Ma trận và hệ truy hồi

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
———————o0o——————–

NGƠ TH± HƯèNG

MA TR¾N VÀ Hfi TRUY HOI

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP
Mã so: 60 46 01 13

Ngưài hưáng dan khoa

HQC

PGS.TS ĐÀM VĂN NHI

HÀ N®I - 2014


Mnc lnc
Lài nói đau..........................................................................................2
Lài cam ơn..........................................................................................4
1 M®t so kien thÉc ve ma tr¾n
5
1.1 Khái ni¾m...............................................................................5
1.2 Các phép tốn ma tr¾n..........................................................6
1.2.1 Phộp cđng hai ma trắn...............................................6
1.2.2 Phộp nhõn cỏc phan tu trưịng K vói ma tr¾n.............6

1.2.3 Phép nhân hai ma tr¾n...............................................6
1.3 Vành ma tr¾n..........................................................................7
1.4 Ma tr¾n ngh%ch đao...................................................................9
1.5 Phương trình đ¾c trưng cna ma tr¾n....................................10
1.5.1 Giá tr% riêng và vectơ riêng cna phép bien đői tuyen
tính10 1.5.2..................................................................Đa
thúc đ¾c trưng.............................................................11
1.6 Chéo hóa ma tr¾n..................................................................15
1.7 Giá tr% riêng cna hàm ma tr¾n..............................................16
2 Ma tr¾n và h¾ truy hoi
20
2.1 Xét dãy so qua phép nhân ma tr¾n . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.2 Úng dung đ%nh lí Cayley - Hamilton vào dãy so . . . . . . . . .27
2.3 Xét dãy so qua chéo hóa ma tr¾n . . . . . . . . . . . . . . . . .31
3 Xây dEng bài toán mái cho dãy so
46
3.1 Đ¾t van đe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
3.2 Xây dnng bài tốn mói ve dãy so . . . . . . . . . . . . . . . . .47
4 M®t so phương pháp khác giai h¾ truy hoi
4.1 H¾ truy hoi qua cap so nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Phương pháp cap so nhân đe xét dãy so . . . . . . . .
4.1.2 Chuyen dãy truy hoi phúc tap ve dãy đơn gian . . . .
4.2 Xét dãy so qua đong cau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài li¾u tham khao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

53
.53
.53

.62
.69
.74
.75


Ma tr¾n và h¾ truy
hoi

LèI NĨI ĐAU
Các van đe liên quan en dóy so l mđt bđ phắn quan TRQNG cna giai tớch
v ai so, ắc biắt l mđt phan quan TRQNG khơng the thieu trong tốn HQc
phő thơng. Nhieu dang tốn cna hình HQc, lưong giác và nhieu mơn HQc khác
cũng đòi hoi giai quyet các van đe ve dãy so...Các HQc sinh và sinh viên cũng
thưòng xuyên phai đoi m¾t vói nhieu bài tốn khó liên quan đen dãy so.
Các bài toán liên quan đen dãy so rat phong phú và đa dang,
thưịng g¾p trong các kì thi hQc sinh gioi toán cap quoc gia, khu vnc, quoc te
và các kì Olympic. Trong khn khő lu¾n văn này, tỏc gia chi e cắp en
mđt phan nho cna lý thuyet dãy so là các dãy và h¾ các dãy dang truy hoi
tuyen tớnh. Mđt hắ truy hoi dự tuyen tính, nhưng đe giai đưoc nó bang các
bưóc bien đői sơ cap là rat phúc tap, th¾m chí đưa bài toỏn ve viắc giai mđt
phng trỡnh bắc cao khụng n gian. Bang viắc bieu dien mđt hắ truy hoi
tuyen tớnh dưói dang phương trình ma tr¾n, ta đã làm đơn gian hóa đáng
ke bài tốn, đưa đen vi¾c tính tốn trên các ma tr¾n.
Lu¾n văn này tác gia cũng nham đáp úng nhu cau tn boi dưõng,
HQc cách lý lu¾n, cách mo r®ng tn nhiên cna m®t van đe tù đơn gian đen
phúc tap, đe tù đó hieu và úng dung đưoc m®t van đe sâu sac, mach lac và có
trình tn hơn.
Bo cuc cna lu¾n văn gom bon chương:
- Chng 1: Mđt so kien thẫc ve ma trắn. Nđi dung cna chương này

là nhac lai m®t so kien thúc ve ma tr¾n: Khái ni¾m, các phép tốn
ma tr¾n, vành ma tr¾n, ma tr¾n ngh%ch đao, giá tr% riêng và vectơ
riêng cna ma tr¾n; hàm ma tr¾n và giá tr% riêng cna hàm ma tr¾n.
- Chương 2: Ma tr¾n và h¾ truy hoi. Trong chương này, lu¾n văn đe
c¾p đen viắc bieu dien mđt hắ truy hoi tuyen tớnh dúi dang ma
tr¾n, và su dung các phép bien đői ma tr¾n đe giai tốn. Lu¾n văn
cũng đe c¾p thêm đen các h¾ thúc truy hoi phi tuyen ma khơng the
dùng ma tr¾n đe giai.

