De thi hoc ky 2 toan 9

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 CẢ NĂM
CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
BÀI 1. CĂN BẬC HAI

LÝ THUYẾT
I. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA BẬC HAI
1)

a2≥0, ∀ a∈R

*

2

* a >0 ⇔a≠0

2

* a ≤0 ⇔a=0
2)

a2 <0 ⇔a=φ

*

a2 =b 2 ⇔[ a=b
a=−b

a2 =b 2 ⇔|a|=|b|

hoặc

2
Ví dụ 1. Tìm x, biết: 4x =25

5
25
5
5
2
⇔ x 2 = ⇔ x 2=
=−
⇔[
4
2
2
5
x =−
2
2

x=

2

() ( )

a2 +b2 =0 ⇔
3)

a=0
b=0

{

Ví dụ 2. Tìm x, y biết:

2

⇔ ( x− y )2 + ( y−1 )2 =0 ⇔
4)

2

x −2xy +2y −2y+1=0

{

x− y=0
x=y
x=1
⇔
⇔
y−1=0
y=1
y=1

{

{

a2 >b2 ⇔|a|>|b|; ∀ a,b∈R

Đặc biệt:

2

2

* Nếu a, b cùng dương thì: a >b ⇔ a>b
2
2
* Nếu a, b cùng âm thì: a >b ⇔ a2

2

Ví dụ 3. 7 > 5 ⇔7>5
2

5)

2

(do 7; 5 > 0)

(−7 ) > (−5 ) ⇔−7<−5 (do −7; −5<0 )
∀ a,b,c∈R ; ta có:
2
2
a
a
=

( b≠0 )
2
b
( abc )2=a2 b2 c2
b
;

()

II. CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
Ở lớp 7 ta đã biết:

* Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho

x 2=a

* Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai s ố đ ối nhau: s ố d ương ký hi ệu là
là

−√ a

* Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
1) Định nghĩa

√ 0=0

Với số dương a (a > 0), số a được gọi là căn bậc hai số học (CBHSH) của a
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

√

√ 16=4 (vì
CBHSH của 1,44 là √ 1,44=1,2

Ví dụ 4. CBHSH của 16 là

4≥0 và 4 2 =16 )
(vì 1,2≥0

và

2

1,2 =1,44 )

√a

và số âm ký hiệu


9
CBHSH của 25

là

√

9 3
=
25 5

2

3
9
=
5 25 )

3
≥0
(vì 5
và

()

2) Chú ý
a) Với a≥0 , ta có:

x=√ a

N ếu

Nếu x≥0

2

thì x≥0
2

và x =a

x=√ a ⇔

{

và x =a

x=√ a

thì
x≥0
2

x2 =( √ a ) =a

√ a ta phải có đồng thời
2
2
(
)
(
)
−
a
=
a
=a
√
√
b) Ta có

x=√ a
x 2=a⇔[
x =−√ a
Với a>0 thì
Khi viết

a≥0 và

√ a≥0

2
2
(−√ 5 ) =( √ 5 ) =5; x 2=5⇔[ x=√ 5

x=− 5
Ví dụ 5.
c) Số âm khơng có căn bậc hai số học
d) Phép tốn tìm căn bậc hai số học của một số a≥0

√

III. SO SÁNH CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
* Với các số a, b khơng âm
Ví dụ 6.
BÀI TẬP

( a≥0, b≥0 )

2

2

a >b ⇔ a>b ⇔ √ a> √b

3>2⇔ √ 3> √ 2

Bài 1. Tìm căn bậc hai số học của các số:

√ 49 ; √ 0 , 01;

Bài 2. Tính:

ta có:

gọi là phép khai phương

16;

9
36
; 0; 25; ; 19; −2
64
49

4
9
2
; 1 ; ( √ 3 ) ; √(−9 )(−36 )
25
16

√ √
√

(−√ 7 )2 ; √0 , 81+ 9 ; √ 412 −402 ; √ 582 −422
16

Bài 3. Giải các phương trình sau:
2

2

a) x −10=0
2

d) 5x +125=0
2

g) x +2 √ 2 x +2=1
Bài 4. Giải các phương trình sau:
2

a) ( x−3 ) =11+6 √2
2

4x +4x=27−10 √3
2
e) x +4 √3 x=1−4 √ 3
2
g) 2x −12x +9+4 √ 2=0

c)

b) 2x −6=0
e)

x 2−4x+4=1
h)

c)

13
36

x 2−2 √ 3 x+2=0
2

f)

x 2− √5=0

2

x −6x=6

x −10x +25=27−10 √ 2
2
d) x +2 √ 5 x=16−4 √5
2
f) 4x −12 √ 2 x−33+10 √ 2=0
2

h) 3x −30x+26+8 √ 3=0
b)

Bài 5. Khơng dùng máy tính; hãy so sánh các số thực sau:


a)

6 √5

và

5 √6

b)

√2√ 3

và

√ 3 √2

d) 2 5−5 và 5−3
e) √ 2−2 và
Bài 6. Khơng dùng máy tính; hãy so sánh các số thực sau:

√

a)
d)

√

c)

