CAC BT TIM X

BÀI TẬP ƠN HSG-TỐN 6- DẠNG TỐN TÌM X
Bài 1: a) 2 . 5 . 32 + {[2 . 53 - (5. x + 4) . 5] : (22 . 3 . 5)} = 453
2

x  1 3x  5 2 x  5 x  3 210

 

2
9
9
420
b) 3

a
b
3 x  3  2 x  ( 5 x)  3 3 x  5 1
a) 450+{[2 . 5 - (5. x + 4). 5]:60}= 453


3
9
2
2
{[2 . 5 - (5. x + 4). 5]:60}= 453-450
b)
[2 . 125 - (5. x + 4). 5]:60= 3
3x  5 1

250 - (5. x + 4). 5 = 3 . 60 =180
2

0+ 2
(5. x + 4). 5 = 250 - 180 = 70
3x - 5 = 1
5.x + 4 = 70 : 5 = 14
x=6:3=2
5.x = 14 - 4 = 10
x = 10 : 5 = 2
Bài 2 :Cho x là tổng của tất cả các số nguyên có 2 chữ số, y là số nguyên âm lớn nhất.
3

Hãy tính giá trị của biểu thức A = 2009 . x2006 - 2008 . y2007
7
33 3333 333333 33333333
− x .( +
+
+
)=22
4
12 2020 303030 42424242

b) Tìm x biết
HD: a) Ta có x = - 99 + ( - 98 ) + ....+ ( -11 ) + ( - 10 ) + 10 + 11 + ...+ 98 + 99
x = ( - 99 + 99 ) + ( - 98 + 98 ) + ... + ( -11 + 11 ) + ( - 10 + 10 )
x = 0  x2006 = 0 và y = - 1  y2007 = ( - 1 )2007 = - 1
Do đó ta có A = 2009 . x2006 - 2008 . y2007 = 0 - 2008.( -1 ) = 2008
b)

7
33 3333 333333 33333333
− x .( +

+
+
)=22
4
12 2020 303030 42424242

Ta có

7
33 33 33 33
− x .( + + + )=22
4
12 20 30 42



7
1 1 1 1 1 1 1 1
− x . 33.( − + − + − + − )=22
4
3 4 4 5 5 6 6 7
.
7
1 1
7
4
− x . 33.( − )=22
− x . 33. =22
4
3 7

4
21





Bài 3: Tìm x là số tự nhiên, biết: a) x : (
b)

x +1
2

8
x+1

=

9
a) x : (



7
1 1 1 1
− x . 33.( + + + )=22
4
12 20 30 42

1

2

-

3
2

9

1
2

 -11.x = 22

3
- 2 )=

2 2
0,4+ −
9 11
8 8
1,6+ −
9 11

c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3

)=

2 2
0,4+ −

9 11
8 8
1,6+ −
9 11

 x = -2

2 2
0,4  
7 11
 x :8 
2 2

4  0,4   
7 11 


d)

2 x  7 20  5.(  3)



x+1
2

b)

x:8=

1
4

=

8
x+1



x=3




x=2

.Vậy x = 2
2

(x + 1) = 16 = ( 4)2

 x = - 5 . Do x  N nên x = 3.
c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3  52x - 3 = 52.3 + 2.52  52x - 3 = 52.5  52x - 3 = 53
 2x - 3 = 3  2x = 6  x = 3. Vậy x = 3
*) x + 1 = 4

d)

*) x + 1 = - 4

2 x  7 20  5.(  3)  2 x  7 5  2x  7 5

 2x =12  x = 6 *) 2x – 7 = - 5  2x = 2  x = 1 Vậy x   6;1
Bài 4:a) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3.
*) 2x – 7 = 5

b) Tìm các số tự nhiên x, y biết:

2x + 1 . 3y = 12x

c) Cho số 155∗710∗4∗16 có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu (*) bởi các
chữ số khác nhau trong ba chữ số 1; 2; 3 một cách tuỳ ý thì số đó ln chia hết cho 396.

2n  2 5n  17
3n


n2 n2
d) Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số tự nhiên:B = n  2
a) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3.
xy - x + 2y = 3





( xy – x) + (2y – 2) = 1

x( y – 1) + 2( y – 1) = 1

 y  1 1


x

2

1
*) 



(y – 1)( x + 2) = 1

 y 2

 x  1

 y  1  1


x

2

1
*) 

 y 0


 x  3

Vậy x = - 1 ; y = 2 hoặc x = -3 ; y = 0

22 x 3 y
 x  2 x  1 3 y  x
x 1
3
b) 2x + 1 . 3y = 12x  2x + 1 . 3y = (4.3)x = 22x.3x  2


Nhận thấy : ( 2, 3) = 1
x–1=y-x=0
x=y=1

c) Ta thấy, vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và
vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp { 1;2;3 } nên tổng của chúng luôn
bằng 1+ 2+ 3 = 6.
Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đơi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần
chứng minh A = 155∗710∗4∗16 chia hết cho 4 ; 9 và 11.
Thật vậy :
*) A ⋮ 4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4
*) A ⋮ 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 :
1+ 5+ 5 +7+ 1 + 4 + 1+ 6 + (*+*+*) = 30 + 6 = 36 chia hết cho 9
*) A ⋮ 11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là
0, chia hết cho 11. {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)} = 18 – 12 – 6 = 0 Vậy A ⋮
396

