Một số phương pháp giải phương trình hàm

ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
TRƯèNG ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

NGUYEN NGOC DIfiP

M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIAI PHƯƠNG TRÌNH
HÀM

Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP
MÃ SO: 60 46 40

LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC

Hà N®i - 2014


ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
TRƯèNG ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

NGUYEN NGOC DIfiP

M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIAI PHƯƠNG TRÌNH
HÀM

Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP
MÃ SO: 60 46 40

LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC

Ngưịi hưóng dan khoa HQc: TS. Pham Văn Quoc

Mnc lnc
Lài nói đau..............................................................................................3
Chương 1. Kien thÉc chuan b%........................................................................5
1.1. Hàm so liên tuc........................................................................................5
1.1.1. Đ%nh nghĩa ve hàm so liên tuc........................................................................5
1.1.2. Tính chat cna hàm so liên tuc...............................................................6

1.2. Hàm so chan, hàm so le...........................................................................7
1.3. Hàm so tuan hoàn và phan tuan hồn.................................................7
1.4. Tính đơn đi¾u cna hàm so......................................................................8
1.5. Tính chat ánh xa cna hàm so...............................................................8
Chương 2. M®t so phương trình hàm cơ ban...................................10
2.1. Phương trình hàm Cauchy.................................................................10
2.2. Phương trình hàm Jensen...................................................................17
2.3. V¾n dung phương trình hàm cơ ban vào giai tốn..............................20
Chương 3. M®t so phương pháp giai phương trình hàm.................39
3.1. Phương pháp the.................................................................................39
3.2. Su dung tính liên tuc..........................................................................56
3.3. Su dung tính đơn ánh, tồn ánh và song ánh....................................62
3.4. Su dung tính n iắu..........................................................................84
3.5. Su dung tớnh chat iem bat đng......................................................97
3.6. a ve phương trình sai phân.............................................................103
3.7. Các bài t¾p tőng hop...........................................................................108
3.8. Phương trình hàm trên t¾p so tn nhiên..............................................117

1


Ket lu¼n........................................................................................................123

Tài li¼u tham khao.....................................................................................124

2


LèI NĨI ĐAU
Phương trình hàm là m®t trong nhung lĩnh vnc hay và khó cna tốn sơ cap.
Trong các kì thi Olympic Toán HQc Quoc gia, Khu vnc và Quoc te thưịng xun
xuat hi¾n các bài tốn phương trình hàm. Các bài tốn này thưịng là khó, đơi
khi rat khó. Đe giai các bài tốn đó trưóc tiên ta phai nam vung các tính chat
cơ ban ve hàm so, m®t so phương trình hàm cơ ban, các phương pháp giai và
có sn v¾n dung thích hop. Vói mong muon có the tiep c¾n đưoc vói các bài tốn
trong các kì thi Olympic Tốn, lu¾n văn se đi theo hưóng trên. Cu the,
lu¾n văn chia làm ba chương:
Chương 1. Kien thÉc chuan b%
Trình bày ve nhung kien thúc cơ ban đưoc dùng trong các chương sau như:
Hàm so liên tuc, hàm so chan và hàm so le, hàm so tuan hoàn và hàm so phan
tuan hồn, tính đơn đi¾u cna hàm so, tính chat ánh xa cna hàm so.
Chương 2. M®t so phương trình hàm cơ ban
Trình bày ve m®t so phương trình hàm cơ ban như: phương trình
hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen và nhung úng dung cna chúng trong
vi¾c giai tốn.
Chương 3. M®t so phương pháp giai phương trình hàm
Trình bày m®t so phương pháp giai phương trình hàm thông dung. e moi
phương pháp bat đau bang phương pháp giai, sau đó là các bài tốn, cuoi cùng
là các bài tốn v¾n dung.
Đe hồn thành lu¾n văn, trưóc het tơi xin chân thành cam ơn sâu sac tói TS
Pham Văn Quoc đã dành thịi gian hưóng dan, đánh giá, chi bao, t¾n tình giúp
đõ trong q trình xây dnng đe tài cũng như hồn thi¾n lu¾n văn. Qua đây, tơi
cũng xin gui lịi cam ơn chân thành tói các thay cơ, các anh ch% HQc viên