√ 8+3

√ 3−3

f)

và 6

√ 3+√5

và

√5+1
√2

√ 17+ √ 26 và 9
b) √ 48 và 13− √35
c) √ 31−√ 19 và 6−√17
9−√58 và √ 80− √59
√ 7− √21+4 √5
e) √ 13−√ 12 và √ 12−√ 11
f)

và

√ 5−1
15−2 √ 10
3
h)

5+ 10+1 và 35
g)
và 15
i)
Bài 7. Các số sau đây số nào có căn bậc hai số học? (giải thích)

√ √

a)
d)

√

2−√ 3
3 √2−2 √5+1

b)
e)

√

4−√ 15
11− √26−√ 37

c)

f)

√ 4+ √4+√ 4 +.. .+√ 4
⏟
100

2 √3−√ 6−1
√ 26+√ 17+1− √99

BÀI 2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA

Nếu dưới dấu căn là một biểu thức A có chứa biến và h ằng; ta g ọi
biểu thức dưới dấu căn

II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ

√A

xác định (hay có nghĩa) ⇔ A≥0
Ví dụ 2. Tìm điều kiện có nghĩa của:
Giải

B=√−2x−8

b)

C=√−3 ( 4−3x )

−3 ( 4−3x )≥0 ⇔ 4−3x≤0⇔−3x≤−4 ⇔ x≥
2

2)

(A không âm)
d)

D= √ x 2 +2x +2

a) (Điều kiện xác định) ĐKXĐ: −2x−8≥0⇔−2x≥8⇔ x≤−4
b) ĐKXĐ:

1)

√A

CÓ NGHĨA

√A

a)

√ A 2=|A|

√ 3x+2; √ 4x 2+ y ; √ 9−2 √ 3

Ví dụ 1.

2
2
c) Vì x +2x+2=( x +2x +1 ) +1= ( x +1 ) +1≥1>0, ∀ x
* Chú ý
Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức:

a)

A ( x ) là biểu thức nguyên

b)

A(x)
B ( x)

c)

√ A (x )

có nghĩa
có nghĩa

⇒

⇔ B ( x ) ≠0
⇔ A ( x )≥0

1
d) √ A ( x ) có nghĩa ⇔ A ( x ) >0
Với A >0 ; ta có:

X 2 = A2 ⇔|X|= A ⇔[

X= A
X=− A

3
4

nên ĐKXĐ: ∀ x ∈R

A ( x ) luôn có nghĩa

X 2 ≤ A2 ⇔|X|≤ A ⇔− A≤X ≤A

và 3

là căn thức bậc hai; A là


X 2 ≥ A2 ⇔|X|≥ A ⇔[

X≥ A
X≤− A

Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của:

E=
a)

1
2

√ x −3

b)

F=

Giải

√

1
5−x2

2
x 2−3>0⇔ x2 >3⇔ x 2 > ( √ 3 ) ⇔[ x > √ 3
x <−√ 3

a) ĐKXĐ:

1
2
>0⇔ 5−x 2 > 0⇔ x2 <5⇔ x2 < ( √ 5 ) ⇔−√ 5 < x< √ 5
2
5−x

b) ĐKXĐ:

III. HẰNG ĐẲNG THỨC

√ A 2=|A|

√ A 2=|A|= −AA khi
khi

{

A≥0
A <0

Ví dụ 4. Tính:
Giải

a)

√ x6

b)

√ ( √5−2)

3
x
√ x = ( x ) =|x |= −x 3 khi
khi
a)
6

3 2

√

3

{

2

√ 4+2 √ 3

c)

x≥0
x <0

2

b)

√ (√5−2) =|√ 5−2|=√ 5−2

√ 5−2=√5−√ 4 >0 )
2
2
2
4+2
3=
(

3
)
+2
3+1
=
(
3+1
)
=|√ 3+1| (vì √ 3+1>0
√
√
√
√
√

√

(vì

√

c)
BÀI TẬP
Bài 8. Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa:
a)
d)

√

−5x +2

4

√−5x

b)

1
e) √−x

3

1
√ x−2+
x−3
g)

√

1
3x+1

√8−x

d)
g)

√

√ ( 2x−3 ) (3x−2 )
2

√ 35−x +2x
√ x2−8x +18

√ 2−√ x−1
m) √|x−2|−4

b)
e)
h)

j)

Bài 10. Rút gọn các biểu thức sau:

√

√

−2x 2
3x+2

√ 2−|x−3|

√

7x2 +4
12
1

3x+4
x−2

√−x 2+4x−4
√−x 2−2x−1
k)

n)

√

i)

√

−3
−2x +15

x

f)

3x+2+ −2x+3
h)
Bài 9. Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa:
a)

c)

)

c)

2

√ x −8x+15
1

f)

√9x 2−6x+1

i)

√ 5x2−4x−8
l)
o)

√ 3x−2+ √3−2x
√−|x+1|−3


2

a)

√ ( 3− √5)
√ (3 √3−2 √7 )

b)

2

2

2

d)
e)
Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

√

− ( 1−√ 5 )

√ ( 3− √7 ) − √( 2 √7−6 )

√

2

c)

− ( √ 2−√ 5 )

f)

√ (√2−√ 3) −√ (2√ 3−3 √2)

