Một số bài toán số học tổ hợp

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
------------------

Tran Thanh Nhã

M®T SO BÀI TỐN SO HOC - TO HeP
LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP
Mã so: 60.46.01.13

Ngưài hưáng dan khoa HQC
GS. TSKH. HÀ HUY KHỐI

HÀ N®I, NĂM 2013


1

Mnc lnc
Lài ma đau

3

Lài cam ơn

5

1 M®t so kien thÉc chuan b%
1.1 Kien

thúc tő hop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
Quy tac c®ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2
Quy tac nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3
Hoán v% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4
Chinh hop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5
Tő hop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6
Nguyên lý bù trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7
Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.8
Khai trien nh% thúc Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Kien thúc so HQc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
1.2.1
Tính chia het . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2
Bieu dien cơ so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3
So nguyên to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4
Ưóc chung lón nhat, b®i chung nho nhat . . . . . . . . . .
1.2.5
Thu¾t tốn Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6

Đong dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7
Đong dư tuyen tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8
Th¾ng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.9 M®t so đ%nh lý quan TRQNG . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.

6
.6
.6
.6
.7
.7
.8
.8
.8
.8
.9
.9
.9
.9
.9
.11
.11
.12
.12
.13

2 M®t so bài tốn So HQC - To hap

14
2.1 Tính chat so hQc ....................................................................................14
2.1.1 Tính chia het.......................................................................14
2.1.2 Bieu dien so........................................................................30
2.1.3 Thuắt toỏn Euclid v mđt so bi toỏn liên quan đen ưóc
chung lón nhat.....................................................................37
2.2 Bài tốn chia keo Euler..................................................................47
2.3 Bat bien..........................................................................................53
2.4 Cnc tr% trên t¾p hop rịi rac..........................................................61
2.5 So phúc - Tő hop...........................................................................75


3 Mđt so bi toỏn trũ chi
86
Ket luắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
Tài li¾u tham khao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97


Lài ma đau
Tốn rịi rac đóng m®t vai trị quan TRQNG trong tốn HQc boi vì nó có n®i
dung rat phong phú và có nhieu úng dung trong địi song và thnc tien.
Trong các kì thi đai HQc, thi HQc sinh gioi quoc gia, quoc te, các bài toán
tő hop xuat hiắn nhieu v thũng cú nđi dung rat khú. Nhìn chung, neu như
vi¾c phân loai bài tốn nào là so HQc, đai so, giai tích, hình HQc là tương đoi
rõ ràng thì vi¾c phân loai các bài tốn tő hop khá mơ ho. Chính vì sn đa
dang này nên viắc giang day v HQc tắp chỳng l mđt van đe khó khăn. Hơn
nua, trong chương trình tốn phő thơng, tài li¾u tham khao ve lĩnh vnc tő
hop rat ít, nờn luắn vn ny nham gúp mđt phan kien thỳc nho bé đe hő tro
cho vi¾c HQc t¾p và giang day, và bő sung thêm tài li¾u tham khao ve t hop.
Luắn vn nham muc tiờu giúi thiắu mđt so bài tốn có the GQI thu®c loai "so

HQc - tő hop". Thnc ra khơng có m®t "đ%nh nghĩa" nào cho loai bài tốn này.
Nên lu¾n văn này chi giói han o viắc a ra mđt so bi toỏn thũng gắp trong
các kì thi HQc sinh gioi, mà vi¾c giai chúng đòi hoi nhung phương pháp
cna so HQc và tő hop.
Bo cuc lu¾n văn đưoc chia thành ba chương:
Chương 1 : M®t so kien thÉc chuan b%
Trong chương này, chúng tơi trình bày m®t so kien thúc cơ ban ve so HQc
(tính chia het, bieu dien so, so ngun to, b®i chung nho nhat, ưóc chung
lón nhat, đong dư, th¾ng dư, m®t so đ%nh lý quan TRQNG bao gom: đ%nh lý
Wilson, đ%nh lý Fermat, đ%nh lý phan dư Trung Hoa) và m®t so kien thúc
cơ ban ve tő hop (quy tac c®ng, quy tac nhân, hốn v%, chinh hop, tő hop,
ngun lý bù trù, nguyên lý Dirichlet, khai trien nh% thúc Newton).
Chương 2 : M®t so bài tốn So HQC - To hap
Muc đích cna chương này trình bày m®t so bài tốn thu®c loai "so HQc - tő
hop" theo chn đe (tính chat so HQc , bài tốn chia keo Euler, bat bien, cnc tr
% trên t¾p hop rịi rac và so phúc), đong thịi trong moi bài tốn chúng tơi
co gang phân tích đe tiep c¾n lịi giai và cú bỡnh luắn.
Chng 3: Mđt so bi toỏn trũ chi


Trong chng cuoi cựng, chỳng tụi giúi thiắu mđt so bài tốn trị chơi
và đ¾c bi¾t là úng dung cna "ti so vàng" trong lịi giai cna bài tốn trị
chơi.
M¾c dù ban thân đã co gang nhieu trong quá trình thnc hi¾n, nhưng
do thịi gian có han và kien thúc ban thân cịn han che nên lu¾n văn
khơng tránh khoi nhung thieu sót. Rat mong nh¾n đưoc sn chi bao cna
quý thay cô và các ban.


