Giải đề số 20 năm học 2021 2022 group giải toán toán học

Câu 1.

ĐỀ TOÁN SỐ 20 NĂM HỌC 2021-2022 GROUP GIẢI TỐN TỐN HỌC
ax + b
Cho hàm số y =
có đồ thị như hình vẽ
cx + d
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ab  0; ad  0.
B. ad  0; bd  0.
C. bd  0; bc  0.
D. ab  0; ac  0.

Câu 2.

Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh 2a. Đường cao của hình nón là
A. h =

Câu 3.

a 3
.
2

B. h = a 3.

C. h = 2a.

D. h = a.

Số giao điểm của đồ thị y = x3 − 2 x 2 + 3x − 2 và trục hoành là

A. 1.

B. 3.

C. 0.

D. 2.

Câu 5.

3x + 2
có tất cả bao nhiêu tiệm cận.
2x +1 − x
A. 4.
B. 2.
C. 1.
Trong các hình sau đây, có bao nhiêu hình được gọi là hình đa diện?

D. 5.

Câu 6.

A. 2.
B. 4.
C. 3.
n
Trong khai triển (a + b) , số hạng tổng quát của khai triển là.
A. Cnk +1a n − k +1b k +1.

D. Cnk a n − k b n − k .

Câu 4.

Câu 7.

Đồ thị hàm số y =

2

B. Cnk a n − k b k .

Tìm số hạng đều tiên của cấp số nhân ( un ) với công bội q = 2, u8 = 384.
A. u1 = 6.

Câu 8.

B. u1 = 12.

1
C. u1 = .
3

D. u1 = 3.

Trong khai triển (1 − x ) , hệ số của số hạng chứa x 3 là
11

A. C118 .
Câu 9.

C. Cnk −1a n +1b n − k +1.

D. 3.

B. C113 .

D. −C113 .

C. C115 .

Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?

A. y =

x+3
.
2+ x

B. y =

2x +1
.
x−2

C. y =

x +1
.
x−2

D. y =

x −1
.
2x + 2


Câu 10. Cho cấp số cộng ( un ) với un = 4n − 3. Tìm cơng sai d của cấp số cộng.
A. d = 4.
B. d = −4.
C. d = 1.
Câu 11. Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều cạnh a bằng
A. 4 3a 2 .

B. 2 3a 2 .

Câu 12. Tập xác định của hàm số y = x
A. 0; + ) .

3

D. d = −1.

C. 6 3a 2 .

D. 8 3a 2 .

C. ( −;0 ) .

D. ( 0; + ) .

là

B. ( −; + ) .

Câu 13. Đặt a = log 3 4, khi đó log16 81 bằng
2a
3
2
a
.
.
B.
C. .
D. .
a
2
3
2a
Câu 14. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A.

A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số có một điểm cực trị.
C. Hàm số đạt cực trị tại x = 1.
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2.
Câu 15. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Giá trị lớn nhất của hàm số trên tập số thực bằng 0.

B. Giá trị cực đại của hàm số bằng 0.
C. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 0.
1
D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập số thực bằng − .
6
3
Câu 16. Số điểm cực trị của hàm số y = 2 x − 6 x + 3 là

A. 3.

B. 2.

C. 4.

5x + 9
khẳng định nào sau đây là đúng?
x −1
A. Hàm số đồng biến trên ( −;1)  (1; + ) .

Câu 17. Cho hàm số y =

B. Hàm số nghịch biến trên ( −;1) và (1; + ) .
C. Hàm số nghịch biến trên ( −;1)  (1; + ) .
D. Hàm số nghịch biến trên

\ 1 .

D. 1.

4
trên khoảng ( 0; + ) .
x2
B. min y = 4.
C. min y = 3.

Câu 18. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x +
A. min y = 5.
( 0;+ )

( 0;+ )

( 0;+ )

D. min y = 8.
( 0; + )

1

Câu 19. Rút gọn biểu thức P = x 3 . 6 x với x  0 ta được
2

A. P = x 9 .
B. P = x 2 .
C. P = x .
Câu 20. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?
A. y = − x3 − 3x 2 + 2.

1

D. P = x 8 .

B. y = x3 + 3x 2 + 2.
C. y = x3 − 3x 2 + 2.
D. y = − x3 + 3x 2 + 2.
Câu 21. Xét các số thực dương a và b thỏa mãn log5 ( 5a.25b ) = 5log5 a +log5 b+1. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. a + 2b = ab.
B. a + 2b = 5ab.
C. 2ab −1 = a + b.
D. a + 2b = 2ab.
0
Câu 22. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 , bán kính đáy bằng a. Diện tích xung quanh của hình
nón bằng
A. 4 a 2 .
B.  a 2 3.
C. 2 a 2 .
D.  a 2 .
Câu 23. Khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 6 a , tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vng góc với đáy có thể tích bằng
A. 36 3a 3 .
B. 36a 3 .
C. 36 2a3.
D. 108 3a 3 .
Câu 24. Cho hình nón có đường kính đáy bằng 4. Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng qua
trục, thiết diện thu được là một tam giác đều. Diện tích tồn phần của hình nón đã cho bằng
20
.
A. 4 3 + 1  .
B. 12 .

C.
D. 32 .
3

(

)

Câu 25. Cho khối chóp có thể tích V = 36 ( cm3 ) và diện tích mặt đáy B = 6 ( cm2 ) . Chiều cao của khối
chóp là
1
B. h = 6 ( cm ) .
C. h = 72 ( cm ) .
( cm ) .
2
Câu 26. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

A. h =

D. h = 18 ( cm ) .

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2; +) .
B. (0; 2) .
C. ( −3; + ) .

