BT ON PHAN THUCL8

BÀI TẬP PHẦN PHÂN THỨC
Bài 1: Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
a b c
x2 y 2 z 2
x y z
  0
  1
 2  2 1
2
b) Cho a b c
và x y z
. Chứng minh rằng : a b c
.

a) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
2

2

2

Do : ( x  1) 0; ( y  3) 0;( z 1) 0
Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).

b) Từ :

a b c
ayz+bxz+cxy

  0 
0
x y z
xyz

 ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
  1  (   ) 2 1
a b c
a b c

Ta có :

x2 y2 z 2
xy xz yz
 2  2  2(   ) 1
2
a
b
c
ab ac bc
2
2
2
x
y
z
cxy  bxz  ayz
 2  2  2 2

1
a
b
c
abc
x2 y2 z2
 2  2  2 1( dfcm)
a
b
c


1 1 1
+ + =0
x
y z
Bài 2: Cho x, y, z đôi một khác nhau và
.
A=
Tính giá trị của biểu thức:

1 1 1
+ + =0
x y z
2

⇒

yz
xz

xy
+ 2
+ 2
x +2 yz y +2 xz z +2 xy
2

xy + yz +xz
=0⇒ xy + yz+ xz=0
xyz

⇒

yz = –xy–xz

2

x +2yz = x +yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)

A=

yz
xz
xy
+
+
(x− y )( x−z) ( y−x )( y−z) ( z−x )(z− y )

Do đó:
Tính đúng A = 1

Bài 3: Tìm giá trị ngun của x để phân thức có giá trị là số nguyên
x 3  3 x 2  11x  8
x 5
x3  3x 2  11x  8
3
3
A
x 2  2 x  1 
;
A  
   x  5 1; 3
x 5
x 5
x 5
*x  5 1  x   6; 4
* x  5 3  x   8; 2 ;  x   2; 4;6;8
A


 3x2  3
x 1
1  2 x2  5 x  5
A  3
 2

:
x 1
 x  1 x  x 1 x  1 

Bài 4: Cho biểu thức:

a) Rút gọn A .
b) Tìm giá trị lớn nhÊt cña A .
3x 2  3  x 2  2 x  1  x 2  x  1
x 1
A
. 2
3
x 1
2 x  5x  5
§K: x 1

.

x2  x  1
x 1
1
 3
. 2
2
x  1 2 x  5x  5 = 2 x  5x  5
A
1
1
1
5
25 15
5
15
2( x 2  2 x  ) 
2( x  ) 2 

2
4
16
8 =
4
8
Ta cã A  2 x  5 x  5 =
1
5
15 15
5
15 8
2( x  ) 2  
2( x  ) 2  
4
8 15 x (1)
4
8 8  x nên
Vì
8
5
max A
x
15
4 1 (2)Từ (1) và (2) suy ra
Dấu = xảy ra khi
Bi 5:

Cho các số a, b lần lợt thoả mÃn các hệ thức sau:

a 3 3a 2  5a  2011 0 , b3  3b 2  5b  2005 0 . H·y tÝnh a  b .
Tõ ®iỊu kiƯn ®· cho ta cã:
3
3
 a  1  2  a  1  2008 0 (1),  b  1  2  b  1  2008 0 (2)
Céng theo vÕ cña (1) vµ (2) ta cã  a  1

3

3

  b  1  (a  b  2) 0

2
 (a  b  2)  ( a  1) 2   a  1  b  1   b  1   2( a  b  2) 0


2
 ( a  b  2)  (a  1) 2   a  1  b  1   b  1  2  0


2
2
V× (a  1)   a  1  b  1   b  1  2

1
1
1
2
2

2
 a  b    a  1   b  1  2  0 a, b
2
2
2
Nªn a  b  2 0  a  b 2



2

 ab  1 


Bài 7: Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ 0. Chứng minh rằng: a2 + b2 +  a  b  ≥ 2.
2

 ab  1 


Ta có a2 + b2 +  a  b  ≥ 2
2

2

2
 ab  1 
 ab  1 
a  b  




 2(ab  1)
2
2
a

b
a

b




<=> a + 2ab+ b +
≥ 2 + 2ab<=>


2

2

ab  1 
ab  1 
2

0
 a  b   2(ab  1)  
 a  b 



 0
a

b
a

b



<=>
<=>
(ĐPCM)

Bài 8:
2
5  x  1 2x
 1


: 2

2 
Cho biểu thức A =  1  x x 1 1  x  x  1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A > 0.
1 x  2  2x  5  x 1 2x

2 x2  1
2
:
.

