Một số tìm hiểu tiếp theo về bổ túc xác suất

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

NGUYEN TH± DUNG

M®T SO TÌM HIEU TIEP THEO
VE BO TÚC XÁC SUAT

LU¼N VĂN THAC SY KHOA HOC

Chuyên ngành :

LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TOÁN HOC

Mã so : 60 46 01 06

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC:
PGS.TS. PHAN VIET THƯ

HÀ N®I, 2014


Mnc lnc
LèI Me ĐAU

5

BANG KÝ HIfiU

7

1 MARTINGALE VÀ M®T SO ÚNG DUNG
1.1 Kỳ vQNG có đieu ki¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
1.1.1 Trưòng hop ròi rac . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Trưòng hop Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Hm mắt đ cú ieu kiắn . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Sn ton tai và tính duy nhat . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Các tính chat cna kì vQNG có đieu ki¾n . . . . . . . .
1.2 Lý thuyet Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Đ%nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Dùng tùy cHQN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Các bat đang thúc Doob . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Đ%nh lý h®i tu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Các úng dung Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Tng cỏc bien ngau nhiờn đc lắp
. . . . . . . . . .
1.3.2 Martingale không âm và sn thay đői đ® đo . . . . . .
1.3.3 Xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Đieu khien ngau nhiên toi ưu . . . . . . . . . . . . .

8
8
8
8
9
9
11
13
13
14

15
18
21
21
22
25
27

2 QUÁ TRÌNH NGAU NHIÊN THèI GIAN LIÊN TUC
29
2.1 Q trình ngau nhiên thịi gian liên tuc.................................29
2.1.1 Đ%nh nghĩa......................................................................29
2.1.2 Quy đao chính quy.....................................................30
2.1.3 Martingale vói thòi gian liên tuc..................................32
2


2.2 H®i tu yeu..............................................................................35
2.2.1 Đ%nh nghĩa......................................................................35
2.2.2 Đ%nh lý Prohorov.......................................................36
2.2.3 H®i tu yeu v hm ắc trng....................................37
3 CHUYEN đNG BROWN
39
3.1 %nh lý Wiener.....................................................................39
3.2 Tính bat bien..........................................................................41
3.3 Martingale..............................................................................42
3.4 Tính chat Markov manh.........................................................44
3.5 Thịi điem cham.....................................................................46
3.6 Tính chat quy đao..................................................................46
3.7 Hoi quy và sn nhat thịi..........................................................48

3.8 Chuyen đ®ng Brown và bài tốn Dirichle..............................50
3.9 Nguyên tac bat bien cna Donsker.........................................54
4 Đ® ĐO NGAU NHIÊN POISSON VÀ Q TRÌNH LEVY 58
4.1 Đ® đo ngau nhiên Poisson....................................................58
4.1.1 Cau trúc và thu®c tính cơ ban...................................58
4.1.2 Tích phân đoi vói m®t đ® đo ngau nhiên Poisson......60
4.2 Q trình Levy.......................................................................63
4.2.1 Đ%nh nghĩa và ví du..................................................63
4.2.2 Đ%nh lý Levy-Khinchin...............................................64
Tài li¾u tham khao

67

3


LèI CAM ƠN
Lu¾n văn này đưoc hồn thành vói sn hưóng dan t¾n tình và cũng
het súc nghiêm khac cna PGS.TS. Phan Viet Thư. Thay đã dành
nhieu thòi gian quý báu cna mình đe hưóng dan cũng như giai đáp các
thac mac cna tơi trong suot ca q trình làm lu¾n văn. Tơi muon to
lịng biet ơn chân thành và sâu sac nhat tói ngưịi thay cna mình.
Tơi cũng muon gui tói tồn the các thay cơ Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc
trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, các thay cơ
đã đam nh¾n giang day khóa Cao HQc 2011 - 2013, đ¾c bi¾t là các thay cơ
tham gia giang day nhóm Xác suat thong kê 2011 - 2013 lòi cám ơn chân
thành đoi vói cơng lao day do trong suot thịi gian cna khóa HQc.
Tơi xin cám ơn gia đình, ban bè, đong nghi¾p và các anh ch% em trong
nhóm Xác suat thong kê 2011 - 2013 đã quan tâm, giúp đõ, tao ieu kiắn
v đng viờn tinh than e tụi cú the hồn thành đưoc khóa HQc này.

LèI Me ĐAU
Bő túc xác suat là m®t q trình chuyen tiep tù các khái ni¾m
xác suat cơ ban; cùng lý thuyet đ® đo đe xây dnng lý thuyet xác suat hi¾n
đai thơng qua giai tích ngau nhiên. Vói các khái ni¾m cơ ban như Lý
thuyet Martingale, Xích Markov, Di đ®ng ngau nhiên, Q trình ngau
nhiên liên tuc, Q trình Wiener,...làm cơ so đe nghiên cúu tiep ve quá
trình ngau nhiên, phương trình vi phân ngau nhiên và tiep c¾n các úng
dung quan TRQNG cna lý thuyet xác suat như trong tốn tài chính,
phân tích chuoi thịi gian, lý thuyet dn báo,... Đây là lý do đe
chúng tôi cHQN đe tài: M®t so tìm hieu tiep theo ve bő túc xác suat.
Lu¾n văn trình bày nhieu khái ni¾m đã đưoc HQc o chương trình cao
HQc nhưng do khi HQc các khái ni¾m, đ%nh lý, tính chat chi đưoc giói thi¾u
mà chưa có chúng minh đay đn. Trong lu¾n văn các khái ni¾m, đ%nh
lý, m¾nh đe, tính chat đeu đưoc chúng minh ch¾t che. Giúp tìm hieu sâu
hơn ve Bő túc xác suat. Lu¾n văn gom có 4 chương:
Chương 1. Martingale v mđt so ỳng dnng.
K vQNG cú ieu kiắn: Trũng hop rũi rac, Trũng hop Gauss, hm mắt
đ cú ieu ki¾n, sn ton tai và duy nhat, tính chat cơ ban.
Martingale tham so rịi rac, martingale dưói và martingale trên, dùng
tùy cHQN, bat đang thúc Doob, cat ngang, đ%nh lý h®i tu, martingale
ngưoc. Các úng dung cna martingale: Tőng cna bien ngau nhiờn đc lắp,
luắt manh so lún, ong nhat thúc cna Wald, martingale khơng âm và sn
bien đői đ® đo, đ%nh lý Radon – Nikodym, đ%nh lý tích martingale cna
Kaku- tani, kiem tra tính vung cna ty so hop lý, Xích Markov, đieu khien
toi ưu
ngau nhiên.

