CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 1 rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

1

Website: tailieumontoan.com
CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9
QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Dạng 1: Rút gọn biểu thức và bài toán liên quan
A. Bài toán
a �
a 1
� a

Bài 1: Rút gọn biểu thức B  �
với a  0 ; a �4
�:
a  2 �a  4 a  4
�a  2 a
Bài 2: Cho biểu thức M 

x y yy x x
1  xy

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M.



2) Tính giá trị của M, biết rằng x  1  3



2

và y  3  8

2
2
2


a  16
a 4
a 4
1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.
2) Tìm giá trị của biểu thức C khi a  9  4 5

Bài 3: Cho biểu thức: C 

a �
a 1
� a

Bài 4: Cho biểu thức: M  �
�:
a  2 �a  4 a  4
�a  2 a
1) Rút gọn biểu thức M.
2) Tìm tất cả các giá trị của a để M ≤ 0.

 a  0; a �4 

a2  a
2a  a


 1 với a  0 .
Bài 5: Cho biểu thức A 
a  a 1
a
1) Rút gọn A.
2) Tìm giá trị của a để A = 2.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 6: Rút gọn biểu thức: A 

1
2 x
1


x  x x 1 x  x

�x  2 x  4 x  2 x  1 ��
1
2 �
:�
3

Bài 7: Cho biểu thức A  �
�
�
� x x 8 
�
x  1 ��
x 2

x 1�
�
1) Rút gọn A.
2) Tìm giá trị của x để A > 1.
Bài 8: Rút gọn biểu thức: A 

10 x
2 x 3
x 1


x3 x 4
x  4 1 x

 x �0; x �1

� x 3
x 2
x  2 �� x  2
�


 1�
Bài 9: Cho biểu thức: A  �
� x  2 3 x x 5 x  6 �
�: �
�
��x  x  2 �
1) Rút gọn biểu thức A.
1

2) Tìm x để P  2. A  đạt giá trị lớn nhất.
x
Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


2

Website: tailieumontoan.com
Bài 10: Cho biểu thức: P 

3 x  16 x  7
x 1
x 3


Với x  0
x2 x 3
x 3
x 1

1) Rút gọn biểu thức P
2) Tính giá trị của biểu thức khi x  2 2  3
Bài 11:
1) Tính giá trị của biểu thức A  3 26  15 3  3 26  15 3 .
� a  2  2 �� a  2
a  7 �� 3 a  2  1
1 �
.�
:


2) Rút gọn biểu thức P  �
�
�.
� 3
�
�3  a  2  11  a ��
��
a2 �
�
��
��a  3 a  2  2
�

1  1  x 2 . (1  x )3  (1  x )3 


Bài 12: Cho A =
2  1 x2
1) Rút gọn A
2) Tìm x biết A 

1
2

Bài 13: Tính giá trị biểu thức: M  ( x  y )3  3( x  y )( xy  1) , biết:
x  3 3  2 2  3 3  2 2 , y  3 17  12 2  3 17  12 2
� 1

Bài 14: Cho biểu thức A  �
�x  x

1 �
1
�:
x 1�x  2 x 1

1) Rút gọn A .
2) Tìm x để A 

3
.
2

Bài 15:
1) Rút gọn biểu thức P 

x2  x
2 x  x 2  x  1


với x  0 , x �1 .
x  x 1
x
x 1

2) Cho x  3  2 . Tính giá trị của biểu thức A  7  x 2  4 x 

100

  x 2  4 x   2016 .

50

Bài 16:
1) Rút gọn biểu thức: P 

x  2 x 1  x  2 x 1

, với x �2 .
x  2 x 1  x  2x 1
1
2
2) Cho x là số thực dương thỏa mãn điều kiện x  2  7 . Tính giá trị các biểu thức
x

A  x5 

1
1
B  x7  7 .
5 ;
x
x

Bài 17: Rút gọn biểu thức P 
Bài 18: Tính A 

2017
x 3 2 x  4 x  4
. Tìm x sao cho P 
.

2018
x3 x 2

1  11
2

2  11
18  5 11

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


3

Website: tailieumontoan.com
�x2
x
1 � x 1


Bài 19: Cho biểu thức A  �
�x x  1 x  1  x 1  x �
�: 2 x với x  0 ; x �1
�
�
1) Rút gọn A
2
2) Chứng minh A  .
3

Bài 20: Cho A =

1
1
1
1
2017
+ 2 + 2 + ... + 2018 . So sánh A với
.
2
2018
2
3
4
2

� x 1
��
xy  x

 1��
: 1
Bài 21: Cho biểu thức P  �
xy

1
1

xy
�

��
xy �1.
1) Rút gọn P .

xy  x
x 1 �

�với x; y �0 và
xy  1
xy  1 �

2) Tính giá trị của biểu thức P khi x  3 4  2 6  3 4  2 6 và y  x 2  6 .
Bài 22:
�
��x
3
3
3 �
 3
� 
 1�, với x � 3; x �0 .
1) Rút gọn biểu thức A  � 2
��
x
�x  x 3  3 x  27 �� 3
�
2) Tính tổng B  1 

1 1
1 1

1
1
.
 2  1  2  2  ...  1 

2
2
1 2
2 3
2018 20192

�
� 2  a  b
�� a 3  2 2b3
a

�

a
�
�với a �0 ;
Bài 23: Rút gọn biểu thức: P  � 3
�
3
�
a  2ab  2b ��
2
b

2

ab
� a  2 2b
�
�
b  0 ; a �2b .
Bài 24: Cho biểu thức: A  2 3  5  13  48 . Chứng minh A là một số nguyên.
6 2
Bài 25: Rút gọn biểu thức: A 
Bài 26: Cho biểu thức A 

3  5  2 6  11  6 2
2  6  2 5  7  2 10

.

