CHUYEN DE MAT PHANG TRONG KHONG GIAN

Mục
1

MẶT
II

lục
PHĂNG

KHƠNG

GIAN

Lýthuyết............Ặ Q
và và v v và
1.1.1
Phương trình mặt phẳng..................Ặ.Ặ
Ốc

11.2

11.3
1.1.4
1.1.5
1.1.6
12

TRONG

Một số điều lưu ý. .

. TQ

va

Vị trítương đối của hai mặt phẳng ..................
Vị trí tương đối của đường thắng và mặt phẳng ...........
Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu..............
Khoảng cách

11.7
GOe
2...
Modtsd baitodn...

........0.0.0
0.0.20 000000 2 eee

QO Q Q Q Q Q
2...

v v v v v v v TT v v.v
na aa
aaAäAT

kg

ga

2

2
2

3

3
3
4
5

9D
6

Lập phương trình mặt phẳng biết điểm đi qua và một vtpt..........
Lập phương trình mặt phẳng qua Ä⁄ song song với phương của hai véctd .
Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng
...............

6
7
13

Tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng

.............

15

chiếu của một đường thẳng trên một mặt phẳng .........
về góc giữa hai mặt phẳng.................Ặ

tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ........
vị trí tương đối của hai mặt phẳng .................

19
21
23
29

Tìm hình chiếu của một điểm trên một đường thắng

Tìm
Bài
Bài
Bài

hình
tốn
tốn
tốn

Mot s6 bai khdc ve mét phang....

2...

.............

..0202020202000000048

17

30


Chương

1

MAT PHANG TRONG KHONG
GIAN
1.1
1.1.1

Lý thuyết
Phương

* Moi vécto # #

trình mặt

phẳng

=

.

2

.

O c6 phuong vuong goc véi mat phẳng (P), được gọi là véctơ pháp

tuyến của mặt phẳng (P).

,

* Mặt phẳng (P) song song với giá ( phương ) của hai véctơ #, b khơng cùng phương.
z

Khi đó (P) có véctơ pháp tuyên là TỶ —

a,

—>

b |

* Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (9; yo; zo) nhận
TỶ = (A; B;C) lam véctơ pháp tuyến là

Đen

A(x — 20) + B(y — te) + C(z — 20) =0

Z|
j

* Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(a;0;0), 8(0; b;0), Œ(0;0; e) là

—# + 9— +—Z =I1 (phương trình đoạn chắn5 )
a

b

Cc

* Cho (P): Az+ Bụ+~Cz+ D =0. Khi đó (P) có một véctơ pháp tuyến là TỶ = (4; B;Ớ).
* Đặt biệt:

L =

e (2z) :z =0 có véctơ pháp tuyến là k = (0;0;1)
e (Oyz) : 2 =0 c6 vécto phaép tuyến là ¿ = (1;0;0)

e (Oxz) : y = 0 có véctơ pháp tuyến là ÿ = (0; 1:0)
e Mặt phẳng 4z + By + D = 0

song song truc Oz

e Mặt phẳng 4z + Cz + D = 0 song song truc Oy
e Mat phang By + Cz + D = 0

song song truc Ox

e Mặt phẳng 4z + By = 0 chita truc Oz
e Mat phang Ax + Cz = 0 chita truc Oy


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề mặt phẳng

e Mat phang By + Cz = 0 chita truc Ox

1.1.2

Một số điều lưu ý

e a

Lv

oenp,v cing phuong. Ta c6 thé chon np = V
—>

(P)// Q) © n¿,nộ cùng phương. Ta có thể chọn nủ = NO
(P)
p hươ ng volsia@
P) song song song
so
(P) song song phương với

¬ nà = |, ở)—>

b

eyid =nÈ= [di BÀ
NIH
Than.
mắc.
ie omelet]

(P

.

P)

(P)
P)

—>

np

L

b

e Cho mặt cầu (S) tâm I va A € (9). Mat phang (P) tiép xtc (S) tai A thing =
e Nếu (P) song song với hai đường thang dị và dạ khơng song song thinp =
1.1.3

Vị trí tương đối của hai mặt

Cho hai mặt phẳng

phẳng

(P):

Aiz+ Bịu+ Ciz+ Dị =0

(Q):

Asz + Boy + Coz + Do = 0

khi đó

e (?) cắt (Q) © Ai: Bị:Ci
A
°

(PE(Q&

7

A

Bb
=F

B

# A::

a
=

:: C:

DY

GH,

GQ

° (3/09) @ 7 = B= &
e (P) L(Q) So np.ng =0
1.1.4

6 A, Ag + Bi By + CiCy = 0

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt

Cho (P): Av + By +Cz+D=0va (A):
Ta có

a

phẳng

= 2 R=

(P) có véctơ pháp tuyến nỷ = (4; B;C)
A có véctơ chỉ phương ux = (a;b;e) và qua điểm Äo(%o; yo; 20)