3


Ma tr¾n và h¾ truy
hoi - Chương 3: Xây

dEng bài tốn mái cho dãy so. Chương này, lu¾n
văn đe c¾p đen vi¾c xây dnng bài tốn mói ve dãy so tù các bài toán
đã

4


biet nhị các kien thúc cna hàm ma tr¾n.
- Chương 4: Mđt so phng phỏp khỏc giai hắ truy hoi. Phan này,
lu¾n văn đe c¾p đen hai phương pháp: giai h¾ truy hoi qua cap so
nhân và xét dãy so qua đong cau.


LèI CAM ƠN
Tác gia xin bày to sn kính TRQNG và lòng biet ơn sâu sac đen PGS.TS Đàm

Văn Nhi. Thay đã giành nhieu thịi gian hưóng dan cũng như giai đáp các
thac mac giúp đõ tác gia hoàn thành lu¾n văn này.
Tác gia cũng xin gui lịi cam ơn chân thành đen các thay, cơ giáo trong
khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, cùng các ban HQc viên đã nh¾n xét và đóng góp ý
kien cho ban lu¾n văn.
Tác gia xin cam ơn gia đình, ban bè đã ln quan tâm, đơng viên và
cő vũ tao dieu ki¾n thu¾n loi cho tỏc gia hon thnh luắn vn.

H Nđi, thỏng 5 năm 2014


Chng 1

Mđt so kien thẫc ve ma trắn
1.1

Khỏi niắm

Gia su X l mđt tắp, m v n l cỏc so nguyờn dng. Ma trắn A cừ m ì
n vúi cỏc phan tu thuđc tắp X l mđt HQ m ì n phan tu aij ∈ X,
trong đó i = 1, 2, ..., m GQI là chi so hàng; j = 1, 2, ..., n GQI l
chi so cđt. Ma trắn A thưịng đưoc ký hi¾u

a11 a12 . . .
a1n a21

a22 . . .
a2n

A=




. ...
. am2 . . . amn
am1
. 


hay đưoc viet GQN dưói dang A = (aij )m×n .
Ma trắn cừ 1 ì n GQI l ma trắn hng, ma trắn cừ m ì 1 GQI l ma trắn
cđt. Ma trắn cừ n ì n GQI l ma trắn vng cap n hay ma tr¾n cap n.
Trong ma tr¾n vng A = (aij )n×n dãy các phan tu a11 , a22 , ..., ann GQI
là đưịng chéo chính cna ma tr¾n A.
Ma tr¾n đơn v% là ma tr¾n vng có các phan tu trên đưịng chéo chính
bang 1, cịn các phan tu ngồi đưịng chéo chính đeu bang 0. Ma tr¾n
đơn v% thưịng đưoc ký hi¾u là E.
E = 

1

0



. . 0
.



0
1
.
.
0
Ma tr¾n chuyen v% cna ma tr¾n .A.= .(a.ij ).mìn. l. ma trắn Aj = (aJij )mìn trong
.
.
. .
đó aij = aij vói MQI i = 1,2,..,m và j=1,2,...,n..
j

7


Ma tr¾n và h¾ truy
hoi

Ma tr¾n chuyen v% At nh¾n oc tự ma trắn A bang cỏch chuyen cđt
thnh hng v chuyen hng thnh cđt.
Ma trắn vuụng A = (aij )nìn GQI l ma trắn oi xng neu At = A,
túc là aij = aji vói MQI i = 1,2,..,m v j=1,2,...,n.

1.2

Cỏc phộp toỏn ma trắn

Cho K l mđt trũng, Ký hiắu tắp Mmìn[K] l tắp cỏc ma trắn cừ m ì n
vúi cỏc phan tu thuđc trũng K. Trong tắp Mmìn[K] ta %nh ngha cỏc
phộp toỏn sau

1.2.1

Phộp cđng hai ma trắn

Gia su hai ma trắn A = (aij)mìn, B = (bij)m×n, ta đ%nh nghĩa
A + B = (aij + bij)mìn
1.2.2

Phộp nhõn cỏc phan tE trng K vỏi ma trắn

Gia su λ ∈ K, A = (aij)m×n, ta đ%nh nghĩa
λA = (aij)mìn
1.2.3

Phộp nhõn hai ma trắn

Cho hai ma trắn A = (aij)m×n, B = (bij)n×l, ta đ%nh nghĩa tích hai ma tr¾n
A và B là ma tr¾n
trong đó cij =
Σn

C = AB = (cij)mìl
k=
1

aikbkj. Nh vắy tich hai ma trắn AB ton tai khi và chi

khi so c®t cna ma tr¾n A bang so hàng cna ma tr¾n B.
Đoi vói các ma tr¾n có cõ thích hop, ta de dàng chúng minh đưoc các tính
chat sau

• A + B = B + A.
• λ(A + B) = λA + λB.
• A + O = A (O là ma tr¾n khơng).

