Tài liệu Phương pháp toán tử Laplace tính quá trình quá độ mạch tuyến tính hệ số hằng docx

Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang
83

CHỈÅNG 16
PHỈÅNG PHẠP TOẠN TỈÍ LAPLACE TÊNH QUẠ TRÇNH QUẠ ÂÄÜ
MẢCH TUÚN TÊNH HÃÛ SÄÚ HÀỊNG

§1. Phẹp biãún âäøi Laplace
I. Phẹp biãún âäøi Laplace thûn
Nãúu hm f(t) hm biãún thỉûc tha mn âiãưu kiãûn Âiriclet thç :
)p(Fdte)t(f
0
pt
=
∫
∞
−
häüi tủ (16 -1)
Hm f(t) nhỉ váûy gi l hm gäúc. Cạc phẹp tênh lãn hm gäúc l âảo hm, têch
phán, phán bäú trong khäng gian gäúc l hãû phỉång trçnh vi phán theo t.
Hm F(p) gi l hm nh Laplace ca gäúc f(t), F(p) l hm biãún phỉïc trong âọ p
= α + jω.
Váûy phẹp biãún âäøi Laplace thûn chuøn (ạnh xả) hm gäúc thỉûc f(t) thnh hm
nh F(p) biãún phỉïc, phán bäú trong khäng gian nh, tỉïc l ta cọ quan hãû dọng âäi :
f(t) ↔ F(p)
Biãún âäøi Laplace (16 -1) l biãún âäøi mäüt phêa, nh ca nọ khäng phủ thüc vo
hm f(t) åí t < 0.
II. Phẹp biãún âäøi Laplace ngỉåüc :
Cọ cäng thỉïc Rieman - Mellin âãø tçm hm gäúc f(t) theo hm nh F(p) nhỉ sau :
∫
ω+α

ω−α
π
=
j
j
pt
dpe)p(F
j2
1
)t(f
(16 -2)
cäng thỉïc (16 -2) gi l phẹp biãún âäøi Laplace ngỉåüc.

III. Cạc âënh l, tênh cháút cå bn ca phẹp biãún âäøi Laplace. Cạc âënh l
nh gäúc :
1. Tênh cháút tuún tênh :
nh ca täø håüp tuún tênh cạc hm f
k
(t) cng l mäüt täø håüp tuún tênh ca cạc
nh F
k
(p) :

, )2,1k,säúhàòngla(,)p(Fa)t(fa
)p(F)t(
f
k
k
kk
k

kk
kk
=↔
↔
∑∑

2. nh Laplace ca âảo hm hm gäúc :

[][ ] []
?)
t
('
f
)0(
f
)
t
(?)
t
('
f
)
t
(1)0(
f
')
t
(1?')
t
(

f
)
t
(1')
t
(
f
↔+
δ
↔
+
↔=

Tçm nh Laplace ca
)
t
(δ :

⎩
⎨
⎧
≠
=δ
=δδ=↔δ
−
∞
−
∫
0tkhi0
0

t
khi)
t
(
)t(evçdt)t(e)p(F)t(
pt
0
pt

nãn :
. Váûy nh Laplace ca
1dt)t(dt)t(e
00
pt
=δ=δ
∫∫
∞∞
−
)
t
(
δ
l 1.
Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
84
)
t
( 1 nón coù )
t

( .f(0) f(0)
Tỗm aớnh Laplace cuớa
[]





===
0
pt
0
pt
)t(fdedte
dt
)
t
(df
)p(
dt
)
t
(df
)t('f

Duỡng phổồng phaùp phỏn õoaỷn õóứ thổỷc hióỷn tờch phỏn trón :

[]
)t(fvvaỡ,dtpeducoùnón
)

t
(
f
ddvcoỡn,euỷ
t
pt
p
t
==
==



thay vaỡo bióứu thổùc tờch phỏn ta õổồỹc :

)p(pFdt)t(fepdt)t(fpe:coỡn
)0(f0)t(fe,dt)t(fpe)t(fevduuvudv
0
pt
0
pt
0
pt
0
pt
0
pt
0
0
0

==
=+==













ổồỹc aớnh Laplace cuớa õaỷo haỡm haỡm gọỳc :
)0(
f
)
p
(
p
F)
p
(

=

(16 -3)
Phaùt bióứu laỡ : Anh cuớa õaỷo haỡm haỷng 1 lón gọỳc bũng tờch p vồùi aớnh haỡm gọỳc õoù

trổỡ õi sồ kióỷn cuớa gọỳc (giọỳng aớnh phổùc cuớa õaỷo haỡm haỡm õióửu hoỡa bũng tờch j vồùi aớnh
phổùc haỡm õióửu hoỡa naỡo õoù; coù khaùc laỡ aớnh phổùc gừn vồùi baỡi toaùn xaùc lỏỷp hỗnh sin nón
khọng quan tỏm õóỳn sồ kióỷn).
Coù thóứ noùi pheùp õaỷo haỡm lón gọỳc doùng õọi vồùi pheùp nhỏn vồùi p aớnh cuớa gọỳc õoù
trổỡ õi sồ kióỷn :

[]
)0(
f
)p(pF')
t
(
f

(16 -4)

[]
)0('
f
)0(pf)p(Fp")t(
f
2

(16 -5)

(16 -6)
[]
)0(f )0("fp)0('fp)0(fp)p(Fp)t(f
1n3n2n1nn
n

Chổùng minh õổồỹc : f(0) = f(-0) nón coù
Nón :
[]
)0(
f
)p(pF')
t
(
f



(16 -4a)

[]
)0('
f
)0(pf)p(Fp")t(
f
2
+
(16 -5a)
Tổỡ cọng thổùc thỏỳy sồ kióỷn baỡi toaùn coù trong aớnh cuớa õaỷo haỡm gọỳc, tổùc laỡ thọng
tin vóử sồ kióỷn coù trong aớnh cuớa õaỷo haỡm vaỡ vỗ chố cỏửn f(-0) nón khọng phỏn bióỷt baỡi
toaùn chốnh hay khọng chốnh khi giaới quaù trỗnh quaù õọỹ bũng phổồng phaùp toaùn tổớ.
Khi õióửu kióỷn õỏửu bũng 0 thỗ coù :
(
)

[
]
)
p
(
p
F'
t
f

(16 -7)
Vỏỷy muọỳn xaùc õởnh aớnh cuớa õaỷo haỡm gọỳc cỏửn phaới tờnh sồ kióỷn cuớa baỡi toaùn.
3. Anh cuớa tờch phỏn gọỳc :

p
)p(F
)p(nón)p(p)p(Fdt)t(f
dt
d
)t(fmaỡ
)p()t(f
)
p
(F)
t
(
f
t
0
t

0
==






=





Vỏỷy :
p
)p(F
dt)t(f
t
0


(16 -8)
Ta coù aớnh cuớa tờch phỏn haỡm gọỳc bũng aớnh cuớa gọỳc õoù chia cho p, hay pheùp tờch
phỏn lón gọỳc (ổùng) doùng õọi vồùi pheùp chia aớnh cuớa haỡm gọỳc õoù cho p.
Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn
Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
85
4. ởnh lyù dởch gọỳc (chỏỷm tróự) :
ổồỹc mọ taớ bũng bióứu thổùc (16 -9) :

