Tài liệu Giáo trình cơ học lý thuyết phần tĩnh học ppt

I HC À NNG
TRNG I HC BÁCH KHOA

KHOA S PHM K THUT
B MÔN C K THUT








À NNG 2005
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
CHNG I
CÁC KHÁI NIM C BN - H TIÊN  TNH
HC
Tnh hc vt rn là phn c hc chuyên nghiên cu s cân bng ca vt rn di tác
dng ca các lc. Trong phn tnh hc s gii quyt hai bài toán c bn :
1- Thu gn h thc v dng đn gin.
2- Tìm điu kin cân bng ca h lc.
 gii quyt các bài toán trên, ta cn nm vng các khái nim sau đây :
§1 . CÁC KHÁI NIM C BN
1.1 Vt rn tuyt đi :
Vt rn tuyt đi là vt mà khong cách gia hai đim bt k ca vt luôn luôn
không đi (hay nói cách khác dng hình hc ca vt đc gi nguyên) di tác dng
ca các vt khác.

Trong thc t các vt rn khi tng tác vi các vt th khác đu có bin dng.
Nhng bin dng đó rt bé, nên ta có th b qua đc khi nghiên cu điu kin cân
bng ca chúng.
Ví d : Khi di tác dng ca trng lc P dm AB phi võng xung, thanh CD
phi giãn ra. (hình 1)
Nhng do đ võng ca dm và đ dãn ca thanh rt bé, ta có th b qua. Khi gii
bài toán tnh hc ta coi nh dm không võng và thanh không dãn mà kt qu vn đm
bo chính xác và bài toán đn gin hn.
Trong trng hp ta coi vt rn là vt rn tuyt đi mà bài toán không gii đc,
lúc đó ta cn phi k đn bin dng ca vt. Bài toán này s đc nghiên cu trong
giáo trình sc bn vt liu.
Hình 1
a
)

P
f
b)

D
C
A
P
f

B
Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 1
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
 đn gin, t nay v sau trong giáo trình này chúng ta coi vt rn là vt rn tuyt
đi. ó là đi tng đ chúng ta nghiên cu trong giáo trình này.

1.2 Lc :
Trong đi sng hng ngày, ta có khái nim v lc nh khi ta xách mt vt nng
hay mt đu máy kéo các toa tàu. T đó ta đi đn đnh ngha lc nh sau :
Lc là đi lng đc trng cho tác dng tng h c hc ca vt này đi vi vt
khác mà kt qu làm thay đi chuyn đng hoc bin dng ca các vt.
Qua thc nghim, tác dng lc lên vt đc xác đnh bi ba yu t :
1. im đt lc
2. Phng, chiu ca lc
3. Cng đ hay tr s ca lc.
n v đo cng đ ca lc trong h SI là Newton (kí hiu N)
Vì vy, ngi ta biu din lc bng véct.
Ví d:
Lc
F
f
biu din bng véct
A
B
(hình 2).
Phng chiu ca véct
A
B
biu din phng
chiu ca lc
F
f
, đ dài ca véct
A
B
theo t l đã chn

biu din tr s ca lc, gc véct biu din đim đt
ca lc, giá ca véct biu din phng tác dng ca
lc.
1.3 Trng thái cân bng ca vt :
B
F
f

A
Hình 2
Mt vt rn  trng thái cân bng là vt đó nm yên hay chuyn đng đu đi
vi vt khác “làm mc”.  thun tin cho vic nghiên cu ngi ta gn lên vt chun
“làm mc” mt h trc to đ nào đó mà cùng vi nó to thành h quy chiu. Ví d
nh h trc to đ -cát Oxyz chng hn. Trong tnh hc, ta xem vt cân bng là vt
nm yên so vi trái đt.
1.4 Mt s đnh ngha :
1. H lc : H lc là tp hp nhiu lc cùng tác dng lên vt rn. Mt h lc
đc kí hiu (
n
FFFF
f
f
f
f
, ,,,
321
).
2. H lc tng đng : Hai h lc tng đng nhau, nu nh tng h lc mt
ln lt tác dng lên cùng mt vt rn có cùng trng thái c hc nh nhau.
Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 2

GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
Ta biu din hai h lc tng đng nh sau :
(
n
FFFF
f
f
f
f
, ,,,
321
) ~ (
m
PPPP
f
f
f
f
, ,,,
321
)
trong đó: du ~ là du tng đng.
Nu hai h lc tng đng ta có th hoàn toàn thay th cho nhau đc.
3. H lc cân bng : H lc cân bng là h lc mà di tác dng ca nó, vt rn
t do có th  trng thái cân bng.
4. Hp lc : Hp lc là mt lc tng đng vi h lc.
Ví d : Lc
R
f
là hp lc ca h lc (

n
FFFF
f
f
f
f
, ,,,
321
), ta kí hiu
R
f
~ (
n
FFFF
f
f
f
f
, ,,,
321
)
§2. H TIÊN  TNH HC
Trên c s thc nghim và nhn xét thc t, ngi ta đã đi đn phát biu thành mnh
đ có tính cht hin nhiên không cn chng minh làm c s cho môn hc gi là tiên đ
này.
2.1 Tiên đ 1: (Hai lc cân bng)
iu kin cn và đ đ hai lc tác dng lên mt
vt rn cân bng là chúng có cùng phng tác dng,
ngc chiu nhau và cùng tr s.
Trên hình 3, vt rn chu tác dng bi hai lc

1
F
f
và
2
F
f
cân bng nhau.
Ta kí hiu :
(
1
F
f
,
2
F
f
) ~ 0.
ó là điu kin cân bng đn gin cho mt h lc có 2 lc.
2.2 Tiên đ 2 : (Thêm hoc bt mt h lc cân bng)
Hình 3
2
F
f
A
B
1
F
f