Lài cam ơn

Lu¾n văn này đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan nghiêm khac và
chi bao t¾n tình cna GS. TSKH Hà Huy Khối. Thay đã dành nhieu thịi
gian hưóng dan cũng như giai đáp các thac mac cna tôi trong suot q
trình làm lu¾n văn. Tơi muon bày to lịng biet ơn sâu sac đen ngưịi thay
cna mình.
Qua đây, tơi xin gui tói các thay cơ Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Trưòng
Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, cũng như các thay cơ
đã tham gia giang day khóa cao HQc 2011 − 2013 lịi cam ơn sâu sac nhat
đoi vói cơng lao day do trong suot quá trình giáo duc đào tao tai Nhà
trưịng.
Tơi xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban giám hi¾u và
t¾p the giáo viên trưịng THPT chun Lê Q Đơn tinh Bình đ%nh đã
quan tõm, tao ieu kiắn v đng viờn c v tụi e tụi cú the hon thnh
nhiắm vu cna mỡnh.
H nđi, tháng 11 năm 2013


Chương 1
M®t so kien thÉc chuan b%
1.1
1.1.1

Kien thÉc to hap
Quy tac c®ng

dung
có cm
1 cách cHQN đoi tưong a1 , m2 cách cHQN
đoiN®i
tưong

a2,.quy
. . ,tac:
mnNeu
cách
HQN
đoi tưong an , trong đó cách cHQN đoi
tưong ai (1 ≤ i ≤ n) không phu thu®c vào bat
kì cách cHQN đoi tưong
aj nào
Σn
(1 ≤ j ≤ n, i ƒ= j) thì
mi cách cHQN đoi tưong a1 , ho¾c a2,. . . ,
i=
ho¾c
se có
1
an. {A1, A2 , ..., An } l mđt HQ cỏc tắp hop con huu han cua t¾p A
saoXét
cho Đe su dung tot quy tac này ta chuyen sang ngơn ngu t¾p hop như
sau: hai t¾p bat kì khơng có phan tu chung, hop cna tat ca các t¾p con là
A,
Sn
A
Ai. Khi đó, ta có
n
i=
=
1
Σ
|A| = |A1| + |A2| + ... + |An| =

1.1.2

Quy tac nhân

|Ai|.

i=1

N®iđoidung
quy
Chomoi
n cách
đoi tưong
, ...,
anc,HQN
neuđoi
có tưong
m1 cách
cHQN
tưong
a1tac:
và vói
cHQN a
a11,cóa2m
cách
a2 ,
sau đó vói moi cách
cHQN a1, a2 có m3 cách
cHQN 2đoi tưong a3, ... cuoi cùng
vói moi cách cHQN a1, a2, ..., an−1 có mn cách cHQN đoi tưong an . Như v¾y

se có m1.m2...mn cách cHQN đoi tưong a1 , roi a2 ,..., roi an .
Tương tn như quy tac cđng, ta se chuyen sang ngụn ngu tắp hop như sau:
Gia su có n t¾p hop Ak (1 ≤ k ≤ n) vói |Ak | = mk . Khi đó, so cách cHQN b®


gom n phan tu (a1, a2, ..., an) vói ai ∈ Ai (1 ≤ i ≤ n) se là
n
Y
|A1 × A2 × ... × An| = m1 × m2 × ... × mn =
mk.
k=1

1.1.3

Hốn v%

Đ%nh nghĩa 1.1. (Hốn v% khơng l¾p) Gia su A là t¾p hop huu han gom
n phan tu. M®t cách sap xep n phan tu khác nhau cna tắp A theo mđt
thỳ tn no ú oc GQI l mđt hoỏn v% khụng lắp cna cỏc phan tu trong t¾p
A, hay đơn gian là sn sap xep n phan tu cna t¾p A. Khi đó, so hốn v%
khơng l¾p cna n phan tu kí hi¾u Pn và tính theo cơng thúc
Pn = n (n − 1) ...1 = n!.
Đ%nh nghĩa 1.2. (Hốn v% có l¾p) Hốn v% trong ú moi phan tu xuat hiắn
ớt nhat mđt lan đưoc GQI là hốn v% có l¾p.
Kí hi¾u P (n1, n2, ..., nk) là so hốn v% có l¾p cna n phan tu gom k loai,
mà các phan tu loai i (1 ≤ i ≤ k) xuat hi¾n ni lan và đưoc tính theo cơng
thúc
n!
P (n1, n2, ...,
!n !...n.!

nk) =

n
1

1.1.4

2

k

Chinh hap

Đ%nh nghĩa 1.3. (Chinh hop khơng l¾p) Cho t¾p hop A gom n phan
tu. Moi b® gom k (0 ≤ k ≤ n) phan tu đưoc sap thú tn cna tắp A oc
GQI l mđt chsnh hap khụng lắp chắp k cna n phan tu thuđc A.
Kớ hiắu so chsnh hap khơng l¾p ch¾p k cna n là Ank, tính boi công thúc
n!
.
Ank =
(n − k)!
Đ%nh nghĩa 1.4. (Chinh hop có l¾p) Cho t¾p hop X gom n phan tu.
Moi dóy cú đ di k phan tu cna tắp X, mà moi phan tu có the l¾p lai
nhieu lan và đưoc sap theo m®t thú tn nhat đ%nh đưoc GQI l mđt chsnh hap
cú lắp chắp k cna n phan tu thuđc tắp X.
Kớ hiắu so chsnh hap cú lắp ch¾p k cna n là Ank , tính boi cơng thúc
k
Akn = n .

