BAI TAP HS VA DT THI VAO LOP 10

CÁC BÀI TỐN VỀ HÀM SƠ VÀ ĐỒ THỊ HS
1
y  x 2
2 và y x  4 có đồ thị lần lượt là ( P ) và ( d )
Câu 1: Cho hai hàm số
1) Vẽ hai đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
2 ) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ).
HD
1
y  x 2
2 và y x  4 có đồ thị lần
Cho hai hàm số
lượt là ( P ) và ( d )
1) Vẽ hai đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt
phẳng tọa độ.
2 ) Tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ) là:
M( 2; –2 ) và N(–4 ; –8 )
Câu 2: Trong mp(Oxy)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y =

1 2
x
4

3
x+ m
b) Cho đường thẳng (D): y = 2
đi qua điểm C(6;

7). Tìm tọa độ giao điểm của (D) và (P).
Lập bảng giá trị:

x

–4

–2

0

2

4

1
y  x2
4

4

1

0

1

4

(P) là parabol đi qua các điểm: (–4;4), (–2;1), (0; 0), (2; 1), (4; 4).

a)

b)

Vì (D) đi qua điểm C(6; 7) nên ta có:


3
6  m 7  m  2
2
3
 (D) : y  x  2
2

Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (D):
1 2 3
x  x  2  x 2  6x  8 0
4
2

Giải được x1 = 4; x2 = 2
Với x1 = 4 thì y1 = 4
Với x2 = 2 thì y2 = 1
Vậy tọa độ giao điểm của (D) và (P) là (4; 4) và (2; 1).
1
y  x2
2 và hai điểm
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình
A, B thuộc (P) có hồnh độ lần lượt là x A  1; xB 2 .

a) Tìm tọa độ của hai điểm A, B.
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B.

c) Tính khoảng cách từ O (gốc tọa độ) đến đường thẳng (d).
Vì A, B thuộc (P) nên:
1
1
x A  1  y A  ( 1) 2 
2
2
a)
1

1
A   1;  , B(2; 2)
x B 2  y B  2 2 2
2
2
Vậy 
.
Gọi phương trình đường thẳng (d) là y = ax + b.
Ta có hệ phương trình:
1
3
1



b)
 a  b 
3a 
a 


2
2
2

1
y  x 1



2a

b

2
2a

b

2
b

1



2
Vậy (d):
.
(d) cắt trục Oy tại điểm C(0; 1) và cắt trục Ox tại điểm D(– 2; 0)
 OC = 1 và OD = 2

Gọi h là khoảng cách từ O tới (d).
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào  vuông OCD, ta có:
c)
1
1
1
1 1 5
2 5
 2
 2 2   h
2
2
h
OC OD 1 2
4
5
2 5
Vậy khoảng cách từ gốc O tới (d) là 5 .

Câu 4Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y 2 x  n  3 và parabol
2
(P): y x .
1. Tìm n để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;0).


2. Tìm n để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ lần
2
lượt là x1 , x2 thỏa mãn: x1  2 x2  x1 x2 16 .
HD: 1. Đường thẳng (d) đi qua A  2;0   2.2  n  3 0  n 7 .

2. Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2 2 x  n  3  x 2  2 x  n  3 0
'

Ta có 1  (n  3) 4  n .
'
Phương trình có hai nghiệm phân biệt    0  4  n  0  n  4 (*)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
(1)
 x1  x2 2

(2)
 x1.x2 n  3

x12  2 x2  x1 x2 16

(3)

Cách 1: Thay x2 2  x1 ở (1) vào (3) ta có:
x12  2  2  x1   x1  2  x1  16  x12  4  2 x1  2 x1  x12 16
 4 x1 20  x1 5.  x2 2  5  3

Thay x1 5; x2  3 vào (2) ta có: 5.( 3) n  3  n  12
x1  x2
Cách 2: Thay 2 ở (3) bằng
Ta có:
x12   x1  x2  x2  x1 x2 16  x12  x1 x2  x2 2  x1x2 16
 x12  x2 2 16   x1  x2   x1  x2  16
 x1  x2 8
 ( x1  x2 ).2 16  x1  x2 8  


x

x

2
 1 2

 x1 5

 x2  3

Thay x1 5; x2  3 vào (2) ta có: 5.( 3) n  3  n  12 (thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy n  12 .
Câu 5: Cho hai hàm số y = x2 và y = mx + 4 ,với m là tham số
a) Khi m = 3 ,tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số trên.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ,đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau
tại hai điểm phân biệt A1(x1 ;y1) và A2(x2 ;y2)Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (y1)2
+ (y2)2 = 72


