De cuong on thi

Chương I. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA.
§1. CĂN BẬC HAI.
Bài 1. Tính:
a) A= √ 49+ √ 25−4. √ 0,25 ;
b) B=( √ 169− √121− √81 ) : √ 0,49 .
Bài 2. Tìm căn bậc hai số học của số a ?
a
0,36
0,81
0,09
0,0121
1,69
2,25
2,56
2,89
√a
Bài 3. Tìm số a ?
0,5
1,5
0,8
2
0,1
9
√a
√ 49
√7
a
Bài 4. Giải các phương trình sau :
a) √ x−1=3 .
b) √ x2 + x +1=1 c ¿ √ x= √ 5 .
d) √ x2 +1=−3 ;

Bài 5. So sánh
a) 9 √ 81 .
c) √ 144 √169 .
b) 6 √ 37 .
d) √ 225 √289 .
Bài 6. Tính bằng cách hợp lý.
a) √ 52−4 2 .
b) √ 252−24 2 .
c) √ 852−84 2 .
d) √ 262−24 2 .
Bài 7. Thực hiện phép tính :
a)

√ 1,44+3. √1,69 ;

c)

b)

√ 0,04+2. √ 0,25 ;

d)

1
. √ 0,81 . √ 0,09 ;
9
3
16
. √16+ 2.
.

5
25

√

√

Bài 8. Điền Đ cho câu đúng, và S cho câu Sai.
Căn bậc hai của 0,81 là 0,9
Căn bậc hai của 0,81 là 0,9 và -0,9
√ 0,25=0,5
√ 0,25=± 0,5
Bài 9. Đặt điều kiện rồi giải các phương trình sau
a) √ x=0,1 ; b) √ x+3=1 ;
c) √ x+2=x ;
d) x 2=7 ; e) √ x=3 ;
g) √ x+1=x ; h) √ x=x ;
Bài 10. Giải các bất phương trình sau:
a) √ x> √ 2 ;
b) √ x<2 ;
c) √ x ≥ x ;
d) √ x< x ;
Bài 11. So sánh.
a) 3 và √ 3+1 ;
b) 2 √5 và √21 ; c) −3 √ 8 và−9 ; d) √ 17+ √ 5+1 và √ 45 .
2
3
1
1
1

và
và 6 ;
e) 1−
; g) 1+ + +…+
5
√ 23
√2 √ 3
√ 36
Bài 12. Cho a ≥ 0 .

a) CMR:

a−√ a+1=

(

√ a−

1 2 3
+
;
2
4

)

b) Tìm GTNN của các biểu thức sau:
A=a− √a+ 1 ;
B=a+ √ a+1 .
Bài 13. Cho biểu thức M =x−2 √ x+1 , với x ≥−1 .

a) Đặt y=√ x +1 . Hãy biểu thị M qua y.
b) Từ đó hãy tìm GTNN của M.
Bài 14. Chứng minh rằng:


a) √ 5 là một số vô tỉ.
b) √ 6 là một số vơ tỉ.
Bài 15. Giải các phương trình sau:
1) √ x−1=3 ;
2) √ x2 +1=2 ;
3) √ x2 +5 x+ 20=4 ;
4) √ x2 +3=−1 .
Bài 16. CMR: các số sau là các số vô tỉ.
1) √ 3 ;
2) √ 7 ;
3) √ 3+√ 1 ;
Bài 17. So sánh các số.
1) √ 7+√ 15 với 7.
2) √ 2+ √11 với 5+ √ 3 ;
3) 3 √ 26 và 15 ;
30−2 √ 45
và √17 ;
4) −5 √ 35 và−30.
5)
6) √ 3 √5 và √ 5 √ 3 ;
4
§2. CĂN BẬC HAI & HẰNG ĐẲNG THỨC
Bài 1. Rút gọn biểu thức.
a) √ ( √3−√ 2 )2 + √ 2 ;
b) 3 √ 5−√ ( 1−√ 5 )2 ;