D. (−;1) .


Câu 27. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên

là hàm số f ' ( x ) . Biết đồ thị hàm số

f ' ( x ) được cho như hình vẽ. Hàm số
f ( x ) nghịch biến trên khoảng
A. ( 0;1) .
B. ( −; −3) .
C. ( −; −1) .
D. ( −3; −2 ) .
Câu 28. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số đã cho có bao nhiêu đường
tiệm cận?

A. 3.
B. 2.
Câu 29. Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d

C. 4.

D. 1.

có đồ thị như hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả
các giá trị thực của tham số m để phương
trình f ( sin 2 x ) = m có nghiệm.
A.  −1;1 .
B. ( −1;3) .
C. ( −1;1) .
D.  −1;3.
Câu 30. Cho ngẫu nhiên 4 đỉnh của một đa giác đều 24 đỉnh. Tìm xác suất để chọn được 4 đỉnh là 4
đỉnh của một hình vng?
1
2

1
2
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
1771
1551
151
69
Câu 31. Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đơi một vng góc và OA = 3a, OB = OC = 2a. Thể tích

V khối tứ diện đó là
A. V = 6a 3 .
B. V = a 3 .
C. V = 2a 3 .
D. V = 3a 3 .
Câu 32. Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác với AB = a, AC = 2a và
BAC = 1200 , AA ' = 2a 5. Thể tích V của khối lăng trụ đã cho là
4a 3 5
a 3 15
.
.
B. V = 4a3 5.
C. V = a3 15.
D. V =

3
3
Câu 33. Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 3 cán sự lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cứ 4 bạn đi dự đại hội
đoàn trường sao cho trong 4 học sinh đó có ít nhất một cán sự lớp
A. 9855.
B. 27405.
C. 8775.
D. 657720.

A. V =


Câu 34. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên

và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Số nghiệm thực của phương trình 3 f ( x ) + 2 = 0 là
A. 3.

B. 2.

C. 4.

D. 1.

Câu 35. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x − 2 ) ( 3x − 2 ) , x  . Số điểm cực trị của hàm
2

số y = f ( x ) bằng
A. 4.

Câu 36. Có bao

nhiêu

B. 3.
giá trị

nguyên

C. 1.
của tham

số

m

D. 2.
để đồ

thị

y = x3 − 8x2 + ( m2 + 5) x − 2m2 + 14 có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Ox ?

hàm

số

A. 6.
B. 4.
C. 5.

D. 7.
2
2
Câu 37. Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số P = 2 ( x3 + y3 ) − 3xy . Giá trị của M + m bằng
1
B. − .
C. −6.
D. 1 − 4 2.
2
2x +1
Câu 38. Đồ thị hàm số ( C ) : y =
cắt đường thẳng d : y = x + m tại hai điểm phân biệt A, B thỏa
x +1
a
a
mãn OAB vuông tại O khi m = . Biết a, b là nguyên dương;
tối giản. Tính S = a + b.
b
b
A. S = 5.
B. S = 3.
C. S = 6.
D. S = 1.
3
5
Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 3cos 4 x + sin 2 x + m cos x − đồng
2
2
 3 2 

biến trên  ;  .
2 3 

A. −4.

1
1
1
1
.
.
.
.
B. m  −
C. m  −
D. m  −
3
3
3
3
Câu 40. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc đoạn [-10;10] của m để hàm số
y = x3 − 3(2m + 1) x2 + (12m + 5) x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +) . Số phần tử của S bằng

A. m  −

A. 10.
B. 12.
C. 11.
D. 13.
Câu 41. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

34
f ( x) =
trên đoạn  0;3 bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
2
3
( x − 3 x + 2m ) + 1
A. −6.
B. −8.
C. 8.
D. −1.
Câu 42. Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương
án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1
trong 4 phương án ở mỗi câu. Tính xác suất để thí sinh đó được 6 điểm.
A. 0, 2520.0, 7530.
B. 0, 2530.0, 7520.
C. 0, 2530.0, 7520.C5030 . D. 1 − 0, 2520.0, 7530.


Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng và có mặt phẳng ( SAB ) vng góc với mặt
phẳng đáy, tam giác SAB là tam giác đều. Gọi I và E lần lượt là trung điểm của cạnh AB và
BC; H là hình chiếu vng góc của I lên cạnh SC. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Mặt phẳng (SIC) vng góc với mặt phẳng (SDE).
B. Mặt phẳng (SAI) vng góc với mặt phẳng (SBC).
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SIC) là góc BIC
D. Góc giữa hai mặt phẳng (SIC) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng IH và BH.
Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, BC = 4, SA = 2 . Tam giác
SAC nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy và có diện tích bằng 4. Cơsin của góc giữa hai
mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng
3 17
.

17
Câu 45. Cho hình

A.

B.
lăng

trụ

5 34
2 34
.
C.
.
17
17
đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy

3 34
.
34
tam giác vuông

D.

là

và

AB = BC = a, AA ' = a 2, M là trung điểm BC. Tính khoảng cách d của hai đường thẳng
AM và B ' C.
a 3
a 7
a 2
a 6
.
.
.
.
B. d =
C. d =
D. d =
3
7
2
6
Câu 46. Cho hình tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi một vng góc AB = 6a, AC = 8a, AD = 12a, với

A. d =

a  0, a  . Gọi E , F tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC , BD. Tính khoảng cách d từ

điểm B đến mặt phẳng ( AEF ) theo a.
A. d =

24 29a
.
29

B. d =

8 29a
.
29

C. d =

6 29a
.
29

D. d =

12 29a
.
29

Câu 47. Cho hàm số f ( x ) , hàm số y = f ' ( x ) liên
tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên
Bất phương trình f ( x )  2 x + m ( m là
tham số thực) có nghiệm đúng với mọi
x  ( 0; 2 ) khi và chỉ khi
A. m  f ( 2 ) − 2.
B. m  f ( 2 ) − 2.
C. m  f ( 0 ) .
D. m  f ( 0 ) .
Câu 48. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với
đáy một góc 600. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBD. Mặt phẳng ( ) đi qua A, G và song

song với BD, cắt SB, SC , SD lần lượt tại E , M , F . Tính thể tích V của khối chóp S.AEMF.
A. d =

a3 6
.
18

B. d =

a3 6
.
9

C. d =

a3 6
.
6

D. d =

a3 6
.
36


Câu 49. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên

. Biết

rằng hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ
Số

điểm

cực

trị

của

hàm

số

x

g ( x ) = f ( x 2 − 2 x ) −  − 2 x3 + x 2 + 2 x + 1 là
 2

A. 7.
B. 8.
C. 5.
D. 6.
Câu 50. Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác vng cân tại A. Hình chiếu vng góc của
điểm A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ( ABC ) . Biết khoảng cách giữa
4

hai đường thẳng AA ' và BC bằng

17
a, cạnh bên AA ' bằng 2a. Tính theo a thể tích V của
6

khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' biết AB  a 3.
A.

34 3
a.
6

B.

102 3
a.
18

C.

102 3
a.
6

D.

34 3
a.
18

Câu 1.

ĐỀ TOÁN SỐ 20 NĂM HỌC 2021-2022 GROUP GIẢI TỐN TỐN HỌC
ax + b
Cho hàm số y =
có đồ thị như hình vẽ
cx + d

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ab  0; ad  0.
B. ad  0; bd  0.

C. bd  0; bc  0.

D. ab  0; ac  0.

Hướng dẫn giải
Chọn A
Từ đồ thị của hàm số ta suy ra:
d
Tiệm cận đứng x = −  0  cd  0 (1)
c
a
Tiệm cận ngang y =  0  ac  0 ( 2 )
c
Từ (1) , ( 2 ) suy ra ad  0.
Giao điểm với trục hoành x = −

Câu 2.

b
 0  ab  0.
a

Vậy ta có ab  0 và ad  0.
Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh 2a. Đường cao của hình nón là
A. h =

a 3
.
2

B. h = a 3.

C. h = 2a.

Hướng dẫn giải
Chọn B

Ta có tam giác SAB là tam giác đều cạnh 2a nên SA = SB = AB = 2a
Khi đó: R = OA = a, l = SA = 2a. Nên h = SO = a 3.

D. h = a.


Câu 3.

Vậy chọn đáp án B
Số giao điểm của đồ thị y = x3 − 2 x 2 + 3x − 2 và trục hoành là
A. 1.

B. 3.

C. 0.
Hướng dẫn giải

D. 2.

Chọn A
Phương trình hồnh độ giao điểm của y = x3 − 2 x 2 + 3x − 2 với trục hoành là

x3 − 2 x2 + 3x − 2 = 0  ( x − 1) ( x 2 − x + 2 ) = 0  x = 1 (do x 2 − x + 2  0, x  ).
Vậy số giao điểm cần tìm là 1.
Câu 4.

Đồ thị hàm số y =
A. 4.

Câu 5.

3x 2 + 2
có tất cả bao nhiêu tiệm cận.
2x +1 − x
B. 2.
C. 1.
Hướng dẫn giải

Chọn B
Trong các hình sau đây, có bao nhiêu hình được gọi là hình đa diện?

A. 2.

Câu 6.

D. 3.

B. 4.

C. 3.
Hướng dẫn giải

D. 5.

Chọn B
Trong khai triển (a + b)n , số hạng tổng quát của khai triển là.
A. Cnk +1a n − k +1b k +1.

B. Cnk a n − k b k .

C. Cnk −1a n +1b n − k +1.

D. Cnk a n − k b n − k .

Hướng dẫn giải
Chọn B
Số hạng thứ k + 1 của khai khiển (a + b)n là Cnk a n − k bk , k = 0,1, 2,...., n .
Câu 7.

Tìm số hạng đều tiên của cấp số nhân ( un ) với công bội q = 2, u8 = 384.
1

C. u1 = .
3
Hướng dẫn giải

A. u1 = 6.

B. u1 = 12.

D. u1 = 3.

Chọn D
Ta có: u8 = u1.q7  384 = u1.27  u1 = 3.
Câu 8.

Trong khai triển (1 − x ) , hệ số của số hạng chứa x 3 là
11

A. C118 .

B. C113 .

C. C115 .
Hướng dẫn giải

Chọn D
11

Xét khai triển (1 − x ) =  C11k . ( −1) .x k .
11

k

k =0

Ta có hệ số của số hạng chứa x 3 là −C113 .
Câu 9.

Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?

D. −C113 .


A. y =

x+3
.
2+ x

2x +1
x +1
.
.
C. y =
x−2
x−2
Hướng dẫn giải

B. y =

D. y =

x −1
.
2x + 2

Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 nên loại đáp án A, D
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1 nên loại đáp án B
x +1
.
x−2
với un = 4n − 3. Tìm cơng sai d của cấp số cộng.

Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số y =
Câu 10. Cho cấp số cộng ( un )
A. d = 4.

B. d = −4.
C. d = 1.
Hướng dẫn giải

D. d = −1.

Chọn A
Ta có d = un+1 − un = 4 ( n + 1) − 3 − ( 4n − 3) = 4.
Câu 11. Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều cạnh a bằng
A. 4 3a 2 .

B. 2 3a 2 .
C. 6 3a 2 .

Hướng dẫn giải

D. 8 3a 2 .

Chọn B
Các mặt của hình bát diện đều cạnh a đều là tam giác đều có diện tích S1 =

a2 3
.
4

Vậy tổng diện tích 8 mặt là S = 8.S1 = 2 3a 2 .
Câu 12. Tập xác định của hàm số y = x
A. 0; + ) .

3

là

B. ( −; + ) .

C. ( −;0 ) .

D. ( 0; + ) .

Hướng dẫn giải
Chọn D
Vì

3 khơng ngun nên tập xác định của hàm số là D = ( 0; + ) .

Câu 13. Đặt a = log 3 4, khi đó log16 81 bằng
A.

2a
.
3

B.

3
.
2a

C.

2
.
a

D.

a
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: log16 81 =

4
2
2
log 4 3 =
=
2
log 3 4 a

Câu 14. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây là đúng


A. Hàm số có hai điểm cực trị.
C. Hàm số đạt cực trị tại x = 1.

B. Hàm số có một điểm cực trị.
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2.
Hướng dẫn giải

Chọn A
Hàm số có hai điểm cực trị x = −1 và x = 0.
Câu 15. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Giá trị lớn nhất của hàm số trên tập số thực bằng 0.
B. Giá trị cực đại của hàm số bằng 0.
C. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 0.
1
D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập số thực bằng − .
6
Hướng dẫn giải
Chọn B

Giá trị cực đại của hàm số bằng 0 tại x = 0
1
Giá trị cực tiểu của hàm số bằng − tại x = 1.
6
3
Câu 16. Số điểm cực trị của hàm số y = 2 x − 6 x + 3 là

A. 3.

B. 2.

Chọn B
Tập xác định: D =

C. 4.
Hướng dẫn giải

D. 1.

.

x = 1
y ' = 6 x 2 − 6, y ' = 0  6 x 2 − 6 = 0  
.
 x = −1
x

y'

y

−

−1

+

0

+

1
−

||

7

−1
−
Căn cứ vào bảng biến thiên hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

+
+


Câu 17. Cho hàm số y =

5x + 9
khẳng định nào sau đây là đúng?

x −1

A. Hàm số đồng biến trên ( −;1)  (1; + ) .

B. Hàm số nghịch biến trên

( −;1)

(1; + ) .
C. Hàm số nghịch biến trên ( −;1)  (1; + ) .

D. Hàm số nghịch biến trên

\ 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
Tập xác định: D =

y' =

−14

( x − 1)

2

\ 1.

 0, x  D  hàm số nghịch biến trên hai khoảng ( −;1) và (1; + ) .

4
trên khoảng ( 0; + ) .
x2
B. min y = 4.
C. min y = 3.

Câu 18. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x +
A. min y = 5.
( 0;+ )

( 0;+ )

D. min y = 8.

( 0;+ )

( 0; + )

Hướng dẫn giải
Chọn C
8 x3 − 8
= 3 ; y ' = 0  x3 = 8  x = 2.
x3
x
Bảng biến thiên:

Ta có: y ' = 1 −

x

+

2

0

−

y'

0

+

+

y

+

3
Vậy min y = 3.
( 0;+ )

1
3 6

Câu 19. Rút gọn biểu thức P = x . x với x  0 ta được
2

1

A. P = x 9 .

B. P = x .
C. P = x .
Hướng dẫn giải
2

Chọn C
1

1

1

1

Ta có: P = x 3 . 6 x = x 3 .x 6 = x 2 = x .
Câu 20. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?

D. P = x 8 .

và


A. y = − x3 − 3x 2 + 2.

B. y = x3 + 3x 2 + 2.

C. y = x3 − 3x 2 + 2.

D. y = − x3 + 3x 2 + 2.

Hướng dẫn giải
Chọn A
Xét hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a  0 ) .
Ta có: lim = − nên a  0 và xCD + xCT = 0 + ( −2 ) = −2  0  −
x→

(

)

2b
 0, mà a  0  b  0.
3a

Câu 21. Xét các số thực dương a và b thỏa mãn log5 5a.25b = 5log5 a +log5 b+1. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. a + 2b = ab.

B. a + 2b = 5ab.
C. 2ab −1 = a + b.
Hướng dẫn giải

D. a + 2b = 2ab.

Chọn B

Ta có log5 ( 5a 25b ) = 5log5 a +log5 b+1

 log5 5a + log5 25b = 5log5 a.5log5 b.5
 a + b log5 25 = a.b.5

 a + 2b = 5ab
Câu 22. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 , bán kính đáy bằng a. Diện tích xung quanh của hình
nón bằng
B.  a 2 3.
C. 2 a 2 .
Hướng dẫn giải

A. 4 a 2 .

D.  a 2 .

Chọn C

Ta có: SB =

OB
sin BSO

=

a
= 2a
1
2

S xq =  Rl =  .a.2a = 2a 2 .

Câu 23. Khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 6 a , tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vng góc với đáy có thể tích bằng
A. 36 3a 3 .
Chọn A

B. 36a 3 .

C. 36 2a3.
Hướng dẫn giải

D. 108 3a 3 .


Vẽ đường cao SO của tam giác đều SAB.
Ta có ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  SO ⊥ ( ABCD ) .
Do đó SO là đường cao của hình nón S.ABCD và SO =

6a 3
= 3a 3.
2

1
1
2
Thể tích của khối chóp S . ABCD : V = S ABCD .SO = . ( 6a ) .3a 3 = 36 3a 3 .
3
3
Câu 24. Cho hình nón có đường kính đáy bằng 4. Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng qua

trục, thiết diện thu được là một tam giác đều. Diện tích tồn phần của hình nón đã cho bằng
20
.
A. 4 3 + 1  .
B. 12 .
C.
D. 32 .
3
Hướng dẫn giải
Chọn B

(

)

Ta có tam giác SAB là tam giác đều cạnh 4 nên SA = SB = AB = 4.
Khi đó: R = OA = 2, l = SA = 4. Nên h = SO = 2 3.
Ta có: Stp =  Rl +  R 2 =  .2.4 +  .22 = 12 nên chọn đáp án

B.

Câu 25. Cho khối chóp có thể tích V = 36 ( cm3 ) và diện tích mặt đáy B = 6 ( cm2 ) . Chiều cao của khối
chóp là
A. h =

1
( cm ) .
2

B. h = 6 ( cm ) .

C. h = 72 ( cm ) .

Hướng dẫn giải
Chọn D

D. h = 18 ( cm ) .


1
3V 3.36
=
= 18 ( cm ) .
Ta có V = B.h suy ra h =
3
B
6
Câu 26. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2; +) .
B. (0; 2) .
C. ( −3; + ) .

D. (−;1) .

Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: y '  0 khi x  (−;0) và x  (2; +) . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (2; +) .
Câu 27. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên

là hàm số f ' ( x ) . Biết đồ thị hàm số f ' ( x ) được cho

như hình vẽ. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng

A. ( 0;1) .

B. ( −; −3) .

C. ( −; −1) .

D. ( −3; −2 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số f ' ( x ) , ta có f ' ( x )  0 với mọi x  ( −3; −2 ) nên hàm số f ( x ) nghịch
biến trên khoảng ( −3; −2 ) .
Câu 28. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số đã cho có bao nhiêu đường
tiệm cận?

A. 3.

B. 2.

C. 4.

D. 1.


Hướng dẫn giải

Chọn A
Ta có lim f ( x ) = 0 nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x →+

lim + f ( x ) = −, lim+ f ( x ) = + nên x = −2, x = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

x →( −2 )

x →( 0 )

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.
Câu 29. Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị
thực của tham số m để phương trình f ( sin 2 x ) = m có nghiệm.

A.  −1;1 .

B. ( −1;3) .

C. ( −1;1) .

D.  −1;3.

Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t = sin 2 x  0  t  1.

Phương trình f ( sin 2 x ) = m  f ( t ) = m (*) ,0  t  1.
Nhìn vào đồ thị suy ra phương trình (*) trên đoạn  0;1 có nghiệm khi và chỉ khi −1  m  3.
Câu 30. Cho ngẫu nhiên 4 đỉnh của một đa giác đều 24 đỉnh. Tìm xác suất để chọn được 4 đỉnh là 4
đỉnh của một hình vng?

1
2
1
2
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
1771
1551
151
69
Hướng dẫn giải
Chọn A
Số các tứ giác được tạo thành từ 4 đỉnh của một đa giác đều 24 đỉnh là: C244 = 10626

 n (  ) = 10626.
Gọi A là biến cố: “Chọn được 4 đỉnh là 4 đỉnh của một hình vng”.
Ta có:
Số các đường chéo là đường kính:

1
C24
= 12.
2

Trong đó số cặp đường kính vng góc với nhau:
Suy ra số hình vng được tạo thành là: 6
 n ( A) = 6.

12
= 6.
2


 P ( A) =

n ( A)

n ()

=

6
1
=
.
10626 1771

Câu 31. Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đơi một vng góc và OA = 3a, OB = OC = 2a. Thể tích

V khối tứ diện đó là
A. V = 6a 3 .

B. V = a 3 .
C. V = 2a 3 .

Hướng dẫn giải

D. V = 3a 3 .

Chọn C

1
3a.2a.2a
= 2a 3 .
Thể tích khối tứ diện OABC : V = OA.OB.OC =
6
6
Câu 32. Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác với AB = a, AC = 2a và

BAC = 1200 , AA ' = 2a 5. Thể tích V của khối lăng trụ đã cho là
A. V =

4a 3 5
.
3

B. V = 4a3 5.

C. V = a3 15.

Hướng dẫn giải
Chọn C

D. V =

a 3 15
.
3


Diện tích ABC là S ABC

1
a2 3
= AB. AC.sin BAC =
.
2
2

Vậy thể tích khối lăng trụ là V = AA '.S ABC = a3 15.
Câu 33. Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 3 cán sự lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cứ 4 bạn đi dự đại hội
đồn trường sao cho trong 4 học sinh đó có ít nhất một cán sự lớp
A. 9855.
B. 27405.
C. 8775.
D. 657720.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Số cách chọn 4 bạn tùy ý trong 30 bạn là: C304 = 27405.
Số cách chọn 4 bạn trong 30 bạn mà khơng có bạn nào làm cán sự lớp là: C274 = 17550
Số cách chọn 4 bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: C304 − C274 = 9855
Câu 34. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên

và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Số nghiệm thực của phương trình 3 f ( x ) + 2 = 0 là
A. 3.

B. 2.

C. 4.
Hướng dẫn giải

D. 1.

Chọn A
3 f ( x) + 2 = 0  f ( x) = −
x

2
3

−

y'

−4

+

0

y

+

3
−

||

+
+

2

y=−

2
3

−1

−

Căn cứ vào bảng biến thiên thì phương trình 3 f ( x ) + 2 = 0  f ( x ) = −

2
có 3 nghiệm phân
3

biệt.
Câu 35. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x − 2 ) ( 3x − 2 ) , x  . Số điểm cực trị của hàm
2

số y = f ( x ) bằng
A. 4.
Chọn D

B. 3.

C. 1.
Hướng dẫn giải

D. 2.



x = 0

2
Ta có f ' ( x ) = 0  x ( x − 2 ) ( 3x − 2 ) = 0   x = 2

2
x =
3

2
Trong đó x = 2 là nghiệm kép x = 0, x =
là nghiệm đơn, nên dấu của đạo hàm
3

bị đổi dấu 2 lần. Suy ra hàm số y = f ' ( x ) có 2 điểm cực trị.

f ' ( x ) = x ( x − 2 ) ( 3x − 2 ) , x 

2

Câu 36. Có

bao

nhiêu

giá

trị

nguyên

của

tham

số

để

m

đồ

thị

y = x − 8x + ( m + 5) x − 2m + 14 có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Ox ?
3

2

A. 6.

2

hàm

số

2

B. 4.

C. 5.
Hướng dẫn giải

Chọn D

D. 7.

(

)

Yêu cầu bài toán tương đương đồ thị hàm số y = x3 − 8x2 + m2 + 5 x − 2m2 + 14 cắt trục hoành
tại 3 điểm phân biệt  x3 − 8x2 + ( m2 + 5) x − 2m2 + 14 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
+) x3 − 8x 2 + ( m2 + 5) x − 2m2 + 14 = 0

 ( x − 2 ) ( x − 7 )( x + 1) − m2  = 0
x = 2
 2
2
 x − 6 x − 7 + m = 0 (1)

 (1) có 2 nghiệm phân biệt ( x  2 )
2

−4  m  4 mZ
 ' = 9 + 7 − m  0

 2

⎯⎯⎯
→ m   −3; −2; −1;0;1; 2;3.

2
m   15
2 − 6.2 − 7 + m  0



Câu 37. Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 = 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn

(

)

nhất và nhỏ nhất của hàm số P = 2 x3 + y3 − 3xy . Giá trị của M + m bằng

1
B. − .
2

A. −4.

C. −6.

D. 1 − 4 2.

Hướng dẫn giải
Chọn B

Ta có: P = 2 ( x3 + y3 ) − 3xy = 2 ( x + y ) ( x 2 + y 2 − xy ) − 3xy = 2 ( x + y )( 2 − xy ) − 3xy.
Đặt t = x + y  t 2 = x 2 + y 2 + 2 xy  t 2 = 2 + 2 xy 

t2 − 2
= xy.
2

Do ( x + y )  4 xy  t 2  2 ( t 2 − 2 )  t 2  4  −2  t  2.
2

2

t 2 − 2  3(t − 2)
3
Suy ra P = 2t  2 −
= −t 3 − t 2 + 6t + 3 = f ( t ) với t   −2; 2.
−

2 
2
2

t = 1
.
Khi đó: f ' ( t ) = −3t 2 − 3t + 6; f ' ( t ) = 0  −3t 2 − 3t + 6 = 0  
t = −2

Suy ra f (−2) = −7, f (1) =

13
13
1
, f (2) = 1  M = ; m = −7  M + m = − .
2
2
2


2x +1
cắt đường thẳng d : y = x + m tại hai điểm phân biệt A, B thỏa
x +1
a
a
mãn OAB vuông tại O khi m = . Biết a, b là nguyên dương;
tối giản. Tính S = a + b.
b
b
A. S = 5.

B. S = 3.
C. S = 6.
D. S = 1.
Hướng dẫn giải
Chọn A

Câu 38. Đồ thị hàm số ( C ) : y =

Phương trình hồnh độ giao điểm của ( C ) và d là:


2x +1
x +1  0
= x+m 
x +1

2 x + 1 = ( x + 1)( x + m )


 x  −1
 2

 x + ( m − 1) x + m − 1 = 0 (1)

(C )

cắt d tại hai điểm phân biệt A, B  (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 ( xA , xB là

 (1)  0
( m − 1)2 − 4 ( m − 1)  0


nghiệm phương trình (1))  

2
1 − m + 1 + m − 1  0
( −1) + ( m − 1)( −1) + m − 1  0


m  1
( m − 1)( m − 5 )  0



m  5
1  0
Theo định lí Viet: xA + xB = 1 − m, xA xB = m − 1

A ( x A ; x A + m ) , B ( xB ; x B + m )
OA = ( x A ; x A + m ) , OB = ( xB , xB + m )

OAB vuông tại O  OA.OB = 0  x A .xB + ( x A + m )( xB + m ) = 0
 2 x A xB + m ( x A + xB ) + m 2 = 0  2m − 2 + m (1 − m ) + m 2 = 0  3m − 2 = 0  m =

2
(nhận)
3

Theo đề bài ta có a = 2, b = 3. Vậy S = 5.
3
5

Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 3cos 4 x + sin 2 x + m cos x − đồng
2
2
 3 2 
biến trên  ;  .
2 3 

A. m  −

1
.
3

B. m  −

1
1
.
.
C. m  −
3
3
Hướng dẫn giải

D. m  −

1
.
3

Chọn A
3
5
3
y = 3cos 4 x + sin 2 x + m cos x −  y = 3cos 4 x − cos 2 x + m cos x − 1
2
2
2
  2 
 1 1
Đặt t = cos x. Vì x   ;  nên t   − ;  .
3 3 
 2 2
3
Hàm số trở thành f ( t ) = 3t 4 − t 2 + mt − 1, f ' ( t ) = 12t 3 − 3t + m
2
 1 1
 1 1
Yêu cầu bài toán  f ( t ) nghịch biến trên  − ;   f ' ( t )  0, t   − ;  ( f ' ( t ) = 0 chỉ
 2 2
 2 2
 1 1
 1 1
tại một số điểm)  12t 3 − 3t + m  0 t   − ;   m  −12t 3 + 3t t  − ; 
 2 2
 2 2



3  1 1

 − ; 
t =
6  2 2 
3
2

Đặt g ( t ) = −12t + 3t , g ' ( t ) = −36t + 3, g ' ( t ) = 0 

3  1 1
t = −
 − ; 
6  2 2 

Ta có

t

−

1
2

g '(t )

−

−

3
6

3
6

0

+

0

g (t )

1
2

−

3
3

0

0
−

3
3

3
.

3
Câu 40. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc đoạn [-10;10] của m để hàm số
y = x3 − 3(2m + 1) x2 + (12m + 5) x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +) . Số phần tử của S bằng

Dựa vào bảng biến thiên m  −

A. 10.

B. 12.

C. 11.
Hướng dẫn giải

D. 13.

Chọn C
Ta có y = 3x 2 − 6 ( 2m + 1) x + 12m + 5.
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; + )  y '  0, x  ( 2; + ) .
 3x 2 − 6 ( 2m + 1) x + 2m + 5  0, x  ( 2; + ) . 

Xét f ( x ) =

3x 2 − 6 x + 5
 12m, x  ( 2; + ) .
x −1

3x 2 − 6 x + 1
3x 2 − 6 x + 5
. Ta có BBT:
trên ( 2; + )  f ' ( x ) =

2
x −1
( x − 1)
x

+

2

f '( x)

+

f ( x)

+

5
5
Vậy 12m  5  m   S = −10; −9; −8;...;0 . Do đó số phần tử của S bằng 11.
12
Câu 41. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
34
f ( x) =
trên đoạn  0;3 bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
2
x 3 − 3 x + 2m + 1

(

A. −6.

)

B. −8.

C. 8.
Hướng dẫn giải

D. −1.


Chọn B
Gọi g ( x ) =

(x

3

− 3 x + 2m ) = x 3 − 3 x + 2m
2

Trên đoạn  0;3 ta thấy: Min f ( x ) = 2  Max g ( x ) = 16
0;3

0;3

Xét hàm số y = x − 3x + 2m trên đoạn  0;3
3

y ' = 3x 2 − 3 = 0  x 2 = 1  x = 1

y ( 0 ) = 2m; y (1) = 2m − 2; y ( 3) = 2m + 18

Với m ta ln có: 2m +18  2m  2m − 2. Do đó, xảy ra hai trường hợp sau:
* TH1: Nếu 2m − 2  2m + 18 thì Max g ( x ) = 2m − 2
0;3

 2m − 2 = 16  2m = 18  m = 9 ( Loai )
Khi đó: 2m − 2 = 16  
 2m − 2 = −16  2m = −14  m = −7 ( thoa man )
* TH2: Nếu 2m − 2  2m + 18 thì Max g ( x ) = 2m + 18
0;3

 2m + 18 = 16  2m = −2  m = −1( thoa man )
Khi đó: 2m + 18 = 16  
 2m + 18 = −16  2m = −34  m = −17 ( loai )
Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng ( −7 ) + ( −1) = −8.
Câu 42. Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương
án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1
trong 4 phương án ở mỗi câu. Tính xác suất để thí sinh đó được 6 điểm.
A. 0, 2520.0, 7530.
B. 0, 2530.0, 7520.
C. 0, 2530.0, 7520.C5030 . D. 1 − 0, 2520.0, 7530.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm do vậy thí sinh được 6 điểm thì phải làm đúng số câu là
6
= 30 câu
0, 2

Mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng vì vậy xác suất trả lời đúng
1
3
một câu là = 0, 25 và xác suất trả lời sai một câu là = 0, 75
4
4
Số cách chọn 30 câu trả lời đúng trong 50 câu là C 5030
Vậy xác suất để thí sinh đó được 6 điểm là 0, 2530.0, 7520.C5030 .
Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng và có mặt phẳng ( SAB ) vng góc với mặt
phẳng đáy, tam giác SAB là tam giác đều. Gọi I và E lần lượt là trung điểm của cạnh AB và
BC; H là hình chiếu vng góc của I lên cạnh SC. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Mặt phẳng (SIC) vng góc với mặt phẳng (SDE).
B. Mặt phẳng (SAI) vng góc với mặt phẳng (SBC).
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SIC) là góc BIC
D. Góc giữa hai mặt phẳng (SIC) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng IH và BH.
Hướng dẫn giải
Chọn D


 DE ⊥ IC
 DE ⊥ ( SIC )  ( SIC ) ⊥ ( SDE ) . Suy ra A đúng/
+
 DE ⊥ SI
 BC ⊥ AI
 BC ⊥ ( SAI )  ( SBC ) ⊥ ( SAI ) . Suy ra B đúng
+
 BC ⊥ AB

+ DE ⊥ ( SCI ) ; BC ⊥ ( SAI ) nên

(( SIC ) , ( SAB )) = ( BC, DE ) = DEC = BIC.

Suy ra D sai.
Vậy D sai.
Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, BC = 4, SA = 2 . Tam giác
SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có diện tích bằng 4. Cơsin của góc giữa hai
mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng
A.

3 17
.
17

B.

5 34
2 34
.
C.
.
17
17
Hướng dẫn giải

D.

3 34
.
34

Chọn D

TH1: H thuộc đoạn thẳng AC.
+ Kẻ SH ⊥ AC  SH ⊥ ( ABCD ) mặt khác SSAC =

1
8
SH . AC = 4  SH =
2
5

6
SH 4
AH = ;sin SAC =
= .
5
SA 5

+ Kẻ BK ⊥ AC  BK ⊥ ( SAC ) kẻ KL ⊥ SA  SA ⊥ ( BKL )  ( ( SAB ) , ( SBC ) ) = BLK
Ta có:
BL =

1
1
1
12
9
36
=
+

 BK =
và AK = ; KL = AK .sin SAC =
2
2
2
BK
BA
BC
5
5
25

12 34
KL 3 34
;cos BLK =
=
25
BL
34


TH2. H không thuộc đoạn thẳng AC.

+ Kẻ SH ⊥ AC  SH ⊥ ( ABCD ) mặt khác SSAC =

1
8
SH . AC = 4  SH =
2
5

6
SH 4
AH = ;sin SAH =
= .
5
SA 5

+ Kẻ BK ⊥ AC  BK ⊥ ( SAC ) kẻ KE ⊥ SA  ( ( SAB ) , ( SBC ) ) = BEK
Ta có:

1
1
1
12
9
36
=
+
 BK =
và AK = ; KE = AK .sin SAH =
2
2
2
BK
BA
BC
5
5
25

12 34
KL 3 34
; cos BEK =
=
25
BL
34
Câu 45. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C '
BE =

có

đáy

là

tam

giác

vng

và

AB = BC = a, AA ' = a 2, M là trung điểm BC. Tính khoảng cách d của hai đường thẳng
AM và B ' C.
A. d =

a 3

.
3

B. d =

a 7
a 2
.
.
C. d =
7
2
Hướng dẫn giải

D. d =

a 6
.
6

Chọn B

Ta có AB = BC = a nên ABC vng cân tại B.
Thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' và VABC . A ' B 'C ' = AA '.S ABC

1 2 a3 2
= a 2. a =
(đvtt).
2
2

Gọi E là trung điểm BB '. Khi đó B ' C / / EM  B ' C / / ( AME ) .
Vậy d ( AM , B ' C ) = d ( ( AME ) , B ' C ) = d (C , ( AME ) ) = d ( A, ( AME ) ) .


Gọi h là khoảng cách từ A đến ( AME ) .
Ta nhận thấy tứ diện B.AME có BE , BM , BA đơi một vng góc.
1
1
1
1
1
4
2
1
7
a 7
=
+
+
 2 = 2 + 2 + 2 = 2 h=
.
2
2
2
2
h
BM
BE
BA

h
a
a
a
a
7
Câu 46. Cho hình tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi một vng góc AB = 6a, AC = 8a, AD = 12a, với

Khi đó

a  0, a  . Gọi E , F tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC , BD. Tính khoảng cách d từ

điểm B đến mặt phẳng ( AEF ) theo a.
A. d =

24 29a
.
29

B. d =

8 29a
6 29a
.
.
C. d =
29
29
Hướng dẫn giải

D. d =

12 29a
.
29

Chọn A

Cách 1:
Ta có AB, AC , AD đơi một vng góc nên AD ⊥ ( ABC ) .
Gọi K là trung điểm của AB , vì F là trung điểm của BD suy ra FK / / AD mà

AD ⊥ ( ABC )  FK ⊥ ( ABC ) hay FK ⊥ ( AKE ) .


 KG ⊥ AE ( G  AE )
Kẻ 
 d ( K , ( AEF ) ) = KH . Mặt khác BK cắt mặt phẳng ( AEF ) tại A.
KH
⊥
FG
H

GF
(
)


Suy ra

d ( B, ( AEF ) )

d ( K , ( AEF ) )

=

BA
= 2  d ( B, ( AEF ) ) = 2d ( K , ( AEF ) ) .
KA

Trong tam giác AKE vuông tại K và tam giác FKG vng tại K , ta có:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
29
12 29a
=
+
=
+
+
=
+
+

=
 KH =
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
KH
KF
KG
KF
KA KE
29
( 6a ) ( 3a ) ( 4a ) 144a

Vậy d =

24 29a
.
29

Cách 2: Ta có AB, AC , AD đơi một vng góc nên AD ⊥ ( ABC ) . Chọn hệ trục tọa độ Axyz
như hình vẽ, chọn a = 1, ta có A ( 0;0;0 ) , B ( 0;6;0 ) , E ( 4;3;0 ) , F ( 0;3;6 ) .
Ta có AE = ( 4;3;0 ) , AF = ( 0;3;6 )   AE , AF  = (18; −24;12 ) = 6 ( 3; −4; 2 ) .