Chương 2. Quá trình ngau nhiên thài gian liên tnc.
Quá trình ngau nhiên vói thịi gian liên tuc: Tiêu chuan Kolmogorov,
đ%nh lý quy đao chính quy đoi vói martingale, martingale vói thịi gian
liên tuc.
H®i tu yeu trong Rw: h®i tu cna hàm phân phoi, h®i tu đoi vói các hàm
liên tuc b% ch¾n, phép nhúng Skorokhod, đ%nh lý Helly, hàm ắc
trng, %nh lý liờn tuc cna Levy.
Chng 3. Chuyen đng Brown.
Chuyen đ®ng Brown: đ%nh lý Wiener, tính chat chia ty lắ v phộp
oi xỳng, Martingale liờn quan en chuyen đng Brown, tính chat
Markov manh, đ%nh lu¾t phan xa, thịi gian va cham, tính chat đưịng
dan, phép hoi quy và sn nhat thịi, chuyen đ®ng Brown và bài tốn
Dirichle, ngun tac bat bien cna Donske.
Chương 4. Đ® đo ngau nhiên Poisson và quá trình Levy.
Quá trình Levy: Cau trúc thuan túy bưóc nhay cna q trình Levy
boi tích phân đoi vói đ o ngau nhiờn Poisson, luắt chia oc vụ
han, %nh lý Levy – Khinchin.
Do thòi gian gap rút và kien thúc cịn han che nên lu¾n văn khơng the
tránh khoi nhung thieu sót, vì v¾y, rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien
đóng góp cna các thay cơ và ban bè ong nghiắp, xin trõn TRQNG cỏm n.
H Nđi, thỏng 08 năm 2014


BANG KÝ HIfiU
M1: T¾p các martingale kha tích đeu
Mp: T¾p các martingale b% ch¾n trong Lp vói p > 1
gi: Giá phát sinh chi phí trên moi lan tói i trưóc T
fi: Giá phát sinh khi đen tai i ∈ D
Dn: Tắp hop so nguyờn bđi cna 2n trờn [0, ∞)
h.c.c: hau chac chan

Chng 1
MARTINGALE V MđT SO NG
DUNG
1.1
1.1.1

K vQNG cú ieu kiắn
Trng hap rài rac

Cho (Gi : i ∈ I) ký hi¾u m®t HQ đem đưoc các bien co khơng giao nhau,
hop cna chúng là ca khơng gian xác suat. Đ¾t G = σ (Gi : i ∈ I). Đoi vói
bien ngau nhiên kha tích X, chúng ta có the đ%nh nghĩa
Σ
Y =
E(X |Gi ) 1Gi
i

trong đó đ¾t E (X |Gi ) = E (X1Gi ) /P (Gi ) khi P (Gi ) > 0 và đ%nh
nghĩa E (X |Gi ) m®t cách tùy ý khi P (Gi) = 0. Khi đó de dàng thay
Y có 2 tính chat sau:
(a) Y là G-đo đưoc,
(b) Y kha tích và E (X1A) = E (Y 1A) vói MQI A ∈ G.
1.1.2

Trưàng hap Gauss

Cho (W, X) là bien ngau nhiên Gauss trong R2. Đ¾t G = σ (W) và
Y = aW + b, trong đó a, b ∈ R đưoc cHQN đe thoa mãn:

aE (W) + b = E (X) , a varW = cov (W, X)
Khi đó E (X − Y ) = 0 và
cov (W, X − Y ) = cov (W, X) − cov (W, Y ) = 0


nờn W v X Y đc lắp. Do ú Y thoa mãn:
(a) Y là G-đo đưoc,
(b) Y kha tích và E (X1A) = E (Y 1A) vói MQI A G.
1.1.3
Hm mắt đ cú ieu kiắn
Gia su U v V l cỏc bien ngau nhiờn cú hm mắt đ đong thịi fU,V (u, v)
trong R2. Khi đó U có hm mắt đ fU , xỏc %nh boi
fU (u) = R fU,V (u, v) dv.
Hm mắt đ cú ieu kiắn fV |U (v| u) cna V vói U đã cho đưoc xác đ
%nh boi
fV |U (v| u) = fU,V (u, v)/fU (u)
o đây chúng ta quy ưóc 0/0 = 0. Cho h : R → R là hàm Borel và gia
su rang X = h (V ) kha tích. Đ¾t
g (u) = ∫R h (v) fV |U (v| u) dv.
Đ¾t G = σ (U ) và Y = g (U ). Khi đó Y thoa mãn:
(a) Y là G-đo đưoc,
(b) Y kha tích và E (X1A) = E (Y 1A) vói MQI A ∈ G.
Đe chúng minh (b) ta chú ý rang vói MQI A ∈ G có dang A = {U B},
vúi mđt tắp Borel B no ú. Khi đó, tù đ%nh lý Fubini,
E (X1A ) = ∫R h (v) 1B (u) fU,V (u, v) d (u, v)
= ∫R .∫R h (v) fV |U (v |u) dv Σ fU (u) 1B (u) du = E (Y 1A ) .
1.1.4

2

SE ton tai và tính duy nhat

Đ%nh lý 1.1. Cho X là m®t bien ngau nhiên kha tích và G ⊆ F là m®t
σ-đai so. Khi đó ton tai m®t bien ngau nhiên Y sao cho:
(a) Y là G-đo đưac,


(b) Y kha tích và E (X1A) = E (Y 1A) vái

MQI

A ∈ G.