Bài 2. Rút gọn biểu thức.
a) √ ( 3+ √ 5 )2 ;
c) √ ( 4−√ 11 )2 + √ 11
b) √ ( 5−√ 5 )2 ;
d) √ ( √ 8−7 )2−√ 8 ;
Bài 3. Thực hiện phép tính :
a)
b)

−4
. √ (−0,4 )2 ;
3
−1 2
5.
;
5

√ A 2=|A|

c) 4. √ (−3 )6 +5. √ (−2 )4 ;

√( )

d) 3. √(−1,5 )2 −4. √ (−0,5 )2 ;

Bài 4. Thực hiện phép tính :
a)

49
. √ 0,01 ;

64
( √ 0,25− √ 225+ √ 2,25 ) : √ 169

√ 144 .

√

b)
;
Bài 5. Chứng minh rằng :
a) 11+6 √ 2=( 3+ √ 2 ) 2 ;
b) 8−2 √ 7=( √ 7−1 )2 ;
Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau :
a) 5 √ 25 a 2−25 a với a<0.
b) √ 49 a2 +3 a với a ≥ 0 .
Bài 7. Rút gọn các biểu thức sau :
a)

4 x −√ x 2−4 x +4 với x ≥ 2 .

b)

3 x+ √ 9+ 6 x + x 2 với x ←3 ;

c) 72: √33 +32 −3. √ 52−3 2 ;

c) ( 5− √ 3 )2=28−10 √ 3 ;
d) √ 4+ 2 √ 3−√ 4−2 √3=2 ;
c)

√ 16 a4 +6 a2 với a bất kì.
d) 3 √ 9 a6−6 a3 với a bất kì.
x +6 √ x+ 9
với x ≥ 0 và x ≠ 9 .
x−9
√ x 2 +4 x + 4 với x ≠−2.
x +2

c)

d)

Bài 8. Hãy so sánh. (BTVN)
a) √ 7+ √ 15 và 7 .
c) √ 21−√ 5 và √ 20− √6 .
b) √ 2+ √11 và √ 3+ 4 .
d) √ 24−1 và 5 .
Bài 9. Khoanh tròn vào các câu đúng.
A. a−9= ( √ a−3 )( √ a+ 3 ) với mọi giátrị của a .
B. a−9= ( √ a−3 )( √ a+ 3 ) với mọi giátrị của a ≥ 0.
C. √ ( a+3 )2=a+3 với mọi a .
D. √ ( a+3 )2=−( a+3 ) với mọi a ≤−3.
Bài 10. Tìm điều kiện xác định của mỗi biểu thức sau :


a)

√ x+ 4 ;

b) √−7 x ;

c)

√

−3
x−2

d) √ 4 x +12 ;
e) √ x−2 ;
g)
Bài 11. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa. (BTVN)
a)

√ 3 x +9 ; b)

√

−7
−x−5

;

c) √−5 x −15 ;

Bài 12. Giải các phương trình sau :
a) √ x2−6 x+9=5 ;
b) x−9 √ x+14=0

;

√ 3 x 2 +1 ;
d)

√ x2−4 x +5

c) x 2−11=0 ;

b) √ x2−10 x +25=7−2 x .
e) x 2−2 √ 13 x=−13 ;
Bài 13. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x 2−7 ;
b) x 2+2 √ 7 x+7 ;
c) x 2−22;
d) x 2−2 √ 23 x +23 .
Bài 14. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
1)

√
√

6)

2
2¿
2 ;
x
3 x+2
2 ;
( x−1 )

1
2

;

3
;
√2 x−1

7)

√3−x
10) √−x2 +2 x−1 ;

3 )

1
;
√ x +4 x + 4

5)

√

11)

4) 1−√ x 2−5 ;

√ 2−x−x 2 ;

1
1−√ x −2

5)

9)

;

12)

√−x2 +2 x−3 ;

1
√ x− √2 x−1

2) √ 7+4 √3+ √ 13−4 √ 3 ;
4) √ 29−12 √ 5 ;
x−2 √ x+1
với x >1.
6) √

1
1
2
x −x + −2 x với x ≥
;
4
2

x−1

Bài 16. Giải các phương trình sau :
1) √ 4 x 2=x +1 ; 2) √ 16 x 4 =8 ;
5) √ x2 + 4 x+ 4−2=x ;
7) √ x2−2 x +1− √ x 2−4 x+ 4=x−3 ;