2n +2 5n +17 3n 2n +2+5n +17-3n 4n +19

+
=
=
n +2 n +2
n +2
n +2
d) B = n +2
4n  19 4(n  2)  11
11

4 
n2
n2
B = n2


11
Để B là số tự nhiên thì n  2 là số tự nhiên ⇒

n + 2 ¿ Ư(11) =  1; 11
Do n + 2 > 1 nên n + 2 = 11 ⇒ n = 9

11 ⋮ (n+2)

⇒

Bài 5:

Vậy n = 9 thì B

¿

N

Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1 + 2 + 3 + …….+ n =

Dãy số 1; 2; ………; n có n số hạng  1 + 2 +…+ n =

aaa

(n+1).n
2

Mà 1 + 2 + 3+…..+ n = aaa
(n+1). n
2

Suy ra
= aaa = a . 111 = a . 3.37  n(n + 1) = 2.3.37.a
Vì tích n(n + 1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n ⋮ 37 hoặc n + 1 ⋮ 37
(n+1). n
2
Vì số

có 3 chữ số  n+1 < 74

⇒

n = 37 hoặc n + 1 = 37

37 .38
=703
2
+) Với n = 37 thì
( loại)
36 .37
=666
2
+) Với n + 1 = 37 thì
( thoả mãn)

Vậy n = 36 và a = 6. Ta có: 1+ 2 + 3+…..+ 36 = 666
2 4 5
 
 1 3  5 9 11
x :9   
 2 2  8  16  20
5 9 11
Bài 6: Tìm x biết a/
a

b

b/

1
2
 1 
2x     2  4. 
3

 2

2 4 5
2 4 5
 
 
x
 1 3  5 9 11
5
9 11
x :9   
 
8
16
20
2
4 5
8

x 1
 2 2
 
4     
5 9 11
 5 9 11 
8 4
Ta có
3
1
1 7

1
1
1
2
 1 
2x     2  4.    2x   4 4.  2x  4  
3
3
8
3
2 2
 2
1 7

2x



3 2
 
1 7
23
23
 2x  1  7
2x - =

3
2
3 2 → 2x = 6 → x = 12
+) TH1:

1
7
- 19
- 19
23  19
2 x - =x ;
3
2 → 2x = 6 → x = 12 Vậy
12 12
+) TH2:

Bài 7:
a/ Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng số đó chia cho 4,6,7 đều dư 3.
b/ Tìm số nguyên tố p sao cho p+10 và

p  14

đều là số nguyên tố

3

Vậy x=2


c/ Tìm các số nguyên x, y thoả mãn điều kiện

a

x  y  2   y 3

Gọi số cần tìm là a . điều kiện a  N,a 100
Vì a chia cho 4, 6, 7 đều dư 3  a  3⋮4,6,7
 a – 3  BC  4;6;7  = B  84  = 

0; 84; 168; 252; ...

87;171; 255; ...

 và vì a là số tự nhiên có ba chữ số.
a
Vậy  a  3⋮BCNN  4,6,7   a  3⋮84
b

c

Vì a 100  a  3 97 , và a là số nhỏ nhất có 3 chữ số
 a  3 168  a 171 Vậy số cần tìm là 165
Nếu p = 3 thì p+10=13; p+14=17 đều là số nguyên tố  p 3 là giá trị cần tìm
*
Nếu p 3 , vì p là số ngun tố nên p có dạng p 3k  1 (với k  N ) hoặc
p 3k  2 (với k  N ).
*
Với p 3k  1 (với k  N )  p  14 3k  1  14 3  k  5  ⋮3 và P + 14 >3
nên p + 14 là hợp số.
Với p 3k  2 (với k  N )  p  10 3k  2  10 3  k  4  ⋮3 và P + 10 > 3
nên p + 10 là hợp số.
Do đó nếu p 3 thì một trong hai số p+10, p+14 là hợp số nên khơng thoả mãn bài
tốn. Vậy p = 3
x  y  2   y 3  x  y  2    y  2  1   x  1  y  2  1
 1

Ta có:

Vì x, y là các số nguyên nên x-1, y+2 cũng là các số nguyên
Từ (1) suy ra x-1 và y+2 là ước của 1.
Với x-1=1 và y+2=1. Suy ra x=2 và y=-1
Với x-1=-1 và y+2=-1.suy ra x=0 và y=-3
Vậy (x,y)=(2,-1); (0,-3)
Có thể làm: Từ x(y + 2) – y = 3  x =

y 3
1
1 
y2
y 2

 1

Vì x, y nguyên nên y + 2  Ư =  1  y = – 1 ; – 3 vậy
2
19x  2.52  :14  13  8   42

Bài 8: Tìm x biết a)
b) x   x  1   x  2   ...   x  30  1240

( x; y )   2;  1 ;  0;  3 

c) 11 - (-53 + x) = 97
d) -(x + 84) + 213 = -16
Câu
a.

Đáp án
2

 19x  2.5  :14  13  8

2





2
2
2
 42  x  14.   13  8   4   2.5 :19  x 4


b.

c.
d.



  x x  ...

x
     1  2  ...  30  1240


x   x  1   x  2   ...   x  30  1240  31 So hang 
30. 1  30 
775
 31x 
1240  31x 1240  31.15  x 
25
2
31
 x 11  97  (  53)  33
11 - (-53 + x) = 97
  (x  84)  16  213   (x  84)  229
-(x + 84) + 213 = -16
 x  84 229  x 229  84 145

Bài 9:
Đáp án

Điểm

Từ dữ liệu đề bài cho, ta có :
+ Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:
a = 15m; b = 15n
(1)
và ƯCLN(m, n) = 1
(2)
+ Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy ra :
 BCNN  15m; 15n   300 15.20
 BCNN  m; n   20
(3)
+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy ra :

(4)
 15m  15 15n  15. m  1 15n  m  1 n
Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp : m
= 4, n = 5 là thoả mãn điều kiện (4).
Vậy với m = 4, n = 5, ta được các số phải tìm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75
Bài 9 : Tìm các số nguyên x biết.