2
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y x và đường thẳng (d):

y 2x  2m  8 (với m là tham số).

a) Khi m = – 4, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) .
b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại hai điểm
phân biệt có hồnh độ x1; x2. Tìm m để x1 + 2x2 = 2.
Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d):

x 2 2mx  2m  8  x 2  2mx  2m  8 0 (*)

Khi m = – 4, phương trình (*) trở thành:
 x 0
x 2  8x 0  
 x  8

a)

Với x = 0 thì y = 0; với x = – 8 thì y = 64
Vậy khi m = – 4 thì tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (0; 0) và (– 8; 64).
(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt có các hồnh độ dương
 Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2
 ' m 2  2m  8 (m  1) 2  7  0 m
 Phương trình (*) ln có 2 nghiệm phân biệt
 (d) ln cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

 x1  x 2 2m

x x  2m  8
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:  1 2
Theo đề bài: x1  2x 2 2

(1)
(2)

(3)

Từ (1) và (3), ta có hệ:
b)

 x1  x 2 2m


x

2x

2
 1
2

 x1 2  2m

 x 2 4m  2

Thay vào (2) được:
(2  2m)(4m  2)  2m  8   4m 2  7m  2 0

Giải phương trình được

m 2;m 

1
4

1

m  2;  
4  là các giá trị cần tìm.


Vậy

Câu 7:
a/ Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1):

y  m2  1 x  2m

(m là tham số) và

(d2): y 3x  4 . Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (d1) và (d2) song song với
nhau
b/ Cho phương trình:

x 2  2  m  1 x  2m  5 0

phương trình đó có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn

(với m là tham số). Tìm các giá trị của m để

x

2
1

 2mx1  2m  1  x2  2  0


a/ Để đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau thì
  m 2

 m 2  1 3
 m2 4
 a a '

 
 
   m  2  m  2

b b '
 2m 4
m 2
m 2


Vậy với m = - 2 thì đường thẳng (d1) song song vi đường thẳng (d2)
x 2  2  m  1 x  2m  5 0

b/

2

Ta có:

2

 '  m  1  2m  5 m 2  4m  6  m  2   2  0

với mọi m, nên phương trình ln

có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo vi ét ta có
 x1  x2 2m  2

 x1 x2 2m  5

Để

x

1

2

 2mx1  2m  1  x2  2  0

 x 2  2  m  1 x1  2m  5  2 x1  4   x2  2  0
=>  1

=>

 4  2 x1   x2  2  0 =>  2  x1   x2  2  0 =>

=>

2  x2  x1   x1 x2  4 0

Thay vào ta có :
Vậy

m

2  2m  2    2m  5   4 0

2 x2  4  x1 x2  2 x1 0

=> 4m  4  2m  5  4 0 =>

2m  3 0  m 

3
2

3
2

Câu 8: Cho các hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và y = x + 2 có đồ thị là (d).
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông (đơn vị trên các trục bằng
nhau).
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
3
3
 1 ; 0)
(0;
 1)
2
c) Tìm các điểm thuộc (P) cách đều hai điểm A 2
và B
.
(

HD: a)Bảng một số giá trị tương ứng của (P):
x
-2
-1
0
1
2
y
4
2
0
2
4
Vẽ (d): y = x + 2: Cho x = 0  y = 2  (0; 2) (d)
Cho x = 1  y = 3  (1; 3) (d)
Đồ thị:


b) Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d):
x2 = x + 2  x2 – x – 2 = 0
 x 2
 y  4  (2; 4)
 x  1

 
  y 1  (  1;1)

Vậy:(d) cắt (P) tại hai điểm (2; 4) và (-1; 1).
c) Gọi M(xM; yM)  (P) và cách đều hai điểm A, B
2