8


• OA=O, AO = O.
• A(B+C) = AB + AC, (B+C)A = BA + CA.
• (AB)C = A(BC).
• (At)t = A, kí hi¾u At là ma tr¾n chuyen v% cna A.
• (A + B)t = At + Bt.
• (AB)t = BtA t.
• AE = EA = A; ArE = EAr = Ar.
• ArAs = AsAr = Ar+s.
• Ar(αAs + βAp) = αAr+s + βAr+p vói α, β ∈ K

Ký hi¾u Mn[K] là t¾p các ma tr¾n vng cap n vói các phan tu thu®c trưịng
K. Tù các tính chat trên ta thay Mn [K] vói phép c®ng và phép nhân ma trắn
l mđt vnh cú n v% E, oc GQI là vành các ma tr¾n vng cap n
trên trưịng K. Vói n ≥ 2 thì vành Mn [K] khơng giao hoỏn.

1.3

Vnh ma trắn

Xột vnh a thỳc mđt bien K[x] trờn trưịng K . Gia su đa thúc f (x)
thu®c vành K[x] có dang f (x) = asxs + as−1xs−1 + ... + a1x + a0, và
cho A là ma tr¾n vuông cap n. Ta đ%nh nghĩa
f (A) = asAs + as−1As−1 + ... + a1A + a0E

trong đó E là ma tr¾n đơn v% cùng cap vói ma tr¾n vng A. Tù các
phép tốn ve ma tr¾n o trên ta suy ra đưoc các ket qua sau
Đ%nh lý 1.3.1. Vái hai đa thúc f và g thu®c vành đa thúc K[x] và ma tr¾n
vng A ta ln có
1.Neu f = g thì f(A) = g(A). 2.(f+g)
(A) = f(A)+g(A).
3.(fg)(A) = f(A)g(A) = g(A)f(A) = (gf)(A).
4. (αf )(A) = αf (A) vái α bat kì thu®c trưàng K.


Ký hi¾u K[A] = f (A)|f ∈ K[x], A ∈ Mn[K]. Tù đ%nh lí (1.3.1) ta suy
ra ket qua sau
Đ%nh lý 1.3.2. T¾p các ma tr¾n K[A] tương úng vái hàm f ∈ K[x] cùng vái
phép c®ng, nhân các ma trắn v nhõn ma trắn vỏi mđt sụ lắp thnh mđt
vnh giao hoỏn cú n v% E.
Mắnh e 1.3.1. Tng úng φ : K[x] → K[A], f (x) ›→ f (A) là m®t
tồn cau vái Ker(φ) ƒ= 0
Chúng minh. Theo đ%nh lí (1.3.1), ta có
φ(f + g) = (f + g)(A) = f (A) + g(A) = φ(f ) + φ(g)
φ(fg) = (fg)(A) = f (A)g(A) = φ(f )φ(g).

Do đó l mđt ong cau.
V vúi ma trắn vuụng A ∈ Mn[K] bat kì thì ma tr¾n f (A) = asAs + as−1As−1 +
...+a1A+a0E se có tương úng đa thúc f (x) = asxs+as−1xs−1+...+a1x+a0 ∈
K[x]

đe φ(f ) = f (A). Do vắy l mđt ton cau.
Vỡ tắp tat ca các ma tr¾n vng cap n Mn[K] trên trưịng K là m®t khơng
gian vectơ n2 chieu nên tat ca các t¾p có nhieu hơn n2 các ma tr¾n

vng cap n eu phu thuđc tuyen tớnh. Nh vắy mụt hắ gom s + 1 các
ma tr¾n As, As−1, ..., A, E vúi s n2 + 1 l mđt hắ phu thu®c tuyen tính.
Túc là ton tai các so as, as−1, ..., s1, s0 khơng đong thịi bang 0 đe
asAs + as−1As−1 + ... + a1A + a0E = 0.

V¾y ton tai đa thúc khác không f (x) = asxs + as−1xs−1 + ... + a1x + a0 vói
s ≥ n2 + 1 mà f (A) = 0. Tù đó suy ra Ker(φ) ƒ= 0.
H¾ qua 1.3.1. Ta có K[A] ∼= K[x]/(F )
Chúng minh. Vì φ : K[x] → K[A], f (x) ›→ f (A) là m®t tồn cau vói
Ker(φ) = (F ) ƒ= 0 nên ta có
K[A] ∼= K[x]/Ker(φ) = K[x]/(F )

Vì K[x] là vành các iđêan chính nên có duy nhat mđt a thỳc bắc
thap nhat m(x) = xd + a1 xd−1 + ... + ad ∈ K[x] đe Ker(φ) = (m(x)).
m(x) GQI là đa thúc toi thieu cna ma tr¾n A.