Tác dng ca mt h lc lên mt vt rn không thay đi nu ta thêm vào hay
bt đi hai lc cân bng nhau.
Theo tiên đ này, hai h lc ch khác nhau mt h lc cân bng thì chúng hoàn
toàn tng đng nhau.
T hai tiên đ trên, ta có h qu :
H qu trt lc : Tác dng ca mt h lc lên mt vt rn không thay đi khi ta di
đim đt ca lc trên phng tác dng ca nó.
Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 3
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
Chng minh : Gi s ta có lc
F
f
tác dng lên vt rn đt ti đim A (hình 4). Trên
phng tác dng ca lc
F
f
ta ly mt đim B và đt vào đó hai lc và cân bng
nhau, có véct nh trên hình v và tr s bng F.
1
F
f
2
F
f
Theo tiên đ 2 thì :
F
f
~ (
F
f

,
1
F
f
,
2
F
f
)
Nhng theo tiên đ 1 thì : (
1
F
f
,
2
F
f
) ~ 0, do đó ta
có th b đi. Nh vy, ta có :
F
f
1
F
f
2
F
f
F
, , ) ~
1

f

F
f
~ (
iu đó chng t lc
F
f
đã trt t A đn B mà
tác dng ca lc không đi. H qu đã đc chng
minh
Chú ý : Hai tiên đ trên và h qu ch đúng cho vt rn tuyt đi. Còn đi vi vt rn
bin dng các tiên đ 1, 2 và h qu trt lc không còn đúng na.
Ví d : Trên hình 5, thanh mm AB chu hai lc
1
F
f
,
tác dng s không cân bng vì do thanh bin dng,
còn khi trt lc thì thanh t trng thái b kéo sang b
nén.
2
F
f
2.3 Tiên đ 3 : (Hp hai lc)
Hai lc tác dng lên vt rn đt ti cùng mt đim có hp lc đt ti đim đó
xác đnh bng đng chéo ca hình bình hành mà các cnh chính là các lc đó (hình
6). Tiên đ 3 khng đnh hai lc có cùng đim đt thì có hp
lc
R

f
.
V phng din véct ta có :
R
f
1
F
f
2
F
= +
f

ngha là véct
R
f
bng tng hình hc ca các véct
1
F
f
,
2
F
f
.
T giác OACB gi là hình bình hành lc.
V tr s :
α
cos2
21

2
2
1
2
FFFFR ++=

1
F
f

2
F
f
F
f
Hình 4
1
F
f
2
F
f
1
F
f
2
F
f
Hình 6
C

2
F
f

F
f

A
1
F
f
B
O
Hình 5
B
A
B
A
A
B
(trong đó  là góc hp bi hai véct
1
F
f
,
2
F
f
)
Tiên đ trên, áp dng cho h lc đng quy ti O, ta có các đnh lý sau.

Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 4
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
nh lý I : Mt h lc đng quy tác dng lên vt rn có hp lc đt ti đim đng quy
và véct hp lc bng tng hình hc véct các lc thành phn.
Chng minh : Gi s ta có mt h lc (
n
FFFF
f
f
f
f
, ,,,
321
)
tác dng lên vt rn đt ti cùng đim O (hình 7).
Áp dng tiên đ 3, ta hp
, đc lc :
1
F
f
2
F
f
1
R
f
1
F
f
2

F
= +
f

bng cách v véct
2
FAB
f
=
ni OB đc lc
1
R
f
. Bây gi
ta hp và
1
R
f
3
F
f
ta đc
2
R
f
=
1
R
f
+

3
F
f
=
1
F
f
+
2
F
f
+
3
F
f

bng cách v véct
3
FBC
f
= , ni OC đc
2
R
f
. Tin hành tng t nh vy đn lc
n
F
f
, ta đc hp lc
R

f
ca h lc :
1
F
f
2
F
f

3
F
f

n
F
f
R
f

Hình 7
2
R
f
=
1
F
f
+
2
F

f
+
3
F
f
+ +
n
F
f

hay :
∑
=
=
n
k
k
FR
1
f
f

nh lý II :
Nu ba lc tác dng lên mt vt rn cân bng cùng nm trong mt phng
và không song song nhau thì ba lc phi đng qui.
Chng minh :
Gi s, mt vt rn chu tác dng ca ba lc
1
F
f

,
,
2
F
f
3
F
f
cân bng. Theo gi thuyt hai lc
1
F
f
,
2
F
f
cùng nm
trong mt phng và không song song nên phng tác dng
ca chúng giao nhau ti mt đim O chng hn. Ta s
chng minh
3
F
f
cng qua O.
Tht vây, theo tiên đ 3 hai lc
1
F
f
,
2

F
f
có hp lc
R
f
đt ti O :
R
f
= F
1
f
+
2
F
f

vì (F , F
1
f
2
f
,
3
F
f
) ~ 0 nên (
R
f
,
3

F
f
) ~ 0.
1
F
f

2
F
f

3
F
f

R
f

Hình 8
Theo tiên đ 1, hai lc cân bng nhau thì chúng có cùng phng tác dng. Vy đng
tác dng ca lc
3
F
f
phi qua O (hình 8).

Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 5
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
2.4 Tiên đ 4 : ( Tiên đ tác dng và phn tác dng)
ng vi mi lc tác dng ca vt này lên vt khác,

bao gi cng có phn lc tác dng cùng tr s, cùng
phng tác dng, nhng ngc chiu nhau.
Gi s mt vt B tác dng lên vt A mt lc
F
f
thì
ngc li vt A tác dng lên vt B lc
F
f
= -
F
f
. Hai lc
này có tr s bng nhau, ngc chiu nhau, nhng không
cân bng vì chúng đt lên hai vt khác nhau ( hình 9 ).
1
F
f

3
F
f

B
A
Hình 9
2.5 Tiên đ 5 :
(Nguyên lý hoá rn)
Nu di tác dng ca h lc nào đó mt vt bin dng. Nh tiên đ này khi
mt vt bin dng đã cân bng di tác dng ca mt h lc đã cho, ta có th xem vt