1
3
2


với x �0 .
x 1 x x 1 x  x 1

1) Rút gọn A .
2) Tìm giá trị lớn nhất của A .
Bài 27: Không dùng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức
B  4  10  2 5  4  10  2 5
� x
x  x  1 �� x  2
x 5 �


:

Bài 28: Rút gọn biểu thức P  �
��
�với x  0 ; x �4
x  2 x �� x  1 x  x  2 �
� x 2
Bài 29:
2
1) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau 3
.
43 22
2) Tìm điều kiện để biểu thức A 

x  3 2 x 1
x2


có nghĩa và rút gọn A .
x 2
x 1 x  3 x  2

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


4

Website: tailieumontoan.com
2 x  16 x  6


x2 x 3

Bài 30: Rút gọn biểu thức: P 
Bài 31: Cho biểu thức B 

x

2



x 2

x 1

3
2.
x 3

2

 3  12x2
2

x
trị nguyên của x để B có giá trị nguyên

 x  2



2

 8x . Rút gọn biểu thức B và tìm các giá

5 2x
x 1
x 1 x 1
a) Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P có giá trị bằng 7.

Bài 32: Cho biểu thức P 

x x

x





� x 1
�� xy  x
�
xy  x

 1��
: 1
 x  1 �.

Bài 33: Cho biểu thức P  �
� xy  1 1  xy
��
xy  1
xy  1 �
�
��
�
a) Rút gọn biểu thức P.
1
1
b) Cho x  y  8 . Tìm giá trị lớn nhất của P.
�
x �� x  3
x 2
x 2 �
1

:


��
�
Bài 34: Cho biểu thức A  �
�
�
x  1 ��
�
�� x  2 3  x x  5 x  6 �
a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x  7  4 3 .
c) Tìm m để có giá trị của x thoả mãn A
Bài 35: Cho biểu thức: P 





x  1  m  x  1  2

x
2
x2


x  x x  2 x ( x  1)( x  2 x )

a) Rút gọn P .
b) Tính P khi x  3  2 2 .
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 36: Cho biểu thức:

A

x x x4 x 4 x x x4 x 4
với x �0, x �1, x �4 .

23 x  x x
23 x  x x

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 

Bài 37: Rút gọn biểu thức A =

(2  3) 7  4 3 .
2 1

3 5
2 2  3 5

Bài 38: Cho các số dương: a; b và x =



3 5
2 2  3 5

2ab
. Xét biểu thức P =
b2  1

a) Chứng minh P xác định. Rút gọn P.
b) Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
x x  4x  x  4
Bài 39: Cho biểu thức: A 
2 x x  14 x  28 x  16
a) Tìm x để A có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức A .
Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038

a x  a x 1

a  x  a  x 3b


5

Website: tailieumontoan.com
x
b) Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
� x y
x  y � x2 y 2 y

.

, ( x  0; y  0, x �y )
Bài 40: Cho biểu thức �
�x y  y x x y  y x �
�x  y x  y
�
�
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A biết rằng x,y là nghiệm của phương trình t2 – 4t + 1 = 0.
Bài 41: Cho biểu thức M =

2 a









a  2a - 3b  3b 2 a - 3b - 2a a

a 2  3ab
a) Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M.
11 8
b) Tính giá trị của M khi a = 1  3 2 , b = 10 
3

�x y
x  y �� x  y  2xy �

: 1
.
�
�
�1  xy
��
1

xy
1

xy
�
�

�
�

Bài 42: Cho biểu thức: P  �

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P với x 

Bài 43: a)Rút gọn biểu thức A 

2
.
2 3

1 1 x2 .



(1  x)3  (1  x)3



2  1  x2

với 1 �x �1 .
b) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a 3  a 2b  ab 2  6b3  0 .
Tính giá trị của biểu thức B 

a 4  4b4
.

b 4  4a 4

� x 1
�� xy  x
�
xy  x

 1��
: 1
 x  1 �.
Bài 44: Cho biểu thức A  �
� xy  1 1  xy
��
xy  1
xy  1 �
�
��
�
1. Rút gọn biểu thức A.
1  1 6
2. Cho
. Tìm giá trị lớn nhất của A.
x
y

Bài 45: Cho biểu thức:

� a 1
�
a 1

�
1 �
P�


4
a
a

�
�
�.
� a 1
�
a

1
a
�
�
�
�
a) Rút gọn P.



b) Tính giá trị của P tại a  2  3

�x 2

Bài 46: Cho biểu thức: P  �

�x x  1







3 1

2 3 .

x
1 � x 1

. Với x �0, x �1.
�:
x  x 1 1 x � 2

a) Rút gọn biểu thức P.
Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


6

Website: tailieumontoan.com
b) Tìm x để P 

2
.
7

c) So sánh: P2 và 2P.

2 x 9
2 x 1
x 3


với x �0; x �4; x �9 .
x 5 x  6
x 3 2  x

Bài 47:Rút gọn biểu thức: P 

�2 x  1 2 x  x �2 x  1
:
Bài 48:Rút gọn biểu thức: A  �
�1  x  x  x  1 �
�
3
�
� x 1
Bài 49:Rút gọn biểu thức B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2

5 3

Bài 50:Rút gọn biểu thức: A =

2  3 5



3 5
2  3 5

x2  x
x2  x

Bài 51: Cho A 
x  x 1 x  x 1
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
� x4
2x  5 x 1 �
x 1 �
�
1

x x 2 
Bài 52:Cho biểu thức P  �
với x  0 và x � .
�
�
�
�2 x  3 x  2
�
4x 1 �

2
4
x�
�
�

3
2

Rút gọn biểu thức P và tìm x để P � .
Bài 53: Rút gọn biểu thức A 
Bài 54: Cho P =

x x  2x 

x  4 x  4  x  4 x  4 với x ≥ 4.

x 2

+

x x  2x 

x 2

x x 3 x 2
x x  3 x 2
1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1
2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất
 x 4

x x  8 ( x 
:

Bài 55: Cho biểu thức A = 
4  x  
 x 2
Với x không âm,khác 4.
a,Rút gọn A
b,Chứng minh rằng A < 1 với mọi x khơng âm,khác 4
c,Tìm x để A là số nguyên
x x  26 x  19 2 x


Bài 56: Cho biểu thức: P 
x2 x 3
x 1
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

2) 2  2 x 

x 2


x 3
x 3

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038

7

Website: tailieumontoan.com

�3 x  16 x  7

�x  2 x  3

x 1

x 3

Bài 57: Cho biểu thức: A  �

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A  6.