3

3

a.

 24  5
 5
.
  x
35 6
 3 

b.

(7 x  11)3 ( 3) 2 .15  208

c. 2 x  7 20  5.( 3)

HD:

(7 x  11)3 ( 3) 2 .15  208  (7 x  11)3 9.15  208
18

(7 x  11)3 73  7 x  11 7  x 
7
(không thỏa mãn)

2 x  7 20  5.( 3)
2 x  7 5  [2 x 75  [2 x12  [ x6

2 x 7 5

2 x2

x1

Vậy

x   1;6

Bài 10: Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5,chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì
dư bao nhiêu?
HD: Gọi số đó là a , Vì a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4
 a  9⋮7; a  9⋮13 mà (7,13)=1 nên

a  9⋮7.13


 a+9=91k  a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (k  N)Vậy a chia cho 91 dư 82.

Bài 11: Tìm hai số, biết:
a/ Tổng hai số bằng 361 và số lớn chia số nhỏ được thương là 9 và số dư là 11.
b/ Hiệu hai số là 578 và số lớn chia số nhỏ được thương là 8 và dư là 53.

HD: a/ Giả sử hai số cần tìm là a và b với a > b , ta có:
Tổng hai số bằng 361, do đó; a + b = 361 ( 1)
Số lớn chia số nhỏ được thương là 9 và dư 11, do đó: a = 9 . b + 11 ( 2)
Thay ( 2) vào (1), ta được: 9 . b + 11 + b = 361 ⇒9 b +b=361−11=350
⇒10 . b=350 ⇒ b=350 :10=35 . Vậy b = 35 suy ra a = 9 . 35 +11 = 326
b/ Giả sử hai số cần tìm là a và b với a > b , ta có:
Hiệu hai số bằng 578, do đó; a - b = 578 ( 1)
Số lớn chia số nhỏ được thương là 8 và dư 53, do đó: a = 8 . b + 53 ( 2)
Thay ( 2) vào (1), ta được: 8 . b + 53 - b = 578 ⇒7 b=578−53=525 ⇒b=525 :5=75
Vậy b = 35 suy ra a = 578 + 75 = 653
Bài 12: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn:
x+1
2
2
2
x−1
3
2
a/ 3 −2=3 +[5 −3 ( 2 −1 ) ]
b/ 2 +3 =5 + 2. 5
HD:
x+1
2
2
2
a/ 3 −2=3 +[5 −3 ( 2 −1 ) ]
x+1
3 −2=9+[ 25−3 ( 4−1 ) ]
3 x+1 −2=9+[ 25−9 ]

x−1
3
2
b/ 2 +3 =5 + 2. 5
x−1

2 +27=25+10=35
x−1
3
2 =35−27=8=2

x–1=3
x=3+1
x=4

x+1

3 −2=9+16=25
3 x+1 =25+2=27=3 3
x + 1= 3
x=2

x   x   x  ( x  1)   1
Bài 13: 1) Tìm x  Z , biết:
.

2) Tìm các chữ số x, y sao cho 2014 xy M42
a 1
1
 

3) Tìm các số nguyên a, b biết rằng: 7 2 b 1

4) Tìm số tự nhiên n để (n +3)(n + 1) là số nguyên tố.
5) Cho n 7a5  8b4. Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b.
x   x   x  ( x  1)  1  x   x   x  x  1  1
1)
2)

 x   x  2 x  1 1  x  x  2 x  1 1  2 x 2  x 1
2014 xy 201400  xy 42.4795  10  xy M42  10  xy M42

0  xy  100 nên xy   32; 74 . Vậy (x; y) = (3; 2), (7; 4)
a 1
1
2a  7
1
 


 (2a  7)(b  1) 14.
14
b 1
3) 7 2 b  1
 1; 2; 7; 14 .
a, b  Z

Do

Do

nên 2a – 7

Ư(14) =

  7;  1;1;7  a  0;3; 4;7 .




Vì 2a – 7 lẻ nên 2a – 7 
Từ đó tính được: (a; b) = (0; -3), (3; -15), (4; 13), (7; 1)


14 a 14b
16 a 16b
: 
 N  14Ma
: 
 N  16Ma
Ta có: 75 b 75a
và bM75 Tương tự: 165 b 165a
và bM175
a
Để b là số lớn nhất thì a = ƯCLN(14; 16) = 2
a
2

Và b = BCNN(75; 165) = 825.Vậy b 825

4) Tìm số tự nhiên n để (n +3)(n + 1) là số nguyên tố

Giải: Để (n +3)(n + 1) là số nguyên tố thì n + 3=1 hoặc n + 1 =1.
Mà n + 3 > n + 1 1 . Suy ra n + 1 = 1  n 0 .
Khi đó n + 3 = 3 là số nguyên tố. Vậy n = 0 thì (n + 3)(n + 1) là số nguyên tố
5) Tìm các số a, b để n =
Ta có: n =

7 a5  8b4 M9

7 a5  8b 4 M9  7  a  5  8  b  4 M9

 24  a  bM9  a  b   3;12

(vì a + b < 19).
Mà a – b = 6 nên a + b > 3. Do đó a + b = 12.
Kết hợp với a – b = 6, suy ra a = 9, b = 3.