2
2
2
1 x
x  1 = x  1 1  2x 1  2x
a) KXĐ: x ≠ ± 1ta có A =
1
1
b)A > 0  1 – 2x > 0  x < 2 Đối chiếu ĐKXĐ, ta được - 1 ≠ x < 2 .
2
5  x  1 2x
 1
A 


: 2
2 
 1  x x 1 1  x  x  1
Bài 9: Cho biểu thức

a/ Rút gọn A
b/ Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
A A

c/ Tìm x để

a/ Rút gọn A
+ ĐKXĐ:

x 1; x 

1
2

2
 2 x2  1
2
 1  x  2(1  x )  (5  x)  x  1
A 
.

.


2
2
1 x

 1 2x 1 x 1 2x 1 2x
+ Rút gọn A :

b/ Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
Để A nguyên => 1 – 2x  Ư(2)
1 - 2x
-2
-1

1
2
x
1,5
1
0
0,5
Loại
Loại
t/m
Loại
Vậy x = 0
c/ Tìm x để

A A

;

Ta có:

A  A  A 0 

2
1
0  1  2 x  0  x 
1 2x
2 Kết hợp điều kiện

1
 1 x 

2
:

Bài 10: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c 0. Tính giá trị của biểu thức
 a  b c 
P  1    1    1  
 b  c  a  .

Ta có
3

a 3  b3  c 3 3abc   a  b   3a 2b  3ab 2  3abc 0

3

3
=>  a  b   c  3ab  a  b  c  0
2
  a  b  c    a  b   c  a  b   c 2   3ab  a  b  c  0   a  b  c   a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc  0





1
 a  b  c   (a  b) 2  (b  c)2  (c  a)2  0

=> 2

TH1 : Với a + b + c = 0.

 a  b  c 0
 a b c



 a   b   c  b  a c  b a  c  c  a  b  abc
P  1    1    1   
.
.
 . .

 1
b
c
a
b c a
abc
 b  c  a 
Ta có :

TH 2 : Với a = b = c . Ta có : P = 2.2.2 = 8 Vậy : P = - 1 hoặc P = 8
Bài 10: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn : x + y + z = 1.
1
1 1
M


16 x 4 y z .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Vì x + y + z = 1 nên :
1
1 1  1
1 1
21  x
y  x
z  y z 
M

 

   x  y  z  

  

  
16 x 4 y z  16 x 4 y z 
16  4 y 16 x   z 16 x   z 4 y 
2

2

x
y
16 x 2  4 y 2  4 x  2 y   2.4 x.2 y  4 x  2 y 
1 1





  .
(x, y  0)
4
y
16
x
16
x
.4
y
64
xy
64
xy
4
4
Ta có :
y z
x
z
1

1


z
4
y
z

16
x
2
Tương tự:
;
( Với mọi x, y, z > 0)
1

 x 7
 4 x 2 y  z

2


 x  y  z 1   y 
7
 x, y , z  0


4

21 1 1
49
M    1 
 z 7

16
4
2
16

Từ đó :
. Dấu “=” xảy ra khi
49
1
2
4
x  ; y  ;z 
7
7
7
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 16 khi

Q=

(

1
6 x +3
2
+ 3
− 2
:( x +2)
x +1 x +1 x −x +1

Bài 11: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện xác định của Q, rút gọn Q.
1
b) Tìm x khi Q = 3 .
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q.
Q

)

.

x2  x  1  6 x  3  2 x  2 1
( x  2)( x  1)
1
.

 2
3
2
x 1
x  2 ( x  1)( x  2)( x  x  1) x  x  1

a) Đk: x  1; x  2. Ta có:
1
1
  x 2  x  1 3  ( x  1)( x  2) 0
2
b) x  x  1 3

1
Suy ra x = -1 hoặc x = 2.So sánh với điều kiện suy ra x = 2 thì Q = 3
2

1 3 3

 x      0.