x  7 ��
 2
��
x  1 ��

x �
�
x 1�

�x  2 x  4 x  2 x  1 ��3 x  5
2 x  10 �

:


Bài 58: Cho biểu thức M  �
��
�
� x x 8
�
x  1 ��
�
�� x  2 x  6 x  5 �
Rút gọn M và tìm x để M>1
Bài 59: Cho biểu thức: A 

x �0, x �1, x �4 .

x x x4 x 4 x x x4 x 4
với

23 x  x x
23 x  x x

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 

(2  3) 7  4 3 .
2 1

Bài 60: Cho biểu thức:
a a  1 a a 1
1
3 a

2 a
p

( a 
)(

).
a a
a a
a
a1
a 1
a)
Rút gọn biểu thức P
b)
Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6.
x
x 3
x 2
x 2
):(


)
Bài 61: a) Cho M (1 
x 1
x  2 3 x x  5 x 6
1. Rút gọn M
2. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên
Bài 62: Rút gọn biểu thức: A 



2 3 5



2 2  3 5





2 3 5



2 2  3 5

.

Bài 63: Cho biểu thức: A  2 3  5  13  48 . Chứng minh A là một số nguyên.
6 2
Bài 64: Rút gọn biểu thức: A 
Bài 65: Tính A 

3  5  2 6  11  6 2
2  6  2 5  7  2 10

.

1
2
2 3


.
3
2 3 3 3

2
� 2 �
� 2 � �
�
1
1
�
�
�
1
Bài 66: Cho S  �
�
�
�
�
�. Tính S (kết quả để dưới dạng phân số tối
� 2.3 �
� 3.4 � � 2020.2021 �
giản).
Bài 67: Cho hàm số f (x)  (x 3  12x  31) 2010

Tính f (a) tại a  3 16  8 5  3 16  8 5



Bài 68: Tính giá trị biểu thức A  4  15



10  6



4  15

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


8

Website: tailieumontoan.com
Bài 69: Cho biểu thức: P =

2m  16m  6

m2 m 3

m2

m 1

3
2
m3

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên.
Bài 70: Cho biểu thức P 

x2 x
x 1
1  2x  2 x


, với x  0, x �1. Rút gọn
x x 1 x x  x  x
x2  x

P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.

1 ��2 x  x  1 2 x x  x  x �
� 1
1


x

0,
x
�
1,

x
�
Bài 71: Cho biểu thức P  �
với
�
�: �
�
4
1 x
x ��
1 x x
�
� 1 x
�
4
3 5  3 5
Tính giá trị của P tại x 
10





Bài 72. Rút gọn biểu thức: A 



2 3 5



2 2  3 5

Bài 73: Rút gọn biểu thức: P 





2 3 5



2 2  3 5

x  2 x 1  x  2 x 1
x  2x 1  x  2x 1

.

, với x �2 .

 2 a  1

2 a
:


Bài 74: Rút gon biểu thức : A = 1 
  1  a a a  a  a  1  , với a ≥ 0

a

1

 

Bài 75: Rút gọn biểu thức: A =
Bài 76: Cho hai biểu thức: A 

0 �x �1

5 3
2  3 5



3 5
2  3 5

2 x 3
và B 
2 x 2

x 1
x  2 2x  x  6
với


x  2 1 x
x x 2

a) Tính giá trị của A với x  6  2 5
b) Rút gọn B
c) Đặt P = B:A. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
a a b b
a
b


Bài 77: Cho biểu thức M=
với a, b > 0 và a �b
ab
a b
b a
Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết  1  a   1  b   2 ab  1

�x  2

Bài 78: Cho biểu thức: P  �
Với x �0, x �1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để P 

�x x  1



x
1 � x 1


:
.
�
x  x 1 1 x � 2

2
.
7

c) So sánh: P2 và 2P.

a +1 a a - 1 a 2 - a a + a - 1
Bài 79: Cho biểu thức M =
với a > 0, a  1.
+
+
a
a- a
a- a a
Với những giá trị nào của a thì biểu thức N 

6
nhận giá trị nguyên?
M

Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038


9

Website: tailieumontoan.com

� a  2018
a  2018 � a  1

.
Bài 80: Rút gọn biểu thức P  �
�
�a  2 a  1
a 1 �
�
�2 a
Bài 81: Cho biểu thức P 

2x  3 x x  1 x 2  x


với x  0, x �1. Rút gọn và tìm giá trị nhỏ
x
x x x x x

nhất của biểu thức P .
Bài 82: Rút gọn biểu thức:
X  1

1 1
1 1
1 1
1
1

.
 2  1  2  2  1  2  2  ...  1 

2
2
1 2
2 3
3 4
2017 20182
�
x �� x  3
x 2
x 2 �
A�
1

:


��
�
� x  1 �� x  2
x 3 x 5 x 6�
�
��
�

Bài 83: Rút gọn biểu thức:

�3 x

x
1 � x 3


Bài 84: Cho các biểu thức: P  �
( với x �0 )
�:
�x x  1 x  x  1
x 1�
�
�x  x  1
1
Rút gọn biểu thức P. Tìm các giá trị của x để P � .
5

x  4(x  1)  x  4(x  1) � 1 �
.�
1
�, trong đó x  1, x �2.
� x  1�
x2  4(x  1)

Bài 85: Cho biểu thức A 

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên.



Bài 86: Rút gọn biểu thức: B  13  4 3

Bài 87: Rút gọn biểu thức P 

  7  4 3 8

20  2 43  24 3 .

