạn dây
dẫn thẳng, rất mảnh, hở hai đầu, mang dòng điện biến thiên tần số
ω
, độ dài l
rất nhỏ so với bước sóng
ω

π
==λ
v2
f
v
(
50
λ
<
l ) sao cho có thể xem dòng

116
điện có giá trò như nhau tại mọi điểm trên đoạn dây: )tsin(I)t(i
m
ψ
+
ω
=
. Để
đơn giản ta cho độ lệch pha ban đầu của dòng điện bằng 0, tức
(
)
(
)
tsinIti
m
ω
=
.

a).



Hình 5.2

b).

Ta có phương trình đối với từ thế vector
A
r
như sau:

JA
t
v
1
A
2
2
2
2
r
rr
µ−=
∂
∂
−∇
Nghiệm của phương trình này có dạng:

∫
π






−µ
=
V
dV
R4
v
R
tJ
A
r
r
, trong đó V là thể tích đoạn dây dẫn, tức
l
d
dSdV
⋅
=

⇒

∫∫∫∫ ∫
π







−µ
=






−
π
⋅µ
=
π






−µ
=
ll l
l
r

l
l
r
r
R4
d
v
R
ti
dS
v
R
tJ
R4
d
ddS
R4
v
R
tJ
A
SS

⇒

[ ]
l
r
l
r

l
r
r
⋅
π
−ωµ
=
π
⋅












−ωµ
=
π
⋅







−µ
=
R
4
kRtsinI
R
4
v
R
tsinI
R
4
v
R
ti
A
m
m
, trong đó
vk
ω
=
là hệ số sóng.
Biểu diễn các đại lượng điều hòa bằng ảnh phức, ta có:

m
II =
&
;

l
r
&
&
r
⋅
π
µ
=
−
R
4
eI
A
jkR

Trong hệ tọa độ cầu (hình 5.2b):









⋅θ
π
µ
=θ=

−
R
e
cos
4
I
cosAA
jkR
m
R
l
&&


117









⋅θ
π
µ
−=θ−=
−
θ

R
e
sin
4
I
sinAA
jkR
m
l
&&

0A =
ϕ
&

Từ đây ta có thể tìm được các vector cường độ điện trường và từ trường:

Arot
1
H
0
&
r
&
r
µ
=

Hrot
j

1
E
0
&
r
&
r
ωε
=
tức
( )
θ








+
π
=
−
ϕ
sin
kR
1
kR
j

e
4
kI
H
2
jkR
2
m
l
&


( ) ( )
θ








−
π
=
−
cos
kR
j
kR

1
Ze
4
kI2
E
32
jkR
2
m
R
l
&


( ) ( )
θ








−+
π
=
−
θ
sin

kR
j
kR
1
kR
j
Ze
4
kI
E
32
jkR
2
m
l
&
,
trong đó
εµ=Z là trở kháng sóng của môi trường
(
[
]
Ωπ≅εµ= 120Z
000
đối với môi trường chân không). Các thành phần
còn lại (
ϕθ
E,H,H
R
&&&

) bằng 0.
Ở “vùng xa”, khoảng cách R lớn hơn nhiều so với bước sóng:
λ
>>R
,
hay
1R2kR
>>
λ
π
=
, ta có thể bỏ qua các số hạng bậc 2 hay bậc 3 trong các
biểu thức trên. Ta có các thành phần trường ở “vùng xa”:

[ ]
m/Vsin
R
e
4
kZjI
E
jkR
m
θ









π
=
−
θ
l
&


[ ]
m/A
Z
E
H
θ
ϕ
=
&
&

R
E
&
khi đó rất nhỏ có thể bỏ qua. Vậy tại các điểm ở “vùng xa” sóng bức xạ
có dạng gần như các sóng phẳng,
E
r
và
H

r
cùng pha nhau, vuông góc với nhau
và cùng vuông góc với phương truyền
R
i
r
và đều tỉ lệ với
θ
sin
. Trên hình 5.3
là các đường sức trường điện bức xạ bởi nguyên tố anten thẳng.
Vector Poynting trung bình, tức mật độ dòng công suất của trường bức
xạ là:

(
)
*
tb
HERe
2
1
S
&
r
&
r
r
×=
Trong trường hợp nguyên tố anten thẳng, theo các biểu thức rút ra ở
phần trên, ta có:

(
)
Rtb
i,RSS
r
r
⋅θ= , trong đó:

( )






θ=θ








π
=θ
2
2
0
2

22
22
m
2
m
W
sinSsin
R32
IZk
,RS
l


118
Ta nhận thấy cường độ bức xạ tỉ lệ nghòch với khoảng cách R từ điểm
xét đến anten và phụ thuộc góc
θ
, tức phân bố không đều theo các hướng. Ta
nói anten có tính đònh hướng.


Hình 5.3

Xét các thông số đặc trưng cơ bản của anten.
1. Đồ thò đònh hướng
là đồ thò trong không gian ba chiều biểu diễn cường độ
trường bức xạ hay mật độ công suất bức xạ theo các hướng khác nhau phụ
thuộc vào góc tà
θ
và góc phương vò

ϕ
.
Theo tính tương hỗ của anten, anten thu có cùng đồ thò đònh hướng với
anten phát nếu ta sử dụng cùng một loại anten để thu – phát.
Đồ thò đònh hướng của một anten bất kỳ được xác đònh bởi cường độ bức
xạ chuẩn hóa, ta ký hiệu là
(
)
ϕ
θ
,F , có giá trò bằng:

( )
(
)
max
S
,,RS
,F
ϕθ
=ϕθ (không thứ nguyên)
Với nguyên tố anten thẳng ta có














λ
π
=








π
==
2
2
2
2
m
22
22
m
2
0max
m
W

R
I15
R32
IZk
SS
ll
khi
2
π
=
θ
.
Vậy
(
)
(
)
θ=θ=ϕθ
Fsin,F
2
. Đồ thò của
(
)
θ
F được trình bày trên hình 5.4.
Xét một anten phát đặt ở gốc tọa độ một hệ tọa độ cầu (hình 5.5). Vi
phân công suất bức xạ qua diện tích
dA
là:

SdAdAiSdASdP
Rtbtbrad
=⋅=⋅=
r
r
r

S là thành phần bán kính của vector Poynting trung bình
tb
S
r
.