1.1.5

To hap

Đ%nh nghĩa 1.5. (Tő hop khơng l¾p) Cho t¾p hop A gom n phan tu.
Moi t¾p con gom k (0 ≤ k ≤ n ) phan tu cna t¾p A oc GQI l mđt t
hap khụng lắp chắp k cna n phan tu thuđc A.
k
Kớ hiắu so t hap khơng l¾p ch¾p k cna n là C
n , tính boi cơng thúc
n!
Ck =
.
n
k! (n − k)!
Đ%nh
nghĩa
1.6.m
(Tő(m
hopkhơng
có l¾p)
Cho
t¾p
A =nho
{ahơn
1, a2, ..., an}. Mđt t
hap cú lắp
chắp
nhat
thiet

phai
n) cna n phan tu
thuđc A
là m®t b® gom m phan tu, mà moi phan tu ny l mđt trong nhung phan
tu cna A.
Kớ hiắu so tő hap có l¾p ch¾p m cna n là nCm, tính boi cơng thúc
Cm = Cm
n

.

n+m−1

1.1.6
Ngun lý bù trÈ
Gia
su
M1, sau
M2,đây:
..., Mn là các t¾p hop huu han. Khi đó ta có cơng
thúc tőng qt
n

|M1 ∪ M2 ∪ ... ∪ Mni=
1| =
Σ

Σ

1≤i

1≤i|M
i|
n+
1

Σ

−

+

|Mi ∩ Mj|

|Mi ∩ Mj ∩ Mk| − .... + (−1) |M1 ∩ M2 ∩ ... ∩ Mn| .

≤n

1.1.7

Nguyên lý Dirichlet

Có n đo v¾t đưoc
xep vào m ngăn kéo. Khi đó ton tai ít nhat m®t ngăn
Σn −
1
kéo chúa ít nhat
+ 1 đo v¾t.
Σ m

1.1.8

Khai trien nh% thÉc Newton

Đ%nh lý 1.1. Vái so tn nhiên n ≥ 1 ta có
n
Σ
n −
n
(x + ky)
n
=

C x

k k


k=0


Đ%nh lý 1.2. Vái m, n là hai so nguyên dương, ta có
(x1 + x2 + ... + xm)n =
P (n1, n2, ..., nm) xn1 xn2 ...xnm.
Σ
≥

1

2

m

n1,n2,...,nm 0
n1+n2+...

1.2

Kien thÉc so

1.2.1

Tính chia het

HQC +nm=n

Neu a, b là hai so nguyên và b ƒ= 0 thì ton tai duy nhat hai so nguyên q, r;
0 ≤ r ≤ |b| − 1 sao cho
a = bq + r.
1.2.2

Bieu dien cơ so

Vói b ∈ Z, b > 1 thì vói

MQI

n ∈ Z+ ln ton tai bieu dien duy nhat

n = akbk + ak−1bk−1 + ... + a1b + a0,

trong đó a0, a1, ..., ak ∈ Z, 0 ≤ ai ≤ b − 1, ak ƒ= 0.

Kí hi¾u n = (akak−1...a1a0)b.
1.2.3
So ngun to
Đ%nh nghĩa 1.7. So nguyên p > 1
ưóc nguyên dương 1, p.

GQI

là so nguyên to neu nó chi có hai

Đ%nh lý 1.3. (Đ%nh lý cơ ban cua so HQc) MQI so nguyên n > 1 đeu có
bieu dien duy nhat dưái dang tích các so nguyên to (không ke thú tn), túc là
n = pα1 pα2 ...pαk ,
1

2

k

trong đó αi ∈ Z+, p1 < p2 < ... < pk là các so nguyên to.
Đ%nh lý 1.4. T¾p hap các so nguyên to là vơ han.
1.2.4

Ưác chung lán nhat, b®i chung nho nhat

a
1 , a2 , ..., an . So nguyên dương d lón nhat có tính chat d chia
het

ai , i = Đ%nh nghĩa 1.8. Cho n > 1 so ngun khơng đong
thịi bang
khơng 1, 2, ..., n đưoc gQI là ưóc chung lón nhat cna n so
a1, a2, ..., an .


Kí hi¾u ƯCLN(a1, a2, ..., an) hay (a1, a2, ..., an).


Đ%nh nghĩa 1.9. Hai so nguyên a và b đưoc GQI là nguyên to cùng nhau neu
(a, b) = 1.
Đ%nh
Cho nho
n > nhat
1 so ngun
khơng
ngunnghĩa
b®i 1.10.
chung
cna khác
n so
a1 a
, 1 , aa22,, ...,
...,an .aSo
n.
dương d nho nhat có tính chat d chia het cho ai , i = 1, 2, ..., n
đưoc GQI là
Kí hi¾u BCNN(a1, a2, ..., an) hay [a1, a2, ..., an].
Đ%nh lý 1.5. Ton tai các so nguyên không đong thài bang không x1, x2, ..., xn
sao cho

i xiai.

=1
n

CLN(a1, a2, ...,

an) =
ắc biắt, mđt so nguyờn N bieu dien á
dang

Σn

xiai khi và chs khi ƯCLN(a1, a2,
..., an)
i=

chia het N.
Đ%nh lý 1.6. (M®t so ket qua hay su dnng)
1.Neu (a, b) = 1 thì (am + bn, asbt) = 1 trong đó s, t là hai so
ngun khơng âm và m, n là hai so nguyên dương.
ab
.
2. [a, b]
(a,
b)
=
3. a
≥

(a, b) .
(a, c)

.

(a, b, c)
.
Σ .
a + bp
4.
, a + b 1 neu p không chia het a + b;
=
p neu p chia het het a + b.
a+b
m
n
(m,n)
5.Tính
chat
Mersen:
− 1 vái a > 1
và các
so dãy
nguyên
dương(a
m, −
n.1, a − 1) = a
p

Đ%nh lý 1.7. Neu a = pa1 pa2 ...pan, b = pb1 pb2 ...pbn, trong đó p1,

p2, ..., pn là
1

2

n

1 2

n

các so nguyên to và ai, bi là các so ngun khơng âm thì
(a, b) = p
và

1

[a, b] = p
1

min(a1,b1) min(a2,b2)

p

2

...pmin(an,bn)

n

max(a1,b1) max(a2,b2)

p

2

n

...pmax(an,bn).