3x  9x  3
x 1
x 2


. Tìm x để P  3.
x x 2
x   2
x 1

�x  2 x  4 x  2 x  1 ��3 x  5
2 x  10 �

:

Bài 88: Cho biểu thức M  �
��
�
� x x 8
�
x  1 ��
�
�� x  2 x  6 x  5 �

Rút gọn M và tìm x để M>1
� x 2
x 3
x  2 ��
x �


:
2

Bài 89: Cho biểu thức : A  �
��
�
�x  5 x  6 2  x
x  3 ��
x 1�
�
��
�

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của x để
Bài 90: Cho biểu thức: P 

1
5
�
A
2

x
2
x2


x  x x  2 x ( x  1)( x  2 x )

a) Rút gọn P .
b) Tính P khi x  3  2 2 .
Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


10

Website: tailieumontoan.com

c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
� x- 1
x + 8 ��
3 x - 1 +1
�
�
�
+
:�
�
Bài 91: Cho biểu thức P = �
�
�
�

��x - 3 x - 1 - 1
�
3 + x - 1 10 - x ��
�

1 �
�
�
�
�
x - 1�

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x =

32 2



3 2 2

3 2 2

4

32 2

2 10  30  2 2  6
2
:

2 10  2 2
3 1

Bài 92: Rút gọn biểu thức: A=
Bài 93: Cho biểu thức: M 

4

a  1 a a 1 a2  a a  a 1


với a > 0, a  1.
a
a a
a a a

a) Chứng minh rằng M  4.
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N 
Bài 94: Rút gọn biểu thức A =

6
nhận giá trị nguyên?
M

2 x 9
x  3 2 x 1


x 5 x 6
x  2 3 x

B. Lời giải
a �
a 1
� a

Bài 1: Rút gọn biểu thức B  �
với a  0 ; a �4
�:
a  2 �a  4 a  4
�a  2 a
Lời giải





a �
a 1
� a
a � a 2
� a
B�

�

.
�:
�
a  2 �a  4 a  4 �a  2 a

�a  2 a
a  2 � a 1
a a
B
.
a 2



a 2





2

a 1

a 1 a



a 2

Bài 2: Cho biểu thức M 

 .

a 2



2

2

 a

a 1



a 2



x y yy x x
1  xy

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M.



2) Tính giá trị của M, biết rằng x  1  3



2

và y  3  8

Lời giải
1) ĐKXĐ: x �0 ; y �0
M

xy



 

x y 

1  xy



2) Với x  1  3



2

x y

   1

xy



x y

1  xy

và y  3  8  3  2 2 





2 1

2

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038



 x y


11

Website: tailieumontoan.com
M

 1 3 

2







2 1

2

 3 1 2  1  3  2

2
2
2


a  16
a 4
a 4
1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.
2) Tìm giá trị của biểu thức C khi a  9  4 5
Lời giải
1) ĐKXĐ: a �0 ; a �16
a
2
2
2

2
2 


C


a 4
a 4
a 4
a 4
a  16
a 4
a 4

Bài 3: Cho biểu thức: C 



C

C

  a  4
 a  4  a  4

a2





a 4 2

a ( a  4)
a 4



a 4











a  2 a 8 2 a 8



a 4



a 4







a4 a
a 4



a 4

a
a 4



2) Với a  9  4 5  4  4 5  5  2  5

 2  5  2  5  2 
 2 5  4 2  5  4 6 



2

2

C

2

5 74 5

31
5

a �
a 1
� a

Bài 4: Cho biểu thức: M  �
�:
a  2 �a  4 a  4
�a  2 a
1) Rút gọn biểu thức M.
2) Tìm tất cả các giá trị của a để M ≤ 0.
Lời giải

 a  0; a �4 





a �
a 1
� a

a � a 2
� a

1) M  �
�

.
�:
�
a  2 �a  4 a  4 �a  2 a
�a  2 a
a  2 � a 1
a a
M
.
a 2
2) M �0 � a





a 2



a 1

2







a 1 a
a 2

 .

a 2



a 1

2

 a



a  2 � a  2 �0 (vì a  0 )

ۣ a 2
a 4
Vì a  0; a �4 nên M  0 � 0  a  4
Bài 5: Cho biểu thức A 

a2  a
2a  a

 1 với a  0 .
a  a 1
a

1) Rút gọn A.
2) Tìm giá trị của a để A = 2.
Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038

a 2



2




12

Website: tailieumontoan.com
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải









2
a a a 1
a 2 a 1
1) A  a  a  2a  a  1 

1
a  a 1
a
a  a 1
a

a

A







a 1 a  a 1
a  a 1

2



a 1 1  a  a  2 a 11  a  a

2) A  2 � a  a  2 � a  a  2  0
Đặt y  a

 y  0  , ta có phương trình:

y2  y  2  0

Giải phương trình ta được: y  1 (loại); y  2 (nhận)
y  2 � a  2 � a  4 (nhận)
Vậy a  4 thì A  2
2

1 1 �
1 � 1 1
3) A  a  a  a  a    � a  � � với mọi a  0
4 4 �
2� 4 4
1
1
 0 � a  (nhận)
2
4
1
1
Vậy MinA   khi a 
4

4
Dấu “=” khi

a

Bài 6: Rút gọn biểu thức: A 

1
2 x
1


x  x x 1 x  x
Lời giải

ĐKXĐ: x  0 ; x �1
A

1
2 x
1



x  x x 1 x  x
x 1 2x  x  1

A

x





x 1



x 1



x

x





1

2 x



 

x 1

2 x  2 x



x 1



x 1



x 1

x



x 1

2 x









x





x 1



x 1

1



x 1



x 1



2
x 1

�x  2 x  4 x  2 x  1 ��
1

2 �
:�
3

Bài 7: Cho biểu thức A  �
�
�
� x x 8 
�
x  1 ��
x 2
x 1�
�
1) Rút gọn A.
2) Tìm giá trị của x để A > 1.
Lời giải
1) ĐKXĐ: x �0 ; x �1 ; x �3 ; x �4
�
x2 x 4
A�

� x 2 x2 x 4
�
�





 





x 1



x 1

�3
�:
x 1 �
�
�
2





x 2

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038







x 1  x 1 2
x 2





x 1



x 2




13

x 1 

� 1
x  1 �3( x  x  2)  3 x  3
A�


�:
� x 2
x 1 �

x 2
x 1
�
�



A



x3
x 2

2) A  1 �





x 1





x 2

�







x 1

3  x  3

3

x 1





Website: tailieumontoan.com





x 1

x 2



x 2



x 1

:

3x  9



x 2





x 1

x 1
x 1
1�
1  0 �
3( x  1)
3( x  1)

x  1  3( x  1)
42 x
0�

0
3( x  1)
3( x  1)

