On thi TN THPT QG mon Toan chu de: Ung dung dao ham de khao sat va ve do thi ham so

Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

Chủ đề 1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Tóm tắt lí thuyết
a) Tính đơn điệu của hàm số:
Định lý (Định lý mở rộng): Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K.
♦ Nếu f ' ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f (x) đồng biến trên K.
♦ Nếu f ' ( x ) ≤ 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K.
f ' ( x ) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K

b) Cực trị của hàm số:

 Định lý 1: (đk cần để hàm số có cực trị): f ( x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f '( x0 ) = 0 .
 Định lý 2: (đk đủ thứ I để hàm số có cực trị):
♦ y ′ đổi dấu + sang – khi qua x0 thì x0 là điểm cực đại.
♦ y ′ đổi dấu – sang + khi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu.
 Định lý 3: (đk đủ thứ II để hàm số có cực trị):
ïì f ¢( x0 ) = 0
Þ f ( x) đạt cực đại tại điểm x0 .
♦ ïí
ïïỵ f ''( x0 ) < 0

ỡù f Â( x0 ) = 0
ị f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x0 .
♦ ïí
ïïỵ f ''( x0 ) > 0

c) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
GTLN, GTNN trên đoạn: So sánh cực trị và cực biên để kết luận.
GTLN, GTNN trên I không phải đoạn: Lập BBT. Từ BBT để kết luận GTLN
M = Max f ( x ) , GTNN m = min f ( x ) .
x∈D

x∈D

d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
 Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y = f ( x) tại điểm M ( x0 ; y0 ) là
k = f '( x0 )

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y = f ( x) tại điểm M ( x0 ; y0 ) là:
y = f ′( x0 ) ( x − x0 ) + y0
Tổ Tốn trường THPT Hồng Ngự 1

( x0 là hồnh độ tiếp điểm; y0 là tung độ tiếp điểm)
1


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

e) Đường tiệm cận:
y = y0 hoặc
Tiệm cận ngang: y = y0 nếu xlim
→+∞

lim y = y0 .

x →−∞

y = +∞ (hoặc −∞ ) hoặc lim − y = −∞ (hoặc +∞ )
Tiệm cận đứng: x = x0 nếu x →lim
x →( x0 )
( x0 ) +

f) Tương giao giữa hai đồ thị:
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị (C1 ) : y = f ( x), (C2 ) : y = g ( x) là nghiệm của hệ phương
 y = f ( x)
trình: 

→ phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường là f ( x) = g ( x)
 y = g ( x)
 Lưu ý: Số giao điểm bằng số nghiệm của phương trình.
f) Một số đồ thị hàm số:
Hàm số bậc 3

Hàm số bậc 4 trùng
phương

y

y

Hàm số nhất biến
B1/B1
y

x

x

x

a > 0

 ab < 0

a > 0

∆ y′ > 0
y

ad − bc < 0
y

y

x

a > 0

∆ y′ ≤ 0

x

ad − bc > 0

a > 0

b ≥ 0

y

x

y

x

a < 0

∆ y′ > 0

x

a < 0

 ab < 0
y

y

x
x

a < 0


∆ y′ ≤ 0
Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

a < 0

b ≥ 0
2


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

2. Một số dạng toán và ví dụ
• Tính đơn điệu của hàm số:
Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số:
B1. Tập xác định: D = ?
B2. Tính y ' = ? ; y' = 0 ⇔ x = ?
B3. Lập bảng biến thiên
B4. Kết luận về chiều biến thiên
Ví dụ 1: Hàm số y = 2 x 4 + 1 đồng biến trên khoảng nào?
1

 1

A.  −∞; − ÷.
B. ( 0; +∞ ) .
C.  − ; +∞ ÷ .
2


 2

HD: Đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương dạng 2. Chọn B.

D. ( −∞;0 ) .

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + x + 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1
1 

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1÷. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  −∞; ÷.
3
3 

1 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1÷.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1+ ∞ ) .
3 
1
HD: y ′ = 3 x 2 − 4 x + 1 có hai nghiệm x = 1 và x = . Xét dấu trong trái ngồi cùng. Chọn A.
3
Dạng 2. Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng:
B1. Tập xác định: D = ?
B2. Tính y ' = ?
B3. Lập luận:
· y đồng biến trên K Û y ' ³ 0, " x Ỵ K
· y nghịch biến trên K Û y ' £ 0, " x Î K
Chú ý quan trọng: Trong điều kiện trên dấu bằng xảy ra khi phương trình y ' = 0 có hữu hạn
nghiệm, nếu phương trình y ' = 0 có vơ hạn nghiệm thì trong điều kiện sẽ khơng có dấu bằng.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 − 3mx đồng biến trên ¡ .

A. m ≤ 0
B. m ≥ 1
C. m ≥ 0
D. m < 0
2
2
HD: y ′ = 3 x − 3m . YCBT ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≤ x , ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≤ 0 . Chọn A.
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =

x + 2m 2 − 1
đồng biến trên
x−m

khoảng ( 0; 2 ) .
A. m ∈∅ .
B. −1 < m ≤ 0 .
C. 1/ 2 ≤ m < 2 .
D. m ≥ 2 .
2
2
− m − 2m + 1 > 0
 −1 < m < 1/ 2
− m − 2m + 1
′
⇔
y
>
0,
∀
x

∈
0;
2
⇔
⇔
(
)
HD: y ′ =
.
YCBT
. Chọn B.


( x − m) 2
 m ∉ (0; 2)
m ∉ (0; 2)

Ví dụ 5: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = ln( x 2 + 1) − mx + 1 đồng biến
trên khoảng (−∞; +∞) .
A. ( −∞; −1] .
B. ( −∞; −1) .
C. [ −1;1] .
D. [ 1; +∞ ) .
2x
2x
− m ≥ 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) ⇔ m ≤ 2 ∈ [ −1;1] , ∀x ∈ (−∞; +∞) . Chọn A.
HD: y ′ = 2
x +1
x +1
Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

3


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

• Cực trị của hàm số:
Dạng 3. Tìm cực trị của hàm số:
B1. Tập xác định: D = ?
B2. Tính y ' = ? ; y' = 0 ⇔ x = ?
B3. Lập bảng biến thiên
B4. Kết luận về cực trị của hàm số
Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên đoạn [ −2; 2] và có đồ thị
là đường cong trong hình bên. Hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
A. x = −2 .
B. x = −1 .
C. x = 1 .
D. x = 2 .
HD: Áp dụng định nghĩa về cực trị của hàm số. Chọn B.

y
4
2

x
-3

Ví dụ 7: Tìm giá trị cực đại yCÑ của hàm số y = x 3 − 3 x + 2 .

A. yCÑ = 4
B. yCÑ = 1
C. yCÑ = 0
D. yCÑ = −1
HD: y ′ = 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ x = 1 hay x = −1 . Vì a = 1 > 0 nên yCÑ = y (−1) = 4 . Chọn A.