1.2.5

Thu¾t tốn Euclid

Đ%nh lý 1.8. Cho a, b là hai so nguyên dương và
a b)
=q
+qr1r(0+<
, 1bb=
2
(0 < r2 < r1)2, 1
...
rn−1 =
Khi đó

qn+1rn.
rn = (a, b) .

Đ%nh lý 1.9. Thu¾t tốn tìm ưác chung lán nhat cua hai so nguyên dương
như sau:
• Bưác 1: xét hai so nguyên dương a, b roi sang bưác hai.
• Bưác 2: kiem tra đang thúc a = b; neu đúng thì dùng lai và ƯCLN(a, b) =
a; neu sai thì sang bưác 3.
• Bưác 3: neu a > b thì gán lai a bái a − b, neu a < b thì gán lai b bái
b − a roi chuyen qua bưác 1.
Thu¾t tốn se dùng sau m®t so huu han lan (chs can xét đơn bien là tőng cua
hai so).
1.2.6

Đong dư

Đ%nh nghĩa 1.11. Cho a, b, m ∈ Z, m ƒ= 0. Ta nói a đong dư b theo
modulo
m neu a, b có cùng so dư khi chia
cho m. Kí hi¾u a ≡ b (modm) ⇔
(a − b) .m.
Tính chat.
• Neu a ≡ b (modm) và b ≡ c (modm) thì a ≡ c (modm) .
• Neu a ≡ b (modm) và c ≡ d (modm) thì a ± c ≡ b ± d (modm) và
ac ≡
bd (modm) .


1.2.7

Đong dư tuyen tính

Đ%nh nghĩa 1.12. M®t đong dư dang

ax ≡ b (modm)
trong đó x là m®t so ngun chưa biet và a, b là hai so nguyên, đưoc
là đong dư tuyen tính m®t bien.

GQI

Đ%nh lý 1.10. Gia su a, b, m là các so nguyên m > 1 và (a, m) =
d. Neu d khơng chia het b thì đong dư ax ≡ b (modm) vơ nghi¾m. Neu
d chia het b thì đong dư ax ≡ b (modm) có đúng d nghi¾m khơng đong
dư modulo m.
H¾ qua. Gia su a, m là các so nguyên m > 1, neu (a, m) = 1
thì đong dư ax ≡ 1 (modm) ln có nghi¾m duy nhat modulo m,
nghi¾m này GQI là
ngh%ch đao cua a modulo m.
1.2.8

Th¾ng dư

Đ%nh nghĩa 1.13. Neu x y (modm) thỡ ta núi y l mđt thắng dư cna x
theo modulo m.
Đ%nh nghĩa 1.14. T¾p A = {x1, x2, ..., xm} gom m so nguyên. Gia su
ri (0 ≤ ri ≤ m − 1) là so dư cna xi khi chia cho m. Neu t¾p hop so dư
{r0, r1, ..., rm−1} trùng vói t¾p hop {0, 1, ..., m 1} thỡ ta núi tắp A l
mđt
hắ th¾ng dư đay đu theo modulo m.
Tính chat. Gia su t¾p A = {x1, x2, ..., xm} là h¾ th¾ng dư đay đn modulo
m thì:
• Vói MQI y ∈ Z ton tai duy nhat xi ∈ A sao cho y xi (modm) .
ã Vúi
MQI so nguyờn b thỡ tắp {x1 + b, x2 + b, ..., xm + b} l hắ

thắng
d ay n theo modulo m.
ã Vúi
moid
c ay
Zn
vmodulo
(c, m) m.
= 1 thì t¾p {cx1, cx2, ..., cxm} là h¾
th¾ng
Đ%nh nghĩa 1.15. T¾p {r1, r2, ..., rn } GQI l mđt hắ thắng d thu GQN modulo
m neu (ri , m) = 1 và vói MQI x ∈ Z, (x, m) = 1 thì ton tai duy nhat ri e
ri x (modm) .
Nhắn xột.
ã Ta cú the thu đưoc h¾ th¾ng dư thu GQN modulo m bang cách loai
trự tự mđt hắ thắng d ay n cỏc phan tu khơng ngun to cùng
nhau vói m.


• MQI h¾ th¾ng dư thu
ϕ (m).

modulo m đeu có cùng so phan tu, kí hi¾u

GQN

Đ%nh
lý 1.11. Neu n = pα1 pα2
αk
...p

1

thì

2

ϕ (n) = n .1 −

k

1
p

Σ .1

−

1

1
p

Σ ... .1

2

H¾ qua. Neu p là so nguyên to thì ϕ (p) = p − 1.
1.2.9

M®t so đ%nh lý quan

−

1
p

Σ.

k

TRQNG

Đ%nh lý 1.12. (Đ%nh lý Wilson) p là so nguyên to khi và chs khi (p − 1)! ≡
−1 (modp) .
Đ%nh lý 1.13. (Đ%nh lý Euler) Neu m là so nguyên dương và (a, m) = 1 thì
aϕ(m) ≡ 1 (modm) .
Đ%nh lý 1.14. (Đ%nh lý Fermat) Neu p là so nguyên to và (a, m) = 1 thì
ap−1 ≡ 1 (modp) .
Đ%nh
lý 1.15.to(Đ%nh
lý phan
Trung
Gia su m1, m2, ..., mr là
các so nguyên
cùng nhau
ụid
mđt.
KhiHoa)
ú hắ
x a1) x

(modm
a21
(modm
2)


x . ar (modmr)


có nghi¾m duy nhat modulo M vái M = m1m2...mr.