2 4 4
Vì 1 > 0; x2 – x + 1 = 
3
x2  x  1 
2
4
Q đạt GTLN  x  x  1 đạt GTNN 
4
4
1
1
 x= 2 (t/m). Lúc đó Q = 3 Vậy GTLN của Q là Q = 3 khi x= 2 .
1
Q 2
x  x 1 ;
c)


Bài 13:
Tìm x, y , z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy - 2y - 4z + 5 = 0 rồi tính giá trị của A với
A = (x-1)2017+(y-1)2017 +(z-1)2017
x2 + 2y2 + z2 - 2xy - 2y - 4z + 5 = 0 ⇔ (x - y)2 + (y - 1)2 +(z - 2)2= 0

⇔
⇔

Tính đúng
Bài 14

x− y= 0

y −1=0
z− 2=0
¿
{ ¿ { ¿ ¿¿
¿
x = y =1
z=2
¿
{¿ ¿ ¿
¿

A = (x-1)2017+(y-1)2017 +(z-1)2017=1
4

3

2

x + x −2 x −3 x−3
4
3
2
Cho P(x)= x +2 x −2 x −6 x−3
a) Rút gọn P(x)
b)Xác định giá trị của x để P(x) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
2
2
4
3
2

( x + x+ 1)( x −3 ) x2 + x+1
x + x −2 x −3 x−3
=
4
3
2
( x+1 )2 ( x 2−3)
( x +1 )2
a)P(x)= x +2 x −2 x −6 x−3 =
2
x2 + x+1 x 2 +2 x+ 1−x−1+1 ( x+ 1) x+ 1
1
b )P=
=
=
−
+
2
2
2
2
( x +1)
( x +1 )
( x+ 1) ( x +1) ( x +1)2
1
1
1 1
1
3 1 1
3 3

¿ 1−
+
= −
+
+ =( −
)2 + ≥
2
2
x +1 ( x +1) 4 x+ 1 ( x +1) 4 2 x +1
4 4
1
1
1
1
−
=0⇔
= ⇔ x+ 1=2⇔ x=1
2 x +1
x +1 2
Dấu = xảy ra ⇔

3
P(x) có giá trị nhỏ nhất là 4

khi x = 1

Bài 15
Cho a + b + c = 1 , a2 + b2 + c2 = 1 và

x y z

= =
a b c . Tính giá trị của xy + yz + xz

x y z x+ y+ z
= = =
=x + y + z (vì a+ b+c=1 )
a b c a+b+ c
.
2
2
2
2
2
2
x
y
z
x + y +z
= 2 = 2 = 2 2 2 =x 2 + y 2 + z 2
2
b
c
a +b + c
Do đó:(x+y+z)2= a
( vì a2 + b2 + c2 = 1)
⇒
⇒

x2 + y2 + z2 + 2xy +2yz + 2xz = x2 + y2 + z2
2xy +2yz + 2xz = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0

x3  3
6  2x x  3
A 2


x  2x  3 1  x 3  x
Bài 16: Cho biểu thức:
1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn A. 2. Tìm x để A  x  2 .
1.

x  1 và x 3 . Ta có
x  3   6  2 x   x  3   x  3  x  1
A
 x  1  x  3

(2điểm) +) điều kiện xác định
3

+) rút gọn A


A

x 3  3 x 2  8 x  24 x 2  8

x 1
 x  1  x  3

A

Vậy

x2  8
x 1

2

x 8
10  x
x  2 
0
x 1
x 1
 x  10 0vàx  1  0
x1


 x  10 0vàx  1  0
 x  10 Vậy x > -1 hoặc x  10 và x 3 thì A x  2
2.
A x  2 

Bài 17: Rút gọn với n là số nguyên dương
( n+1)2
1
1
1
1
22 3 2 43
1+ . 1+ . 1+

. .. . . 1+ 2
=
.
.
. . .. ..
3
8
15
n( n+2)
n +2n 1. 3 2 . 4 3 .5
2 3 4
n+1 2. 3 4
n+1 2(n+1)
¿ . . .. . ..
. . . .. . .. ..
=
1 2 3
n
3 4 5
n+2 n+2

( )( )( ) (
(
)(
Bài 18: C/m

x
x

)

)

2

 a  (1  a)  a 2 x 2  1

2

 a  (1  a )  a 2 x 2  1

không phụ thuộc vào biến x

 x  a  (1  a)  a x 1  x  ax  a  a  a x  1
x  a  (1  a )  a x  1 x  ax  a  a  a x  1
Phân thức: 
x  a  a  1  a  a  1  x  1  a  a  1 a  a  1



x  a  a  1  a  a  1  x  1  a  a  1 a  a  1
Không phụ thuộc vào x
2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2
2

