bai tap CBH

. Rút gọn biểu thức
Bài 1
a) Tìm ĐKXĐ của S.

S

a a  1 a  a 1

a a
a

b) Rút gọn S.

1   1
1
2 
P  1 


 .
,
x  1   x  0; x 1
x
x

1
x

1




Bài 2. Cho biểu thức:
. Rút gọn biểu thức
P và tìm các giá trị của x để P  1 .

 4 y
8y   y  1
2 
A 

:



 2 y 4 y  y 2 y
y

 
 , với y  0, y 4, y 9 .
Bài 3. Cho biểu thức
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm y để A  2 .
Giải

 4 y
8y   y  1
2 
A 

:




 2 y 4 y  y 2 y
y

 

1. Rút gọn biểu thức
4 √ y . ( 2 − √ y ) +8 y √ y − 1− 2 ( √ y −2 )
8 √ y − 4 y .+ 8 y √ y −1− 2 √ y + 4
:
:
A=
=
( 2+ √ y )( 2 − √ y ) √ y . ( √ y −2 )
( 2+ √ y ) ( 2 − √ y )
√ y . (√ y − 2)
−4 y
4 √ y ( 2+ √ y )
8 √ y .+ 4 y
− √ y +3
√ y . ( √ y −2 )
:
A=
=
.
=
3−√y
( 2+ √ y ) ( 2 − √ y ) √ y . ( √ y − 2 )

( 2+ √ y ) ( 2 − √ y )
3 −√ y
−4 y
2) Thay A  2 vào ta có
=-2 ⇔ 4y=- 6 + 2 √ y ⇔ 4y + 2 √ y - 6 = 0
3−√y
Đặt t = √ y
0 nên t2 = y ⇔ 4t2 + 2t - 6 = 0 ⇔ 2t2 + t - 3 = 0
có dạng a+ b + c = 0 nên phương trình có 1 nghiệm t1= 1( Thỏa mãn) áp dụng hệ thức vi ét ta có t2
3

=- 2 <0 loại .Với t = 1 nên y =1
 a 2
a 2
T 

a 2
 a 2
Bài 4. Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ của biểu thức T.
b) Rút gọn biểu thức T.
1
 1
P 

 1 x 1 x
Bài 5. Cho biểu thức

 
4 

 .  a 

a 
 

 x 1

x


a) Tìm ĐKXĐ của biểu thức P.
b) Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào x.
1
x 1
P 2
:
x  x x x  x  x ( với x > 0 và x ≠ 1).
Bài 6. Cho biểu thức
1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tìm các giá trị của x sao cho 3P = 1+ x.
Giải


P

1
x 1
1
x 1
:


:
x2  x x x  x  x
x ( x )3  1
x x  x 1


1)







x x

1
x

 
x 1
1








x  1 x  x 1

x 1

x 1
x 1

Bài 7. Rút gọn biểu thức: P =

y 1 



y 1



x 1 

y 1

y 1 

y 1

với x, y > 0.

Giải
Đặt a =

y 1
x + 1 > 0, b =
> 0, b2 =
2(a  1) 2 x

b2  1
y

y 1

, thay vào biểu thức và thực hiện phép tính rút gọn ta

( a – 1 = x và b2 – 1 = y ).
 x x 2
 1 x
x
P 

:
x x  2 x 2 x  2 x

Bài 8. Rút gọn biểu thức:
với x  0; x 1; x 4 .
Giải
x x 2
x
1 x
A (


):
x x  2 x 2 x 2 x

được kết quả P =

A (

A (
A

x



x 2



x 1
x



x 2



x 2



x 1

x 2







x
x



x 2



x
x



x 2



):

1
2

x
x

):

1
2

x
x

2
x 1

Bài 9. Rút gọn B = (
Bài 10. Thu gọn các biểu thức sau :