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

3

Cc

Al

id,, ta]


Trường THPT Dương Háo Học

Chun đề mặt phẳng

khi đó

uz Lng
A/)©

tn

© ACc(P)

e Al (P)

Ban

¢ (P)

7

Azo + Byo + Cz + D #0

HA

L nộ

°

Aa+

M

€ (P)

Azo

Bb+Cce=0
+

Bụo

+

Czo+

D=0

—>

1Ä cùng phương np <> [uÄ,nÿ] = 0

e A cắt (P) = Aat+ Bb+Cc
#0

* Cach khac

Xét hệ phương trình
# = #ọ
+ dđÍ

y = yo
+ ot
Z=2%+ct

Az+ By+Cz+D=0
Suy ra
A(œo+af)+ B(o+bf)+C(zo+ct)+ D = 0 © (Aa+ Bb+Œe)t+
Azo+ Buo+ŒCzo+D

e A cắt (P) khi (*) có nghiệm duy nhất
e A//(P) khi () vơ nghiệm

e AC (P) khi (*) vơ số nghiệm
1.1.5

Vị trí tương đối của mặt phẳng

Cho

và mặt

cầu

(S): (w—a)?+

(y— 0)? + (2-0)? = R?

(P): Ax+ By+Cz+D=0
Ta có (5S) có tâm J(a;b;c) ban kinh R
xét

d= a(l,(P)) =! Aa+ a+ Bb+Cc+D
Bb+Cc+D|
J A2 + B2 + C2

Khi đó

e (P) khơng cắt (S)

d> đ

e (P) tiếp xúc (S) tại M <> d= đ

e (P) cắt (S) ©d< ñR
Khi (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn giao tuyến có
+ Tâm đường trịn là hình chiếu của I trên (P).
+ Ban kính đường trịn là r =

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

2 — d?.

4

= 0(*)

Trường THPT Dương Háo Học

1.1.6

Khoảng

Chuyên đề mặt phẳng

cách

a. Khoảng cách từ điểm 1⁄(zo;o; zạ) đến mặt phẳng (P) : Az+ Bụ+Cz+D
_

d(M, (P))
b. Khoảng

cách giữa hai mặt

| Azo

phẳng

+

Byo

+

Cz

+

Jt BEC

song song.

Cho hai mặt phẳng song song (P) : Az + Bụ + Cz +
(Q):
khi đó

D|

Dị =0 và

Az+ Bụ+€Cz+ Dạ =0

LDị — Dà|
((P). (Q)) == See

d((P),
c. Khoảng

cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

song song

Cho mặ phẳng (P) : Az + Bụ + Ơz + D = 0 song song với đường thang
(A)

—ữg

A):

a

Y — Yo

=

Z — Z0

=

b

C

Khi d6 dugng thang A qua diém M(x; yo; 2) và

d(A, (P)) = d(M, (P))
1.1.7

_

| Azo

+

Bụo

+

Cz

VA2+ Ba C2

+

DỊ

Góc

a. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng

(P):Aja+

Bry t+ Ciz+ D, =0

(Q)

Boy

: Agx

+

Dat y = ((P), (Q)). Khi đó

|nj.nó|

cosy =

_

In|.|hó|

+

Coz

+

Do

=

0

|AyAy + By By + C{C3|

VA‡+ B}+ C?.V/A‡+
BB+ C2

* Luu ý: 0 < ((P),(Q))
< 90°

b. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P) : Az + By + Cz + D =0 và đường thẳng
(A)

sĩin

“`

.# do
a

=

lnÈ.uÄ

In|luj|

_

J—
b

=

o_ 2
C

|Aa + 8b + ŒC4|

VA?+B2+C2Va2+b2+e

* Luu y: 0 < (A, (P)) < 90°
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

29

5

= 0 là


Trường THPT Dương Háo Học

1.2

Một

Chuyên đề mặt phẳng

số bài toán

Bài tốn 1.2.1.
TỶ = (A; B;C)

Lập phương trình mặt phẳng qua Ä/(#o;1o; zo) có véctơ pháp tuyến

Lời giải.

Phương trình mặt phẳng qua Ä/(zo; Øo; zo) có véctơ pháp tuyến rt = (A; B; C) la

A(x

— 2%) + Bly
— yo) + C(z
— zp) = 0
Bài tốn 1.2.2. Lập phương trình mặt phang (P) biét
a) (P) qua ÄM/(—1;3; —2) có véctơ pháp tuyến TỶ = (2;3;4).
b) (P) qua Ä⁄(—1;3; —2) song song mặt phẳng (Q):

+ 2+ z+4=0.

c) (P) qua M(1;0;2) va vng góc với đường thắng AB với A(2;3;5), 8(1;—2;4).
2

3

d) (P) qua M(0;5;4) va vu6ng géc véi duéng thang (A) : 5 = ; = —

.

e) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thắng MN với Ä/(2;—1;3), N(—10; ð;3).