1 2 3 4
2014
1
S      ... 
.
S .
2
3
4
2014
4
2
4 4 4
4

6) a) Cho tổng gồm 2014 số hạng:
Chứng minh rằng:
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết rằng: n +S(n) = 2014, trong đó S(n) là tổng các chữ số của n.

2 3
4
2014
4 S 1     ... 
2
3
4 4
4
4 2013 .
a) C/m: Ta có
1 1
1
1
2014
3S 4 S  S 1  
  ... 

2
3
2013
4 4
4
4
42014
Suy ra:
1 1

1
1
1 1
1
1
 3S  1     ... 
.
1




...

.
2
3
2013
4 42 43
4
42013
4
4
4
Đặt M =

1 1
1
1
 4M 4  1     ... 

2
3
2012
4 4
4
4
3M 4 M  M 4 

1

42013
4
4 4 1
3S   S   
3
9 8 2
Do đó:
Ta có:

4 M 

4
3

b) Nếu n là số có ít hơn 4 chữ số thì n 999 và S(n) 27
Suy ra: n + S(n)  999 + 27 = 1026 < 2014( không thỏa mãn ).
Mặt khác n n  S (n) 2014 nên n là số có ít hơn 5 chữ số. Vậy n là số có 4 chữ số, suy ra
S(n)  9.4 = 36. Do vậy n  2014 – 36 = 1978.
Vì 1978  n  2014 nên n = 19ab hoặc n = 20cd
* Nếu n = 19ab . Ta có: 19ab + (1 + 9 + a + b) = 2014

 1910  11a  2b 2014  11a  2b 104  a M2
và 11a = 104 – 2b  104 – 2.9 = 86  8 10  a , mà a M2 nên a = 8
 b 8  n 1988 (thỏa mãn).

* Nếu n = 20cd . Ta có: 20cd + (2 + 0 + c + d) = 2014
 2002  11c  2d 2014  11c  2d 12  c M2
Và 11c  12, nên c = 0 hoặc c = 1.

+ Với c = 0 thì d = 6, ta có n = 2006 (thỏa mãn)


+ Với c = 1 thì 2d =1 ( khơng thỏa mãn).

 1988; 2006
Vậy n 

2 x.  3 y  2   (3 y  2)  55
Bài 14: 1) a) Tìm các số nguyên x, y biết:

1
1
1
1
1
 2  2  ... 
 2 1
2
2
(n  1)
n

b) Chứng minh rằng: 2 3 4
với n  N , n 2 .

P

4n  1
2n  3

2) Cho biểu thức:
a) Tìm số nguyên n để P nhận giá trị là số ngun.
c) Tìm số ngun n để P có giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm số ngun n để P có giá trị lớn nhất.
p  q
3) Cho p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn: p = q + 2. Tìm số dư khi chia 
cho 12.
a
2 x 3 y  2   (3 y  2)  55   3 y  2  (2 x  1)  55
Ta có: 
 3 y  2 và 2 x  1 là ước của 55. Ta có bảng sau:
2x  1
-55
-11
-5
-1
1
5
11
55
3y  2
1

5
11
55
-55
-11
-5
-1
x
-28
-6
-3
-1
0
2
5
27
y
1
/
/
19
/
-3
-1
/
Vậy (x;y)= (-28;1); (-1;19); (2;-3); (5;-1)
1)
1
1
1

1
1
b
   ... 

1

Đặt A= 2

2

32

42

( n  1) 2

n2

với n  N , n 2 . Ta có:

1
1
1
1
1


 ... 


2.2 3.3 4.4
( n  1).( n  1) n.n
1
1
1
1
1
 A


 ... 

1.2 2.3 3.4
(n  2)(n  1) (n  1).n
1 1 1 1 1
1
1
1
 A  1       ... 
  A 1  A 1
2 2 3 3 4
n 1 n
n
4n  1 2(2n  3)  5
5
P

2 
2n  3
2n  3

2n  3
Ta có
5
Để P có giá trị là một số ngun thì 2n  3 phải có giá
A

a

2n+3 là ước của 5
b
Vì

2

P 2 

trị là số nguyên hay

 2n  3    5;  1;1;5  n    4;  2;  1;1

5
5
2n  3 , để P có giá trị nhỏ nhất thì 2n  3 phải có giá trị lớn nhất

 2n  3 có giá trị nhỏ nhất mà n  Z  2n  3  Z nên 2n  3 là số nguyên
dương nhỏ nhất  2n  3 1  n  1

Vậy với n= -1 thì P có giá trị nhỏ nhất và bằng -3
c
Vì

P 2 

5
5
2n  3 , để P có giá trị lớn nhất thì 2n  3 phải có giá trị nhỏ nhất

 2n  3 có giá trị lớn nhất mà n  Z  2n  3  Z nên 2n  3 là số nguyên
âm lớn nhất  2n  3  1  n  2

3

Vậy với n= -2 thì P có giá trị lớn nhất và bằng 7
Cho p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn: p = q + 2. Tìm số dư khi


pq

 cho 12.
chia 
Vì q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 ( (k  N )
+ Nếu q = 3k + 1 thì p = 3k + 3 nên p⋮3 , loại vì p là số nguyên tố lớn hơn 3.
+ Nếu q = 3k + 2 thì p = 3k + 4. Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên k lẻ
Ta có p  q 6(k  1) ⋮12 vì k +1 chẵn.
Vậy ( p  q)⋮12 hay số dư khi chia p  q cho 12 bằng 0.
Bài 15 : a) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b.
b) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3
Đáp án
a) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có :
+ Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:

a = 15m; b = 15n
(1)
và ƯCLN(m, n) = 1
(2)
+ Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy ra :
 BCNN  15m; 15n   300 15.20
 BCNN  m; n   20
(3)
+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy ra :
(4)
 15m  15 15n  15. m  1 15n  m  1 n
Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp : m = 4, n
= 5 là thoả mãn điều kiện (4).
Vậy với m = 4, n = 5, ta được các số phải tìm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75

a) 3 + 2x -1 = 24 – [42 – (22 - 1)]