đó nh vt rn đ kho sát điu kin cân bng.
2.6 Tiên đ 6 :
(Tiên đ gii phóng liên kt)
Mt vt rn t v trí này đn v trí đang xét có th thc hin di chuyn v mi
phía gi là vt t do. Ví d mt qu bóng đang bay. Nhng thc t, phn ln các vt
kho sát đu  trng thái không t do ngha là mt s di chuyn ca vt b vt khác cn
li. Nhng vt nh vy gi là vt không t do hay vt chu liên kt. Tt c nhng đi
tng ngn cn di chuyn ca vt kho sát gi là các liên
kt.
Ví d : Hp phn đ trên mt bàn, mt bàn ngn cn hp
phn di chuyn xung phía di. (Hình 10)
Hp phn là vt chu liên kt còn mt bàn là vt
gây liên kt.
Theo tiên đ 4 thì vt chu liên kt tác dng lên vt
gây liên kt mt lc, ngc li vt gây liên kt tác dng
lên vt chu liên kt mt lc. Chính lc này ngn cn chuyn đng ca vt, ta gi phn
lc liên kt. Ví d trên hình 10, lc
N
j
là phn lc liên kt ca mt bàn tác dng lên
hp phn nhm ngn cn hp phn di chuyn xung phía di.
N
f

P
f

Hình 10
Ta nhn thy, phn lc liên kt là lc th đng, s có chiu ngc vi chiu mà
vt kho sát mun di chuyn b liên kt ngn cn li. Theo mt phng nào đó, không

b liên kt ngn cn thì theo phng đó thành phn phn lc liên kt bng không.
Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 6
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
2. Mt s liên kt thng gp :
a) Liên kt ta :
t nhn (hình 11a) hay giá ta con ln (hình 11b) theo phng
phá
Vt ta trên m
p tuyn mt tr, vt kho sát b cn tr bi phn lc
N
j
theo hng đó. Còn
thanh ta lên đim nhn C (hình 11c) thì phn lc
N
f
s vuông góc vi thanh.
b) Liên kt bn l :
N
f

Hình 11
a
)

b)
N
f
N
f

c
)

- Bn l tr : (Hình 12)
V ng nào vuông góc vi trc u b ngn cn, nên
ph
u
t di chuyn theo ph bn l đ
n lc
A
R
f
có phng vuông góc vi trc bn l.
- Bn l c : (Hình 13)Phn lc
R
f
có phng bt k và qua tâm O ca bn l vì
hng dây kéo cng thì vt b cn tr, nên
hng dc dây ra phía
chuyn đng ca vt theo hng nào cng b ngn cn.
c) Liên kt dây mm :
Theo
phn lc ca dây là
1
T
f
,
2
T
f

ngoài vt. (Hình 14)



Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 7
Hình 12
Hình 13
Hình 14
2
T
f
1
T
f
R
f
A
R
f

GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
d) Liên kt thanh :
Dm AB chu liên kt thanh CD vi bn
c tác
d
l C và D. Trên thanh CD không có l
ng và b qua trng lng thanh thì phn
lc
R
f

ca thanh hng dc thanh (hình 15).
 chng minh điu này, ta tách thanh
CD ra kho sát và áp dng tiên đ mt thì
p n lc
C
R
h
f
phi qua bn l D. i vi thanh c
Trong tnh hc, bài toán xác đnh phn l
chiu, tr s phn lc đc xác đnh c th tu theo tng bài toán nh có tiên đ
ong ta cng chng minh nh vy.
c là bài toán quan trng. Ph ng

t cân bng có th xem nh mt vt t do cân bng, nu
các liên kt và thay vào đó các phn lc liên kt tng ng ca
§3. LÝ THUYT V MÔMEN LC
3.1 Mômen ca lc đi vi mt đim :
Thc t ch

gii phóng liên kt sau.
3. Tiên đ 6 :
Mt vt chu liên k
tng tng b
chúng.

o ta thy có mt đim c đnh O, chu tác dng lc
F
f
thì vt s quay

quanh đim đó . Tác dng ca lc
F
f
slàm vt quay đc xác đnh b i ba yu t : 
- Phng mt phng cha lc
F
f
và đim O
- Chiu quay ca vt quanh c đi qua O và vuông góc vi mt phng này. tr
- Tích s, tr s lc
F
f
và chiu dài cánh tay
F
f
đòn d ca lc đi vi đim O (d
là đon thng vuông góc k t đim O đn đng tác dng ca lc
F
f
).
T đó ta suy ra đnh ngha sau :
1. nh ngha :
Mômen lc
F
f
đi vi đim O là mt véct t đ ti đim O có
ph ha lc ng vuông góc vi mt phng c
F
f
và đim O, có chiu sao ta nhìn t

mút đn thy lc
F
f
hng quanh O ngc chiu kim đng h, có đ dài bng tích
tr s lc
F
f
vi cánh tay đòn ca lc
F
f
đi v i đim O (hình 16). 

C
R
f

P
f
Hình 15
B
D
A
Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 8
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
2. Biu thc véct ômen ca lc : m
T đnh ngha trên, ta có tr s
mômen ca lc đi vi đim
O là :
OABdtdFFM
O

∆== 2.)(
ff

(Trong đó F.d bng hai ln
din tích tam giác OAB, ch
tính tr s mà không k đn
v).
Nu ta gi véct
OAr =
f
là
véc t bán kính đim đt A ca lc
F
f
cà xác đnh véct
F
r
f
f
∧
ri so sánh vi
véct mômen lc
F
f
đói vi đim O là
FrFM
O
f
f
f

f
∧)
(1.4)
m
đ
Chn h trc Oxyz, ta gi các hình chiu l
=(
Véct mômen ca lc đi vi mt đi bng tích véct gia véct bán kính đim
đt ca lc vi lc ó.
c
F
f
là X, Y, Z và hình chiu ca véct
r
f
là x, y, z (x, y, z cng là to đ đim A). Do đó ta có :
ZYX
zyFrFM
O
x
kji
f
f
f
fff
Trong đó ,
f
=∧=)(
i
f

j
f
,
k
f
là véct đn v trên các trc to đ x, y, z.
T đó, ta suy ra hình chiu véct mômen ca lc
F
f
là :
ZyyZFM
Ox
−=)(
f
f

xZzXFM −=)(
Oy
f
f

yXxYFM −=)(
Oz
f
f

Nu bit các hình chiu này, véct mômen
)(FM
O
f

f
hoàn toàn xác đnh. Trong
trng hp các lc tác dng lên vt cùng trong m ng, ta coi mt phng
cha lc
t mt ph
F
f
và đim O đã đc xác đnh. Vì vy ômen lc m
F
f
đi vi đim O
(1.5)
x
y
z
O
B
A
d
F
f
)(FM
O
f
f
Hình 16
Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 9
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
 bn-H tiên đ tnh hc Trang 10
trong mt phng y là lng đi s bng cn tr tích s tr s lc g hoc