Lời giải.
a)

(P):
) Œ)

qua M(—1;3; —2)
ng

©

Sa

24+

4

3y+4z7+1=0

b) (P) qua M(—1;3; —2) song song m&t phang (Q): ô+2y+2+4=0.
(P):

t

M(1;3;2)

es t

M(-1;3; 2)

vtpt np = ng = (1:2; 1)

(P)//(Q)

âđ z+2u+z3=0

c) (P) qua M(1;0;2) và vng góc với đường thắng AB với A(2;3;5), 8(1;—2;4).
(P):

tứ

M(1:0;2)

(P) L AB

° os

M (1;0; 2)

ulpt
mp = AB = (—1;—5;—1)

©

#ø+ðU+z-Š=0

ran
3
#_
U_
đ) (P) qua Ä⁄(0;5; 4) vàSn
vng góc với đường
thăng
(A): 9š
M(0;5;4
(P)LA

zsr

M (0; 5;4

utpt np = ax = (9;5; 1)

‘|

« 9z+ðy-+z— 29 =0

L
`M

e) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN với Ä⁄/(2; —1;3), N(—10;5;3).
Gọi I là trung điểm MN. Nên /(—4;2;3).
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

6


Trường THPT Dương Háo Học

(P)

Chuyên đề mặt phẳng

qua I(—4; 2;3)

—>

utpt rnp = MN = (—12;6;0)

tụ

& —12z
+6 — 60 =0
Ly
Bài toán 1.2.3. Trong hệ trục tọa d6 Oxyz, lap phương trình mặt phẳng (P) qua điểm
AM(2;—1;—1) đồng thời M cũng là chân đường vng góc kẻ từ O đến mặt phẳng (P).

Lời giải.

Theo giả thuyết ta có M là chân đường vng góc kẻ từ O đến mặt phẳng (P), nên

OM L (P)
Suy ra

P):

tà

M(2:—1;—1)

—

©2(z—2)—(+l)—(z+l)=D<©

2z—-—-z—É=D

Bài tốn 1.2.4. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q) : 2#—3—2z—6

và tiếp xúc với mặt cầu (5) : #2 + Ÿ + z2 — 2z + 6u — 7 =0

Lời giải.

Do (P) song song với (Q)

= 0

: 2# — 3 — 2z — 6 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) :

z2 + ˆ + z?— 2z + 0u — 7 =0

Ta có mặt cầu (S) có tâm J(1; —3;0) va ban kinh R = V17

Do (P)//(Q) nén (P) : 2a — 3y— 22+ D=0
Mặt khác (P) tiếp xúc (S) nên

WUT, (P)) = Re P1=8

= jon

an

———
Vit

VF

a

J—=Vl7<© |ll+

11+ D=17

11+ D=-17

|

es

A

D|=1ï
|

D=6
D = —28

Vậy có hai phương trình mặt phẳng cần tìm là
(Đ) : 2z — äu — 2z++6=0 và (Đ;) : 2z — 3ä — 2z — 28 =0
Bài tốn

1.2.5. Lập phương trình mặt phẳng qua Ä/(#o;1o; zo) song song với phương

cua hai vécto a,

b

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

ĩ


Trường THPT Dương Háo Học

Lời

Chuyên đề mặt phẳng

giải.
l i

M (20; Yo; 20)

@

] = (A; B:C)

vipt mp = [@,

A(x A(x ——

xo)+

Bly Bly ——

C(z—
2) =0
Cz — 2)

yo)+

Bài tốn 1.2.6. Lập phương trình mặt phẳng biết
os

a) (P) qua điểm
3;2; —1).

M(2;3;2)

song song véi phuong

,
cla hai vécto

ad

=

(2;1;2),b

=

) (P) qua ba diem 4(2; —1;3), B(4;0; 1), C(—10; 5; 3).

c) (P) qua hai điểm A B và song song với đường thẳng CD với A(4;0;6), B(5; 0; 4)
C(1; 1 6; 2), D(5;
1; 3).
—-l

y-T7

4) (P) qua Ä7(6;—1;2) và chứa đường thẳng (đ) : “ —“

Ta

2z-3

e) (P) qua hai điểm A(3;1;—1), B(2; —1;4) và vng góc với mặt phẳng (Q) : 2z —
dz

-1=0.