Chương 2
M®t so bài tốn So HQC - To hap
Thơng thưịng đe tao ra m®t bài tốn tő hop, chúng ta hay ket hop các
ket qua o nhung lĩnh vnc khác nhau; chang han là ket qua so HQc, hình hQc,
đai so vói m®t ket qua ve lý thuyet tő hop. Chớnh vỡ vắy, viắc giai mđt bi
toỏn t hop g¾p rat nhieu khó khăn, boi vì chúng ta phai biet nhung ket qua o
nhung lĩnh vnc khác nhau và phai biet ket hop chúng lai. Trong lu¾n văn
này, chúng tơi xét m®t so bài tốn tő hop có n®i dung là sn ket hop các ket
qua so HQc và t hop. Trong chng ny, chỳng tụi giúi thiắu mđt so bài toán
"so HQc - tő hop" đưoc sap xep theo chn đe và chúng tơi cũng co gang phân
tích đe tìm lịi giai các bài tốn m®t cách tn nhiên nhat và bình lu¾n sau khi
giai xong bài tốn.

2.1

Tính chat so

HQC

Chúng tơi trình bày m®t so bài tốn tő hop mà khi giai chúng, ta can
su dung nhieu kien thúc ve so HQc (tính chia het, ưóc chung nho nhat, bđi
chung nho nhat, hắ thắng d ay n v h¾ th¾ng dư thu GQN, đ%nh lý phan dư
Trung Hoa,...) và các kien thúc ve tő hop (các quy tac đem cơ ban, nguyên
lý Dirichlet, nguyên lý bù trù, phương pháp quy đao,...).
2.1.1

Tính chia het

Bài tốn 2.1.(Olympic 30 - 4 - 2011) Chúng minh rang tù 2011
so nguyên dương bat kì ln có the cHQN ra đưoc hai so mà tőng ho¾c hi¾u
cna chúng chia het cho 4018.
Phân tích - Lài giai.
Khi chia m®t so ngun dương bat kì cho 4018 thỡ cỏc so d phai thuđc
tắp hop {0, 1, ..., 4017}.
Dna vào nh¾n xét trên chia các so dư trên thành tùng nhóm như sau:


- Nhóm thú nhat gom nhung so khi chia cho 4018 có so dư bang 0.
- Nhóm thú hai gom nhung so khi chia cho 4018 có so dư bang 1 ho¾c
4017.
- Nhóm thú ba gom nhung so khi chia cho 4018 có so dư bang 2 ho¾c
4016.
...
- Nhóm thú 2009 gom nhung so khi chia cho 4018 có so dư bang 2008
ho¾c 2010.
- Nhóm thú 2010 gom nhung so khi chia cho 4018 có so dư bang 2009.
Như v¾y, có tat ca là 2010 nhóm, mà lai có 2011 so nguyên dương nên,
theo nguyên lý Dirichlet, giua chúng phai có ít nhat hai so mà có so dư

thu®c cùng m®t nhóm.
Đây là hai so can tìm, vì neu chúng có so dư bang nhau thì hi¾u cna
chúng chia het cho 4018 và neu chúng có so dư khác nhau thì tőng cna
chúng chia het cho 4018.
Nh¾n xét. Rõ ràng trong bài toán này, goi ý cho xét so dư cna 2011 so khi
chia cho 4018, neu hai so có cùng so dư thì hi¾u cna hai so đó chia het
cho 4018, còn neu tőng so dư cna hai so bang 4018 thì tőng cna hai so
đó chia het cho 4018. Như v¾y, chi can ghép các so dư thích hop và su
dung ngun lý Dirichlet.
Bài tốn 2.2. Cho t¾p hop A = {1; 2; ...; 2010}. Chúng minh rang tự
1006 so bat kỡ thuđc tắp hop A ta luụn tìm đưoc hai so mà so này chia
het
cho tích
so kia.
Phân
- Lài giai.
Gia su 1006 đó là a1, a2, ..., a1006. Ta phân tích 1006 so dưói dang như sau:
a1 = 2m1 b1; ...; a1006 = 2m1006 b1006,
trong đó bi là cỏc so dng, le thuđc tắp A.
Vỡ trong tắp A chi có 1005 so le mà lai có 1006 so le bi nên theo nguyên
lý Dirichlet ton tai hai so trùng nhau. Gia su đó là bi = b j.
Khi đó tương úng ta có hai so ai = 2mi.bi; aj = 2mj .bi thoa mãn u cau bài
tốn.
Nh¾n xét. Bài tốn chúng minh sn ton tai là dau hi¾u đe ta nghĩ đen
nguyên lý Dirichlet, hơn nua chúng ta phai biet bieu dien so tn nhiên ni =
2m i b i.
Vói cách suy lu¾n tương tn, ta có the giai bài toán sau:
Bài toán 2.3. Cho 2010 so tn nhiên bat kỳ. Chúng minh rang trong so các
so đó, cú mđt so chia het cho 2010 hoắc cú mđt so so mà có tőng chia
het

cho 2010.
Phân tích - Lài giai.
i a .
Σ
Đ¾t Si
k
i = 1;
=
Σ
k=
2010

. Neu có m®t so hang cna dãy chia het 2010

1

thì bài tốn đưoc chúng minh. Ngưoc lai, các so Si chia cho 2010 cú so d
thuđc tắp {1, 2, ..., 2009}, vì có 2010 so Si, nhưng chi có 2009 so dư nên
theo
nguyên lý Dirichlet phai có hai
so có cùng so dư. Gia su đó là Si và Sj vói
(j > i). Suy ra (Sj − Si) . .
.2010
Bài tốn 2.4. Hoi có bao nhiêu cách sap xep các so 21, 31, 41, 51, 61, 71,
81
sao cho tőng cna bon so liên tiep bat kì chia het cho 3.
Phân tích - Lài giai.
0,