3) √ 1−2 x+ x 2=3 ;
4) √ x2 +6 x +9=x−1 ;
6) 1−√ 4 x2−4 x +1=2 x ;
8) √ x+2 √ x−1−√ x−2 √ x −1=2 ;

2

Bài 17. Chứng minh:

8)

2

Bài 15. Rút gọn các biểu thức sau :
1) √ ( 1−√ 2 )2−√ 3+2 √ 2+ √ (−2 )6 ;
3) √ 16−6 √ 7

√ x2−x +1 ;

a +3
>2
√ a 2+ 2

với mọi giá trị của a.

Bài 18. Cho biểu thức M =x +2− 1 x 2+x +1 ;

√

4

a) Rút gọn M.
b) Tính √ M khi x=4 +4 √ 2 .
Bài 19. Cho a, b, c là 3 số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng :
1
1
1
+
+
là một số hữu tỉ.
2
2
2
( a−b ) ( b−c ) ( c−a )
Bài 20. Tìm GTNN của biểu thức:
A= √ x 2 +4 x + 4+ √ x 2−4 x+ 4 ;

√

Bài 21. Giải các bất phương trình sau:
a) √ x+2> x .
b)
2

Bài 22. Cho biểu thức A= √ x −6 x +9−2 x +1 .
a) Rút gọn biểu thức A.
Bài 23. Giải các phương trình sau:

√ 4−x 2+ x2 > 4 .
b) Tìm x để A= √ 2 .

;


1) √ x=x ;
2) √ x2 + x +1=x +2 ;
3) √ x2−10 x +25=x−3 ;
4) √ x−2+ √ 2−x=0 ;
Bài 24. Rút gọn biểu thức sau bằng 2 cách: A= √ 8−2 √15−√ 8+2 √15 .
Bài 25. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa.
2
A= √ 4 x −1 ;

2
B=√ 2 x +4 x+5 ;

C=

1
;
√2 x−x 2

3
D= x + + √−3 x .

x

√

Bài 26. Giải các phương trình sau:
1) √ 9−12 x+ 4 x 2=4 ;
2) √ x2−2 x +1+ √ x2 −6 x+ 9=1 ;
3) √ x2−2 x +1+ √ x2 −4 x +4=3 ;
4) √ 3 x 2−18 x +28+ √ 4 x 2−24 x+ 45=−5−x 2 +6 x ;
Bài 27. Rút gọn các biểu thức sau:
1) √ 6+2 √5+ √6−2 √5 ;
2) √ 8−2 √ 7− √ 8+ 2 √ 7 ;
3) √ 11+6 √ 2−√ 11−6 √2 ;
4) √ 3+2 √ 2+ √ 6−4 √2 ;
12 √ 6
5) B=
;
√7 +2 √6−√ 7−2 √ 6
Bài 28. Rút gọn các biểu thức sau:
1) √ 64 a2 +2 a với a ≥0 ;
2) 3 √ a6−6 a3 với a bất kì.
3)

√ a +6 a+ 9+ √ a −6 a+9 với a bất kì.
2

2

5) B= √ a+2 √ a−1+ √ a−2 √ a−1 với 1 ≤ a ≤2 ;

c 2 +2 c+ 1
√
4) C=
.
|c|−1

a a−8+2 a−4 √ a
5) A= √
;
a−4

Bài 29. Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa:
1)

√ x2−3 x +2 ;
1
2

√ x −5 x+ 6

2)

√ x2 + 4 x+5 ;

√

x +3
;
5−x

4)

;

Bài 30. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) x 2−11 ;
2) x+ 5 √ x +6 ;
Bài 31. Thực hiện phép tính một cách hợp lý.
1).

3)

−7
(−0,81 )2 ;
√
9

3). √ 49 . √ 144 + √ 256: √ 64 ;

3) x+ 4 √ x+ 3 ;

√(

−1
2). 6.