)
p
(Fe)t(
f
).t(1
p

(16 -9)
Pheùp dởch gọỳc thồỡi gian ổùng vồùi pheùp nhỏn e
-p.


lón aớnh.
5.
ởnh lyù dởch aớnh :
ổồỹc bióứu dióựn bũng bióứu thổùc (16 -10) :

)p(F)t(
f
e)t(1
t


m
(16 -10)
Pheùp nhỏn
lón gọỳc ổùng vồùi pheùp dởch aớnh mọỹt õoaỷn lón mỷt phúng phổùc.
t
e

m
6.
ởnh lyù õọửng daỷng : Mọ taớ bồới bióứu thổùc (16 -11) :








a
p
F
a
1
)at(f)t(1
(16 -11)
7. ởnh lyù tờch xóỳp : Mọ taớ bồới bióứu thổùc (16 -12) :

(16 -12)
)p(F).p(Ff*fd)t(f)t(f
2121
t
0
21
=

8.

ởnh lyù õaỷo haỡm aớnh : Mọ taớ bồới bióứu thổùc (16 -13) :

)t(f)t()p(F
dp
d
), ,t(f)t()p(F
dp
d
n
n
n

(16 -13)
9.
ởnh lyù tờch phỏn aớnh : Mọ taớ bồới bióứu thổùc (16 -14) :

t
)t(
f
dp)p(F
0



(16 -14)
10.
ởnh lyù vóử caùc giaù trở bồỡ : Giaù trở ồớ t = 0, t =

)p(pFlim)t(flim
)

p
(pFlim)t(
f
lim
0pt
p0t


=
=
(16 -15)
IV. Caùc daỷng aớnh - gọỳc thổồỡng gỷp :
1. 1)
t
(
2.

p
1
dt)t()t(1
t
0


(aùp duỷng õởnh lyù tờch phỏn gọỳc)
3.

ap
1
e).t(1e

t.at.a

=
(aùp duỷng õởnh lyù dởch aớnh)
4.

ap
1
e).t(1e
t.at.a
+
=


5.

k
k
t.p
k
pp
A
eA
k


(daỷng aớnh - gọỳc rỏỳt hay gỷp)
6.

22

p
p
tcos
+


7.

22
p
tsin
+



Tổỡ :


+


jp
1
evaỡ
jp
1
e
tjtj

Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn

Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
86
Coù :
[]
22
tjtj
p
p
jp
1
jp
1
2
1
ee
2
1
tcos
+
=






+
+

+=

Vaỡ :
22
pjp
1
jp
1
j2
1
tsin
+

=






+




8.

32
t
0

2
2
t
0
p
2
p.p
2
tdt2t,
p
1
p.p
1
dt)t(1t ====



1n
t.an
3
t.a2
2
at
1n
n
4
3
)ap(
!n
et;

)ap(
2
et
)ap(
1
e.t
p
!n
t, ,
p
3.2
t
+


+
+

+

+



9.

1n
atn
)ap(
1

!n
et
+

+


10.

n
1
t.a
1
n
1
)ap(
A
e
)!1n(
t.
A
+





11.

p

E
E)t(1E =

12.
E)
t
(.E


13.

2
0
2
0
0
p
cossinp
)tsin(
+


+

+

14.

2
0

2
0
0
p
cossinp
)tcos(
+




+

15.

22
t.a
)ap(
tsine
++




16.

22
t.a
)ap(
p

tcose
++



V. Tinh thỏửn phổồng phaùp toaùn tổớ Laplace giaới baỡi toaùn quaù trỗnh quaù
õọỹ :
Thổỷc chỏỳt vióỷc giaới quaù trỗnh quaù õọỹ laỡ giaới hóỷ phổồng trỗnh vi phỏn cho thoớa
maợn sồ kióỷn. Thay vỗ giaới phổồng trỗnh vi phỏn cho thoớa maợn sồ kióỷn ta vỏỷn duỷng caùc
tờnh chỏỳt cuớa pheùp bióỳn õọứi Laplace õóứ chuyóứn hóỷ phổồng trỗnh vi phỏn thaỡnh hóỷ
phổồng trỗnh õaỷi sọỳ vồùi aớnh toaùn tổớ coù chổùa sồ kióỷn rọửi giaới hóỷ phổồng trỗnh õaỷi sọỳ naỡy
bũng caùc phổồng phaùp õaợ hoỹc ồớ CSKT I õóứ cho ra nghióỷm aớnh quaù trỗnh quaù õọỹ F(p).
thọng thổồỡng ta hay xeùt tờnh chỏỳt, daùng õióỷu cuớa nghióỷm qua phỏn bọỳ thồỡi gian vỗ vỏỷy
cỏửn bióỳn õọứi ngổồỹc laỷi tổỡ nghióỷm aớnh vổỡa giaới ra thaỡnh nghióỷm gọỳc F(p) f(t). Vỏỷy
theo phổồng phaùp toaùn tổớ Laplace giaới QTQ ta phaới giaới quyóỳt caùc vióỷc sau :
Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn
1.
Chuyóứn tổỡ gọỳc sang aớnh : gọửm chuyóứn caùc kờch thờch e(t), j(t) vaỡ hóỷ phổồng
trỗnh vi phỏn mọ taớ QTQ vồùi sồ kióỷn thaỡnh caùc aớnh Laplace E(p), J(p) vaỡ hóỷ phổồng
trỗnh õaỷi sọỳ vồùi bióỳn toaùn tổớ coù chổùa sồ kióỷn.
Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang
87
2. Gii hãû phỉång trçnh âải säú våïi biãún toạn tỉí âỉåüc nghiãûm nh F(p).
3.
Tỉì nghiãûm nh F(p) tçm nghiãûm gäúc f(t) âãø xẹt tênh cháút nghiãûm. Trãn thỉûc
tãú cng cọ trỉåìng håüp u cáưu thäng tin khäng nhiãưu, cọ thãø nháûn biãút qua phán bäú
F(p) thç khäng nháút thiãút phi tçm f(t).
Váûy våïi phỉång phạp toạn tỉí Laplace l gii quút váún âãư gäúc → nh v ngỉåüc
lải nh → gäúc. Váún âãư nh → gäúc l ráút quan trng, nọ l kháu khọ khàn nháút, khäng
gii quút âỉåüc váún âãư ny thç phỉång phạp toạn tỉí Laplace báút lỉûc.