2, Ta
0, chi
1, 2,
Giadãy
su đã
a1, cho
a2, ...,
7 là m®t cách xep thoa mãn u
cau1,bài
can0.xét
theoamodulo
3, do đó dãy này có the
viet lai tốn. Khi đó
0 ≡ (a1 + a2 + a3 + a4) + (a4 + a5 + a6 + a7)
≡ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7) + a4 ≡ a4 (mod3) .
Suy
+ a2khác
+ a3 ≡ 0 (mod3), do đó a1, a2, a3 phai là hốn v% cna
0, 1,ra2a.1M¾t
(a1 + a2 + a3 + a4) ≡ (a2 + a3 + a4 + a5) (mod3)
nên a1 ≡ a5 (mod3).
a5, can
a 6, a
7 đưoc xác đ%nh duy nhat boi a1,
a2,Tương
a . Do tn,
đó,tasochúng
cách minh
sap xep
tìm

chính là so cách xep so 0 vào v%
trí thú3 4
mãn
là cna dãy đã cho. De thay so cách
23.3.3!.
các so 0, 1, 2 vào ba v% trí đau tiên
xep
thoa
Nh¾n xét. Vì liên quan đen tőng chia het cho 3 nên ta chi can xét so dư
các so theo modulo 3. Thờm mđt so lý luắn n gian ve tớnh chia het thì
ta có the đen đưoc tat ca các cách sap xep.
Bài tốn 2.5. Cho S là t¾p hop tat ca các điem trong khơng gian có TQA
đ® (x, y, z) sao cho x, y, z là so nguyên và 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤
z ≤ 4. Lay ngau nhiên hai điem bat kì cna t¾p S. Tính xác suat đe cHQN
hai điem mà TQA đ® trung điem cna đoan thang đó cng thuđc tắp S.
Phõn tớch - Li giai.
Vỡ cú 3 cách cHQN x, 4 cách cHQN y và 5 cách cHQN z nên |S| = 3.4.5 = 60.
6
0

Do |S| = 60 nên có C 2 = 1770 cách chQN hai điem. Đe

TQA

đ® trung điem


cna đoan thang noi hai điem thu®c S thì
có cùng tính chan le.
De dàng đem đưoc có:

TQA

đ® tương úng cna hai điem đó

• 2.2.3 = 12 điem có ca ba TQA đ eu chan.
ã 1.2.2 = 4 iem cú ca ba TQA đ eu le.
ã 1.2.3 = 6 iem chi cú x

TQA

đ le.

ã 2.2.3 = 12 iem chi cú y

TQA

đ le.

• 2.2.2 = 8 điem chi có z

TQA

• 2.2.2 = 8 iem chi cú x

đ le.

TQA

đ chan.

ã 1.2.2 = 4 iem chi cú y

TQA

đ chan.

ã 1.2.3 = 6 iem chi có z

TQA

đ® chan.

Do đó so cách cHQN hai điem sao cho

TQA

đ® trung điem cũng thu®c S là:

C 2 + C 2 + C 2 + C 2 + C 2 + C 2 + C 2 + C 2 = 230.
4

6

12

8

8

4

6

23 = 23 .
V¾y xác suat
0
177
bang
177
0
Nh¾n xét. Su dung tính chat so HQc khá đơn gian là: "Tőng cna hai so tn
nhiên là so chan khi hai so đó cùng chan ho¾c cùng le" và su dung phép
đem cơ ban tìm ra đáp so.
12

Bài tốn 2.6.(Olympic 30 - 4 - 2012) Cho hình vng kích thưóc 8 × 8
đưoc chia thành 64 ơ vng đơn v%. Hoi có the viet tat ca các so 1,
2, ..., 64 vào 64 ô vng (moi ơ chúa đúng m®t so) sao cho tőng cna
4 so nam trong 4 ơ cna moi m®t hình bat kì sau đây đeu chia het cho
4?

Hình 2.1: hình ve

Phân tích - Lài giai.
Gia su ta có the viet đưoc các so 1, 2, ..., 64 vào các ô cna bang hình
vng kích thưóc 8 × 8 sao cho tőng cna 4 so trong 4 ơ vng cna moi
hình bat kì

đeu chia het cho 4.
G
QI a1 , a2 , a3 , a4 , a5 là 5 so trong hình chu th¾p +, trong đó a5 là so o
tâm,
cịn các so đánh theo thú tn ngưoc chieu kim đong ho.
Tù
giaathiet
bài toán đã cho, ta có các tőng a1 + a2 + a3 + a5, a2 + a3 +
a4 +
5, a3 + a4 + a1 + a5, a4 + a1 + a2 + a5 ln chia het cho 4.
Do đó
(3 (a1 + a2 + a3 + a4) +

⇒ (a1 + a2 + a3 + a4) .4.

4a5) .4
Tù đó suy ra a5 ≡ ai (mod4) (i = 1, 2, 3, 4) . Như v¾y các so a1, a2, a3,
a 4 , a5
đeu có cùng so dư khi chia cho 4. Bang lí lu¾n tương tn như trên suy ra có
nhieu hơn 16 so trong bang hình vng có cùng so dư khi chia cho 4.
T¾p hop so {1, 2, ..., 64} chi có the chia thành 4 t¾p con, moi t¾p con
gom 16 phan tu có cùng so dư khi chia cho 4. Đieu này dan đen mâu
thuan. V¾y khơng the viet các so thoa mãn u cau bài tốn.
Nh¾n xét. Đe ý so trung tõm cna mđt hỡnh chu thắp se cú cùng so dư vói
các so ke nó nên se có nhieu so dư, chính đieu này goi ý cho xem trong
các so đã cho có bao nhiêu so có cùng so dư theo modulo 4, so sánh suy
ra đieu mâu thuan.
Bài tốn 2.7. Có ton tai hay khơng m®t cách sap xep 2013 so ngun
dương đơi m®t khác nhau trên m®t đưịng trịn sao cho vói hai so ngun
đúng

ketích
nhau- Lài
thì thương
Phân
giai. cna so lón và so nho là m®t so nguyên to.
Gia
tai m®t cách xep và các so nguyên dương đó là a1 , a2tích
, ...,
a2013su
. Gton
QI ni là so các so nguyên to (ke ca trùng nhau) trong phân
ra
thùa
so
nguyên to cna a .
i

