Tich vo huong va bat phuong trinh

BAI TẬP TÍCH VƠ HƯỚNG & BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I/ TÍCH VƠ HƯỚNG : Cơng thức lượng giác :
1: cơng thức bù :

2.công thức đối :

sin(  -  ) = sin 
cos (  -  ) = - cos 
tan(  -  ) = - tan 
cot(  -  ) = - cot 
3.công thức phụ :

cos(-  ) = cos 
sin(-  ) = - sin 
tan(-  ) = - tan 
cot(-  ) = - cot 
Các giá trị lượng giác đặc biệt

x



 )
(  )
* sin 2
= cos  *cos 2
= sin sin

0

(





 )
(   ) cos
* tan 2
= cot  *cot 2
(

=tan 
4.công thức hơn kém  :

tan

sin     = - sin 

cot

0
1
0


6
1
2



4
2
2

3
2
1

2
2


3


2



3
2
1
2

1

0

0

-1

1

3

1

1

0

3
3

3

0


cos     = - cos 
tan     = tan 
cot     = cot 

Chú ý: 10 = 180 rad


  
 = -sin  ;
5.Công thức hơn kém 2

* Sin  2






  
  
  
 = cos  ; * Tan  2
 = - tan  ; * Cot  2
 = - cot 
* Cos  2



ACác công thức biến đổi lượng giác:
Các công thức biến đổi lượng giác cơ bản:
2

2

a/ sin a  cos a 1
1
1  tan 2 a
2
d/ cos a

b/

e/

tan a 

sin a
cos a

1
1  cot 2 a
2
sin a

1.Công thức cộng:
1/ cos(a b) = cosa.cosb sina.sinb;

c/

cot a 

cos a
sin a

f/ tan a.cot a 1

2/ sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb;

tan a tan b
3/ tan(a b) = 1 tan a tan b .
2 tan a
2

b/ tan2a = 1  tan a ;

2. Công thức nhân đôi: a/ sin2a = 2sina.cosa;
2
2
2
c/ Cos2a = cos a - sin a = 2cos a - 1 = 1- 2sin2 a.
3.Công thức nhân ba:
3
3
a/ sin3a = 3sina - 4sin a ;
b/ cos3a = 4cos a - 3cosa.
4.Côngthức hạ bậc:
1  cos 2a
1  cos 2a
1  cos 2a
2
2
2
a/ sin a =
; b/ cos2 a =
; c/ tan2a = 1  cos 2a
5.Cơng thức tính theo tan của gốc chia đơi: với
2t
2
a/ sina = 1  t ;

1 t2
2
cosa = 1  t ;

b/
6.Cơng thức biến đổi tổng thành tích:
a b
a b
a/ sina + sinb = 2sin 2 cos 2

a
t = tan 2.

c/

2t
2
tana = 1  t

a b
a b
b/ cosa + cosb = 2cos 2 cos 2 ;

a b
a b
a b
a b
c/ sina - sinb = 2cos 2 sin 2 ; d/ cosa - cosb = -2sin 2 sin 2
sin(a b)
e/ tana  tanb = cos a cos b .
7. Côngthức biến đổi tích thành tổng:
1
 sin(a  b)  sin(a  b)

2
a/ Sina.cosb =


1
 cos(a  b)  cos(a  b)
b/ Cosa.cosb = 2
1
 cos(a  b)  cos(a  b)
2
c/ Sina. sinb =
.





a

x
;
y
;
b
 x ' ; y ' : thì
II.Các cơngthức tọa độ: Cho

a.b  xx' yy '

a  x2  y2


  
xx' yy '
cos a , b 
( a , b  0)
x 2  y 2 x' 2  y' 2

 

 
a
Chú ý:  b  xx' yy' 0

x A  x B  xC

 xG 
3

y  y B  yC
 yG  A
3
Công thức trọng tâm: 

x A  xB

x

I

2


y A  yB
 yI 
2
Công thức trung điểm: 

Khoảng cách 2 điểm AB:

AB  AB 

 xB 

2

xA    yB  y A 

2

III. Hệ thức lượng trong tam giác:
a b 2  c 2  2bc cos A
2

b 2 a 2  c 2  2ac cos B
2
2
2
1/Định lý cosin: c a  b  2bc cos C

Hệ quả:
2/Định lý sin:

b2  c2  a2
cos A 
2bc
2
a  c2  b2
cos B 
2ac
2
a  b2  c2
cos C 
2ab

A
B
C


2 R
sin A sin B sin C

(R bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC )

3/ Công thức trung tuyến:

b2  c2 a2
mA 

2
4

;

a2  c2 b2
mB 

2
4

;

a2  b2 c
mC 

2
4

4.Diện tích tam giác: có ba cạnh là a,b,c
1
1
1
S  a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2
a/
a.b.c
S  p.r 
4R
c/

1
1
1
S  a.b sin C  b.c sin A  a.c sin B
2
2
2
b/

d/ S  p( p  a)( p  b)( p  c)
Với p là nửa chu vi; R, r bán kính đường trịn ngoại, nội tiếp, h đường cao.
5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

2


AH 2  BH .BC

A

AC 2 CH .CB
AH 2  HB.HC
AH .BC  AB. AC
1
1
1


AH 2

AB 2 AC 2

B

H

C

BÀI TẬP :
Bài 1: Cho tam giác ABC biết A(10 ; 5), B(-5 ; 15) và C(-10 ; -15).
a) Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
b) Tìm hình chiếu vng góc A’ của A trên BC.
Bài 2: Cho tam giác ABC biết A(-1 ; 0), B(2 ; 1) và C(-1 ; 2).
a) Xác định D để ABCD là hình bình hành.
b) Tìm điểm E đối xứng của A qua B.
c) Tìm F trên trục hồnh sao cho ABCF là hình thang có đáy là AB.
d) Tìm toạ độ trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác
ABC, suy ra toạ độ trực tâm H của tam giác.
Bài 3:Cho A(-3 ; 2), B(4 ; 3). Tìm toạ độ của:
a) Điểm M trên trục ox sao cho tam giác MAB vuông tại M.
b) Điểm N trên trục oy sao cho NA = NB.
Bài 4: Cho ba điểm A(0 ; -4), B(-5 ; 6) và C(3 ; 2).
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
d) Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC. Chứng minh rằng GH = 2GO.
Bài 5 : Biết A(1 ; -1) và B(3 ; 0) là hai đỉnh của hình vng ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh C, D.
Bài 6:Cho hai điểm A(3;5); B(4;  2) Tìm toa độ các điểm thoả :
a/ M thuộc Oy sao cho tam giác ABM vuông tại M
b/ N thuộc Ox sao cho tam giác tam giác ABN cân tại A

c/ Tim điểm H,K sao cho I(1;1) là tâm hình bình hành ABHK


0
Bài 7: Cho tam giác ABC có AC = 9, ABC 90 . Tính AB. AC .

Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = 8.
a) Tính AB. AC rồi suy ra giá trị góc A.

b) Tính CA.CB .

c) Gọi D là điểm nằm trên CA sao cho CA = 3CD. Tính CD.CB .
Bài 9: Tính các góc A, B và ha , R của tam giác ABC biết.
a) a  6 cm






c  3  1 cm.
c  6  2 cm.

b 2 cm

b) a 2 3 cm



b 2 2 cm

3
cos A 
5 , b = 5, c = 7. Tính a, S, R, và r.
Bài 10: Cho tam giác ABC biết

Bài 11: Cho tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh .
2
1
1
 
ha hb hc ;

a) 2 sin A sin B  sin C ;
b)
Bài 12: Cho A(-4 ; 1), B(2 ; 4), C(2 ; -2).
a) Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C khơng thẳng hàng.
b) Tìm chu vi và diện tích tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ D sao cho A là trọng tâm của tam giác BCD.
d) Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC.


e) Tìm toạ độ điểm I sao cho : IA  2 IB  3IC 0


Bài 13: Trong mặt phẳng cho A(2 ; 1), B(2 ; -1) và C(-2 ; -3).
a) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
b) Tìm toạ độ tâm M của hình bình hành ABCD
c) Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 14: Trong mặt phẳng 0xy cho 2 điểm B(4 ; -3) và C(12 ; 5).
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ O xuống BC trong tam giác OBC.

