04 định lý vi ét phần 1 đặng việt hùng image marked

Tài liệu khóa học TỐN 10 (PT và Hệ PT)

04. ĐỊNH LÝ VI-ÉT (Phần 1)

Khi phương trình ax 2  bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thì ta có hệ thức Vi-ét:
b

 S  x1  x2   a

P  x x  c
1 2

a
Một số các kết quả cần lưu ý:
2
 x12  x22   x1  x2   2 x1 x2  S 2  2 P

 x13  x23   x1  x2   3x1 x2  x1  x2   S 3  3SP
3

 x14  x24   x12  x22   2 x12 x22   S 2  2 P   2 P 2
2

2

  x1  x2    x1  x2   4 x1 x2  S 2  4 P
2

2

Chú ý:


b 2  4ac  0

  0
b

 Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi 
  S  x1  x2 
0
a
 x1 ; x2  0

c

 P  x1 x2  a  0

b 2  4ac  0

  0
b

 Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi 
  S  x1  x2 
0
a
 x1 ; x2  0

c


 P  x1 x2  a  0
 Phương trình có hai nghiệm trái dấu  ac < 0.
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn α khi

b 2  4ac  0
b 2  4ac  0
  0


  0

b
b


  x1  x2  2α
  S  x1  x2 
 2α
  S  x1  x2 
 2α

a
a
 x1 , x2  α
 x α x α  0


 2 
 1
b

 x1 x2  α  x1  x2   α 2  0
c
2
 a  α. a  α  0
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều nhỏ hơn α khi

b 2  4ac  0
b 2  4ac  0
  0


  0

b
b


  x1  x2  2α
  S  x1  x2 
 2α
  S  x1  x2 
 2α

a
a
 x1 , x2  α
 x α x α  0


 2 

 1
b
 x1 x2  α  x1  x2   α 2  0
c
2
 a  α. a  α  0
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều khác α khi
  0
  0
  0

 2

 g  α   0
 x1 ; x2  α
 aα  bα  c  0


 Phương trình có một nghiệm và nghiệm này lớn hơn α khi
   0
   0
   0
   0




  x1  x2  b  α
  x1  x2  b  α
  x1  x2  b  α

  x1  x2  b  α
 
2a


2a
2a
 
2a
 
 




   0
   0
   0
   0
 c
b
2
  x1 x2  α  x1  x2   α 2  0
  x1  α  x2  α   0
  x1  α  x2
   α.  α  0





a
 a
 Phương trình có một nghiệm và nghiệm này nhỏ hơn α khi
   0
   0
   0
   0




  x1  x2  b  α
  x1  x2  b  α
  x1  x2  b  α
  x1  x2  b  α
 
2a


2a
2a
 
2a
 
 




   0

   0
   0
   0
 c
b
  x1 x2  α  x1  x2   α 2  0
  x1  α  x2  α   0
  x1  α  x2

α.
 α2  0





a
 a

Ví dụ 1 [ĐVH]. Cho phương trình  m  1 x 2  4mx  2m  3  0, 1
a) Giải và biện luận phương trình đã cho.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, và cả hai nghiệm đều nhỏ hơn 1.
Lời giải:
a) Giải và biện luận phương trình.
5
 Nếu m + 1 = 0  m = 1 thì 1  4 x  5  0  x   .
4
 Nếu m + 1  0  m  1 thì (1) là phương trình bậc hai có
  4m 2   m  1 2m  3  2m 2  5m  3

1
+) Nếu   0  2m 2  5m  3  0    m  3 thì (1) vơ nghiệm.
2
m
 3
b 2m
2
.
+) Nếu   0  2m  5m  3  0  
thì (1) có nghiệm kép x   
1
m  
a m 1

2
m  3

+) Nếu   0  2m 2  5m  3  0  

thì (1) có 2 nghiệm phân biệt
m   1
2


x1;2 

2m  2m 2  5m  3
.
m 1

m  3
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi   0  2m  5m  3  0  
m   1