-2

-1

1

2

3

-2
-4

Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên trục trên ¡ và có bảng biến thiên
x
−∞
+∞
0
1
y'

+

–

0

+

+∞
0
y

−1
−∞
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có đúng một cực trị
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng –1
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1
HD: Áp dụng định lí đủ thứ 1 để có cực trị. Chọn D.
Dạng 4. Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm x0.
B1. Tập xác định, Tính y ' = ? Tính y′′ = ?
ïì y ¢( x0 ) = 0
B2. f ( x ) đạt cực đại tại điểm x0 khi và ch khi ùớ
ùù y ÂÂ( x0 ) < 0
ợ
ùỡ y ¢( x0 ) = 0
f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x0 khi và chỉ khi ïí
ïï y ¢¢( x0 ) > 0
ỵ
Ví dụ 9: Biết M (0; 2) , N (2; −2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d . Tính
giá trị của hàm số tại x = −2 .
A. y (−2) = 2 .

B. y (−2) = 22 .
C. y ( −2) = 6 .
D. y ( −2) = −18 .
c = 0
c = 0
12a + 4b + c = 0
d = 2


2
⇔
HD: y ′ = 3ax +2bx + c . Gt ⇔ 
suy ra y ( −2) = −18 . Chọn D.
d = 2
a = 1
a + b + c + d = 0
b = −3

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

4


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 10: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y =
x = 3.
A. m = 1

1 3
x − mx 2 + (m 2 − 4) x + 3 đạt cực đại tại
3

B. m = −1

C. m = 5
D. m = −7
2
 y′(3) = 9 − 2m + m − 4 = 0
⇔m=5 .
HD: y ′ = x 2 − 2mx + m 2 − 4 và y ′′ = 2 x − 2m . Ta có 
 y′′(3) = 6 − 2m < 0
Ta cũng có thể giải bằng cách:
Tìm nghiệm của y ′ = 0 là x1 = m − 2 và x2 = m + 2 , x1 < x2 ⇒ m − 2 = 3 ⇔ m = 5 .
Dạng 5. Định m để hàm số bậc ba có 2 cực trị (trùng phương có 3 cực trị).
B1. Tập xác định, tính y ' = ?
B2. Lập luận: Hàm số có n cực trị ⇔ y ′ = 0 có n nghiệm ⇔ đk
B3. Giải đk, tìm m.
B4. Kết luận.
1 3
2
2
Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x − mx + (2m − 11) x + 3 có
3
2 cực trị?
A. 0.
B. 6.
C. 4.

D. 7.
2
2
2
HD: y ′ = x − 2mx + 2m − 11 . Hàm số có 2 cực trị ⇔ ∆ = 11 − m > 0 ⇔ − 11 < m < 11 .
Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.
Dạng 6. Định m để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước
B1. Tập xác định, tính y ' = ?
B2. Lập luận: Hàm số có n cực trị ⇔ y ′ = 0 có n nghiệm ⇔ đk
B3. Lập luận: Các cực trị thỏa mãn đk cho trước ⇔ đk2. Giải
B4. Kết hợp các đk, kết luận.
Chú ý: Hệ thức Viéth: x1 + x2 = − b a và x1 x2 = c a .
Ví dụ 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx 2 + 4m3 có hai
điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.
1
1
A. m = − 4 ; m = 4
B. m = −1, m = 1 C. m = 1
D. m ≠ 0
2
2
HD: y ' = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2m ⇒ A(0;4m 3 ); B(2m;0) . Y CBT ⇔ 4m 4 = 4 ⇔ m = ±1 . Chọn B.
Chú ý: Điều kiện để đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có 3 cực trị:
a) Lập thành tam giác vuông cân là: b3 = −8a .
b) Lập thành tam giác đều là: b3 = −24a .

• GTLN, GTNN của hàm số:
Dạng 7. Tính GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a; b]:
B1. Tính đạo hàm f ′( x)
B2. Với x ∈ [ a; b ] , tìm nghiệm của f ′( x) = 0 chẳng hạn là xi .

B3. Tính các giá trị f ( xi ) = ?, f (a ) = ?, f (b) = ?
B4. So sánh các giá trị tìm được.
• Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn [ a; b ] .

• Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn [ a; b ] .

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

5


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Ví dụ 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
y = 6.
A. min
[ 2;4]

y = −2 .
B. min
[ 2;4]

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

x2 + 3
trên đoạn [ 2; 4] .
x −1
y = −3 .
C. min
[ 2;4]

D. min y =
[ 2;4]

19
.
3

x2 − 2x − 3
19
= 0 ⇔ x = 3 ∨ x = −1 . y (3) = 6, y (2) = 7, y (4) = . Chọn A.
2
( x − 1)
3
Có thể giải bằng máy tính:
HD: y ′ =

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 6.
Dạng 8. Tìm m để GTLN hoặc GTNN của hàm số trên đoạn [a; b] bằng C:
Ví dụ 14: Cho hàm số y =
đây đúng ?
A. m < −1 .

x+m
y = 3 . Mệnh đề nào sau dưới
(m là tham số thực) thỏa mãn min
[2;4]
x −1

B. 3 < m ≤ 4 .

C. m > 4 .
D. 1 ≤ m < 3 .
y
'
>
0
y
'
<
0


−1 − m


′
y
=
min
y
=
3
⇔
⇔ m = 5 . Chọn C.
HD:
hoặc 

2+ m
4+m
2 .

[2;4]
( x − 1)
 y (2) = 2 − 1 = 3
 y (2) = 4 − 1 = 3

• Tiệm cận của đồ thị hàm số:
Dạng 9. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số:
• Tìm tiệm cận ngang

♦ Tìm tập xác định D = ( a; b ) với
a = −∞ hay b = +∞ .
♦ Xét giới hạn x → +∞ , x → −∞
♦ Khi y → L thì TCN là y = L .

• Tìm tiệm cận đứng
♦ Tìm tập xác định D = (a; b) , a, b ≠ ∞ .
♦ Xét giới hạn x → a + , x → b −
♦ Khi y → ±∞ thì TCĐ là x = a ; x = b .

f ( x) = 1 và lim f ( x) = −1 . Khẳng định nào sau đây là
Ví dụ 15: Cho hàm số y = f ( x) có xlim
→+∞
x →−∞
khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận ngang
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = −1
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 1 và x = −1
HD: Áp dụng định nghĩa đường tiệm ngang vì x → ±∞ . Chọn C.
2x +1

?
x +1
D. x = −1 .

Ví dụ 16: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = 1 .
B. y = −1 .
HD: D = ¡ \ { −1} . Chọn D.

C. y = 2 .

2x − 1 − x2 + x + 3
.
x2 − 5x + 6
A. x = −3 và x = −2 . B. x = −3 .
C. x = 3 và x = 2 .
D. x = 3 .
HD: ĐK x ≠ 2 và x ≠ 3 vì x = 2 là nghiệm của tử. Chọn D.
Ví dụ 17: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

6


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y =

x +1
mx 2 + 1

có hai tiệm

cận ngang.
A. Khơng có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
C. m = 0 .

B. m < 0 .
D. m > 0 .
1+1 x
1+1 x
≠ lim
HD: ĐK mx 2 + 1 ≥ 0 . Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang khi xlim
hữu
→+∞
m + 1 x x →−∞ − m + 1 x
y
hạn ⇔ m > 0 . Chọn D.

• Đồ thị của hàm số:
Dạng 10. Dạng đồ thị hàm số

x

Ví dụ 19: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn
hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó
là hàm số nào?