VI. Cạch tçm gäúc theo nh Laplace
Cọ 3 phỉång phạp âãø tçm nghiãûm gäúc theo nghiãûm nh Laplace
1.
Thỉûc hiãûn phẹp têch phán ngỉåüc (Riman - Mellen) :

∫
∞+
∞−
π
=
j
a
ja
pt
dpe)p(F
j2
1
)t(f

Viãûc sỉí dủng trỉûc tiãúp cäng thỉïc ny âãø xạc âënh hm gäúc f(t) theo hm nh
F(p) nọi chung khäng dãù dng cho nãn trong thỉûc tãú k thût âiãûn hay dng 2 phỉång
phạp sau âáy :
2.
Tra bng nh gäúc (cọ åí cạc cáøm nang toạn, cáøm nang KTÂ)
Theo phỉång phạp ny ta phi cọ bng nh - gäúc (xem pháưn phủ lủc)
3.
Dng cäng thỉïc khai triãøn Hãvisaid (âënh l phán têch)
Trong trỉåìng håüp thäng thỉåìng ta cọ nghiãûm nh Laplace F(p) l mäüt phán thỉïc
hỉỵu tè biãún p, hãû säú thỉûc v báûc ca tỉí säú nh hån báûc ca máùu säú(m < n) dảng rụt gn
nhỉ :

)p(F
)
p
(F
apa papa
b
p
b pbpb
)p(F
n
m
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m
m
m
=
++++
++++
=
−
−
−
−
(16 -16)

Vç F(p) l mäüt phán thỉïc hỉỵu tè nãn bàòng cạch phán têch phán thỉïc hỉỵu tè thnh
täøng cạc phán thỉïc täúi gin m mäùi phán thỉïc täúi gin dãù dng tçm âỉåüc gäúc tỉång ỉïng
v nhỉ váûy s xạc âënh âỉåüc gäúc ỉïng våïi phán thỉïc hỉỵu tè.
Âãø phán têch phán thỉïc hỉỵu tè (16 -16) thnh cạc phán thỉïc täúi gin cáưn gii
nghiãûm ca âa thỉïc máùu F
n
(p) = 0, âỉåüc gi l cạc âiãøm cỉûc. Trong trỉåìng håüp âa thỉïc
cọ báûc låïn hån 2 thç viãûc tçm cạc âiãøm cỉûc ráút khọ khàn. Âáy chênh l hản chãú ca
phỉång phạp toạn tỉí. Dỉåïi âáy dáùn ra cäng thỉïc tçm gäúc cho ba trỉåìng håüp thäng
thỉåìng ca cạc âiãøm cỉûc gii tỉì F
n
(p) = 0
a.
Trỉåìng håüp F
n
(p) = 0 cọ n nghiãûm thỉûc, âån : p
1
, p
2
, , p
k
thç :

∑
−
=
−
++
−
+

−
==
k
k
k
k
k
2
2
1
1
n
m
pp
A
pp
A

pp
A
pp
A
)p(F
)
p
(F
)p(F
(16 -17)
Tỉì phán thỉïc nh täúi gin
k

k
pp
A
−
suy ra gäúc
tp
k
k
e
A
(âënh l nh - gäúc)
Nãn nh ca F(p) =
∑∑
+++=↔
−
kk
tp
k
tp
2
tp
1
tp
k
k
k
k21k
eA eAeAeA
pp
A

(16 -18)
Cáưn phi xạc âënh A
k
(gäưm A
1
, A
2
, , A
k
) v våïi p
k
â cọ khi gii F
n
(p) = 0, ta
làõp âỉåüc gäúc
tp
k
k
e
A
. Cọ thãø xạc âënh A
k
bàòng phỉång phạp cán bàòng hãû säú báút âënh.
Song ta cọ thãø bàòng cäng thỉïc sau âáy :
Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
88
Ta nhỏn 2 vóỳ phổồng trỗnh (16 -17) vồùi (p - p
k
) rọửi cho p tióỳn õóỳn p

k
:

k
kk
2
k2
1
k1
k
n
m
pp
)p
p
(
A

pp
)
p
p
(
A
pp
)
p
p(
A
)pp(

)p(F
)p(F


++


+


=

Khi cho p p
k
ồớ vóỳ phaới chố coỡn sọỳ haỷng cuọỳi bũng A
k
coỡn caùc sọỳ haỷng trổồùc
õóửu bũng 0.
Nón õổồỹc :
0
0
lim)pp(
)p(F
)
p
(F
limA
k
n
m

ppk
k
==

(daỷng vọ õởnh 0/0) vỗ p
k
laỡ
nghióỷm cuớa F
n
(p) = 0 nón cho p p
k
thỗ F
n
(p) = 0 vaỡ p - p
k
= 0.
Duỡng quy từc Lopital õóứ khổớ daỷng vọ õởnh ta coù :

[]
)p('F
)p(F
)p('F
)p(F
limA
)p('F
)p(F)
p
p
).(
p

('F
lim
)p('F
')
p
p)(p(F
limA
kn
km
n
m
ppk
n
mkm
pp
n
km
ppk
k
kk
==
+

=

=


(16 -19)
Tổồng tổỷ :

,
)p('F
)p(F
)p('F
)
p
(F
limA,
)p('F
)
p
(F
)p('F
)p(F
limA
2n
2m
n
m
pp2
1n
1m
n
m
pp1
21
====


Vỏỷy khi F

n
(p) = 0 coù caùc nghióỷm õồn p
1
, p
2
, , p
k
thỗ
)p(F
)p(F
)p(F
n
m
=
coù gọỳc laỡ :

tp
kn
km
tp
2n
2m
tp
1n
1m
k21
e
)p('F
)
p

(F
e
)p('F
)
p
(F
e
)p('F
)
p
(F
)t(f +++=
(16 -20)
b.
Khi F
2
(p) = 0 coù nghióỷm phổùc lión hồỹp : p
k
= - j
0
ta coi nhổ hai nghióỷm
õồn : p
k
= - + j
0
vaỡ p
*
k
= - - j
0

.
Aùp duỷng cọng thổùc trổồỡng hồỹp trón cho hai nghióỷm p
k
vaỡ ta xaùc õởnh õổồỹc
gọỳc theo daỷng (16 -20) :

k
p

t.p
kn
km
tp
kn
km
n
m
kk
e
)p('F
)
p
(F
e
)p('F
)p(F
)p(F
)
p
(F

)p(F



+=

Vỗ p
k
vaỡ p
*
k
laỡ lión hồỹp phổùc vồùi nhau nón :







=+



t.p
kn
km
t.p
kn
km
tp

kn
km
kkk
e
)p('F
)
p
(F
Re2e
)p('F
)p(F
e
)p('F
)p(F

Vỗ coù :