2

2
Bài 19: Chứng minh rằng: Nếu c +2( ab−ac−bc )=0;b≠c ;a+b≠c

Thì:

a2 +( a−c )2 a−c
=
b2 +( b−c )2 b−c

c

2

+ 2 ( ab− ac − bc )= 0
b ≠c
a + b≠ c
⇒
¿
( a + b − c ) 2= a2 + b 2

b −c ≠0
a + b− c ≠ 0
¿
{¿ ¿ ¿
¿

Chứng minh:Ta có:
Nên: a2 = (a+ b - c)2 – b2 = (a - c).(a + 2b - c)
b2 = (a + b - c)2 – a2 = (b - c).(2a + b - c)
{

¿

a2 +(a−c )2 ( a−c )(a+2 b−c )+( a−c )2 (a−c )(2 a+2 b−2 c ) a−c
=
=
=
(dfcm )
b2 +(b−c )2 (b−c )(2a+b−c )+(b−c )2 (b−c )(2 a+2 b−2 c ) b−c

4xy  1
1
A 2
:
 2
2  2
2
2 
y  x y  x
y  2 xy  x 

Bài 20: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
b) Rút gọn A.
c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x 2 + y2 + 2x – 2y = 1,
hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?
a) Điều kiện: x  y; y 0
b) A = 2x (x+y)


c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị ngun dương của A
Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1  2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1
 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2  A + (x – y + 1)2 = 2
 A = 2 – (x – y + 1)2 2 (do (x – y + 1) 0 (với mọi x ; y)  A  2.
x  y  1 0

2x  x  y  2

+ A = 2 khi x y;y 0 
(x  y  1)2 1

2x  x  y  1

x y;y 0

+ A = 1 khi

1

x



2

y  3

2

Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng


21
x 

2

y  2  3
2
hạn: 

+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2

Bài 21: Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1.
2

2

 a  b  b  c  c  a
Tính giá trị của biểu thức: A =

2

1 a  1 b  1 c 
2

2

2

Ta có:
1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a)
Tương tự: 1 + b2 = (b + a)(b + c) và 1 + c2 = (c + a)(c + b)

 a  b

2

(b  c) 2 (c  a) 2

Do đó: A = (a  b)( a  c)(b  a)(b  c)(c  a )(c  b)

Bài 22: Cho biểu thức:

1

2
1  
10  x 2 
 x
A  2



 : x  2  x 2 
 x  4 2 x x 2 


1
b. Tính giá trị của A , Biết x = 2 .
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị

a. Rút gọn biểu thức A.
c. Tìm giá trị của x để A < 0.
nguyên.
2
1  
10  x 2 
 x
A  2


: x  2 

x  4 2  x x  2  
x 2 

Biểu thức:
1
A
x 2
a) Rút gọn được kết qủa:

1
1
1
x   x
x
2
2 hoặc
2
b)

(0,75 điểm)
(0,25 điểm)


2
⇒ A= 3

điểm)
c) A < 0
điểm)

x - 2 >0

⇔

d) A ¿ Z ⇔
{1; 3} (0,5 điểm)

2
hoặc A= 5

⇔

(0,75

x >2

−1
∈Z
x−2

⇔

(0,25
x-2

¿

Ư(-1)

x-2

⇔

¿

{ -1; 1}

⇔

x

¿

a
b
c


0
Bài 23: Giả sử a, b, c là ba số đôi một khác nhau và b  c c  a a  b
a
b
c


0
2
2
2
(b

c)
(c

a)
(a

b)
Chứng minh rằng:
a

b
c
b 2  ab + ac - c 2
a
b
c
=


+

0
a-c b-a
(a - b)(c - a)
 b-c
b-c
c-a a-b
a
b 2  ab + ac - c 2
1

2
(b
c)
(a
b)(c
a)(b
c)

(1) (Nhaân hai vế với b - c )

2
b
c  bc + ba - a 2
c
a 2  ac + cb - b 2


2
2
Tương tự, ta có: (c - a) (a - b)(c - a)(b - c) (2) ; (a - b) (a - b)(c - a)(b - c) (3)

Cộng từng vế (1), (2) và (3) ta có đpcm
Bài 24: ) Rút gọn biểu thức:
a)
b)