L

f) (P) chứa ứa đường ng thẳngthang (3) : —=
1

—8

z—3

— Ì

2

ri
——=

`

~

z

ae

+

~

ph ở
(Q) :
và vng góc vớiới mặt mặt phăng

5

“ety+2z-T7T=0.
»

ø) (P) chứa hai đường thắng (d)) : “ >

= —

-

—9

1

“x=74+3t

và (d›): 4 =2+2t
z=—l_-ởi

Lời giải.

a) (P) qua điểm A⁄/(2;3;2) song song với phương của hai véctơ @ ` =
(3;2; —1).

ai
M(2;3;2)

utpt np =

b) (P) qua "
Ta c6 AB =
Suy ra

Fz. D

em n AG

—1;3), a

2) va AC

(ax

=

2

0; 1), C(—10;

5; 3).

—12; 6; 0)

a
Á a=[Ap.Ac]

ạ

e) (P) qua hai điểm A,B và song song với đường thẳng

CD với A(4;0;6), B(5;
0: 4)

C(1;6; 2), a
Ta có AB

Suy

.

(P):

ra

me

-

) va CD

_
qua A(4;0; 6)

—>_ (inca.

utpt np = (10;9; ð)

B

—

S®=z+2/u+2z—6=0U

ne

|

C
C

yw (ell

=

= (—10; —9; —5)
©

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

=

—16=0

= (12; 24; 24)

qua A(2; —1;3)

P):

S©—=ðz+8
Prey

= (—5;8;1)

(2: 1;2),Đ

foo

10z + 9 + 5z — 70 =0

8

⁄Z


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề mặt phẳng

Ta có đường thẳng d qua điểm N(1;7;3)
va vtep @ = (2; 1; 4)

,

Suy ra MN = (—5;8; 1), do đó I#,MN
qua M(6; —1;2)

| đai

= fa. MN

=

=

d) (P) qua A⁄(6;—1;2) và chứa đường thẳng (đ): ——

Lo

= (31; —22: 21)

mm]

_—

Es

= (31; —22; 21)

ib

<> 3la — 22y + 2lz — 250 = 0

h
M

e) (P) qua hai điểm A(3; 1; —1), B(2;—1;4) va vudng g6c vdi mat phang (Q) : 2x — y+
oz -1=0.

Ta có 4 = (—1;—2;:5) và nộ = (2; —1;3)
Suy ra

P

fd, AB] = (—1;13;5)
qua A(3;1; —1)

:

%

_—>

_—>

AB

vtpt np = lng, A

©—z+

_

np=(2:-1:3

| = (—1;13;5)

lồy+5z—ư=0

A

9

f) (P) chtta dng thang
2

(d)

: “

J

—

8

. 5

—

3

và vng

góc với mặt

phăng

(Q):z++z—7=0.

Đường thẳng (d) đi qua điểm A⁄(0;8;3) và có véctơ chỉ

phương đ = (1;4;2)
Mặt phẳng (Q) có véctơ pháp tuyến nỗ = (1;1;1)
Ta có
[a.nd]

(P):

tụ

= (2:1; —3)

M(0;8;3)

n
vtpt np = [a@,nd]
= (2; 1; -3)
©2z+—3z+1=0

“x=7+3t

ø) (P) chứa hai đường thang (Aj) : “ 5 -

—

=Z ri 5 va (As): 4 y=2+2t
z=-l1-3

Nhận

xét: hai dudng thang A, va A, c&t nhau.

Dudng thing A; qua M(1;—2;5) c6 vtep af = (2; —3;4)
Dường thang A, c6 vtcp a3 = (3; 2; —3)
Suy ra
(P)

(at, a3] = (1; 18; 13)

tụ

M(1:—2;5)

utpt np = [aÌ, aš] = (1:18; 13)
@a2+

l8y + l13z — 30 =0

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

9

“7
=

2


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề mặt phẳng

Bài toán 1.2.7. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm E(4;1;1), F(3;2;4) va
song song với trục +

Lời giải.
Ta cé EF = (—1;1;3) va @ = (1;0;0).
Suy ra

EF, 7] = (0;3;-1)
|} Qua EF,F

Œ):

thư

Qua #(4;—1;1)

»

oe

7 = (EF, 7) = (0:3;—1)

> 3y-2-2=

Bài toán 1.2.8. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm I(2;6;—3) va song song véi
các mặt phẳng tọa độ.
Lời giải.

* Mặt

phẳng

(P) qua điểm /(2;6;—3)
Qua

1(2;:6;—3

(P)//(Oxy)

* Mặt

phẳng

)

~>

và song song với (Ozÿ/)
: z = 0

1(2:6; — —3

Qua a

vtpt
m =

)

k = (0;0;1)

©Sz+ưä=0

(P) qua điểm /(2;6; —3) va song song véi (Oyz)
: x =0
©z—2=0

* Mặt

phẳng

(P) qua điểm /(2;6;—3)

mf

Bài tốn 1.2.9.

a) Chứa trục Ĩz
b) Chita truc Oy
c) Chita truc Oz

1(2; 6; —3)

mà 1(2;6; —3)

pi = 7p (00)

(P)//(Oey)

Lập phương
và qua điểm
va qua điểm
va qua điểm

va song song véi (Oxz): y = 0

99760

trình mặt phẳng (P)biét
!/{4; —1; 2).
J(1;4; —3).
K (3; —4;7).