F
f
vi
chiu dài cánh tay đòn lc
F
f
đi vi đim O.
Ta kí hiu :
dFFM
O
.)( ±=
f
f
(1.6)
Ly du cng khi lc
F
f
h ng quanh O ng c chiu kim đng h và d u tr
p ngc li (Hình 17 a,b)
n v
- Mômen c c trên phng
tác d
i vi đim O b ng tác dng ca lc qua

trong trng h
tính là : N/m
a lc đi vi mt đim không thay đi khi ta trt l
ng ca nó.
- Mômen ca lc đ ng không khi ph
O. Lúc này, tác dng ca lc

F
f
không làm vt quay, ch gây ra phn lc ti
đim O.
3.2 ôM men ca lc đi vi trc :

đi v trc đt

Mômen ca lc
i mt
trng tác dng quay k khi
lc tác dng lên vt làm
vt quay quanh trc đó.
(hình 18)
Tht vy, gi s
có lc
F
f
tác dng lên vt
có th quay quanh trc z,
n
vi z,
ta phân lc này ra hai
thành ph là
1
F
f
vuông góc

1

F
f
song song vi trc z theo quy tc hình
O
B
d

A
F
f

B
d
F
f
A
O
dFFM
O
.)( +=
f
dFFM
O
.)( +=
f

a)
b
Hình 17
z

F
f
F
f

2
F
f

1
F
f

O
A
h

Hình 18
Hình 19
Chng I Các khái nim c
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
bình hành. Ta nhn thy ch có thành phn
1
F
f
gây ra tác dng qu quanh trc z. Vì
y, ta có đnh ngha sau :
ay
v
1. nh ngha :

Mômen lc
F
f
đi vi trc z là lng đi s bng mômen ca
1
F
nm
trong mt phng vuông góc
f
vi trc z ly đi vi giao đim ca trc và mt phng y.
(hình 19)
Ta kí hiu mômen lc
F
f
đi vi trc z là
hFFMFM
Oz
.)()(
1
±==
f
f
f
f

ca trc z xung mt phng () thy lc
F
f

Ta ly du cng, nu nhìn t chiu dng

hng quanh trc z ngc chiu kim đng h, ly du t vi chiu ngc li. r
2. Trng hp đc bit :
Nu lc
F
f
song song vi trc z
f
thì
1
F
= 0 hay lc
F
f
ct trc z thì
=
ff
hy lc
h = 0 (hình 20) và lúc đó :
0)(FM
z

Trong trng hp này, ta t
F
f
và trc z  trong cùng mt
m
phng. Nh vy, mômen ca lc đ
t phng.
i vi trc bng 0 khi lc và trc cùng trong mt
3.3 nh lý liên h mômen lc đi vi mt đim và mômen lc đi vi trc :

Gi s cho mt lc
F
f
, mt trc z và đim O nm trên trc z (hình 21). Ta ly
mômen ca lc
F
f
đi vi trc z và đim O gia hai đi lng đó có s liên h nhau
M
i vi đim bt k nm trên trc y, ngha là :
bi đnh lý sau :
nh lý : ômen lc đi vi mt trc bng hình chiu lên trc đó ca véct
mômen lc ly đ
[
]
)()( FMHCFM
Ozz
f
f
f
f
=
(1.8)
( hình chiu lên trc z vit tt là HC
z
)
Chng minh : Trên hình 21 ta thy :
OabdthFFM
z
∆== 2)(

1
f
f

F
f

F
f
1
F
f

O
a
b

A
Hình 20
B
z
z
O
Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 11
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
Ta cn chng minh hình chiu véct
mômen
)(FM
O
f

f
lên trc z cng có
giá tr đó. Th vy, ta gi  là góc
gia trc và véct
)(FM
O
t
f
f
, thì:
[
]
)(FMHC
Oz
f
f
=
γ
γ
cos.OAB2cos.cos. dFM
O
dt∆
γ
=
=

Nhng góc  cng chính là góc gi AB và tam giác Oab (vì a hai mt phng tam giác O
trc z và véct
)(FM
O

f
f
tng ng vuông góc vi các mt phng đó). Vì vy, theo đnh
lý hình chiu di thì :
O
B
A
a
b
h
d
z

F
f
1
F
f
O
)(FM
O
f
f

Hình 21
n tích
OabdtOABdt
∆
=
∆

γ
cos.

cho nên :
[
]
)()( FMHCFM
Ozz
f
f
f
f
=

nh lý đã đc chng minh.
in mômen lc đi vi mt trc bng gii tích : T đnh lý trên, ta có th biu d
[
]
ZyyZFMHCFM
Oxx
−== )()(
f
f
f
f

[
]
xZzXFMHCFM
Oyy

−== )()(
f
f
f
f

[
]
yXxYFMHCFM
Ozz
−== )()(
f
f
f
f

Nh đnh lý này ta có th chuyn vic tìm mômen ca lc i vi mt đim v tính
chu lc tác
tay đòn ca các lc là :
(1.9)
đ
mômen ca lc đi vi mt trc.
Sau đây ta làm mt ví d :
Ví d 1: Cho mt thanh L
dng bi lc
1
F
f
và
2

F
f
nh hình 22.
Bit OA= 4m, OC = 6m,  = 30
0
, F
1
=
20 N, F
2
= 16 N. Tìm mômen các lc
đi vi đim O.
Gii :
H
C
O
B
h
2
h
1