Vì
so ketonhau
là m®t so ngun to nên trong phân
tíchthương
ra thùacna
so hai
ngun
cna a
aii,, a
ai+1
i+1 thì ni, ni+1 hơn kộm nhau mđt n
v%, vỡ vắy ni v ni+1 khỏc tính chan le.
Do

đó,
i và ni+1 khác tính chan le. Suy ra n1, n3, ..., n2013 cùng tính
chan
le.nVì
a ,a
ke nhau nên n1, n2013 khác tính chan le. Đieu này
dan đen mâu1 2013
thuan. V¾y khơng ton tai cách xep thoa mãn bài toỏn.
Nhắn xột. Thng cna hai so l mđt so nguyờn to, goi ý cho ta nghĩ đen
phân tích các so ra thùa so nguyên to. Dna vào tính chan le cna so lưong
so nguyên to de dàng khang đ%nh không the sap xep.
Bài tốn 2.8. Cho t¾p
.
49
T = ,(x, y) |0 ≤ 2x < y ≤ 100; x, y ∈ N & (x4 + y 4).

,.


Tìm |T | là so phan tu cna t¾p T.
Phân tích - Lài giai.
Ta có 7 là so ngun to dang 4k + 3, đieu này goi nhó lai m®t ket qua
quen thu®c trong so HQc sau đây:
2
2
mãn
+ pblà
chia
het cho
p thì

haiKhi
a,đóba,đeu
hetngun
cho p.
Bo đe.a Cho
so
ngun
to dang
4k ca
+ 3.
b2 làchia
hai
so
2
thóa
Chúng minh. Neu a chia het cho p thì tù đieu ki¾n a + b chia het cho p
suy ra b chia het cho p. Neu a khơng chia het cho p thì tù đieu ki¾n a2 + b2
chia het cho p suy ra b không chia het cho p. Do p là so nguyên to nên
(a, p) = (b, p) = 1.
Theo đ%nh lý Fermat, ta có
ap−1 − 1 =
và
suy ra
M¾t khác

b

p−1

. Σ2k+1

a2
− 1 ≡ 0 (modp) ,

. Σ2k+1
− 1 = b2
− 1 ≡ 0 (modp) ,

. Σ2k+1 . Σ2k+1
a2
+ b2
− 2 ≡ 0 (modp) .
.

Σ2k+1 . Σ2k+1
a2
+ b2
≡ a2 + b2 (modp) .
Tù các đieu trên, suy ra 2 chia het cho p là vơ lí. V¾y a, b chia het cho p.
Tro lai bài tốn.
Ta có (x4 +
suy ra (x4 +
. Theo bő đe thì x2, y2 chia het cho 7 do
y4).49
y4).7
đó x, y đeu chia het cho 7. Ngưoc lai neu x, y chia het cho 7 thì (x4 + y4).
.49
Tù 0 đen 100 có 15 so chia het cho 7 đó là

.

0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91,
98.
Vì 0 ≤ 2x < y ≤ 100 nên x ∈ {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42} .
Neu x = 0 có 14 cách cHQN y.
Neu x = 7 thì có 12 cách cHQN y (y ∈ {21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77,
84, 91, 98}).
Neu x = 14 thì có 10 cách cHQN y (y ∈ {35, 42, 49, 56, 63, 70,
77, 84, 91, 98}). Neu x = 21 thì có 8 cách cHQN y (y ∈ {49, 56,
63, 70, 77, 84, 91, 98}).
Neu x = 28 thì có 6 cách cHQN y (y ∈ {63, 70, 77, 84,
91, 98}). Neu x = 35 thì có 4 cách cHQN y (y ∈ {77,
84, 91, 98}).
Neu x = 42 thì có 2 cách cHQN y (y ∈ {91,
98}). V¾y |T | = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 14 =
56.
Nh¾n xét. Đe giai bài tốn này, ta chi can biet ket qua so HQc quen thu®c
o phő thơng, ket hop vói phép đem cơ ban.


Bi toỏn 2.9. Trờn mắt phang TQA đ, cú mđt con cào cào o goc TQA đ®
O(0, 0). Vói N là m®t so ngun dương cho trưóc, con cào cào có the
nhay tù điem nguyên A đen điem nguyên B neu đ® dài AB bang N . Hoi
con cào cào có the nhay đen bat kỳ điem nguyên nào trên m¾t phang sau
huu han bưóc nhay khơng neu:
1. N = 2013;
2. N = 2017.
(Trong đó điem nguyên là điem có ca hai TQA đ® đeu là so ngun).
Phân tích - Lài giai.
1. Ta chúng minh vói N = 2013 câu tra lịi là khơng the. Gia su con
cào cào đang o điem A(x, y) và nó nhay đen điem (z, t).