A=

( x > 0 ; x ≠ 1)

x
x1
x  10



x  4 ( x  0, x ≠ 4)
x 2
x 2

B = (13  4 3)(7  4 3)  8 20  2 43  24 3
Giải
x
x1
x  10


x  4 ( x  0, x ≠ 4)
x 2
x 2
x ( x  2)  ( x  1)( x  2)  x  10
A
x 4
x  2 x  x  3 x  2  x  10 2 x  8 2( x  4)
A


2
x 4
x 4
( x  4)

A


B (13  4 3)(7  4 3)  8 20  2 43  24 3

B 91  52 3  28 3  48  8 20  2



4 3 3



2

B 43  24 3  8 20  8  6 3 43  24 3  8 28  6 3
B 43  24 3  8

3



3 1

2

43  24 3  24 3  8 35

P

1
4

x  2 x 4

Bài 11. Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.

x

1
4.

b) Tính giá trị của biểu thức P khi
1 
x 1
 1
P 

:

 x  x x  1  x  2 x  1 với x > 0, x  1.
Bài 12. Cho biểu thức:

1.Rút gọn biểu thức P.
2.Tìm x để P = -1.
Bài 13.

a. Tính : 12 

75  48

5 2 6
2 3

A
b. Tính giá trị biểu thức

Giải

5 2 6
A

2

3
b.



2
2

3
3



2

2


2

3
3



3 2
 1
2 3

Bài 14. Thu gọn các biểu thức sau:
5 5
5
3 5


5 2
5  1 3 5
x
1  
2
6


B 


 : 1 

x 3 
x x 3 x 

 x 3 x
A

(x>0)

Giải
5 5
5
3 5


5 2
5  1 3 5
(5  5)( 5  2)
5( 5  1)
3 5(3  5)



( 5  2)( 5  2) ( 5  1)( 5  1) (3  5)(3  5)
A

5  5 9 5  15
5  5  9 5  15

3 5  5 
4
4
4
3 5  5  5  2 5  5

3 5  5 


x
1  
2
6


B 


 : 1 

x 3 
x x 3 x 
 x 3 x

(x>0)



x
1   x 2
6



 : 


x 3 
x
x ( x  3) 
 x 3
x  1  ( x  2)( x  3)  6 

:

x  3 
x ( x  3)

( x  1).

x

1

x x

x 1
x  1 khi x = 9
Bài 15. 1) Tính giá trị của biểu thức
1  x 1
 x 2
P 

.
x

2

x
x

2

 x  1 với x > 0 và x 1
2) Cho biểu thức
A

x 1
x

P

a)Chứng minh rằng
b)Tìm các giá trị của x để 2P 2 x  5
Bài 16. Rút gọn biểu thức

P

x 2
2x  2

x  2 , với x > 0, x 2
2 x x 2

Bài 17. 1) Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức:

A

1

2 1

8  10
2 5

a
a 
a 1



:
a  2  a  4 a  4 với a > 0, a  4.
2) Rút gọn biểu thức B =  a  2 a

Giải

1)

A

1

2 1

8  10
2 1



1
2 5

2(2  5)
 2  1
2 5

2  1

a
a 
a 1



:
a  2  a  4 a  4 với a > 0, a  4.
2) B =  a  2 a

=


a
a 
a 1
a
a  ( a  2) 2



:






a 2 a
a  2 a  4 a 4  a  2
a  2
a 1

=
a  a ( a  2)2
a (1  a ) ( a  2)2



 a ( a  2)
a 2
a 1
a 2
a 1

Bài 18. a/ Tính:

2 √ 25+3 √ 4

c/ Rút gọn biểu thức A =

A
Bài 19. Rút gọn biểu thức:

( √√x +2x + √ x2− 2 ) : √x+x+42

với x  0 và x  4

10 x
2 x 3
x 1


x 3 x  4
x  4 1 x

( x 0; x 1)


Giải

Rút gọn biểu thức:
10 x
2 x3
x 1
A


( x 0; x 1)
x 3 x  4
x  4 1 x

10 x
2 x3
x 1
A


x 4
x1
x 4
x1



10



x  2



x 3






 



x1 

x 4



x 1

x 4





x1

 



