De HSG Toan 7 so 9

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC: 2013-2014
MƠN TỐN
Thời gian 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Bài 1 ( 5 điểm)
a)

2

3

1

Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 5 : 4 : 6 .
Biết tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm
số A
a

a2 +c 2

c

a

b) Cho c = b . Chứng minh rằng : 2 2 = b
b +c
Bài 2 ( 4 điểm)
a) Cho

x
y
z

t
= z +t + x = t + x + y = x + y + z
y + z +t

CMR: Biểu thức sau có giá trị nguyên
x+y

y+z

z +t

t+ z

A= z +t +
+ x+ y + y+z
t +x
b)Chứng minh rằng:
1 1
1
1
1
1
2
3
2012
2013
B = 3 + 3 + 3 +….+ 3
+ 3
< 2

Bài 3:(2 điểm)
Cho đa thức f(x) = x14 – 14x13 + 14x12 - … + 13x2 – 14x + 14
Tính f(13)
Bài 4:(7 điểm)
Cho tam giác ABC có ABđường thẳng vng góc với phân giác của góc A , cắt tia này tại N, cắt tia
AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng :
a) BE = CF
b) AE =

AB+ AC
2

c) Tính AE, BE theo AC = b, AB = c
Bài 5:(2 điểm)
Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm giá trị nhỏ nhất đó
x  14
M = 4 x


ĐÁP ÁN THI HSG MƠN: TỐN 7
NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giaođề)
Ý
Nội dung
Điểm
1a
Ta có
0.5
2 3 1 24 45 10

: :  : :
5 4 6 60 60 60 =

TT

24 : 45 : 10
Giả sử số A được chia
thành 3 phần x,y,z
0,5
Theo đề bài ta có
x
y
z
  
24 45 10
x,y,z

0.5

cùng dấu
Và

1.0
0,5
2

x y z
24 45 10
2

2

2

2

2

2

= 9 = 32
Bài 1

2

y z
2

2

 x2 = 242. 32 = 722
 x =  72

(.5điểm)

Hs tính tương tự
y =  135 ; z =  30
…. Vậy A = 237
hoặc A = - 237
1b

a

c

Ta có c = b
2

2

2

2

a c
c b

2

 a2

a
c

c

c b

2
2


2
2

( 1)

a c a
 . 
c b b

Lại có
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
ĐPCM
2a
Bài2
(.4điểm)

x
=
y + z +t
y
z
=
=
z +t + x
t +x+ y
t
=

x+ y+z

Ta có

2

x

24  45 10

0.5
0.75
0,25

0.5
1,5
0,5

2



24309
2701


x  y  z t
1

2( x  y  z  t ) 3

Suy ra 3x = y+z+t ;
3y = z+t+x; 3z =
t+x+y; 3t = x+y+z
Từ đó HS suy ra được
x+y = (z+t); y+z =
(t+x)
Z+t = (x+y); t+x =
(y+z)
Khi đó tính được A =
4
Vậy A có giá giá trị
ngun
2b

1 1
1
2
3
B = 3 + 3 + 3 +….
1
1
+ 2012 + 2013
3
3
1 1
1
2
3
3B = 1+ 3 + 3 + 3

1
+….+ 2012
3
1
3B – B = 1 - 2013
3
1
hay 2B = 1 - 2013
3
1
1

2 2.32013

0.5
0.5
0,5

Suy ra B =
1
< 2
Bài 3
(2 điểm)

1

Vậy B < 2
0,5
Ta có f(x) = x14–
13

12
(13+1).x +(13+1).x
- …+(13+1).x2–
(13+1).x+(13+1)
1,0
= x140,5
(x+1).x13 +(x+1).x12 …+ (x+1).x2 – (x+1).x
+ (x+1)
= x14 – x14x13 + x13 +x12 - … +x3


4a

+ x2 – x2 – x + x +1
=1
( Vì thay 14 = 13 + 1
= x+1 ) . Vậy f(13) =
1
Vẽ hình đúng

0.25

A
Kẻ BI song song AC ( I
 È F)

Chứng minh được

1,0
0,25

1 2

 BIM =  CFM
(g.c.g)

1,0
0,5

F
 BI = CF (1)
B
N M

C

E
I
Bài 4
(5 điểm)

CM được  BEI cân
tại B  BE = BI (2)
Từ (1) và (2) ta có
ĐPCM
4b

CM được

 AN F

 ANE =
(g.c.g)

 AE = A F

0.5
0.5

Ta có AE = AB +
0.75
BE ; A F = AC – C F
 AE+A F = AB +
0,5
BE + AC – C F
Hay 2 AE = AB
+AC ( do AE = A F; BE
= FC)

4c

 AE =
AB+ AC
2
Từ câu b)  AE =
bc
2

0.5

Chứng minh được BE 0,75
AC  AB
2
=
b c
Vậy BE = 2
x  14
M = 4 x =
 10  (4  x)  10

1
4 x
4 x

M nhỏ nhât khi và chỉ

Bài 5
(2 điểm)

 10
khi 4  x nhỏ nhất
 10
Xét x < 4 thì 4  x <
 10
0 ; x > 4 thì 4  x > 0

Ta chỉ xét x < 4 thì
 10
4  x nhỏ nhất 

10
4  x lớn nhất

Nên suy ra 4 – x
=1( vì mẫu
ngun,dương nhỏ
nhất)
Vây x = 3 khi đó
Min M = -11

0,5