Lời giải.

a) (P) Chứa trục Óz và qua điểm /(4;—1;2).

Ta co OF= (4;—1;2) va
@ = (1;0:0)
Suy ra
(P):

(Of,7] = (0;2:1)
a

I(4; —1; 2)

(P) Chita truc Ox

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

© (P):

In

I(4; —1; 2)

utpt TỶ = GÌ, 7

10

= (0;2;1)

©2/+z=0
a

Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề mặt phẳng

b) (P) Chita truc Oy va qua điểm J(1;4; —3).

Ta co OF = (1:4;—3) va J = (0:10)
Suy ra

P):

Œ)

4

OF, 7] = (8:0:1)
Qua J(1; 4; —3)

th

<>

Chita true Oy

Qua J(1; 4; —3)

(P):

©Sðz

vtpt 7 = Od, 7] = (3;0;1)

+

ove

z—

c) (P) Chita trục Óz và qua điểm K (3; —4; 7).
Ta c6 OK = (3;—4;7) và k = (0;0;1)
Suy ra

4,

OK, k| = (—4;-3;0)
P):

Œ)

Qua K (3; —4;7)

tà

Bài toán

Chita truc Oz
1.2.10.

<>

(P):

ứ)

Qua K (3; —4;7)
—

utpt

-—>

= |OW, k] = (—4;—3;0)

© 4r+3

=0

”

Cho hai đường thẳng chéo nhau

Ai:

— 2
2

— 2
“=——ˆ=-TwA;:
—]
—]

— 2
—]

— Ì
—“=——='"
2

— Ư
2

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thắng As và song song Ấy
Lời giải.
Đường thắng A¡ có vtep ai = (2;—1;-1)

.

Dường thang A, qua M(2;1;5) c6 vtep a3 = (—1;2;2)

at

Suy ra

a1, a3] = (0; —3; 3)

M

(py 4 P) 9 As
° tơ

Ẫ

(P)//AI

P

qua Ä⁄/(2;
1; 5)

se

A,

utpt np = [a;, a3] = (0; —3; 3)
oy-—2+4=0

Bài tốn 1.2.11. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm Ä⁄(3; —1; —5) và đồng thời
vng góc với hai mặt phẳng @}) : 3# — 2u + 2z + 7 =0 và (R) : 5z — 4u+3z+1=0

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

11


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề mặt phẳng

Lời giải.

ind,ni

—

+———————=-=

Suy ra

(2; I; —2)

Qua M(3; —1;—5)

Bài tốn 1.2.12. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu

(S9): +? +

? + z? — 10+ + 2 + 26z + 118 = 0

va song song

1

x

45
2

UỤÙ —

—8

1

Z

2413
2

`

Va

2

1+ dÍ
U

1

z=8

Lời giải.

Mặt cầu (S) có tâm /(5; —1; —13) và bán kính it = V 7ï.

Dường thang A, c6 vtcp af = (2; —3;2)
Đường thẳng As có vtcp a = (3; —2;0)
Suy ra

lai, 62] = (4; 6; 5)

Do (P) song song vdi A; va A» nén

(P) có vtpt nở = [ai, ai] = (4; 6; 5)

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng
(P):

4z+6/u+5z+

D=0

Vì (P) tiếp xúc (S) nên

A(1.(P)=R+L—?L>PÌ - vn
VTï

s|—ð1+ DỊ =7
—51+D=77

—514+D=-77

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

~”|
12

D = 128

D=—26

P

2t

Bl

Mặt phẳng (Q) có vtpt ng = (3; —2;2)
Mat phang (R) c6 vtpt ng = (5; —4;3)


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề mặt phẳng

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm (2) : 4#-+6y-+5z+
128 = 0 và (Đ›) : 4z+Øy+5z—
26 = 0
Bài tập tương tự.
Bài 1. Lập phương trình mặt phẳng biết.
.?
`
Ae
.
+
a) Qua diem Ä⁄/(1;2;—3) và song song với phương hai véctơ
(4; —1; 2).