==
j
kk
kn
km
eAA
)p('F
)
p
(F
nón õổồỹc :

[]

()
[]
()()
[]
{}
()
+=+++
===







+



t.coseA2t.sinjt.coseARe2
eeARe2e.eeARe2e
)p('F
)p(F
Re2
0
t
k00
t
k
tj

t
k
tj
tj
k
t.p
kn
km
00k

Vỏỷy khi F
n
(p) = 0 coù nghióỷm phổùc lión hồỹp : p
k
= - j
0
thỗ coù gọỳc f(t) laỡ :

(
)
+=

t
.cose
A
2)
t
(
f
)p(F

0
t
k
(16 -21)
c.
Khi F
2
(p) = 0 coù nghióỷm bọỹi : p
k
bọỹi r.
Luùc naỡy phỏn tờch
)p(F
)p(F
n
m
thaỡnh caùc sọỳ haỷng tọỳi giaớn sau õỏy :
Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn
Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
89
r
k
kr
1r
k
1kr
2r
k
2kr
2
k

2k
k
1k
n
m
)pp(
A
)pp(
A
)pp(
A

)pp(
A
)pp(
A
)p(F
)p(F

+

+

++

+

=

(16 -22)
Ta õaợ coù daỷng aớnh - gọỳc :

t.p
1r
kr
r
k
kr
k
e.t
)!1r(
A
)pp(
A




;
()
t.p
2k
2
k
2k
t.p
1k

k
1k
kk
e.tA
pp
A
;eA
pp
A





Cỏửn phaới xaùc õởnh A
kr
. Ta nhỏn 2 vóỳ (16 -22) vồùi (p - p
k
)
r
rọửi cho p p
k
ta õổồỹc
bióứu thổùc (16 -23) nhổ sau :
kr
1r
k
r
k1kr
2r

k
r
k2kr
2
k
r
k2k
k
r
k1k
r
k
n
m
A
)pp(
)pp(
A
)pp(
)
p
p
(
A

)pp(
)
p
p
(

A
)pp(
)pp(
A
)pp(
)p(F
)p(F
+


+


++


+


=




krk1kr
2
k2kr
2r
k2k
1r

k1k
r
k
n
m
A)pp(A)pp.(A)pp.(A)pp.(A)pp(
)p(F
)p(F
++++=


Cho p p
k
vóỳ phaới chố coỡn A
kr
coỡn caùc sọỳ haỷng khaùc bũng 0 nón ta coù :

r
k
n
m
ppkr
)pp(
)p(F
)p(F
limA
k
=

(16 -24)

óứ xaùc õởnh A
kr-1
, ta õaỷo haỡm caớ 2 vóỳ phổồng trỗnh (16 -23) theo p, ta coù :
0A)pp(2.A
)pp)(2r(A)pp)(1r(A)pp(
)p(F
)p(F
1krk2kr
3r
k2k
2r
k1k
/
r
k
n
m
+++
+++=









(16 -25)
Cho p p

1
, vóỳ phaới cuớa bióứu thổùc (16 -25) chố coỡn A
kr-1
, coỡn caùc sọỳ haỷng khaùc
bũng 0 nón ta coù :







=

r
k
n
m
pp1kr
)pp(
)p(F
)
p
(F
dp
d
limA
k
(16 -26)
óứ xaùc õởnh A

kr-2
ta õaỷo haỡm caớ 2 vóỳ cuớa (16 -25) theo p ta coù :
02.A)pp.(2.3.A )pp)(3r)(2r(A
)pp)(2r)(1r(A)pp(
)p(F
)p(F
2krk3kr
4r
k2k
3r
k1k
/
r
k
n
m
++++
+=










(16 -27)
Cho p p

1
, vóỳ phaới cuớa bióứu thổùc (16 -27) chố coỡn 2.A
kr-1
, coỡn caùc sọỳ haỷng khaùc
bũng 0 nón ta coù :







=

r
k
n
m
2
2
pp2kr
)pp(
)p(F
)
p
(F
dp
d
2
1

limA
k
(16 -28)
óứ xaùc õởnh A
kr-3
ta õaỷo haỡm tióỳp phổồng trỗnh (16 -27) theo p ta coù :







=

r
k
n
m
3
3
pp3kr
)pp(
)p(F
)
p
(F
dp
d
.

!3
1
limA
k
(16 -29)
cổù nhổ vỏỷy tỗm caùc hóỷ sọỳ tióỳp theo cho õóỳn :









=



r
k
n
m
1r
1r
pp1k
)pp(
)p(F
)
p

(F
dp
d
.
)!1r(
1
limA
k
(16 -30)
Sau khi coù caùc A
kr
rọửi ta xaùc õởnh gọỳc laỡ :
Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn
Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang
90
Vç
t.p
1r
lr
r
1
lr
1
e.t
)!1r(
A
)pp(
A
−
−

↔
−
nãn khi F
n
(p) cọ nghiãûm bäüi r thç gäúc thåìi gian l :

t.p
1r
kr
2
3k2k
1k
t.p
1r
kr
t.p
2
3k
t.p
2k
t.p
1k
k
kkkk
et
)!1r(
A
t
!2
A

t
!1
A
A
et
)!1r(
A
et
!2
A
e.t
!1
A
e
!0
A
)t(f
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
++++=
−
++++=
−

−
(16 -31)
Ta thỉåìng gàûp F
n
(p) báûc 2 nãn F
n
(p) = 0 cọ thãø cọ nghiãûm kẹp p
k
(bäüi r = 2). Lục ny
nghiãûm nh l
()
2
k
22
k
21
2
1
pp
A
pp
A
)p(F
)p(F
)p(F
−
+
−
==

Tênh âỉåüc :
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=−−=
→→
2
k
2
1
pp
21
2
k
2
1
pp
22
)pp(
)p(F
)
p
(F
dp
d
limAv)3216()pp(
)p(F

)p(F
limA
kk
(16 -33)
Suy ra hm gäúc :
(
tp
2221
k
e
)
t
A
A
)
t
(
f
+= (16 -34)
Vê dủ 1 : Cọ dng âiãûn nh
2
)3p(p
)2
p
(
)p(I
+
+
= xạc âënh gäúc i(t) ?