119





Hình 5.4 Hình 5.5

Ở “vùng xa” của một anten bất kỳ vector
tb
S
r
chỉ có thành phần bán
kính, ta có: ϕθθ=
ddsinRdA
2

.
Đặt
ϕθθ==Ω ddsin
R
dA
d
2

⇒

(
)
Ωϕθ= d,,RSRdP
2
rad
.
Vậy công suất bức xạ bằng:

( ) ( )
( )
[ ]
Wd,FSR
ddsin,FSRddsin,,RSRP
4
max
2
2
0 0
max
2

2
0 0
2
rad
∫∫
∫ ∫∫ ∫
π
π
=ϕ
π
=θ
π
=ϕ
π
=θ
Ωϕθ=
ϕθθϕθ=ϕθθϕθ=


2. Độ rộng của đồ thò đònh hướng

Đối với các anten chỉ có một búp chính, để so sánh đồ thò đònh hướng
của các anten khác nhau người ta dùng khái niệm độ rộng của đồ thò đònh
hướng. Thông thường người ta sử dụng hai khái niệm độ rộng sau:
– Độ rộng theo mức 0 là góc giữa hai hướng mà tại đó cường độ bức xạ giảm
đến 0;
– Độ rộng theo mức 3 dB (nửa công suất) là góc giữa hai hướng mà tại đó
cường độ bức xạ giảm một nửa so với hướng cực đại.
Ta có thể đưa ra ví dụ sau. Trên hình 5.6a là đồ thò đònh hướng của anten loa
trên mặt phẳng

0=ϕ
của hệ tọa độ cầu (hệ tọa độ cực trên mặt phẳng). Trong
nhiều trường hợp để tiện phân tích người ta biểu diễn đồ thò đònh hướng trong
hệ tọa độ vuông góc (hình 5.6b). Ta có thể xác đònh độ rộng theo mức 3 dB
như sau:
12
θ
−
θ
=
β
, trong đó
21
,
θ
θ
là các góc sao cho
(
)
5,0,F
2,1
=
ϕ
θ
.
Trong trường hợp nguyên tố anten thẳng (hình 4.2),
(
)
θ
F cực đại khi

o
90
=
θ

⇒

o
2
o
1
135,45 =θ=θ . Vậy
ooo
9045135 =−=β
.
3. Hệ số đònh hướng


120

( )
p
4
tb
max
4
d,F
4
1
1

F
F
D
Ω
π
=
Ωϕθ
π
==
∫∫
π
[không thứ nguyên]
trong đó
( )
∫∫
π
Ωϕθ=Ω
4
p
d,F .
p
Ω
gọi là góc đặc của búp. Vậy hệ số đònh hướng
tỉ lệ nghòch với
p
Ω
. Ta có thể viết D dưới dạng sau:

tb
max

rad
max
2
S
S
P
SR4
D =
π
= , trong đó
2
rad
tb
R
4
P
S
π
= là mật độ công suất bức
xạ trung bình của anten. Thông thường D được tính bằng decibel:
[
]
Dlog10dBD
=
.
Trên hình 5.7 mô tả ý nghóa hình học của góc
p
Ω
. Xét anten có một búp
có đồ thò dònh hướng như trên hình 5.8. Ta có:

yzxzp
β
β
≈
Ω
, suy ra:

yzxzp
44
D
ββ
π
≈
Ω
π
=
.
Công thức này có thể dùng để đánh giá gần đúng hệ số đònh hướng của anten
bằng cách đo đạc.

a). b).
Hình 5.6


121

Hình 5.7

a). b). c).
Hình 5.8

Ví dụ 1
:
Xác đònh hướng mà tại đó cường độ bức xạ cực đại, tính góc đặc
p
Ω
, hệ
số đònh hướng, độ rộng theo mức 3 dB của anten bức xạ chỉ trên nửa cầu trên
và có cường độ bức xạ chuẩn hóa là
(
)
θ=ϕθ
2
cos,F
.


Hình 5.9
♦ Vì hướng bức xạ chỉ ở nửa cầu trên nên ta
có thể viết:
( ) ( )





π≤ϕ≤

π≤θ≤θ
=θ=ϕθ
lại còn điểm các tại 0
20
20cos
F,F
2

– Đồ thò đònh hướng của anten có dạng như
trên hình 5.9.

– Tính góc đặc của anten:

122

( )
∫ ∫
∫∫ ∫ ∫
π
=ϕ
π
π
π
π
=ϕ
π
=θ
π
=ϕ=ϕ









θ
−=
ϕ








θθθ=Ωϕθ=Ω
2
0
2
0
2
0
3
4
2
0
2

0
2
p
3
2
d
3
1
d
3
cos
ddsincosd,F


– Hệ số đònh hướng:
6
2
3
4
4
D
p
=
π
⋅π=
Ω
π
=
;
[

]
dB78,76log10dBD
=
=
.
– Độ rộng theo mức 3 dB:
(
)
5,0cos,F
2,1
2
2,1
=θ=ϕθ
⇒

o
2
o
1
45,45 =θ−=θ
⇒

o
12
90=θ−θ=β .
♦
Ví dụ 2
:
Tính hệ số đònh hướng của nguyên tố anten thẳng.
♦ Đối với nguyên tố anten thẳng ta có

(
)
θ=θ
2
sinF
. Hệ số đònh hướng:

( )
5,1
38
4
ddsin
4
ddsin,F
4
D
2
0 0
3
4
=
π
π
=
ϕθθ
π
=
ϕθθϕθ
π
=

∫ ∫
∫∫
π
=ϕ
π
=θ
π


[
]
dB76,15,1log10dBD
=
=
. ♦
4. Độ lợi:
Gọi
t
P là công suất tổng do nguồn cung cấp cho anten,
rad
P là công suất
bức xạ,
loss
P là công suất tiêu hao do tỏa nhiệt (
lossradt
PPP
+
=
). Ta đònh
nghóa hiệu suất bức xạ của anten là tỉ số giữa công suất bức xạ và công suất

tổng:
t
rad
P
P
=η (không thứ nguyên)
Độ lợi của anten:

t
max
2
P
SR4
G
π
= .
Ta có mối liên quan giữa
D,,G
η
:
DG
η
=
.
Đối với anten không tổn hao thì
1=η
.
5. Điện trở bức xạ:

rad

P là công suất bức xạ,
loss
P là công suất tiêu hao của anten. Ta viết
các biểu thức cho
rad
P và
loss
P dưới dạng:

rad
2
mrad
RI
2
1
P = ;
loss
2
mloss
RI
2
1
P =

123
trong đó
m
I là biên độ dòng điện kích thích anten.
rad
R và

loss
R gọi là điện
trở bức xạ và điện trở tiêu hao của anten. Vậy ta có thể viết biểu thức tính hiệu
suất bức xạ phụ thuộc vào
rad
R và
loss
R .

lossrad
rad
lossrad
rad
t
rad
RR
R
PP
P
P
P
+
=
+
==η .
Có thể tính
rad
R bằng cách lấy tích phân mật độ công suất
(
)

ϕ
θ
,,rS theo các
biến số để tìm
rad
P rồi tính
rad
R .

