Bai tap hay Gui LTS

Chú làm hộ cháu BT:

1 1 1

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = a + b + c
2
2
2
Chứng minh rằng : 3(a  b  c )  8a  1  8b  1  8c  1
Hướng dẫn
3  a  b  c   8a 2  1  8b2  1  8c2  1
 3a 


8a2  1  3b 
a2  1
2



8b 2  1  3c 
b2  1
2



8c 2  1 0
c2  1
2

0

3a  8a  1 3b  8b  1 3c  8c  1
a2  1
b2  1
c2  1
P


2
2
3
a

8
a

1
3
b

8
b

1
3c  8c 2  1
Đặt
a2  1
b2  1
c2  1
a

b
c
P


2
2
8a  1
8b  1
8c 2  1
3
3
3
a2
b2
c2
a2  1
b2  1
c2  1
a
b
c
P


1
1
1
3 8 2 3 8 2 3 8 2
a

b
c
2
2
2
a 1 b 1 c 1
a b c  0 


a
b
c
Giải sử
1
1
1


1
1
1
3 8 2 3 8 2 3 8 2
a
b
c
Suy ra
BĐT Chebyshev
Cho 2 dãy ( với n  N; n 2 )
day 1 : a1 a2 a3 ... an  0; day 2 : b1 b2 b3 ... bn  0
a1b1  a2 b2  a3 b3  ...  an bn a1  a2  a3  ...  an b1  b2  b3  ...  bn


.
n
n
n
Chứng minh
Ta có
a1b1  a2 b2  a3 b3  ...  an bn = a1b1  a2 b2  a3 b3  ...  an bn
a1 b1  a2 b2  a3 b3  ...  an bn a1b2  a2 b3  a3 b4  ...  an b1
a1 b1  a2 b2  a3 b3  ...  an bn a1b3  a2 b4  a3 b5  ...  an b2
.....................................................................................
a1 b1  a2 b2  a3 b3  ...  an bn a1bn  a2 b1  a3b2  ...  an bn  1
Cộng các BĐT trên chia cho n ta có đpcm
Áp dụng BĐT trên ta có :



1  a2  1 b2  1 c 2  1  
1
1
1
P 





3 a
b
c 

1
1
1
 3 8 2 3 8 2 3 8 2
a
b
c



a2  1 b2  1 c2  1
1 1 1
Vi
:


a  b  c    0 do GT 

a
b
c
a b c


2
2
2
a  1 b  1 c  1
 a  b  c
 a b c 1


1
1
1
a, b, c  0 & a  b  c   
a b c
Dấu “=” xảy ra khi 
( Bạn nào có cách hay hơn không dùng BĐT Chebyshev
đưa lên để tham khảo nhé )



 0