� 1 x  2 � 1 x  4
Vậy 1  x  4 và x �3 thì A  1
Bài 8: Rút gọn biểu thức: A 

A

A



10 x
x 4





x 1

10 x
2 x 3
x 1


x3 x 4
x  4 1 x

Lời giải



10 x  2 x  5 x  3  x  5 x  4



x 4

 x �0; x �1



 



x 1  x  1
2 x 3
x  1 10 x  2 x  3


x 4
x 1
x 4
x 1







x 1








 x  4  x  1  x  4  
3x  10 x  7







x 1 7  3 x



x 1

x 4

  7 3

�
x 3
x 2
A�


�x 2
x 3
�
A
A



��
�
x2
��
:
 1�
�
x  3 �� x  1
x 2
��
�

x 2
x 2



 

x  9   x  4  x  2 x  2  x  x  2
:

x 2
x 3
x 1
x 2











 



x 2

x 1

x

2) P  2. A 



x 3

1
x 1 1
2 1
 2�
  2

x
x
x
x x
2

� 2 1�
� 1 �
P  3�
1
 � 3  �
1
��3 với mọi x  0
� x x�
� x�
1

1
0�
 1 � x  1 (nhận)
Dấu “=” khi 1 
x
x
Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038



x 3





�



x 1

x



x
x 4

� x 3

x 2
x  2 �� x  2
�


:

1
Bài 9: Cho biểu thức: A  �
�
�
� x  2 3  x x  5 x  6 ��x  x  2 �
�
�
�
1) Rút gọn biểu thức A.
1
2) Tìm x để P  2. A  đạt giá trị lớn nhất.
x
Lời giải
1) ĐKXĐ: x  0 ; x �4 ; x �9

x 2





x 1

14

Website: tailieumontoan.com

Vậy MaxP  3 khi x  1
Bài 10: Cho biểu thức: P 

3 x  16 x  7
x 1
x 3


Với x  0
x2 x 3
x 3
x 1

1) Rút gọn biểu thức P
2) Tính giá trị của biểu thức khi x  2 2  3
Lời giải
1) P 



P


3x  4 x  7


x  1 
x  3 




x  3
=
x  1

x 3

x 1

x 1
x  3 3 x  4 x  7   x  1   x  9 


=
x 3
x 1
x 3
x 1



P



2  1





x 3







2

2  1 , ta có:

2

2 1 1
2



1

2 11
22


 1 2
2  1 1
2

Bài 11:
1) Tính giá trị của biểu thức A  3 26  15 3  3 26  15 3 .
� a  2  2 �� a  2
a  7 �� 3 a  2  1
1 �
.

:

2) Rút gọn biểu thức P  �
�
�
��
�.
� 3
��3  a  2 11  a ��a  3 a  2  2
a2 �
�
��
��
�
Lời giải
1) Ta có A  3 26  15 3  3 26  15 3
A  3 8  3.22 3  3.2.( 3) 2  ( 3) 3  3 8  3.2 2 3  3.2.( 3) 2  ( 3) 3
A  3 (2  3) 3  3 (2  3) 3  (2  3)  (2  3)  2 3
2) Điều kiện: 2  a �11

Đặt x  a  2 (0  x �3) � a  x 2  2 .

 x  2 . � x
P
3

P

x 2  9 ��3x  1 1 �  x  2  3  x  3 2 x  4
�3  x  9  x 2 �: �x 2  3 x  x � 3 . 9  x 2 : x x  3


�
�
��

 x  2  . x  x  3
3 x

Bài 12: Cho A 

2x  4



x
a2

2
2

1  1  x 2 . � (1  x ) 3  (1  x ) 3 �
�
�
2
2  1 x

1) Rút gọn A
1
2) Tìm x biết A � .
2
Lời giải
1) ĐKXĐ: 1 �x �1
Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038



x 1

x 1
x 1

2) Với x  2 2  3  2  2 2  1 






x4 x 3

15

Website: tailieumontoan.com



1 x  1 x



2

A

1 x  1 x .

A



2







. � 1  x  1  x 2  1  x2 �
�
�
2  1  x2

 �
�

1 x  1 x

2 x khi 0 �x �1
�
� 2 x khi  1 �x �0

2

1
2) A �
2
1
2 x �۳
2

Khi 0 �x �1 thì

x

1
2 2

1
1
x
2
2 2
1
1
1
�x �1
Vậy A � � 1 �x �
hoặc
2
2 2
2 2

 2x
Khi 1 �x �0 thì �

Bài 13: Tính giá trị biểu thức: M  ( x  y )3  3( x  y )( xy  1) , biết:
x  3 3  2 2  3 3  2 2 , y  3 17  12 2  3 17  12 2
Ta có: x 3 



3

3 2 2  3 3 2 2



Lời giải
3







 3  2 2  3  2 2  33 3  2 2 3  2 2 .

3

3 2 2  3 32 2

 4 2  3x
� x  3x  4 2
3

Tương tự: y 3  3 y  24 2
� x 3  y 3  3( x  y )  20 2
� M  ( x  y )3  3( x  y )( xy  1)  20 2
� 1

Bài 14: Cho biểu thức A  �
�x  x
1) Rút gọn A .
3
2) Tìm x để A  .
2

1 �
1
�:
x 1�x  2 x 1

Lời giải
1) ĐKXĐ: x  0 ; x �1
�
1 �
1
1
1 �
�
�� x  1
:


�
x 1�x  2 x 1 � x x 1
x  1�
�
�

� 1
A�

�x  x
A
2) A 

x



x 1



x 1





2

� x 1 





x 1

x







  x 1

x 1

x

3
x 1 3
�
 � 2x  3 x  2  0
2
2
x

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038



2




16

 t �0 , ta có phương trình: 2t

Đặt t  x

Giải phương trình ta được: t1  

Website: tailieumontoan.com
 3t  2  0

2

1
(loại); t2  2 (nhận)
2

t  2 � x  2 � x  4 (nhận)
3
Vậy x  4 thì A 
2
Bài 15:
x2  x
2 x  x 2  x  1


với x  0 , x �1 .
x  x 1
x
x 1

1) Rút gọn biểu thức P 

2) Cho x  3  2 . Tính giá trị của biểu thức A  7  x 2  4 x 

1) P 

x





  x2

x 1 x  x 1
x  x 1

P x

Lời giải



 