Bài 14: Tìm x, biết:

b) (x+1) + (x+2) + (x+3) + ...+ (x+100) = 205550
c)

x 5

= 18 + 2.(-8)

1
0
d) (3x – 24 ) .75 = 2.76. 2009

Tìm chữ số tận cùng của các số: a) 799 b) 141414 c) 4567
S 

3
3
3
  ....... 
6 10
4950

Bài 15: a) Tính tổng:
2
3
4
96
b) Chứng minh rằng: 3  3  3 3  .......  3 ⋮7
a
4 6
;
a, b  N *
1) Tìm phân số tối giản b lớn nhất
sao cho khi chia mỗi phân số 75 165
a
cho b ta được kết quả là số tự nhiên.





2) 2) Cho 2014 điểm, trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu
tam giác mà các đỉnh là 3 trong 2014 đỉnh đó.

Câu 1: (4 điểm)
1/ (2đ) Để chia hêt cho 36 thì chia hết cho 4 và 9 vì (4;9) =1
Để chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 +y chia hết cho 9  12 + x + y chia hết cho 9 (1)
chia hết cho 4 khi 5y chia hết cho 4  y = 2 hoặc y = 6
Với y = 2 thay vào (1) ta có 14 + x chia hết cho 9  x = 4 Với y = 6 thay vào 1 ta có 18
+ x chia hết cho 9  x = 0 hoặc x = 9
Vậy các cặp (x ;y ) cần tìm là (4 ;2) ,( 0 ;6), (9 ;6)
2/ Ta có a.b = UCLN(a,b) x BCNN(a,b) = 420.21 = 8820. Vì ƯCLN (a,b) =21 nên a =21
m, b=21n ĐK (m,n)=1, m+1 = n
 a.b = 21m . 21n = 441m. n = 8820  m.n = 20. Vì m + 1 = n  m = 4 , n = 5  a =
21 .4 = 84 ,b = 21 . 5 = 105
Câu 2: (5 điểm) Tìm x ¿ Z biết
1/ 2 |x| + 5 = 23
x = 9 hoặc -9
2/ (x+5) ( x-2 ) < 0 =>( x+5 ) và (x-2 ) trái dấu . Mà x+5 > x-2 => x+5 > 0 và x-2 <
0=>-5 < x < 2=> x = -4 hoặc -3;-2 ;-1 0; 1.
3/ 100x +5050 = 5750
→ x
=7
6 n−1 2(3 n+2)−5
5
=
=2−
3 n+2
3 n+2
Câu 3: (2 điểm)Ta có A= 3 n+2
5

A có GTNN khi 3 n+2 có GTLN < => 3n +2 là số nguyên dương nhỏ nhất

<=> n = 0
Câu 1: (4đ) 1. Tìm các cặp số ( x;y ) sao cho chia hết cho 36
2.Tìm hai số a,b biết bội chung nhỏ nhất của a;b là 420,ước chung lớn nhất của a;b là 21
và a + 21 = b
Câu 2: (5đ) Tìm x ¿ Z biết
1.2 |x| +5 =23
2.(x + 5)(x - 2) < 0
3.(x +1) + (x+2) +(x+3) +............+(x+100) = 5750
6 n−1
Câu 3: (2đ) Cho phân số A = 3 n+2

.Tìm n

¿

Z để A có giá trị nhỏ nhất

Bài 5 (2,0 điểm)
a. Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc  ab ac 7
2015
94
1
A  (7 2012  392 )
2
b. Cho
. Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5.

Bài 2 (4,0 điểm)

a. Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3) 2 = 50


b. Tỡm cỏc chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
c. Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố l ớn h ơn 3 thì p 2 - 1 chia hết cho 3.
Bài 3 (4,5 điểm)
B

5
n  3 ( n  Z , n 3)

a. Cho biểu thức :
Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là s ố nguyên.
b.Tỡm cỏc số nguyờn tố x, y sao cho: x2 + 117 = y2
100
c. Số 2 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số .
Bài 5 (2,0 điểm)
a. Tỡm cỏc chữ số a, b, c khỏc 0 th ỏa món: abbc  ab ac 7
2015
94
1
A  (7 2012  392 )
2
b. Cho
. Chứng minh A là số tự nhiờn chia hết cho 5.

 x  3 12
 x 15




 x  9
2
2
 x  3  12

a. Biến đổi được : (x-3)2=144 12 (  12)
Vì x là số tự nhiên nên x= - 9 (loại). Vậy x = 15
b. Do A =
2
(4,0 đ)

Vỡ A =

0.5 đ
0,5 đ

x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nờn y = 1.Ta cú A = x1831

x1831 chia cho 9 dư 1  x1831 - 1 ⋮9  x1830 ⋮9

0,5 đ

 x + 1 + 8 + 3 + 0 ⋮9  x + 3 ⋮9, mà x là chữ số nờn x = 6

0,5 đ

Vậy x = 6; y = 1
c. Xét số nguyên tố p khi chia cho 3.Ta có: p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( k  N*)
Nếu p=3k+1 thì p2-1 = (3k+1)2 -1 = 9k2+6k chia hết cho 3

Nếu p=3k+2 thì p2-1 = ( 3k+2)2-1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3
Vậy p2-1 chia hết cho 3.