A. y = − x 2 + x − 1
B. y = x 4 − x 2 + 1 .
C. y = − x 3 + 3 x + 1 .
D. y = x 3 − 3 x + 1 .
HD: Đồ thị hàm số bậc 3 dạng 1. Chọn D.
Ví dụ 20: Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0 .
B. a < 0, b < 0, c > 0, d < 0 .
C. a > 0, b < 0, c < 0, d > 0 .
D. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0 .
HD: Đồ thị hàm số bậc 3 dạng 3 có a < 0 , cắt trục tung tại điểm d < 0 ,
điểm cực trị trái dấu ac < 0 hai điểm cực trị không đối xứng mà chếch về
bên phải −ba > 0 . Chọn A.

y

x
O

• Giao điểm của các đồ thị hàm số:
Dạng 11. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị:
 Lập phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường.
 Giải tìm nghiệm x0 .
 Tính tung độ y0 . Suy ra tọa độ giao điểm.
Ví dụ 21: Biết rằng đường thẳng y = −2 x + 2 cắt đồ thị hàm số y = x 3 + x + 2 tại điểm duy nhất; kí
hiệu ( x0 ; y0 ) là tọa độ điểm đó. Tìm y0 .
A. y0 = 4 .
B. y0 = 0 .
C. y0 = 2 .

D. y0 = −1 .
HD: Tìm hồnh độ giao điểm, x 3 + x + 2 = −2 x + 2 ⇔ x = 0 ⇒ y = 2 . Chọn C.
Dạng 12. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
 Phương trình F ( x, m) = 0 ⇔ f ( x) = g (m) (*)
 (*) là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị (C ) : y = f ( x) và đường thẳng
d : y = g (m) nên số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của (C) và d.
 Biện luận theo m số giao điểm của (d) và (C).
Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*).
Ví dụ 22: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên ¡ \ { 0} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng
biến thiên như sau:

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

7


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

x

−∞

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

0

y′

−

+∞

1
+

+∞

−

0

2

y
−∞
−1 −∞
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình f ( x) = m có ba nghiệm thực phân
biệt.
A. [ −1; 2] .
B. ( −1; 2 ) .
C. ( −1; 2] .
D. ( −∞; 2] .
HD: Đường thẳng y = m cắt ngang đồ thị cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt khi −1 < m < 2 . Chọn B.
Dạng 13. Tìm m để hai đồ thị cắt nhau tại n điểm:
ìï (C1 ) : y = f ( x)
Tìm tham số để hai đồ thị ïí
ïïỵ (C2 ) : y = g ( x)
cắt nhau tại 2 (3, 4) điểm phân biệt thỏa điều
cắt nhau tại 2 (3, 4) điểm phân biệt.
kiện cho trước.

B1. Lập phương trình hồnh độ giao điểm: B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm:
f ( x ) = g ( x ) (1)
f ( x ) = g ( x ) (1)
B2. Lập luận: Hai đồ thị cắt nhau tại 2 (3, 4) B2. Lập luận: Hai đồ thị cắt nhau tại 2 (3, 4)
điểm phân biệt ⇔ (1) có 2 (3, 4) nghiệm pb. điểm phân biệt ⇔ (1) có 2 (3, 4) nghiệm pb.
B3. Kết hợp các đk, kết luận.
B3. Lập luận: các điểm thỏa mãn đk cho
trước.
B4. Kết hợp các đk, kết luận.
ïì (C1 ) : y = f ( x)
Tìm tham số để hai đồ thị ïí
ïïỵ (C2 ) : y = g ( x)

4
2
Ví dụ 23: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = ( m − 3) x − 2 ( m − 3) x + 1
cắt đường thẳng y = 2 tại 4 điểm phân biệt.
A. m ∈ ( 0; +∞ ) \ { 3} . B. m ∈ ( 2;3) .
C. m ∈ ( 0;3) .
D. m ∈ ( −∞; 2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

 m 2 − 5m + 6 > 0
∆ > 0
⇔
⇔ 2 < m < 3 . Chọn B.
HD: t = x . Điều kiện 

m − 3 ≠ 0
m ≠ 3
2

2x + 1
có đồ thị (C). Đường thẳng y = −2x + m cắt (C) tại hai điểm phân
x +1
biệt A, B sao cho tam giác OAB ( O là gốc tọa độ ) có diện tích bằng 3 khi:
A. m= 3.
B. m= −3.
C. m= ±2.
D. m= ±3.
2x +1
= −2 x + m ⇔ −2 x 2 + (m − 4) x + m − 1 = 0 . ∆ = (m − 4)2 + 8(m − 1) = m 2 + 8
HD:
x +1
m
2 3.5
m2 + 8
S= 3

→ AB =
= 5( x1 − x2 ) 2 ⇔ 12.5 = m 2 .5.
d (O; y = −2 x + m) =
⇔ m = ±2 .
m
5
4
Ví dụ 24: Cho hàm số y =

• Tiếp tuyến của đường cong
Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
Biết hồnh độ tiếp

điểm x0
Tính f '( x )

Biết tung độ tiếp điểm
y0
PT: f ( x0 ) = y0

Tổ Tốn trường THPT Hồng Ngự 1

Biết hệ số góc tiếp
tuyến f ′( x0 ) = k
Tính f '( x )

Biết TT song song hoặc
vng góc với đường
thẳng d
Lưu ý:
8


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Tính y0 = ?, f ′( x0 ) = ?
 PTTT

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

Giải tìm x0
Tính f '( x ) , f ′( x0 ) = ?
 PTTT

PT f ′( x0 ) = k
Giải tìm x0
Tính y0 = ?
 PTTT

 TT//d ⇒ f ′( x0 ) = kd .
 TT⊥d ⇔ f ′( x0 ).kd = −1
.
(đưa bài toán về dạng 3)

Ví dụ 26: Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C ) : y = x3 − 2 x tại điểm hoành độ x = −1 là:
A. y = − x + 2 .
B. y = − x − 2 .
C. y = x − 2 .
D. y = x + 2 .
HD: y ( −1) = 1 và y ′(−1) = 1 . Phương trình tiếp tuyến y = 1( x − (−1)) + 1 = x + 2 . Chọn D.
Ví dụ 27: Cho đồ thị (C) của hàm số y =

2x −1
. Viết các phương trình tiếp tuyến của (C), biết
x −1

khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2 .
A. x + y − 1 = 0 .
B. x + y − 1 = 0 và x + y − 5 = 0 .
C. x + y + 1 = 0 và x + y + 5 = 0 .
D. x + y − 5 = 0 .
HD. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( x0 ; f ( x0 )) ∈ (C ) có phương trình
y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) hay x + ( x0 − 1) 2 y − 2 x02 + 2 x0 − 1 = 0 (*).

Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2 khi và chỉ khi
2 − 2 x0
= 2 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 .
0
0
4
1 + ( x0 − 1)
Suy ra các tiếp tuyến cần tìm là: x + y − 1 = 0 và x + y − 5 = 0 . Chọn B.

• Điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số
Dạng 10. Tìm tọa độ điểm đặc biệt trên đồ thị:
♦ Đặt M ( x0 , y0 ) Ỵ ( C ) với y0 = f ( x0 ) là điểm cần tìm;
♦ Từ điều kiện cho trước ta tìm một phương trình chứa x0 ;
♦ Giải phương trình tìm x0 , suy ra y0 = f ( x0 ) ® M ( x0; y0 ) .
2x −1
(C). Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C)
x +1
tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng -9.
A. M(0; 3) và M(2; 5). B. M(0; 3) và M(-2; 5).C. M(0; -3) và M(-2; 5). D. M(0; -3) và M(2; 5).
Ví dụ 28: Cho hàm số y =

HD. Ta có I(-1; 2). Gọi M ∈ (C ) ⇒ M ( x0 ; 2 −

y − yI
3
−3
) ⇒ k IM = M
=
.
x0 + 1

xM − xI ( x0 + 1)2

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: k M = y '( x0 ) =
ycbt ⇔ k M .k IM = −9 ⇔

3
( x0 + 1)

2

.

−3
( x0 + 1) 2

3

( x0 + 1) 2

.

= −9 ⇔ x0 = 0; x0 = -2.

Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; -3) và M(-2; 5). Chọn C.
• Ứng dụng thực tiễn:
Ví dụ 29: Cho một tấm nhơm hình vng cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhơm đó bốn
hình vng bằng ngau, mỗi hình vng có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhơm lại như hình vẽ dưới
đây để được một cái hộp khơng nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
Tổ Tốn trường THPT Hồng Ngự 1

9


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

A. x = 6 .
B. x = 3 .
C. x = 2 .
D. x = 4 .
HD: Cạnh của tấm nhôm 12cm, cắt hai đầu x(cm), cịn lại 12 − 2x (cm). Thể tích của hình tạo thành
là V = (12 − 2 x) 2 .x thay các giá trị vào ta thấy x = 2 thì V = 128 là số lớn nhất. Chọn C.
1 3
2
Ví dụ 30: Một vật chuyển động theo quy luật s = − t + 9t , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ
2
lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi
trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt bằng bao
nhiêu?
A. 216(m/s).
B. 30(m/s).
C. 400(m/s).
D. 54(m/s).
3 2
HD: v (t ) = s′(t ) = − t + 18t đạt giá trị lớn nhất tại t = −18 / (−3) = 6 . Vận tốc bằng 54m/s. Chọn C.
2

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −∞; 0 ) .
B. ( 0; 1) .
C. ( 1; + ∞ ) .
3
2
Câu 2. Khoảng đồng biến của hàm số y = x − 5 x + 7 x − 3 là:
7

 7
A. ( −∞;1) ;  ; +∞ ÷
B. 1; ÷
C. [ −5; 7 ]
3

 3

D. ( −1; 0 ) .
D. ( 7;3) .

4
2
Câu 3. Hàm số y = x − 2x + 2 . Chọn kết luận đúng:
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) và ( 1;+∞ ) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;−2) và ( 1;+∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0) và ( 1; +∞ ) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và ( 2;+∞ ) .

4
2
Câu 4. Hàm số y = − x + 2x + 2 nghịch biến trên khoảng nào?
A. ( −∞;−1) ;( 0;1)
B. ( −1;0) ;( 1;+∞ )
C. ( −1;1)

D. ¡ .

4
2
Câu 5. Hỏi hàm số y = x + x − 4 đồng biến trên khoảng nào?
A. ( 0;+∞ )
B. ( −∞;0)
C. ( −1;1)

D. ¡ .

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

10


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

Câu 6. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y =
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ )

2x +1
là đúng?
x +1

B. Hàm số luôn luôn đồng biến trên R \ { −1}

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ )
D. Hàm số luôn luôn nghịch biến trên R \ { −1}

Câu 7. Trong các hàm số sau , hàm số nào đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) , ( 1; +∞ ) :
1 2
x−2
x2 + x −1
4
A. f ( x) = x 2 − 3 x + 2
B. f ( x) = x − x + 3 C. f ( x ) =
D. f ( x ) =
2
x −1
x −1
1 3
2
Câu 8. Với giá trị nào của m thì hàm số y = − x + 2 x − mx + 2 nghịch biến trên tập xác định của
3
nó?
A. m ≥ 4
B. m ≤ 4
C. m > 4
D. m < 4
2

mx − m đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi
Câu 9. Đồ thị hàm số y =
x +1
tham số m thỏa
m > 0
m < 0
m > 0
m ≤ 0
A. 
B. 
.
C. 
D. 
 m < −1
m > 1
 m < −1
m ≥ 1
mx + 4
tăng trên khoảng ( 2; +∞ ) ?
x+m
A. m ≥ 2
B. m < 0
C. m > 2
D. m > 0
3
2
Câu 11. Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x − 5 x + 7 x − 3 là:
 7 −32 
 7 32 
A. ( 1;0 )

B. ( 0;1)
C.  ;
D.  ; ÷.
÷
 3 27 
 3 27 
3
2
Câu 12. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x − 5 x + 7 x − 3 là:
Câu 10. Với giá trị nào của m thì hàm số f ( x ) =

A. ( 1;0 )

B. ( 0;1)

 7 −32 
C.  ;
÷
 3 27 

 7 32 
D.  ; ÷.
 3 27 

1 4 1 2
Câu 13. Trong các khẳng định sau về hàm số y = − x + x − 3 khẳng định nào là đúng?
4
2
A. Hàm số có một điểm cực trị , có hồnh độ là x = 0
B. Hàm số có một điểm cực trị , có hồnh độ là x = 1

C. Hàm số có ba điểm cực trị có hồnh độ là x = 0, x =1,x=-1
D. Hàm số không có điểm cực trị
Câu 14. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên
sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số có bốn điểm cực trị
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −5 .
C. Hàm số khơng có cực đại.
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .
4

x
2
Câu 15. Hàm số y = − + 2 x + 1 đạt cực đại tại:
4
x
=
2
x
=
−
2
A.
B.
C. x = 0
Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

D. x = ±2
11

Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

3
2
Câu 16. Cho hàm số y = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡ ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực
trị của hàm số đã cho là
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 0.
3
2
Câu 17. Hàm số y = x − 9 x + 1 có tích các giá trị cực đại và cực tiểu bằng:
A. – 5
B. – 107
C. 5
D. 107
3
2
Câu 18. Tìm m để hàm số y = mx + 3x + 12 x + 2 đạt cực đại tại x = 2

A. m = −2
B. m = −3
C. m = 0
D. m = −1
3
2

Câu 19. Giá trị của m để hàm số f ( x) = x + ( m − 1) x − 3mx + 5 đạt cực trị tại điểm x = 1 là:
A. m = 0
B. m = 1
C. m = – 1
D. m = 2

Câu 20. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m− 2 có đồ thị (Cm) . Giá trị của tham số m để (Cm) có
điểm cực đại, cực đại nằm về hai phía trục hoành là
A. 2 < m< 3
B. m> 3
C. m< 3
D. 1< m< 5
4
2
Câu 21. Tìm m để hàm số y = x − 2 ( m + 1) x − 3 có ba cực trị:
A. m ≥ 0
B. m > −1
C. m > 1
D. m > 0
4
2
2
Câu 22. Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x + 2mx + m + m có ba điểm cực trị là:
A. m ≥ 1
B. m > 1
C. m ≤ 0
D. m < 0
3
2
Câu 23. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 6 x + 10 trên [1;5] là:

A. -32
B. -22
C. -15
D. 5
3
Câu 24. Cho hàm số y = x − 3 x + 2 , chọn phương án đúng trong các phương án sau:

y = 2, min y = 0
A. max
[ −2;0]
[ −2;0]

y = 4, min y = 0
B. max
[ −2;0]
[ −2;0]

y = 4, min y = −1
C. max
[ −2;0]
[ −2;0]

y = 2, min y = −1
D. max
[ −2;0]
[ −2;0]

4
2
Câu 25. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x − x + 13 trên đoạn [−1; 2] bằng

51
A.
B. 13.
C. 25.
D. 85.
4
Câu 26. Khẳng định nào sau đây là sai:
x−2
A. Hàm số y =
có giá trị nhỏ nhất trên [0;2] bằng 0
x +1
B. Hàm số y = − x 2 + 2 x khơng có giá trị nhỏ nhất
C. Hàm số y = − x 2 + 2 x có giá trị lớn nhất khi x = 1

D. Hàm số y = 100 − x 2 có giá trị nhỏ nhất trên [−8;6] bằng 6
Câu 27. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
f (x) = e2x − 4.ex + 3 trên đoạn [ 0;ln4] . Khi đó M − m bằng:
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
Câu 28. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x 2 − 4 ln(1 − x ) trên [-2,0].
A. 0
B. −1
C. 1 + 4 ln 2
Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số: y =
A. 0
B. 1

3

e 2 x −6 x

2

D. 1 − 4 ln 2

trên đoạn [1;3]
C. e −4

D. e −8

Câu 30. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
[1; e3 ]. Khi đó M + m bằng:
Tổ Tốn trường THPT Hồng Ngự 1

của hàm số

ln x
trên đoạn
x
12


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

A. 0

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

B. e

C. e2

D. 2/e

Câu 31. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + ( m + 1) x + m − 2 trên [ 0; 2] bằng 7 khi m bằng
3

A. m = ±3

B. m = ±1

Câu 32. Cho hàm số y =

2

2

C. m = ± 7

x+m
16
(m là tham số thực) thoả mãn min y + max y = . Mệnh đề nào
[ 1;2]
[ 1;2]
x +1
3

dưới đây đúng ?

A. m ≤ 0
B. 2 < m ≤ 4
C. 0 < m ≤ 2
D. m > 4
2
Câu 33. Ông A dự định sử dụng hết 5,5 m kính để làm một bể
cá có dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều
rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể). Bể cá có dung
tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần
trăm) ?
A. 1, 01 m3 . B. 1,17 m3 . C. 1,51 m3 . D. 1, 40 m3 .
Câu 34. Một Thùng không nắp dạng hình hộp chữ nhật, được
làm từ một tấm tơn như hình bên dưới. Thùng có đáy là một hình
vng cạnh x ( dm ), đường cao là h ( dm ) và có thể tích là 500
dm3 . Tìm giá trị của x sao cho diện tích của tấm tơn là nhỏ nhất.
A. x = 5
B. x = 10
C. x = 15

Câu 35. Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = ±2

D. m = ± 2

B. x = 2

C. x = −2
x +1
:
Câu 36. Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

x2 + 1
A. 2
B. 1
C. 3
x−2
là
Câu 37. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2
x −9
A. 3
B. 2
C. 1
x + 16 − 4 là
Câu 38. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
x2 + x
A. 1.
B. 3 .
C. 2 .

D. x = 20
x +1
là
x2 − 4

D. x = 1

D. 4

D. 4

D. 0.

x2 − x + 3
Câu 39. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = 2
x + mx + 1
đúng hai tiệm cận?
A. m > 2, m < −2
B. m = 2
C. m > 2
D. m = ±2
Câu 40. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

có

Nhận xét nào sau đây là sai:
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1)
B. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x = 0 và x = 1
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;0 ) và ( 1; +∞ )
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;3) và ( 1; +∞ )
Câu 41. Hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây:
A. y = − x4 + x2 − 1
B. y = − x2 + 2x − 1
Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

13


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

C. y = − x4 − 2x2 − 1
D. y = − x4 + 2x2 − 1
Câu 42. Đường cong trong hình vẽ bên
đây?
A. y = − x 4 + x 2 − 1 .
B. y = x 4 − 3x 2 − 1 .
C. y = − x 3 − 3x − 1 .
D. y = x3 − 3 x − 1 .
Câu
A.
C.

là đồ thị của hàm số nào dưới

y

x
O

43. Đồ thị sau đây là của hàm số nào ?
2x +1
x −1
y=
B. y =
x +1
x +1
x+2
x+3
y=
D. y =

x +1
1− x
2
4
44. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = −2 x − x + 3 với

Câu
đường thẳng y = 5 − 1 là:
A. 2
B. 4

C. 0

4

2

1
-1

O

2

D. 3

x−4
; y = 5 x − 2 là:
x+2
−7

−7
−7
−7
A. x = 1 và x =
B. x = 0 và x =
C. x = 3 và x =
D. x = 2 và x =
5
5
5
5
2x + 4
. Khi đó hồnh độ trung
Câu 46. Gọi M, N là giao điểm của đồ thị hàm số y = x + 1 và y =
x −1
điểm của đoạn thẳng MN bằng:
A. 1
B. 2
C. −1
D. −2
Cho
hàm
số
có
bảng
y = f ( x)
Câu 47.
Câu 45. Hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y =

biến thiên như sau

Số nghiệm của phương trình f ( x ) − 2 = 0 là
A. 0 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 2 .
Câu 48. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ −2;2 ] và có đồ thị như
hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình 3 f ( x ) − 4 = 0 trên đoạn [ −2;2] là
A. 2.
C. 4.
D. 1.
B. 3.
4
2
Câu 49. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 2 x + m với trục hoành là
2 khi và chỉ khi:
A. m = 1 hoặc m < 0
B. m = −1 hoặc m > 0 C. m = 1
D. m > 0
4
2
Câu 50. Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − x tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi:
1
1
1
A. − < m < 0
B. 0 < m <
C. m < 0
D. m > −
4

4
4
4
2
2
Câu 51. Đồ thị hàm số y = x − (3m + 4) x + m giao với trục trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì
điều kiện của m là:

Tổ Tốn trường THPT Hồng Ngự 1

14


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

4
4
C. − < m ≠ 0
D. m > 0
3
5
2mx + 3m + 1
cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng
Câu 52. Tất cả giá trị m để đồ thị hàm số y =
2 x − m2
-4 là:
−1
−1

1
A. m = 1 hoặc m =
B. m = 1
C. m =
D. m =
4
4
5
Câu 53. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình
vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
f ( sin x ) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 0, π ) :
4
A. − < m ≠ 0
5

B. m < −4 hoặc m > −

A. [ −1;3 ) .

B. ( −1;1) .

C. [ −1;1) .

D. ( −1;3) .

2x + 3
có đồ thị (C) và đường thẳng d:
x+2
y = x + m , tìm tất cả giá trị của m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt
A. m < 2 hoặc m > 6 B. m > 6

C. 2 < m < 6
3
2
Câu 55. Khoảng đồng biến của hàm số y = − x + 3x − 1 là:
Câu 54. Cho hàm số y =

A. ( −∞;0 ) ; ( 2; +∞ )

B. ( 0; 2 )

C. ( −2;0 )

D. m < 2
D. ( 0;1)

Câu 56. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm
A. x = 2 .
B. x = 0 .
C. x = 5 .
D. x = 1 .
3
Câu 57. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′( x) = x ( x − 1)( x + 2) , ∀x ∈ ¡ . Số điểm cực trị của
hàm số đã cho là
A. 5.
B. 2.
C. 3 .
D. 1 .
2