2

)

4) 3 x−6 √ x−6 ;

;

36
4) 72: √22 .3 2 .36−√225 ;

____________________________________________
§3. KHAI PHƯƠNG MỘT TÍCH. NHÂN CÁC CĂN BẬC HAI.
Bài 1. Thực hiện phép tính (một cách hợp lý) :
a) √ 810.40 ;
d) √ 0,45.0,3.6 ;
h) √ 5. √ 45 .
n)
√ 48,4 . √ 5 . √ 0,5
b) √ 24 . √ 12 . √0,5 ;
e) √ 147.75 ;
k) √ 13. √ 52 ;
c) √ 49.36 .100 ;
g) √ 4,9.1200 .0,3 ;
l) √ 12,5. √ 0,2 . √ 0,1 .
Bài 2. Thực hiện phép tính (một cách hợp lý) :
a) A= ( √ 18+ √32−√ 50 ) . √ 2 ;
d) √ 12−√ 27+ √ 3 ;
b) B=√ 50− √ 18+ √200−√ 162 ;
e) √ 252−√ 700+ √ 1008−√ 448
c) ( √ 12−2 √ 75 ) . √ 3 ;
;
g) √ 3 . ( √ 12+ √ 27− √ 3 ) .

Bài 3. Thực hiện phép tính (một cách hợp lý) :
a) √ 372−352
b) √ 2212−2202 ;
c) √ 652−632 ;
d) √ 1172−108 2 ;
e) ( 3+√ 5 ) ( 3− √5 ) −( 2+ √ 3 ) ( 2−√ 3 ) ; g) 2 √ 3 ( √ 2−3 )+ ( 2−√ 3 )2 +6 √ 3 ;
Bài 4. Rút gọn các biểu thức số :
6−2 √5
√ 6+ √10
√ 405+3 √27
a)
;
b)
;
c) √
;
3 √3+ √ 45
√ 21+ √ 35
√5−1
√ 2+ √ 3+ √ 4− √ 6−√ 9− √12
d)
;
√2+ √ 3+ √ 4
Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau :
a) √ 0,49 a2 với a< 0 ;
b) √ 25(3−b)2 với b ≥3 ;
1

6

2

d) a−3 b . √ a . ( a−3 b ) với a>3 b>0 .
Bài 6. Rút gọn và tính giá trị của các biểu thức sau :
a) A=3 x + √ 16−24 x+ 9 x 2 với x=−3 ;
b) B=5 x−√ 4 x 2 +12 x +9 với x=−√ 5 ;
Bài 7. Giải các phương trình sau:
a) √ 2 x +5=5 ; b) √ x−7+3=0 ;
c) √ 3 x +1= √10 ;
d) √ 16−7 x=11 ;
Bài 8. So sánh:
a) √ 5+√ 7 và √ 12 ; b) √ 8+3 và 6+ √2 ;
c) √ 20 và √ 16+ √ 4 ;
d) 14 và √ 13. √ 15 ; e) √ 27+ √ 6+1 và √ 48 ;
g) √ a+b và √ a+√ b với a>0 ; b>0 ;
Bài 9. Tính:
A= √ 3+ √ 5+2 √ 3 . √ 3−√ 5+ 2 √ 3 .
B=√ 4 + √ 8 . √ 2+ √ 2+ √ 2 . √ 2−√ 2+ √ 2 .
Bài . a) So sánh: √ 2017+2018 và √ 2017+ √ 2018 ;
b) Tổng quát: Hãy chứng minh rằng : với a>0, b>0, thì √ a+b< √ a+ √ b .
Bài: Thực hiện phép tính :
a) ( √ 12+ 3 √15−4 √ 35 ) . √ 3 ;
b) √ 252−√ 700+ √ 1008−√ 448 ;
c) 2 √ 40 √12−2 √ √ 75−3 √ 5 √ 48 ;
Bài: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý :
a) √ 272−232 ;
b) √ 372−352 ;
c) √ 652−632 ;
d) √ 1172−108 2 ;

Bài : Rút gọn các biểu thức sau:
9 √5+ 3 √ 27
√6 + √14
√ 2+ √ 3+ √ 6+ √ 8+ 4
1) A=
; 2) B=
;
3) C=
;
2 √3+ √28
√5+ √ 3
√2+ √ 3+ √ 4
3 √8−2 √ 12+ √ 20
4) C=
;
3 √ 18−2 √ 27+ √ 45
Bài : Tính :
1) P=( 4+ √15 ) ( √ 10− √6 ) √ 4− √15 ;
2) Q=( 3−√ 5 ) √ 3+ √ 5+ ( 3+ √ 5 ) √3−√ 5 ;
3) R= √ 2+√ 3 . √ 2+ √ 2+ √ 3 . √2+ √ 2+√ 2+ √ 3 . √ 2−√ 2+√ 2+ √ 3 ;
Bài : So sánh :
1) 3+ √ 5 và 2 √ 2+ √ 6 ;
2) 2 √ 3+ 4 và3 √2+ √ 10 ;
3) 18 và √ 17 . √ 19 ;
4) √ 27+ √ 26+1 và √ 48 .
c)

4

2

√ x ( x−2 ) với x >0

;


Bài : Cho biểu thức :

x 2−√ 2
x 4 + ( √ 3−√ 2 ) x2 −√ 6

M=

.

Hãy rút gọn M rồi tìm giá trị lớn nhất của M .
Bài : Cho a, b, c là các số thực không âm, hãy chứng minh rằng :
a+b +c ≥ √ ab+ √bc + √ ca ;
Bài : Chứng minh rằng : số 99999+11111 √ 3 không thể biểu diễn được dưới dạng :
2
( A+B √ 3 ) với A, B là các số nguyên.
Bài : Cho A=a √ a+ √ ab và B=b √ b+ √ab với a> 0,b> 0 . Chứng minh rằng : nếu
√ a+√ b và √ab là các số hữu tỉ thì A + B và A . B cũng là các số hữu tỉ.
Bài : Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn các điều kiện : xy + yz + zx=1 . Tính tổng :
( 1+ y 2 ) ( 1+ z 2 )
( 1+ x 2 ) ( 1+ z 2 )
( 1+ x 2 )( 1+ y 2)
S=x
+
y

+
z
.
2
1+ x
( 1+ y 2)
( 1+ z 2 )
Bài : Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng :

√

A=

√

1
1
1
+
+
2
2
2
( a−b ) ( b−c ) ( c −a )

√

√

là một số hữu tỉ .

Bài : Tính nhẩm giá trị của các biểu thức sau :
1) √ 682−322 ;
2) √ 2,5. √ 16,9 ;
√ 5. √ 30 . √ 42.28 ;
Bài : Rút gọn các biểu thức sau :
a)

( 5 √ 28−2 √ 63+3 √112 ) : √ 7

c) ( √ 5+ √ 3 ) √ 8−2 √ 15 ;

b)
d)

3) √ 28.63 ;

4)

4 √ 21−4 √ 15−√ 14+ √10
4 √ 6−2+ 4 √ 15− √10
√ 3−√ 5− √3+ √5 .

;

§4. KHAI PHƯƠNG MỘT THƯƠNG. CHIA HAI CĂN BẬC HAI.
Bài 1. Tính bằng cách hợp lý.
√180 : √ 5
125
3

36
:
a)
; b)
;
c) √ 13: √ 468 ;
d)
;
e)
5
3
15 45
√200 : √ 8
3 .4

√

228
8
:
169 225

√ √
√ √

√ √

.

Bài 2. Tính bằng cách hợp lý.

a)

72
: 8
9

;

c) ( 7 √ 48+3 √ 27−2 √ 12 ) : √3 ;


b) ( √ 125+ √ 245−√ 5 ) : √ 5 ;

d)

Bài 3. Tính bằng cách hợp lý.

√

a)

125
245

;

b)

√

84 2−372
47

;

(√ 71 −√ 167 +√ 7): √ 7 .
c)

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau :
a)
b)
c)
d)

√

5. ( 382 −172 )
; d)
8. ( 472−192 )

√

0,2.1,21 .0,3
7,5.3,2 .0,64

1
với a+b >0 .
a + 2ab +b2
x >0
5 x 49 y 2

.
với y< 0 .
2
7 y 25 x
2
1
169 x
.
với x< 0
6
13 xy
y >0
y

2 ( a+b ) .

√

2 y2 .

√

√

2

{

√

{

x6
với y >0 .
2
4y

Bài 5. Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau :
a ¿ A=

b)
c)

√

1
4
− 2
x −6 x+ 9 x −9
2

( với x > 3 ) tại x =4.

( x−5 ) 4 x 2−25
A=
−
( với x < 4 ) tại x=3 ;
2
x −4
( 4−x )

x 3 +3 x 2
B=3 x − √ 27+ √
( x ≥ 0 ) ,tại x= √ 3 .
√ x +3

√

Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau :
9 ( x 2+ 2 xy + y 2 )
a) P= 2 2 2 .
với x ≠ ± y .

√

b)

4
x −y
1
1
4
5
6
Q=
. √ 25 a −100 a +100 a với a ≠
.
2 a−1
2

Bài 7. Giải phương trình :

a) √ 10 ( x−3 )=√ 26 ;
c) √ 3 x 2=x +2 ;
b) √ x2 +6 x +9=3 x −6 ;
d) √ x2−4 x +4−2 x +5=0 ;
y=( 2 √ 7−5 )( 2 √ 7+5 ) ;
z=√ 32−√ 18+ √ 50 .
Bài 8. Cho x=( 3 √ 2+ 3 ) ( √2−1 ) ;
Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai.
Câu
Đúng
Sai
x là số tự nhiên.
z là số tự nhiên.
x, y là hai số tự nhiên.
x, z là hai số tự nhiên.
(Cần Bổ sung)
§5. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI.
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau: (VD1 +B39)
1) √ 245.35 ;
2) √ 63 a2 với a< 0 ;
3)

2 x y 2 9 a3 b4
.
với a ,b , x , y lớn hơn 0 ;
3 ab
8 x y3

√

4) √ 49.360 ;

5) √ 500.162 ;

;


1
2
7) 3 . √ 225 a với a tùy ý .
Bài . Đưa thừa số vào trong dấu căn: (B40)

6)

√ 125 a2 với a<0 ;

1)

5 √2

;

3) x 21 với x >0 ; y >0.

√

2) −2 √ 5 ;

Bài . Sắp theo thứ tự tăng dần:
a)

xy

x

b) √ 27 ; 6 1 ; 2 √ 28 ;5 √7 ;

5 √ 2 ; 2 √5 ; 3 √ 2; 2 √ 3 ;

c) 4 √2 , √37 ,3 √ 7 , 2 √15 ;
Bài . So sánh:
a) √ 15−√ 14 với √14−√ 13 ;
Bài . Rút gọn các biểu thức sau:
a)

√

4) x −39 với x <0 ;

d)

√√

3
3 √ 6 ; 2 7 ; √ 39 ; 5 √ 2

;

b) √ 105−√ 101 với √ 101−√ 97 ;
1

b) √ 3− 3 √ 27+2 √ 507 ;

3 √ 2+ 4 √ 8−√ 18 ;

1
1
d) −√ 36 b− 3 √54 b + 5 √150 b với b ≥ 0.

c) √ 25 a+√ 49 a−√ 64 a với a ≥0.

Bài . Giải các phương trình sau: (Bài 44 )
a)

5 √ 12 x−4 √3 x +2 √ 48 x=14 ;

c)

3 √ x−5 2 √ x−7
−
=√ x −1 ;
2
3

1

b) √ 4 x−20+ √ x−5− 3 √ 9 x−45=4 ;
d) √ 36 x −72−15 x−2 =4 ( 5+ √ x−2 ) ;

√

25

Bài . phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) 3− √3+ √ 15−3 √ 5 ;
2) √ 1−a+ √ 1−a2 với −13) √ a3− √ b 3+ √ a2 b−√ a b 2 với a>0, b>0 ;
4) x− y + √ x y 2− √ y 3 với x >0, y >0 ;
Bài . Khử mẫu rồi rút gọn các biểu thức (nếu có thể ) :
1)

√

3
7

;

2)

5) −xy y với x >0, y ≥0 ;

√

7)

√

x

5 a3
với a ≥ 0,b> 0
49 b

;

√

7
20

6)

; 3)

√

3

√

11
12

;

4)

−3 x
với x <0

35

√

( √3−√ 2 )
3

2

;

;

8) −7 xy 3 với x <0, y <0 .

√

xy

Bài . Trục căn thức ở mẫu:
1
1
2−√ 3
1)
;
2)
;
3)
;
4)

2 √ 2−3 √ 3
3 √6
√2+ √ 3
1+ √ a
với a> 0 và a ≠ 4 .
2−√ a
37
2 √ 10−5
1+ √ a
√5−1
với a>0 .
5)
;
6)
;
7)
;
8)
7
+2
3
5+1
4−
10
√
√
√
√a
Bài . Rút gọn các biểu thức sau:
5 √ 60 .3 √ 15

x + √ xy
với x> 0, y > 0 và x ≠ y ;
1)
;
2) √ 27 ( √ 3−√ 5 )2 ;3)
15 √ 50 .2 √ 18
√ y −√ x
4)

x−2

2

√ x −4 x+ 4

với x ≠2

Bài . Thực hiện phép tính:

;


1)
3)

1
1
+
; 2)
3+ √ 2 3−√ 2

3
3
−
2 √ 2−3 √ 3 2 √ 2+3 √ 3

2
2
−
3 √ 2−4 3 √ 2+ 4

;

3)

√5−√ 3 + √ 5+ √ 3
;
√ 5+ √ 3 √ 5−√ 3

;

Bài . Giải các phương trình sau:
1) √ 2 x−1=√2−1 ;
2) √ 3 x +11=3+ √ 2 ;
3) √ x+5=√ 3−2 ;
4) √ x+38=3+ √ 5 .
Bài . Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
2
( 1+ √ x ) −4 √ x
1)
với x=2 ;

1− √ x
2
( √ x− √ y ) + 4 √ xy
2)
với x=2, y=3 ;
1+ √ xy
3)

x + y x 3 y 2+ 2 x 2 y 3 + x y 4
.
với x=2, y=1.
y
x 2 +2 xy + y2

√

Bài . Tính giá trị của biểu thức:
M=

Bài . Trục căn thức ở mẫu:
Bài . Rút gọn biểu thức sau:
1) √ 200−√ 32+ √ 72 ;

16−a 2
2− √ a

( x−1 ) √ 3

√ x 2−x +1

.
2) √ 175−√ 112+ √ 63 ;

3) 4 √20−3 √125+ 5 √ 45−15 1 ;

√

với x=2+ √ 3 .

4) ( 2 √8+ 3 √ 5−7 √ 2 )( √72−5 √ 20−2 √ 2 ) .

5

Bài . Rút gọn biểu thức sau:
1) 2 √ 8 √ 3−2 √ 5 √3−3 √ 20 √3 ;
2) √ 343 a+ √ 63 a− √ 28 a với a ≥ 0 ;
1
1
3) −√ 36 b− 3 √ 54 b + 5 √150 b với b ≥ 0 .
Bài . Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu có thể ).
3+4 √ 3
√ 6+ √ 14
1)
;
2)
;
2 √ 3− √7
√6+ √ 2−√ 5
1
2+ √5+2 √ 2+ √10

3)

5 √ 5+3 √ 3
√ 5+ √ 3

;

4)

;

Bài . Rút gọn biểu thức sau:
1)
3)

1
1
−
√7−√ 24+1 √7 + √ 24−1
5+ 2 √ 6
5−2 √6
+
;
5−2 √6
5+2 √6

√

;

√

Bài . Giải các phương trình sau:
1) √ 7+√ 2 x=3+ √5 ;
3)

2)

√ 3 x 2−4 x=2 x−3 ;

Bài . Tính :
1) A= √ √ 5− √3−√ 29−6 √ 20 ;
2) B=√ 6+2 √ 5−√ 13+ √ 48 ;

4)
2)

√3

√3

√√ 3+1−1 √ √3+ 1+ 1

√

3+ √ 5
3−√ 5
+
3−√ 5

3+ √ 5

√ x2−6 x+ 9=√ 4 +2 √3 ;
4)

−

√

(7−x ) √7−x + ( x−5 ) √ x−5
=2 ;
√7−x+ √ x−5

;

;


3) C=√ 4+ √ 5 √ 3+5 √ 48−10 √ 7+ 4 √ 3 ;
Bài . Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng :
a) √ c ( a−c ) + √ c ( b−c )−√ ab ≤ 0 với a> c , b> c ;
b) Nếu √ 1+ b+ √ 1+ c ≥ 2 √1+ a thì b+ c ≥ 2c .
Bài . Chứng minh rằng :

1
1
1
+
+ …+
=9 ;

1+ √2 √2+ √ 3
√ 99+ √100
1
1
1
+ +…+
<28 ;
2)
√2 √3
√ 225
Bài. Cho biểu thức √ x2−6 x+19−√ x2−6 x+10=3 . Hãy tính giá trị của biểu thức:

1)

M =√ x 2−6 x+19−√ x 2−6 x+10

;

2
3
1
− √ 24+ 2 +
3
8
6

;

Bài . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức :
S= √ x−3+ √ y −4 , biết x+ y=8 .

Bài . So sánh các biểu thức sau:
1) 3 √ 12 và 2 √ 18 ;
2) 2 √ 5 và5 √ 2 ;
Bài . Rút gọn các biểu thức sau :
a)
c)

√ 45−2 √ 80+ √14,4.50 ;

√

2
2
−
2−√ 3
2+ √ 3

√

b)

;

Bài . Rút gọn các biểu thức sau:
1
1) √ 75−√ 4,32+ √ 363 ;
2
3 √ √20−2 √ 2 √ 80+2 √ 6 √ 45
√ 15+ √ 60+ √140+ √84 ;

3)
;
5)
Bài . Rút gọn các biểu thức sau:
53
+ 2 √ 7−5 ;
1)
9−2 √ 7
2 √ 12−√ 6
10+ √5
+
3)
;
2 √ 6− √ 3 2 √ 15+ √ 3
2
1
−
( 13−√ 20 ) ;
5)
√ 5+ 2 9−4 √5
Bài . So sánh A và B :
3
√5
1) A=
; và B= 13 .
3 √ 7+5 √ 2

(

2)

A=

√ √

4 2
d) 2 √ a−5 √ 9 a3 +a − 2 √ 25 a5 với a> 0.

√

a

a

2) ( √ 12−2 √ 18+ 5 √3 ) √ 3+5 √ 6 ;
4)

√ 5−√ 13+√ 48

;

2
1
6
−
+
;
√3+1 √ 3−2 √ 3+3
6
6

−
;
4+ √ 4−2 √3 4−√ 4 +2 √3

2)

4)

)

1
1
1
+
+…+
1+ √ 2 √ 2+ √ 3
√ 35+ √ 36

Bài . Giải các phương trình sau:
a)

√

1
4 x +4
=11 ;
√ 9 x+ 9−2 √ x +1+8
3
25

Bài . Chứng minh:

√

3+ 4 √ 3
và B=
;
√6 + √ 2−√ 5

b)

√ x2− √8 x +2=x −1 ;


a)

2+ √ 3
2−√ 3
+
= √2
√ 2+ √ 2+ √ 3 √ 2−√ 2− √3

;

b)

√
√

1+

2 √2
2 2
+ 1− √
3
3

√
√

2 2
2 2
1+ √ − 1− √
3
3

=√ 2 ;

1+2 x
1−2 x
3
+
Bài . Cho A=
; Tính giá trị của biểu thức A biết rằng: x= √ .
1+ √ 1+ 2 x 1−√ 1−2 x
4
2
Bài . Cho biểu thức B=x −5 x √ y +4 y . Với y ≥ 0.
a) Phân tích B thành nhân tử.
1

1
; y=
b) Tính B biết rằng: x=
;
2−√ 3
7+ 4 √ 3