 

  2

x 1
x



x 1  2 x 1  2



x 1



100

  x 2  4 x   2016 .
50



x 1



x 1

x 1  x  x 1

2) x  3  2 �  x  2   3 � x 2  4 x  4  3 � x 2  4 x  1
2

� A  7  1

100

  1  2016  2024
50

Bài 16:
x  2 x 1  x  2 x 1

1) Rút gọn biểu thức: P 

, với x �2 .
x  2 x 1  x  2x 1
1
2
2) Cho x là số thực dương thỏa mãn điều kiện x  2  7 . Tính giá trị các biểu thức
x

A  x5 

1
1
B  x7  7 .
5 ;
x
x
Lời giải

1)

P=

x - 1 + 2 x - 1 + 1 + x - 1 - 2 x - 1 +1
2 x - 1 + 2 2 x - 1 +1 -

2 x - 1 - 2 2 x - 1 +1
2

P=

P=

�
2.�
�
�
�

x - 1 +1 +

(

)

(

2.

)

2

2

2 x - 1 +1 -

(

(

(

2�
x - 1- 1 �
�
�
�

)

)

2x - 1- 1

)=

x - 1 +1 + x - 1 - 1

2 x - 1 +1 -

2 x - 1 +1

2

2.2 x - 1
= 2. x - 1
2
2

1
1
1
�
�
� 1�
2) x  2  7 � �x 2  2  2 � 2  7 � �x  � 9 � x   3 (do x > 0 )
x
x
x
�
�
� x�
1 � 1�
1 �
�2
3
Ta có: x  3  �x  �
�x  1  2 � 3.6  18
x
x �
� x�
�

2

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


17

Website: tailieumontoan.com
2

1 �2 1 �
 �x  2 � 2  47
x4 �
x �

x4 

1
1
� 1�
�4 1 � 5 1
3
5
� �x  �
�x  4 � x  3  x  5  x  5  18
x �
x
x
x
� x�

�
1
1
� x 5  5  18  141 � x 5  5  123
x
x
1 1
1
�3 1 �
�4 1 � 7
7
�x  3 �
�x  4 � x  x   7  x  7  3
x �
x x
x
� x �
�

� x7 

1
1
 3  846 � x 7  7  843
7
x
x

Bài 17: Rút gọn biểu thức P 

P

P
P

2017
x 3 2 x  4 x  4
. Tìm x sao cho P 
.
2018
x3 x 2
Lời giải

x 3 2 x  4 x  4

x3 x 2
x  2 x 1





x 1

x 2



2

x 1



x 1

x 2

x  1 2017

� 2018
x  2 2018

2017
�
2018

Bài 18: Tính A 

 

x 2









 x  1 

2


x  2

x  3 2



x3 x 2







x  3 2

x 2

x 1
x 2





x  1  2017





x  2 � x  2016 � x  20162

1  11
2

2  11
18  5 11
Lời giải

A











1  11 2  11
2 18  5 11
1  11

2
9  11  5  11




2
4  11
49
7
2  11
18  5 11

�x2
x
1 � x 1


Bài 19: Cho biểu thức A  �
�x x  1 x  1  x 1  x �
�: 2 x với x  0 ; x �1
�
�
1) Rút gọn A
2
2) Chứng minh A  .
3
Lời giải

�

x2
x


1) A  �
� x 1 x  x 1 x  x 1
�



A

A



x2 x











 

 �2

x 1  x  x 1





x 1 x  x 1



x 1

1 �
��2 x
x  1� x  1
�

x

x 1



x  2 x 1

2 x
�
x 1

x 1 x  x 1

2

2 x
2 x
�

x 1 x  x 1
x 1 x  x 1





Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038






18

Website: tailieumontoan.com
2
2 x
2 6 x  2 x  x 1
2 x  4 x  2 2 x  2 x  1
 



2) Ta có: A  
3 x  x 1 3
3 x  x 1
3 x  x 1
3 x  x 1
























2

2 2 x  1
A 
3 3 x  x 1



Vì 2





2
�
2
1 � 3�
�
x

x  1 �0 và 3 x  x  1  3 �
�
� � 0 với x  0 ; x �1
4 � 4�
�
�











2

2
2 2 x  1
� A 
 0 � A
3
3 3 x  x 1



Bài 20: Cho A =



1
1
1
1
2017
+ 2 + 2 + ... + 2018 . So sánh A với

.
2
2018
2
3
4
2
Lời giải

1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + ... + 2018 <
+
+
+ ... +
2
1.2 2.3 3.4
2017.2018
2
3
4
2
1
1

1
1
1 1 1 1 1
1
1
Mà
+
+
+ ... +
= 1- + - + - + ... +
1.2 2.3 3.4
2017.2018
2 2 3 3 4
2017 2018
Ta có: A =

= 1Vậy A <

1
2017
=
2018 2018

2017
2018

� x 1
��
xy  x


 1��
: 1
Bài 21: Cho biểu thức P  �
xy

1
1

xy
�
��
xy �1.
1) Rút gọn P .

xy  x
x 1 �

�với x; y �0 và
xy  1
xy  1 �

2) Tính giá trị của biểu thức P khi x  3 4  2 6  3 4  2 6 và y  x 2  6 .
Lời giải
� x 1
��
xy  x

 1��
: 1
1) P  �

xy

1
1

xy
�
��
P



P

 

xy  x
1  xy





x 1 �
�
xy  1 �

xy  1  1  xy �
xy  x
x 1 �

:�
1

�
xy  1
xy  1 �
�

x  x y  1  xy  xy  xy  x y  x  1  xy �
xy  x
:�
1

1  xy
xy  1
�

P

P



x  1 1  xy 

xy  x

xy  1

2 x  2 xy  1 

:
1  xy
2



xy  x

 : xy  1  xy 

x 1

1  xy





 

xy  1 
xy  1



x 1



xy  1

xy  x y  x  x y  x  xy  1
xy  1

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038

x 1 �
�
xy  1 �


19

P

2



�

x 1

  xy  1





42 6  3 42 6

3



2 x 1
xy  1
xy  1
1

�

2 xy  2 x y   xy  1 2 xy 1  x
xy

2) x  3 4  2 6  3 4  2 6

� x3 

Website: tailieumontoan.com





3





� x3  4  2 6  4  2 6  3 3 4  2 6 4  2 6
� x 3  8  3 3 8



3



42 6  3 42 6





3

42 6  3 42 6



� x3  8  6x
� x3  6 x  8





� x x2  6  8

� xy  8
�P

1
2

4
8

Bài 22:
�
��x
3
3
3 �
 3
� 
 1�, với x � 3; x �0 .
1) Rút gọn biểu thức A  � 2
��
x
�x  x 3  3 x  27 �� 3
�
2) Tính tổng B  1 

1 1
1 1
1
1
.