1.4

Ma tr¾n ngh%ch đao

Đ%nh nghĩa 1.4.1. Ma tr¾n vng B cap n đưac GQI là ma tr¾n ngh%ch
đao cua ma tr¾n vng A cap n neu AB = BA = E . Ma tr¾n ngh%ch đao B
thưàng đưac ký hi¾u là A−1 . Khi đó A GQI là ma tr¾n kha ngh%ch.
Gia su ma trắn vuụng A = (aij )nìn , GQI Mij là đ%nh thúc con cap n - 1 cna
ma tr¾n A sau khi đã bo đi hàng i và c®t j. khi đó Aij = (−1)i+j .Mij đưoc GQI
là phan bù đai so cna phan tu aij cna ma tr¾n A.
Xét ma tr¾n



∗

A11 A21 ...

An1
A12 A22

AAn2=

...
... ... ... ...

A1n 
A2n ... Ann

Ma tr¾n A∗ GQI là ma tr¾n phu hop cna ma tr¾n A.
De thay
n
Σ
cij =

Akiakj = δ|A|.

k=1

Do đó

A∗ A = AA∗ = |A|E.

V¾y neu ma tr¾n A kha ngh%ch thì ma tr¾n ngh%ch đao A−1 đưoc tính

theo cơng thúc
1 ∗
A−1 = |A| A .

Bo đe 1.4.1. Ma tr¾n vng A có ngh%ch đao A−1 khi và chs khi |A| = 0
Chúng minh. Gia su A có ma tr¾n ngh%ch đao A−1 thì AA−1 = E . Khi đó
1 = |E| = |AA−1| = |A||A−1|

V¾y |A| = 0
Ngưoc lai neu |
A| =

0 thì A kha ngh%ch và A−1 1 A∗ .
|
=
A|

Chang han, ta xét ma tr¾n
thnc
A=

.

1 2 0
0 3 1
Σ
0 1 2


120

.3 1 .
.
031=
|A| =.
.
. 1 .2 = 5 ƒ= 0.
.
.
.0ta1tính
V¾y ma tr¾n A kha ngh%ch.
2 các phan bù đai so cna các phan tu
cna ma tr¾n A.

Ta có

A11 = 5, A12 = 0, A13 = 0
A21 = −4, A22 = 2, A23 = −1
A31 = 2, A32 = −1, A33 = 3

Ta có



.
1

−1

A

=

5

5
0

−

Σ

4

2

2

−4
1 5
 0
=
5
2



0



2
5

−
51


3 


−1

−1
0 −1 3

1.5
1.5.1

5

Phương trình đ¾c trưng cua ma tr¾n
Giá tr% riêng và vectơ riêng cua phép bien đoi tuyen tính

Phan tu λ cna trưịng K đưoc GQI là giá tr% riêng cna phép bien đői
tuyen tính ϕ trong K - khơng gian vectơ V, neu trong không gian V ton tai
vectơ u ƒ= 0 sao cho h¾ thúc sau đây thoa mãn
ϕ(u) = λu

Khi đó vectơ u đưoc GQI là vectơ riêng cna phép bien đői tuyen tính ϕ
úng vói giá tr% riêng λ.

Đ%nh lý 1.5.1. Các véc tơ riêng cua cùng m®t phép bien đői tuyen tính úng
vái các giá tr% riêng khác nhau thỡ đc lắp tuyen tớnh
Chỳng minh. Gia su u1, u2, ..., uk là các vectơ riêng cna phép bien đői
tuyen tính f trong K - khơng gian vectơ V úng vói các giá tr% riêng khác
nhau λ1, λ2, ..., λk. Ta chúng minh h¾ u1, u2, ..., uk theo phương pháp
qui nap .
Vói k = 1, vì u1 0 nên hắ u1 đc lắp tuyen tớnh.


Vói k>1, gia su đ%nh lý đúng vói k - 1, ta chúng minh đ%nh lý đúng vói k.
Gia su, ta có tő hop tuyen tính tam thưịng
a1u1 + ... + akuk = 0.


Tù đây nhân hai ve vói λk và tác đ®ng ϕ vào hai ve ta thu đưoc hai đang
thúc sau
λka1u1 + ... + λkakuk = 0
λ1a1u1 + ... + λkakuk = 0.

Tù đó suy ra
a1(λk − λ1)u1 + ... + ak−1(λk − λk−1)uk−1
= 0.

Theo gia thiet qui nap, h¾ vectơ u1, u2, ..., uk1 đc lắp tuyen tớnh nờn
a1(k λ1) = ... = ak−1(λk − λk−1).

Vì λk ƒ= λi, i = 1, 2, ..., k − 1 nên a1 = ... = ak−1 = 0. Theo a ta có akuk
= 0, vì
uk ƒ= 0 nên ak = 0.
V¾y h¾ vectơ riêng u1 , u2 , ..., uk ĐQc l¾p tuyen tớnh.

