HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ CÂU KHÓ TRONG ĐỀ
Câu 1: Có 25 học sinh được chia thành 2 nhóm A và B, sao cho trong mỗi nhóm đều có nam và nữ. Chọn
ngẫu nhiên từ mỗi nhóm một học sinh. Tính xác suất để hai học sinh được chọn có cả nam và nữ. Biết rằng
xác suất chọn được hai học sinh nam là 0,57 .
A. 0, 23
Chọn D.
B. 0, 59
C. 0, 02
D. 0, 41
*
Gọi số học sinh của 2 nhóm A, B lần lượt là x, y x y 25, x, y .
2 x 12
xy
13 y 23 .
Khơng mất tính tổng qt giả sử
1 m x 1
m, n
1 n y 1 .
Gọi số học sinh nam của 2 nhóm A, B lần lượt là
mn
57
0,57 mn
xy xy 100
xy
100
Ta có xác suất chọn được hai học sinh nam là
.
Từ điều kiện suy ra x 5, y 20 mn 57 m 3, n 19 .
2 19 3 1
. . 0, 41
Vậy xác suất chọn được hai học sinh có cả nam và nữ là: 5 20 5 20
.
Câu 2: Cho dãy số
un
xác định bởi
3
I
2
B.
u1 1
un 1 2un 5
. Tính giới hạn
I lim
un
2 1.
n
I
1
2
A. I 1
C. I 3
D.
Chọn C.
*
*
u 2un 5 un 1 5 2 un 5
Ta có n 1
. Đặt vn un 5, n vn1 2vn , n .
n 1
n
*
n
*
Khi đó vn là dãy số nhân với v1 6 , công bội q 2 vn 6.2 3.2 n un 3.2 5, n
I lim
un
3.2n 5
lim
3
2n 1
2n 1
y
x 3
x m đồng biến trên khoảng 0;1 .
C. m 0 hoặc 1 m 3
D. m 0
Câu 3: Với giá trị nào của m thì hàm số
A. 1 m 3
B. m 3
Chọn C.
m 0;1
3 m
y'
2
x m
0;1
3 m 0
Ta có
. Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
thì
y f x
f x
Câu 4: Cho hàm số
có đạo hàm
trên và
f x
đồ thị của hàm số
cắt trục hồnh tại điểm a, b, c, d
(như hình vẽ). Xác định số khẳng định đúng trong các khẳng
định sau:
y f x
; a
1. Hàm số
nghịch biến trên khoảng
1 b
x
y g x f 1 2 x
2
2. Hàm số
đạt cực tiểu tại
Max f x f c ; Min f x f d
3.
2
A.
Chọn B.
a ;d
a ;d
C. 0
B. 1
Từ giả thiết ta có BBT của hàm số
x
a
b
y f x
c
D. 3
.
d
m 0
1 m 3
+ 0
f ' x
-
0
+
0
-
0
+
f x
Nhìn vào hình vẽ ta thấy:
b
c
d
f ' x dx f ' x dx f ' x dx 0 f a f b f c f b f c f d
a
b
c
f c f a f b f d Max f x f c ; Min f x f d
a ;d
a ;d
1 a 1 c
1 2 x a; c x
;
g ' x 2 f ' 1 2 x
y g x
2
2
Ta có
hàm số
đạt cực tiểu tại
Vậy 1., 2. sai và 3 đúng.
2x 4
y
x 1 có đồ thị C , điểm A 1; 4 . Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị
Câu 5: Cho hàm số
C tại 2 điểm phân biệt B và C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A ?
A. m 0
B. m 0, m 2
C. m 2
D. m 2
Chọn A.
2x 4
x m x 2 3 m x m 4 0 *
Phương trình hoành độ giao điểm là: x 1
Điều kiện để có 2 giao điểm là PT(*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 m
x1 x2 m 3
B x1 ; x1 m , C x2 ; x2 m
x x m 4
Khi đó hai giao điểm là
, với 1 2
AB AC 0
m 0
AB
AC
ABC vng cân tại A
2
x 0;1
Câu 6: (VDT)Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để phương trình 1 x a 1 x có nghiệm
.
1
0 a
2
A.
B. a 1
C. 0 a 1
D. 0 a 1
Chọn C.
3x 2 4 x 1
2
f
'
x
0, x 0;1
1 x
3
PT a
f x
2 1 x
1 x
f x nghịch biến trên 0;1 f x 0;1 , x 0;1 . Vậy 0 a 1
để phương trình:
Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
duy nhất.
m 1/ 4
1
m
m 0
4
A.
B.
C. m 0
Chọn A.
x
x
x
x
5 1 m
D.
x
5 1 2 x
m
1
4.
5 1
5 1
5 1
PT 1
t
m
1
0
2
t 2 t m 0 2
2
2
. Đặt
, PT trở thành
.