3pkẹpnghiãûmv
a
ì,0
p
âå
n
nghiãûm0)3
p
(p)p(F
3,21
2
3
−==→=+=



)3p(p2)3p()p('F
2
3
+++=
- Khi F
2
(p) = 0 cọ nghiãûm âån p
1
= 0 tỉång ỉïng cọ gäúc dảng:A
1
e
pt
= A
1

e
0.t
= A
1

Xạc âënh
9
2
)3p(p2)3p(
2
p
lim
)p('F
)
p
(F
limA
2
0p
2
1
0p1
=
+++
+
==
→→

- Khi F
2

(p) = 0 cọ nghiãûm kẹp p
2,3
= -3(p = -3, bäüi r = 2). Xạc âënh :

9
2
p
)2p(p
lim)pp(
)p(F
)p(F
dp
d
limA
3
1
3
23
)3p(
)3p(p
2p
lim)pp(
)p(F
)p(F
limA
2
3p
r
l
2

1
pp1l
2
2
3p
r
l
2
1
pp2l
l
l
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
=
−

+−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
−→→
−→→

ỈÏng våïi nghiãûm kẹp cọ gäúc l :
t.3
2l
t.3
1l
e.
t
.

A
e
A
−−
+
Täøng håüp cọ gäúc :
t.3t.3
e.t.
3
1
e
9
2
9
2
)t(i
−−
+−=

Vê dủ 2 : Xạc âënh gäúc u(t) ca nh :
34p6p
4
p
4
)p(U
2
++
+
=
)'5021t5cos(e3,4)'5021t5cos(.eA2)t(u:gäúcÂỉåüc

'502115,2
j10
j208
)p('F
)p(F
ATênh
j2084)5j3(4)p(F,j106)5j3(2)p('F,6p2)p('F
5j3
p
âỉåüc34p6
p
0)p(FGii
ot.3ot.3
k
o
12
11
k
11122
2,1
2
2
+=+=
〈=
+−
==
+−=++−==++−=+=
±−=++==
−−

§2. Näüi dung phỉång phạp toạn tỉí Laplace tênh quạ trçnh quạ âäü mảch
tuún tênh :
Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang
91
Tỉì tinh tháưn phỉång phạp toạn tỉí Laplace â nãu åí mủc trãn, ta tháúy cọ thãø gii
QTQÂ theo cạc bỉåïc :
1.
Chuøn ngưn kêch thêch thåìi gian v hãû phỉång trçnh vi phán mä t quạ
trçnh quạ âäü våïi så kiãûn thnh hãû phỉång trçnh âải säú nh toạn tỉí cọ chỉïa så kiãûn. Viãûc
lm ny thỉûc cháút l váûn dủng cạc tênh cháút ca phẹp biãún âäøi Laplace âãø âải säú họa hãû
phỉång trçnh vi phán.
2.
Gii hãû phỉång trçnh âải säú våïi nh toạn tỉí bàòng cạc phỉång phạp cå bn â
hc nhỉ phỉång phạp dng nhạnh, dng âiãûn vng, thãú âènh hồûc biãún âäøi tỉång
âỉång âãø tênh cạc nghiãûm nh.
3.
Tçm cạc nghiãûm gäúc tỉång ỉïng cạc nghiãûm nh.
Theo trçnh tỉû trãn ta tháúy cáưn phi láûp hãû phỉång trçnh vi phán mät t QTQÂ räưi måïi
âải säú họa nọ thnh hãû phỉång trçnh âải säú våïi nh toạn tỉí. Âãø trạnh viãûc phi viãút hãû
phỉång trçnh vi phán v sỉí dủng âỉåüc tênh ỉu viãût ca mä hçnh mảch l cọ thãø v ra
cạc så âäư mảch âãø biãøu diãùn v tỉì âọ láûp ngay hãû phỉång trçnh âải säú tênh mảch, ta âỉa
ra khại niãûm vãư så âäư toạn tỉí Laplace mä t QTQÂ ca mảch âiãûn. Viãûc dáùn ra så âäư
toạn tỉí ny chênh l âải säú họa trãn så âäư âãø hãû phỉång trçnh viãút theo så âäư ny l hãû
phỉång trçnh âải säú.
I. Så âäư toạn tỉí ca mảch :
R
Chụng ta â biãút quan hãû giỉỵa 2 biãún u v i trãn
mäüt vng nàng lỉåüng - chênh l âënh lût Ohm - nọi lãn
phn ỉïng ca vng nàng lỉåüng âọ. Váûy quan hãû giỉỵa nh

âiãûn ạp U(p) våïi nh dng âiãûn I(p) ca vng nàng lỉåüng
chè r phn ỉïng toạn tỉí ca vng nàng lỉåüng. Ta dáùn ra
phn ỉïng ca cạc vng nàng lỉåüng âỉåüc âàûc trỉng båíi cạc
pháưn tỉí R, L, C.
U(p)
I(p)
h.16 -1
1.
Våïi âiãûn tråí R :
Tỉì phỉång trçnh trảng thại theo thåìi gian l : u
R
(t) = R.i
R
(t) chuøn sang nh
toạn tỉí Laplace:

)p(I)t(i
)p(U)
t
(
u
RR
RR
↔
↔

Cọ phỉång trçnh trảng thại nh toạn tỉí :

)p(U.g
R

)
p
(U
)p(Ihay)p(I.R)p(U
R
R
RR
===
(16 -35)
Váûy âiãûn tråí trong så âäư toạn tỉí váùn l R nhỉ
biãøu diãùn hçnh hc nhỉ hçnh (h.16 -1) hồûc cọ thãø biãøu
diãùn bàòng âiãûn dáùn
R
1
g =
.
L
U
L
(p)
I
L
(p)
Li
L
(-0)
2.
Våïi âiãûn cm L :
Tỉì phỉång trçnh trảng thại theo thåìi gian :
h.(16 -2)

dt
di
Lu
L
L
=
chuøn sang dảng nh :
Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang
92

)p(I)t(i
)p(U)
t
(
u
LL
LL
↔
↔

Cọ phỉång trçnh nh toạn tỉí :

[
]
)0(Li)
p
(I.Lp)0(i)p(
p

IL)p(U
LLLLL
−
−
=
−−=
(16 -36)
Så âäư thay thãú mảch nghiãûm âụng phỉång trçnh trãn chênh l så âäư toạn tỉí ca
cün cm L, cọ L.i
L
(-0) l lỉåüng â biãút nọ nhỉ ngưn ạp gi l ngưn så kiãûn. Nọ l
tin tỉïc nọi lãn quạ trçnh c tạc âäüng vo mảch sau âọng måí. Biãøu diãùn åí hçnh (h.16 -2)
Så âäư trãn giäúng nhỉ så âäư ngưn ạp Tãvãnin, nhỉ váûy cọ thãø xạc âënh så âäư
ngưn dng Norton tỉång ỉïng.
Tháût váûy gii phỉång trçnh (16 -36) I
L
(p) theo U
L
(p) ta cọ :

p
)0(i
Lp
)p(U
)p(I
LL
L
−
+=
(16 -37)