1.5.2

a thẫc ắc trng

Gia su l mđt phộp bien đői tuyen tính trong K - khơng gian vectơ n
chieu V, v A = (a)nìn l ma trắn cna ϕ đoi vói cơ so u1, ..., un.
Σn
Ta gia thiet vectơ u = i= xiui là m®t vectơ riêng cna phép bien đői ϕ úng
vói giá tr% riêng λ. Ta có1
ϕ(u) =
λu λu − ϕ(u)
=0
(λiv − ϕ)(u) = 0,

trong đó iv là phép bien đői đong nhat cna không gian V. De thay rang phép
bien đői (λiv − ϕ) đoi vói cơ so u1, ..., un có ma tr¾n là λE − A, như v¾y ta có
 x1 0 
.
.

 .

(1.1)
(λE − A) .
= .
xn
Vì u ƒ= 0 nên đe h¾ phương trình tuyen tính thuan nhat (1.1) có nghi¾m
khơng tam thưịng khi đ%nh thúc cna ma tr¾n cna h¾ đó bang khơng. Do
đó ta có
λ − a11 a12

... a1n
.
. a21
λ − a22 ...
|λE − A|
.= 0
a2n
=.
. an1
an2
... λ − ann.

(1.2)


Ta xét đa thúc bien λ xác đ%nh boi
P (λ) = |λE − A|

(1.3)

Ta thay rang đa thúc P (λ) chi phu thu®c vào phép bien đői tuyen tính ϕ,
khơng phu thuđc vo viắc cHQN c so cna khụng gian V.Đa thúc P (λ) = |
λE − A| đưoc gQI là đa thúc đ¾c trưng cna phép bien đői tuyen tính ϕ.
Đa thúc P (λ) = |λE − A| cũng đưoc GQI là đa thúc đ¾c trưng cna ma tr¾n
A, cỏc nghiắm thuđc trũng K cna a thỳc ú cng GQI là giá tr% riêng cna
ma tr¾n A.
Các nghi¾m khơng tam thưịng cna h¾ phương trình tuyen tính thuan nhat
(1.1) đưoc GQI là vectơ riêng cna ma tr¾n A úng vúi giỏ tr% riờng .
Ket luắn:
ã Phan tu K là giá tr% riêng cna ma tr¾n A khi v chi khi l mđt

nghiắm cna a thỳc ắc trng cna ma trắn A xỏc %nh boi (1.3).
ã Vect u ∈ V là vectơ riêng cna ma tr¾n A úng vói giá tr% riêng λ khi

và chi khi các TQA đ cna vect u l mđt nghiắm khụng tam thũng
cna hắ phng trỡnh tuyen tớnh thuan nhat (1.1).
ã Hai ma tr¾n vng cùng cap A và B là hai ma tr¾n đong dang neu
ton tai ma tr¾n cùng cap T sao cho A = T −1 BT . Hai ma trắn ong

dang cú cựng mđt a thỳc ắc trng, do đó có cùng giá tr% riêng.
Đ%nh lý 1.5.2. [Đ%nh lí Cayley-Hamilton]. Mői ma tr¾n vng A đeu là
nghi¾m cua đa thúc đ¾c trưng cua nó. Túc là neu ma tr¾n A có đa thúc đ¾c
trưng P (λ) thì P (A) = 0.
Chúng minh. Gia su A là m®t ma tr¾n vng cap n vói đa thúc đ¾c trưng
P (x) = |xE−A|. Kí hi¾u ma tr¾n phu hop cna ma tr¾n (xE −A) là
(xE−A)adj . Vì các phan tu hàng i c®t j cna (xE − A)adj là các đ%nh thúc
con cap n − 1 có đươc do xóa bo tù đ%nh thúc|xE −A| hàng i và c®t j
nên có the viet (xE−a)adj dưói dang
(xE − A)adj = Bn−1xn−1 + Bn−2xn−2 + ... + B1x + B0

trong đó Bj, j = 0, .., n−! là các ma tr¾n vng
cap n. Do
(xE − A)adj(xE − A) = (xE − A)(xE − A)adj = p(x)E


nên
(xE − A)(Bn−1xn−1 + Bn−2xn−2 + ... + B1x + B0) = p(x)E.



Tù đó, ta có
h¾

Bn−1 = E


Bn−2 − ABn−1 =

δ1E Bn−3 − ABn−2
= δ2E
...

B0 − AB1 = δn−1E

AB0 = δnE



n
n
A
B
n−1 = A
An−1 Bn−2 − An Bn−1 =


n−1

Suy ra

n−1
δ1An−2
n−2A B − A B = δ
...
AB
A2 B =
δ A
An−3
0 − 1 n−2 2


= δ nE
AB0 n−1

.