 2  1  2  2  ...  1 

2
2
1 2
2 3
2018 20192
Lời giải

�
3
3

1) A  � 2
�x  x 3  3 x  3 x 2  x 3  3
�
A

x



3  x  x





3 x 3 3

2) Ta có: 1 

2



�x 2  3  3 x
��
x 3
�
�

x2  3 x  3
1
�

x 3
x 3
33



1
1
1
1
2a  2  2a
2

 1 2 



2
2
2
a  a  1
a  a  1
a  a  1
a  a  1

 1

1
1
2
2
2

 

2
2
a
 a  1 a a  1 a  a  1
2

1 �
� 1
 �
1 

�
� a a 1�
1
1
 1 
 a  0
a a 1
Áp dụng vào bài tốn ta có:
1 1
1 1
1
1
 2  1  2  2  ...  1 

2
2
1 2
2 3
2018 20192
Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038
B  1


20

Website: tailieumontoan.com
1 1
1 1
1
1

B  1    1    ...  1 

1 2
2 3
2018 2019
1
2018.2019  1
B  2018 

2019
2019
�
� 2  a  b
�� a 3  2 2b3
a
P


�
 a �với a �0 ;
�
Bài 23: Rút gọn biểu thức:
� 3
�
3
�
a  2ab  2b ��
� a  2 2b
� 2b  2ab
�

b  0 ; a �2b .
Lời giải
Ta có:
�

a 3  2 2 b3 
2  a  b

a 3  2 2b3



 a 
3

2b

 
3

a 3  2 2b 3
 a
2b  2ab

1
.
a  2b





2  a  b 
a 2 b
a

a  2ab  2b
a  2b a  2ab  2b





P


a

a  2b a  2ab  2b



a





a  2b a  2ab  2b

a  2ab  2b
a2
 a
2b
2b

a  2b



1
a  2b

a  2b



2

2b

a  2b
2b



2b





a

2ab  2b 


2



a  2ab  2b


2b   a  2ab  2b 

2b  2b  a 



Bài 24: Cho biểu thức: A  2 3  5  13  48 . Chứng minh A là một số nguyên.
6 2
Lời giải
A
A

2 3  5  13  48
6 2
2. 4  2 3


6 2

2

Bài 25: Rút gọn biểu thức: A 

A

A







 1

6 2



2 3 4  2 3 2 2  3

6 2
6 2

3 1

6 2

3  5  2 6  11  6 2
2  6  2 5  7  2 10
Lời giải

3  5  2 6  11  6 2
2  6  2 5  7  2 10
3



2 3  5  2 3 1

2  3  3 2

2  5 1  5  2






2 

3

.

3  ( 2  3) 2  (3  2)2
2  ( 5  1) 2  ( 5  2) 2

 

5  1   5  2 

2  3  3 2

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038

3  2  3  3 2
3
2  5 1 5  2


21

Website: tailieumontoan.com

1
3
2


với x �0 .
x 1 x x 1 x  x 1

Bài 26: Cho biểu thức A 

1) Rút gọn A .
2) Tìm giá trị lớn nhất của A .

Lời giải
1) A 

1

x 1

3

2
x  x 1



x  x  1  3  2  x  1
x x
A

 x  1  x  x  1  x  1  x 
x  x  1
x
A

 x  1  x  x  1 x  x  1

2) Vì





x 1 x  x 1

1� 3
�
x  1  � x  �  0 với x �0
2� 4
�

x �0 và x 

Mặt khác:

� A







x 1

2

x  1 �0 � x  2 x  1 �0 � x  x  1 � x với x �0

x
�1
x  x 1

Dấu “=” xảy ra khi x  1
Vậy MaxA  1 � x  0
Bài 27: Khơng dùng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức
B  4  10  2 5  4  10  2 5
Lời giải
�
B2  4  10 2 5  4  10  2 5  2 �
4  10  2 5 �
4  10  2 5 �
�
�
�
�
�
�
�
�





B2  8 2 16  10  2 5  8 2 6  2 5  8 2





2

5  1  8 2





5  1  6 2 5

� B  6  2 5  5  1  do B �0
� x
x  x  1 �� x  2
x 5 �

:

Bài 28: Rút gọn biểu thức P  �
��
�với x  0 ; x �4
x  2 x �� x  1 x  x  2 �
� x 2
Lời giải
� x
x  x 1
P�

� x 2
x x 2
�



P



:

x  x  x 1
x



x 2

 



�� x  2
��
:

�� x  1
��

 x  4    x  5



x 1

x 2







x5



x 1

x



�
�
x 2 �
�

x 1
x 2









� x 1

Bài 29:
Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038

x 2








x 1
x

2


22

Website: tailieumontoan.com
2

1) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau

1)

3

4  3 2 2



3

22  3 2  3 2 3
3



23

3



3

22



2 1



23

3
3



2



3



3

22  3 2  1

2 1

3

2  1  3 22





x  3 2 x 1


x 2
x 1

A

x4

x2





  x  1
x  3   2x  5 x  2  x  2

 x  2   x  1

x 2





x 3

3

22

2  1  3 22



x 2



 



x 1  2 x 1



x 1

2 x  16 x  6
x 2


x2 x 3
x 1

Lời giải

Bài 30: Rút gọn biểu thức: P 

3



2 3 4
2 3 4
2 1

2) ĐKXĐ: x �0 ; x �1 ; x �4
A

.