10 x  2 x  5 x  3  x  5 x  4
 3 x  10 x  7

=
x 4
x1
x 4
x1



 
 x  1 7  3 x  = 7  3 x
=
 x  4 x  1 x  4





( vì x 0; x 1 )
3

Bài 20. Cho biểu thức: P =



3

x +y
x+ y
. 2
2
2
x − xy+ y x − y 2

, x y

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi: x = √ 7− 4 √3 và y = √ 4 − 2 √ 3
Giải

a) Rút gọn biểu thức P.
x 3+ y 3
x+ y
. 2
P= 2
, với x  y
2
x − xy+ y x − y 2
2
x+ y
(x+ y)(x − xy+ y )
x+ y
.
=
= x−y
2
2
(x − y)( x + y )
x − xy+ y
x+ y

b) P = x − y
x = √ 7− 4 √3 = 2 - √ 3 và y = √ 4 − 2 √ 3 = √ 3 - 1
2- 3  3 1
1
32 3



3
Vậy: P = (2  3)  ( 3  1) 3  2 3
 1
x 
1
A 

 :
 x  1 x  1  x 1
Bài 21. Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A  0 .
Bài 22. Cho biểu thức M = + −
a.Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa. Rút gọn biểu thức M.
b.Tìm các giá trị của x để M > 1
Bài 23.


1
1

a. Tính giá trị của biểu thức A = 6  2 6  2

b. Rút gọn biểu thức B = x  1  2 x  2  1  x  2 với 2 x  3
Giải
1
1 


a) A = 6  2 6  2

6 2 6  2



6 2



6 2





2 6
6

6 4
2

b) B = x  1  2 x  2  1  x  2 (với 2  x  3 )
B





2

x  2  1 1  x  2  x  2  1 1  x  2

B  x  2  1  1  x  2 2 (Vì 2
x 2
x  2
x


 :
x  1  x 1
x  2 x 1
Bài 24. Cho biểu thức A = 
với x  0; x 1
2
1) Rút gọn biểu thức A
( x 1)
2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.

Bài 25. 1) Tính 3 16  5 36

2) Chứng minh rằng với x  0 và x 1 thì

x
1
x 1



x  1 x x
x

1 
1
 2
x 4
:
x 2 x 2
Bài 26. Cho biểu thức P = 

a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P.
3
b) Tim x để P = 2 .

Bài 27. Rút gọn biểu thức
Bài 28. Cho biểu thức:

A=

P

x  2 x 3
x1
+

x x +1
x- x  1

với x 0

x2
x 1
x 1


x x  1 x  x  1 x  1 với x ≥ 0 và x ≠ 1

a.Rút gọn biểu thức P
b.Tìm x để P đạt giá trị nguyên.
Giải

a.

1
x 1

(đ/a 3;2)


P

x2
x 1
x 1


x x  1 x  x 1 x  1



x2
x 1


x x  1 x  x 1

x 1



x2
x 1


x x  1 x  x 1



x2
( x  1)( x  1)
x  x 1


( x  1)( x  x  1) ( x  1)( x  x  1) ( x  1)( x  x  1)



x  2  x  1 x  x  1
x x


( x  1)( x  x  1)
( x  1)( x  x 1)



x ( x  1)
x

( x  1)( x  x  1) x  x  1







x1

x 1

1
x1

x
Vậy với x ≥ 0 và x ≠ 1, thì P = x  x  1
t≥0
b.Đặt t=√ x , đk
t
2

⇒ Pt +(P −1)t + P=0
Ta có P= 2
t +t +1

Đk có nghiệm
Do x ≥ 0 : x ≠ 1

P− 1¿ 2 − 4 P2 ≥0 ⇔ −1 ≤ P ≤

1
3

Δ=¿
1
⇒ P nguyên ⇔
nên 0 ≤ P ≤ 3

P=0

tại x=0

3
2
5 6


2
6 2
6 2

Bài 29. Rút gọn các biểu thức: M =
 2 2  2 2 
 1 
 1

2

1
2

1


P= 

x
3  x 3
A 

 .
x

3
x

3

 x  9 với x 0 ; x 9
B 21



2

2 3  3

5

 
6

2

2

3  3 5

  15 15

 a a  a  a 
Q  1 
 1

a ≥ 0 ; a ≠1
a  1  
a  1 

với

1 

N=  1 
 x x ;
x

1


với x ≥ 0.