Do yêu cau bài toán nên (x − z)2 + (y − t)2 = 20132. Vì 2013 chia het cho
3 nên (x − z) .3, (y − t) .3 hay x ≡ z (mod3) ; y ≡ t (mod3) .
Do ban đau con cào cào đúng o điem (0, 0) nên sau moi bưóc nhay, nó
se nhay đen điem có tung đ® và hồnh đ® đeu chia het cho 3. Như v¾y
con cào
cào khơng the nhay đen điem ngun có m®t trong hai TQA đ® khơng chia het
cho 3. Nói riêng, con cào cào không the nhay đen điem (1, 1).
2. Cách 1. Câu tra lịi là có the.
2017
= x2 là
+ so
y2.nguyên
Cu the,todùng
thu tai
danx,tay tìm
đưocdương
2017
= Vì 2017
dangphương
4k + 1pháp
nên ton
nguyên
2
2
2
2 2
2
2 2
sao cho 9
thúc

x
+
y
=
x
−
y
2 + 44 . Tù đó, áp dung hang
2 đang
2
2
+ (2xy) ta tìm đưoc bieu dien 2017 =.a + bΣ vói.a = 792 và b =
1855.
Σ
Như v¾y, ta tìm đưoc a, b nguyên dương sao cho
20172 = a2 + b2 = b2 + a2
trong đó (a, b) = 1, (a, N ) = 1, (b, N ) = 1. Do đó con cào cào có the nhay
đen các điem có TQA đ®
(ka + lb + mN, la + kb + nN )
vói k, l, m, n nguyên.
Bây giị ta chúng minh vói MQI c¾p so ngun (x0 , y0 ) thì ln ton tai k, l, m, n
sao cho
ka + lb + mN = x0, la + kb + nN = y0.
Đieu này tương đương vói vi¾c chúng minh ton tai k, l sao cho

ka + lb ≡ x0(modN ) và la + kb ≡ y0(modN ).


Ta se cHQN k, l thoa mãn
ka2 + lab ≡ ax0 (modN ) ,

và

(1)

lab + kb2 ≡ by0 ( mod N ) . (2)
De thay vì a2 + b2 ≡ 0(modN ) nên neu đưoc k, l như v¾y thì phai có
2lab ≡ ax0 + by0(modN ).
Ta xây dnng nghi¾m cna (1) v (2) dna vo cỏc ieu kiắn ny:
ã Do (2ab, N ) = 1 nên ton tai l sao cho
2lab ≡ ax0 + by0(modN ).
• Do

.

a2 , N

Σ

= 1 nên ton tai k sao cho
ka2 ≡ −lab + ax0 (modN ) .

Khi đó
lab + kb2 ≡ lab − ka2 = 2lab − ax0 0 ≡ by (modN ).
Như v¾y, ta đã tìm đưoc k, l thoa mãn (1), (2).
Vì (a, N ) = 1 và (b, N ) = 1 nên tù (1), (2) suy ra
ka + lb ≡ x0(modN ) và la + kb ≡ y0(modN ).
V¾y con cào cào có the nhay đen tat ca các điem ngun.
2
dương

chotrên, vói
N N = 22017,=ta tìmađưoc
+ b ngun
b 2.
Cách
2. Cũng sao
như lịi giai
a,
Vói moi điem ngun ta dnng m®t hình chu nh¾t "Cơ so" có các canh song
song vói hai truc TQA đ® và đ® dài hai canh là a, b. Khi đó TQA đ® các đinh
cna hình chu nhắt l nguyờn v đ di ũng chộo bang 2017.
Ta chúng minh neu con cào cào đang đúng o m®t inh cna hỡnh chu nhắt thỡ
cú the nhay en mđt đinh bat kỳ cna hình chu nh¾t đó.
Th¾t v¾y, con cào cào có the nhay đen đinh đoi di¾n cna hình chu nh¾t
do khoang cách đưịng chéo bang 2017. Ta se chúng minh nó nhay đen
đinh ke vói nó. Gia su nó đang đúng o đinh A cna hình chu nh¾t ABCD
vói AB = b ta chi ra cách nhay đen D.
Dnng liên tiep 2017 hình chu nh¾t DQc theo AB như hình ve.


Hình 2.2: hình ve

Khi đó AN = 2017b. Con cào cào nhay DQc theo canh AB đúng b bưóc
đen đưoc đinh N. Con cào cào tù đinh N nhay theo đưịng chéo hình chu
nh¾t 2017 bưóc se ve D (đpcm). Tương tn như v¾y ta chúng minh đưoc
con cào cào se nhay đen v% trí cna đinh B.
Bây giị ta chúng minh neu con cào cào đúng tai điem A(x, y) thì nó có
the nhay đen điem B(x + 1, y).
Do (b, 2017) = 1 nên ton tai c nguyên dương sao cho bc ≡
1(mod2017) hay ton tai k nguyên dương thoa bc = 2017k + 1. Theo

hưóng dương cna truc
Ox ta dnng dãy c hình chu nh¾t liên tiep nhau như hình ve.

Hình 2.3: hình ve

Khi đó đ® dài đoan AN = 2017k + 1. Theo chúng minh trên con co co
tự mđt inh cna hỡnh chu nhắt cú the nhay đen các đinh khác cna hình
chu nh¾t đó nên nó có the nhay tù đinh A đen đinh N . Tai N con cào cào
nhay theo hưóng NA đúng k bưóc thì nó se đen điem B(x + 1, y).
Chúng minh tương tn ta có con cào cào có the nhay đen các điem (x −
1, y), (x, y − 1), (x, y + 1).
Như v¾y con cào cào có the nhay đen tat ca các điem nguyên trờn mắt phang
TQA đ.
Nhắn xột. Trong cõu 1, chi can biet kien thúc so HQc cơ ban:
"Tőng bình phương cna hai so chia het cho 3 khi và chi khi ca hai so đó
chia het cho 3", thay so 3 bang so nguyên to p = 4k + 3.
Mau chot cna câu 2, chúng ta phai biet kien thúc so HQc sau:
"So nguyên to p đưoc phân tích thành tőng bình phương cna hai so chính
phương khi và chi khi p = 4k + 1".
Vói nh¾n xét trên thì trong câu 2 ta có the thay so 2017 bang m®t so nguyên