4  3 2 2

x  3 2 x 1
x2


có nghĩa và rút gọn A .
x 2
x 1 x  3 x  2
Lời giải

2) Tìm điều kiện để biểu thức A 

2

3

x 2



x 1









x 2  x2

x 1

1
x 2

3
2.
x 3

ĐKXĐ: x �0 ; x �1 .

P

P
P

P

2 x  16 x  6






16 x  6  

x 1

2x 

x 2

x 1



x 3

x 2





3
2
x 3



x 3 )3



x 1



x 3



 

x 1  2 x  2 x  3

2x  4 x  6  x  x  6  3 x  3  2x  4 x  6





x  1 

x 1





x 1


x  3
x 3

Bài 31: Cho biểu thức B 

x

2

x 3









x4 x 3



x 1

x 1
x 1



2

 3  12x2



2

x
trị nguyên của x để B có giá trị nguyên.

 x  2

2

 8x . Rút gọn biểu thức B và tìm các giá

Lời giải

x

2

B



2

 3  12x2
x2



 x  2



x 3

x

2

2

 8x 



3

x2

2



 x  2

2

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038



x2  3
 x 2
x


23

Website: tailieumontoan.com
+) Nếu x < 0: B 

x  3

2x  2x  3
3
 x 2
 2x  2
x
x
x
2

2

B có giá trị nguyên khi
+) Nếu 0
x  1
�
x
��� x �U(3) và x < 0 � �
x  3
3
�

x2  3
2x  3
3
 x 2
 2
x
x
x

B có giá trị nguyên khi

3
��� x �Ư (3) và x>2 � x  3
x

Kết luận
�2x2  2x  3
khi x  0
�
x
�
�2x  3
B �
khi 0  x �2
� x
�2x2  2x  3
khi x  2
�
x
�

 1; 3
B có giá trị nguyên khi x α�
5 2x
x 1
x 1 x 1
a) Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P có giá trị bằng 7

Lời giải

Bài 32: Cho biểu thức P 

x x



x



a) ĐK: x �0; x �1
P

x2  x x  x x  x  5 2x x2  x  5

x 1
x1

b) P  x 

5
x1

P  7� x

5
 7 � x2  8x  12  0 � x  2;x  6 (nhận)
x1

� x 1
�� xy  x
�
xy  x

 1��
: 1
 x  1 �.
Bài 33: Cho biểu thức P  �
� xy  1 1  xy
��
xy  1
xy  1 �
�
��
�
a) Rút gọn biểu thức P.
1
1
b) Cho x  y  8 . Tìm giá trị lớn nhất của P.
Lời giải
a) * ĐK:

xy �1

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


24

  xy  1   xy  1  1  xy  :
 xy  1  1  xy 
 xy  1  1  xy    xy  x   xy  1   x  1  1  xy  
 xy  1  1  xy 
 x  1  1  xy    xy  x   xy  1   xy  1  1  xy 


 xy  1  1  xy    xy  x   xy  1   x  1  1  xy 
P







 

Website: tailieumontoan.com

x  1 1  xy 

xy  x

1 x  1
x y  xy
xy

1

b) Theo Cơsi, ta có: 8  �
x

1
y

1
xy

2

1
xy

16 .

1
1  1

x
=
y
=
.
x
y
16

Dấu bằng xảy ra 

1
.
16

Vậy: MaxP = 9, đạt được khi x = y =

�
x �� x  3
x 2
x 2 �
1

:


��
�
Bài 34: Cho biểu thức A  �
�
�
x  1 ��
�
�� x  2 3  x x  5 x  6 �
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x  7  4 3 .
c) Tìm m để có giá trị của x thoả mãn A





x  1  m  x  1  2

Lời giải
a) * ĐKXĐ: x �0; x �4; x �9
�
�
x �� x  3
x 2
1
:


Ta có A  �
�
�
�
x 2
x 3
� x  1 ��
�



x 3



 

x 3 



x 1 x
:
x 1



x  9   x  4  x  2
1
:
x 1
x 2
x 3



1
:
x 1



1
1
:
x 1 x  2



1
x 2
.
1
x 1









x 3
x 2



x 3



x 2



�

�
x 3 �
�



x 2  x 2

x 2
x 2
x2



x 3











Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


25

Website: tailieumontoan.com
x 2
x 1
b) * ĐKXĐ: x �0; x �4; x �9




Ta có x  7  4 3  2  3



� x
Khi đó A=
=

2

3



2



2

(thỏa mãn ĐKXĐ)

 2  3  2  3 (vì 2  3  0 )

2 32
 3
=
2  3 1 3  3
 3

3





3 1

=

1
=
3 1





 1 3



3 1





3 1



1 3
2

1 3
2
c) Khi x �0; x �4; x �9 ta có A x  1  m  x  1  2
Vậy khi x  7  4 3 thì A  





� x  2  m  x  1 -2 � mx  x  m  0
Đặt x  t , đk t �0; t �2; t �3 ta có pt mt 2  t  m  0 (*)
Ta phải tìm m để phương trình (*) có nghiệm thoả mãn t �0; t �2; t �3
TH1: Nếu m = 0 thì pt (*) có nghiệm là t = 0 (thoả mãn t �0; t �2; t �3 )
TH2: Nếu m �0 thì pt (*) là phương trình bậc 2 ẩn x
m
 1  0 m �0 để pt (*) có 2 nghiệm thoả mãn t �0 thì

Ta thấy P =
m
2
�
1
1  4.m.m �0
�1

�
 �m �
1  4m 2 �0
1
�
�
��
��2
�0m�
2
� 1
m0
2
 �0
�
�
�
m0
�
�m
1
(�3)

2
1
nếu một nghiệm là 3 thì nghiệm cịn lại là (�2)
3

Vì P = 1 m �0 do đó nếu một nghiệm là 2 thì nghiệm cịn lại là

1
Vậy 0 �m �
2
Bài 35: Cho biểu thức: P 

x
2
x2


x  x x  2 x ( x  1)( x  2 x )

a) Rút gọn P .
b) Tính P khi x  3  2 2 .
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị ngun.
Lời giải
a)

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038