PT (1) có nghiệm duy nhất khi PT (2) xảy ra các trường hợp sau:
1
m
4
TH1: (2) có nghiệm kép dương.
TH2: (2) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó chỉ có 1 nghiệm dương. m 0
có nghiệm
log 2a b 8log b a. 3 b
8
3 . Tính giá trị biểu thức
Câu 8: Cho a, b là hai số thực dương khác 1 và thỏa mãn
P log a a 3 ab 2016
.
A. P 2016
B. P 2017
C. P 2019
D. P 2018
Chọn D.
8
8 3t
8
log 2a b 8log b a. 3 b t 2 .
t 2
t
log
b
a , từ giả thiết ta có:
3
3 t
3
Đặt
.
4 1
P log a a 3 ab 2016 t 2016 2018
3 3
Do đó
Câu 9: Cho hai số thực a, b thay đổi lớn hơn 1 thỏa mãn a b 30 . Gọi m, n là hai nghiệm của phương
2
log a x 1 2 log a b log a x 1 0
trình
. Tính S a 2b 30 khi mn đạt giá trị lớn nhất.
A. S 50
B. S 70
C. S 65
D. S 60
Chọn B.
log a m log a n 1 2 log a b log a ab2 mn ab2
Theo vi – ét ta có:
3
b b
a22
b b
mn ab 2 4 a. . 4
4000
3
2 2
Theo AM GM ta có:
b
a a 10, b 20 S 70
2
Dấu bằng xảy ra khi
.
5
x 2
I
dx a ln 2 b ln 5 c
x
1
Câu 10: Biết
với a, b, c . Khẳng định nào sau đây đúng:
A. a b 0
B. a 2c
C. a 2b 2
D. a c b
Chọn B.
5
2
5
x 2
2
5
2 x
x 2
I
dx
dx
dx 2 ln x x 1 x 2 ln x 2 4 ln 2 2 ln 5 2
x
x
x
1
1
2
a 4, b 2, c 2 a 2c
1
f 2 3x dx a
f x
Câu 11: Hàm số
liên tục trên thỏa mãn 1
. Tìm a để
A. 3
B. 3
C. 1
Chọn A.
Đặt t 2 3x dt 3dx , khi x 1 t 5, x 1 t 1
1
Từ giả thiết:
a
5
5
f x dx 9
1
.
D. 1
5
1
1
f x dx f x dx 3
3
3 1
0; 2 và có f 1 1 . Gọi H là hình
xác định, dương và nghịch biến trên
1
y
y f x
f x
phẳng giới hạn bởi đồ thị
,
, hai đường thẳng x 0; x 2 . Công thức tính diện tích hình
H là:
2
2
2
2
11 f x
2 f x 1
1 f x 1
2 1 f x
dx
dx
dx
0 f x
1 f x
0 f x
1 f x dx
A.
B.
2
2
2 f x 1
2 1 f x
dx
0 f x
0 f x dx
C.
D.
Chọn B.
Câu 12: Cho hàm số
y f x
1
f x
, x 0;1
f x
f x 1 f 1 , x 0;1
0 f x 1 f 1 , x 1; 2
f x 1 , x 1; 2
f x
Từ giả thiết
. Do đó chọn B.
2
f 1 x x 2 3 f x 1
f x
Câu 13: Hàm số
có đạo hàm đến cấp hai trên
thỏa mãn:
. Biết rằng
2
f x 0, x
, tính
A. 4
Chọn A.
I 2 x 1 f " x dx
0
.
C. 0
B. 4
D. 8
f 2 0 4 f 2
f 2 f 0 4
2
f 2 1 x x2 3 f x 1
f
2
4
f
0
x
1,
x
1
Từ giả thiết
,thay
ta có:
2
2 f 1 x f ' 1 x x 3 f ' x 1 2 x. f x 1
Lấy đạo hàm hai vế ta lại có:
2 f 0 f ' 0 4 f ' 2 2 f 2
2 f ' 0 f ' 2 2 0
f ' 0 2
2 f 2 f ' 2 4 f ' 0 2 f 0
f ' 0 2 f ' 2 2 0
f ' 2 2
Thay x 1, x 1 ta có:
2
2
2
I 2 x 1 f " x dx 2 x 1 f ' x 2 f ' x dx 3 f ' 2 f ' 0 2 f 2 f 0 4
0
0
0
Do đó,
Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z 2 2i ; M’ là điểm biểu diễn
cho số phức
z'
3i
z
2 . Tính diện tích tam giác OMM’.
A. S OMM ' 4
Chọn B.
B. S OMM ' 6
z 2 2i z'
C. S OMM ' 3
15
S OMM '
2
D.
3i
z 3 3i M 2; 2 ,M ' 3; 3 OMM '
2
vuông tại O
1
S OMM ' OM .OM ' 6
2
z 2 3i 5
Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
P x z 1 i y z 3 5i
với x, y là các số thực dương.
2
2
x2 y2
5x2 5 y 2
2 5x2 5 y 2
A.
B.
C.
D. x y
Chọn C.
z a bi a, b M a; b
C tâm I 2; 3 ,
Ta gọi
là điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường trịn
bán kính R 5 .
Xét các điểm
Khi đó
A 1; 1 , B 3; 5 C
và AB 2 5 2 R .
P x z 1 i y z 3 5i x z 1 i y z 3 5i xMA yMB MA
2
P yMB
2
2
MA MB AB
MB AB 0
x
Ta ln có:
2
2
y
P
2 Py
2 1 MB 2 2 MB 2 AB 2 0 *
x
x
x
2
Để phương trình
2
*
2
có nghiệm thì:
' * 0
y2 2 y2 P2
P 2 1 2 AB 2 0
4
x
x
x
P yMB
x
P2 y2
2 2 1 AB 2 0 P 2 AB 2 x 2 y 2 P AB x 2 y 2 2 5 x 2 5 y 2
x x
SA ABC
Câu 16: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a ,
và SA a 3 . Gọi
M là trung điểm BC , gọi P là mặt phẳng đi qua A và vng góc với SM . Tính diện tích thiết diện của
P và hình chóp S .ABC ?
a2 6
a2 6
a2 3
a2
A. 4
B. 2
C. 4
D. 2
Chọn A.
BC SAM SBC SAM
AH SM AH SBC
Dễ thấy
theo giao tuyến SM. Hạ
.
Qua H kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại I, K.
thiết diện là tam giác AIK.
a 6
SA AM a 3 SM a 6, AH
2 và H là trung điểm SM
Ta có
1
1
a2 6
IK BC a SAIK AH .IK
2
2
4
ABC
.
A
'
B
'
C
'
Câu 17: Cho hình lăng trụ
có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vng góc của A ' lên
ABC trùng với tâm O của tam giác ABC . Một mp P chứa BC và vng góc với AA ' , cắt hình lăng trụ
a2 3
ABC. A ' B ' C ' theo một thiết diện có diện tích bằng 8 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
a3 6
A. 12
Chọn B.
a3 3
B. 12
Gọi I là trung điểm BC
AI
a3 3
C. 6
a3 6
D. 6
a 3
a 3
, AO
2
3
a2 3
a 3
HI
P
8
4
Giả sử
cắt AA ' tại H
Trong tam giác AA ' I ta có AI . A ' O HI . AA ' AA ' 2 A ' O
a
a3 3
2
2
2
AA ' AO A ' O A ' O
VABC . A ' B 'C ' A ' O.SABC
3 . Vậy
12
Lại có
S HBC
P cho góc xOy 600 . Đoạn SO a vng góc với mặt phẳng . Các điểm
Câu 18: Trên mặt phẳng
M , N chuyển động trên Ox, Oy sao cho ta ln có: OM ON a . Tính diện tích của mặt cầu S có bán
kính nhỏ nhất ngoại tiếp tứ diện SOMN .
4 a 2
a2
8 a 2
16 2
a
. 3
B. 3
C. 3
D. 3
A
Chọn A.
Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN , E là trung điểm SO và I là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật
2
2
EOKI . Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOMN và bán kính R IO OK OE .
MN
MN 3
2OK OK
0
3
Ta có sin 60
2
a2
2
OM ON
MN 2 OM 2 ON 2 2OM .ON .cos 600 OM ON 3OM .ON a 2 3
2
4
Lại có
a
a 3
4 a 2
RMin
MN Min
S
3 . Vậy diện tích của mặt cầu S là:
2 , khi đó
3
Dễ thấy
P : x 2 y 2 z 3 0 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 10 x 6 y 10 z 39 0 . Từ
P kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S tại điểm N sao cho MN 5
một điểm M thuộc mặt phẳng
Câu 19: Cho mặt phẳng
. Biết rằng M thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính đường trịn đó.
A. 5
B. 3
C. 6
D. 11
Chọn B.
S có tâm I 5; 3;5 , bán kính R 2 5 . Hạ IH P IH 6 .
2
2
2
2
2
2
Ta có IM IN MN 45 MH IM IH 9 MH 3 khơng đổi.
Vậy M thuộc đường trịn cố định tâm H, bán kính bằng 3.
A m; 0; 0 , B 0; 2m 1; 0 , C 0; 0; 2m 5
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
khác O. D là
ABC , sao cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện
một điểm nằm khác phía với O so với mặt phẳng
bằng nhau. Tìm khoảng cách ngắn nhất từ O đến tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
10
A. 10
B. 2
C. 6
D. 11
Chọn B.
D m; 2m 1; 2m 5
Ta chứng minh được
và tâm I mặt cầu ngoại tiếp ABCD là trung điểm OD .
1
10
2
2
2
OD
10
R
OI
OD
Min
Min
Min
OD 9m 24m 26 3m 4 10 10
2
2
Ta có