C®ng ve vói ve tat ca các phương trình trên ta đưoc p(A) = 0.
Đ%nh lý 1.5.3. Vái ma tr¾n vng cap n, đa thúc m(x)n chia het cho đa
thúc đ¾c trưng p(x) cua A. Trong đó m(x) = xr + b1xr−1 + ... + br là đa
thúc toi thieu cua ma tr¾n A.
Chúng minh. Gia su đa thúc đ¾c trưng cna ma tr¾n A có dang p(x) = |xE−A|
và đ¾t

B0 = E
B1 = A + b 1 E
B2 = A2 + b1A + b2E

......
 B
r−1

+ b1Ar−2 + ... + br−1E
r−1 = A



Tù đó, ta có



E =
B0
b1E = B1 − A
b2E = B2 − A2 − b1A = B2 − A(A + b1E) = B2 − AB1
......



Hay

br−1E = Br−1 − Ar−1 − b1Ar−2 − ... − br−2E





E = B0
b1E = B1 − AB0
b2E = B2 − AB1
.


......
 br−1E = Br−1 − ABr−2


Tù Br−1 = Ar−1 + b1Ar−2 + ... + br−1E, ta có
ABr−1 = Ar + b1Ar−1 + ... + br−1A + brE − brE = m(A) − brE
brE = −ABr−1.

Hay

M¾t khác, tù m(x) = xr + b1xr−1 + ... + br, ta có
m(x)E = Exr + b1Exr−1 + ... + br−1Ex + brE
= Exr + (B1 − AB0)xr−1 + ... + (Br−1 − ABr−2)x − ABr−1
= Ex(xr−1 + B1xr−2 + ... + Br−1) − A(xr−1 + B1xr−2 + ... + Br−1).

Đ¾t B(x) = xr−1 + B1xr−2 + ... + Br−1, ta đưoc
m(x)E = (xE − A)B(x).

Lay đ%nh thúc hai ve, ta đưoc m(x)n = p(x)|B(x)|.
Tù đó suy ra m(x)n : p(x).
Đ%nh lý 1.5.4. Mői đa thúc f (x) ∈ K[x] thóa mãn f (A) = 0 thì f (x) chia
het cho m(x). Đ¾c bi¾t p(x) cũng chia het cho m(x).
Chúng minh. Gia su f (x) = q(x)m(x) + r(x) vói đa thúc r(x) có degr(x)
< degm(x), ta chúng minh r(x) = 0. Ta có
f (A) = q(A)m(A) + r(A)

Vì f (A) = m(A) = 0 nên r(A) = 0. Do m(x) là đa thúc toi thieu cna ma
tr¾n A nên r(x) = 0
Ví dn 1.5.1. Xác đ%nh đa thúc đ¾c trưng và đa thúc toi thieu cua ma tr¾n
A

=

Bài giai

x−1

0 2
0
0 0
.
Σ
1 2 3

2
3
2
x − 2 0 . = (x
0
0
x−
−
Ta có |xE − A|
(x − 2) v¾y đa thúc đ¾c
1)
2
.
cna
ma
tr¾n
A

là
p(x)
=
(x
−
1)
(x
−
2).
1
=
trưng
.
Vì A − E ƒ= 0, A − 2E ƒ= 0 và (A − E)(A − 2E) = 0 nên đa thúc toi thieu
cna ma tr¾n A là m(x) = (x − 1)(x − 2).

. 0


1.6

Chéo hóa ma tr¾n

Moi ma tr¾n cap n trên trưịng K đong dang vói ma tr¾n đưịng chéo GQI là
ma tr¾n chéo hóa đưac. Túc là, ma tr¾n A là ma tr¾n chéo hóa đưoc neu ton
tai ma tr¾n kha ngh%ch T sao cho ma tr¾n B = T −1 AT là ma tr¾n đưịng chéo.
Cho A là ma tr¾n vng cap n vói các phan tu thu®c trưịng K. Gia su ma
tr¾n A có n giá tr% riêng λ1 , ..., λn và u1 , ..., un là n vect riờng đc lắp
tuyen tớnh tng ỳng vúi cỏc giỏ tr% riêng λ1 , ..., λn . Ta có
Aui = λiui, i = 1, ..., n

GQI T là ma tr¾n vuụng cap n m hắ n vect cđt cna T là n vectơ riêng
u1 , ..., un . Gia su TQA đ® cna vectơ ui là ui = (ui1 , ..., uin ), i = 1, ..., n. Khi đó

λ1u11 λ2u21 ...
λnun1 T 1AT = T 1


λ1u12 λ2u22 ...

λn
un2
...
... ... ...
λ1u1n λ2u2n ... λnunn

−

−


λ

Hay

0 ... 0
0 λ2 ... 0
 ... ...
AT =
... ...


0 
0 ... λn
1

T

−1

Như v¾y ma tr¾n vng A cap n là ma tr¾n chéo hóa đưoc neu nú cú n
vect riờng đc lắp tuyen tớnh tng ỳng vói n giá tr% riêng.
Ket lu¾n: Ma tr¾n vng A cap n các phan tu thu®c trưịng K là ma tr¾n
chéo hóa đưoc khi và chi khi đa thúc đ¾c trưng cna nó có dang
P (λ) = (λ − λ1)n1...(λ − λr)nr,

Trong đó úng vói moi giá tr% riêng λi, i = 1, ..., r có đúng ni vectơ riêng
đ®c l¾p tuyen tính.
.1 −3
. Hãy
Ví dn 1.6.1. Cho ma tr¾n A
3
Σ3 −5
=
1. Chéo hóa ma tr¾n A

.

2. Đ¾t A =

Σa11(n) a12(n)

a13(n)
a21(n) a22(n)
a23(n)

3
6 −6
4

, xác đ%nh
lim

a22(n)

.


a31(n) a32(n) a33(n)

n→+∞

a32(n)


Bài giai

− 1 −3
3
.x 3
x + 5 3 . = (x +
2)

2

6
−6 x − .
(1) Vì |xE − A|
(x − 4) nên ma tr¾n A có
giá
= tr% riêng là λ1.=4−2, λ2 = 4.
hai
Úng vói λ1 = −2 ma tr¾n A có hai vectơ riêng là u1 = (1; 1; 0), u2 = (1; 0;
−1). Úng vói λ2 = 4 ma trắn A cú mđt vect riờng l u3 = (1; 1; 2).


−
1
3
−
1
. 1 1 Σ
1
2

Đ¾t P
1 0 1
1 −1
=

0

0 −1 2

2
2

−
1 . Tù đó suy ra
0 1
2
A = P −2 2
0
−1
.0 −2 2 P .
0
Σ0 0
4

, suy ra P−1 =  1

(2) Ta có

An =
[P

2 0
.
0
−
0 −2
Σ0

0 0
4

Hay

.

A

=
P

.

n

Σ
0

0
0

n

P−1]n = P . 2 0 0
−
0 −2 0
Σ
0 0 4

P

=

4
(−2)

n

(−2
)

(−2)
4n
0

n

Σ


−1
03 −1 

n+
1
n

−1

1
−1

0
n

n

P−1

n

n

2

2





(−2)

V¾y

a2
0

0

4n

2

0
2(−1)
3.(−2n) −
4n

2.
4
1

1

−1

1

2

2

2




lim
n→+∞

= .

= lim
a32

n→+∞



−

4n)

2

2((−2)n

1.7

Giá tr% riêng cua hàm ma tr¾n

Xét đa thúc f (x) ∈ K[x], khi đó tương úng vói nó là ma tr¾n g(A) ∈ K[A]. Ta
se đi xác đ%nh đ%nh thúc, đa thúc đ¾c trưng và các giá tr% riêng cna
ma tr¾n g[A] thơng qua đa thúc đ¾c trưng p(x) và các giá tr% riêng cna
ma tr¾n A. Gia su g(x) có các nghi¾m α1, α2, ..., αm ∈ K , và ma tr¾n A
có các giá tr% riêng λ1, λ2, ..., λn ∈ K. Ta có sn phân tích trong K[x] như
sau
và

g(x) = (−1)mb0(α1 − x)(α2 − x)...(αm − x)
p(x) = |xE − A| = (x − λ1)(x − λ2)...(x − λn).


Ta có
g(A) = (−1)mb0(α1E − A)(α2E − A)...(αmE − A).

Suy ra
|g(A)| = (−1)m bn|α1E − A||α2E − A|...|αmE − A|
0 m n
n

YY

= (−1)mn bn0
=

Y

Σ

(αk − λi )

k=1 i=1
(αk
m
Y

− λ i)Σ .

(−1) b0
m

i=1

k=1

Tù đây, ta suy ra m®t so ket qua sau
M¾nh đe 1.7.1. Neu ma tr¾n A có các giá tr% riêng λ1, λ2, ..., λn ∈ K thì vái
Qn
mői đa thúc g(x) ta ln có |g(A)| =
g(λi)
i=
1

.

Chúng minh. Ta có g(x) = (−1)mb0(α1 − x)(α2 − x)...(αm − x) nên
m n
n
YY
Y
|g(A)| = (−1)mn bn 0

(αk − λi ) =

k=1 i=1

g(λi ).

i=1

Đ%nh lý 1.7.1. Neu ma tr¾n A có các giá tr% riêng λ1, λ2, ..., λn ∈ K, và
vái mői đa thúc g(x) thì ma tr¾n g(A) có đa thúc đ¾c trưng
h(x) = (x − g(λ1)) (x − g(λ2)) ... (x − g(λn))

và có các giá tr% riêng là g(λ1), g(λ2), ..., g(λn).
Chúng minh. Đa thúc đ¾c trưng cna ma tr¾n g(A) là h(x) = |xE − g(A)|.
Xét ma tr¾n f (A) = xE − g(A) ∈ K[A] tương úng vói hàm f (t) = x − g(t)
∈ K[t].