3
1 

C 

.
x 1 
 x x  2
1
1

H= 
+
2- a
2 a -a



x 2

 a +1
:
 a-2 a



với x 0 và x 4 .

với a > 0 và a 4 .


A=(

1
2
a - 3 a +2
).(
+1)
a - 2 a- 2 a
a- 2
với a>0,a ¹ 4

A 2 5  3 45 
B

8  2 12


3 1

500
8

Bài 30. Thu gọn các biểu thức sau:
A

1
2 x
1


x  x x  1 x  x với x > 0; x 1

B (2 

3) 26  15 3  (2  3) 26  15 3

Giải
A



1
2 x
1


x x x 1 x x



x

x  x
x2  x

x



2 x
x 1

2 x 2 x 2 x  1 
2 x ( x  1)
2


  1 


x( x  1) x  1 x  1  x 
x( x  1)
x với x > 0; x 1

B (2  3) 26  15 3  (2  3) 26  15 3
1
1


(2  3) 52  30 3 
(2  3) 52  30 3
2
2
1
1

(2  3) (3 3  5) 2 
(2  3) (3 3  5)2
2
2
1
1

(2  3)(3 3  5) 
(2  3)(3 3  5)  2
2
2

Bài 31. Cho biểu thức:


a
a 
a
a




 :

a  b b  a   a  b a  b  2 ab 

A=
với a và b là các số dương khác nhau.
a  b  2 ab
b a
a) Rút gọn biểu thức A –
.
b) Tính giá trị của A khi a = 7  4 3 và b = 7  4 3 .
Giải

Ta có :




a
a  
a
a
A 


 : 

 a  b b  a   a  b a  b  2 ab 



 
a
a
a
A 


 : 
a

b
(
b

a
)(
b

a
)
a

b

 

A

A



2
a b 

a





a( b  a)  a
a( a  b)  a
:
2
( b  a )( b  a )
a b



ab
( b  a )( b 

a)


.



a b



2

ab

a b
b a

A

a  b  2 ab
b a
a  b ( a  b )2


b a
b a
A

a) Ta có :
Vậy

A



( a  b )2  ( a  b )2

0
b a

a  b  2 ab
b a
=0

b) Ta có :
a 7  4 3

b 7  4 3

a 4  4 3  3



a  2

3



 a 2 

2

b 4  4 3  3



b  2 3
3



2

 b 2  3

Thay a 2  3; b 2  3 vào biểu thức

A

a b
b  a ta được :

2 3 2 3
2 3  2 3
4
A
2 3
A

A

2 3
3

2 3
Vậy với a = 7 - 4 3 ; b = 7 + 4 3 thì A = 3 .

x 4
A
x  2 . Tính giá trị của A khi x = 36
Bài 31. 1) Cho biểu thức



x
4  x  16
B 

 :
x

4
x

4

 x  2 (với x 0; x 16 )
2) Rút gọn biểu thức

3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu
thức B(A – 1) là số nguyên.
Giải
36  4 10 5
 
36  2 8 4

1) Với x = 36, ta có : A =

2) Với x , x  16 ta có :
 x( x  4) 4( x  4) 



x  16
x  16 

B=
x 2 
B( A  1) 
.
x  16 
3) Ta có:

x 2
x  16

(x  16)( x  2)
x 2

= (x  16)(x  16) x  16
x 4 
x 2
2
2
 1  
.

x  2  x  16 x  2 x  16

.