b) Tìm điểm C’ đối xứng với C qua OB.
Bài 15: Cho ba điểm A(-1 ; 0), B(1 ; -1) và C(3 ; 3).
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B.
b) Xác định toạ độ chânđường cao H kẻ từ B của tam giác ABC.
Bài 16. Cho
 Tính các tích vơ hướng:
  tam giác ABC vuông
  tại A, AB = a, BC = 2a.
a) AB. AC
b) AC .CB
c) AB.BC
Bài 17. Cho
 tam giác ABC đều
 cạnh bằng a. Tính các tích
  vơ hướng:

a) AB. AC
b) AC.CB
Bài 18. Cho bốn điểm
  A, B, C,
 D bất kì.

c) AB.BC

a) Chứng minh: DA.BC  DB.CA  DC. AB 0 .
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Bài 19. Cho tam giác ABC  với ba
tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
 trung
 

BC. AD  CA.BE  AB.CF 0

Bài 20. Cho hai điểm M, N nắm trên đường trịn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của
hai đường thẳng  AM
và BN.   
  
a) Chứng minh: AM . AI  AB. AI ;

BN .BI BA.BI .

   
b) Tính AM . AI  BN .BI theo R.

Bài 21. Cho
 tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.


a)Tính AB. AC , rồi suy ra giá trị của góc A.
b) Tính CA.CB .
 
c) Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = 3. Tính CD.CB .

Bài 22. Cho tứ giác ABCD.
2

2

2

2

 

a) Chứng minh AB  BC  CD  DA 2 AC .DB .
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vng góc là:
AB 2  CD2  BC 2  DA2 .

Dạng 1:Tính tích vơ hướng của hai vectơ
Bàì 1: Cho ABC đều, cạnh bằng a, đường cao AH. Tính các tích vơ hướng sau:
a2
3a 2
 


;
2
a) AB AC; (2 AB)(3HC )
ĐS: 2
Bài 2: Cho ABC có BC = a, CA= b, AB = c.

   
(
b) AB  AC )(2 AB  BC )

ĐS: 0

b2  c 2  a 2

  
2

a) Tính AB AC theo a, b, c. Từ đó suy ra: ABBC  BCCA  CAAB . ĐS
; ….

ABC
b) Gọi G là trọng tâm của
, tính độ dài AG và cosin của góc nhon tạo bởi AG và BC.

Bài 3: Cho hình
  thang
  vng
  ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a.
a) Tính AB.CD;

BD.BC ;

AC.BD


b) Gọi I là trung điểm của CD, tính AI .BD . Từ đó suy ra góc của AI và BD.

Bài 4: Cho
hìnhvng
ABCD cạnh a. Tính các TVH
 sau:
     


(
AB


AD
)( BD  BC ); ( AB  AC )( AB  2 AD)
AC ; AB.BD
a) AB
b)
     
 AC  AD)( DA  DB  DC )
c) ( AB
 

d) MA.MB  MC.MD , M là điểm bất kì trên đường trịn nội tiếp hình vng.
ABC có BC = 4, CA= 3, AB =2. Tính
Bài 5:
Cho

a) AB AC.Suy
 ra cosA


b) Gọi G là trọng tâm của ABC , tính AG.BC

c) Tính GA.GB  GB.GC  GC.GA




AD theo AB, AC ; độ dài của AD
d) Gọi D là chân đường phân giác trongcủa
 góc A. Tính
Bài 6: Cho ABC có BC = 6, AB =5 và BC.BA 24 .

a) Tính S ABC ; AC

b) Tính độ dài trung tuyến BM và cosin của góc nhọn tạo bởi BM và đường cao AH.
Bài 7: Cho MM’ là đường kính bất kỳ của
 đường trịn tâm O, bán kính R. A là điểm cố định và
OA = d. AM cắt (O) tại N. CMR AM . AM '; AM . AN có giá trị khơng phụ thuộc vào M.



 
 
a

1,
b

2,
a
 2b  15
Bài 8: Cho 2 vectơ a, b thoả mãn:
.  
 