—>

đ

= (2;1;3),

—?

b =

b) Qua ba diém A(0; 1; 2), B(—3; 4; 1), C(1; 5; —2)

c) Qua A(1; 2;3) song song với (Q): z — 4 — z+ 16=0

Bài 2. Cho bốn điểm A(5;1;3), 8(1;6;2),C(5;0;4), D(4;0; 6).
a) Chứng minh ABCD

là một tứ diện.

b) Lập phương trinh mat phang (ACD) va (BCD).

e) Lập phương trình mặt phẳng qua cạnh 4? và song song véi CD.
Bài 3. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(2;1; —1) và vng góc đường thẳng BC
với (—1;0; —4),C(0;—2; —1)
Bài 4. Lập phương trình mặt phẳng (P) nhận điểm A⁄(2;—1;—2)
góc của góc tọa độ trên mặt phẳng (P).

là hình chiếu vng

Bài 5. Lập phương trình mặt phẳng qua hai điểm A(2; —1;4), B(3;2;—1) và vng góc
với mặt phẳng z + +2z—3=0

Bài 6. Lập phương trình mặt phẳng

a) (P) qua điểm A(1;0;5) và song song với (Q) : 2# —

b) (Q) qua ba điểm Ø(1;—2; 1),C(1;0;0), 2(0;1;0).

+ z— 17 =0.

c) Tinh góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bài 7. Lập phương trình mặt phẳng qua A(1; —1; 1), ö(2;0;3) và song song với trục Ĩz

Bài tốn 1.2.13. Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tìm giao điểm II của mặt phẳng (P) : Az + Bụ + Cz+ D = 0 và đường thắng A
= Zg + 0Í

y=vytbt

,teER

Z=2%+ct

Lời giải.

* Cách 1:
- Thế ø = #ọ + af;
=
phương trình theo t.

to + bf; z = zạ + c vào phương trình mặt phẳng (P), ta được

- Giải phương trình ta được giá trị t.

- Thế giá trin t và phương trình đường thẳng A ta được tọa độ giao điểm H.
* Cách

2:

- Chuyễn phương trình đường thẳng A về dạng chính tắc
A:

⁄# — #0 _J— 10 _ Ý— Z9

a

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

b

13

C

:


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề mặt phẳng

- Tọa độ giao điểm H của A và (P) là nghiệm của hệ phương trình

L— 2X
—
0_.Jj—
40
a
b
Y¥~ J0 _ #”~ 9
b
C

bx — ay = bxo — ayo
© 4 cy — bz = cyo — 62

Ayz+ By+Cz+D=0

Bai toAn

Ar + By +Cz=—D

1.2.14. Tim giao điểm II của mặt phẳng (P) : 3z + ðy — z — 2 = 0 và đường
z—=l12+4i

thắng A: 4 =9+3i

CER

z=—1-+t

Lời giải.
* Cách 1:

Thế z = 12+ 4i;

=9 +3;

z = 1+

vào phương trình mặt phẳng (P) ta được

3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) -(1 +t) -2=0St=-3
Vậy tọa độ giao điểm của (P) và A là H(0;0;—2)

* Cách 2:

19

Taco A: =

9

=”

4.

1

-

3

.

1

Tọa độ giao điểm H của (P) và A là nghiệm của hệ phương trình
a-12

4

y-9

3

(+ — 12

z-1

38a + by —z -—2=0

4

Lo

3

1.2.15.

Trong

1

[3a + 5y2-2=0
fx
=0
=0

[z=

toỏn

=

41-3_z-l

Sâ

Bi

9

&

3ứ 4y =0

Ây32=6

4ứ + 0U z=2

=> H(0;0;2)

2

h truc toa dd Oxyz,

cho điểm A(3;—2;—2)

và mặt

phẳng

(P):z——z~+1=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, vng góc với (P) biết
(Q) cắt hai trục Óy,Óz tại hai điểm M va N sao cho OM = ON.

Lời giải.

Gọi nỗ là vipt của mặt phẳng (@).

Mặt phẳng (Q) cắt hai trục Óụ, Óz tại A/(0; ø;0), N(0;0; b) phân biệt sao cho W
nen

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

la| =lb|

| “=° —b
Qqg=

14

= OM

Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề mặt phẳng

* 'Irường hợp: ø = b thi MN

= (0;—a;a)//#= (0;—1;1).

Qua A(3; —2; —2)
—1;1)-1)
==“(0(1:1:
(Q): 4 (Q)//v
(Q)//nŠ

Jf

Qua A(3; —2; —2)
ig g)
utpt
n6 = [w,np]
= (2;1;1)

wtete-2=0

* Trudng hop: a = —) thi MN = (0; -—a; —a)//@ = (0;1;1).
Qua A(3; —2; —2)

"

(Q)//imb = (15-151)

(Q):

(Q)//#

=

(0;1;1)

op

oo foe

A

dc

5

HD

nh

=O

Sey-z=0

trường hợp nay (Q) cat hai truc Oy, Oz tai M(0;0;0), N(0; 0; 0).

Vậy có một mặt phẳng cần là (Q):2z-+#+z—2=0
Bài tốn

1.2.16. Tìm

hình chiều của một

điểm trên một

mặt phẳng

Tìm hình chiếu 7 của điểm Ä⁄/(zo;o; zo) trên mặt phẳng (P) : Az+ Bụ+Œz+

Từ đó suy ra điểm

đối xứng với M qua (P)

Lời giải.