Hình 22
2
F
f
1
F
f
Ta tìm

h
1
= OA = 4m.
Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 12
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
h
2
= Ocsin = 6xl/2 = 3m.
Ta tính :
NmhFFm
O
)(
1
= 804.20
11
=−=−
f

NmhFFm
O
483.16)(
222
+=+=−=
f

Ví d 2 : Tìm mômen lc
F
f
tác dng lên tm
mômen l

ch nht ABCD có cnh a, b, đi vi trc to
đ x, y, z (Hình 23)
Gii :
 tìm c
F
f
đi vi trc x ta chiu
lên mt phng vuông góc vi trc x. Vì lc
F
f

nm trong mt phng này, nên cng bng chín
nó. Vy :
h
α
+= sin )()( aFhFFmFm
Dx
+==
f
f

 đây ta ly du cng, vì nhìn t chiu dng trc x đn th c
x
z
y
A
F
f

1

2
F
f

1
'F
F
f
f
B
C
D
a

Hình 23
b
y l
F
f
hng quanh trc
x ngc chiu kim đng h, còn h = DH = DCsin = a.sin
Tìm mômen lc
F
f
đi vi trc y, ta chiu lc
F
f
lên mt phng A vuông góc
i trv c y là

'
1
F
f
, cánh ta đòn lc
'
1
F
y
f
đi vi đim A là b. Theo hình v ta có :
α
sin.)'()')'(
111
bFFmFmFm
By
−=== (
A
f
f
f

( Vì F
1
’ = F
1
.sin )
Ta ly du tr vì lc
thun chiu kim đng h khi ta
nhìn t đn

'
1
F
f
hng quanh trc y
chiu dng ca trc .
Tng t ta có :
α
cos.)()(
2
bFFmFm
Az
−==
f
f







Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 13
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
§4. LÝ THUYT V NGU LC
4.1. Khái nim v ngu lc :
1. nh ngha : Ngu lc là h hai lc có phng tác
c.
dng song song nhau, ngc chiu và có cùng tr s.
Ví d : Trên hình 24,

1
F
f
,
2
F
f
to thành mt ngu l
Mt ngu lc không có p l c vì :
0
21
=+= FFR
h 
f
f
f

ngha là ta không th thay th mt n 
lc đc. Tác dng ca ngu lc lên vt làm vt quay
và đc xác đnh bng ba yu t:
- Mt phng tác dng ngu l
gu lc bng m t
c, ngha là mt phng cha hai lc
ca
hiu quay ca ngu lc, ngha là chiu đi vòng theo chiu các lc
, ngc li
en ngu lc, kí hiu m. m = F
1
.d
ch gia hai phng tác dng các

ng N, chiu dài cánh tay đòn d tính bng m thì mômen tính bng
u din ngu lc vi ba đc trng  trên, ngi ta dùng khái nim véct
 u :
ng tác
cho khi ta nhìn t mút
 mômen
1
F
f
,
2
F
f
ngu.
- C
m
1
F
f

2
F
f
B
Hình 24
A
Ta quy c, chiu quay là dng nu nó quay ngc chiu kim đng h
chiu quay âm.
- Tr s môm
d – Gi là cánh tay đòn ngu lc, là khong cá

lc ca ngu.
Nu lc tính b
Nm.
 bi
mômen ca ngu (kí hiu :
m
f
)
Véct này đc xác đnh nh sa
- Phng vuông góc vi mt ph
dng ca ngu.
- Có chiu sao
véct đn gc thy chiu quay ca ngu
lc ngc chiu kim đng h.
- Còn đ dài biu din tr s
'
F
f
AB
d

F
f
Hình 25
m
f
ngu lc (hình 25)
Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 14
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
Trng hp mt phng ngu lc đc xác đnh thì ngu lc đc biu din bng

mômen đi s :
(1.10)
dFm .±=
Ta ly du cng khi chiu
quay ca ngu lc là dng
và du tr khi chiu quay ca
ngu là âm (hình 26)
Chú ý : * V mt toán hc ta có th biu din véct mômen ca ngu là :
FBAm
f
f
∧=
trong đó A, B là đim đt ca lc
F
f
và '
F
f
ca ngu.
Hình 26
'
F
f
'
F
f
F
f
F
f

Tht vy, nu ta so sánh thì hai véct đó có cùng phng, cùng chiu và tr s bng
nhau.
* Tr s mômen ca ngu là :
ABCdtdFm
∆
=
=
2.

( đây ch tính v tr s, mà không k đn v)
2. Các tính cht tng đng ca ngu lc :
Qua thc nghim và ta có th chng minh đc là tác dng mt ngu lên mt
vt rn không thay đi nu :
- Ta di ngu lc trong mt phng tác dng ca ngu hoc di trong nhng mt
phng song song vi mt phng tác dng ngu lc.
- Ta có th thay đi chiu dài cánh tay đòn và tr s ca lc.
T đó, ta đi đn mt kt lun tng quát là :
Hai ngu lc có véct mômen bng nhau thì tng đng nhau. Vì vy ngi ta
gi véct mômen ca ngu là véct t do. i vi vt rn có nhng ngu lc tác
dng, ta s áp dng đnh lý hp h ngu lc sau đây :
4.2 nh lý :
Hp h ngu lc tác dng lên mt vt rn, ta đc mt ngu lc
tng cng, có véct mômen bng tng hình hc véct mômen các ngu lc thành
phn.



Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 15
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
Chng minh :

 chng minh đnh lý này,
trc tiên ta xét trng hp h
hai ngu lc tác dng lên vt rn
là
và
)',(
11
FF
ff
)',(
22
FF
f
f
có mt
phng tác dng là (
1
) và (
2
)
giao nhau theo đng AB (hình
26b).
Ta di các ngu lc đó v
cùng cánh tay đòn AB ri ln
lt hp các lc
và đc lc
1
F
f
2

F
f
R
f
, hp lc
1
'F
f
và
2
'F
f
đc lc '
R
f
. Nhìn hình
v ta có :
Hình 26b
1
F
f
2
F
f
1
m
f
'
R
f

1
'F
f
1
m
f
1
m
f
21
'F
f
R
f
⎩
⎨
⎧
+=
+=
2
'
1
'
21
' FFR
FFR
ff
fff
vì nên
22

1
'
' FF
FF
ff
ff
−=
−=
R
R
f
f
−
=
'
Nh vy, lc
R
f
và '
R
f
to nên mt ngu lc vi véct mômen là
M
f
Ta tìm véct
mômen ngu lc này.
Theo công thc (1.11) ta có :
2121
)( FBAFBAFFBARBAM
f

f
f
f
f
f
∧+∧=+∧=∧=

Nhng :
11
mFBA
f
f
=∧
, còn
22
mFBA
f
f
=∧

Do đó :
21
mmM
f
f
f
+=

Ngha là véct
M

f
biu din bng đng chéo hình bình hành mà các cnh là các véct
mômen các ngu lc thành phn. i vi 2 ngu lc ta chng minh xong.
Nu mt h ngu lc tác dng lên vt rn vi các véct mômen là
thì ta cng tin hành tng t nh trên, ln lt hp hai ngu lc mt
vi nhau. Cui cùng ta đc ngu lc tng cng vi véct mômen là :
n
mmmm
ffff
, ,,
321
∑
=++++=
kn
mmmmmM
f
f
f
ff
f

321
(1.13)
Nu các ngu lc cùng nm trong mt phng thì mômen ngu lc tng cng
bng tng đi s mômen ngu lc thành phn :
∑
=
k
mM
f

f
(1.13’)
Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 16
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC
 thun tin cho vic tính toán, véct mômen ngu lc tng cng
M
f
có th
tìm bng phng pháp gii tích nh đnh lý hình chiu véct lên mt trc là:
∑
=
kxx
mM
,
∑
=
kyy
mM
,
∑
=
kzz
mM

ó là các hình chiu ca véct
M
f
lên các trc to đ x, y, z. Tr s ca M là:
zyx
MMMM

222
++=





Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 17
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT I PHN TNH HC
CHNG II
LÝ THUYT H LC
Bây gi, ta s áp dng các lý lun  trên đ nghiên cu cho h lc.  kho sát mt h
lc ta tin hành hai bc sau :
- Thu gn h lc
- Tìm điu kin cân bng ca h lc
Trc khi thu gn, ta phi nm vng hai đc trng hình hc c bn ca h lc.

§1. HAI C TRNG HÌNH HC C BN CA H LC
1.1 Véct chính ca h lc :
1. nh ngha : Gi s cho mt h lc
n
FFFF
f
f
f
f
, ,,,
321
tác dng lên vt rn, ta đnh
ngha véct chính ca h lc nh sau :

Véct chính ca h lc là mt véct
bng tng hình hc véct các lc thành
phn ca h lc đó. Ta gi '
R
f
là véct
chính ca h lc, thì :
∑
=
=
n
k
k
FR
1
'
f
f
(2.1)
n
F
f
Hình 27
1
F
f
2
F
f
y

x
z
O
2. Phng pháp xác đnh véct chính :
Nu chiu đng thc véct (2.1) lên các trc to đ -các vuông góc x, y, z ta
đc :
∑∑
∑∑
∑
∑
==
==
==
kkzz
kkyy
kkxx
ZFR
YFR
XFR
'
'
'
(2.2)
Trong đó , , là các hình chiu véct
x
R'
y
R'
z
R'

'
R
f
, còn , Y , là hình chiu lc
k
X
k k
Z
k
F
f
lên các trc to đ x, y, z.
T công thc (2.2) ta tìm tr s, phng chiu ca véct chính
'
R
f
nh sau :
()
(
)
(
)
222
'
∑∑∑
++=
kkk
ZYXR
(2.3)
Chng II Lý thuyt h lc Trang 18

GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT I PHN TNH HC
R
R
Rx
x
=),cos(
f
,
R
R
Rx
y
=),cos(
f
,
R
R
Rx
z
=),cos(
f

c bit nu các lc
n
FFFF
f
f
f
f
, ,,,

321
là h lc phng, các lc nm trong cùng mt
phng thì véct chính ch có hai hình chiu :
∑
=
kx
XR'
,
∑
=
ky
YR'
(2.4)
và
()
(
)
22
'
∑∑
+=
kk
YXR

b. Phng pháp hình hc :
Phng pháp này ch dùng cho h lc phng, còn h lc không gian, đa giác lc
là đa giác ghnh, ta khó xác đnh đoc.
Tht vy, cho mt h lc (
n
FFFF

f
f
f
f
, ,,,
321
) tác dng lên vt rn. T đim O bt
k (hình 28) ta ln lt v các véct :
1
FOa
f
=
,
2
Fab
f
=
, ,
n
Fde
f
=
Ni Oe ta đc véct chính
'
R
f
ca h
lc :
de+ abOaOeR ++=='
f

+++=
n
FFFR

∑
=
k
F
f
f
f
ff
'
21

a giác Oab, ,de là đa giác lc, véct
Oe đóng kín đa giác lc là véct chính.
Nu véct chính bng không, tc là
0'=R
f
, thì đim e trên đa giác lc s trùng
vi đim O. Ta gi đa giác lc t đóng kín.
2
F
f

1
F
f
3

F
f

c
d
a
'
R
f

O
e
Hình 28
1.2 Mômen chính ca h lc :
1. nh ngha :
Mômen chính ca h lc đi vi mt tâm là tng mômen các lc
thành phn ca h lc đi vi cùng tâm y.
2. Biu thc và cách xác đnh :
i vi h lc không gian bt k, mômen chính đi
vi tâm O là véct, kí hiu
O
M
f
. Theo đnh ngha ta có :
∑
= )(
kOO
FmM
f
f

f
(2.5)
Trong h lc phng mômen chính biu din bng mômen đi s :
∑
= )(
kO
FmM
f
(2.6)
Chng II Lý thuyt h lc Trang 19
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT I PHN TNH HC
Véct mômen chính đc xác đnh bng các hình chiu sau đây :
(
)
[
]
(
)
()
[]
(
()
[]
()
∑∑
∑∑
∑
)
∑
==