M

3
1
2
và MA = MB. Đặt xM = x, a =

Ta có: yM = x
MA2 = (xA – xM )2 + (yA – yM )2= (a – x)2 + (0 – x2)2 = a2 – 2ax + x2 + x4.
MB2 = (xB – xM )2 + (yB – yM )2 = (0 – x)2 + (a – x2)2 = x2 + a2 – 2ax2 + x4.
MA = MB  MA2 = MB2
 a2 – 2ax + x2 + x4 = x2 + a2 – 2ax2 + x4.
 x 0
 y  0  (0;0)
 

 x 1   y 1  (1; 1)
 2ax2 – 2ax = 0  x2 – x = 0

Vậy có hai điểm thỏa đề bài: O(0; 0) và M(1; 1)
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y  k  1 x  4 (k là tham
2

số) và parabol (P): y x .
1. Khi k  2 , hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);
2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) ln cắt parabol
(P) tại hai điểm phân biệt;
3. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm
k sao cho: y1  y 2 y1 y 2 .
HD:

Với k = 2 ta có đường thẳng (d): y = 3x + 4
Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
x2 = 3x + 4


x2 + 3x  4 = 0

Do a + b + c = 1 + 3  4 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x =  4
Với x = 1 có y = 1

Với x = 4 có y = 16

Vậy khi k=2 : (d) cắt (P) tại 2 điểm có toạ độ là (1; 1); (4; 16)
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
x2 = (k  1)x + 4 

x2  (k  1)x  4 = 0

Ta có ac = 4 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.


Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Với mọi giá trị của k; đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân
biệt có hồnh độ x1, x2 thoả mãn:

 x1  x 2 k  1

 x1x 2  4

2

2
Khi đó: y1 x1 ; y 2 x 2

2
2
2 2
Vậy y1 + y2 = y1 y 2  x1  x 2 x1 x 2  (x1 + x2)2  2x1x2 = (x1 x2)2

 (k  1)2 + 8 = 16  (k  1)2 = 8  k 1  2 2 hoặc k 1  2 2
Vậy k 1  2 2 hoặc k 1  2 2 thoả mãn đầu bài.
Câu 10: Cho hàm số y = ax2
a) Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm M ( -2 ; 8)
b) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị ( P) của hàm số đã cho với giá trị a
vừa tìm được và đường thẳng (d) đi qua M (-2;8) có hệ số góc bằng - 2 .Tìm
tọa độ giao điểm khác M của (P) và ( d).
HD:
2
M -2;8
+ Đồ thị (P) của hàm số y =ax đi qua điểm 
, nên: 8 = a x (-2)2 suy ra a =
2
2

Vậy: a=2 và hàm số đã cho là: y =2x
+ Đường thẳng (d) có hệ số góc bằng -2, nên có phương trình dạng: y =-2x+b
M -2;8

 , nên 8 = 2 x(-2) + b suy ra b = 4 và (d) : y = -2x + 4
+ (d) đi qua điểm 
+ Vẽ (P); Vẽ (d)

+ Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:
2x2 =-2x+4  x2 +x- 2=0

+ Phương trình có hai nghiệm: x1 =1;x2 =-2
2

Do đó hồnh độ giao điểm thứ hai của (P) và (d) là x =1 y =21 =2
Vậy giao điểm khác M của (P) và (d) có tọa độ: N(1;2)
Câu 11: Cho hàm số y = mx – m + 2 có đồ thị là đường thẳng (dm).
1.Khi m = 1 , hay x vẽ (d1).
2.Tìm toạ độ điểm cố định mà đường thẳng (dm) ln đi qua với mọi giá trị của m.
Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm M(6 ; 1) đến đường thẳng (dm) khi m thay đổi.
HD: Cho hàm số y = mx – m + 2 (dm)
1.Khi m = 1 thì (d1) : y = x + 1.
Bảng giá trị :
x
-1
0
y=x+1
0
1
Vẽ : Đồ thị hàm số y = x + 1 là 1 đường thẳng đi qua hai điểm (-1 ; 0) và (0 ; 1).
2. Gọi A(xA ; yA) là điểm cố định mà (dm) luôn đi qua khi m thay đổi.


Ta có : yA = mxA – m + 2.
 yA – 2 = m(xA – 1) (*)
Xét phương trình (*) ẩn m , tham số xA , yA :
 x A  1 0



 y A  2 0

 xA 1

 y A 2

Pt(*) vô số nghiệm m khi
Vậy (dm) luôn đi qua 1 điểm A(1 ; 2) cố định khi m thay đổi.
2

Ta có : AM = (6  1)  (1  2)
Từ M kẻ MH  (dm) tại H.

2

 26

+Nếu H  A thì MH = 26 .(1)
+Nếu H khơng trùng A thì ta có tam giác AMH vuông tại H
=> HM < AM =
Từ (1)(2) suy ra MH 

26 .