Ví dụ
:
Cho anten là một đoạn dây dẫn 4 cm bức xạ ở tần số 75 MHz. Anten
được làm bằng đồng và có bán kính a = 0,4 mm. Cho biểu thức tính
loss
R như
sau:

c
c
loss
f
a2
1
R
σ
µπ
π
=
trong đó
c

µ
và
c
σ
là độ thẩm từ và độ dẫn điện của dây dẫn. Tính điện trở bức
xạ và hiệu suất bức xạ của anten.
♦ f=75 MHz
m4
105,7
103
f
c
7
8
=
⋅
⋅
==λ⇒
50
1
10
m4
cm4
2
<==
λ
⇒
−
l
.

Vậy có thể coi anten này là nguyên tố anten thẳng. Ta có:

max
2
rad
S
D
R4
P ⋅
π
=
Như đã tính ở ví dụ trước, với nguyên tố anten thẳng thì
5,1D =
, suy ra:
2
2
m
2
2
2
2
m
2
rad
I40
R
I15
5,1
R4
P







λ
π=






λ
⋅
π
⋅
π
=
ll

Ω=






λ

π=⇒ 08,080R
2
2
rad
l
.
Để tìm η ta cần tính
loss
R . Trong sổ tay tra cứu ta tìm các giá trò
c
µ
và
c
σ
của đồng: mS108,5;mH104
77
0c

c
−
−
⋅=σ⋅π=µ≈µ .

Ω=









⋅
⋅π⋅⋅⋅π
⋅
⋅⋅π
⋅
=
σ
µπ
π
=
−
−
−
0,036
21
7
76
4
2
c
c
loss
108,5
1041075
1042
104
f
a2

1
R

%6969,0
036,008,0
08,0
R
loss
==
+
=
+
=η⇒
rad
rad
R
R
. ♦

V.3 Trường bức xạ của nguyên tố anten vòngV.3 Trường bức xạ của nguyên tố anten vòng


124
x
y
z
M
ld
ϕ
R

r
'ϕ
i


Hình 5.10
Nguyên tố anten vòng hay
dipole từ là một vòng dây hình tròn
có bán kính a rất nhỏ (a << λ) có
dòng điện chạy qua. Vì kích thước
anten nhỏ nên có thể coi dòng điện
tại mọi điểm trên vòng dây là như
nhau:
(
)
tsinIi
m
ω
=
(hình 5.10). Xét
đoạn l
d
trên vòng dây, ta có vi
phân của thế vector được tính như
sau:

r
4
edI
Ad

jkr
m
π
⋅µ
=
−
l
&
r



Khi đó vector
A
&
r
chỉ có thành phần phương vò
ϕ
A
&
.

'd'cosa
r
e
4
I
'd'cosa
r4
eI

AdAdA
jkr
m
jkr
m
ϕϕ⋅
π
µ
=
ϕϕ⋅
π
⋅µ
===
∫
∫∫∫
π
−
π
−
ϕϕ
2
0
2
0

&&&

Ở “vùng xa” a << r, do đó
θ
ϕ

−
≈
sin'cosaRr . Tuy nhiên cần chú ý rằng r ở
lũy thừa trong thừa số
jkr
e
−
cần tính càng chính xác càng tốt bởi sự lệch pha
có thể ảnh hưởng lớn đến thế vector (nếu độ lệch pha vượt quá π / 8 là không
thể chấp nhận được). Vậy ta có:
'd'cose
R4
eaI
A
'cossinjka
jkR
m
ϕϕ
π
µ
=
∫
π
ϕθ
−
ϕ
2
0
&
;

Mặt khác
1
a2
ka <<
λ
π
= , suy ra:
'cossinjka1e
'cossinjka
ϕθ+≈
ϕ
θ

( )
'd'cossinjkacos
R4
eaI
A
2'
jkR
m
ϕϕθ+ϕ
π
µ
=⇒
∫
π
−
ϕ
2

0

&

θ
π
πµ
=⇒
−
ϕ
sin
R4
ekIa
jA
jkR
m
2
&

Ta xác đònh các thành phần vector
E
&
r
và
H
&
r
theo các phương trình sau:

Hrot

j
1
E;Arot
1
H
&
r
&
r
&
r
&
r
ωε
=
µ
=
Vậy ở “vùng xa” ta có:

125

jkR
2
m
22
esin
R
Ia
H
−

θ
⋅θ
λ
π
−=
&


θ
−
ϕ
−=⋅θ
λ
π
= HZesin
R
Ia
ZE
jkR
2
m
22
&&

Trong miền thời gian ta có:








ω−ω⋅
λ
θπ
−=
θ
v
R
tsin
R
sinIa
H
2
m
22








ω−ω⋅
λ
θπ
=
ϕ
v

R
tsin
R
sinIa
ZE
2
m
22

Như vậy sóng điện từ bức xạ bởi nguyên tố anten vòng cũng là sóng cầu, tương
tự như trường hợp nguyên tố anten thẳng,chỉ khác ở chỗ
ϕ
E của anten thẳng
được thế bởi
θ
H của anten vòng và
θ
H của anten thẳng được thế bởi
ϕ
E của
anten vòng.
ϕ
E và
θ
H ngược pha nhau.
Mật độ công suất của trường bức xạ là:

{ }
( )
RR

2
tb
i,RSi
Z
E
2
1
*HERe
2
1
S
rr
&
&
r
&
rr
⋅θ=⋅=×=
ϕ


( )
θ⋅⋅






λ

π
=θ
22
m
2
4
sinI
R
1a
Z,RS ⇒
(
)
θ=ϕθ
2
sin,F .
Vậy đồ thò đònh hướng của nguyên tố anten vòng cũng giống như của
nguyên tố anten thẳng.
Công suất bức xạ:
2
mrad
2
m
4
rad
IR
2
1
I
a2
6

ZP =






λ
π
⋅
π
⋅= .
Điện trở bức xạ:
4
rad
a2
3
ZR






λ
π
⋅
π
⋅= .
Trong không khí:

π=
ε
µ
= 120Z
0
0
0
, khi đó
2
m
4
2
rad
I
a2
20P






λ
π
π= ;
4
2
rad
a2
40R







λ
π
π=
Ta nhận thấy công suất bức xạ của anten thẳng lớn hơn nhiều so với anten
vòng.

