de tham khao

Một hướng (đề nghị tham khảo) để giải câu 50
của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo năm 2018.
----------------------------Đề tham khảo năm 2018 mơn Tốn , Bộ đưa bài tốn khá lạ với học sinh phổ thơng, vì vậy dù
lạ nhưng buộc học sinh phải tìm hiểu, vì là đề mẫu để tham khảo.
1

Câu 50: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên
1

x

2

f ( x)dx 

0

1
3

 0;1

thỏa mãn

2

f (1) 0,  f '( x) dx 7
0

1

. Tính

f ( x).dx
0

7
7
C.
B.1
A.4
5
4
Giải: Bài toán giải quyết đơn giản nếu vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopski :
 a; b . Khi đó ta có:
“Cho f(x) và g(x) liên tục trên
A.

2

b
b
b

2
2
 f ( x) g ( x) dx  f ( x)dx.g ( x ).dx
a
a
a


Dấu đẳng thức xãy ra khi f(x) = kg(x) “
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski với giả thiết đã cho ta dễ dàng tìm được f ’(x)
------------------------------------1

Để có f ‘(x) ta dùng phương pháp tích phân từng phần để tính
u '  f '( x)
u  f ( x)

 

x3
2
v '( x)  x
v 
3

1

1

x3
x
f
(
x
)
dx

f ( x) 


3
0
0
2

1

x

2

f ( x) dx

0

1

1

x3
1 1
1
1 1
1
f '( x) dx   f (1)  x 3 f '( x)dx   .0  x 3 f '( x )dx

3
3 3
30
3 3

30
0
1



x

3

f '( x)dx  1

0

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai hàm số x3 và f ‘(x):
2

1
1
1 3

2
3 2

1

x
f
'(
x

)
dx

x
dx
.
  
 f '( x)  dx
  

0
0
0

7
x 1
 1
.(7) 1
7 0
2

Dấu đẳng thức xãy ra nên :f ‘(x)= kx3.
1

1

1

 x7  1
6

x
f
'(
x
)
dx

1

x
.
kx
dx

1

k
x
dx

1

k
.
   1  k  7



 7 0
0

0
0
Ta tìm k:
Vậy
7
f '( x )  7 x 3  f ( x)  x 4  C
4
7
f (1) 0  C 
4
7
7
 f ( x)  x 4 
4
4
3

3

3

và


1

Do đó:

1

 7

f ( x)dx   4 x
0

4

0

7
7
  dx 
4
5
--------------------------------------------Các bài toán tương tự:
1

Bài 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên
1

x

3

0

37
f ( x )dx 
180
A.

 0;1

thỏa mãn

3
4
2
f (1)  ,  f '( x)  dx 
5 0
9

và

1

. Tính

 f ( x)  1 .dx
0

2
30

B. 

2
30

C. 

1
10

A.

1
10

Giải
1

Dùng phương pháp tích phân từng phần tính
u  f ( x)


3
v '( x)  x

1

x4
x
f
(
x
)
dx

f ( x) 


4
0
0
3

f ( x)dx

0

1

(để xuất hiện f ‘(x))

1

2
9

f '( x )dx 

Ta được : 0
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai hàm số x4 và f ‘(x):
2

2
1
1
1


2
 2  4
4 2


x
f
'(
x
)
dx

x
dx
.
 f '( x)  dx


 

 

 9 0
0
0

4 x9 1  4  4


.  

81 9 0  9  81

Dấu đẳng thức xãy ra nên :f ‘(x)= kx4.
Ta tìm k:
1
4
x f '( x)dx 
0

2

9

1
4
4
x .kx dx 
0

1
 x9  1
2
2
2
 k x 8 dx   k .     k  2
9
9
9
 90
0

Vậy
f '( x)  2 x 4  f ( x ) 

2 5
x C
5

3
f (1)   C 1
5
2
 f ( x )  x 5  1
5
1

1

x4
37 1
1
37 1 3 1 4
f '( x )dx 
 f (1)  0  x 4 f '( x )dx 
 . 
x f '( x)dx

4
180 4
40

180 3 5 4 
0
0

1
4

3

u '  f '( x)


x3
v



4

1

x

x

1

1

2

2
2
 f ( x)  1 dx   x 5 1  5  dx   x5  dx 

5
5 
30

0
0
Do đó: 0



2


2
 
f (0) 0,  f '( x)  dx 
0;


4
0
Bài 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên  2  thỏa mãn
và

2


s inx. f ( x)dx 

4
0
A.

1

. Tính

 f ( x)  1 .dx
0


4

B.


2

C.2
Giải

A.1


2

Dùng phương pháp tích phân từng phần tính
u  f ( x)


v '( x) s inx

s inx. f ( x)dx
0

(để xuất hiện f ‘(x))

u '  f '( x)

v  cos x


2



 2
s inx. f ( x).dx  cos x. f ( x) 2   cos x. f '( x).dx

0
0 0


 
 cos   . f
 2

2
 

cos
0.
f
(0)

cos x. f '( x).dx
 

 2
0


2




cos x. f '( x).dx
4
0

2



cos x. f '( x)dx  4

Ta được : 0
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai hàm số cosx và f ‘(x):
2


 2
 2
2

2
2
  


cos
x
.
f
'(
x
)
dx

cos
x
dx
.

  f '( x )  dx

  


 4 0
0
0



2

2  
 .
4 4 4
Dấu đẳng thức xãy ra nên :f ‘(x)= kcosx.
Ta tìm k:



2





4
4




 
cos
x
.
f
'(
x
)
dx


cos
x
.
k
cos
x
.
dx


k
cos 2 xdx   k .   k 1



4
4
4
4 4

0
0
0

Vậy
f '( x) cos x  f ( x) sin x  C
f (0) 0  C 0
 f ( x ) s inx

2

Do đó:


2

f ( x).dx s inx.dx 1
0

0