26

(2)

Vậy, khoảng cách lớn nhất từ M đến (dm) khi m thay đổi

là 26 (đvđd).
Câu 12: Cho hàm số y = ax + b. Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số đã cho song
1
song với đường thẳng y = -3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol (P): y = 2 x2 có

hồnh độ bằng -2.
HD: + Đồ thị hàm số y ax  b song song với đường thẳng y  3x  5 ,
nên a  3 và b 5.
+Điểm A thuộc(P)có hồnh độ x  2 nên có tung độ

y

1
2
  2  2
A  2; 2 
2
.Suy ra: 

+ Đồ thị hàm số y  3x  b đi qua điểm A   2; 2  nên: 2 6  b  b  4
Vậy: a  3 và b  4
Câu 13: Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d): y =mx - 2 (m là tham số, m ≠ 0
)
a. Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng Oxy.
b. Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d).
c. Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d). tìm các giá
trị của m sao cho yA + yB = 2(xA + xB) – 1
HD: Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – 2 (m là tham số, m ≠ 0 )
a. Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng Oxy.

TXĐ: R
BGT:
x
-2 -1 0 1 2
2
y=x
4
1
0 1 4
Điểm đặc biệt:
Vì : a = 1 > 0 nên đồ thị có bề lõm quay lên trên.


Nhận trục Oy làm trục đối xứng. Điểm thấp nhất O(0;0)
ĐỒ THỊ:
y
b. Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d).
Khi m = 3 thì (d) : y = 3x – 2
y=x2
Phương trình tìm hồnh độ giao điểm:
x2 = 3x – 2
x2 - 3x + 2 = 0
4
(a+b+c=0)
=>x1 = 1 ; y1 = 1 và x2 = 2; y2 = 4
Vậy khi m = 3 thì d cắt P tại hai điểm
(1; 1) và (2; 4).
c.
Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) là hai giao điểm phân1biệt của (P) và (d). tìm các
giá trị của m sao choyA + yB = 2(xA + xB) – 1(*)

-2

-1 0

1

y A = mx A  2

2

x

y B = mx B  2

Vì A(xA; yA), B(xB; yB) là giao điểm của (d) và (P) nên: y A  y B =m  x A  x B   4
Thay vaøo (*) ta coù:
m  x A  x B   4 2  x A  x B   1  m  x A  x B  2  x A  x B   3
 m

2  xA  xB 

x

A

 xB 



3

3
 m 2 
 xA  xB 
 xA  xB 

Câu 14: a) Cho hàm số y = ax + b. tìm a, b biết đồ thị hàm số đẫ cho đi qua hai điểm
A(-2; 5) và B(1; -4).
b)Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2
- tìm điều kiện của m để hàm số ln nghịch biến.
-Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ bằng
HD: 1.Ta có a, b là nghiệm của hệ phương trình
5 = -2a + b

-4 = a + b

-3a = 9

 -4 = a + b



2
3

a = - 3

 b = - 1

Vậy a = - 3 vào ta có b = - 1
2. Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2

- Để hàm số nghịch biến thì 2m – 1 < 0  m < \f(1,2 .
-Để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng



2
3 . Hay đồ thị hàm số

2
đi qua điểm có toạ độ ( 3 ;0). Ta phải có pt 0 = (2m– 1).(-\f(2,3 ) +m +2  m = 8


Câu 15: Cho hàm số y = x2 và y = x + 2
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính


c) Tính diện tích tam giác OAB
HD: Cho hàm số y = x2 và y = x + 2
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
Lập bảng :
x
0
-2
x
-2
-1
0
1
2

y=x
y=x+2
2
0
4
1
0
1

2
4

y
B

A
C
K

O

x
H

b)Tìm toạ độ giao điểm A,B :
Gọi tọa độ các giao điểm A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) của hàm số y = x2 có đồ thị
(P) và y = x + 2 có đồ thị (d)
Viết phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d)
x2 = x + 2  x2 – x – 2 = 0
( a = 1 , b = – 1 , c = – 2 ) có a – b + c = 1 – ( – 1 ) – 2 = 0

 x1  1

;

x2 

c
2

2
a
1

thay x1 = -1  y1 = x2 = (-1)2 = 1 ;
x2 = 2  y2 = 4
Vậy tọa độ giao điểm là A( - 1 ; 1 ) , B( 2 ; 4 )
c)Tính diện tích tam giác OAB :
OC =|xC | =| -2|= 2 ; BH = |yB | = |4| = 4 ; AK = | yA | = |1| = 1
- SOAB = SCOH