2

2

√ 7−4 √ 3+√ 4−2 √ 3 b) √ 3−2 √ 2+ √6−4 √ 2 c) √ 9−4 √ 5− √14−6 √ 5
√ 32−10 √7−√ 43−12 √7 e) √ 13−4 √ 3−√ 16−8 √3

d)
Bài 12. Rút gọn các biểu thức sau:

√

a) 5 25x

6

với x≥0
2

c)

5 √( x−3 )

e)

2 √( x−1 ) −5x+5

với x≥3

2

4

√

với x<1

√

−5 √ (− 4x )

d)

−2 √( x+5 )

f)

2

g) 9 ( x+1 ) +3 ( x+1 )
Bài 13. Rút gọn các biểu thức sau:

h)

2

a) 3x− 9x −6x +1

x−5

d)

2
2 √ 9x −12x+ 4
(
3x−2
)
+
√
3x−2
e)

√

f)

1)
2)

b)

√ 9x −12x +4−6x−1 với
√ 4a 4−4a2 +1−√ a 4−6a 2+9

c)

x+ y+ √ x 2 −2xy+ y 2

d)

x−2y−√ x 2−4xy+4y 2

√−4x 2+4x−1
2
2 √ x −4x + 4
(
x−2
)
+
√
x−2

√ x4 ( x−1 )2

√

x=

(với

x<0 )

với

2

1
2

với

a=√ 2

x=1− √3; y=1−√ 5

e)

x=√ 5−1;y=√ 2−1
√ x2−8x +16− √ x 2−4x +4 tại x=3 √ 2−1

f)

√ x+2 √ x−1+√ x−2 √ x−1

với

tại x=2 7+9
BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN – CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

Nếu A≥0; B≥0
Nếu A≥0; B >0
Ví dụ 1. Tính:

thì
thì

√

√ A . B= √ A . √ B

√

A √A
=
B √B

√

1

a)

√ 121.16.0,25

a)

√ 121.16 .0,25=√121. √16. √ 0,25=11.4.0,5=22

Giải

với x<−5

x−1 ( y −2 √ y +1 )
( x−1 )4
h) √ y −1

x 2−2x+1
x +2 √ x +1
2

LÝ THUYẾT

x< 0

√ 25 ( x−2 )2+3x−6 với x≥2
6
3
5 √ 4 ( x−4 ) −3 ( x−4 ) với x< 4

g)
Bài 14. Thu gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
a)

2

với

b)

√ x 2−10x+25
c)

6

b)

b)

9
16

2


9
25 √ 25 5
=
=
=
16 16 √ 16 4

√ √
1

b)
Ví dụ 2. Phân tích thành tích:
Giải

Giải

√ a+b−√ a2−b 2

a)

√ 21+ √14

a)

√ 21+ √14=√ 7 . √3+ √7 . √ 2=√ 7 . ( √3+ √2 )

b)

√ a+b−√ a2 −b 2= √a+b− √( a−b )( a+b ) =√ a+b−√ a−b. √ a+b=√ a+b ( 1−√ a−b )

Ví dụ 3. Tính:

b)

(ĐK: a≥b≥0 )

A= √38−12 √10−√22−4 √10

A= √38−12 √10−√22−4 √10
2
2
2
2
= ( 2 √5 ) −2.2 √5.3 √2+( 3 √ 2 ) − ( 2 √5 ) −2.2 √ 5. √ 2+( √ 2 )

√
√
¿ √ ( 2 √5−3 √2 ) −√ ( 2 √5−√ 2 ) =|2 √5−3 √2|−|2 √ 5−√ 2|
2

=( 2 √ 5−3 √ 2 )−( 2 √ 5− √2 )

2

(do

2 √ 5−3 √2>0⇔2 √ 5>3 √ 2⇔20>18

và

2 √ 5−√ 2>0

=−3 √ 2+√ 2=−2 √ 2

BÀI TẬP
Bài 15. Phân tích thành nhân tử:
a)

11− √33

b)

2

2 √15−3 √5
2

d) 2+x −2x √ 2

c) 4x −7
e)

√ ax−√ by+√ bx−√ ay

g)

a √ b−b √ a+ √ a−√ b ( a,b≥0 )

3

( a,b,x,y≥0 )

f)
h)

7 √ ab+7b− √ a−√ b ( a,b≥0 )

√ x2−25y 2−√ x−5y ( x≥5y≥0 )

( √ a ) −3a+3 √ a−1 ( a>0 )

i)
Bài 16. Tính (rút gọn):

a)
c)
e)
g)
i)

3 √7 ( 2 √ 7−3 )

2

b)

2 3
−

3 2

2

(√ √ )

√ 3 √2+2 √ 3. √ 3 √2−2 √3
( 5+4 √ 2 ) . (3+2 √ 1+ √2 )( 3−2 √1+ √2 )
( 1− √2+ √ 3 ) ( 1+ √ 2−√ 3 )
f)
√ 4+ √ 8. √ 2+ √2+ √2. √2−√2+ √2 h) √ 47+ √5. √7−√ 2+√5. √ 7+√ 2+ √5
√ 2+ √3. √ 2+ √2+ √3. √2+√ 2+√ 2+√3. √ 2−√ 2+√ 2+ √3
√ 31+ √2. √6+ √5+ √2. √3+ √3+ √5+ √2. √3−√3+ √5+ √2
( √ 3− √2 ) ( √ 6+2 )

d)

j)
Bài 17. Rút gọn các biểu thức sau:

3 √ 7+7 √ 3
√ 21
a)
3−√ 7 3+ √ 7
−
3+
7
3− √7
√
c)

d)

(

2 √ 5−4 √ 10
3 √ 10
b)
√ 2+5 − √2−5 : √2
√2−5 √ 2+5 23

)

)


√2 ( √ 2−√ 7 )
e)
g)

2

√3 ( 3−√11 )

√56−4
( 5 √2+2 √5 )( √3−3 √2 )
√ 30
6 √6−2 √ 12+3−√ 2
2 √6+1

a)
c)
e)
g)

c)
e)

√ 13+6 √ 4+ √9−4 √ 2
√ 5+2 √6+ √14−4 √ 6
√ 23+6 √ 10+ √ 47+6 √ 10
√ 49−20 √6+ √106+20 √6
√ 302−20 √ 6+√ 203−20 √ 6

h)
j)

√ 6−3 √ 3+√ 2− √3
√ 24−3 √15−√36−9 √ 15
√ 3−√ 5− √3+ √5
√ 7+√ 13−√ 7−√13

(√ 3+√ 5) . ( √10+ √2)( 3−√5 )

c)

( √ 6+ √ 2 )( √3−2 ) √ √3+2

√ 5−2 √ 6+√ 11−4 √ 6
f) √ 21−6 √ 10+ √ 21+6 √ 10

√ 83−20 √ 6+ √62−20 √6
√ 601−20 √ 6− √154−20 √ 6

h)

√ 15+5 √5−√ 3−√ 5
d) √ 2−√ 3− √ 2+ √ 3
f) √ 9− √ 17+ √9+ √ 17
√ 12−3 √7−√ 12+3 √7

b)

( 4+ √ 15 )( √10−√ 6 ) √ 4−√ 15

b)

a)

√

( √ 3−1 ) . √2 √ 19+8 √ 3−4

d)

g)
Bài 20. Tính (rút gọn):

f)
Bài 21.

b)

h)

i)
Bài 19. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

j)

√ 6 ( 3− √11 )
5 √ 7−4 √35+7 √ 5
√ 35
10 √18+5 √ 3−15 √27
√ 3 ( √ 6−4 )

f)

i)
Bài 18. Rút gọn các biểu thức sau:

2

d)

(2 √ 4+ √6−2 √ 5) .( √10−√ 2)

√2+√ 3

3−√ 5

2−√ 3

g)

3+ √3

h)

√ 4−√ 15+√ 4+ √15−2 √3−√ 5

A= √8+2 √ 10+2 √5+ √ 8−2 √ 10+2 √5
b) So sánh M=√ 4+ √ 7− √ 4− √ 7 và N= √ 2+ √ 3− √ 2−√ 3
c) Cho C=√ 45+ √ 2009 và E= √ 45− √ 2009 . Chứng minh rằng: C+E=7 √ 2
7+ √ 5+ √ 7− √5
D= √
−√ 3−2 √ 2
√7 +2 √11
d) Thu gọn biểu thức
a) Thu gọn biểu thức

e) Thu gọn biểu thức

E= √√ 2+2−2 √ √ 2+1+1

f) Thu gọn biểu thức

F=√ 3+ √ 2−√ 8 √2+8−√ √ 2+1
G=

g) Thu gọn biểu thức

√ 1+2 √ 27 √ 2−38−√5−3 √ 2
√ 3 √2−4


Bài 22. Rút gọn các biểu thức sau (với những giá trị của biến làm cho biểu thức có nghĩa):
a)

2

2

4

2

ab+2 √ b 3 √ b
:
3
b
ab−2 √b
√
b)
4+xy−4 xy
3y . 2 2 √
9x y
d)

2

√ ( a +b −2ab)( a +b −2a b )
√ x 2+ y 4−2xy2
2

√

2

c) x √ x + x− y √ x− y
Bài 23. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

A= √ x−2+2 √ x−3− √ x−3

√

2

c) C= 4x −12x +9+2x−1

với

b)

B= 2x−2 √ x 2 −4 + √ x−2

x< √2

e)

E= √ x−2 √ x−1+ √ x+3−4 √ x−1

f)

F=√ 2x−1−√ x ( 3x−2 ) + √ 6x−1+3 √ x ( 3x−2 )
A= √

√

d)

D= √ x−4 √ x−4

với 4≤x≤5

với 2< x< 5

2
< x <1
với 3
)

x−1−2 √ x−2
√ x−2−1

Bài 24. Cho
a) Tìm x để A có nghĩa

b) Tính A2 và rút gọn A

1+ √ 5
1− 5
b= √
5
5
2
2
Bài 25. Cho
và
. Tính a +b
x + 4 √ x−4 + √ x −4 √ x−4
B= √
8 16
1− + 2
x x
Bài 26. Cho
a=