3
(4,5 đ)

1.0 đ

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ

a. Để B nhận giá trị nguyên thì n - 3 phải là ước của 5

0,5 đ

=> n - 3  {-1;1;-5;5} => n  { -2 ; 2; 4; 8}

0,75 đ

Đối chiếu đ/k ta được n  { -2 ; 2; 4; 8}
b. Với x = 2, ta cú: 22 + 117 = y2  y2 = 121  y = 11 (là số nguyờn tố)
* Với x > 2, mà x là số nguyờn tố nờn x lẻ  y2 = x2 + 117 là số chẵn
=> y là số chẵn
kết hợp với y là số nguyờn tố nờn y = 2 (loại)
Vậy x = 2; y = 11.
c. Ta có : 1030= 100010 và 2100 =102410. Suy ra : 1030 < 2100 (1)
Lại có : 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125
Nờn : 2100< 1031 (2). Từ (1) và(2) suy ra số 2100 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số .

0,25 đ
0,5 đ

Bài 16: 1) a. Cho ababab là số có sáu chữ số. Chứng tỏ số

ababab

0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

là bội của 3.


b. Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 …+ 52004. Chứng minh S chia hết cho 126 và chia hết
cho 65.
2) Tìm số tự nhiên x biết :
2 + 4 + 6 + 8 +…+ 2x = 210
a. x +( x+1 )+( x +2)+…+(x + 2010 )= 2029099
b.
-

ababab

=

ab

ab .100 + ab = 10101 ab .
ababab chia hết cho 3 hay ababab

.10000 +

- Do 10101 chia hết cho 3 nên
là bội của 3.
Có: 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53)
= 5. 126 + 52.126 + 53.126
 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 126.
S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + … + 51998(5 + 52 + 53 + 54 + 55 +
56).
Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126.
Có: 5 + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 5. 130.
 5 + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 .
S = 5 + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + … + 52000(5 + 52 + 53 + 54 )
Tổng trên có (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65.
 2011x + 1+2+…+2010 =2029099
2010. 2011
2011 x+
=2029099
2

2010 .2011
2011 x=2029099 2

2010. 2011

x= 2029099 :2011=
2

4
 2(1 + 2 + 3 +…+ x )= 210
x ( x+1 )
2
=210
2

 x (x +1 )=210
- Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15)
-

(

)

Bài 17: a. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p + 11 cũng là số nguyên tố.
b. Tìm tất cả các số nguyên tố p để p + 8, p + 10 cũng là các số nguyên tố.
c) Mét phÐp chia cã thơng bằng 5 và số d là 12. Nếu lấy số bị chia chia cho tổng số chia
và số d ta đợc thơng là 3 và số d là 18. Tìm số bị chia.
a) - Nu p l p + 11 là số chẵn lớn hơn 11 nên không là số nguyên tố.
- Suy ra p chẵn  p = 2.
b) - Nếu p chia 3 dư 1 thì p + 8 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên không là số nguyên tố.
- Nếu p chia 3 dư 2 thì p + 10 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên không là số nguyên tố.


- Suy ra p chia hết cho 3, p nguyên t nờn p = 3.
c) Gọi số bị chia là a; sè chia lµ b (b  0) PhÐp chia có thơng bằng 5 số d là 12 a = 5b+12

Số bị chia chia cho tổng số chia và số dđợc thơng là 3 và số d là 18
a = (b +12). 3 + 18 = 3b + 54
 5b + 12 = 3b + 54  b = 21  a = 117 VËy sè bÞ chia lµ 117.

Bài 18: 1) Tìm x là các số tự nhiên, biết:
x +1
2

a)

=

8
x +1

9

b) x : (

1
2

3
- 2 )=

2) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho

A=
3) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh

2 2
0,4+ −
9 11
8 8
1,6+ −
9 11

34x5y chia hết cho 36 .

−9
−19
−9 −19
+
;
B=
+
10 2010 10 2011
10 2011 102010

n−1
n+4

4. Cho A =
a) Tìm n nguyên để A là một phân số.
b) Tìm n nguyên để A là một số nguyên.
x +1
2

8
x +1

1 a)
=
 (x + 1)2 = 16 = ( ± 4)2
+) x + 1 = 4 => x = 3 +) x + 1 = - 4 => x = -5 (loại) Vậy x = 3

9

1
2

3
- 2 )=

2 2
0,4+ −
9 11
8 8
1,6+ −
9 11

1b) x : (
2) Ta có 36 = 9.4. Mà ƯC(4,9) =1
Vậy để

19 3
−
 x :( 2 2 ) =

2 2

0,4+ −
9 11
2 2
4 0,4+ −
9 11

(

)

34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho 4 và 9

34x5y chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y ⋮ 9 => 12 + x + y ⋮ 9 (1)
34x5y chia hết cho 4 khi 5y⋮ 4 => y = 2 hoặc y = 6
Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x ⋮ 9 => x = 4
Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x ⋮ 9 => x = 0 hoặc x = 9
Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6)
9
 19
9
 10
9
A  2010  2011  2010  2011  2011
10
10
10
10
10
3: Ta có
9

 19
9
 10
9
B  2011  2010  2011  2010  2010
10
10
10
10
10
 10
 10
 2010
2011
10
Ta thấy 10
=> Vậy A > B

4a) A =

n−1
n+4

là phân số khi n + 4

¿

0 => n

¿

-4



x 1
=
8 4 => x = 2


n−1
n+4

n+4−5
5
=1−
n+ 4
n+ 4

b) A =
=
Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên  5 ⋮ n + 4 hay n + 4 ¿ Ư(5)
Lập luận tìm ra được n = -9, -5, -3, 1
Bài 19: 1) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng

minh rằng tổng của 31 số đó là số dương.
HD: Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì
tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết.
Tách riêng số dương đó cịn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi
nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số

đã cho đều là số dương.
2) Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi
số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận
được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10.
HD: Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0 , 1 ,2, ….,
9 nên ln tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là
một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10.