Trong âọ
p
)0(i
L
−
â biãút nhỉ l ngưn dng gi l
ngưn dng så kiãûn, så âäư toạn tỉí nhỉ hçnh (h.16 -3)
pL
i
L
(-0) /p
I
L
(p)
U
L
(p)
Váûy cọ thãø biãøu diãùn L dỉåïi dảng så âäư toạn tỉí näúi
tiãúp hay song song, chè cáưn ta thay L bàòng pL räưi näúi tiãúp
våïi ngưn ạp så kiãûn Li
L
(-0). Hay thay L bàòng pL näúi
song song våïi ngưn dng så kiãûn
p
)0(i
L
−
. (Lỉu : chiãưu
ca cạc ngưn så kiãûn cng chiãưu dng I
L

(p)).
h.16 -3

C
1/pC
U
C
(p)
h.(16 -4a)
u
C
(-0)
I
C
(p)
3. Våïi âiãûn dung C :
Tỉì phỉång trçnh trảng thại thåìi gian :
dt
d
u
Ci
C
C
=

Chuøn sang dảng nh :
)p(I)t(i
)
p
(U)

t
(
u
CC
CC
↔
↔

Âỉåüc phỉång trçnh trảng thại nh theo dng âiãûn l :
[]
)0(Cu)
p
(
p
CU)0(u)p(pUC)p(I
CCCCC
−
−
=−
−
=
. (16 -38).
Trong âọ Cu
C
(-0) l ngưn så kiãûn, så âäư toạn tỉí nhỉ hçnh (h.16 -4a).
Phỉång trçnh trảng thại nh theo âiãûn ạp l :

p
)0(
u

pC
)p(I
)p(U
CC
C
−
+=
(16 -39)
Trong âọ
p
)0(
u
C
−
l ngưn så kiãûn så âäư toạn tỉí
nhỉ hçnh (h.16 -4b).
1/pC
u
C
(-0)/p
U
C
(p)
I
C
(p)
Âãø cọ så âäư toạn tỉí ca tủ C, ta thay C bàòng 1/pC
näúi song song våïi ngưn dng Cu
C
(-0). Hồûc thay C

bàòng 1/pC näúi tiãúp våïi ngưn ạp så kiãûn
p
)0(
u
C
−
( Chụ
ngưn så kiãûn cọ chiãưu ngỉåüc chiãưu dng I
C
(p)).
h.(16 -4b)
Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
93
4. Vồùi nhaùnh R - L - C :
Khi caùc sồ kióỷn bũng khọng ta coù quan hóỷ
Ohm trón caùc vuỡng nng lổồỹng : U
R
(p) = R.I
R
(p),
U
L
(p) = pL.I
L
(p), U
C
(p) = I
C
(p)/pC. Nón sồ õọử toaùn tổớ

nhaùnh R - L - C nhổ hỗnh (h.16 -5). Tổỡ õoù ruùt ra õởnh
luỏỷt Ohm daỷng toaùn tổớ cho nhaùnh khọng nguọửn R - L - C :
I(p)
R
pL
U(p)
1/pC
h.16 -5






++=++=
pC
1
pLR)p(I)p(U)p(U)p(U)p(U
CLR
(16 -40)
Trong õoù :
)p(Z
pC
1
pLR =++
goỹi laỡ tọứng trồớ toaùn tổớ cuớa nhaùnh (tổồng tổỷ nhổ
tọứng trồớ phổùc Z(j) trong maỷch xaùc lỏỷp õióửu hoỡa khi thay j bũng p). Ngổồỹc laỷi
()
)p(Z
1

pY =
laỡ tọứng dỏựn toaùn tổớ. Coù õổồỹc bióứu thổùc : I(p) = Y(p).U(p)
5.
Vồùi hai cuọỹn caớm L
1
, L
2
coù họự caớm vồùi nhau : M
kl
= M
lk
= M nhổ hỗnh veợ
(h.16 -7) :
M
kl
i
l
i
k


L
l
L
k
u
k
u
l

L
M

i
k
(-0)
L
l
i
l
(-0)
Mi
l
(-0)
k
i
k
(-0)
p
L
l
p
L
k
I
l
(p)
p
M

I
k
(p)
U
k
(p)
U
l
(p)
h.16 -7
h.16 -8
Bióứu thổùc õióỷn aùp dổồùi daỷng phỏn bọỳ thồỡi gian :








+=
+=
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di

M
dt
di
Lu
lk
kK
kl
LL
(16 -41)
(Chuù yù tuỡy cổỷc tờnh vaỡ chióửu doỡng õióỷn õóứ aùp họự caớm coù dỏỳu +). Chuyóứn sang daỷng aớnh
toaùn tổớ nhổ hỗnh (h.16 -8) :




+=
+=
)0(Mi)0(iL)p(pMI)p(IpL)p(U
)0(Mi)0(iL)
p
(pMI)p(I
p
L)p(U
lkklkkk
kllkllL
(16 -42)
II. ởnh luỏỷt Kirhof daỷng toaùn tổớ :
Tổỡ luỏỷt Kirhof 1 daỷng tổùc thồỡi chuyóứn sang daỷng aớnh Laplace :
0)t(i
n

1k
k
=

=

(16 -43)
0)p(I
n
1k
k
=

=
Phaùt bióứu : " Tọứng õaỷi sọỳ caùc doỡng õióỷn toaùn tổớ taỷi mọỹt õốnh trióỷt tióu"
Tổồng tổỷ ta cuợng coù õởnh luỏỷt Kirhof 2 daỷng toaùn tổớ :
(16 -44).
0)p(U
n
1k
k
=

=
Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn
Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang
94
Phạt biãøu : " Täøng âải säú cạc âiãûn ạp nh råi trãn cạc pháưn tỉí trong mäüt vng
kên triãût tiãu".
Lỉu : Khi trong mảch âiãûn cọ cạc ngưn så kiãûn thç ta cng âỉa vo phỉång

trçnh Kirhof 1, 2 theo âụng thỉï ngun.
Vê dủ : Xẹt mảch âiãûn nhỉ hçnh (h.16 -9)
Thay r, L, C v cạc ngưn trong mảch sang dảng toạn tỉí âỉåüc så âäư mảch dảng
toạn tỉí nhỉ hçnh (h.16 -10). Trong tỉìng nhạnh ta cọ phỉång trçnh lût Äm dảng toạn
tỉí, trong ton mảch cọ lût K
1
, K
2
dỉåïi dảng âải säú nh toạn tỉí.
r
2
r
1
r
i
i
2
i
1
C
2
C
1
L
e(t)
h.16 -9
h.16 -10
u
C2
(0)/p

1/pC
2
r
2
I
2
(p)
I(p)
I
1
(p)
r
1
r
p
L
Li
L
(0)
u
C1
(0)/p
1/pC
1
E(p)
a
b
1
2
b

a

Dỉûa vo så âäư toạn tỉí hçnh (h.16 -10) viãút ngay hãû phỉång trçnh K1, K2 dỉåïi
dảng âải säú våïi nh toạn tỉí :
P/t K1 cho nụt a :
)
p
(I)p(I)p(I
21
+
=