V.4 Trường bức xạ của hệ thống antenV.4 Trường bức xạ của hệ thống anten
Ở các phần trên ta chỉ xét hai loại nguồn bức xạ đơn giản nhất. Trong
thực tế người ta dùng nhiều loại anten khác nhau tùy theo từng nhu cầu sử
dụng. Ở đây ta chỉ xét sơ lược các loại anten sau: anten nửa sóng, anten thẳng
có chiều dài bất kỳ, dàn anten.


126
V.4.1 Trường bức xạ của anten nửa sóngV.4.1 Trường bức xạ của anten nửa sóng
Xét một đoạn dây dẫn thẳng có chiều dài
2
λ
=
l được kích thích bởi
nguồn thông qua đường dây truyền sóng đến điểm giữa đoạn dây (hình 5.11a).
Dòng điện chảy qua đoạn dây biến thiên theo tọa độ z.

(

)
[
]
tj
mm
ekzcosIRekzcostcosIzi
ω
⋅=ω=

(
)
kzcosIzI
m
=
&
;
4
z
4
λ
≤≤
λ
− ;
λ
π
=
2
k .

a). b).
Hình 5.11

Xét đoạn dz vô cùng nhỏ trên dây dẫn (hình 5.11b). dz là nguyên tố anten
thẳng nên ta có:

( ) ( )
'sin
r
e
dzzI
4
jkZ
zEd
jkr
θ








⋅
π
=
−
θ

&&


( ) ( )
zEd
Z
1
zHd
θϕ
=
&&
;
( )
∫
λ
λ−=
θθ
=
4
4z
zEdE
&&

Ở “vùng xa”
λ
>>R
, ta có
θ
−
≈

cos
z
R
r
, suy ra:

( ) ( )
θ
−
θ
⋅θ








⋅
π
=
cosjkz
jkR
esin
R
e
dzzI
4
jkZ

zEd
&&

Cuối cùng ta có các thành phần trường điện và từ của trường bức xạ trong
không khí là:









⋅












θ







θ
π
⋅⋅=
−
θ
R
e
sin
cos
2
cos
I60jE
jkR
m
&


Z
E
H
θ
ϕ
=
&
&
, trong đó

ε
µ
=Z .
Vậy mật độ dòng công suất bức xạ trung bình là:

127
( )






θ






θ
π
=
θ







θ
π
π
==θ
θ
2
m
W

2
2
0
2
2
2
2
m
2
sin
cos
2
cos
S
sin
cos
2
cos
R
I15
Z

E
,RS
&

trong đó
2
2
m
0
R
I15
S
π
= .
Có thể chứng minh được rằng
(
)
θ
,RS cực đại khi 2
π
=
θ
và
2
2
m
0max
R
I15
SS

π
== . Vậy cường độ bức xạ chuẩn hóa là:

( )
( )
2
0
sin
cos
2
cos
S
,RS
F












θ







θ
π
=
θ
=θ .
Anten nửa sóng có đồ thò đònh hướng dạng giống như nguyên tố anten thẳng
(hình 5.12a).
Công suất bức xạ bằng:
( )
∫∫
π
Ωθ=
4
2
rad
d,RSRP
∫∫
π π
ϕθθ













θ






θ
π
π
=
2
0 0
2
2
m
ddsin
sin
cos
2
cos
I15
.
Kết quả ta nhận được:
2
mrad

I6,36P = mà
(
)
22
mmax
RI15S π= , từ đây ta
có thể tính hệ số đònh hướng của anten nửa sóng.

64,1
R
I15
I6,36
R4
P
SR4
D
2
2
m
2
m
2
rad
max
2
=









π
π
=
π
= ;

[
]
dB

15,264,1log10dBD
=
=

Điện trở bức xạ:
Ω≈
⋅⋅
== 73
I
I6,362
I
P2
R
2
m
2

m
2
m
rad
rad

Ví dụ
:
Trở lại ví dụ với đoạn dây đồng dài
cm

4
=
l với
m

4
=
λ
. Như ta đã
tính được
Ω
=

08,0R
rad
;
Ω
=

036,0R
loss
;
%
69
=
η
. Nếu tăng chiều dài dây
lên
m

2
=
l thì tương tự ta cũng tính được
Ω
=

73R
rad
;
Ω
=
8,1R
loss

98%

=
η
⇒

. Như vậy hiệu suất bức xạ trong trường hợp này tăng đáng kể.
Hơn nữa, thực hiện phối hợp trở kháng với điện trở 73 Ω dễ hơn nhiều so với
0,08 Ω.

V.4.2 Trường bức xạ của anten thẳng có chiều dài bất kỳV.4.2 Trường bức xạ của anten thẳng có chiều dài bất kỳ
Xét một đoạn dây dẫn chiều dài l được kích thích tại điểm giữa
2z l
=
. Biên độ dòng điện trong đoạn dây phụ thuộc vào tọa độ z như sau:

128

( )







≤≤













+
≤≤












−
=
0z
2
ksinI
z
2
ksinI
zI
m
m
z
2

- với
2
z0 với
ll
ll
&

Ta có thể tìm các thành phần vector
E
r
và
H
r
của trường bức xạ theo trình tự
tương tự như với các loại anten đã xét.