Câu 2(4,0 điểm): Tìm các số nguyên x biết.
3

 24  5
 5
.
  x
35 6
a.  3 
3
2
b. (7 x  11) ( 3) .15  208

c.

2 x  7 20  5.( 3)

câu 2
(4điểm)

0.5
0.5

a (1,0)


b (1,5)

(7 x  11)3 ( 3) 2 .15  208

0.5

3

(7 x  11) 9.15  208
(7 x  11)3 7 3
18
 7 x  11 7  x 
7

(không thỏa mãn)
c (1,5)

0.5
0.5

2 x  7 20  5.( 3)
2 x  7 5

 [2 x 75  [2 x12  [ x6
2 x 7 5
2 x2

x1
x   1;6
Vậy

0.5
0.5
0.5

Câu3(4,0)

Gọi số đó là a
Vì a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4

0.25

a (2,0)

 a  9⋮7; a  9⋮13 mà (7,13)=1 nên
a  9⋮7.13

1.0

 a+9=91k  a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (k  N)

Vậy a chia cho 91 dư 82.

1.0
0.25

Câu 5(2,0 điểm):

Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố
hay là hợp số.
n là số nguyên tố, n > 3 nên n không chia hết cho 3.
Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1
do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006
= 3m+2007
= 3( m+669) chia hết cho 3.
2
Vậy n + 2006 là hợp số.

0.5
0.5
0.75
0.25

1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
2. Cho A= 9999931999 - 5555571997
Chứng minh rằng A chia hết cho 5.
3 . 5. chứng minh rằng:
1

a) 2
1

b) 3

1 1 1
1
1 1
 




4 8 16 32 64 3
2
3
4
99 100 3
 3  4  ...  99  100 
2
16
3
3
3
3
3

Bài 20:
1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a) 571999
b) 931999
HD: Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số :


a) 571999 ta xét 71999
Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3
ỵVậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 3
b) 931999 ta xét 31999
Ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27 Suy ra chữ số tận cùng bằng 7
2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5

Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận
cùng của từng số hạng.
Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7
Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận cùng là 7
Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5.
a
3) Cho phân số b ( a < b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay
a
bé hơn b ?

Theo bài toán cho a < b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m)
a am

 ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab)  a(b+m) < b( a+m)  b b  m
4) Cho số 155 * 710 * 4 *16 có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chưc

số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ thì số đó ln chia hết cho 396.
HD: Ta nhận thấy, vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn
và vì ba chữ số đó đơi một khác nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nên tổng của chúng luôn bằng
1+2+3=6. Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đơi một ngun tố cùng nhau nên ta cần
chứng minh
A = 155 * 710 * 4 *16 chia hết cho 4 ; 9 và 11.
Thật vậy :
+A ⋮ 4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4
+ A ⋮ 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 :
1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9
+ A ⋮ 11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia
hết cho 11.
{(1+5+7+4+1)-[5+1+6+(*+*+*)]}= 18- 12 - 6 =0 Vậy A ⋮ 396
1 1 1 1

1
1 1 1
1
1
1
1

 


  2  3 4  5  6
5) a) Đặt A= 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2
1 26  1
1 1
1
1
1
1
1  2  3  4  5
 6 1
6
2 2
2
2
2  2A+A =3A = 1- 2
2
 2A=
 3A < 1  A < 3
1 2
3

4
99 100
2 3
3
4
99 100
 2  3  4  ...  99  100
 2  3  3  ...  98  99
3
3
3
3
5b) Đặt
A= 3 3 3 3
3A= 1- 3 3 3 3
1 1
1
1
1 100
1 1
1
1
1
 2  3  ...  98  99  100
 2  3  ...  98  99
3
3
3
3
3

 4A = 1- 3 3 3
 4A< 1- 3 3 3
(1)
1 1
1
1
1
1 1
1
1
 2  3  ...  98  99
 2  ...  97  98
3
3
3
3
Đặt B= 1- 3 3 3
 3B= 2+ 3 3
1
3
3
3
99
4B = B+3B= 3- 3 < 3  B < 4 (2) Từ (1)và (2)  4A < B < 4  A < 16


Bài 21: Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ từ từ A đến B là
A1; A2; A3; ...; A2004. Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A;
A1; A2; A3; ...; A2004 ; B. Tính số tam giác tạo thành
HD: Trên đoạn thẳng AB có các điểm A; A1; A2; A3; ...; A2004 ; B do đó, tổng số điểm

trên AB là 2006 điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó.
Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn
thẳng tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác.
Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005 . 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý
là MA kết hợp với MA1 để được 1 tam giác thì MA1 cũng kết hợp với MA được 1 tam giác
và hai tam giác này chỉ là 1)
Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : 2 = 2011015
Bài 22: Tìm các số tự nhiên k để 3k + 4 chia hết cho k - 1.
HD
3k + 4 chia hết cho k - 1 hay 3k -3 + 7 chia hết cho k -1
Do 3k - 3 = 3(k - 1) chia hết cho k - 1 nên 7 chia hết cho k -1
k-1 là ước của 7 nên k-1 = 7 hoặc k -1 = 1
Suy ra được k = 8 hoặc k = 2.
Bài 23: Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1 + 2 + 3 + …….+ n =
Dãy số 1; 2; ………; n có n số hạng  1 + 2 +…+ n =
Mà 1 + 2 + 3+…..+ n = aaa