P/t K2 cho vng 1 :
p
)0(u
)0(Li)p(E
pC
1
pLr)p(Ir).p(I
1C
L
1
11
−+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
+++
(16 -45)
P/t K2 cho vng 2 :
()
p
)0(u
pE
pC
1
r)p(Ir).p(I
2C
2
22
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++

III. Trçnh tỉû tênh quạ trçnh quạ âäü bàòng phỉång phạp toạn tỉí :
Sau khi phán têch mäüt cạch âáưy â nhỉ trãn, ta rụt ra trçnh tỉû cạc bỉåïc gii quạ
trçnh quạ âäü bàòng phỉång phạp toạn tỉí nhỉ sau :
- Tênh u

c
(-0), i
L
(-0) tỉì så âäư trỉåïc khi âọng måí (åí t < 0)
- Láûp så âäư toạn tỉí cho mảch sau khi âọng måí (åí t > 0 chụ cọ cạc ngưn så
kiãûn).
- Viãút phỉång trçnh K1, K2 ca mảch dỉåïi dảng âải säú ca nh toạn tỉí.
Do sỉû tỉång tỉû vãư hçnh thỉïc våïi så âäư mảch åí trảng thại xạc láûp âiãưu ha nãn cọ
thãø dng cạc phỉång phạp : dng nhạnh, dng vng, thãú âènh, cạc biãún âäøi tỉång
âỉång âãø gii hãû phỉång trçnh âải säú âãø cho nghiãûm nh. Sau âọ xạc âënh nghiãûm
gäúc.
Vê dủ 1 : Mäüt tủ C âỉåüc nảp cọ âiãûn lỉåüng q
o
. Tải t = 0 cho nọ phọng vo cün
dáy cọ âiãûn cm L nhỉ hçnh (h.16 -11). Xạc âënh sỉû biãún thiãn ca âiãûn têch trãn tủ q(t)
v xạc âënh dng âiãûn trong mảch i(t) sau khi âọng khọa K.
Ta cọ så kiãûn :
)0(u
C
q
C
)0(q
)0(u),0(qq)0(q
C
0
C0
+==
−
=−==−

Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
95
i
L
(-0) = 0 = i
L
(0)
1.
Giaới bũng phổồng phaùp õồn thuỏửn toaùn hoỹc :
Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn
Tổỡ phổồng trỗnh maỷch õióỷn : u
C
+ u
L
= 0
Theo bióỳn i ta coù :
0'Liidt
C
1
=+

maỡ :
2
2
d
t
qd
'i,
d

t
dq
i ==

ổồỹc phổồng trỗnh theo bióỳn q laỡ :
K
h.16 -11

0
C
q
d
t
qd
L0
d
t
qd
Ldt
d
t
dq
C
1
2
2
2
2
=+=+

ta chuyóứn sang daỷng toaùn tổớ õóứ giaới phổồng trỗnh vi phỏn naỡy :
Vồùi :
)0('q)0(pq)p(Qp
d
t
qd
vaỡ),p(Q)t(q
2
2
2


Ta coù phổồng trỗnh aớnh :
[]
0
C
)p(Q
Lpq)p(QLp
0
C
)
p
(Q
pq)p(QpL
0
2
0
2
=+

=+

Lổu yù :
0)0(i)0(
dt
dq
)0('q ===
(do chổa õoùng khoùa K thỗ i
L
(0) = 0)
2
2
0
2
0
2
0
0
2
LC
1
p
pq
LC
1
p
p
q
C
1

Lp
Lpq
)p(QnónLpq
C
1
Lp)p(Q








+
=
+
=
+
==






+

Suy ra bióứu thổùc õióỷn tờch theo thồỡi gian :
t

LC
1
cosq)t(q
0
= .
Vaỡ doỡng õióỷn trong maỷch :
t
LC
1
sin
LC
1
.q
dt
dq
)t(i
0
==
2.
Giaới bũng phổồng phaùp sồ õọử toaùn tổớ :
u
C
(0)/p
Tổỡ sồ õọử toaùn tổớ hỗnh (h.16 -12) tờnh I(p) :
1LCp
q
C
1
LpC
)0(q

pC
1
pLp
)0(u
)p(I
)0(u
C
q
C
)0(q
)0(uVồùi
2
0
2
C
C
0
C
+

=






+

=

+

=
+==

=

h.16 -12
1/pC
pL
I(p)
Chia caớ tổớ, mỏựu vồùi LC ta coù :
2
2
0
2
2
0
2
0
LC
1

p
LC
1
.
LC
q
LC
1
p
LC
1
.
LC
1
.q
LC
1
p
LCq
)p(I






+

=

+

=






+

=

Suy ra gọỳc doỡng õióỷn trong maỷch laỡ :
LC
t
sin
LC
q
)t(i
0

=
Vaỡ bióứu thổùc õióỷn tờch :
LC

t
cosqdt
LC
t
sin
LC
q
idt)t(q
0
0
=

==


Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
96
Vờ duỷ 2 : Tờnh doỡng i(t) trong maỷch õióỷn hỗnh (h.16 -13) sau khi õoùng khoùa K.
Bióỳt r = 100, L = 0,139H, C= 15,95àF. u(t) = 2000sin(314t + 90
0
) = 2000cos314t
(V).
1.
Tờnh sồ kióỷn õọỹc lỏỷp :
i(t)
C
r
u(t)
L
K

)0(u0)0(u
CC
+
==
(khi chổa õoùng khoùa K tuỷ chổa
õổồỹc naỷp). Trổồùc khi õoùng khoùa K quaù trỗnh xaùc lỏỷp cuợ
(t < 0) nhổ sồ õọử hỗnh (h.16 -14). Vỗ xaùc lỏỷp hỗnh sin nón
coù :
A10)0(icoù0ttaỷithay
)A()45t314sin(210i
e210
319,0.314j100
902000
Z
U
I
L
0
Lxlcuợ
45j
0
rL
Lxlcuợ
0
==
+=
=
+

==

h.16 -13
r
L
u(t)
i(t)
Vỗ baỡi toaùn chốnh nón : i
L
(0) = i
L
(-0) = 10A.
2.
Sồ õọử toaùn tổớ sau khi õoùng khoùa K nhổ hỗnh (h.16 -
15)
h.16 -14
Aớnh Laplace cuớa nguọửn u(t) :
22
314p
p
2000
)p(Ut314cos2000)t(u
+
==

Tọứng trồớ vaỡo cuớa maỷch :
Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn
1prC
1pLrLCp