Câu 58. Cho hàm số y = ( x − 2)( x + 1) có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. (C ) cắt trục hoành tại một điểm
B. (C ) cắt trục hoành tại hai điểm.
C. (C ) khơng cắt trục hồnh.
D. (C ) cắt trục hoành tại ba điểm.
Câu 59. Hàm số y =
A. 3

2x + 3
có bao nhiêu điểm cực trị ?
x +1
B. 1
C. 2

D. 0

Câu 60. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. 1 .
B. 5 .
C. 0 .
Câu 61. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

D. 2 .

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

15

Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

A. ( −1;0 ) .

B. ( −∞; −1) .

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

C. ( −1;1) .

D. ( 0;1) .

3
2
Câu 62. Tìm m để hàm số y = mx + 3x + 12 x + 2 đạt cực đại tại x = 2
A. m = −2
B. m = −3
C. m = 0
Câu 63. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

D. m = −1

Nhận xét nào sau đây là sai:
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1)
B. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x = 0 và x = 1
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;0 ) và ( 1; +∞ )
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;3) và ( 1; +∞ )
3

Câu 64. Giá trị cực đại của hàm số y = x − 3x + 4 là
A. 2
B. 1
C. 6
D. −1
3
2
Câu 65. Cho hàm số y= x - 3x + 1. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = m tại 3 điểm phân biệt khi
A. -3< m <1
B. −3 ≤ m ≤ 1
C. m >1
D. m < -3

2x +1
tại điểm có hồnh độ x0 = 0 là:
x −1
C. y = −3 x − 2
D. y = −3 x

Câu 66. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
A. y = 3x

B. y = −3 x − 1

2
3
Câu 67. Số giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x − 3x − 1 và y = x − 1 là
A. 3.
B. 0 .
C. 2 .

D. 1.

Câu 68. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x ) + 3 = 0
A. 3.
B. 4.
C. 2.
Câu 69. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ¡ .
4x +1
A. y = x 4 + x 2 + 1 .
B. y = x 3 + 1 .
C. y =
.
x+2
Câu 70. Số cực trị của hàm số y = x8 − 2x6 − 7 là
A. 2
B. 3
C. 7

D. 1.
D. y = tan x .

D. 8

1 4
8
2
Câu 71. Cho hàm số y = x − mx + . Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho có cực
2

12
tiểu mà khơng có cực đại là
A. m< 0
B. m= 0
C. m≥ 0
D. m≤ 0
Câu 72. Cho hàm số y = x3 − 3mx2 − 5m2 + 99 có đồ thị (Cm) . Giá trị của tham số m để (Cm) có
hai điểm cực trị A, B sao cho I (3;0) là trung điểm AB là
A. m= −3
B. m= 2
C. m= 3
D. m= ±3
3
2
Câu 73. Hàm số y = x − 3 x + 4 nghịch biến trên :
A. (−2;0)
B. (−∞; −2) và (0; +∞) C. (−∞;0) và (2; +∞) D. (0; 2)
3
2
Câu 74. Số cực trị của hàm số y = x +3x +5 là :
A. 0
B. 1
C. 2

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

D. 3
16

Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

3
2
Câu 75. Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) = x − 3x + 5 trên đoạn [ 1; 4] là :
A. y = 5
B. y = 21
C. y = 3
D. y = 1
3
Câu 76. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + x + m − 9 bằng 5 trên [1;7] khi :
A. m = 3
B. m = 12
C. m = −12
D. m = 6
1 3
2
Câu 77. Với giá trị nào của m thì hàm số y = x − mx + (2 + m) x − 1 có cực trị ?
3
m < −1
A. − 1 < m < 2
B. m < −1
C. m > 2
D. 
m > 2

3
2

2
Câu 78. Giá trị của m để hàm số y = x − 2mx + m x − 2 đạt cực tiểu tại x = 1 là :
A. m = 3
D. m = 1
B. m = −1
C. m = 2
3
2
Câu 79. Hàm số y = − x + (m + 1) x − (m + 1) x + 2 nghịch biến trên R khi:

m ≥ 2

A. 
 m ≤ −1

B. −1 < m < 2

C. −1 ≤ m ≤ 2

 m ≥ −1

D. 
m ≤ 2

(

)

8
5

2
4
Câu 80. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x + ( m − 2 ) x − m − 4 x + 1
đạt cực tiểu tại x = 0.
A. 4.
B. 5.
C. 3.
D. Vô số.
3
2
Câu 81. Tập hợp tât cả các giá trị của tham số m để hàm số : y = − x − 6 x + ( 4m − 9 ) x + 4 nghịch

biến trên khoảng (−∞; −1) là:
3

 3

A.  −∞; −  .
B.  − ; +∞ ÷.
4

 4


C. ( −∞;0] .

D. [ 0; +∞ ) .

Câu 82. Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

3
Hàm số y = 3 f ( x + 2 ) − x + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( 1; +∞ ) .

B. ( −∞; −1) .

C. ( −1;0 ) .

D. ( 0; 2 ) .

Câu 83. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau.

Đồ thị của hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 4
B. 2
C. 3
D. 5
3
2
Câu 84. Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình x − 3 x − a = 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong
đó có đúng 2 nghiệm lớn hơn 1?
A. -4B. −4 < a < 0
C. −2 < a < 0
D. −4 ≤ a ≤ −2
Câu 85. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

y = x3 − 3x + m trên đoạn [ 0; 2] bằng 3 . Số phần tử của S là
A. 2.

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

B. 1.

C. 0 .

D. 6 .
17


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

3
2
Câu 86. Hàm số y = − x + mx − m đồng biến trên (1;2) thì m thuộc tập nào sau đây:
3
3 

A.  ;3 ÷.
B. [ 3; +∞ ) .
C. ( −∞;3) .
D.  −∞; ÷.
2
2 


2


3
2
Câu 87. Cho hàm số y = x − mx +  m − ÷x + 5 . Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại
3

x =1
3
7
2
A. m = 0
B. m =
C. m =
D. m =
7
3
5
8
5
2
4
Câu 88. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x + ( m − 3) x − ( m − 9 ) x + 1
đạt cực tiểu tại x = 0 ?
A. 4.
B. 6.
C. 7.
D. Vô số.
3
2
Câu 89. Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số f ( x ) = x − 3 x + m với m

là tham số thực khác 0 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để trọng tâm
tam giác OAB thuộc đường thẳng 3 x + 3 y − 8 = 0 .
A. m = 5 .
B. m = 2 .
C. m = 6 .
D. m = 4 .
4
2
Câu 90. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = − x + 2mx − 2m + 1 cắt trục hồnh tại 4 điểm
tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
5
1
5
A. m = 5, m =
B. m = 5
C. < m ≠ 1
D. m =
9
2
9
4
2
Câu 91. Cho hàm số y = x − (3m + 2) x + 3m có đồ thị (Cm). Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt
1
(Cm) tại 4 điểm phân biệt, trong đó có 2 điểm có hồnh độ lớn hơn .
2
1
1
1
A. m > −