√

a) Tìm x để B có nghĩa
b) Rút gọn B
c) Tìm các giá trị ngun của x để B có giá trị nguyên
BÀI 4. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
LÝ THUYẾT
I. ĐƯA MỘT THỪA SỐ RA NGOÀI DẤU CĂN

√ A 2 .B=|A|. √ B

với B≥0

Ví dụ 1.
•

√ 17. 51= √17 .17 .3=√ 172 .3=17 √ 3
4x √ y khi x≥0
√ 16x2 y= √ 42 x 2 y=4|x|√ y= −4x
√ y khi x<0

{

•
II. ĐƯA MỘT THỪA SỐ VÀO TRONG DẤU CĂN

A √ B=√ A 2 . B

(nếu A≥0; B≥0 )

A √ B=−√ A 2 B

(nếu A <0; B≥0 )

Ví dụ 2.

√

2

• 3 √ 5= 3 . 5=√ 45

√

2

• −2 √ 5=− 2 .5=−√ 20

1
x− y (điều kiện: x− y >0 ⇔ x > y )
•
1
= ( x− y )2
=√ x− y
x− y

( x− y )

√

√

III. KHỬ MẪU CỦA BIỂU THỨC LẤY CĂN


A AB 1
= 2 = . √ AB
B
B |B|
(với A . B≥0; B≠0 )

√ √

Ví dụ 3.
•

2
2. 3 √ 6
=
=
3
3
32

√ √
ab

a
ab
ab
=ab 2 =ab √ = a √ ab khi b>0
b
|b| −a √ab khi b<0
b

√ √

{

•
IV. TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU
Tùy trường hợp, ta dùng một trong những cách sau:

1) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn nhân tử giống nhau:
Ví dụ 4.

√2−√6 = √2 ( 1−√ 3 ) =√ 2
1−√3
1− √3

•
2) Trường hợp mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số:

A A √B
=
( B>0 )
√B B
(nhân tử và mẫu với

Ví dụ 5.

2

√B

)

2 √3 2 √3 2 √3
=
=
• 5 √ 3 5 √3 . √ 3 5 . 3 15
=

3) Nếu mẫu là một biểu thức dạng tổng có chứa căn, ta nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu

( A−B ) ( A+B )= A 2−B2 , trong đó A – B và A + B là hai biểu thức liên hợp với nhau
1
A− √ B
A− B
A− B
=
= 2 √ 2= 2 √
A+ √ B ( A+ √ B ) ( A− √ B ) A −( √ B ) A −B

Ví dụ 6.

1 ( √ 2+ √ 5 )
1
2+ 5
2+ 5
=
= √ √ =− √ √
2−5
3
• √ 2−√ 5 ( √ 2− √ 5 ) ( √ 2+ √ 5 )

V. MỘT SỐ CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
Với A,B≥0 ; ta có:
1)

A= √ A . √ A

2)

A± √ A=√ A ( √ A×1 )

3)

A √ B±B √ A=√ A . √ B ( √ A± √ B )

4)

A−B=( √ A− √ B )( √ A+ √ B )

5)

A +B±2 √ A . B=( √ A±√ B )

6)

A √ A+B √ B=( √ A ) + ( √ B ) =( √ A + √ B )( A−√ A . B+B )

2

3

3

3

3

A √ A−B √ B=( √ A ) −( √ B ) =( √ A−√ B )( A+ √ A .B +B )

BÀI TẬP
Bài 27. Viết biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích thích hợp rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a)

√ 125.96a 4 b3

√

− 10x2 y ( 3− √2 )

b)
2

6 5 8
√−288x 4 y 3
c) √ −8x y z
2
5
2
2
e) √ 3x −6xy +3y
f) √ −9a ( a−7 )

d)
Bài 28. Đưa các thừa số vào trong dấu căn:

a b3
a) b a

√

với a, b cùng dấu; a, b ≠ 0

x− y x
x x− y với x > 0 và x > y
b)

√


x+ y x− y
c) x− y x+ y với x > 0 và x > y

2

√

√

c)

√
√

2

8

b)

√

với x < 0, y > 0 d)

4
a

f)
Bài 30. Trục căn thức ở mẫu:
a)

g)

√2−√3
2 √3

b)

√
2.

√

y
5x3

x> 5

với x, y cùng dấu; x ≠ 0

5
x. ( 1−√2 ) với x < 0

√

với

( x−5 )2
√5 ( y−5 )
g) 5− y

√

( 2−√ 5 )

−4x
7x2 y

a.

√

2
x.
x
f)

e) −2 −a
Bài 29. Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a)

x
x−5
d) x−5 3x

e)

1
−a

h)

√15−√5
1−√3

√
√

x−1
2. ( √ x−1 ) với x > 1
2
1
−
( x−1 ) ( x−1 )2

2 √ 3− √6
c) √ 8−√ 2

d)

2+ √3
2−√ 3
1− √2
e) 2 √ 3−3 √ 2
a−2 √ a
h) √ a−2
x− y
i) √ x + √ y
x
2 √ x−3 √ y

4−√ 3
f) 5 √ 2−2 √ 5

x +a √ x
a√x
g)

a √b−b √ a
√b−√ a
j)

a
k) √a−2 √ b

l)

Bài 31. Các số thực sau đây có căn bậc hai khơng? (giải thích)
a)

a=12 √18−4 √ 50−2 √ 98
c=2 √ 501−3 √11−20 √ 5+10

b)

b=2 √56−

4 √ 7 30+2 √ 45
−
√ 2 √ 15+√ 3

c)
Bài 32. Tính (rút gọn)
a)
c)

√ 20+2 √ 45−3 √ 80+√ 125
9 8−2 √15
√ 162− − √

√

(

2

√ 10− √6

3

2
3
2
3 −√ 12−√ 6
√ 6−2 −4
2
3
2
3

e)
Bài 33. Tính:

√ √ )( √

1
1
−
a) 3−2 √ 2 3+2 √ 2
√5−5 1+ √ 5+5
1+
√5−1
√ 5+1
c)

(

b)

)(

)

2 √27−2 √5+ √243+2 √ 125
d)

(5 √ 15 −201 √20+ 14 √ 45 +2 √5) :2 √5+1

b)

√ 3 − √3
√√ 3−1 √ √ 3+1

)

d)

(

√5−√ 3 +1 : √ 5−√ 3 −1
√ 5+ √3
√ 5+ √ 3

)(

)


6
5 √2−2 √ 5

+
√5−√ 2
e) 2−√ 10
5
4
7
−
−
g) √ 2−7 3 √ 2+5 4−5 √ 2
1
1
2
−
−
i) √ 12− √ 140 √ 8− √ 60 √ 10+ √ 84
23
k)

(

1
1
−
√ 3+ √ 2−√ 6 √3+ √2+ √6

−2 √ 3+5 √ 2 5 √2+2 √ 3
+
f) 5 √ 2+2 √ 3 −2 √ 3+5 √ 2
h)

(

4
12
15
−
+
( √ 6+11 )
√6−2 3− √6 √ 6+1

)

1
2
3
2 2
−
−
+ √
j) √ 3−√ 2 √ 7+ √ 5 √ 7−√ 40 √ 5+ √ 21

)

l)

5 √2+ √ 10
√9+3 √5+2 √ 14+6 √ 6

√

2 3− √3+ √13+ √ 48
√6−√ 2
m)
Bài 34. Rút gọn các biểu thức sau:

2+ √3
2−√ 3
3+ √ 5
3−√ 5
+
+
a) √ 2+ √ 2+ √ 3 √ 2−√ 2− √ 3
b) √ 2+ √ 3+ √ 5 √ 2− √ 3−√ 5
√ 45+27 √ 2+ √ 45−27 √2 − √ 3+√ 2+ √3−√ 2
√ 5+3 √2−√5−3 √ 2 √3+ √2−√ 3−√ 2
c)
d)

( 2− √3 ) √ 26+15 √ 3−( 2+ √3 ) √ 26−15 √3
2

5
3
5 √ 2+ √ 3+ √ 3− √ 5−
+ √2−√ 3+ √3+ √ 5−
2
2
e)

(

f)

√)(

2

√)

( √ 3− √2 ) (√ 8−√5+2 √ 12−2 √ 5+√ 3−√ 6−√ 5 )
√ 8−3 √ 7 ( 8 √ 2+3 √14 ) +√ 9,5+2 √21 ( 2 √ 6− √14 )

g)
Bài 35. Tính giá trị của biểu thức sau:

A=

1+2x
1−2x
+
1+ √ 1+2x 1−√ 1−2x

Bài 36. Rút gọn rồi tính:

a √ b−b √ a
−√ ab
√ a−√ b
a)
a−√ a
√ a+a

C=
+2 2−
1+ √ a
√a−1
c)

3
x= √
4
biết

(

)(

b)

)

với

a+b−2 √ ab a−b
D=
−
a−
b
√
√
√ a+ √ b
d)

( √ a+1 )( a− √ ab )( √a+ √ b )
F=

f)

(

B= 1+

A=

( a−b ) ( √ a3 +a )

a b+b √ a a √ b−b √ a
G= √
+
a √ b−b √ a a √b+b √ a
g)

a−√ a
a+2 √ a
1−
2+ √ a
√ a−1

)(

2

với a =3−2 √ 2

2

a =19−8 √3
a √ a+b √ b
E=
− √ab
a+
b
√
√
e)
a=2000
b=2001

(

với

)

√ a+ √b

2

)( a−b )

{

2

2

a −√ a
a +√ a
G=
−
+a+1
a+ √ a+1 a−√ a+1
h)
(với a > 0)


(

I=

2+ √ a
√ a−2 a √ a+a−√ a−1
−
a+2 √ a+1 a−1
√a

)(

i)
Bài 37. Chứng minh:

A=

a) A ∈Z
b)

C=

biết:

)

( a>0; a≠1 )

2 √3+2 √3−√2+ √3+2 √ 2
−2 √3
√ 3−1

√ 10+√ 60+√24+√ 40=√ 5+√ 3+√ 2

C∈Z

c)

biết:

( 5+2 √6 )( 49−20 √ 6 ) √ 5−2 √ 6
9 √ 3−11 √2
D=

(

1

1
x 2 +1
1
+
−
1+
2
x
2+ 2 √ x 2−2 √ x 1−x

)( )

x>0; x≠1 :
e) Biểu thức E không phụ thuộc vào biến x, y với x>0; y >0; x≠ y
d) Biểu thức D không phụ thuộc vào với

E=

f) F≥0
g)

(

2 √ xy √ x−√ y
2√x
√y
+
.
+
x− y 2 ( √ x + √ y ) √ x + √ y √ y− √ x

)

+
( ∀ x ∈R

(

√2−√ 4y− y 2 √ 4+2 √ 4y− y 2=√ 55+√ 109−√ 55− √109
y −2

2−√ x
1
√ x +1 + 3 ( x−3 )+ √9x =1+ 2
1+
−
√x
√ x −1 √ x +2 ( √ x−1 ) ( √ x+ 2 )
√ x +2
h)

(

)

Bài 38. Rút gọn các biểu thức:
a)
b)
c)

2

x−1 x √ x−1 ( √ x −1 ) + √ x
F=
+
:
1−x
x−1
√
√ x +1
x≠1
và
), biết:

)

(với 2< y <4 )
(với

x> 0 và x≠1 )

a−1 √ a+1
2 2
√
A=
+
. 1−
a+1
( a>0; a≠1 )
√ a+1 √ a−1

a √a+1
2a + √ a+1 √ a
B=
: ( a−1 ) +
−
√a+1
√ a+1 a−1 với a > 1
x+2 √ x−1+ √ x−2 √ x−1
( x √ x +4x +3 √ x ) ( x √ x−1 )
D= √
C=
( x−1 ) ( x √ x +x + √ x ) ( √ x+3 ) (với x > 1) d)
√ x +√ 2x−1−√ x−√ 2x−1
( √ x 2 + 4−2 ) ( x+ √ x +1 ) ( √ x 2 +4 +2 ) √ x−2 √ x +1
A=

(
(

)(

)

)

x ( x √ x−1 )

Bài 39. Cho
a) Rút gọn A
Bài 40.

b) Hãy tìm tất cả giá trị của x để A≥0

(

B=
a) Thu gọn biểu thức sau:
b) Thu gọn

( x≥2 )

C=

Bài 41. Cho biểu thức:

2 ( √ a−3 ) √ a+ 3 a+ 8
a √ a−3
−
+
:
a−2 √ a−3
√ a+1 3−√ a a−1

)( )

với a≥0; a≠9; a≠1

√ a − 2 √ a−1
√a−1 a−√ a với a>0; a≠1 . So sánh C và √ C
3x + √ 9x−3 √ x +1 √ x−2

A=
−
−
x + √ x−2 √ x +2 √ x−1

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi

x=3+2 √ 2


[

P= 1−
Bài 42. Cho biểu thức:
a) Thu gọn biểu thức P

x−3 √ x √ x−3 √ x−2
9−x
:
+
−
x−9
2−√ x 3+ √ x x + √ x −6

][

]

( x≥0; x≠9; x≠4 )

b) Tìm các giá trị của x để P = 1

2 √ x−9 2 √ x+1 √ x +3
−
−
x−5 √ x+6 3− √ x √ x−2

A=

Bài 43. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức A

R=

b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

√ x+2 − √ x +3 −3x +4 √ x−5
√ x+1 5−√ x x −4 √ x−5

Bài 44. Xét biểu thức sau:
a) Rút gọn R
b) Tìm số thực x để R>−2
c) Tìm số tự nhiên x là số chính phương sao cho R là số nguyên
Bài 45. Cho biểu thức:

Q=

√ x+2 − √ x +1 −3 √ x−1

√ x−3 √ x−2 x−5 √ x+6

a) Rút gọn Q
c) Tìm các giá trị x∈Z
Bài 46. Tính:

sao cho 2Q∈Z

b) Tìm các giá trị x để Q<−1

1
1
1
+
+. ..+
√ 99+ √ 100
a) √ 1+ √ 2 √ 2+ √ 3
So sánh
c)

A=

1 1 1
1
+ + +. . .+
√1 √2 √3
√ 100

2
Bài 47.

1
1
1
1
−
+
−
b) √ 1− √ 2 √ 2−√ 3 √ 3− √ 4 √ 50−√ 51

và B = 10

d)

a) Với mỗi số tự nhiên k≥1 , chứng minh rằng:

C=

1

+

1

+

1

2 √ 1 3 √ 2 4 √3

+.. .+

1
2005 √ 2004

và D =

1
1
1
= −
( k +1 ) √k + k √ k +1 √k √ k +1

1
1
1
+
+. ..+
100 √ 99+99 √ 100
b) Áp dụng tính giá trị của biểu thức sau: 2 √ 1+1 √2 3 √ 2+2 √3

Bài 48.

a) Cho

√ 16−2x +x 2− √9−2x+ x2=1
B=

b) Chứng minh
căn)

Bài 49.

. Tính

A= √16−2x+ x2 + √ 9−2x +x 2

√
√

3− 3+ √3+ √3+...+ √3 1
<
6− 3+ √3+ √3+...+ √3 5

a) Cho x, y thỏa mãn đẳng thức
b) Cho x, y thỏa mãn đẳng thức
Bài 50. Chứng minh:

( x +√ x2 +2007 )( y + √ y 2 +2007 ) =2007 . Tính x + y
( √ x 2+4−x )( √ y 2 +4− y ) =4 . Tính x + y

a+b
≥ √ ab
2
a)
với (Bất đẳng thức Cauchy)

1 1 1 1
1
1
+ + ≥

+
+
c) a b c √ab √ bc √ ca

(tử số có 2011 dấu căn, mẫu số có 2010 dấu

với a,b,c>0

ab bc ca
+ + ≥a+b+c
e) c a b
với a,b,c>0

b)

a+b +c≥√ ab+ √ bc+ √ ca
4

a+ bc
≥√ ab
2
d) 2c
2

2

với a,b,c>0

với a,b,c>0

a +b
≥2 √ 2
f) a−b
với a> b và ab = 1


Bài 51.
a) Tìm GTNN của

A= √ x 2 −6x+5

√

2

c) Tìm GTLN của C= −x −2x +8
1
E= 2
√ x −x +1
e) Tìm GTLN của

G=
g) Tìm GTNN và GTLN của
2

√

2

b) Tìm GTNN của B= x −6x +13

d) Tìm GTLN của

3

D=−5+ √1−9x 2 +6x

f) Tìm GTNN và GTLN của

2+ √ 2x−x2 +7

h)

F=√ −x2 +4x +5+6
Tìm

GTNN

của

2

H=√ 4x −12x+9+ √ 4x +4x +1
i) Tìm GTNN của

I=√ x+2 √ x−1+ √ x−2 √ x−1

j) Tìm GTLN của

L=

K= √( x−2 ) ( 6−x )

k) Tìm GTNN và GTLN của

J= √ x−2+ √ 4−x

l)

Tìm

GTNN

của

8
√ ( x +3 )( 5−x )

−3BÀI 5. MỘT SỐ CÔNG THỨC
(dùng để giải phương trình)

LÝ THUYẾT
I. DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
1)
2)

√ A=√ B⇔ B≥0 ( A≥0 )

{

√ A=B⇔

{

A=B

B≥0
A=B2

√ A + √ B=0 ⇔ B=0

{

A=0 (nghiệm chung)
3)
II. DẠNG PHƯƠNG TRÌNH “CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI”
1)

|A|=|B|⇔[
|A|=B ⇔

{

A=B
A=−B

B≥0
A=B hay A=−B

2)

Ví dụ. Giải các phương trình:

Giải

a)

√ 1−x=√ x 2−3x−7

b)

c)

√ x2−2x +1=√ 4x 2+4x+1

d)

√ 1−x=√ x 2−3x−7 ⇔
a)

⇔

{

√ 2x2−11x+13=x −3
√ x2−2x +1=2x−5

1−x≥0
x≤1
x≤1
⇔ 2

⇔
2
1−x= x −3x−7
x −2x−8=0 ( x+2 )( x−4 ) =0

{

{

{

x≤1
⇔ x=−2
x=−2 hay x=4

Tập nghiệm của phương trình là S= {− 2 }
b)
x≥3
x≥3
⇔ 2
√ 2x2 −11x +13=x −3⇔ 2 x−3≥0 (
2⇔
2
2
2x −11x+ 13=x −6x+ 9
x −5x+ 4=0
2x −11x+ 13= x−3 )

{

⇔

{

x≥3
x ≥3
⇔
⇔ x=4
( x−1 ) ( x −4 )=0 x=1 hay x=4

{

{

{

với


Tập nghiệm của phương trình là
c)

S= { 4 }

x−1=2x +1
x=−2
⇔[
√ x2−2x +1=√ 4x 2+4x+1 ⇔ √ ( x−1 )2=√ (2x +1 )2 ⇔|x−1|=|2x +1|⇔[ x−1=−
( 2x +1 )
x=0

S= {− 2; 0 } (có thể giải như ví dụ a)
√ x2−2x +1=2x−5 ⇔ √ ( x−1 )2=2x−5⇔|x−1|=2x−5⇔ 2x−5≥0
x−1=2x−5 hay x−1=5−2x
d)
Tập nghiệm của phương trình là

{

5
⇔
⇔ x=4
2
x=4 hay x=2

{

x≥

Tập nghiệm của phương trình là
(có thể giải như ví dụ b)
BÀI TẬP
Bài 52. Giải các phương trình:

√

2

a) 2− ( 3x+1 ) =35
Bài 53. Giải các phương trình:

1

a)

S= { 4 }

b)

8−

√(

2
1
x−3 =12
2

)

1

√ 18x−9− √ 2x−1+ √25 ( 2x−1 ) +√ 49 ( 2x−1 ) =24
2
2

1
x2 −5
2
4x −20+ 2
−3 √ x 2−5=2

√
9
b) 3
1
1
9
16
1
−
+
−5
=1
3x+2 2 3x +2 3x+22
12x+8
c)

√

√

√

Bài 54. Giải các phương trình:
a)

√ x+2=√ 2x−4

√

√

b)

√ x2−x−6=√ x−3