1; 2 
Để B( A  1) nguyên, x nguyên thì x  16 là ước của 2, mà Ư(2) = 
Ta có bảng giá trị tương ứng:
x  16 1
1
2
2
x
17
15
18
14
x   14; 15; 17; 18 
Kết hợp ĐK x 0, x 16 , để B( A  1) nguyên thì

1
+
2+2 √ a

Bài 38. Cho biẻu thức : A =

1-

1
2 −2 √ a

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
1

2-

Tìm giá trị của a ; biết A < 3
Bài 39. Cho biểu thức :
 a 1
P 

a

1


 1
a1
 4 a 
a 1
 2a a , (Với a > 0 , a 1)
2
P
a 1
1. Chứng minh rằng :

2. Tìm giá trị của a để P = a
Giải
2
P
a 1
1. Chứng minh rằng :
 a 1

 1
a1
P 

 4 a 
a 1
 a1
 2a a


P
P

2

 

a 1 



2

a  1 4 a





a 1





a 1



a1

a  2 a  1  a  2 a  1  4a a  4 a





a 1

.

a1



a1

.

1

2a a

1
2a a

2

a +1
2
1−a


P

4a a
1
2
.

a  1 2a a a  1 (ĐPCM)

2. Tìm giá trị của a để P = a. P = a
2
a  a 2  a  2 0
=> a  1
.

Ta có 1 + 1 + (-2) = 0, nên phương trình có 2 nghiệm
a1 = -1 < 0 (không thoả mãn điều kiện) - Loại
c 2

 2
a2 = a 1
(Thoả mãn điều kiện)

Vậy a = 2 thì P = a
1   a 1 
 1
K 2 

 :  a2  a 
a

1
a

 
 (với a  0, a 1 )
Bài 40. Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức K.
2. Tìm a để K  2012 .
1  x 2
 1


.
x

2
x


2
x


Bài 41. Cho biểu thức A =

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để

A

1
2

7
B A
3 đạt giá trị nguyên.
c) Tìm tất cả các giá trị của x để

Giải

a, Với x > 0 và x  4, ta có:
1  x 2
x  2 x 2
x 2
 1

.


.
x  2
x = ( x  2)( x  2)
x = ... =
A =  x 2

b, A =

2
x 2 

7
c, B = 3 .
 1,

2
1
x  2 > 2  ...  x > 4.

14
2
x  2 = 3( x  2) là một số nguyên  ... 

x  2 =  7,

2
x 2

x  2 là ước của 14 hay

x  2 =  14.

(Giải các pt trên và tìm x)
 1
1  1
2



 :
x  1 x  x   x 1 x 
Bài 41. Cho biểu thức Q = 

a) Rút gọn Q.
b) Tính giá trị của Q với x = 7 – 4 3 .



1
với x > 0 và x  1.

x 2 =


2a 2  4
1
1


3

1 a 1 a
Bài 42. Cho biểu thức: P = 1  a
a) Tìm điều kiện của a để P xác định
b) Rút gọn biểu thức P.
Giải

a) Tìm điều kiện của a để P xác định: P xác định khi a 0 và a 1
b) Rút gọn biểu thức P.
2a 2  4  1  a  a 2  a  1  1  a  a 2  a  1
2
2a  4
1
1


3
1  a   a 2  a  1

1

a
1

a
1

a
P=
=
2

2
2
2a  4  a  a  1  a a  a a  a  a  1  a 2 a  a a  a
1  a   a 2  a  1

=
2  2a
2
2
2
 1  a   a  a  1 = a  a  1
=
2
2
Vậy với a 0 và a 1 thì P = a  a  1










x 2
x  2
Q 

x x

 x  2 x  1 x  1 


Bài 43. Cho biểu thức
, với x  0, x 1





a. Rút gọn biểu thức Q
b. Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.
Giải






