Dap an de thi chuyen Su Pham vong 2

LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN CHUYÊN LỚP 10/2018
THPT CHUYEN DHSP HA NOI
Võ Quốc Bá Cân — Nguuễn Lê Phước - Nguuễn Mạnh Linh

1. Đề thi
Bài 1. Cho các số thực x, y khơng âm thỏa mãn điều kiện
(x +1)

+1)=2.

Tính giá trị của biểu thức
P=

vgx?+y2?- /2(x2 + 1)(y?+l)+2+xy.

Bài 2. Cho các số thực khơng âm x, y, z thay đối thỏa mãn
x?+y2+z?+x2y?+y2z2+z?x?

=6.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
@=x+y+z.
Bài 3.
a) Cho a, Ð là hai số nguyên dương phân biệt. Xét biểu thức
_

(a + b)?

~~ a + ab? —a2b
— 53
Chứng minh rằng M không thể nhận giá trị nguyên.

b) Cho z, Ð là hai số nguyên dương, đặt
A=(a+b)?—2a?,

B=(a+b)
- 2Ù7.

Chứng minh rằng 4 và 8 không đồng thời là số chính phương.
Bài 4. Cho tam giác 4BC có ba
ngoại tiếp tam giác BĨC cắt các
trịn ngoại tiếp tam giác BĨC lây
song song với OP cắt PC tại Q.

góc nhọn, 4B < AC và nội tiếp đường trịn (Ĩ). Đường tròn
đường thắng 4? và AC theo thứ tự tại D và E. Trên đường
điểm P sao cho AP vuông góc với PC. Đường thắng qua
Chứng minh rằng

a) PB = PQ.
b) Ó là trực tâm của tam giac ADE.

c) ZPAO = ZOAC.


2

Lời giải đề tốn chun lóp 10/2018 - THPT chun ĐHSP Hà Nội

Bài 5. Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta thấy rằng:
nếu hai người có số người quen băng nhau thì lại khơng quen nhau. Gọi Š là số cặp người quen

nhau trong cuộc họp (cặp người quen nhau không kể thứ tự sắp xếp giữa hai người trong cặp).

a) Xây dựng ví dụ để § = 870.

b) Chứng minh rằng S < 870.

2.

Lời giải và bình luận các bài tốn

cr

¬

Bài 1. Cho các số thực x, y khơng âm thỏa mãn điều kiện
(x +)

4+ 1) =2.

Tính giá trị của biểu thức

P=yx?+y?-

`

v2œ?+1)0?+l1)+2+xy.

/

Lời giải. Đặt Š = x + y và 7 = xy. Từ giả thiét, tacd S + T = 1, suyra

x? + y? — Vv2(x?+1)(y?+1)+2= §?-27 +2-

v2[—7)2
+ %3]

= §?-2(1— S)+2— /2(S2 + S?)
= $2,

Từ đó ta có
P=S+T—I.

Vậy giá trị của biểu thức P can tinh 1a 1.

O

£

¬

Bài 2. Cho các số thực không 4m x, y, z thay đối thỏa mãn

x?+y?+z?+x?y? + y2z? + z2x? =6.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
@=x+ty+z.
`

Lời giải.

~

Giá trị lớn nhât của P: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
x? y? + 1 > 2xy,

y?z? +l>2yz,

z?x”-+1>2zx.

Cộng các bất đẳng thức trên lại theo về, sau đó cộng hai về của bất đẳng thức thu được với
x? + y* + z7, ta được

(x+y+z)Từ đó suy
ra

y”zZ+z?x?+3 =9.

O <3.

Mặt khác, dễ thấy dấu đăng thức xảy ra khi x = y = z = 1 nén taco két luan max O = 3.


Lời giải đê toán chuyên lớp 10/2018 - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

3

Giá trị nhỏ nhât của P: Ta sẽ chứng minh Ó > 4⁄6 với dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi

x = 46, y =z
2xy

+

=0. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

x*7y?


+

y?

4+ x7y?


774

x7y?

+

y2z7

+

27x?

= 6,

từ đó suy
ra
xy<

J7—-1

<2.

Chứng minh tương tự, ta cũng có
yZ<2,

ZX <2.

Do đó, ta có

O?=x”+y

+z”7+2xy+2yz+2zx

hay

>x”+y“+z”+x?y

+

y”z7+z7x?

=6,

Ĩ > V6.

Vậy min Ĩ = 46.

LÌ

Bài 3.
a) Cho a, Ð là hai số nguyên dương phân biệt. Xét biểu thức
_

(a +b)?

— g3 -+ gb2 — q2b — b3`
Chứng minh rằng M⁄ không thể nhận giá trị nguyên.

b) Cho zø, Ð là hai số nguyên dương, đặt
A=(a+b)?—2a*,

B=(a+b)—
2b7.

Chứng minh rằng 4 và 8 khơng đồng thời là số chính phương.

Lời giải. a) Ta có biến đổi

_

(a + b)?

— (a—b)(a2 +b?)