B=

A=

6

1
x


 
x
 

bc
ca
ab
(a  b)( a  c) + (b  c)(b  a) + (c  a)(c  b)
 6 1 
x  6 
x 


3
 
1
1
2 :   x    x 3  3 
x
x 
  

A=

(a  b)(a  c)(b  c)
bc
ca
ab


(a  b)(a  c) (b  c)(a  b) (a  c)(b  c) = …. = (a  b)(a  c)(b  c) = 1
6
2
2

2
1  3 1
1 
1

 1   3 1 
6
3 2
x  6  x   3   x  3   2
 x    (x  3 )  3(x  ) 
x
x
x
x
x 




x  
b) Ta cã:
=
;

 

6

1  6 1 


x   x  6  2
x 
x 
Tö thøc: 
=
1 
1  
1 

3 x    2  x 3  3   3 x   
x 
x  
x 
= 
3

1
1
1

 3 1  
3
 x    x  3 2  x  3   3 x  
x  
x
x
x = 
MÉu thøc: 
1
3( x+ )

x
Rót gän ta cã: B =

Bài 25:

2

1 
 3 1
 (x  3 )  3(x  ) 
x
x  

 3 1 
x  3 
x 


2


P

a) Cho x3 +y3+z3 =3xyz. Hãy rút gọn phân thức

1)

xyz
 x  y  y  z  z  x

14  4 54  4 94  4 17 4  4
 4
 4
 4
4
b) Tìm tích: M= 3  4 7  4 11  4 19  4

2)
a) Cho x = by +cz; y = ax +cz; z = ax+by và x +y + z 0; xyz 0. CMR:
1
1
1


2
1 a 1 b 1 c
1 1 1
yz xz xy
  0
P 2  2  2
x
y
z
b) Cho x y z
, tính giá trị của biểu thức:

P

x 2  x  x 1
1

2  x2 
:




x2  2 x 1  x
1  x x2  x 

3) Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P<1

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x>1.

a
3

Từ x3 +y3+z3 =3xyz chỉ ra được x + y +z = 0 hoặc x=y=z
TH1: x + y +z =0=> x+y = -z; x+z= -y; y +z = -x. Khi đó P = -1
1
TH2: x=y=z. Khi đó P = 8

Nhận xét được n4 +4 = [(n-1)2 +1][(n+1)2 +1]. Do đó:
b

1.5
điểm





4
 2 1  4 1  6
M=
2

1. 2  1

2

2



2
2


 1  8

2

  16 1  18
 1  18 1  20

1 6 1
2

2

2

2

2

 1 1
 1 20  1 401

1

1.5
điểm

2

2 điểm

Từ gt => 2cz+z = x +y => 2cz = x+y –z =>
x y z
x yz
1
2z
 c 1 


2z
2z

c 1 x  y  z
1
2x
1
2y

;

Tương tự 1  a x  y  z 1  b x  y  z
Khi đó
c

a

1
1
1


2
1 a 1 b 1 c
1 1 1
1 1 1
3
  0
 3 3
3
xyz
Từ x y z
=> x y z

4

2 điểm

Khi đó:

b

 1 1 1
yz xz xy xyz xyz xyz
3
 2  2  3  3  3  xyz.  3  3  3   xyz.
3
2
x
y
z
x
y
z
y
z 
xyz
x
ĐKXĐ: x 0 và x 1; x -1
P

5

1 điểm

2

a

x
Với x 0 và x 1; x -1, rút gọn P ta có P = x  1

b

x2
P<1 <=> x  1 <1

1điểm


2

1 3

x  
2
2

x
x  x 1
2 4

 1 0 

0 
0
x 1
x 1
x 1
 x  1 0  x 1
Vậy với x<1 và x 0 và x -1, thì P<1

1 điểm

x2
x2  1 1
1
1

x 1 
x  1 
2
x 1
x 1
x 1
Ta có : P = x  1
x  1

c

Khi x>1 thì x-1>0. Áp dụng bđt Cosi, ta có :
« = » xảy ra khi x =2. Vậy GTNN của P bằng 4 khi x = 2

Bài 26

2 2



2
 y 2  yz  z 2

x
3
2
y z
A 


 x  y  z
.
x
yz 1 1 1  1  1


y z  yz xy xz
b). Rút gọn biểu thức
2 2



2
 y 2  yz  z 2

x

3
2
y z
A 


 x  y  z
.
x
yz 1 1 1  1  1

y z  yz xy xz


y




2

 z 2  yz

  y  z  x

x y  z

3

 3xyz 2 x  y  z 

2
.
 x  y  z
x yz



2 y 3  y 2 z  yz 2  y 2 z  yz 2  z 3  x3  3xyz
x yz



2 x 3  y 3  z 3  3 xyz
x yz

  x  y  z

  x  y  z

2

2

Mà x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx )




2 y 3  y 2 z  yz 2  y 2 z  yz 2  z 3  x3  3xyz
x yz

  x  y  z

2

Do đó kết quả trên được viết thành :




2  x  y  z  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx
x yz
2

2

  x  y  z

2

2

2

2

2

= 2x + 2y + 2z – 2xy – 2yz – 2zx + x + y + z + 2xy + 2yz + 2zx
2

2

1
2
x 1
, dấu

2

= 3(x + y + z )

(xyz  0; y + z  0 và x + y + z  0).
1
1
x4  4
2
x ;z 
x
y
1
1
2
4
x  2
x  4
x
x và x 1 . Hãy tính z theo y.
Bài 27: a). Cho
x2 

b).Cho xy + xz + yz = 1 và x,y,z khác 1 . Chứng minh rằng:
x
y
z
4 xyz



2
2
2
2
1 x 1 y 1 z
1 x 1 y2 1 z2







.

1
1
2
x2  2
2

2
x 1  2 x ; y  1 
x  1  x2
y 1 
1
1
1
1
x2  2
x2  2
x2  2
x2  2
x
x
x
x
a). Ta có:
y 1 y  1
1

x4  4
y 1
y  1 y 1 y 2 1
4
x

x  z 


1

y 1 y  1
y 1
2y
4
x  4

x
y  1 y 1
x2 

b). Ta có:
x

y

1 x

2

z




2
2
1 y 1 z

2

2

2

2

2

x(1  y )(1  z )  y(1 x )(1 z )  z(1 x )(1 y )

2

2

2

2

(1 x )(1 y )(1 z )

Phân tích tử thức của phân thức trên, ta có:
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2

2 2
x – xy – xz + xy z + y – x y – yz + x yz + z – x z – y z + x y z
= xyz(xy + xz + yz) + y(1 – xy – yz) + x(1 – xz – xy) + z(1 – xz – yz) (1)
Theo giả thiết xy + yz + xz = 1, nên xz = 1 – xy – yz ; yz = 1 – xz – xy ;
xy = 1 – xz – yz. Thay vào (1), ta được tử thức bằng 4xyz. Từ đó ta có được kết
quả của bài tốn.
x

 a  b  c  a  c  b
b2  c 2  a 2
;y
2bc
 a  b  c  b  c  a

Bài 28: Cho
và b + c - a 0; bc 0; a + b + c 0.
3
Tính giá trị của biểu thức P = (x + y + xy + 1 ) .
b). Chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau thì :
b c
c a
a b
2
2
2






 a  b  a  c  b  c  b  a  c  a  c  b a  b b  c c  a
3
3
3
a) Ta có (x + y + xy + 1) = [(x +1) + y(x + 1)] = [(x + 1)(y + 1)]

 b  c  a  b  c  a
b2  c2  a 2
 x 1 
2bc
2bc
Vì
 a  b  c   a  c  b   y 1  a  b  c   a  c  b    a  b  c   b  c  a 
y
 a  b  c  b  c  a 
 a b c  b c  a
x

2



2

a2    b  c    b  c   a2



4bc
 a  b  c  b  c  a

 a  b  c  b  c  a
3
3
P  x  y  xy  1   x  1  y  1 

3

vậy

  b  c  a  b  c  a

4bc
3

.
 2 8
2bc
 b  c  a   b  c  a  


( bc  0, a + b + c  0 và b + c – a  0 ). Vậy P = 8.


b).Ta có:

b c
1
1



 a  b  a  c   a  b  a  c 

tương tự, ta có:

;

a b
1
1
c a
1
1


;


 c  a  c  b  c  a  c  b  b  c   b  a   b  c   b  a 

Cộng theo từng kết quả tìm được, suy ra điều phải chứng minh.
2
2
Cho hai số không âm a và b thoả mãn a  b a  b . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:

a
b

a 1 b  1

2
2
2
2
+ Ta có a  1 2a; b  1 2b  a  b  2 2a  2b  a  b 2
S

1 1
4
 
+ Chứng minh được với hai số dương x, y thì x y x  y
1 
4
 1
S 2  

1
 2 
a

1
b

1
a

1

b


1


+ Do đó

+ Kết luận: GTLN của S là 1, đạt được khi a b 1 .