x 2



 x
x 1 


x 2







x 1
x 2
x  2
2
Q 

 x  x
x

1
x 1
 x  2 x 1 x  1 
a.
 x 2
 x  1 1
x  2
x  1 1 
1
1 




 x 
 x  1 

 1
 x
 x 1
x  1
x 1
x1 
x 1
x  1



1 
 1
x  1  x 1
2 x
2x


. x 
. x 
 x 
x  1
 x 1
x 1
x 1
x 1
2x
Q
x 1
Vậy







 

b.
Q nhận giá trị nguyên
2x
2x  2  2
2

2 
x 1
x 1
x 1
2

Q   khi x  1
khi 2 chia hết cho x  1
Q





 x 0
 x 2

 x  1
 x  1 1
 x 2



 x  1 2
 x 3 đối chiếu điều kiện thì  x 3
2  3 6  8 4

2 3 4
Bài 44. 1) Đơn giản biểu thức: A

1

P a  (

a

a 1



1
a  a 1

);(a 1)

2) Cho biểu thức:
Rút gọn P và chứng tỏ P 0
Giải

1) A



2  3  2  6  8  2 ( 2  3  4)(1  2)

1  2
2 3 4
2 3 4

a  a 1 a  a 1
); a 1
a  a 1
a  2 a  1 a  1  2 a  1  1; vi : a 1
P a  (

2
2)  P ( a  1  1) 0; a 1


P 

Bài 44. Cho biểu thức:

4a

a  a1

.
2
a  1 a  a  a
với a >0 và a 1 .

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Với những giá trị nào của a thì P = 3.
Giải

 4a
a  a  1 4a  1 a  1
P 

. 2
 . 2 
a
a
a

1
a

a
a

1



a) Với 0  a 1 thì ta có:
4a  1
 2
a
4a  1

3  3a 2 4a  1
2
 3a 2  4a  1 0
a
b) Với 0  a 1 thì P = 3
1
a
 a = 1 (loại) hoặc
3 (thỏa mãn đk).
1
A
 9  4 5.
52
Bài 45. 1) Tính:
B

2(x  4)
x


x 3 x  4
x 1

2) Cho biểu thức:

a. Rút gọn B.
b. Tìm x để giá trị của B là một số nguyên.
Giải

8
x  4 với x ≥ 0, x ≠ 16.


a. Với x ≥ 0, x ≠ 16, thì:
2(x  4)
x



x 1
B ( x  1)( x  4)

8
2x  8  x ( x  4)  8( x  1)

x 4
( x  1)( x  4)

2x  8  x  4 x  8 x  8
3x  12 x

( x  1)( x  4)
( x  1)( x  4)
3 x ( x  4)
3 x



( x  1)( x  4)
x 1
3 x
B
x  1 với x ≥ 0, x ≠ 16.
Vậy
b. (0,5 đ)


Dễ thấy B ≥ 0 (vì
B 3 
Lại có:

x  0) .

3
3
x 1
(vì

3
 0 x  0, x 16)
x 1
.

Suy ra: 0 ≤ B < 3  B  {0; 1; 2} (vì B  Z).
- Với B = 0  x = 0;
3 x

1
1  3 x  x  1  x  .
4
- Với B = 1  x  1

3 x
 2  3 x  2( x  1)  x  4.
x

1
- Với B = 2 
1
;
Vậy để B  Z thì x  {0; 4 4}.
Bài 46. 1) Rút gọn biểu thức A = 112 - 45 - 63 + 2 20
 x x  x  x 
 1 
  1 

1

x
1  x 



2) Cho biểu thức B =
, với 0 ≤ x ≠ 1

a) Rút gọn B

1
b) Tính giá trị biểu thức B khi x = 1  2

Giải
A = 112 - 45 - 63 + 2 20 4 7 - 3 5 - 3 7 + 4 5  7 + 5
a) Với 0 ≤ x ≠ 1 ta có:
 x  x  x  x  
x ( x  1)  
 1 
  1 
  1 
 1 
1 x   1 x  
1  x  

B=

b) Ta có:

x=

x( x  1) 
 (1 + x )(1 - x ) 1  x
x  1 

1
21

 21
2 1

1 2
 B = 1 - 2  1 2 - 2