2
Gọi hai nghiệm phân biệt là x1 ; x2 với x2 > x1.
b
4m

x

x



1
2

a m 1
Theo định lí Vi-ét ta có 
 x x  c  2m  3
 1 2 a
m 1
1  m  0
 4m


0

 x1  x2  0

 m  1
 m  1

  

 vno .
Hai nghiệm đều dương khi 
2
m

3
3
 x1 x2  0

m  
0
 m  1
 
2
2

 *


 x1  1 x2  1  0
c) Hai nghiệm đều nhỏ hơn 1 khi 
 x1  x2  2
 2m  3 4m
 m  4
1  m  4


1  0

 m  1  0
 x1 x2   x1  x2   1  0  m  1 m  1



 m  1
 1  m  4.

 x1  x2  2
 4m  2
 4m  2  0
  m  1

 m  1
 m  1
Đối chiếu với điều kiện (*) vể tồn tại hai nghiệm phân biệt ta được 3 < m < 4 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2 [ĐVH]. Cho phương trình  x  2   x 2  mx  2m  1  0, 1 .
a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm.
c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12  x22  x32  7.
Lời giải:

 x  2
a) Ta có 1  
2
 g ( x)  x  mx  2m  1  0,  2 
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và khác 2.

  m  4  2 5

2
2
m  4 1  2m   0
 g  0
m  8m  4  0
  m  4  2 5
Điều đó xảy ra khi 



 *
4
m

5
g
(

2)

0
4

2
m

2
m


1

0





5
m 

4
  m  4  2 5


Vậy với   m  4  2 5 thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

5
m 

4
b) Do nghiệm x = 2 < 0 nên để (1) có 3 nghiệm trong đó 2 nghiệm âm thì (2) phải có hai nghiệm trái
dấu.
1
Từ đó ta có P  0  1  2m  0  m  .
2
Giá trị này thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
c) Khơng mất tính tổng quát, giả sử x1 = 2. Khi đó x2 ; x3 là hai nghiệm phân biệt của (2).
 x2  x3  m

Theo định lí Vi-ét ta được 
 x2 x3  1  2m
Khi đó x12  x22  x32  7  4   x2  x3   2 x2 x3  7  m 2  2 1  2m   3  0  m 2  4m  5  0
2

 5  m  1. Kết hợp với điều kiện (*) ta được 4  2 5  m  1 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3 [ĐVH]. Cho phương trình x 2  2 x  15  0 có 2 nghiệm x1 , x2 . Khơng giải phương trình, tính:

A  x12  x22 ,

B  x13  x23 ,

C  x14  x24 .

Lời giải:
Vì a, c trái dấu nên phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 . Ta có:
b
c
S  x1  x2    2; P  x1 x2   15 nên :
a
a
2
A  x12  x22   x1  x2   2 x1 x2  4  30  34
B  x13  x23   x1  x2   3 x1 x2  x1  x2   8  90  98
3


C  x14  x24   x12  x22   2  x1 x2   342  2  15   706
2

2

2

Ví dụ 4 [ĐVH]. Cho phương trình x 2  3 x  7  0 có 2 nghiệm x1 , x2 . Khơng giải phương trình, tính:
1
1
E

,
D  x1  x2 ,
F   3 x1  x2  3 x2  x1  .
x1  1 x2  1
Lời giải:
Ta có : S  x1  x2  3; P  x1 x2  7 nên D 2  x12  x12  2 x1 x2  S 2  4 P  D  S 2  4 P  37

E

 x1  x2   2  S  2  1
x2  1  x1  1

 x1  1 x2  1 x1 x2   x1  x2   1 P  S  1 9

F  9 x1 x2  3  x12  x22   x1 x2  3S 2  4 P  1 .

Ví dụ 5 [ĐVH]. Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0, a  0 có 2 nghiệm x1 , x2 . Chứng minh

ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2  . Áp dụng phân tích ra thừa số:

f  x   2 x 2  7 x  4, g  x  





2  1 x2  2





2  1 x  2.
Lời giải:

b
c
Ta có x1  x2   và x1 x2  .
a
a
2

b
c

Do đó ax  bx  c  a  x 2  x    a  x 2   x1  x2  x  x1 x2   a  x1  x2  x  x2  .
a
a

1

1

Vì f  x  có hai nghiệm là 4 và
nên phân tích thành f  x   2  x  4   x     x  4 1  2 x  .
2
2

2

2
nên phân tích thành
2 1

2 
2  1 x  2  x 
  x  2  2  1 x  2  .
2

1



Vì g  x  có hai nghiệm là

g  x 







2 và







Ví dụ 6 [ĐVH].
2 x 2  2 x  12
x 4  9 x 2  20
, B 4
a) Đơn giản A  2
x  x  12
x  10 x 2  24
b) Phân tích thành nhân tử P  x, y   4 x 2  x 2 y 2  2 x 2 y  x 2  2 xy  2 x  1


Lời giải:
2 x  2 x  12 2  x  2  x  3 2  x  2 
a) A  2


,x3
x  x  12
x4
 x  3 x  4 
2

2
2
x 4  9 x 2  20  x  4  x  5  x 2  5
B 4


, x  2
x  10 x 2  24  x 2  4  x 2  6  x 2  6

b) Ta có thể viết thành tam thức bậc hai theo y

P  x, y    x 2 y 2  2  x 2  x  y  4 x 4  x 2  2 x  1 . Biệt số Δ'   x 2  x   x 2  4 x 4  x 2  2 x  1  4 x 6
2

nên y1 

 x 2  x  2 x3
 x 2  x  2 x3
.
y

. Vậy P  x, y     xy  x  1  2 x 2  xy  x  1  2 x 2  .
2
 x2
 x2

Ví dụ 7 [ĐVH]. Tìm các giá trị của m để phương trình :
a) x 2  4 x  m  1  0 có nghiệm là x1, x2 mà x13  x23  40 .
b) x 2   4m  1 x  2  , 4   0 có 2 nghiệm và hiệu số giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 17.

Lời giải:
a) Điều kiện có nghiệm là Δ  4   m  1  5  m  0 hay m  5 .
Khi đó x1  x2  4 và x1 x2  m  1 . Ta có :
x13  x23   x1  x2   3 x1 x2  x1  x2   43  12  m  1  76  12m nên
3

x13  x23  40  76  12m  40  12m  36  m  3 (thỏa mãn).
b) Δ   4m  1  8  m  4   16m 2  33  0, m,
2

Ta có x1  x2    4m  1 , x1 x2  2  m  4  . Giả sử x1  x2 thì
x1  x2  17   x1  x2   289   x1  x2   4 x1 x2  289  16m 2  33  289  m 2  16  m  4.
2

2

Ví dụ 8 [ĐVH]. Cho phương trình bậc hai  m  2  x 2  2  m  1  3  m  0 .
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 và thỏa mãn hệ thức x12  x22  x1  x2 .
b) Tìm một hệt thức giữa x1 , x2 khơng phụ thuộc vào m.
x 1
x 1
c) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm: X 1  1 , X 2  2
.
x1  1
x2  1
a) x  x  x1  x2   x1  x2 
2
1

2

2

2

Lời giải:
 2 x1 x2  x1  x2 hay S 2  2 P  S

Điều kiện phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 và thỏa mãn hệ thức x12  x22  x1  x2 là :
5

2m 2  3m  5  0
m  1 hay m 
5


Δ'  0
m


1
hay
m

2



   m  1 2
.
2

 2
3  m 2  m  1  

 S  2 P  S
4 
m 2  3m  1  0
m  3  13
 2

m2
m2
 m2

2
2  m  1 2  m  2  3
6
3 m 5 2 m
5

 2
;P

 1 
.
b) S 
m2
m2
m2
m2
m2

m2
Khử m ta có 5S  6 P  4  5S  6 P  4  0 hay 5  x1  x2   6 x1 x2  4  0. Đây là 1 hệ thức giữa

x1 , x2 không phụ thuộc vào m.
c) Để lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là X 1 , X 2 ta tính X 1  X 2 và X 1 X 2 . Ta có :
X1  X 2 
X1 X 2 

2  x1 x2  2 
x1  1 x2  1  x1  1 x2  1   x2  1 x1  1
2P  2
2  4m
.





x1  1 x2  1
x1 x2   x1  x2   1 P  S  1 3  2m
 x1  1 x2  1

x2  1 x1  1 x1 x2   x1  x2   1 P  S  1 7  2m
.



.
x1  1 x2  1 x1 x2   x1  x2   1 P  S  1 3  2m

Vậy phương trình cần tìm là: X  SX  P  0 hay  3  2m  X 2   2  4m  X  7  2m  0.
Ví dụ 9 [ĐVH]. Cho a, b, c là ba số khác nhau, c  0. Chứng minh rằng nếu hai phương trình
x 2  ax  bc  0 và x 2  bx  ca  0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm cịn lại của chúng thỏ
mãn phương trình x 2  cx  ab  0.
Lời giải:
Giả sử α là nghiệm chung của hai phương trình x 2  ax  bc  0 (1) và x 2  bx  ca  0 (2)
2
α  aα  bc  0
Ta có:  2
 α  a  b   c  b  a   0   α  c  a  b   0  α  c  0.
α  bα  ca  0
Thay α  c vào (1) ta có c 2  ac  bc  0  c  a  b  c   0  a  b  c  0

Mặt khác, theo định lý Vi-et phương trình (1) cịn có nghiệm nữa là b, phương tình (2) cịn có nghiệm
nữa là a.
Theo định lý Vi-et đảo, a và b là hai nghiệm của phương trình
x 2   a  b  x  ab  0  x 2  cx  ab  0 (đpcm).
Ví dụ 10 [ĐVH]. Cho phương trình x 2  2(2m  1) x  3  4m  0, *
a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2.
b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.
c) Tính theo m, biểu thức A  x13  x23 .
d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia.
e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x12 ; x22 .
Lời giải:
a) x  2(2m  1) x  3  4m  0 .
2

Δ '   2m  1   3  4m   4m 2  2 .
2

1

m  2
Như vậy để PT có 2 nghiệm x1 và x2 thì Δ '  0  4m 2  2  
1

 m   2

 x1  x2  2  2m  1
b) Theo Vi-et ta có: 
 x1  x2  x1 x2  1
 x1 x2  4m  3
Đây chính là biểu thức giữa x1 và x2 độc lập với m
c) A  x13  x23   x1  x2   3 x1 x2  x1  x2    4m  2   3.  4m  3 4m  2   64m3  48m 2  24m  10
3

3

d) Do vai trò của x1 và x2 như nhau nên khơng mất tính tổng qt giả sử x1  3 x2 .
Kết hợp với hệ thức Vi-et ta có hệ:
1

 x1  3 x2
 x1  x2  2  2m  1
x

m

2


2


9

 4 x2  2  2m  1  
 3m 2  m   0  m  1  28
 x1 x2  4m  3
2
4
 x  3x
 2
3.  m  1   4m  3


3
x

4
m

3
1
2

 2
 
2
2

2
2
 x1  x2  2  2m  1  x1  x2   x1  x2   2 x1 x2  4  2m  1  2  4m  3  16m  8m  2

e) Ta có: 
2
2 2
2
 x1 x2  4m  3
 x1 x2   4m  3  16m  24m  9
2

2

Do đó x12 ; x22 là nghiệm của PT: t 2  16m 2  8m  2  t  16m 2  24m  9  0
Ví dụ 11 [ĐVH]. Cho phương trình x 2  2(m  1) x  m 2  3m  0, *


a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm cịn lại.
b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.
c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x12  x22  8.
Lời giải:

m  0
a) PT có nghiệm x = 0 nên 02  2  m  1 .0  m 2  3m  0  
.
m  3
x  0
Với m  0 thì x 2  2 x  0  
nên nghiệm còn lại là 2 .

 x  2
x  0
Với m  3 thì x 2  4 x  0  
nên nghiệm còn lại là 4 .
x  4
x x

m  1 2 1

 x1  x2  2  m  1
2


 x12  x22  2 x1  2 x2  8  0
b) Ta có  2
2
 x1  x2  1  3  x1  x2  1  0
m  3m  0



 2

 2

Đây chính là hệ thức cần tìm.
c) Để PT có nghiệm thì Δ '   m  1   m 2  3m   m  1  0  m  1 .
2

m  2

2
2
x12  x22  8   x1  x2   2 x1 x2  8  4  m  1  2  m 2  3m   8  2m 2  2m  4  0  
 m  1
Vậy m  2 và m  1 là giá trị cần tìm
Ví dụ 12 [ĐVH]. Cho phương trình x 2  2(m  2) x  m(m  3)  0 . Tìm m để
a) phương trình có hai nghiệm trái dấu?
b) phương trình có hai nghiệm âm phân biệt?
c) phương trình có hai nghiệm dương phân biệt?
d) phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x13  x23  0.
Lời giải:
a) Để PT có 2 nghiệm trái dấu thì ac  0  m  m  2   0  0  m  2 .
b) Để PT có 2 nghiệm dương phân biệt thì :
 m  2 2  m  m  3  0
Δ '  0
m  4  0



 m  3, m  0  3  m  4 .
 P  0  m  m  3  0
S  0

m  2


2  m  2   0
 m  2 2  m  m  3  0
Δ '  0
m  4  0




 m  3, m  0  m  0 .
c) PT có 2 nghiệm âm phân biệt thì :  P  0  m  m  3  0
S  0

m  2


2  m  2   0

d) Để PT có 2 nghiệm x1 ; x2 thì Δ '   m  2   m  m  3  m  4  0  m  4
2

 x1  x2  2  m  2 
Theo Viet ta có: 
.
 x1 x2  m  m  3

x13  x23  0.   x1  x2   x12  x22  x1 x2   0  x1  x2  0  2  m  2   0  m  2 (TM).

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm
Ví dụ 13 [ĐVH]. Cho phương trình x 2  2(m  1) x  m 2  0 . Tìm m để
a) phương trình có hai nghiệm trái dấu?


b) phương trình có hai nghiệm âm phân biệt?
c) phương trình có hai nghiệm dương phân biệt?
d) phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12  x22  3.

Lời giải:
Xét phương trình x  2(m  1) x  m  0
2

2

Ta có Δ '  (m  1) 2  m 2  1  2m
Để phương trình có 2 nghiệm thì Δ '  0  1  2m  0 

1
m
2

1
, giả sử phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x1 , x2 .
2
 x1  x2  2(1  m)
Theo định lý Vi-et, ta có: 
(*)
2
 x1.x2  m
a) Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì x1.x2  0  m 2  0 vơ lí!

Với m 

Vậy khơng có giá trị nào của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
2(1  m)  0
x  x  0
b) Để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt thì  1 2
 2

1 m
m

0
 x1.x2  0

1
Mặt khác kết hợp với điều kiện để phương trình có nghiệm: m   Vơ lí!
2
Vậy khơng có giá trị nào của m để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt
2(1  m)  0
x  x  0
c) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì  1 2
 2
1 m
 x1.x2  0
m  0
Kết hợp với điều kiện để phương trình có nghiệm m 

1
1
 với m  thì phương trình đã cho có 2
2
2

nghiệm dương phân biệt.
d) Từ (*), ta suy ra x12  x22  ( x1  x2 ) 2  2 x1.x2  4(1  m) 2  2m 2  2m 2  8m  4
Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12  x22  3

4  14

m 
2
 2m 2  8m  4  3  2m 2  8m  1  0  

4  14
m 

2

Kết hợp với điều kiện m 

4  14
1
m
2
2

Ví dụ 14 [ĐVH]. Cho phương trình  m  1 x 2  2mx  m  1  0.
a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m  1.
b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm
của phương trình.
x x 5
c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 1  2   0.
x2 x1 2
a)  m  1 x  2mx  m  1  0.

Lời giải:

2

Δ '  m 2  (m  1)(m  1)  1  0

 Phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m  1.
b) Với m  1 , giả sử phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x1 , x2 .


2m

 x1  x2  m  1
Theo định lý Vi-et, ta có: 
(*)
 x .x  m  1
 1 2 m  1
m 1
3
 5  m  1  5m  5  4m  6  0  m 
Phương trình có tích hai nghiệm bằng 5 
m 1
2
3

2m
3
m 
  6 . Vậy 
Khi đó x1  x2 
2
m 1 1
 x1  x2  6
2

x x 5
c) Phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 1  2   0.
x2 x1 2



x12  x22 5
  0  2(( x1  x2 ) 2  2 x1.x2 )  5 x1 x2  0
x1.x2
2

4m 2  (m  1) 2
 2( x1  x2 )  x1 x2  0 
0
(m  1) 2
2

4m 2  0

 m  0  1 Vơ lí!. Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn điều kiện của đề bài.
2
(m  1)  0
Ví dụ 15 [ĐVH]. Phương trình mx2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt
đối lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.
Lời giải:
2

a) mx – 2(m + 1)x + m – 4 = 0.
Δ '  (m  1) 2  m(m  4)  6m  1
1
Để phương trình có nghiệm thì Δ '  0  6m  1  0  m  
6
1
Vậy với m   thì phương trình có nghiệm
6
b) Phương trình có 2 nghiệm khi m thỏa mãn
2(m  1)

 x1  x2 
m
Theo định lý Vi-et ta có 
(*)
 x .x  m  4
 1 2
m
m4
00m4
Phương trình có 2 nghiệm trái dấu  x1.x2  0 
m
2(m  1)
 0  x1  x2  0
Với điều kiện 0  m  4 
m
Do đó, nghiệm dương của phương trình sẽ có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
c) Các nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3  x1  3  4 x2
2(m  1)


 x1  x2  3  3 x2 
m
Thay biểu thức trên vào (*), ta có: 
 x .x  (3  4 x ) x  m  4
2
2
 1 2
m


3m  2m  2 m  2
2(m  1)



 x2 
 x2  1  3m
3m
3m


2
4 x 2  3 x  m  4  0 4. (m  2)  3. m  2  m  4  0
2
 2

m
9m 2
3m
m


1  65
m 
4
 4(m 2  4m  4)  9m(m  2)  m(m  4)  0  4m 2  2m  16  0  2m 2  m  8  0  

1  65
m 

4
1  65
1
Kết hợp với điều kiện m    m 
4
6
d) Giả sử có tồn tại hệ thức liên hệ giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m là : x1  x2  a.x1.x2  k (a,k
là 2 giá trị cần phải tìm)
2(m  1) a (m  4) (2  a )m  2  4a


m
m
m
(2  a )m  2  4a
2  4a
 k m  (2  a ) 
 k m
m
m
1


a

2  4a  0 
xx
5
2


. Vậy hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m là x1  x2  1 2 
2
2
2  a  k
k  5

2

Từ (*), ta suy ra x1  x2  a.x1.x2 