B. m > 0
C. m <
D. m > − và m ≠ 0 .
4
2
4
2
3
Câu 92. Một chất điểm chuyển động theo quy luật s = 6t − t . Tính thời điểm t (giây) tại đó vận
tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 93. Khi ni cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng : Nếu trên mỗi đơn vị
diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng : P(n) = 480 – 20n
(gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch
được nhiều cá nhất ?
A. 10
B. 12
C. 15
D. 20
Câu 94. Trong một xưởng cơ khí, người chủ giao cho

x

mỗi người mỗi tấm tơn hình chữ nhật có kích thước 80cm x
50cm và u cầu cắt đi ở bốn góc vng những hình vng

50

bằng nhau cạnh bằng x (cm) để khi gấp lại thì được một cái
thùng khơng nắp dạng hình hộp. Hỏi x bằng bao nhiêu thì

80

thể tích cái thùng lớn nhất ?
A. x = 5 cm
B. x = 10 cm
C. x = 15 cm
Câu 95. Một đoàn cứu trợ lũ lụt đang ở vị trí A của tỉnh Nghệ An
muốn đến vị trí C để tiếp tế lương thực phải đi theo con đường từ A đến
B và từ B đến C (như hình vẽ). Tuy nhiên do nước ngập con đường từ A
đến B nên đoàn cứu trợ khơng thể đi đến C bằng xe, nên đồn cứu trợ
Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

D. x = 20 cm

18


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

chèo thuyền từ A đến vị trí D trên đoạn đường từ B đến C với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C với vận
tốc 6km/h. Biết A cách B một khoảng 5km, B cách C một khoảng 7km. Xác định vị trí điểm D để
đoàn cứu trợ đi đến C nhanh nhất.
A. BD = 5 km
B. BD = 4 km

y
C. BD = 2 5 km
D. BD = 2 2 km
3
2
Câu 96. Cho hàm số f ( x ) = x − 3x + 2 có đồ thị là đường 1 − 3
cong trong hình bên.
O 1
3
2
3
2
3
2
Hỏi phương trình ( x − 3x + 2 ) − 3 ( x − 3x + 2 ) + 2 = 0 có bao
−2
nhiêu nghiệm thực phân biệt?

2

1+ 3
x

A. 7.

B. 9.
C. 6.
D. 5.
4
3

2
Câu 97. Cho hàm số f ( x ) = mx + nx + px + qx + r ( m, n, p, q, r ∈ ¡ ) . Hàm số
y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Tập nghiệm của phương trình f ( x ) = r có số phần tử
A. 4.
B. 3.
C. 1.

D. 2.

Câu 98. Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) . Hai hàm số y = f ′ ( x ) và y = g ′ ( x ) có đồ thị như
hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y = g ′ ( x ) .

7

Hàm số h ( x ) = f ( x + 3) − g  2 x − ÷ đồng biến trên khoảng nào dưới đây:
2

 29 
 13 
 36

 36 
A.  7; ÷ .
B.  ; 4 ÷.
C.  ; +∞ ÷.
D.  6; ÷.
 4 
4 
 5


 5 
2
Câu 99. Cho các số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện y ≤ 0 và x + x = y + 12 . Tìm M và m lần
lượt là GTLN, GTNN của biểu thức P = xy + x + 2 y + 17 .
A. M = 20; m = −12 ;
B. M = 13; m = −12 ;
C. M = 20; m = 13 ;
D. M = 20; m = −13.
Câu 100. Cho các số thực x ≥ 0 và y ≥ 0 thỏa x + y = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x 2 + xy + y 2 + x − 3
.
3 x − xy + 1
1
A.
4

P=

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

B. 3

C. 1

D.

1
3

19


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

4. Hướng dẫn và đáp số
1 B

2 A

3 C

4 B

5 A

6 A

7 C

8 A

9 C

10 C

11 A

12 C

13 C

14 D

15 D

16 A

17 B

18 A

19 B

20 C

21 B

22 D

23 B

24 B

25 C

26 A

27 B

28 A

29 B

30 D

31 A

32 D

33 B

34 B

35 A

36 A

37 A

38 A

39 D

40 D

41 D

42 D

43 A

44 A

45 B

46 A

47 B

48 B

49 A

50 A

51 A

52 A

53 C

54 A

55 B

56 A

57 C

58 A

59 D

60 B

61 A

62 A

63 D

64 C

65 A

66 B

67 D

68 B

69 B

70 B

71 D

72 C

73 D

74 C

75 B

76 B

77 D

78 D

79 C

80 A

81 A

82 C

83 C

84 A

85 A

86 B

87 C

88 B

89 A

90 a

91 D

92 B

93 B

94 B

95 C

96 A

97 B

98 B

99 A

10
D
0

Hướng dẫn
1
1
1
1
Câu 20: y ′ = 3 x 2 + 6 x + m ; y = x(3x2 + 6x + m) + (3x2 + 6x + m) + mx − 2x − mx + m− m− 2 .
3
3
3
3
2
2
2
  2
2
  2

Suy ra yCT . yCÑ =  m − 2 +  m − 2 ÷x1  .  m − 2 +  m − 2 ÷x2  =  m − 2 ÷ ( 1 + ( x1 + x2 ) + x1 x2 )
3
  3
3
  3

3
2

2
 m 
=  m − 2 ÷  − 1÷ < 0 ⇔ m < 3 .

3
 3 
Câu 33: Gọi x, 2 x, h lần lượt là chiều rộng, dài, cao của bể cá.
5,5 − 2 x 2
5,5
2
Ta có 2 x + 2 ( xh + 2 xh ) = 5,5 ⇔ h =
(Điều kiện 0 < x <
).
2
6x
1
5,5 − 2 x 2 1
5,5
/
2
Thể tích bể cá V = 2 x 2 .
.
= (5,5 x − 2 x 3 ) . V = (5,5 − 6 x ) . V / = 0 ⇒ x =
3
6
6x
3
11 33
Lập BBT suy ra Vmax =
≈ 1,17 m3 .
54
3
Câu 82: Xét y = 3 f ( x + 2 ) − x + 3 x .
1 ≤ x + 2 ≤ 3  −1 ≤ x ≤ 1

y′ = 3.  f ′ ( x + 2 ) + ( 1 − x 2 )  . Ta có f ′ ( x + 2 ) ≥ 0 ⇔ 
⇔
.
x + 2 ≥ 4
x ≥ 2
 f ′ ( x + 2 ) ≥ 0, ∀x ∈ ( −1;1)
⇒ y ′ > 0, ∀x ∈ ( −1;1) . Vậy ta chọn đáp án C.
Ta có 
2
1 − x > 0, ∀x ∈ ( −1;1)
Cách 2:
3
2
Xét y = 3 f ( x + 2 ) − x + 3 x . y′ = 3.  f ′ ( x + 2 ) + ( 1 − x ) 
  7  5
3
Ta có y ′  ÷ = 3.  f ′  ÷−  < 0 nên loại đáp án A, D.
2
  2  4
y ′ ( −2 ) = 3.  f ′ ( 0 ) − 3 < 0 nên loại đáp án B. Vậy ta chọn đáp án C.
Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

20


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

Câu 85: Xét hàm số f ( x ) = x 3 − 3x + m là hàm số liên tục trên đoạn [ 0; 2] .

 x = 1 ( n)
2
Ta có f ′ ( x ) = 3x − 3 ⇒ f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = −1 l
( )