(
a

b
),
(2
k

a
 b) bằng 600.
a) Tính a.b
b) Xác định k để góc giữa

1
AM .BC a 2
2 .
Bài 9: Cho ABC vng có cạnh huyền BC = a 3 . Gọi AM là trung tuyến, biết

Tính độ dài AB và AC.
Bài
  10: Cho
  hình thang
  vuông ABCD, đường cao AB. Biết
AC. AB 4a 2 , CA.CB 9a 2 , CB.CD 6a 2 .

a) Tính các cạnh của hình thang
b) Gọi IJ là đường trung bình của
 hình
 thang, tính độ dài hình chiếu của IJ trên BD.

c) Gọi M là điểm trên AC và AM k AC . Tính k để BM  CD.
Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức về TVH hay tích độ dài

ABC
Bài 1:
 Cho
    , G là trọng tâm. CMR

a) MA.BC  MB.CA  MC . AB 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b) MA  MB  MC 3MG  GA  GB  GC , M bất kỳ. Suy ra MA  MB  MC đạt GTNN
Bài 2: Cho ABC , M là trung điểm BC và H là trực tâm. CMR

1
MH .MA  BC 2
4
a)

1
MA2  MH 2  AH 2  BC 2
2
b)

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, M tuỳ
 ý. CMR
2
2
MB 2  MD 2
a) MA  MC



b) MA.MC MB.MD

2
c) MA 2MA.MO , O là tâm hcn và M thuộc
  đường
   tròn
 ngoại tiếp hcn.

Bài 4: CMR ABCD là hbh khi và chỉ khi AB. AD  BA.BC  CB.CD  DC.DA 0 .
Bài 5: Cho tứ giác ABCD có P, Q là trung điểm của 2 đường chéo. CMR


1
AB.CD  ( AD 2  BC 2  AC 2  DB 2 )
2
2
2
2
2
2
2
2
a)
b) AB  BC  CD  DA  AC  BD  4 PQ
Bài 6: Cho ABC
 ,M tuỳ
 ý.
a) CMR m MA  MB  2MC không phụ thuộc vào vị trí của M.


2
2
2
MA

MB

2
MC

2
MO
.m

ABC
b) Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp
. CMR
2

2

2

c) Tìm quỹ tích các điểm M thoả mãn MA  MB 2MC
Bài 7: Cho ABC đều cạnh a, M thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC .
2
2
2
Tìm GTLN, GTNN của MA  MB  MC

Bài 8: Cho ABC , trung tuyễn AM, đường cao AH. CMR

BC 2 1
AB. AC  AM 2 
 ( AB 2  AC 2  BC 2 )
4
2
a)
;
2

2

b)

AB 2  AC 2 2 AM 2 

 
sABC  AB 2 . AC 2  ( AB. AC )

AB 2
2

c) AB  AC 2 AB.MH
d)
Dạng 3: Chứng minh hai vectơ vng góc- Thiết lập điều kiện vng góc
Bài 1: Cho ABC cân tại A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là trung điểm của AB và E
là trọng tâm ACD . CMR OE  CD.
Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD = h, cạnh đáy AB = a, CD = b.
Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho:

a) AC  BD
b) BD  AM , với AM là trung tuyến của ABC
Bài 3: Cho hình thang vng ABCD, đường cao AB= h, cạnh đáy AD = a, BC = b.
Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho:


0

a) CID 90 , với I là trung điểm của AB.
b) BD  CI
c) DI  AC
d) Trung tuyến BM của ABC vng góc với trung tuyến CN của BCD

 
 
 

 

a
b
a
,
b
p

a


2
b

q

5
a

4b .
Bài 4: Cho 2 vectơ
với
. Tìm góc giữa chúng biết rằng

Dạng 4: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về TVH hay tích độ dài.
ABC , tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
Bài 1: Cho

a) MA.MB k , k là số cho trước.

2

2

2

b) MA  MA.MB 0
c) MB  MA.MB a với BC = a.
Bài 2: Cho ABC , tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a) AM .BC k , k là sốcho
 trước.



2
2
2
2
b) MA  MB  CA  CB 0

2
2
2
2
2
2
c) MC  MB  BC MA.MB  MA.MC
d) 3MA 2MB  MC
Bài 3: Cho đoạn AB. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn:
2
2
2
2
2
2
a) MA  2MB k , k cho trước b) 3MA  MB  AB
c) 2MA MA.MB
Bài 4: Cho ABC , tìm
 tập
 hợp
 những điểm M thoả mãn:

 MA  MB   2MB  MC  0
a)

 
c) MA.MB  AB.MC

 
2
2
MA

MA.MB  MA.MC 0
b)
2
2
2
2
2
d) MA  MB  MC  AB  AC

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH :Các mệnh đề

 g ( x) 0
f ( x )  g ( x)  
2
 f ( x)  g ( x ) ;
a/
 g ( x)  0; f ( x) 0
f ( x)  g ( x)  
2

 f ( x)  g ( x)
c/

f ( x )  g ( x )   g ( x)  f ( x )  g ( x )
e/
Bất đẳng thức CÔSI :

b/
d/

f/

  g ( x) 0

 f ( x) 0
f ( x )  g ( x )  
 g ( x)  0

  f ( x) ( g ( x )) 2

f ( x)  g ( x)  f ( x) g ( x)

 g ( x) 0

f ( x )  g ( x)    f ( x)  g ( x)
  f ( x)  g ( x)


1/ Cho hai số : a, b 0 a  b 2 ab
( dấu “ =” xảy ra khi a = b )

a  a 2  ...  a n n n a1 a 2 ...a n
2/Tổng quát : 1
(dấu “ =” xảy ra khi a1 a 2 ... a n )
3/ Hệ quả :
a/ Nếu a, b 0 và a  b k (hằng số ) thì tích a.b lớn nhất khi và chỉ khi a b
b/ Nếu a, b 0 và a.b k (hằng số ) thì tích a  b nhỏ nhất khi và chỉ khi a b
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH :
5
10
3x  1 x  2 1  2 x



3
4
b) 2
; c) x  2 x  1
2
5

2
d)  2 x  1 x  3  3x  1  x  1 x  3  x  5 ;
e) x  1 2 x  1
1
1
1
2
3
x 2  3x  1




1
2
x2  1
f) x  1  x  1
g) x x  4 x  3
h)
i) 5 x  4 6
5x  2 3  x
x 4 3 3 x
 1 
4
4
6
a)


2) Giải hệ bất phương trình :
5

6 x  7  4 x  7

8x  3  2 x  5

a)  2

1

15 x  2  2 x  3


2 x  4   3 x  14

2
b) 

3) Lập bảng xét dấu của các hàm số sau :
2
a) f  x  3x  10 x  3 4 x  5 ;
c) f  x   4 x  1  8 x  x  3 2 x  9
4) Giải các bất phương trình sau :
2

2

2

2
2
b) f  x  3x  4 x  2 x  x  1 ;

d)

f  x 

3 x

2





 x 3  x2
4x 2  x  3 ;

1
3
 2
c) x  4 3x  x  4 ;

2

2

a) 4 x  x  1  0 ;
b)  3x  x  4 0 ;
5) Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm :
2
2
a)  m  2 x  2 2m  3 x  5m  6 0 ; b)  3  m  x  2 m  3 x  m  2 0 ;
a b b c c a


6
c
a
b
;

6) Cho a, b, c dương. Chứng minh :
7) Tìm m để mỗi biểu thức sau ln dương :
2
2
a) x  4 x  m  5
b) x   m  2 x  8m  1 ;
2

2

2

c) x  4 x   m  2 ;
d)  3m  1 x   3m  1 x  m  4 ;
8) Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm với mọi m:
2
2
2
2
a)  2m  1 x  4mx  2 0 ; b) x  2 m  3 x  2m  7 m  10 0 ;
9) Giải phương trình sau :
a)  x  1 16 x  17  x  1 8 x  23

21
 x 2  4 x  6 0
x

4
x


10
b)
;
2

2

 x 
x 
 1
 x  1
c)
;
2

2
d) x  2 x  1 0 ;

e)

x 2  2x  3 x 2  2x  5

;

10) Giải bất phương trình :
a)

 x 2  8 x  12  x  4 ;

5 x 2  61x  4 x  2 ;

3 4x 2  9
2 x  3
2
3
x

3
d)
;

b)



2  x  4x  3
2
x
;



c)
11) Xác định m để mỗi phương trình sau đúng với mọi x :
x 2  mx  1
1
2
a) 2 x  2 x  3
;

 4

2 x 2  mx  4
6
 x2  x  1
;

b)
BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a. a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca
b. a² + b² + 1 ≥ ab + a + b
c. a²/4 + b² + c² ≥ ab – ac + 2bc
d. a²(1 + b²) + b²(1 + c²) + c²(1 + a²) ≥ 6abc
e. a² + b² + c² + d² + e² ≥ ab + ac + ad + ae
1 1 1
1
1
1
  


ab
bc
ca với a, b, c > 0
f. a b c
g. a + b + c ≥ ab  bc  ca với a, b, c ≥ 0

Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a 3  b3
a b 3

(
)
2
a. 2
với a, b ≥ 0

c. a4 + 3 ≥ 4a

b. a4 + b4 ≥ a³b + ab³
d. a³ + b³ + c³ ≥ 3abc, với a, b, c > 0.


a 4  b4 

a6
2



b6

1

2

2



1

2

1  ab ; với ab ≥ 1
1 b
2

b
a ; với a, b ≠ 0. f. 1  a
e.
5
5
g. (a + b )(a + b) ≥ (a4 + b4)(a² + b²); với ab > 0.
Bài 3. Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (1). Áp dụng (1) chứng
minh các bất đẳng thức sau
4
4
4
a.  a  b  c  ² 3  ab  bc  ca  b. 3  a ²  b²  c ²   a  b  c  ²
c. a  b  c abc  a  b  c 
Bài 4. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh

a.

ab  bc ca a ²  b ²  c ²  2  ab  bc  ca 

2a ²b ²  2b²c ²  2c ² a ² –  a 4  b 4  c 4   0
b. abc  a  b – c   b  c – a   c  a – b  c.
. a b – c ²  b c – a ²  c a  b ²  a ³  b³  c³






d 
HD: a. Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a > |b – c| → a² > b² – 2bc + c².
b. Gợi ý a² > a² – (b – c)².
c. Phân tích thành nhân tử (a + b + c)(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > 0.
d. Phân tích thành nhân tử.
Bài 5. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a. (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
b. (a + b + c)(a² + b² + c²) ≥ 9abc
3

c. (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1  abc)
ab
bc
ca
a b c



2
e. a  b b  c c  a

3

bc ca ab
 

d. a b c ≥ a + b + c
a
b
c
3



f. b  c c  a a  b 2

Bài 6. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau
1 1 1
(   )
a. (a³ + b³ + c³) a b c ≥ (a + b + c)²
b. 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²)
3
3
a
b

HD: a. Chú ý: b a ≥ 2ab.
b. Chú ý: a³ + b³ ≥ ab(a + b).
1 1
4
 
Bài 7. Cho a, b > 0. Chứng minh a b a  b (1). Áp dụng chứng minh
1 1 1
1
1
1

  2(


)
a  b b  c c  a với a, b, c > 0.
a. a b c
1
1
1
1
1
1


2(


)
2a  b  c a  2b  c a  b  2c với a, b, c > 0.
b. a  b b  c c  a

Bài 8. Áp dụng BĐT Cơsi để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
x 18

a. y = 2 x ; với x > 0
x
5

c. y = 1  x x ; với 0 < x < 1

x
2

b. y = 2 x  1 ; với x > 1
2x 3  2x 2  1
x2
d. y =
với x > 0

Bài 9. Áp dụng BĐT Cơsi để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
a. y = (x + 2)(12 – 3x) với –2 ≤ x ≤ 4
b. y = (2x + 5)(11 – 3x) với –5/2 ≤ x ≤ 11/3
|x|
2
c. y = x  3x  9

x2
2
3
d. y = (x  2)

Bài 10. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức
a. A  7  x  2  x , với –2 ≤ x ≤ 7
b. B 6 x  1  8 3  x , với 1 ≤ x ≤ 3
c. C = y – 2x + 5, với x, y thỏa
36x² + 16y² = 9
Bài 11. Giải các hệ bất phương trình sau


3x  1 2x  7


a. 4x  3  2x 19

 2  5x x  14

 3x  5 11  x


3
c.  5

 4x  5  3(x  2)

b. 3x  13  4(2x  3)

Bài 12. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau
5

6x  7  4x  7

 8x  3  2x  25
a.  2

1

15x  2  2x  3

2(x  4)  3x  14
2
b. 

Bài 13. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm
7x  2  4x  19

a. 2x  3m  2  0

 x  4m 2 2mx  1

c. 3x  2  2x  1

x  1  0

b. mx  3  0

 mx  1  0

d. (3m  2)x  m  0

Bài 14. Giải các bất phương trình
a. 

x  1  x –1  x – 2   0

b. 