1
1
- SOAC = 2 (OC.BH - OC.AK)= ... = 2 (8 - 2)= 3đvdt
1
2 . Hãy xác

Câu 16: Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + 1 với m là tham số và m ¿
định m trong mỗi trường hơp sau :
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( -1;1 )
b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lượt tại A , B sao cho tam giác

OAB cân.
HD: a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;1) => Tọa độ điểm M phải thỏa mãn hàm
số :
y = (2m – 1)x + m + 1 (1)


Thay x = -1 ; y = 1 vào (1) ta có: 1 = -(2m -1 ) + m + 1
<=> 1 = 1 – 2m + m + 1
<=> 1 = 2 – m
<=> m = 1
Vậy với m = 1 Thì ĐT HS : y = (2m – 1)x + m + 1 đi qua điểm M ( -1; 1)
c) ĐTHS cắt trục tung tại A => x = 0 ; y = m+1 => A ( 0 ; m+1)
 OA =

m 1

 m 1
 m 1
Đt h/s cắt truc hoành tại B => y = 0 ; x = 2m  1 => B ( 2m  1 ; 0 )
 m 1
=> OB = 2m  1 Tam giác OAB cân => OA = OB

<=>

m 1

 m 1
= 2m  1 Giải PT ta có : m = 0 ; m = -1

Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d):

y  k  1 x  4

(k là tham

2

số) và parabol (P): y x .
1. Khi k  2 , hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);
2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) ln cắt parabol
(P) tại hai điểm phân biệt;
3. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm
k sao cho: y1  y 2 y1 y 2 .
HD:
Với k = 2 ta có đường thẳng (d): y = 3x + 4

Khi đó phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
x2 = 3x + 4 
x2 + 3x  4 = 0
Do a + b + c = 1 + 3  4 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x =  4
Với x = 1 có y = 1Với x = 4 có y = 16
Vậy khi k =2 đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2điểm có toạ độ là (1; 1); (4; 16)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
x2 = (k  1)x + 4 

x2  (k  1)x  4 = 0

Ta có ac = 4 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.
Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

Với mọi giá trị của k; đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thoả mãn:

 x1  x 2 k  1

y x12
 x1x 2  4
Khi đó: 1
Vậy y1 + y2 = y1 y 2 

x12  x 22 x12 x 22

;

y 2 x 22


 (x1 + x2)2  2x1x2 = (x1 x2)2 (k  1)2 + 8 = 16
 (k  1)2 = 8
Vậy



k 1  2 2 hoặc k 1  2 2

k 1  2 2 hoặc k 1  2 2 thoả mãn đầu bài.

Câu 18: Cho 3 đường thẳng có phương trình:
2
(d2): y 2 x  1 (d3): y (3  m) x  m  5 với m 3

(d1): y 3x  1

a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d1) và (d2).
b) Tìm giá trị m để (d1), (d2), (d3) đồng quy.
c) Gọi C là giao điểm (d1) với trục hoành, B là giao điểm của (d2) với trục hồnh.
Tính đoạn BC.
HD: a) Toạ độ giao điểm A là nghiệm của hệ
 y 3x  1


 y 2 x  1

 x  2

 y  5

Vậy A(-2;-5)
b) Để (d1), (d2), (d3) đồng quy thì (d3) đi qua A
2
Khi đó có:  2(3  m)  m  5  5 
9
m
2
Kết luận: m 2 hoặc

C (

1
1
; 0)

B ( ;0)
3
Toạ độ 2 ;

m1 

9
2 ; m2 2 (t/m)

1 1 5
BC  xB  xC   
2 3 6

c) Toạ độ
Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x 2 và đường thẳng (d) : y
= 2x + 3
1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB (
O là gốc toạ độ)
Giải
1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Hồnh độ giao điểm đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình
x2 = 2x + 3 => x2 – 2x – 3 = 0 có a – b + c = 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
c 3
 3
x1 = -1 và x2 = a 1

Với x1 = -1 => y1 = (-1)2 = 1 => A (-1; 1)
Với x2 = 3 => y2 = 32 = 9 => B (3; 9)