==
==
kzkOzOz
kykOyOy
kxkOxOx
FmFmHCM
FmFmHCM
FmFmHCM
ff
f
ff
f
f
f
f
(2.7)
Tr s mômen chính là :
OzOyOx
O
MMMM
222
++=


§2. H LC THU GN
2.1 Thu gn h lc v mt tâm :
 thu gn h lc v mt tâm ta da vào đnh lý di lc song song.
1. nh lý :
Di song song mt h lc ti mt đim khác, đ cho tác dng ca lc
không đi, ta thêm vào mt ngu lc ph có véct mômen ca lc đt  đim c đi

vi đim mà lc di đn.
Chng minh :
Gi s ta có lc
F
f

đt ti A. Ti đim O ta đt thêm
hai lc cân bng là '
F
f
"
F
f
và sao
cho "'
F
F
F
fff
−==
theo tiên đ 2 ta
có :
)F,",'(~ FFF
A
f
f
f
f
, nhng
)",( FF

f
f
to thành mt ngu lc có
véct mômen
m )(Fm
OO
f
f
f
=

'
F
f
F
f
'
F
f
''
F
f
F
f
O
m
f
O
m
f

Hình 29
A
A
O
O
Nói cách khác là lc
F
f
đt ti A tng đng vi lc
F
F
f
f
=
' đt ti và ngu lc
O
m
f
. Véct mômen này vuông góc vi lc
F
f
cng vuông góc vi lc
F
f
. T đó ta
có :
nh lý đo:
Mt lc '
F

f
đt ti O và mt ngu lc có véct mômen vuông
góc vi lc
m
f
'
F
f
thì tng đng vi lc
F
f
đt ti đim khác vi '
F
F
ff
=
.
Chng minh :
Tht vy, t ngu lc m
j
ta phân ra hai lc thành phn
F
f
và "
F
f

sao cho có véct mômen bng
m
j

và "'
F
F
F
f
f
f
−
=
=
. Theo tiên đ 1 lc '
F
f
và "
F
f
cân
bng nhau, theo tiên đ 2 ta có th b đi và h lc bây gi còn mt lc
F
f
đt ti A.
Tt nhiên khi đó khong cách :
F
m
OAd ==
.
Chng II Lý thuyt h lc Trang 20
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT I PHN TNH HC
Ví d : Khi ta xách mt thùng nc trng
lng P đt ti đim A vi mt lc

F
f
có tr
s là F = P. Bây gi ta xách thùng nc ti
đim O  mép thùng nc  trng thái nh
c thì tay ta phi to ra mt ngu lc na có
mômen :
)(Fmm
OO
f
f
f
=
dF. v tr s OAFm
O
.
=
=
2. Phng pháp thu gn h lc v mt tâm :
Cho h lc bt k
n
FFFF
f
f
f
f
, ,,,
321
.
Hãy thu gn h lc đó v tâm O tu

ý. Áp dng đnh lý di trc song
song, ln lt ta di tng lc v O.
Khi đó ti O ta đc h lc đng qui
là
n
FFFF
f
f
f
f
, ,,,
321
và h ngu lc có
véct mômen là
n
mmmm
f
f
f
f
, ,,,
321
.
Theo tiên đ 3 hp h lc đng qui
trên ta đc mt h lc kí hiu
O
R'
f

đt ti O véct bng véct chính ca h lc đã cho là :

'
F
f
F
f
O
m
f

A
A
P
f
Hình 30
P
f
Hình 31
z
x
y
nF'
f
1
'F
f
2
'F
f
n
m

f
2
m
f
1
m
f
n
F
f
2
F
f
1
F
f
O
'' RFFR
kkO
f
f
f
f
===
∑
∑
(2.8)
Hp các ngu lc
n
mmmm

f
f
f
f
, ,,,
321
ta đc ngu lc tng cng có véct mômen
là :
nkO
mmmmM
f
f
f
f
f
+++==
∑

21

Theo đnh lý di lc song song thì :
)(
11
Fmm
O
f
f
f
=
,

)(
22
Fmm
O
f
f
f
=
, ,
)(
nOn
Fmm
f
f
f
=

Nên :
)( )()(
21 nOOOO
FmFmFmM
f
f
f
f
f
f
f
+++=

Hay :
∑
= )(
kOO
FmM
f
f
f
(2.9)
Nh vy ngu lc tng cng thu v O có véct mômen bng mômen chính ca
h lc đi vi tâm thu gn. t đó ta đi đn kt lun :
Chng II Lý thuyt h lc Trang 21
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT I PHN TNH HC
Thu gn mt h lc bt k v mt tâm O nào đó, ta đc mt lc và mt ngu
lc. Lc đt ti tâm thu gn có véct bng véct chính ca h lc còn ngu lc có
véct mômen bng mômen chính ca h lc đi vi tâm thu gn đó.

T kt qu trên xác đnh tác dng ca mt h lc lên vt rn ta ch cn xác đnh
véct chính và mômen chính ca h lc đi vi tâm thu gn.
3. Các bt bin ca h lc :

Vi môt h lc đã cho thì ta thy d dàng là
véct chính ca h lc
∑
= FR
k
f
f
' không thay
đi khi tâm thu gn O thay đi. Nhng mômen

chính ca h lc nói chung là thay đi khi tâm
thu gn thay đi.
Tht vy, gi s khi ta thu gn h lc đã
cho :
), ,2,1( nkF
k
=
f
v tâm O nào đó thì đc
mt lc bng véct chính '
R
f
đt ti O và mt
ngu lc có mômen bng mômen chính ca h lc đi vi tâm O là
O
M
f
. Nh ta đã
bit :
Hình 32
O
A
k
O

