De cuong on thi

12. CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO CHƯƠNG III.
Bài 1. Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định , M là một điểm chuyển động trên cung AB.
Qua trung điểm K của đoạn MB kẻ KP ⊥ AM. Cmr : khi M chuyển động trên cung AB thì
đường thẳng KP luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi a’, b’,
c’là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C đến trực tâm H của tam giác. Cmr: các tổng a2 +a ' 2 ;
2
2
2
2
b +b ' ; c + c ' không đổi khi ba đỉnh A, B, C thay đổi trên đường tròn.
Bài 3. Cho hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 ) tiếp xúc ngoài tại K. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài
AD của hai đường tròn (A ∈ ( O1 ) và D ∈ ( O2 ) ) rồi vẽ đường kính AB của đường tròn
( O1 ). Qua B vẽ tiếp tuyến BM với đường tròn ( O2 ). Chứng minh:
a)

2
AB =BR . BD ;

b) AB = BM;

^ cắt đường tròn
Bài 4. Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn (O), tia phân giác của các góc ^A ; B^ ; C
(O) lần lượt ở A 1 ; B1 ; C1 . Chứng minh rằng: A A 1 +B B1 +C C 1> AB+BC +CA ;

Bài 5. Cho đường trịn (O) đường kính AB và một điểm P chuyển động trên đường tròn. Trên
tia PB lấy điểm Q sao cho PQ = PA. Dựng hình vng APQR. Tia PR cắt đường trịn (O) ở C.
a) Chứng minh: C là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AQB;
b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ∆APB. Chứng minh:bốn điểm I, A, Q, B cùng thuộc một
đường trịn.
xAy=45 ° và điểm O nằm trong góc đó. Đường tròn (O; OA) cắt Ax, Ay lần lượt ở

Bài 6. Cho ^
B và C; đường trịn đường kính BC cắt Ax, Ay lần lượt ở M và N. Chứng minh:

a) O là trực tâm của ∆ AMN;
BC
;
√2
S ABC =2 S AMN ;

b) MN =
c)

Bài 7. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B. Kẻ tia Mx ⊥ AB, trên Mx lấy hai điểm
C và D sao cho MC = MA và MD = MB. Đường tròn ngoại tiếp ∆AMC và ∆BMD cắt nhau ở N
(khác M). Chứng minh:
a) Ba điểm A, N, D thẳng hàng; ba điểm B, N, C thẳng hàng.
b) C là trực tâm của ∆ ABD;
c) Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trên đoạn AB.
Bài 8. Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn (O), tia phân giác của góc B^ cắt cạnh AC ở D, cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác ở E. Chứng minh:


a)

BD . BE=AD . AC ;

b) BD 2= AB . AC − AD . AC ;

Bài 9. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) đường kính AD. Ba đường cao AK, BL
và CM cắt nhau tại H. Gọi N là giao điểm của ML và BD.

AML và ^
ADB ;
a) So sánh các góc ^
b) Chứng minh: tứ giác BDMN là tứ giác nội tiếp .
c) Chứng minh: ML ⊥ BD.

Bài 10. Hai đường tròn (O; 5cm) và (O’; 3cm) tiếp xúc trong với nhau tại M. Tiếp tuyến của
đường tròn (O’) tại điểm N cắt đường tròn (O) ở A và B. Tính diện tích hình phẳng giớ hạn bởi
hai đường tròn (O), (O’) và dây cung AB.
Bài 11. Cho hình thang ABCD vng tại A và B. Một đường trịn (O; r) nội tiếp hình thang,
2
tiếp xúc với đáy nhỏ BC tại M, tiếp xúc với đáy lớn AD tại N. Biết BC = 3 r . Tính diện tích
phần hình thang nằm ngồi đường trịn (O).