1. Xác định điểm 7

* Cách 1:

M

- Lap phương trình đường thẳng
A.

:

Qua M(x; yo; Zo)

A 1 (P)
4# — #0 _ J—

Qua M (20; 0; Zo)

>

vtcput

|

= np= (A; B;C)

P

J0 _ +7 *0

A
B
C
- Khi đó J = An(P). Ta có hệ phương trình
Az+ By+Cz+D=0
mm...

Az+ By+Cz+D=0
J—#o_
A

U_—

B

Ùo_

2

Œ

20

-

Av+ By+Cz+D=0
=<

Ba — Ay = Bry — Ayo
Cy
— Bz = Cyo — Bz

* Cách

A
Ụ — 10

r=
©

4=

B

B
_ Z — Z0

C

=> (x;y;2)

—

2:

- Gọi I(z;;z) là hình chiếu của Ä⁄ trên (P).
- Suy ra

Mi

= (x — 20; Y — yo: 2 — 20) va
NP = (A; B;C)

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

lỗ

D =0.


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề mặt phẳng

- Khi đó ta có

I(x;y;z) € (P)
MT L (P)

Az + By+Cz+D=0

I (x;y; 2) € (P)
phương na
MT cùng
U

š

Ye

A

1 —#ọo _

U— 10

CyỤ —Bz
z =CyYo—B Z0

=
aU C

B
(

C

B

Az~+ By+Cz+D=0

Bụ+ Œz + D=0

[Ar+

8 0 __ yy 0 _ 2-2 0

—

=S1;;z)

© 4=
2

2. Xác định điểm N

- Do điểm N đối xứng với ă qua 7 nên I 1a trung diem MN.
- Từ đó ta có
#4 TẰN

#J=—————
2

#N

YM + YN

nn

=

32#I

—

#j

=> { UN = 2U]
— YM

zu + ZN

Zn = 22]
— Zu

ty =>

Bài tốn 1.2.17. Tìm hình chiếu 7 của điểm Ä/(1;4;2) trên mặt phẳng (P) :z +

z—1=0. Từ đó suy ra điểm Ñ đối xứng với Ä⁄/ qua (P)

Lời giải.

* Tìm điểm ï

- Lap phương trình đường thẳng

:

Qua M(1; 4; 2)

=

A 1 (P)

Qua M(1; 4; 2)

ly

vtepu = np = (1;1;1)

=

x-l

1

y-4

1

- Khi đó J = An(P). Ta có hệ phương trình

(x-1l

z—l1_

LƠ

0-4

1

z++z—1=0

2-2

1

—4

1

1.

|

Ị

6j(0-4_2-2

[2 = 0

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

œdpy-z=2

\2+0+z—1=0

fe = —1
@iy=2

16

#—U=

=> I1(-1;2;0)

cỏ

z++z=1

2-2

1

+


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề mặt phẳng

* Tim điểm Ñ
Ta có
LN

=

227

— /ÙNJ

—

2.(—1)

—l=_—ð

= N(-3;0;—2)

UN = 2U T— Uw„ =22—4=0
ZN = 2Z¡ — Z„„= 2.0— 2= —2
Bài tốn

1.2.18. Tìm

hình chiếu của một

Tìm hình chiếu 7 của điểm Ä⁄(z„/;;za¿)

7

C

điểm trên một

đường thẳng

trên đường thẳng A :

*0 Te dé suy ra điểm N déi xttng v6i M qua A

“—0
a

_-ð —

=

Lời giải.

1. Tìm điểm 7

* Cách 1
- Lập phương trình mặt phẳng (P)
(P)

:

Qua M(au; ym; Zu)

>

(P)LA

© az + Du +cz +: D=

- Khi đó 7=(P)ñA.
#—#o

°
Qua M(au; ym; Zu)
—>

—>

utpt np = ux = (a; b;c)

x

NM=-.....-

)

7

|

is

|

0

Ta có hệ phương trình

Y-Y

(#—#o
_ U— 10

%-%

a
b
a# + bụ + cz+ D =0

C

a

ei

b

¥ 7

_#— Z0
b
C
Lax + by + ez + D=0

bx — ay = bx — ayo
S&S

(cy — 02 =cyo
— b%
ax + by +cz =—D

⁄

©4u=

=©

ÏI(z;0;z)

Lz
* Cách 2:
# = Zg + at

- Ta có À: 4 =1o
+ bí
Z= zo+Cỉ

- Do I € A nén I(x + at; yo + bt; Zo + ct)
- Suy ra
MI

-N

= (xo — au + at; yo — yur + Ot; 29 — zu + ct) ve ux

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

17

= (a;b;c)