'
r
f

k

r
f

k
r '
f
’
O
M
f
'
R
f
O
M
f
O
M
f
'O
M
f
)'(Rm
O
f
f
k
F
f

O
M
f
∑
=
k
FR
f
f
' và
∑
= )(
kOO
FmM
f
f
f

Bây gi ta chn tâm thu gn khác là O’, gi s lc
k
F
f
đt ti đim A
k
, có véct
bán kính đi vi đim O và O’ là
k
r
f
và

k
r '
f
còn véct ' ta gi OO '
r
f
(Hình 32).
D dàng, tam giác A
k
OO’ ta có :
kk
rrr
f
f
f
+
=
''
Nh vy, mômen lc
k
F
f
đi vi đim O và O’ s là :
(
)
kkkkkkkkO
FrFrFrrFrFm
f
f
f

f
f
f
f
f
f
f
f
∧+∧=∧+=∧= ''')('

Nh ta đã bit
m
kkkO
FrF
f
f
f
f
∧=)(
'
và
kkOkO
FrFmFm
f
f
f
f
f
f
∧+= ')()('

Cng mômen ca lc
), ,2,1( nkF
k
=
f
đi vi tâm O’ ta đc mômen chính
O
M '
f

ca h lc đã cho đi vi tâm đó là :
)'()'()()(
1
'' kOkkO
n
k
kOO
FrMFrFmFmM
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
∧+=∧+==

∑∑∑∑
=

Chng II Lý thuyt h lc Trang 22
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT I PHN TNH HC
Ta bin đi s hng : ''')'( RrFrFr
kk
f
f
f
f
f
f
∧=∧=∧
∑
∑

Nhng tích véct
∑
∧
k
Fr
f
f
' là mômen véct chính '
R
f
đt ti O ly đi vi O’,
ngha là :
)'(''

'
RmRr
O
f
f
f
f
=∧

Do đó, đng thc trên có th vit :
)'(
''
RmMM
OOO
f
f
f
f
+=
(2.8)
hay :
)'(
''
RmMM
OOO
f
f
f
f
=−

(2.8’)
Nh vy, bin thiên mômen chính ca h lc khi tâm quay thu gn thay đi
bng mômen véct chính đt ti tâm c đi vi tâm mi.
Ta nhn đng thc (2.8’) vi véct chính '
R
f
, nhng '
R
f
vuông góc vi véct
)(
'
Rm
O
f
f
nên :
0').(
'
=RRm
O
f
f
f
. Do đó :
0
'
=−
OO
MM

f
f

hay :
ϕ
ϕ
cos.'cos.
' OO
MM = (2.9)
trong đó góc  và ’ là góc tng ng gia véct
O
M
f
và
'O
M
f
vi véct chính '
R
f
.
T đó suy ra : Hình chiu mômen chính ca h lc đã cho đi vi tâm thu gn
bt k, lên phng véct chính là không đi không ph thuc vic chn tâm đó.
2.2 Các dng chun – nh lý VARIGNON :
T kt qu thu gn trên, có th đa đn các dng chun sau đây :
1. Nu '
R
f
= 0 và
O

M
f
= 0, ngha là véct chính bng không mômen chính khác
không thì h lc thu v ngu lc.
2. Nu '
R
f
= 0 và
O
M
f
≠ 0, ngha là véct chính bng không và mômen chính
khác không thì h thu v ngu lc.
3. Nu '
R
f
≠ 0 và '
R
f
.
O
M
f
= 0 trong trng hp này lc có th thu v mt lc.
Ngha là có hp lc.
Khi
O
M
f
= 0 thì hp lc qua tâm.

Khi
O
M
f
≠ 0 hp lc không qua tâm O
vì '
R
f
.
O
M
f
= 0 ngha là véct mômen chính và véct chính vuông góc nhau (hình
33)
Chng II Lý thuyt h lc Trang 23
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT I PHN TNH HC
Áp dng đnh lý đo, di lc song song, ta phân
tích ngu lc
O
M
j
ra hai lc
R
f
và '
R
f
sao cho
'RRR
O

f
f
f
−==
. Bây gi h có ba lc nhng hai
lc
O
R
f
và "
R
f
cân bng nên ta b đi ch còn lc
R
f
qua O’. Lc
R
f
hính là hp lc ca h lc đã
cho. on d đc xác đnh nh sau :
c
R
M
d
O
= M
O
(
)(Rm
O

f
f
f
=
)

4. Nu '
R
f
.
O
M
f
≠ 0 ngha là véct chính và
mômen chính đu khác không và không vuông
góc nhau.
R
f
O
R'
f

O
O’
O
M
f
"
R
f

Hình 33
c bit khi '
R
f
và
O
M
f
cùng phng cùng
chiu gi là vít thun (hoc đinh c).
Vt t do di tác dng ca h lc này có
chuyn đng nh chuyn đng đinh c. ng thng  mà véct
O
R'
f
và
O
M
f
nm
trên đó gi là trc vít. (Hình 34)
Nu
R
O
'
f
và
O
M

f
ngc chiu ta đc vít ngc (đinh c ngc).
Hình 34
O
O
R'
f
O
M
f


O
M
f
O
R'
f
O
Trng hp
O
R'
f
và
O
M
f
làm thành góc  bt k ( ≠ 0,  ≠ 180) ta đa v h
vít, nhng trc vít không qua O và O’. Lc ca h vít này xác đnh bng véct
chính '

R
f
ca h lc, còn ngu lc xác đnh bng hình chiu véct mômen chính lên
véct chính ca h lc đó.
Khi h có hp lc, ta có đnh lý VARIGNON nh sau :
nh lý:
Mômen hp lc ca h lc đi vi mt đim (hay trc) nào đó bng
tng mômen các lc thành phn ca h lc đi vi cùng đim (hay trc) đó.
Chng minh : Gi s cho h lc (
n
FFFF
f
f
f
f
, ,,,
321
) tác dng lên vt rn. H lc
này thu v O’ đc hp lc là
R
f
. Bây gi ta ly đim A bt k làm tâm thu gn và
gi
M
A
'
f
là mômen chính ca h lc đã cho đi vi đim A.
Chng II Lý thuyt h lc Trang 24