2 x – 7   5 – x  0

(x  1)(x  2)
0
 x 3

e.

d. x ³  8 x ²  17 x  10  0.
h. |5x – 12| < 3
i. |3x + 15| ≥ 3
Bài 15. Xét dấu các biểu thức sau

2
e. x  3x  5

d. x² – x – 6 ≤ 0
Bài 17. Giải các hệ bất phương trình sau

2x  5
g. 2  x + x ≥ 0

l. |2x – 5| ≤ x + 1

c. 2x² – 7x + 5

(3x 2  x)(3  x 2 )
2
d. 4x  x  3

c. –2x² + 3x ≥ 7

2

 3x  x  4

x ² – x – 20 – 2  x –11  0

x  3 x 5

f. x  1 x  2

k. |x – 2| > x + 1

a. 3x² – 2x + 1
b. (x² – 4x + 3)(x – 5)
Bài 16. Giải các bất phương trình
a. –2x² + 5x < 2
b. 5x² – 4x < 12

 x 2  6x  5  0
 2
a.  x  x  6  0
2
 4x  7  x
 2
 x  2x  1 0

c.

4x 2  3x  1

0

2
f. x  5x  7

0

 2x 2  x  6  0
 2
b. 3x  3 10x

 2x 2  5x  4
 2
c.  x  3x  10

x 2  2x  7
2
e. –4 ≤ x  1 ≤ 1

x 2  2x  2
2
f. 1/13 ≤ x  5x  7 ≤ 1

d.
Bài 18. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a.

3 x ²  2  m –1 x  m  4  0

x ²   m  1 x  2m  7  0

b.

m –1 x ² – 2 m  1 x  3 m – 2  0






c. mx ²  (9m –1) x  m –1  0
d. 
Bài 19. Tìm m để các bất phương trình sau vơ nghiệm
a. (m – 3)x² + (m + 2)x – 4 > 0
b. (m² + 2m – 3)x² + 2(m – 1)x + 1 < 0
c. mx² + 2(m – 1)x + 4 ≥ 0
d. (3 – m)x² – 2(2m – 5)x – 2m + 5 > 0
Bài 20. Giải các bất phương trình
a. 2x² < |5x – 3|
b. x – 8 > |x² + 3x – 4|
c. |x – 3| – |x + 1| < 2
d. |x² + 4x + 3| > |x² – 4x – 5|
e. |x² – 3x + 2| + x² – 2x > 0
x 2
2
f. x  5x  6 ≥ 3

x 2  4x
2

2x  5
1  0
x


3
h.

g. x  x  2 ≤ 1
Bài 21. Giải các phương trình sau
3
3
3
3
3
3
a. x  5  x  6  2x  11
b. x  1  3x  1  x  1
Bài 22. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)
2
2
a. 3x  5x  8  3x  5x  1 1
3
3
c. 9  x 1  7  x  1 4

3
3
3
c. x 1  x  2  x  3

3
3
b. 5x  7  5x  13  1 0
3

3
d. 24  x  5  x 1


4

4

e. 47  2x  35  2x 4
f.
Bài 23. Giải các bất phương trình sau
2
a. x  x  12  8  x

x 2  4356  x

x

2
b. x  x  12  7  x

x x 2  4356  x 2 5

2
c.  x  4x  21  x  3

2
2
d. x  3x  10  x  2
e. 2x  6x  1  x  1

f. 2x  3  x  2 1
g. x  3  7  x  2x  8  0 h. 2  x  7  x   3  2x
Bài 24. Giải các bất phương trình sau

a. (x  3)(8  x) + x² – 11x + 26 > 0 b. (x  5)(x  2)  3 x(x  3)  0
2
2
2
c. (x + 1)(x + 4) – 5 x  5x  28 < 0 d. 3x  5x  7  3x  5x  2 ≥ 1
Bài 25. Giải các bất phương trình sau

x 2  4x
a. 3  x
≤2
3
d. x  1  x  3

 x2  x  6
 x2  x  6

2x  5
x 4

3

2

b.
c. x + 2 ≤ x  8
e. |x² – 4x – 5| < 4x – 17

f. |x – 1| + |x + 2| < 3
g. 2|x – 3| – |3x + 1| – x – 5 ≤ 0
h. |x² – 5x + 4| ≤ |x² – 4|
Bài 26. Giải bất phương trình
a. (x² + x + 1)(x² + x + 3) ≥ 15
2
c. (x  3) x  4 ≤ x² – 9

2
b. (x + 4)(x + 1) – 3 x  5x  2 < 6
2
d. x² – 4x – 6 ≥ 2x  8x  12