Trường THPT

Chuyên đề mặt phẳng

Dương Háo Học

- Khi
đó ta có

MI LA

MÌ Le MÌu„à =0
S©a(#o — #x + at) + b(yo — yu + bt) + c(% — zu + ct) =0
©(aŸ + b + c7)t + a(to — ty) + (yo — ys) + (20 — zu) = 0

et=-— alto — Xz) + (Yo — UM) + C(#o — Zu)
g2 + bŠ + c2

- Vay I(xo + at; yo + bt; zo + ct)

2. Xác định điểm N

- Do điểm

- Từ đó ta có

đối xứng với Ä⁄ƒ qua 7 nên I là trung diem MN.
#4 TẰN

#¡==—————
2

YI

#N

_ YM 7 YN

=>

a

Zu

=

2#†

—

#1

yn = 2yr
— yu
Zn

+ ZN

#†==—————

=

227

—

Zu

2

Bài tốn
—

|

“—=r

Z

2

2

1.2.19. Tìm hình chiêu 7 của điểm M(1;0;0) trên đường thăng A :
2

“

Z

Từ đó suy ra điểm N đơi xứng với Ä⁄ qua A

Lời giải.

1. Tìm điểm /

* Cách 1:
P):

P)

Qua M(1; 0; 0)

ĐH

Qua M(1; 0; 0)

=

©z+2Uu+z—l1=0D

vipt np = trả = (1;3;1)

7

Khi đó 7=(P)đnA. Ta có hệ phương trỡnh

a-2 y-l1l_z
i
2
1

+2u+z1=0

(2_

L2
eÂy7l_2
2

0-1

2z=3
40-2z=I

â

1

z-+ 2+

2+2/u+z1=0

(

3
c= =

eo

4u=0
`

* Cỏch 2:



Z=_~

=1
1
2

z=2+t

Ta cd A: 4 y=1+ 2t
z=t
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

18

S:0—=

¬x(05-1
3

1

z =1

—

2

=


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề mặt phẳng

Goi 1(2+ t;1+ 2t;t) c A. Khi đó

MỈĨ = (1+t;1+9t;0) và nÀ = (1;9;1)
- Khi đó ta có

MI LA MÌ L

MÌ=0

©l++2(1+2)+#=0

St =—

3

Vay I ( =:0;—=
ay

(5

?

2

1
›)

2. Tìm điểm N

- Do điểm N đối xứng với ă qua 7 nên I 1a trung diem MN.
- Từ đó ta có

r=

#j

+

3
ty =2.5-1=2

y =

=> 4 yn =20—-0=0

oy = ZutzZz
tN
Bài tốn

1.2.20. Tìm

=> N(2;0;-1)

1
ew =2(-3)-0=-1

hình chiều của một

đường thẳng trên một

mặt phẳng

—#0 _ W—10 _ #—Z ˆ trên mặt phẳng (P) :
Tìm hình chiếu của đường thẳng A : “
a

Az+ Pu+Cz+D=0

Lời giải.
* Cách

b

1:

- Dường thắng A qua ÄM(#o; o; zg) có vtep d=

- Xác định điểm A⁄ là hình chiếu của M trén (P)
- Khi đó hình chiếu của A trên (P) là

(d) : (ons

Mã

at, ne]

vtcp ug = [UA, NP

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

19

(a; b; c)

C


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề mặt phẳng

* Cách 2:
- Lay hai điểm A, N thuộc A.

- Tình hai điểm 7,7 là hình chiếu của A⁄/, N trên (P).
- Khi đó hình chiếu của A trên (P) là đường thẳng d qua
hai điểm J, J

,
2
—
Bài tốn 1.2.21. Tìm hình chiêu của đường thang A : “
phẳng (P) : 2z —

1

+ 2z+11=0

=1"

1
2

~7

— 2
5
trên mặt

Lời giải.
- Dudng thing A qua M(1;—1;2) c6 vtcp @ = (1;2;3)
- X4c dinh diém M’ lA hinh chiéu cia M trén (P)
°

M (1; —1;2)

ae

(Ai):

dL (P)

e-l

oytl

2

tà

M(1:—1;2)

vtcp ta, = np = (2; -1;2)

2-2

-l1

2

Tọa độ điểm 4” là nghiệm của hệ phương trình
(œ—]Ìl

œ—l1_

+l_

2

-1

z2

2% —-y+2z+11=0

2

+1]

2

—]

@iytl

2-2

=]

2

(22—-t†2z+11=0
(„+ 2

=

—1

x

= 4 2y+7=0

© 4 =l

(22 —y+2z2=—11

Z

Suy ra M’(—3; 1; —2)

Khi đó hình chiéu cia A trén (P) la
(d)

:

Qua M'(—3; 1; —2)

- lnk,ñồ
=( 4-5)

* Bài tập tương tự.

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

20

a £8

OT

_ yA!

z+2

TT§