≤≤













+
≤≤












−
⋅⋅θ








π

=
θ−
−
θ
0z
2
ksinI
z
2
ksinI
dzesin
R
e
4
jkZI
Ed
m
m
cosjkz
jkR
m
z
2
- với
2
z0 với
ll
ll
&

⇒






















++













−θ








π
=
+==
∫∫
∫∫∫
−
θθ
−
−
θθ
−
θθ
dzz
2
ksinedzz

2
ksinesin
R
e
4
jkZI
EdEdEdE
0
2
cosjkz
2
0
cosjkz
jkR
m
0
2
2
0
2
2
l
l
l
ll
l
ll
&&&&

Thế công thức Euler

(
)
(
)
θ+θ=
θ
coskzsinjcoskzcose
cosjkz
vào biểu thức trên,
ta có













θ







−






θ
⋅








=
−
θ
sin
2
k
coscos
2
k
cos
R
e
I60jE

jkR
m
ll
&
.


129

a).
2
/
λ
=
l b).
λ
=
l c).
2
/
3
λ
=
l
Hình 5.12

Mật độ công suất trung bình:
( )
2
2

2
m
2
sin
2
k
coscos
2
k
cos
R
I15
Z2
E
S












θ







−






θ
π
==θ
θ
ll
&

trong đó
λ
π
=
2k
Cường độ bức xạ chuẩn hóa:
( )
(
)
max
S
,RS

F
θ
=θ .
Đồ thò đònh hướng của các anten thẳng chiều dài
23,,2
λ
λ
λ
=
l được
biểu diễn trên hình 5.12a), b), c).



V.4.3 Trường bức xạ của dàn antenV.4.3 Trường bức xạ của dàn anten
Trong kỹ thuật để nhận được anten có đồ thò đònh hướng phù hợp với
các nhu cầu sử dụng nhất đònh người ta dùng dàn anten. Trong mục này ta xét

130
trường hợp dàn anten gồm N anten thẳng đặt song song dọc theo trục z cách
nhau các đoạn d (hình 5.13). Vậy chiều dài của dàn anten là
(
)
d1N
−
=
l .


Hình 5.13

Tại vùng xa đối với tất cả các anten thẳng, cường độ điện trường bức xạ
bằng:

( ) ( )
ϕθ=ϕθ
−
,f
R
e
,,RE
e
i
jkR
i
&
&
,
trong đó thừa số thứ nhất thể hiện sự truyền sóng theo phương bán kính, thừa
số thứ hai là đặc tính phương hướng của trường bức xạ của các phần tử anten.
Tương ứng, ta có mật độ công suất bức xạ:

( ) ( ) ( )
2
e
2
0
2
0
e

,f
RZ2
1
,,RE
Z2
1
,,RS ϕθ=ϕθ=ϕθ
&
&
.
Cường độ trường bức xạ ở vùng xa tương ứng với 1 anten thứ i là:

( ) ( )
ϕθ=ϕθ
−
,f
R
e
A,,RE
e
jkR
iie
i
&
&
,
trong đó
i
j
ii

eaA
ψ
= là biên độ dòng điện kích thích anten thứ i (là các hệ số
phức). Chú ý rằng ở đây các giá trò
ii
A,R có thể khác nhau đối với mỗi anten,
nhưng hàm
(
)
ϕθ,f
e
&
là không đổi do ta giả thiết rằng các phần tử anten thẳng
như nhau.
Cường độ trường bức xạ tổng tại điểm
(
)
ϕ
θ
,,RP
0
của dàn anten là:

( ) ( ) ( )
ϕθ⋅









=ϕθ=ϕθ
∑∑
−
=
−
−
=
,f
R
e
A,,RE,,RE
e
1N
0i
i
jkR
i
1N
0i
ii0
i
&&&
,
trong đó
0
R là khoảng các giữa điểm P và phần tử thứ 0 của dàn anten. Vì P
nằm ở vùng xa,

i
R ở mẫu số của công thức trên có thể coi bằng
0
R , còn giá
trò
i
R ở lũy thừa thì cần tính chính xác hơn. Ta có:

131
θ
−
=
θ
−
≈
cosidRcoszRR
0i0i
, trong đó idz
i
=
là khoảng các giữa phần tử
thứ i và phần tử thứ 0. Vậy ta có thể viết lại công thức cường độ trường bức xạ:

( ) ( )

















⋅ϕθ=ϕθ
∑
−
=
θ
−
1N
0i
cosjikd
i
0
jkR
e0
eA
R
e
,f,,RE
0
&&
.

Mật độ công suất bức xạ có dạng:

( ) ( ) ( )
2
1N
0i
cosjikd
i
2
e
2
00
2
0
0
0
eA,f
RZ2
1
,,RE
Z2
1
,,RS
∑
−
=
θ
⋅ϕθ=ϕθ=ϕθ
&
&

( )
2
1N
0i
cosjikd
i0e
eA,,RS
∑
−
=
θ
ϕθ=
Biểu thức này bao gồm hai thừa số: thừa số thứ nhất
(
)
ϕ
θ
,,RS
0e
là mật độ
công suất bức xạ của 1 phần tử anten, thừa số thứ hai là hệ số dàn, ta ký hiệu
là
(
)
θ
a
F :

( )
2
1N
0i
cosjikd
ia
eAF
∑
−
=
θ
=θ ⇒
(
)
(
)
(
)
θ
⋅
ϕ
θ
=
ϕ
θ
a0e0
F,,RS,,RS .
Thông thường các giá trò
i
A là các số phức

i
j
ii
eaA
ψ
= , do đó ta có thể viết:

( )
2
1N
0i
cosjikdj
ia
eeaF
i
∑
−
=
θψ
=θ .

Ví dụ
:
Vẽ đồ thò đònh hướng trên mặt phẳng ngang của dàn anten gồm 2 phần
tử anten nửa sóng đặt song song cách nhau một khoảng nửa bước sóng (λ / 2)
tương ứng với trục z (hình 5.14a). Dòng điện chạy qua anten 1 và 2 có cùng
biên độ và lệch pha -π / 2 với nhau.
♦ Chọn gốc tọa độ là điểm giữa của 2 anten (hình 5.14b), khi đó khoảng
cách từ mỗi anten đến gốc tọa độ là π / 4. Trên mặt phẳng ngang các anten bức
xạ đều ra xung quanh, tức

0e
SS
=
với mọi góc θ, trong đó
0
S là mật độ công
suất bức xạ tối đa của mỗi anten. Suy ra mật độ công suất bức xạ của dàn 2
anten là:

(
)
(
)
θ
=
θ
a0
FS,RS .
Vì 2 anten đặt cách nhau một khoảng d = λ / 2 và dòng điện chảy trên chúng
có biên độ như nhau ( 1aa
10
=
=
) và pha 0
0
=
ψ
; 2/
1
π

−
=
ψ
, thế các giá trò
này vào biểu thức tính
(
)
θ
a
F , ta có:

132
( )
( )( ) ( )
2
2/cosj
2
cos2//2j2/j
2
1N
0i
cosjikdj
ia
e1ee1eeaF
i
π−θπθλλππ−
−
=
θψ
+=+==θ

∑
.
Mặt khác
(
)
2
2/jx2/jx
2
2/jx
2
2/jx2/jx2/jx
2
jx
eeeeeee1
−−−−
+=+=+

[
]






=
+
=
−
−

2
x
cos4
2
ee
2e
2
2
2/jx2/jx
2
2/jx
.
Suy ra:
( )






π
−θ
π
=θ
4
cos
2
cos4F
2
a

. Khi đó mật độ công suất bức xạ của dàn
anten bằng:

( ) ( )






π
−θ
π
=θ=θ
4
cos
2
cosS4FS,RS
2
0a0
.
Hàm số này có giá trò cực đại là:
0max
S4S
=
khi 0
4
cos
2
=

π
−θ
π
, tức
o
60
=
θ
.
Vậy cường độ bức xạ chuẩn hóa của dàn anten là:

( )
(
)






π
−θ
π
=
θ
=θ
4
cos
2
cos

S
,RS
F
2
max
.
Đồ thò đònh hướng của dàn anten này được vẽ trên hình 5.14c). ♦

a). b). c).
Hình 5.14



133
Chương VI. Chương VI. ỐNG DẪN SÓNG VÀ ỐNG DẪN SÓNG VÀ HỘP CỘNG HƯỞNGHỘP CỘNG HƯỞNG

VI.1 Khái niệmVI.1 Khái niệm
Sóng điện từ có thể lan truyền trong không gian tự do hoặc truyền theo
đường dây truyền sóng đònh hướng. Một trong các loại đường dây truyền sóng
thông dụng nhất là đường dây song hành. Tuy nhiên ở tần số cao, sóng truyền
theo đường dây song hành bò tổn hao lớn do bức xạ ra không gian xung quanh.
Để truyền sóng ở tần số siêu cao (
GHz3
≥
) người ta hay dùng ống dẫn sóng.
Ống dẫn sóng là ống kim loại rỗng, không có dây dẫn bên trong.
Ta có thể hình dung sự lan truyền sóng điện từ trong ống dẫn sóng qua
ví dụ sau. Xét một đường dây song hành có đặt các khung chữ nhật vuông góc
với đường dây (tức mắc song song với đường dây). Ta tìm các điều kiện để các
khung này không ảnh hưởng đến sóng lan truyền trên đường dây. Người ta

chứng minh được trở kháng vào của đoạn dây mắc song song với đường truyền
được tính bằng công thức:
(
)
( )
λπ+
λπ+
=
/2tgjZZ
/2tgjZZ
ZZ
L0
0L
0in
l
l
,
trong đó
0
Z là trở kháng đặc tính của đoạn dây,
L
Z là trở kháng tải ở đầu
đoạn dây. Vì đoạn dây là khung chữ nhật, tức hai đầu nối tắt, ta có 0Z
L
=
,
suy ra
(
)
λ

π
=
/2tanjZZ
0in
l .
Khi 4/
λ
=
l thì
∞
→
in
Z , tức 0Y
in
=

⇒
các khung dây không ảnh
hưởng đến sóng lan truyền trên đường dây song hành.


Hình 6.1

Vậy nếu tăng số khung dây lên đến vô cùng, sự truyền sóng trên đường
dây cũng không bò ảnh hưởng, ta được ống dẫn sóng có tiết diện chữ nhật.
Sóng điện từ sẽ truyền tập trung ở trong ống. Trường điện điều hòa phân bố
dọc theo chiều a như trên hình 6.1.
Dùng ví dụ minh họa tương tự ta có thể đi từ một khung dao động LC
đến một hộp cộng hưởng hình toroid (hình 6.2), hình trụ (hình 6.3). Nếu hộp
cộng hưởng được kích thích thì sóng điện từ sẽ lan truyền và bò phản xạ nhiều

134
lần trên thành hộp, giao thoa với nhau và hình thành các sóng đứng. Tần số
sóng phụ thuộc hình dạng và kích thước hộp.



a).

b).
Hình 6.2

1. Sóng điện từ trên đường truyền sóng có đònh hướng.1. Sóng điện từ trên đường truyền sóng có đònh hướng.
Xét đường truyền sóng bất kỳ trên hình 6.4. Giả sử sóng điện từ lan
truyền trong đường truyền biến thiên điều hòa theo thời gian.
Các thành phần trường HE
&
r
&
r
, trong đường truyền phải thỏa mãn phương
trình sóng:
0HkHH
v
H
0EkEE
v
E
2
2

2
2
=+∆=






ω
+∆
=+∆=






ω
+∆
&
r
&
r
&
r
&
r
&
r

&
r
&
r
&
r



Hình 6.3

Hình 6.4

Điều kiện bờ: 0E
=
τ
do thành ống làm bằng kim loại siêu dẫn. Vậy ta có:

135

.


0EkE
0EkE
0EkE
x
2
x
x

2
x
z
2
z
=+∆
=+∆
=+∆
&&
&&
&&

hay viết dưới dạng tổng quát:

0
L
kL
2
=
+
∆
&&
( ,H ,,E,EL
xzx
&&&&
= )
tức
0Lk
z
L

y
L
x
L
2
222
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
&
&&&
.
Để giải phương trình này ta dùng phương pháp phân ly biến số Fourier.
Đặt
(
)
(
)
(
)
tj
ezZyYxXL
ω
⋅= , tức

(
)
(
)
(
)
zZyYxXL
&&&&
= . Thế
L
&
vào phương trình
sóng ta có:

2
2
2
2
2
2
2
k
z
Z
Z
1
y
Y
Y
1

x
X
X
1
−=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅
&
&
&
&
&
&
.
Vì các hàm
(
)
(
)
(
)
zZ,yY,xX
&&&

là các hàm số độc lập nên các số hạng của đẳng
thức trên phải độc lập với nhau, tức bằng các hằng số.