Vậy (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt A và B
2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là
gốc toạ độ)


Ta biểu diễn các điểm A và B trên mặt phẳng toạ độ Oxy như hình vẽ

S BOC
S AOD
A
D
-1

Theo cơng thức cộng diện tích ta có:
S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO)
= 20 – 13,5 – 0,5 = 6 (đvdt)

1
C
0

AD  BC
1 9
.DC 
.4 20
2
2
BC .CO 9.3



13, 5
2
2
AD.DO 1.1

 0, 5
2
2

S ABCD 

B

9

3

Câu 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – a2 = 0 và
Parabol (P):
y = ax2 (a là tham số dương)
a) Tìm giá trị a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng tỏ khi đó A
và B nằm bên phải trục tung.
b) Gọi x1 ; x2 lần lượt là hồnh độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của
M

4
1

x1  x 2 x1x 2

HD : a) Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P) là :
ax2 = 2x – a2 <=> ax2 - 2x + a2 = 0
∆ / = 1 – a3
Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt điều kiện cần và đủ là :
∆/ = 1 – a3 > 0 <=> a < 1
Vậy với a > 0 và a < 1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
- Với điều kiện a > 0 và a < 1 theo hệ thức Vi-ét ta có : x1 + x2 = 2 > 0 và x1x2
=a>0
=> x1 > 0 và x2 > 0 => hai điểm A và B đều có hồnh độ dương nên chúng nằm bên
phải trục tung.
b) Gọi x1 ; x2 lần lượt là hoành độ của A và B.
M

4
1

x1  x 2 x1x 2 = 2 +

1
a

Để có x1 ; x2 thì a ≤ 1 ;
minM = 3 khi và chỉ khi a lớn nhất khi đó a = 1 và khi đó A và B trùng nhau
Vậy minM = 3 <=> a = 1.
1
y  x2
2
Câu 21 : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số
và

đường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm I ( 0 ; 2 ).
a) Viết phương trình đường thẳng (d).


b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
c) Gọi x1 , x2 là hoành độ hai giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị của m
3

3

để x1  x 2 32
HD: a) Phương trình đường thẳng (d) có dạng : y = ax + b
Vì đường thẳng (d) có hệ số góc m nên ta có: y = mx + b.
Vì: (d): y = mx + b qua điểm I(0; 2): Nên: 2 = m.0 + b => b = 2.
Vậy phương trình đường thẳng (d)là : y = mx +2.
1
y  x2
2
b)Ta có: (P):

(d): y = mx +2.
1 2
x mx  2  x 2  2mx  4 0  1
PT hoành độ giao điểm của (P) và (d): 2
Vì: a = 1 > 0 và c = - 4 < 0  a; c trái dấu  PT (1) có hai nghiệm phân biệt 

(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
c) PT (1) ln có hai nghiệm phân biết x1; x2 phân biệt:
Theo Viet ta có:
 x1 + x 2 = 2 m


 x1x 2 = -4

Ta có:

2
x13  x 32  x1  x 2   x12  x1x 2  x 2 2   x1  x 2    x1  x 2   3x1x 2  32



 2m [ (2m)2 – 3(-4)] = 32  8m3 + 24m – 32 = 0
 m3 + 3m – 4 = 0
 m3 - m + 4m - 4 = 0
 m ( m2 – 1) + 4( m – 1) = 0  m ( m – 1)( m + 1) + 4( m – 1) = 0
 ( m – 1) [ m( m + 1) + 4] = 0

 ( m – 1)( m2 + m + 4) = 0

1
1 1
1
15
2
Ta thấy : m + m + 4 = m + 2. 2 m + 4 - 4 + 4 = (m + 2 ) + 4 > 0 với mọi m
Nên : m – 1 = 0  m = 1
2

2

3

3
Vây: m = 1 thì x1  x 2 32
Câu 22: Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx (d), với m là tham số.
1/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 9.
2/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm, mà khoảng cách giữa hai

điểm này bằng 6
HD : 1/ P.trình hồnh độ giao điểm (P) và (d) :
2

2

 x 0
x 2  mx 0  x( x  m) 0   1
 x2 m

Vì giao điểm  ( P) : y  x  y m . Với y = 9 => m2 = 9  (m = 3 v m = -3)
Vậy với m 3 thì (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 9.