Theo m¾nh đe (1.7.1), ta có
h(x) = |f (A)| = f (λ1 )f (λ2 )...f (λn )
= (x − g(λ1)) (x − g(λ2)) ... (x − g(λn))

V¾y ma tr¾n g(A) có đa thúc đ¾c trưng là hàm
h(x) = (x − g(λ1)) (x − g(λ2)) ... (x − g(λn))

và các giá tr% riêng là
g(λ1), g(λ2), ..., g(λn).


H¾ qua 1.7.1. Neu ma tr¾n A có các giá tr% riêng khác khơng λ1, λ2, ..., λn
1 1
1
thì A có ngh%ch đao là ma tr¾n A−1 vái các giá tr% riêng là , , ...,
λ1 λ2

λn

Chúng minh. Vói hàm g(x) = x, tương úng ma tr¾n A = g(A) có các giá
tr% riêng là λ1, λ2, ..., λn và |A| = |g(A)| = λ1λ2...λn ƒ= 0. Tù đó suy ra
ma tr¾n A
1 1
1
có ma tr¾n ngh%ch đao A−1 vói các giá tr% riêng là , , ..., .
λ1 λ2

λn

H¾ qua 1.7.2. Neu ma tr¾n A = (aij) có các giá tr% riêng λ1, λ2, ..., λn thì ma
2
2
Σn
n
2
λk Σn Σ
aij
có các giá tr% riêng là λ21, λ2, ...,
2
tr¾n
≤
λ
và
.
i=1
n
2
A
j=1

Chúng minh. Bang vi¾c xét hàm g(x) = x2, theo đ%nh lí (1.7.1) ta suy ra
ngay các giá tr% riêng cna ma tr¾n1A22là λ2,n λ2, ..., λ2 .
Vet cna ma tr¾n A2 là T = v(A2) = λ2 + λ2 + ... + λ2 . M¾t khác ta cũng có
1

n

T =

Σ

i=
1

n

v(AA ) − v(A ) =
c

2

n

2

j=
1

Σ

và

n

aijaji

n

ΣΣ

(ai − aij aji ) =
2

Σ

(aij − aji )2 ≥ 0.

j

c

Σn
Vì v(AA )
=

i=1
j=1

Σn

2

i
aij nên ta

đưoc

n

n

n

i=
1

j=
1

k
k=
1

Σ

λ2 ≤

Σ Σ

i
j

a2 .

Ta đã biet rang, neu ma tr¾n A có |A| ƒ= 0 thì ton tai ma tr¾n ngh%ch đao
A . Tương tn khi đa thúc g(x) ∈ K[x] tương úng vói ma tr¾n g(A) thoa mãn
|g(A)| = 0 thì cũng ton tai ma tr¾n ngh%ch đao g(A)−1. Chú ý rang tích hai
f (A)
ma tr¾n f (A)g(A)−1 có the đưoc viet dưói dang
.
−1

g(A)


M¾nh đe 1.7.2. Cho ma tr¾n A có các giá tr% riêng λ1, λ2, ..., λn và m(x) là
f (x)
đa thúc toi thieu cua ma tr¾n A. Neu phân thúc huu ts
có (g(x), m(x))
= 1 thì
g(x)
f
(A)

∈ K[A] và các giá tr% riêng cua ma
f (A) .
|f (A)|
Ngồi ra ta cịn có .
=

.
. g(A) . |g(A)|
g(A)
tr¾n

f
(A)

f
f
f (λn)
(λ1) (λ2)
là
,
, ...,
.
g(λ ) g(λ2 )
g(A)
g(λn)
1


Chúng minh. Vì (g(x), m(x)) = 1 nên ton tai hai đa thúc h(x), q(x) ∈ K[x]
đe
h(x)g(x) + m(x)q(x) = 1.

Do m(A) = 0 nên h(A)g(A) = E. V¾y h(A) = g(A)−1. Tù đó ta có the suy ra
đưoc
f (A)
= f (A)h(A) ∈ K[A].

g(A)
Theo đ%nh lí (1.7.1), ma tr¾n f (A)h(A) có các giá tr% riêng là

nên ma tr¾n

f (λ1)h(λ1), f (λ2)h(λ2), ...,
f (λn)h(λn)

f

(A)

có các giá tr% riêng là

g(A)

f (λ1 ) f (λ2 )
f ( λ n)
, 1) g(λ2), ...,
.
g(λ
g(λn)

Hơn nua, ta
có
f ( λ 1) f ( λ 2)
f (λ n )
. f |(fA.()A.)|g(λ
. g(A)
= 1 g(λ2. g(λn ...|g(A)|

=

)

.

)

)