(n+1). n
2

(n+1). n
2

Suy ra
= aaa = a . 111 = a . 3.37  n(n + 1) = 2.3.37.a
Vì tích n(n + 1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n ⋮ 37 hoặc n + 1 ⋮ 37
(n+1). n
2
Vì số

có 3 chữ số  n+1 < 74

⇒

n = 37 hoặc n + 1 = 37

37 .38
=703
2
+) Với n = 37 thì
( loại)
36 .37
=666
2
+) Với n + 1 = 37 thì
( thoả mãn)

Vậy n = 36 và a = 6. Ta có: 1+ 2 + 3+…..+ 36 = 666

n−2
Bài 24: 1) Cho A = n+3 .Tìm giá trị của n để:
a) A là một phân số.

b) A là một số nguyên.

aaa


a ) A=
HD:

-3

b ) A=

n−2
n+3 là phân số khi: n-2

¿

Z , n+3

¿

Z và n+3

¿

0

⇔

n

¿

Z và n

¿

n−2 (n+3 )−5

5
=
= 1−
n+3
n+3
n+3

A là số nguyên khi n+3

n+3 ¿
10 n−3
B=
4 n−10
2) a)Tìm số tự nhiên n để phân số
¿

Ư(5)

⇔

{−1; 1; −5; 5 }

⇔

n

¿

{−4 ; −2; −8; 2 }

đạt GTLN .Tìm GTLN đó.

x 3 1
− =
9
y 18
b)Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:
HD: 2)

a ) B=

10 n−3 5(2 n−5)+22 5 22
5 11
=
= +
= +
4 n−10
2 2(2 n−5 ) 2 2 n−5
2 ( 2 n−5 )

11
B đạt giá trị lớn nhất khi 2 n−5
11
2 n−5
giá trị nhỏ nhất

đạt giá trị lớn nhất. Vì 11> 0 và không đổi nên
đạt giá trị lớn nhất khi:2n - 5> 0 và đạt

2n - 5 = 1 ⇔ n = 3

5
+11=13 ,5
Vậy:B đạt giá trị lớn nhất là 2
khi n = 3
⇔

x 3 1
3 x 1 2 x−1
− =
= − =
b) Từ 9 y 18 ta có: y 9 18 18
(x,y ¿ N)
Suy ra: y(2x-1) = 54 do đó y ¿ Ư(54) = { 1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54 } , vì 54 là số chẵn mà 2x-1
là số lẻ nên y là ước chẵn của 54. Vậy y ¿ { 2; 6; 18 ; 54 } . Ta có bảng sau:
y

2

6

18

54

2x-1

27

9

3

1

x

14

5

2

1

Vậy

(x;y)

{(14;2);(5;6);(2;18);(1;54)}
Câu 25: Tìm x là số tự nhiên, biết:

a) x : (

9

1
2

3
- 2 )=

c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3

2 2
0,4+ −
9 11
8 8
1,6+ −
9 11

b)
d)

x +1
2

=

8
x+1

2 x  7 20  5.( 3)

2n  2 5n  17
3n


n2 n2
d) Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số tự nhiên:B = n  2

¿


9
a) x : (



)=

1
4



x=2

.Vậy x = 2

=

8
x +1



x=3

1
2

x:8=

x +1
2

b)

3
2

2 2
0,4+ −
9 11
8 8
1,6+ −
9 11

-

*) x + 1 = 4
c) 5

2x - 3

2

2

– 2.5 = 5 .3



(x + 1)

2

= 16 = ( 4)2

*) x + 1 = - 4
2x - 3

5



2

= 5 .3 + 2.5

5

d)

2 x  7 20  5.( 3)  2 x  7 5  2x  7 5

2

= 5 .5

2x - 3

5

=5

3



x = - 5 . Do x  N nên x = 3.

2



2x - 3





2 2
0,4  
7 11
 x :8 
2 2

4  0,4   
7 11 



2x - 3 = 3



*) 2x – 7 = 5  2x =12  x = 6
*) 2x – 7 = - 5
*- a) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3.
xy - x + 2y = 3



( xy – x) + (2y – 2) = 1



 y  1 1  y 2
 

x  2 1  x  1

*)



2x = 6



x = 3. Vậy x = 3

2x = 2



x( y – 1) + 2( y – 1) = 1

x = 1 Vậy x



  6;1

(y – 1)( x + 2) = 1

 y  1  1  y 0
 

x  2  1  x  3

*)

Vậy x = - 1 ; y = 2 hoặc x = -3 ; y = 0

22 x 3 y
 x  2 x  1 3 y  x
x 1
3
b) 2x + 1 . 3y = 12x  2x + 1 . 3y = (4.3)x = 22x.3x  2



Nhận thấy : ( 2, 3) = 1
x–1=y-x=0
x=y=1

2n  2 5n  17 3n 2n  2  5n  17  3n 4n  19




n

2
n

2
n

2
n

2
n2
d) B =
4n  19 4( n  2)  11
11

4 
n2

n2
B = n2
11
Để B là số tự nhiên thì n  2 là số tự nhiên

11 ⋮ (n+2) ⇒ n + 2
Do n + 2 > 1 nên n + 2 = 11
Vậy n = 9 thì B
⇒

¿

⇒
¿

Ư(11) = 
n=9
N

1; 11

Bài 24: Tìm số tự nhiên a biết rằng 276 chia cho a dư 36 và 453 chia cho a dư 21.