Giả sử M 14 s6 nguyén, khi dé tacé (a + b)* chia hét cho a* + b?. Suy ra 2ab chia hét
cho ø2 + b2. Điều này vô lý do
0<2ab=a*+b*-—(a—b)*?


Vậy M không thể là số nguyên.
b) Giả sử tôn tại các số nguyên duong a, b sao cho (a + b)? — 2a? va (a + b)* — 2b?
đều là số chính phương. Trong các cặp số nguyên dương (z, b) như vậy, ta xét cặp sao cho
a nhỏ nhất. Đặt
(a + b)? — 2a?

= x”,

(a + b)? — 2b?

= y?


4

Lời giải đề tốn chun lóp 10/2018 - THPT chun ĐHSP Hà Nội

VỚI x, y nguyên dương. Ta có
(a+

b)* —x*

= 2a’

nén a + ở và x cùng tính chẵn lẻ, suy ra (2 + b)2 — x7 chia hết cho 4. Từ đó ta có 22
chia hết cho 4, suy ra ø chia hết cho 2.

Chứng minh tương tự, ta cũng có Ð chia hết cho 2, suy ra x, y chẵn. Từ đó, ta có

a b\

2

2

2(4)

2)

=

(2)

\2)

’

a b\

\2

2

(3)

2)

=Œ@}

\2

đều là số chính phương. Do đó cặp số ($. 2) cũng thỏa mãn yêu cầu. Điều này mâu thuẫn
với cách chọn cặp (z, b). Vậy với mọi z, b nguyên dương, các số 4. Ư khơng thể đồng
thời là số chính phương.
L]
Bài 4. Cho tam giác
Đường tròn ngoại tiếp
và E. Trên đường trịn
PC. Đường thẳng qua

48C có ba góc nhọn, 4B < AC và nội tiếp đường trịn (Ĩ).
tam giác Ð ĨC cắt các đường thắng 4 8 và AC theo thứ tự tại D
ngoai tiép tam gidc BOC lay điểm P sao cho 4P vng góc với
Ư song song với OP cat PC tai OQ. Chứng minh rằng

a) PB = PQ.
b)

Ó là trực tâm của tam giác

c)

ZPAO

4A DE.

= ZQAC.

Lời giải. a) Ta có “#PQ = ZBOC vaZPQB = ZOPQO = ZOBC
PBO va OCB dong dang (g-g). Ma OB = OC néntaco PB = PQ.
A

` `*

``
` =.

`

`“

““-..se..eeen=e oor

.=°

.
. °
- -

of

néncac
tam giác

Lời giải đê toán chuyên lớp 10/2018 - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
b) Tac6 ZOBE = ZOCE = ZOAC, ma ZOBA = ZOAB
suyra EA = EB. Laicé OA = OB nén OE L AB.

5

nén ZEAB

= ZEBA. Tu đó

Chứng minh tương tu, ta cing co OD L AC nén O la truc tam cua tam giac ADE.
c) Gọi 7 là giao điểm tht hai cia CP va (O). Tacéd ZBPC = ZBOC
PT = PB.Ma PB = PQ nén PT = PO. Ma ZAPO = 90° nén
LPAQ

= ZPAT

Từ đó, ta có “PAO
Bài

= 90° — ZATP

1
= 90° — 2⁄40C

= 90° — ZABC

= 2ZBTC

nén

= ZOAC.

= ⁄QAC.

L]

5. Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta

thấy rằng: nếu hai người có số người quen bằng nhau thì lại không quen nhau. Gọi Š là
số cặp người quen nhau trong cuộc họp (cặp người quen nhau không kể thứ tự sắp xếp
giữa hai người trong cặp).

a) Xây dựng ví dụ để S = 870.

b) Chứng minh rằng $ < 870.
`

Lời giải.

J

a) Chia 45 người thành 9 nhóm, nhóm thứ ¡ có 7 người (l

< 7¡ < 9). Ta xét ví dụ

khi mỗi người ở một nhóm đều quen tất cả mọi người ở nhóm khác, nhưng khơng quen ai ở chính
nhóm mình. Nói cách khác, mỗi người ở nhóm ¡ quen đúng 45 — ¡ người khác. Khi đó
1

S = 7-444

2-43

+---+ 9-36)

= 870.

b) Goi a; 14 s6 ngudi quen ding i người khác (I < ¡ < 44). Nếu một người P quen i ngudi
thì anh ta khơng quen ai trong ø; người này, nghĩa là P quen nhiều nhất 45 — a; ngudi, hay
i < 45 —a;,suyraa;
S

l

=

5

(a1

<

264i

—

2

€ 45 —ï.

Ta có ai + --- + đaa
+ 2a

l

l

(360i

+

+

36a;
+

đa

-''

+

+

45 và

44a44)

---

+---

=

+
+

36a3¿
đaa)

+

+
437

37434;
+

+

2438

--- +
+

44444)

+--+

8a44)

1
<3(36:45+1:8+2-7+
+ 8-1)
= 870.
Khang định được chứng minh.

LÌ