Suy ra GTLN và GTNN của f ( x ) thuộc { f ( 0 ) ; f ( 1) ; f ( 2 ) } = { m; m − 2; m + 2} .
3
Hàm số y = x − 3 x + m trên đoạn [ 0; 2] ta được giá trị lớn nhất là max { m ; m − 2 ; m + 2 } = 3 .

f ( x) = m + 2 = 3 ⇔ m = 1.
+ Trường hợp 1: m ≥ 0 thì max
[ 0;2]
f ( x ) = m − 2 = 2 − m = 3 ⇔ m = −1 . Vậy m = ±1 .
+ Trường hợp 2: m < 0 thì max
[ 0;2]

8
5
2
4
7
4
2
3
Câu 88: Ta có y = x + ( m − 3) x − ( m − 9 ) x + 1 ⇒ y′ = 8 x + 5 ( m − 3) x − 4 ( m − 9 ) x .

x = 0
y ′ = 0 ⇔ x 3 8 x 4 + 5 ( m − 3) x − 4 m 2 − 9 = 0 ⇔ 
4

2
 g ( x ) = 8 x + 5 ( m − 3) x − 4 m − 9 = 0
4
2
3
Xét hàm số g ( x ) = 8 x + 5 ( m − 3) x − 4 m − 9 có g ′ ( x ) = 32 x + 5 ( m − 3 ) .

(

))

(

(

)

(

)

Ta thấy g ′ ( x ) = 0 có một nghiệm nên g ( x ) = 0 có tối đa hai nghiệm
+) TH1: Nếu g ( x ) = 0 có nghiệm x = 0 ⇒ m = 3 hoặc m = −3

Với m = 3 thì x = 0 là nghiệm bội 4 của g ( x ) . Khi đó x = 0 là nghiệm bội 7 của y′ và y′ đổi dấu
từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m = 3 thỏa
ycbt.
x = 0
4


Với m = −3 thì g ( x ) = 8 x − 30 x = 0 ⇔ 
15 .
x=3

4
Bảng biến thiên
Dựa vào BBT x = 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m = −3 không thỏa ycbt.
+) TH2: g ( 0 ) ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3 . Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇔ g ( 0 ) > 0
⇔ m 2 − 9 < 0 ⇔ −3 < m < 3 .
Do m ∈ ¢ nên m ∈ { −2; −1;0;1; 2} .
Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.
x = 0
2
Câu 89: TXĐ: D = ¡ , f ′ ( x ) = 3x − 6 x , f ′ ( x ) = 0 ⇔ 
.
x = 2

Tọa độ 2 điểm cực trị là A ( 0; m ) ; B ( 2; m − 4 ) .

 2 2m − 4 
Tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB là G  ;
÷.
3 
3
Điểm G thuộc đường thẳng: 3 x + 3 y − 8 = 0 nên: 2 + 2m − 4 − 8 = 0 ⇔ m = 5 .
Câu 91: PTHĐGĐ x 4 − (3m + 2) x 2 + 3m + 1 = 0 . Vì b + b + c = 0 nên tìm được x 2 = 1 ∨ x 2 = 3m + 1 .
1
1
YCBT ⇔ 3m + 1 > ∧ 3m + 1 ≠ 1 ⇔ m > − ∧ m ≠ 0 .
4

4
Câu 93: Sau một vụ trung bình số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ cân nặng là
f ( n) = nP (n) = 480n − 20n 2 ( gam), n ∈ N *
f ' (n) = 480n − 40n, f ' (n) = 0 ⇔ n = 12 . Lập BBT trên (0; +∞ ) Maxf(x) = f(12)

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

21


Đề cương ơn thi THPT QG 2019 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để KSSBT và vẽ đồ thị hàm số

100

x=

3 . Max V khi x=10
Câu 94: V = (80 − 2 x)(50 − 2 x) x ⇒ V = 12 x − 520 x + 4000 = 0 ⇔

 x = 10
'

2

Câu 95: Gọi BD = x(km) , 0 ≤ x ≤ 7 ; AD = 25 + x 2 , CD = 7 − x
Thời gian đi từ A đến C là: T ( x) =

25 + x 2 7 − x . Hàm số T đạt giá trị nhỏ nhất tại

x=2 5
+
4
6

Câu 96: Xét phương trình ( x 3 − 3x 2 + 2 ) − 3 ( x 3 − 3 x 2 + 2 ) + 2 = 0 ( 1)
3

2

Đặt t = x3 − 3 x 2 + 2 (*) thì ( 1) trở thành t 3 − 3t 2 + 2 = 0 ( 2 )
t = 1

Theo đồ thị ta có ( 2 ) có ba nghiệm phân biệt t = 1 − 3
t = 1 + 3

Từ đồ thị hàm số ta có
+ t = 1 ∈ ( −2; 2 ) (*) có ba nghiệm phân biệt

+ t = 1 − 3 ∈ ( −2; 2 ) nên (*) có ba nghiệm phân biệt (khác ba nghiệm khi t = 1 )
+ t = 1 + 3 > 2 nên (*) có đúng một nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt
Nhận xét: Với mỗi giá trị t , học sinh có thể sử dụng máy tính bỏ túi để thử nghiệm
Câu 97 : Do f ′ ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên m ≠ 0 .

mặt khác dựa vào đồ thị y = f ′ ( x ) suy
5
13
1
15 



f ′ ( x ) = 4m ( x + 1)  x − ÷( x − 3 ) = 4m  x 3 − x 2 − x + ÷.
4
4
2
4


13m
; p = −m; q = 15m.
Suy ra n = −
3
13 3
5
4
3
2
4
2
PT f ( x ) = r ⇔ mx + nx + px + qx = 0 ⇔ x − x − x + 15 x = 0 ⇔ x = 0; x = 3; x = − .
3
3
Ta

có

f ′ ( x ) = 4mx3 + 3nx 2 + 2 px + q;

ra


7
Câu 98: Với mọi x∈ ( 3;8) thì f ′ ( x) ≥ 10 ≥ 2g′ ( x) . Có: h′ ( x) = f ′ ( x + 3) − 2g′  2x − ÷ > 0 .
2

 x∈ ( 0;5)
 x + 3∈ ( 3;8)

 13 
 13 

⇔
Kiểm tra 
 13 23 ⇒ x∈  ;5÷. Nên ta chọn đáp án x∈  ;4÷.
7
 4 
 4 
2x − ∈ ( 3;8)
 x∈  ; ÷

2
  4 4
Câu 99: Ta có x 2 + x − 12 = y ≤ 0 ⇔ −4 ≤ x ≤ 3 , P = x ( x 2 + x − 12) + x + 2( x 2 + x − 12) + 17
P = f ( x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7 với − 4 ≤ x ≤ 3 , f / ( x) = 3 x 2 + 6 x − 9 ⇒ f / ( x) = 0 ⇔ x = −3; x = 1
GTLN P = 20 , GTNN P = −12
 x≥0

Câu 100:  y ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2 ,
x + y = 2


P=

2x 2 − 2
x 2 + x(2 − x ) + (2 − x) 2 + x − 3 x 2 − x + 1
1
/
= 2
GTNN P =
, P = 2
khi x = 1; y = 1 .
2 .
( x + x + 1)
3 x − x (2 − x) + 1
3
x + x +1

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

22