2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
Z
Z
1
,
y
Y
Y
1
,
x
X
X
1
γ=
∂
∂
⋅η−=

∂
∂
⋅ξ−=
∂
∂
⋅
&
&
&
&
&
&
(dấu – ở đây mang tính bất
kỳ);
2222
k=γ−η+ξ
.
Nghiệm của các phương trình trên có dạng:

z
6
z
5
yj
4
yj
3
xj
2
xj

1
eCeCZ
eCeCY
eCeCX
γ−γ
η−η
ξ
−
ξ
+=
+=
+=
&
&
&

Chọn trục z làm chiều truyền sóng. Giữ nguyên hàm
(
)
zZ
&
dưới dạng
mũ, còn các hàm
(
)
(
)
yY,xX
&&
viết dưới dạng lượng giác như sau:

(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
yCCjyCCyY
xCCjxCCxX
4343
2121
η−+η+=
ξ−+ξ+=
sincos
sincos
&
&

⇒

(
)
(
)
( ) ( )
ψ−η=
ϕ−ξ=
yByY
xAxX

cos
cos
&
&

trong đó
A
và
ϕ
là các hằng số mới thay cho
21
C,C ;
B
và
ψ
thay cho
43
C,C .
⇒

(
)
(
)
(
)
(
)
z
2

z
1
eycosxcosDeycosxcosDL
γ
γ
−
ψ−ηϕ−ξ+ψ−ηϕ−ξ=
&

trong đó
21
D,D là các hằng số mới thay cho
65
C,C,B,A .
Hai số hạng trong biểu thức trên đặc trưng cho hai thành phần sóng tới
và sóng phản xạ truyền theo trục z. Để khảo sát sự truyền sóng trong đường
truyền ta chỉ cần khảo sát 1 trong 2 thành phần, chẳng hạn thành phần sóng

136
tới. Điều này tương đương với việc xét đường truyền dài vô hạn, sóng truyền
không phản xạ ngược lại.
Vậy lời giải của phương trình sóng dạng vô hướng có dạng:

(
)
(
)
z
1
eycosxcosDL

γ
−
ψ−ηϕ−ξ=
&

Các hằng số
ξ
và
η
thường được gọi là các hệ số sóng theo phương
ngang. Đôi khi các phương trình này được viết dưới dạng gọn hơn như sau:

DL
=
&
sin
cos
(
)
x
ξ
sin
cos
(
)
y
η
z
e
γ

−
⋅

hoặc dạng:
(
)
z
ey,xFL
γ
−
⋅=
&
.
Thay
L
&
bằng
E
&
r
hay
H
&
r
ta được:

( )
z
m
ey,xEE

γ−
⋅=
r
&
r
;
( )
z
m
ey,xHH
γ−
⋅=
r
&
r

γ là số phức và
β
+
α
=
γ
j ;
α
là hệ số tắt hay hệ số suy hao;
β
là hệ số pha.
Như ở chương III ta đã đònh nghóa vận tốc pha
ϕ
v là vận tốc di chuyển

của các mặt đẳng pha, tức β thỏa điều kiện
const
z
t
=
β
−
ω
. Lấy vi phân hai vế
ta có: dzdt
β
=
ω

⇒

β
ω
=
dt
dz
. Vậy
β
ω
=
ϕ
v .
Tuy nhiên khái niệm vận tốc pha chỉ được sử dụng cho sóng đơn sắc có
tần số góc là ω. Mối quan hệ giữa vận tốc pha
ϕ

v với bước sóng trên đường
truyền như sau:

π
ω
λ=λ=
λ
=
ϕ
2
f
T
v
0
0
;
trong đó
0
f là tần số sóng tính bằng Hz, λ là bước sóng trên đường truyền. Để
phân biệt bước sóng trên đường truyền và bước sóng trong chân không ta ký
hiệu bước sóng trong chân không là
0
λ
. Từ hai biểu thức trên suy ra:
λ
π
=
β
2 . Hệ số pha β còn được gọi là hệ số sóng theo chiều dọc.
Để tìm

ϕ
v ta lại dùng phương trình sóng:

0
H
kH
0EkE
2
2
=
+
∆
=+∆
&
r
&
r
&
r
&
r

Vì
( )
z
m
ey,xEE
γ−
⋅=
&

r
&
r
;
( )
z
m
ey,xHH
γ−
⋅=
&
r
&
r
, và sau một vài phép biến đổi ta
có:

( )
0Ek
y
E
x
E
EkE
y
E
x
E
22
2

2
2
2
22
2
2
2
2
=γ++
∂
∂
+
∂
∂
=+γ+
∂
∂
+
∂
∂
&
r
&
r
&
r
&
r
&
r

&
r
&
r


( )
0Hk
y
H
x
H
HkH
y
H
x
H
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
=γ++
∂
∂

+
∂
∂
=+γ+
∂
∂
+
∂
∂
&
r
&
r
&
r
&
r
&
r
&
r
&
r


137
Nếu
( ) ( )
y,xfH;y,xfE ≠≠
&

r
&
r
, tức
0
y
E
x
E
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
&
r
&
r
;
0
y
H
x
H
2

2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
&
r
&
r
, ta có
trường hợp sóng phẳng hay sóng điện từ ngang (sóng TEM). Khi đó
0k0k
2222
=β−⇒=γ+
⇒
εµω=β=k . Vận tốc pha khi đó sẽ không phụ
thuộc vào tần số:
rr
c1
v
µε
=
εµ
=
ϕ
. Ta gọi đây là nhóm sóng không tán xạ.

Nếu
E
&
r
và
H
&
r
là các hàm số của các tọa độ x, y thì
0
y
E
x
E
2
2
2
2
≠
∂
∂
+
∂
∂
&
r
&
r
;
0

y
H
x
H
2
2
2
2
≠
∂
∂
+
∂
∂
&
r
&
r
. Ta có
2222
k=γ−η+ξ , trong đó εµω=k . Xét các trường
hợp:
– Khi
0=γ
thì
εµω=η+ξ
222
, suy ra
εµ
η+ξ

=ω
22
. Ta gọi giá trò này là
tần số góc tới hạn
th
ω
:
εµ
η+ξ
=ω
22
th
; tương ứng ta có các giá trò tần số tới
hạn
εµπ
η+ξ
=
π
ω
=
2
2
f
22
th
th
và bước sóng tới hạn
22
rr
22

th
th
2
2c
f
c
η+ξ
µεπ
=
η+ξ
εµπ⋅
==λ
.
– Khi
th
ω
<
ω
: 0
2
>γ ⇒
α
=
γ
. Hệ số pha của sóng lúc này bằng 0,
tức sóng không truyền được trên đường truyền sóng. Hệ số tắt có thể xác đònh
như sau:

1
f

f
f2
1
2
2
th
2
22
222
−εµπ=
−
εµω
η+ξ
εµω=η+ξ+εµω−=α=γ

– Khi
th
ω
>
ω
:
0
2
<γ
⇒
β
=
γ
j
. Khi đó sóng truyền không tổn hao

trên đường truyền sóng. Hệ số pha có thể xác đònh như sau:

( )
2
2
th
2
22
222
f
f
1f2
1
−εµπ=
εµω
η+ξ
−εµω=η+ξ−εµω=β


138
Vì
λ
π
=β
2
, ta tìm được mối liên hệ giữa bước sóng trong ống dẫn sóng
với bước sóng trong không gian tự do
f
c
0

=λ và bước sóng tới hạn
th
λ
:

2
th
0
rr
0
2
2
th
rr
2
2
th
1
f
f
1
1
f
c
f
f
1f
12









λ
λ
−µε
λ
=
−µε
⋅=
−εµ
=
β
π
=λ
,
đồng thời ta có thể đưa vào ký hiệu hệ số sóng tới hạn
22222
th
kkk β−=γ+= .
Vận tốc pha của sóng truyền trong ống dẫn sóng được xác đònh như sau:

2
th
0
rr
1

c
f
T
v








λ
λ
−µε
=λ=
λ
=
ϕ
.
Ta nhận thấy rằng vận tốc pha phụ thuộc vào tần số sóng. Ta gọi đây là nhóm
sóng có tán xạ.
Nếu bên trong ống dẫn sóng là không khí thì 1
rr
=
µ
=
ε

⇒

2
th
0
2
th
0
0
f
f
1
1






−
λ
=








λ

λ
−
λ
=λ
;
2
th
2
th
0
f
f
1
c
1
c
v






−
=









λ
λ
−
=
ϕ
.

Vậy điều kiện để sóng lan truyền trong một ống dẫn sóng bất kỳ là
th0
λ
<
λ
hay
th0
ff
>
,
th
ω
>
ω
.
0
λ
là bước sóng truyền trong không gian tự
do;
λ

là bước sóng truyền trên đường truyền. Khi
th0
λ
>
λ
hay
th0
ff
<
ta
không thể sử dụng đường truyền đang xét để truyền sóng có tần số trên được.
th
λ
và
th
f phụ thuộc vào kích thước và hình dạng của đường truyền và không
phụ thuộc vào tần số sóng do nguồn phát ra.
Dựa trên các diều phân tích trên ta có thể phân sóng điện từ trên đường
truyền sóng ra làm 2 loại:
 Nhóm 1
: là các sóng mà
không có hiện tượng tán xạ vận tốc
(
)
(
)
ω
≠
fv ;
tương tự như sóng phẳng truyền trong điện môi chỉ có các thành phần

vuông góc với phương truyền;
không có bước sóng tới hạn và tần số tới hạn: sóng có thể lan truyền ở
bất cứ tần số nào kể cả dòng điện không đổi.
Sóng thuộc nhóm này gọi là sóng TEM (T – transverse), tức sóng điện
từ ngang.
Từ các phương trình Maxwell: EjHrot
&
r
&
r
ωε= ; HjErot
&
r
&
r
ωµ−= suy ra các
phương trình sóng TEM:
0HE
zz
==
&&

⇒


139

xy
yx
HjE

HjE
&&
&&
ωε
γ
=
ωε
γ
−=

xy
yx
EjH
EjH
&&
&&
ωµ
γ
−=
ωµ
γ
=

 Nhóm 2
: là các sóng mà
có cả thành phần song song với phương truyền;
có tán xạ vận tốc
(
)
(

)
ω
=
fv ;
có tồn tại tần số tới hạn: chỉ các sóng thỏa điều kiện
th
ff
>
có thể
truyền trên đường truyền.
Người ta chứng minh được rằng trong ống dẫn sóng bằng kim loại rỗng
chỉ có thể truyền các sóng thuộc nhóm 2.
Từ hệ phương trình Maxwell suy ra:









∂
∂
−
∂
∂
ωε
−=









∂
∂
+γ
ωε
=








γ+
∂
∂
ωε
−=
y
H
x
H
j

E
x
H
H
j
E
H
y
H
j
E
x
y
z
z
xy
y
z
x
&
&
&
&
&&
&
&
&










∂
∂
−
∂
∂
ωµ
−=








∂
∂
+γ
ωµ
−=









γ+
∂
∂
ωµ
=
y
E
x
E
j
H
x
E
E
j
H
E
y
E
j
H
x
y
z
z
xy

y
z
x
&
&
&
&
&&
&
&
&

µεω=
22
k

Suy ra:









∂
∂
γ−
∂

∂
ωµ
γ+
=








∂
∂
γ+
∂
∂
ωµ
γ+
−=








∂
∂

γ+
∂
∂
ωε
γ+
−=








∂
∂
γ−
∂
∂
ωε
γ+
=
y
E
x
H
j
k
1
E

x
E
y
H
j
k
1
E
y
H
x
E
j
k
1
H
x
H
y
E
j
k
1
H
zz
22
y
zz
22
x

zz
22
y
zz
22
x
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&

Ta nhận thấy mỗi thành phần sóng ngang là tổng của hai thành phần
phụ thuộc
z
E
&
và
z
H
&
. Do đó sóng truyền trong ống dẫn sóng có thể xét như
một tổ hợp tuyến tính của 2 loại sóng riêng biệt:
– Sóng từ ngang TM: 0E;0H
zz
≠=
&&

. Khi đó:
y
E
k
E
x
E
k
E
z
22
y
z
22
x
∂
∂
⋅
γ+
γ
−=
∂
∂
⋅
γ+
γ
−=
&
&
&

&

x
E
k
j
H
y
E
k
j
H
z
22
y
z
22
x
∂
∂
⋅
γ+
ωε
−=
∂
∂
⋅
γ+
ωε
=

&
&
&
&