Hơn nua, neu Y J cũng thóa mãn (a) và (b), khi đó Y = Y J h.c.c.
Chúng ta gQI Y (m®t ban sao cna) kỳ vQNG có đieu ki¾n cna X vói G
đã cho và viet Y = E (X |G ) h.c.c. Trong trưòng hop G = σ (G) vói
m®t bien ngau nhiên G nào đó, chúng ta cũng viet Y = E (X |G) h.c.c.
Ba ví du trên đây cho thay làm the nào xây dnng cu the kỳ vQNG có
đieu ki¾n trong các trưịng hop đơn gian nào đó. Nói chung, chúng ta
phai tiep c¾n theo cách gián tiep đưoc cho boi các đ%nh lý.
Chúng minh. (Tính duy nhat.) Gia su rang Y thoa mãn (a) và (b)
và Y J thoa mãn (a) và (b) vói m®t bien ngau nhiên kha tích X J khác,
vói X ≤ X J h.c.c. Xét bien ngau nhiên không âm Z = (Y − Y J ) 1A ,
trong đó A = {Y ≥ Y J } ∈ G. Khi đó
E (Z) = E (Y 1A ) − E (Y J 1A ) = E (X1A ) − E (X J 1A ) ≤ 0
nên Z = 0 h.c.c, suy ra Y ≤ Y J h.c.c. Trong trưòng hop X = X J , chúng
ta suy ra Y = Y J h.c.c.
2
(Sn
Khoi

gia su
X ∈taLcó
(F).
V = vói
L2 (G)
khơng
gianton
contai.)
đóng
cnađau
L2 (F),
chúng
X =Do
Y +W
Y ∈làVm®t
và W
∈V
⊥
. Khi đó, vói bat kỳ A ∈ G, chúng ta có 1A ∈ V , nên
E (X1A) − E (Y 1A) = E (W1A) = 0.
Do đó Y thoa mãn (a) và (b).
2
∧ n giị
∈ Lgia
(Fsu) X
và là
0≤
Xnngau
↑ X nhiên
khi nkhông

→ ∞.âm
Chúng
ta phai
chúng
minX
h, Bây
bien
bat kỳ.
Khi đó,
Xn
2
= vói moi n, ton tai Yn ∈ L (G) sao cho, vói MQI A ∈ G,
E (Xn1A) = E (Yn1A)

và
hơn
≤Y
≤ Yđi¾u,
n+1 h.c.c. Cho Y = limn→∞ Yn , khi đó Y là G-đo
đưoc
vànua
theo0h®i
tun đơn
vói MQI A ∈ G,
E (X1A) = E (Y 1A) .
Đ¾c bi¾t, neu E (X) huu han thì E (Y ) cũng như v¾y.
−
ta Cuoi
có thecùng,
su dung

cách
xâybien
dnngngau
trưócnhiên
cho Xkha
vàtích
X + đe
Y
và
đoi
vói
m®t
X thu
nói đưoc
chung,
+
+
−
chúng Y . Khi đó Y = Y − Y thoa mãn (a) và (b).
−


1.1.5

Các tính chat cua kì vQNG có đieu ki¾n

Cho X là m®t bien ngau nhiên kha tích và G ⊆ F là m®t σ-đai so.
Các tính chat sau đưoc suy ra trnc tiep tù đ%nh lý 1.1:
(i) E (E (X |G )) = E (X),
(ii) Neu X là G-đo đưoc thì E (X |G ) = X h.c.c,

(iii) Neu X đc lắp vúi G thỡ E (X |G ) = E (X)
h.c.c. Trong chúng minh cna đ%nh lý 1.1, chúng ta
cũng thay
(iv) Neu X ≥ 0 h.c.c thì E (X |G ) ≥ 0 h.c.c.
Tiep đó, cho α, β ∈ R và bien ngau nhiên kha tích bat kì Y , chúng ta có
(v) E (αX + βY |G ) = αE (X |G ) + βE (Y |G ) h.c.c.
Đe thay đieu này, kiem tra ve phai có các tính chat cna đ%nh nghĩa (a) và
(b) như cna ve trái.
Các đ%nh lý h®i tu cơ ban cho kỳ vQNG tương tn vói kỳ vQNG có đieu
ki¾n. Chúng ta hãy xét m®t dãy các bien ngau nhiên Xn trong giói han
n → ∞. Neu 0 ≤ Xn ↑ X h.c.c, thì E (Xn |G ) ↑ Y h.c.c, đoi vói m®t
bien ngau nhiên Y G-đo đưoc; vì the, boi h®i tu đơn đi¾u, vói MQI A ∈ G,
E (X1A) = lim E (Xn1A) = lim E (E(Xn |G ) 1A) = E (Y 1A) .
suy ra Y = E (X |G ) h.c.c. Chúng ta đã chúng minh đưoc đ%nh lý hđi
tu n iắu cú ieu kiắn:
(vi) Neu 0 Xn ↑ X h.c.c thì E (Xn |G ) ↑ E (X |G ) h.c.c.
Tiep đó, bang l¾p lu¾n tương tn đã su dung đe có các ket qua đau
tiên, chúng ta có the suy ra các dang đieu ki¾n cna bő đe Fatou và đ
%nh lý h®i tu tr®i
(vii) Neu Xn ≥ 0 vói MQI n thì E (lim inf Xn |G ) ≤ lim inf E (Xn |G ) h.c.c,
(viii) Neu Xn → X và |Xn| ≤ Y vói mQI n, h.c.c, đoi vói m®t bien ngau
nhiên kha tích Y , thì E (Xn |G ) → E (X |G ) h.c.c.


Dang đieu ki¾n cna bat đang thúc Jensen. Cho c : R → (−∞, ∞] là
m®t hàm loi. Khi đó c l cắn trờn cna mđt so em oc cỏc hàm afin:
c (x) = sup (aix + bi) , x ∈ R
i

Do đó, E (c (X) |G ) đưoc xác đ%nh tot và gan như chac chan, vói

MQI

i,

E (c (X) |G ) ≥ aiE (X |G ) + bi
Vì the, chúng ta nh¾n đưoc
(ix) Neu c : R → (−∞, ∞] là loi thì E (c (X) |G ) ≥ cE (X |G )
h.c.c. Đ¾c bi¾t, đoi vói 1 ≤ p < ∞
p
p = E (E |(X | p
ǁE (X |G )ǁ
p
) ≤ E (E (|X|p |G )) = E (|X| p) = ǁXǁ p
G )|

Vì v¾y, chúng ta có
(x) ǁE (X |G )ǁp ≤ ǁXǁp vói MQI 1 ≤ p < ∞
Đoi vói σ-đai so bat kì H ⊆ G, bien ngau nhiên Y = E (E (X |G ) |H )
là H-đo đưoc và thoa mãn, đoi vói MQI A ∈ H
E (Y 1A) = E (E (X |G ) |1A ) = E (X1A)
vì the chúng ta tính chat tháp:
(xi) Neu H ⊆ G thì E (E (X |G ) |H ) = E (X |H )
h.c.c. Chúng ta luôn đưa ra nhung cái đã biet:
(xii) Neu Y b% ch¾n và G-đo đưoc thì E (Y X |G ) = Y E (X |G ) h.c.c.
Đe thay đieu này, trưóc het xét trưịng hop Y = 1B đoi vói B ∈ G nào
đó. Khi đó, vói A ∈ G,
E (Y E (X |G ) 1A) = E (E (X |G ) 1A∩B) = E (X1A∩B) = E (Y X1A ) ,
có nghĩa là E (Y X |G ) = Y E (X |G ) h.c.c. Mo r®ng ket qua này cho
bien ngau nhiên đơn gian G-đo đưoc Y boi tính tuyen tính, khi đó vói

trưịng
đơn
đi¾u.
hop
tőng
qt đưoc
suy
ra boiâm
bieu
dien
X = boi
X + sn
−
X − hop
X ≥Trưịng
0 và
bat
kì
bien
ngau
nhiên
Y
khơng
G-đo
đưoc
h®i tu và Y = Y + − Y −
Cuoi cùng,


(xiii) Neu (X, G) l đc lắp vúi H thì E (X |σ (G, H)) = E (X |G ) .

h.c.c. Vì gia su A ∈ G và B ∈ H, khi đó
E (E(X |σ (G, H)) 1A∩B) = E (X1A∩B) = E (E (X |G ) 1A) P (B)
= E (E (X |G ) 1A∩B) .
T¾p cna các giao nh A B l mđt -hắ sinh ra σ (G, H) .
Bo đe 1.1. Cho X ∈ L1. Khi đó t¾p các bien ngau nhiên Y có dang
Y = E (X |G ), trong đó G ⊆ F là m®t σ-đai so, kha tích đeu.
Chúng minh. Cho ε > 0, tìm đưoc δ > 0 sao cho E (| X |1A ) ≤ ε
khi P (A) ≤ δ. Khi đó cHQN λ < ∞ sao cho E (|X|) ≤ λδ. Gia su Y = E
(X |G ), khi đó |Y | ≤ E (|X| |G ). Đ¾c bi¾t, E (|Y |) ≤ E (|X|), do đó
P (|Y | ≥ λ) ≤ λ−1E (|Y |) ≤ δ.
Suy ra
Do λ đưoc cHQN

1.2
1.2.1

.
Σ
.
Σ
E |Y | 1|Y |≥λ ≤ E |X| 1|Y | .
đc lắp vúi G, ta cú ieu phai chúng minh.

Lý thuyet Martingale
Đ%nh nghĩa

Cho (Ω, F , P) là m®t khơng gian xác suat, (E, ε) là m®t khơng
gian đo đưoc và I là t¾p đem đưoc cna R. M®t q trình trong E là
m®t HQ X = (Xt )t∈I cna bien ngau nhiên trong E. M®t b® LQ c (Ft )t∈I là
m®t HQ

tăng các σ-đai so con cna F : do đó Fs ⊆ Ft khi s ≤ t. Đ¾t F−∞ F∩tX F,
t∈ I t
=
Σ
và. F∞ = σ (Ft : t ∈ I). Moi q trình có m®t b® LQ c tn nhiên
t∈
I
xác đ%nh boi
Ft X = σ (Xs : s ≤ t) .
Chúng ta se luôn gia thiet m®t b® LQc (Ft )t∈I đã cho. M®t σ-đai so Ft giai
thích như mơ hình hóa trang thái ve thơng tin ta biet tai thịi điem t. Đ¾c
bi¾t, FtX chúa tat ca các bien co chi phu thu®c (đo đưoc) vào Xs, s ≤ t,
nghĩa là, tat ca MQI thú chúng ta biet ve q trình X đen thịi điem t.
Ta nói rang X thích nghi (đoi vói (Ft )t∈I ) neu Xt là Ft -đo đưoc vói MQI


t. Hien nhiên MQI q trình thích nghi vói b® LQc tn nhiên cna nó. Trù
trưịng hop đưoc chi rõ khác đi, tù bây giò se hieu rang E = R. Chúng ta
nói rang X kha tích neu Xt kha tích vói MQI t. M®t martingale X là q
trình thích nghi kha tích sao cho, MQI s, t ∈ I vói s ≤ t,
E (Xt |Fs ) = Xs h.c.c.
Thay dau bang trong đieu ki¾n trên boi ≤ ho¾c ≥, tương úng chúng ta
đưoc khái ni¾m martingale trên và martingale dưói. Chú ý rang MQI q
trình là m®t martingale đoi vói b® LQc cho trưóc cũng là m®t martingale
đoi vói b® LQ c tn nhiên cna nó.
1.2.2

DÈng tùy cHQN

Chúng ta nói rang m®t bien ngau nhiên T : Ω → I ∪ {∞} là thòi điem

dùng neu {T ≤ t} ∈ Ft vói MQI t. Đoi vói thịi điem dùng T , ta đ¾t
.
Ft = A ∈ F : A ∩ {T ≤ t} ∈ Ft vói MQI t .
Σ
F
T = Ft. Vói m®t q trình X đã cho, ta đ¾t XT (ω) = XT (ω) (ω) khi De
dàng kiem tra đưoc rang, neu T ≡ t, thì T là thòi điem dùng và
T
(ω) < ∞. Chúng ta cũng đ%nh nghĩa quá trình dùng lai (stoped
process)
XT boi XTt = XT ∧t.
Chúng ta gia su trong 2 ket qua sau đây rang I = {0, 1, 2, ...}. Trong
trưòng hop này, chúng ta viet n, m ho¾c k là các phan tu cna I, chú
khơng phai là t ho¾c s.
M¾nh
đethích
1.1. Cho
và Tđólà các thài điem dùng và X = (Xn)n≥0 là m®t
q trình
nghi.SKhi
(a) S ∧ T là thài điem dùng,
(b) Neu S ≤ T thì FS ⊆ FT ,
(c) XT 1T <∞ là m®t bien ngau nhiên FT -đo đưac,
(d) X T là thích nghi,
(e) Neu X kha tích thì X T kha tớch.
%nh
lý thớch
1.1. nghi
(%nh
dựngKhi

tựyúCHQN
Cho
X sau
= (X
)n0 l
mđt
quỏ trỡnh
khalýtớch.
cỏc ).ieu
kiắn
l ntương
đương:


(a) X là m®t martingale trên,
(b) Vái

MQI

thài điem dùng b% ch¾n T và

MQI

thài điem dùng S,

E (XT |FS ) ≤ XS∧T h.c.c,
(c) Vái MQI thài điem dùng T, X T là martingale trên,
(d) Vái

MQI

thài điem dùng b% ch¾n T và S, vái S ≤ T,
E (XS) ≥ E (XT ) .

Chúng minh. Cho S ≥ 0 và T ≤ n, chúng ta có
Σ
XT = XS∧T +
= XS∧T +

S≤kn
Σ

(Xk+1 − Xk)
(Xk+1 − Xk) 1S≤k
(1.1)

k=0

Gia
suFXS.làKhi
martingale
trên
và S,
T là
các∈thịi
điem dùng, vói T ≤ n.
Cho
A∈

đó A ∩ {S
≤ k}
, {T
> k}
Fk nên
E ((Xk+1 − Xk) 1S≤kDo đó, nhân (1.1) vói 1A và lay kỳ vQNG, chúng ta có đưoc
E (XT 1A) ≤ E (XS∧T 1A)
Chúng ta đã chi ra (a) suy ra (b).
Hien nhiên tù (b) suy ra (c) và (d) và tù (c) suy ra (a).
Cho m ≤ n và A ∈ Fm. Đ¾t T = m1A + n1AC , khi đó T là thịi điem
dùng và T ≤ n. Chú ý rang
E (Xn1A) − E (Xm1A) = E (Xn) − E (XT ) .
Khi đó tù (d) suy ra (a).
1.2.3

Các bat đang thÉc Doob

Cho X là m®t q trình và a, b ∈ R vói a < b. Vói J ⊆ I, đ¾t
U ([a, b] , J) = sup {n : Xs1 < a, Xt1 > b, ..., Xsn < a, Xtn > b
Σ
vói MQI s1 < t1 < ... < sn < tn trong J
Khi đó U [a, b] = U {[a, b] , I} là so lan cat ngang lên [a, b] cna X.

.


Đ%nh lý 1.2. (Bat đang thúc cat ngang cua Doob). Cho X là m®t martingale trên. Khi đó
.
Σ

−
(b − a) E (U [a, b]) ≤ sup E (Xt − a)
t∈
I

Chúng minh. Tù U ([a, b] , I) = limJ↑I,J huu han U ([a, b] , J), theo sn h®i
tu đơn đi¾u, ta chi can xét các trưịng hop trong đó I huu han là
đn. Gia su I = {0, 1, , n}.
Viet U = U [a, b] và chú ý rang U ≤ n. Đ¾t T0 = 0 và đ%nh nghĩa bang
quy nap vói k ≥ 0:
Sk+1 = inf {m ≥ Tk : Xm < a} , Tk+1 = inf {m ≥ Sk+1 : Xm > b} .
TheoGkquy
inf∅
∞.ýKhi
đóGU
= bmax
{kChú
: Tk ý< rang
∞}. TVói
≤vàU ,
đ¾t
= Xưóc
chú
rang
− a.
Tk − X
Sk và =
k ≥
U ≤k n
TU+1 = ∞. Đ¾t

.Xn − XSU +1

R=

0
và chú ý rang R ≥ −(Xn − a)−.

neu SU+1 < ∞,
neu SU+1 = ∞

Khi đó chúng ta có
n

Σ
k=
1

U

(XTk∧n − XSk∧n) =

Σ

Gk + R ≥ (b − a) U − (Xn − a)−. (1.2)

k=
1

Bây giị X là m®t martingale trên và Sk ∧ n và Tk ∧ n các thòi điem

dùng b% ch¾n, vói Sk ∧ n ≤ Tk ∧ n. Do đó, theo dùng lai tùy cHQN, E
(XTk ∧n ) ≤ E (XSk ∧n ) và lay kỳ vQNG trong (1.2) đưoc ket qua bat đang
thúc can chúng minh trên.
Vói bat kì q trình X, vói J ⊆ I, ta đ¾t
X ∗ (J) = sup |Xt ,
t∈J |

X ∗ = X ∗ (I) .

Đ%nh lý 1.3. (Bat đang thúc cnc đai cua Doob). Cho X l mđt martingale
hoắc mđt martingale dỏi khơng âm. Khi đó, vái MQI λ ≥ 0,
λP (X ∗ ≥ λ) ≤ sup E (|Xt |) .
t∈
I


νP (X ∗ (J) ≥ ν) .

Chúng minh. Chú ý rang
λP (X ∗ ≥ λ) = lim νP (X ∗ > ν) ≤ lim
J↑

ν↑
λ

ν↑
λ

lim
I,J huu

han

Chi can xét các trưòng hop trong đó I huu han. Gia thiet rang I =
{0, 1, 2, ...., n}. Neu X là m®t martingale thì |X| là m®t martingale
dưói khơng âm. Ta chi can xét các trưịng hop trong đó X khơng âm.
Đ¾t T = inf {m ≥ 0 : Xm ≥ λ} ∧ n. Khi đó T là thịi điem dùng và
T ≤ n theo dùng tùy cHQN,
E (Xn ) ≥ E (XT ) = E (XT 1X ∗ ≥λ )+E (XT 1X ∗ <λ ) ≥ λP (X ∗ ≥ λ)+E (Xn 1X ∗ <λ ) .
Do đó,
λP (X ∗ ≥ λ) ≤ E (Xn 1X ∗ ≥λ ) ≤ E (Xn ) .

(1.3)

Đ%nh lý 1.4. (Bat đang thúc Lp cua Doob). Cho X l mđt martingale hoắc
mđt martingale dỏi khụng õm. Khi đó, vái MQI p > 1 và q = p/(p − 1),
ǁX ∗ǁp ≤ q sup ǁXt ǁp.
t∈
I

Chúng minh. Neu X là m®t martingale thì |X| là m®t martingale dưói
khơng âm. Se là đn khi xét các trưòng hop X không âm. Tù X ∗
= limJ↑I,J huu han X ∗ (J), theo %nh lý hđi tu n iắu se l đn khi xét
trưòng hop I huu han. Gia su rang I = {0, 1, 2, , n}.
Co đ%nh k < ∞. Theo đ%nh lý Fubini, phương trình (1.3) và bat
đang thúc Holder,
P
]= E∫ k
∫ k
p−
p−

p
pλ 1X∗≥λdλ =
pλ (X ∗ ≥ λ) dλ
E
∧ k)
1
1
[(X ∗
∫

k

0

0

pλp−2 E (Xn1X∗≥λ) dλ =
qE
0
≤ qǁXnǁp
p−1
ǁX ∗ ∧ kǁ
.

≤

.Xn (X ∗

∧
k)

p−1

Σ


p

Do đó ǁX ∗ ∧ kǁp ≤ qǁXn ǁp và đưoc ket qua sau khi áp dung sn h®i tu
đơn đi¾u khi cho k → ∞.


1.2.4

Đ%nh lý h®i tn

Nhó lai rang, vói p ≥ 1, mđt quỏ trỡnh X b% chắn trong Lp neu
suptIXtp < ∞. Cũng như v¾y X kha tích đeu neu
.
Σ
sup E |Xt | 1|Xt |>k → 0 khi k → ∞.
t∈
I

1
kha
tích
đeu Lp vói
thì p > 1,Xkhi đó
b%

ch¾n
Neu X b%
ch¾n trong
X là kha
tích đeu.trong
Và neu XLlà.
Hai ket qua tiep theo đưoc phát bieu trong trưịng hop sup I = ∞.

martingale
b% ch¾n
trong L1. Khi
t → X∞ h.c.c khi t → ∞, vái Đ
%nh1 lý 1.5.trên
(Đ%nh
lý martingale
h®iđó
tn X
hau
chac chan). Cho X là X∞
∈ L (F∞) nào đó.
Chú ý rang, neu inf I ∈ I thì martingale trên khơng âm b% ch¾n trong L1.
Chúng minh. Bat đang thúc cat ngang Doob, vói MQI a < b,

E (U [a, b]) ≤ (b − a)−1t∈
sup E (|Xt| + |a|) < ∞.
I
Xét vói a < b, các t¾p hop
Ωa,b = .lim inf Xt < a < b < lim sup Xt Σ .
t→
∞

t→
∞

.
Σ
Ω0 = Xt h®i tu trong [−∞, ∞] khi t → ∞ .
Tù U [a, b] = ∞ trên Ωa,b chúng ta có P (Ωa,b) = 0. Nhưng
Ω0 ∪ (∪a,b∈Q,asuy ra P (Ω0) = 1. Đ%nh nghĩa:
.∞
limt→∞Xt
X =

trên Ω0,

0
trên Ω\Ω0
Khi đó X∞ là F∞-đo đưoc và tù bő đe Fatou,
E (|X∞|) ≤ lim inf E (|Xt|) < ∞
t→
∞

nên X∞ ∈ L1.


Chúng ta kí hi¾u M1 t¾p các martingale kha tích đeu và, vói p > 1,
M là t¾p các martingale b% chắn trong Lp.
p

%nh lý 1.6. (%nh lý martingale hđi tn trong Lp). Cho p ∈ [1, ∞).
(a) Gia su X ∈ Mp. Khi Xt → X∞ khi t → ∞, h.c.c và trong Lp, vái
X∞ ∈ Lp (F∞) nào đó. Hơn nua, Xt = E (X∞ |Ft ) h.c.c vái MQI t.
(b) Gia su Y ∈ Lp (F∞) và đ¾t Xt = E (Y |Ft ). Khi đó X = (Xt)t∈I ∈
Mp và Xt → Y khi t → ∞, h.c.c và trong Lp.
Do đó ánh xa X ›→ X∞ là sn tương úng 1-1 giua Mp và Lp (F∞).
Chúng minh. Vói p = 1. Cho X là m®t martingale kha tích đeu. Khi đó
suy
→ X∞lý martingale
trong L1h®i
. Tiep
vói Tùs X ≥
t
→ X ra
h.c.cXdo
đ%nh
tu hau theo,
chac chan.
là UI,t, Xt
∞

ǁXt − E (X∞ |Ft )ǁ1 = ǁE (Xs − X∞ |Ft )ǁ1 ≤ ǁXs − X∞ǁ1.
Cho s → ∞ suy ra Xt = E (X∞ |Ft ) h.c.c.
Bây giò gia su rang Y ∈ L1 (F∞) và đ¾t Xt = E (Y |Ft ). Khi đó,
X = (Xt)t∈I là martingale do tính chat “tháp” và kha tích đeu do Bő đe
1.1. Do đó Xt h®i tu hau chac chan và trong L1 vói giói han X∞ . Vói
t và MQI A ∈ Ft , chúng ta có
E (X∞1A) = lim
E (Xt1A) = E (Y 1A)
t→∞

MQI

Bây giò X∞, Y ∈ L1 (F∞) và ∪tFt là π-h¾ sinh ra F∞. Do đó X∞ = Y
h.c.c.
Chúng minh. .Cho trưòng hop p > 1. Cho X l mđt martingale b% chắn
trong Lp vúi p > 1. Khi đó Xt → X∞ h.c.c do đ%nh lý martingale h®i tu
hau chac chan. Theo bat đang thúc Doob trong Lp,
ǁX ∗ǁp ≤ q sup ǁXt ǁp < ∞.
p

t∈
I

Tù |Xt − X∞| ≤ (2X ∗ )p vói MQI t, ta có the su dung h®i tu tr®i suy ra
Xt → X∞ trong Lp . Suy ra Xt = E (X∞ |Ft ) h.c.c, như trong trưòng hop
p = 1.


Bây giị gia su Y ∈ Lp (F∞) và đ¾t Xt = E (Y |Ft ). Khi đó, X = (Xt)t∈I
là m®t martingale do tính chat “tháp” và
ǁXtǁp = ǁE (Y |Ft )ǁp ≤ ǁY ǁp
vói MQI t, nên X b% chắn trong Lp . Do ú, Xt hđi tu hau chac chan, và
trong Lp , vói giói han X∞ , và chúng ta có the chi ra X∞ = Y h.c.c, như
trong trưòng hop p = 1.
Trong ket qua tiep theo chúng ta gia su inf I = −∞.
Đ%nh lý 1.7. (Đ%nh lý martingale ngưac h®i tn). Cho p ∈ [1, ∞) và
Y ∈ Lp. Đ¾t Xt = E (Y |Ft ). Khi đó, Xt → E (Y |F−∞ ) khi t → −∞,
h.c.c và trong Lp.
Chúng minh. Suy luắn o õy l mđt sn thay i nho cna suy lu¾n đã đưoc

su dung trong đ%nh lý 1.2, 1.5, 1.6. Q trình X tn đ®ng U I do bő đe 1.1
và b% ch¾n trong Lp boi vì ǁXt ǁp = ǁE (Y |Ft )ǁp ≤ ǁY ǁp vói MQI t. Chúng
ta đe lai các chi tiet đó cho ngưịi ĐQc.
Trong ket qua sau, chúng ta lay I = {0, 1, 2, ...}
Đ%nh lý 1.8. (Đ%nh lý dùng tùy CHQN(TIEP theo)). Cho X là m®t U I
martingale và cho S và T là các thài điem dùng. Khi đó
E (XT |FS ) = XS∧T h.c.c
Chúng minh. Chúng ta đã chúng minh đ%nh lý khi T b% ch¾n. Neu T
khơng b% ch¾n,
thì Σ
T ∧ n là thịi điem dùng b% ch¾n, như v¾y
.
T
E X |FS = E (XT ∧n |FS ) = XS∧T ∧n = X T h.c.c
(1.4)
n

Bây giò

S∧n

.
Σ
E XTn |FS − E (XT |FS )

1

≤ X T n− X T ∞

1

(1.5)

Chúng ta có Xn → X∞ trong L1. Như v¾y, trong trưịng hop T ≡ ∞
chúng ta có the lay đưoc giói han trong (1.4) thu đưoc
E (X∞ |FS ) = XS h.c.c
Khi đó, tro lai (1.5), vói T tőng quát, chúng ta
có

XT − XT = ǁE (Xn − X∞ |FT )ǁ
n

∞ 1

≤ ǁXn − X∞ǁ1
và ket qua có đưoc khi qua giói han trong (1.4).
1


1.3
1.3.1

Cỏc ẫng dnng Martingale
Tong cỏc bien ngau nhiờn đc lắp

Trong muc này (Xn : n ∈ N) là kí hi¾u mđt dóy cỏc bien ngau nhiờn
đc lắp. Chỳng ta se su dung các lý lu¾n martingale đe phân tích các
dáng đi¾u cna tőng
S0 = 0, Sn = X1 + ... + Xn, n ∈ N
Đ%nh lý 1.9. (Lu¾t manh so lán). Cho (Xn : 1n ∈ N) là dãy các bien

ngau
lắp
cựngL1phõn
phoi trong L v ắt à = E (X1). Khi
ú, Snnhiờn
/n àđc
h.c.c
vv
trong
.
Chỳng minh. %nh ngha vúi n 1
Fn = σ (Sm : m ≥ n) ,

Jn = σ (Xm : m ≥ n + 1)

Khi
−n = σ (Sn , Jn ). Khi X1 đc lắp vúi Jn , chúng ta có E (X1 |F−n )
= E đó
(XF
1 |Sn ) vói MQI n. Bây giị, vói MQI A ∈ B và k = 1, ..., n, do tính
đoi thu®c
vào k. Nhưng E (X1 |Sn ) + ... + E (Xn |Sn ) = E (Sn |Sn ) =
Sn . Vì xúng, E (Xk 1Sn ∈A ) khơng
phu thu®c vào k. Do đó, E (Xk |Sn )
khơng phu v¾y chúng ta có E (X1 |Sn ) = Sn /n h.c.c.
Đ¾t1M−n = Sn/n. Chúng ta thay rang (Mn)n≤0 là m®t (Fn)n≤0-martingale.
trong
Cuoi do
cùng,
do lu¾t

0-1 Kolmogorov,
giói tu,
hanS Y
là hau chac
chan, LVì. v¾y,
đ%nh
lý martingale
ngưoc hđi
n/n hđi tu hau
chac chan v hang so. Vỡ vắy Y = E (Y ) = limnE (Sn/n) = µ h.c.c.
M¾nh đe 1.2. Cho (Xn : n ∈ N) là dóy cỏc bien ngau nhiờn đc lắp trong
L2 v ắt
àn = E (Xn) , σn2 = var (Xn)
Σ
Σ
Gia su rang cỏc chui n àn v n n2 eu hđi tn trong R. Khi đó Sn h®i
tn hau chac chan và trong L2.
M¾nh đe 1.3. (Hang đang thúc Wald). Cho (Xn : n ∈ N) là dãy các bien
ngau nhiên đ®c l¾p cùng phân phoi vái P (X1 = 0) < 1. Cho a, b ∈ R vái
a < 0 < b và đ¾t
.
Σ
T = inf n ≥ 0 : Sn < a ho¾c Sn > b


Khi đó E (T ) < ∞.
∞ và E M (λ)
∞, chúng
có đó, vái bat kì λ ∈ R sao cho M (λ)
Đ¾t M.

(λ) = EΣ<(exp
(λX1)).taKhi
−T
E .M (λ)−T exp (λST )Σ = 1
<
1.3.2

Martingale khơng âm và sE thay đoi đ® đo

M¾nh đe 1.4. Cho (Xn)n≥0 là q trình thích nghi không âm, E (Xn) = 1
vái MQI n.
(a) Chúng ta có the đ%nh nghĩa vái mői n m®t đ® đo xác xuat P˜ n trên Fn
xác đ%nh bái
P˜ n (A) = E (Xn 1A ) , A ∈ Fn
Các
đ® nđo
nàylà làm®t
nhat
quán, túc là P˜ n+1|Fn = P˜ n vái
neu (X
)n≥0
martingale.

MQI

n, neu và chs

(b) Gia su rang (Xn)n≥0 là m®t martingale. Khi đó ton tai m®t đ® đo
xác suat P˜ trên F∞ sao cho P˜ |Fn = P˜ n vái MQI n neu và chs neu
E (XT ) = 1 vái MQI thài điem dùng huu han T .

(c) Gia su rang E (XT ) = 1 vái MQI thài điem dùng huu han T. Khi đó
ton tai bien ngau nhiên X F∞ -đo đưac sao cho P˜ n (A) = E (X1A )
vái MQI A ∈ F∞ neu và chs neu (Xn )n≥0 kha tích đeu.
Chúng minh. (b). Khi (Xn )n≥0
là martingale, theo (a) , chúng ta có the
xác đ%nh mđt hm tắp hop P trờn n Fn sao cho P˜ |Fn = P˜ n vói MQI n.
Chú
ý rang ∪n Fn là m®t m®t vành. Do đ%nh lý mo r®ng Caratheodory, P˜ mo
r®ng thành đ® đo trên F∞ neu và chi neu P˜ là c®ng tính đem đưoc trên
∪n Fn . Vì moi P˜ n là c®ng tính đem đưoc, khơng khó đe thay rang đây là
đieu ki¾n co đ%nh neu và chi neu
∞ ˜
Σ
P (An ) = 1

n=1

vói MQI phân hoach thích nghi (An : n ≥ 0) trên Ω. Do đó, nó thoa mãn
vói chú ý rang phân hoach thích nghi là tương úng 1-1 vói các thịi điem


dùng huu han T , do {T = n} = An, và khi đó
∞
E (XT ) = ΣP˜ (An )

n=1

Đ%nh lý 1.10. (Đ%nh lý Radon-Nykodym). Cho P và
là đ® đo xác suat
P˜

trên không gian đo đưac (Ω, F). Gia su F là cam sinh đem đưac túc là vái
m®t dãy nào đó các t¾p (Fn : n ∈ N),
F = σ (Fn : n ∈ N)
Khi đó các đieu ki¾n sau là tương đương:
(a) P (A) = 0 suy ra P˜ (A) = 0 vái

MQI

A ∈ F,

(b) Ton tai bien ngau nhiên X ≥ 0, sao cho
P˜ (A) = E (X1A ) , A ∈ F
Bien ngau nhiên X, duy nhat P-h.c.c, đưac

GQI

là (m®t ban sao cua) đao

hàm Radon-Nikody cua P˜ đoi vái P. Chúng ta viet X = dP˜ ,dP h.c.c.
Đ%nh lý má r®ng trnc tiep tái đ® đo huu han do chia ts lắ, sau ú en đ
o σ-huu han do chia Ω thành các phan rài nhau có đ® đo là huu han. Gia
thiet rang F là cam sinh đem đưac cũng có the bó nhưng chúng ta không
làm chi tiet á đây.
Chúng minh. De dàng thay (b) suy ra (a). Gia su ngưoc lai (a) đúng. Đ¾t
Fn = σ (Fk : k ≤ n). Vói moi n, chúng ta có the xác đ%nh m®t bien ngau
nhiên Xn F -đo đưoc sao cho P˜ n (A) = E (Xn 1A ) vói MQI A ∈ Fn . Vì
chúng ta có the tìm đưoc các t¾p rịi nhau A1, A2....Am sao cho Fn =
σ (A1, ..., Am) và khi đó
m ˜
Σ

P
P(A
j)
j
j=1
j
Xn = (A )
1A
có tính chat can tìm. Chỳng ta chap nhắn o õy 0/0 = 0.

Quỏ
(Xn)%nh
mđt
martingale,
ta Lse
1 chúng to nó kha tích
n≥0 là lý
đeu.
Khitrình
đó, do
martingale
h®ichúng
tu trong
, ton tai bien ngau


nhiên X ≥ 0 sao cho E (X1A ) = E (Xn 1A ) vói MQI A ∈ F . Đ%nh nghĩa
Q (A) = E (X1A ) vói MQI A ∈ F thì Q là đ® đo xác suat và Q = P˜ trên
∪n Fn là π-h¾ cam sinh ra F . Do đó Q = P˜ trên F , suy ra (b).
Còn phai chúng to rang (Xn)n≥0 là kha tích đeu. Vói ε > 0 tìm δ > 0

sao cho P˜ (B) < ε khi P (B) < δ, B ∈ F . Neu khơng, se là m®t dãy cna t¾p
Bn ∈ F vói P (Bn ) < 2−n và P˜ (Bn ) ≥ ε vói MQI n; khi đó P (Bn i.o.) = 0
và P˜ (Bn i.o.) ≥ ε mâu thuan vói (a). Đ¾t λ = 1/δ, khi đó, vói MQI n,
chúng ta có P (Xn > λ) ≤ E(Xn)/λ = 1/λ = δ, nên
E (Xn 1Xn>λ ) = P˜ (Xn > λ) < ε
Do đó (Xn)n≥0 kha tớch eu.
%nh
lý 1.11.
(%nh
lý tớch
cuacua
Kakutani.).
Cho bỡnh
(Xn : 1.
n
N)
l
mđt dóy
bien ngau
nhiờn
đcmartingale
lắp khụng âm
giá tr% trung
Đ¾t
M0 = 1,

Mn = X1X2...Xn,

n∈N

bien
Xnvà thì
∈M
(0,∞1].
Hơnvái
nua,
∞ nào đó. ắt an =
Khi
ú,ngau
(Mn nhiờn
)n0 lMmđt
martingale khụng õ m
Mann
h.c.c
mđt
.


E
Q
(a) Neu Qn an > 0, thì Mn → M∞ trong L1 và E (M∞) = 1,
(b) Neu n an = 0, thì M∞ = 0 h.c.c.
Chúng minh. Chúng ta có, vói MQI n và h.c.c,
E (Mn+1 |Fn ) = E (MnXn+1 |Fn ) = MnE (Xn+1 |Fn ) = MnE (Xn+1) = Mn
Vỡ vắy (Mn)n0 l mđt martingale. Tự Mn 0, (Mn)n0 b% chắn trong L1
nờn hđi tu hau chac chan do đ%nh lý martingale h®i tu hau chac chan.
√ ,
Đ¾t
Y
Xn a) n≥

(NMQI
n =
n và Nn = Y1Y2...Yn, khi đó,
n)n≥0 là m®t martingale đúng như (M
. Chú ý rang Mn ≤ N 2 vói
n.
n 0
Q
n
Gia su rang n an > 0 thì
. nΣ
E N2

.

Σ

Y
= (a1a2...an)−2 ≤