2/ Từ câu 1 => (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi m 0 . Khi đó
giao điểm thứ nhất là gốc toạ độ O ( x = 0; y = 0), giao điểm thứ 2 là điểm A có ( x =
m; y = m2).
2
4
4
2
Khoảng cách giữa hai giao điểm : AO = m  m  6  m  m  6 0

(1)

2

2
Đặt t m ;(t 0) khi đó (1)  t  t  6 0 => (t1 = 3 ( nhận ) v t2 = - 2 ( loại))

Với t1 = 3  m2 = 3 => m  3 ( nhận)
Vậy với m  3 thì (P) cắt (d) tại hai điểm có khoảng cách bằng 6 .
Câu 23: a.Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M có hồnh độ bằng 2 và M
2
thuộc đồ thị hàm số y  2x . Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và
điểm M ( biết đường thẳng OM là đồ thị hàm số bậc nhất).
x 2  5x  1 0  1
b.Cho phương trình
. Biết phương trình (1) có hai nghiệm x1 ;x 2 .

Lập phương trình bậc hai ẩn y ( Với các hệ số là số nguyên ) có hai nghiệm lần lượt
là

y1 1 

1
1
và y 2 1 
x1
x2

1
y  x2
2

Câu 24: Cho parabol (P):
và đường thẳng (d): y = (m – 1)x – 2 (với m là

tham số).
a) Vẽ (P).
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) tại điểm có hồnh độ dương.
c) Với m tìm được ở câu b), hãy xác định tọa độ tiếp điểm của (P) và (d).
a)+ Lập bảng giá trị đúng (chọn tối thiểu 3 giá trị của x trong đó phải có giá trị x = 0).
+ Vẽ đúng dạng của (P).
1 2
x (m  1)x  2
b, + Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d): 2

 x2 – 2(m – 1)x +4 = 0
  ' 0


 b'

0

+ Lập luận được:  a

2
 m  1  4 0

 m  1  0

m  1 hc m 3


 m  1
+ Kết luận được: m

=3
x

 b' m  1 3 1


2
a
1
1

c,+ Tìm được hồnh độ tiếp điểm:
+Tính được tung độ tiếp điểm: y = 2 và kết luận đúng tọa độ tiếp điểm là (2; 2).

 a 0 

Bài 25: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax 2
và đường
thẳng (d): y = bx + 1
1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2)


2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) cịn có một điểm chung
N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)

 a 0 

HD:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax 2
và đường
thẳng (d): y = bx + 1
1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2)
M (P)  …  a = 2  y = 2x2
M  (d)  …  b = 1  y = x + 1
2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) cịn có một điểm chung N khác
M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ) .Xét pt hoành độ gđ: 2x 2 = x +
1  2x2 - x - 1 = 0

 x 1  y 2
 1 1

 M  1; 2  ; N   ; 
1
1
 x   y 
 2 2
2
2

S MON Sthang   S1  S2  0, 75(dvdt)
2

Bài 26: Cho Parabol (P): y x và đường thẳng (d): y = (2m – 1)x – m + 2 (m là tham
số)
a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân
biệt.
b) Tìm các giá trị m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt

A(x1 ; y1 ) ; B(x 2 ; y 2 ) thỏa mãn

x1 y1  x 2 y 2 0

a) Phương trình hồnh độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P) là:
2

x   (2m  1)x  m  2 0
 x 2  (2m  1)x  m  2 0 (*)
2

2
2
Vì    (2m  1)   4 1(m  2) 4m  8m  9 4  m  1  5  0 với mọi m
nên (*) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Vậy với mọi m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1 ; y1 ) ; B(x 2 ; y 2 )
2
2
b) Ta có: y1 x1 ; y 2 x 2 (vì hai điểm A và B thuộc (P) ), nên:

x1 y1  x 2 y 2 0  x13  x 23 0  (x1  x 2 )3  3x1x 2 (x1  x 2 ) 0

(1)

 x1  x 2 2m  1

mà hoành độ các giao điểm A và B là nghiệm của (*) nên:  x1x 2 m  2

(Vi-et)

Do đó:

(1)  (2m  1)3  3(m  2) (2m  1) 0  (2m  1)  (2m  1) 2  3(m  2)  0
2

7  63 
 (2m  1)(4m  7m  7) 0  (2m  1)   2m 
   0  2m  1 0
4  16 
 
2

Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1 ; y1 ) ; B(x 2 ; y 2 ) thỏa mãn khi m = 0,5.