TOM TAT LY THUYET CHUONG GIOI HAN HAM SO LIEN TUC

CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
I.GIỚI HẠN DÃY SỐ :
1)Các giới hạn đặc biệt của dãy số
1)
3)

lim c c
lim

2)

1
0
n
6)

7)

, c là hằng số

lim

lim n k 

4)

lim

, k là số nguyên dương

c
0
n

5)

lim

1
0
nk

c
0
nk

lim q n 0 ,

q 1

8)

2)Quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số dạng tích :

lim q n  , q  1

lim un .vn

lim un 
 lim un .vn 


lim vn C  0
1,

2,

lim un  
 lim un .vn 

lim vn C  0
lim un 
 lim un .vn  

lim vn C  0
3,

4,

lim un  
 lim un .vn  

lim
v

C

0
n

3)Phương pháp tìm giới hạn của dãy số :

Phương pháp 1 : Đưa nk làm thừa số chung rồi tách ra thành giới hạn của một tích .Sau đó rút
gọn rồi tính
*
(với k là số mũ cao nhất k   ).

Chú ý : Khi thay tính giới hạn mà có dạng 0. thì ta nhân tử và mẫu với một lượng liên
hợp

a. An  b.B n  c.C n
n
n
n
Phương pháp 2 : Khi biểu thức tính giới hạn dãy số có dạng d .D  e.E  f .F thì ta đặt Mn
làm nhân tử chung rồi tách ra thành giới hạn của một tích .Sau đó rút gọn rời tính
(với M = Max
II.GIƠI HẠN HÀM SỚ
1)Các giới hạn đặc biệt của hàm số

 A, B, C , D, E , F  )


lim c c

1) x  x0

, c là hằng số

1
0
2) x   x

1
0
k
3) x   x

lim

c
0
4) x   x

lim

c
0
k
5) x   x
, c là hằng số ,

lim

lim

 k  
*

6)

lim x k 

x  

7)

lim x k 

x  

Chú ý : Khi x    suy ra :

nêú k là số chẵn

x 2  x

;

2)Quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số dạng tích :

 lim f ( x) L  0
 x x0
 lim f ( x).g ( x) 

x  x0
lim
g
(
x
)


 x x0
1)

8)

x 4 x 2

lim x k  

x  

;

nêú k là số le

x 6  x 3

lim f ( x).g ( x)

x  x0

2)

 lim f ( x) L  0
 x  x0
 lim f ( x).g ( x) 

x  x0
lim
g

(
x
)


 x  x0
 lim f ( x) L  0
 x x0
 lim f ( x).g ( x)  

x  x0
lim
g
(
x
)


 x x0
3)

4)

 lim f ( x) L  0
 x  x0
 lim f ( x).g ( x)  

x  x0
lim
g

(
x
)

 x  x0
3)Phương pháp tìm giới hạn của hàm số :

lim

x  x0

f ( x)
0
g ( x) có dạng 0

Dạng 1 :
Cách 1 : Phân tích f(x) và g(x) để tạo ra thừa số chung (x – x0) rồi rút gọn
Cách 2 : Nhân tử và mẫu với lượng liên hợp rồi tiếp tục để tạo thừa số chung (x – x0)
rồi rút gọn.

lim

x  

f ( x)
g ( x)

Dạng2 :
Cách giải : Tương tự như cách tính giới hạn của dãy số

lim

Dạng3 :

x x

0

f ( x)
C
g ( x) có dạng 0 , C là hằng số

Cách giải : Sử dụng một trong 4 quy tắc sau tìm giới hạn vô cực của hàm số dạng
thương sau đây :


 lim f ( x ) C  0
 x  x0
f ( x)

g ( x) 0
 lim

 xlim
x 
x  x  g ( x)
0
0

 g ( x)  0

1) 

2)

 lim f ( x) C  0
 x x0
f ( x)

g ( x) 0
 lim

 xlim
x
x x  g ( x)
0
 0
 g ( x)  0

3)

 lim f ( x ) C  0
 x  x0
f ( x)

g ( x) 0
 lim
 
 xlim
x
x  x  g ( x)

0
 0
 g ( x )  0

4)

 lim f ( x) C  0
 x x0
f ( x)

g ( x) 0
 lim
 
 xlim
x
x x  g ( x)
0
0

 g ( x)  0
Dạng4 : Tính giới hạn của hàm số lượng giác :
Cách giải : Áp dụng hai giới hạn sau :

lim
x 0

sin x
sin kx
1
lim

1
x

0
x
kx
và

III.HÀM SỐ LIÊN TỤC

 f1 ( x ) khi x  x0
f ( x) 
 f 2 ( x ) khi x x0 tại x = x0.
Bài toán 1 : Xét tính liên tục của hàm số
Cách giải :
*)Tính 2 giá tri : f(x0) ;
*)Nếu 2 giá tri
*)Nếu 2 giá tri
tục tại x = x0

lim f ( x)

x  x0

lim f ( x)

x  x0

lim f ( x )

x  x0

và

f ( x0 ) bằng nhau thì kết luận hàm số liên tục tại x = x

và

f ( x0 ) không bằng nhau thì kết luận hàm số không liên

0

 f1 ( x ) khi x x0
f ( x) 
 f 2 ( x ) khi x  x0 tại x = x0.
Bài toán 2: Xét tính liên tục của hàm số
Cách giải :


lim f ( x)

*)Tính 3 giá tri : f(x0) ;

x x

0

lim f ( x)

;

x x

0

lim f ( x) lim f ( x)

x x

x x

0
*)Nếu 3 giá tri
, 0
và f(x0) cùng bằng nhau thì kết luận hàm số liên
tục tại x = x0
*)Nếu 2 trong 3 giá tri trên không bằng nhau thì kết luận hàm số không liên tục tại x = x0.

 f1 ( x) khi x  x0
f ( x) 
 f 2 ( x) khi x x0 trên tập số thực R.
Bài toán 3: Xét tính liên tục của hàm số
Cách giải :
*)Xét tính liên tục của hàm số tại x = x0
*)Xét tính liên tục của hàm số với mọi x ≠ x0

Kết luận

 f1 ( x) khi x x0
f ( x) 

 f 2 ( x) khi x  x0 trên tập số thực R.
Bài toán 4: Xét tính liên tục của hàm số
Cách giải :
*)Xét tính liên tục của hàm số tại x = x0
*)Xét tính liên tục của hàm số với mọi x > x0
*)Xét tính liên tục của hàm số với mọi x < x0
Kết luận
Bài toán 5:Chứng minh phương trình f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm x0 thuộc khoảng
(a ; b)
Cách giải :
*)Xét hàm số y = f(x) có TXĐ : D = R nên hàm số liên tục trên R
hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]
*)Tính : f(a) ; f(b) ; f(a).f(b)
*)Kết luận +)Nếu f(a) . f(b) < 0 thì pt f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 thuộc khoảng
(a ; b)
+)Nếu f(a) . f(b) > 0 thì pt f(x) = 0 vô nghiệm hoặc không có nghiệm