1prC
r
pL
pC
1
r
pC
1
.r
pL)p(Z
2
V
+
++
=
+
+=
+
+=
Theo õởnh luỏỷt Kirhof tờnh doỡng õióỷn aớnh :
()
()
)p(F
)p(F
)1pLrLCp)(314p(
)1prC)](0(Li)314p(p2000[
)p(I
1pLrLCp
1prC)0(Li
314p

p
2000
)p(Z
)0(Li)p(U
pI
4
3
222
L
22
2
L
22
V
L
=
+++
+++
=
++
+








+

+
=
+
=

Li
L
(0)
I(p)
U(p)
p
L
1/pC
r
h.16 -15
óứ xaùc õởnh doỡng õióỷn gọỳc : sổớ duỷng khai trióứn Hóvisaid.
Giaới : F
4
(p) = (p
2
+ 314
2
).(p
2
rLC + pL + 1) = 0
Vồùi (p
2
+ 314
2
) = 0 coù nghióỷm thuỏửn aớo : p

1,2
= j314.
Vồùi
0100319,0.
p
10.95,15.319,0.100.p1pLrLCp
622
=++=++


cho nghióỷm phổùc lión hồỹp : p
3,4
= -314 j314.
Tổỡ F
4
(p) ta coù : )L
p
rLC2)(314
p
()
r
p
LrLCp(p2)p('F
222
4
+++++=
- ặẽng vồùi p
1,2
= j314 ( coi laỡ p = j vồùi = 0)
Ta coù gọỳc daỷng 2|A

1
|cos(314t + ), trong õoù :
0
314jp
4
3
1
3710
)p('F
)p(F
A ==
=

- ặẽng vồùi p
3,4
= -314 j 314
Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
97
Ta coù daỷng gọỳc : 2|A
2
|e
-314t
.cos(314t + ) trong õoù :

3016110
)p('F
)p(F
A
0
314j341p

4
3
2
==
+=

Nón õổồỹc gọỳc laỡ :
)30161t314cos(.e102)37t314cos(20)t(i
0t3140
+=


Tổỡ gọỳc ta thỏỳy caùc cổỷc (nghióỷm) p
1
, p
2
laỡ do aớnh cuớa aùp nguọửn U(p) nón xaùc
õởnh thaỡnh phỏửn cổồợng bổùc, coỡn caùc cổỷc p
3
, p
4
bũng nghióỷm cuớa sồ õọử seợ xaùc õởnh
thaỡnh phỏửn tổỷ do.

)30161t314cos(e102i),37t314cos(20i
0t314
td
0
xl
==

- Qua vờ duỷ thỏỳy õổồỹc noùi chung phổồng phaùp toaùn tổớ coù thóứ tờnh õổồỹc aùp,
doỡng quaù õọỹ dổồùi daỷng tọứng cuớa caùc thaỡnh phỏửn tổỷ do vaỡ cổồợng bổùc.
- Nóỳu maỷch chổùa caùc nguọửn hũng hay nguọửn õióửu hoỡa thỗ coù thóứ xaùc õởnh dóự
daỡng thaỡnh phỏửn cổồợng bổùc maỡ khọng cỏửn aùp duỷng phổồng phaùp toaùn tổớ. Trong trổồỡng
hồỹp naỡy phổồng phaùp toaùn tổớ õổồỹc aùp duỷng õóứ tờnh thaỡnh phỏửn tổỷ do.
- Thaỡnh phỏửn tổỷ do laỡ gọỳc cuớa aớnh õaùp ổùng tổỷ do. Aớnh õaùp ổùng tổỷ do õổồỹc tờnh
tổỡ sồ õọử toaùn tổớ tổỷ do (sồ õọử chố coù caùc nguọửn sồ kióỷn, khọng coù nguọửn aùp, nguọửn doỡng
cổồợng bổùc) vaỡ vỏỷy aớnh cuớa aùp, doỡng tổỷ do seợ õồn giaớn hồn rỏỳt nhióửu so vồùi aớnh aùp,
doỡng quaù õọỹ.
- Vióỷc ổùng duỷng phổồng phaùp toaùn tổớ rỏỳt thuỏỷn lồỹi õóứ tờnh thaỡnh phỏửn cổồợng
bổùc cuớa aùp, doỡng khi kờch thờch chu kyỡ khọng õióửu hoỡa.
Vỏỷy khi gỷp baỡi toaùn quaù trỗnh quaù õọỹ coù kờch thờch chu kyỡ õióửu hoỡa ta thổỷc hióỷn
nhổ sau :
a.
Tổỡ sồ õọử phổùc xaùc lỏỷp sau õoùng mồớ nhổ hỗnh (h.16 -16) bũng phổồng phaùp
phổùc tờnh õổồỹc :

0
6
6
0
xl
3720
10.95,15.314j
1
100
10.95,15.314j
1

.100
319,0.314j
02000
Cj
1
r
Cj
1
.r
Lj
U
I =
+
+

=

+

+
=





suy ra doỡng õióỷn xaùc lỏỷp
(
)
)

A
(37
t
314cos20)
t
(i
0
xl
=
U
.
I
xl
.
L
j
1/
j
C
r
Li
Ltd
(0)
I
t
d
(p)
p
L
1/pC

r
h.16 -16
h.16 -17
b. Tổỡ sồ õọử toaùn tổớ tổỷ do nhổ hỗnh (h.16 -17)
Xaùc õởnh õổồỹc thaỡnh phỏửn tổỷ do daỷng aớnh :
Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn
Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
98
)p(F
)
p
(F
1pLrLCp
)1prC)(0(Li
)p(Z
)0(Li
)p(I
2
1
2
Ltd
V
Ltd
td
=
++
+
==
, chuù yù :
)0(i)0(i)0(i

LxlLLtd

=

giaới F
2
(p) = 0 õổồỹc
314
j
314p
4,3

=

suy ra gọỳc :
)30161t314cos(e102)t(i
0t314
td
=


c.
Xóỳp chọửng i
xl
vaỡ i
td
õổồỹc nghióỷm cuớa quaù trỗnh quaù õọỹ i
qõ
:

)30161t314cos(.e102)37t314cos(20)t(i
0t3140
+=


Qua phỏn tờch ta thỏỳy laỡm theo caùch naỡy goỹn hồn ồớ chọự chố phaới giaới quyóỳt vỏỳn
õóử aớnh gọỳc cuớa nghióỷm tổỷ do õồn giaớn hồn rỏỳt nhióửu aớnh gọỳc cuớa nghióỷm quaù trỗnh quaù
õọỹ. So vồùi vióỷc xaùc õởnh nghióỷm tổỷ do bũng phổồng phaùp tờch phỏn kinh õióứn thỗ khoới
phaới tờnh p tổỡ Z
V
(p) = 0 vaỡ vióỷc tờnh sồ kióỷn cuợng õồn giaớn hồn nhióửu (chố cỏửn u
C
(-0) vaỡ
i
L
(-0), khọng cỏửn phaới lổu yù baỡi toaùn chốnh hay khọng chốnh).
Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn