On tap chuong 2 Duong tron

TOAN 9 — CHUONG 2 — DUONG TRON
ON TAP CHUGNG DUONG TRON
I.

Kiến thức cần nhớ:

2.

Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì
vng góc với dây ấy.

3.

Trong một đường trịn,

I. Trong một đường trịn, đường kính vng góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó.

4.

a) Hai day bang nhau thi cach déu tam.
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Trong một đường trịn,

a)_ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b) Day nao gan tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
5.. Khi một đường thăng a và đường trịn (O; R) có hai điểm chung ta nói đường thắng và
đường trịn (O: R) cắt nhau. Đường thắng a được gọi là cát tuyến của đường tròn
(O; R). (d < R)

6. Khi một duong thang a va đường trịn (O; R) có một điểm chung ta nói đường thăng và
đường trịn (O; R) tiếp xúc nhau. Đường thăng a được gọi là tiếp tuyến của đường tròn

(O; R).(d= R)

7. Khi một đường thăng a và đường trịn (O; R) khơng có điểm chung ta nói đường thang
8.
9.

và đường trịn (O; R) khơng giao nhau. (d > R)
Nếu một đường thăng đi qua một điểm của đường trịn và vng góc với bán kính đi qua
điểm đó thì đường thăng ây là một tiếp tuyên của đường tròn.
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

a) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
b) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
c)

Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác tạo bởi hai0 bán kính đi qua các tiếp
điểm.
10. Nếu hai đường trịn cắt nhau thì đường nói tâm là đường trung trực của dây chung.
Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm năm trên đường nối tâm.
II. Bai tap tu luyén:

Bài 1: Cho đường tròn (O: R), hai đây AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại L.
Gia su IA = 4cm, IB = 8cm. Tinh khoảng cách từ tâm O toi AB va CD.

Dap an: 2cm
Bai 2: Cho (O; 10), day AB = 20cm. Vé day CD song song với AB và có khoảng cách tới
AB 1a 8cm. D6 dai day CD 1a?
Dap an: 12cm

Page 1


TOAN 9 — CHUONG 2 — DUONG TRON

Bai 3: Cho đường tròn (O; 4). Một điểm A cách O một khoảng là 12cm. Kẻ tiếp tuyến
AB với (O) (B là tiếp điểm). OA cắt đường tròn tại C. Qua C dựng đường thắng song

Dap an:

Wo
| 00

song voi OB, cat AB tại D. Độ lớn của CD là?

Bai 4: Cho đoạn thăng AB, điểm C năm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa
đường trịn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB. Đường vng góc với AB tại C cắt
nửa đường trịn lớn tại D. DA, DB cắt các nửa đường trịn có đường kính AC, CB theo
thứ tự tại M,N.
a)
b)
c)_

Tứ giác DMCN là hình gì? Vì sao?
Chứng minh DM.DA = DN.DB
Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn có đường kính AC
và CB.

d) Diém C 6 vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất?

Bài 5: Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung DE, D
thuộc đường tròn tâm O, E thuộc đường tròn tâm O°. Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt

DE ở IL. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O°I và AE.
a)

Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao?

b)_ Chứng minh IM.IO =IN.IO?
c)_ Chứng minh răng OO' là tiếp tuyến của đường trịn có đường kính là DE.
d) Tinh d6 dai DE biét rang OA = Scm, O’A = 3,2cm. (dap an: 8cm)
Bài 6: Cho đường trịn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường trịn. Vẽ điểm N đối
xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a) Chứng minh rằng WE _L AB.
b)

Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng AF là tiếp tuyến của đường
trịn (©).

c)_

Chứng minh răng FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Bài 7: Cho tam giác vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O) có đường kính BC.

Kẻ dây AD vng góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thắng

vng góc với BC, cat BC 6 H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:
a)

b)
c)_

Tam giac BEF là tam giác cân.
Tam giác AHF là tam giác cân.
AH là tiếp tuyến của đường tròn (O).



Page 2


TOAN 9 — CHUONG 2 — DUONG TRON
Bài 8: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB. Vẽ các tiếp tun Ax, By với nửa đường
trịn cùng phía với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến với
đường tròn cắt Ax và By lần lượt tai C, D.
a)

Chứng minh tam giác COD vuông.

b)

Chứng minh Ä⁄4C.MD = MO”

c) Cho biết OC = BA =2R, tính AC và BD theo R. (đáp án: AC = RV3, BD =

RvB
3

Bài 9: Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại B. Vẽ đường kính AB

của đường trịn (O) và đường kính BC của đường trịn (O”). Đường trịn đường kính OC”

cắt O tại M và N.

a) Duong thing CM cắt (O') tại P. Chứng minh OM // BP.
b)_ Từ CC vẽ đường thắng vng góc với CM cắt tia ON tại D. Chứng minh tam giác OCD
là tam giác cân.
Bài 10. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R’) cắt nhau tại A và B sao cho đường thắng

OA là tiếp

tuyên của đường tròn (O'; R!/). Biết R = 12cm, R' = 5cm.
a) Chứng minh: O“A là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

b) Tính độ dài các đoạn thăng OO’, AB.
Bài 11. Từ điềm M ở ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp
điểm). Cho

biét AMB = 40°.
a) Tính góc AOB.

b) Từ O kẻ đường thăng vng góc với OA cặt MB tại N. Chứng minh tam giác OMN là
tam

giác cân.

Bài 12. Từ điểm A ở ngồi đường trịn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là
các tiếp

điểm). Kẻ BE L AC và CF L AB (E e AC, F e AB), BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi.

b) Chứng minh ba điểm A, H, O thăng hàng.
c) Xác định vị trí diém A để H năm trên đường trịn (O).



Page 3


TOAN 9 — CHUONG 2 — DUONG TRON
Bai 4:

Hướng dẫn giải

a) Ta có: AAMCnội tiếp đường trịn đường kính AC => AMC =90”
ACNB nội tiếp đường trịn đường kính BC = CNB =90”
AADB nội tiếp đường trịn đường kính AB > ADB = 90°
Suy ra tứ giác DMCN là hình chữ nhật

b) Xét ACDA vng tại C có DC” = DM.MA
Xét ADBC vng tại C có DC” = DN.DB
Suy ra DM .MA = DN.NB

c)_ Vì DMCN là hình chữ nhật nên IM = IC
Suy ra AJMC cân tại I suy ra Mĩ; =C,

Gọi E, H, O lần lượt là trung điểm AC, BC và AB.
Vi AMFC

can tai Fnén M, =C,

Ma C,+C, =90° suy ra M,
+ M, = 90°
Hay FMN =90° suy ra FM | MN
Chứng minh tương tự ta có HN | MN
Suy ra MN là tiếp tuyến chung của đường trịn đường kính AC và BC.
đ)

Ta có DC = MN (vì DMCN là hình chữ nhật)



Page 4


TOAN 9 — CHUONG 2 — DUONG TRON
Ma DC < DO=> MN < DO
MN lớn nhất khi MN = DO, ttc la C=O

Suy ra C là trung điểm AB.
Bài 5:

Hướng dẫn giải

a)

ID và IA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I suy ra ID = IA (1)
Ma OD = OA suy ra IO là trung trực của AD

= 10 | AD = IMA = 90°
IE và IA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I suy ra IE = IA (2)
Mà OˆE=OˆA suy ra IO” là trung trực của AE
=> I0 1 AE => INA = 90°
Tu (1) va (2) suy ra IA = ID = IE

Suyra AADE

vuông tại A > DAE =90°

Tu gidc MINA c6 IMA = INA = DAE = 90°
Suy ra MINA là hình chữ nhật

b) Xét tam giác vng IAO có AM L JĨO: 1A” =IM.IO (3)
Xét tam gidc vudng IAO’ c6 AN | IO': IA’ = IN.IO' (4)
Từ (3) và (4) suy ra IM.IO = IN.IO’
c)

Ta có tam giác DAE vng tại A



Page 5


TOAN 9 — CHUONG 2 — DUONG TRON

Suy ra 3 điểm D, E, A nội tiếp đường trịn đường kính DE (5)
Do IA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O°) > JA_LOO' (6)
Từ (5) và (6) suy ra OO' là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.

đ)

Xét tam giác vng IOO'
IA* = OA.OA'
<> IA’ =5.3,2=16
<> IA= 4(cm)

Ma DE = 2A = 2.4 = 8 (cm)
Bai 6:

Hướng dẫn giải

a)

Tam giác AMB nội tiếp đường tròn đường kính AB nên AA⁄8 =90° > AM | MB
Tam giác ACB nội tiếp đường trịn đường kính AB nên ACB =90”° > AC L CB
Suy ra E là trực tâm của tam giác NAB, do do NE | AB

b)

c)

Tứ giác AFNE có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên AENE
là hình bình hành. Do đó AF // NE.
Ma NE | ABnén AF
1 AB
Suy ra AF là tiếp tuyến của đường trịn (O)
Tam giac ABN có đường cao BM cũng là đường trung tuyến nên là tam giác cân.

Page 6


TOAN 9 — CHUONG 2 — DUONG TRON
Suy ra BN = BA.
Do do BN là bán kính của đường trịn (B; BA)
Tam giác ABN cân tại B nên BNA = BAN

(l)

Tam giác AFN có đường cao FM là đường trung tuyến nên là tam giác cân, suy ra
N,=A,

(2)

Tu (1) va (2) suy ra BNA+ N, = BAN +A,

ttc la FNB = FAB

Ta lại có: FAB = 90° (cau b) nén FNB = 90°
Do do EN là tiếp tuyên của đường tròn (B; BA).
Bài 7:

Hướng dẫn giải

Bs

H

A

Ị

2
B

›

1

O

C

D
BY

a)

Tacé:

OB L AD

tai Inén AI = ID

Suy ra tam gidc BAD can tai B, B, = B, do do B, = B,
Tam giác EBF có đường cao cũng là đường phân giác nên tam giác BEEF cân tai B.
b)

Tam giác BEFE cân tại B nên BH là đường trung tuyến nên EH = HF
Tam giác AEF vng tại A có AH là đường trung tuyến nên AH = HE = HF
Do đó tam giác HAF cân tại H.

c)

Tam HAF cân tại H nên A, =F



(1)

Page 7


TOAN 9 — CHUONG 2 — DUONG TRON
Tam giác OAB cân tại O nên OAB = B, = B, (2)
Tu (1) va (2) suy ra OAH

= A, + OAB = F + B, = 90°

Suy ra AH là tiếp tuyến của đường trịn (O)
Bai 8:

Hướng dẫn giải
I

Y

D

C

1

4

A
a)

O

B

Theo tính chất hai đường trung tuyên cắt nhau ta có:
O, =O,

va O, =O,

Suy ra Ĩ,+(Ĩ, =90”. Vậy tam giác COD vng tại Ị
b)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vng OCD ta có: MC.MD = MO’

c)

OC=2R

Xét tam gidc OAC vuéng tai A: AC = VOC’ -OA* & AC = R43

Xét tam

.

giác OCD vuông

tại O:

Bố

MO*>

=

Ị

OC*

+

Ị

OD

Xét tam giác OBD vuông tại B: 8D =xOD”—OB”

c>OD=-ZR

V3

1
=—=R

3

Tài liệu tham khảo: Internet



Page 8