cao HQc khóa 2009-2011, Ban giám hi¾u, Phịng sau đai HQc, Khoa TốnCơ- Tin HQc trưịng đ%a HQc Khoa HQc Tn nhiên Hà N®i đã tao đieu ki¾n, giúp
đõ trong suot q trình hồn thành khóa HQc.
Tuy đã có nhieu co gang nhưng do thịi gian có han và kha năng cịn han
che nên các van đe trình bày trong lu¾n văn cịn chưa đưoc trình bày sâu sac
và khơng the tránh khoi nhung sai sót. Tác gia mong nh¾n đưoc sn góp ý xây
dnng cna thay cô cùng các ban.
Tôi xin chân thành cam ơn!


Hà N®i, ngày 01 tháng 10 năm 2014
HQC viên
Nguyen NGQC Di¼p


Chương 1

Kien thÉc chuan b%
Trong chương này, chúng ta chi trình bày các đ%nh nghĩa, tính chat cơ ban
liên quan đen hàm so phuc vu cho các bài toán đưoc trình bày trong các chương
sau. Ta quan tâm tói các hàm so f (x) vói t¾p xác đ%nh D(f ) ⊆ R và t¾p giá tr%
R(f ) ⊆ R.

1.1. Hàm so liên tnc
1.1.1. Đ%nh nghĩa ve hàm so liên tnc
Đ%nh
Gia su
so ftai
(x)
trongdãy
(a,{x

b) }⊂
∞ R và x0 ∈
(a, b).nghĩa
Ta nói1.1.1.
rang hàm
so hàm
liên tuc
x0xác
neuđ%nh
vói MQI
n
n=1 , xn ∈
(a, b) sao cho
lim xn = x0 ta đeu có lim
n→∞
n→∞ f (xn) = f (x0).
Đ%nh nghĩa này tương đương vói đ%nh nghĩa sau:
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Hàm so f (x), xác đ%nh trong (a, b), đưoc GQI là liên tuc tai
x0 ∈ (a, b) neu
lim

f (x) = f (x0 ). Đieu này có nghĩa là: vói MQI so ε > 0, ton
x→x0

tai so δ = δ(ε) > 0 sao cho vói MQI x ∈ (a, b) thoa mãn 0 < |x − x0 | <
δ thì
|f (x) − f (x0 )| < 0.
Hàm so khơng liên tuc tai x0 đưoc GQI là gián đoan tai x0 .
Đ%nh nghĩa 1.1.3. Gia su hàm so f xác %nh trờn mđt tắp J , tắp J cú the l
mđt khoang hoắc hop cna cỏc khoang thuđc R. Ta nói hàm so f liên tuc trên J

neu nó liên tuc tai MQI điem thu®c J .
Đ%nh
Hàm
f trên
(x) xác
đ%nh(a,
trênb)đoan
[a,tuc
b] đưoc
GQI là liên
tuc trênnghĩa
[a, b]1.1.4.
neu nó
liênsotuc
khoang
và liên
phai tai
a, liên
tuc trái tai b.

1.1.2. Tính chat cua hàm so liên tnc
e muc trên, ta đã có các cách xác đ%nh mđt hm so liờn tuc. Tuy nhiờn viắc
su dung cỏc đ%nh nghĩa đó khơng phai lúc nào cũng đơn gian. Do v¾y, ngưịi ta
đã chúng minh đưoc các tính chat rat huu ích, giúp ta xác đ%nh nhanh các hàm
liên tuc, như sau:
1. Các hàm sơ cap cơ ban như: hàm lũy thùa, hàm căn thúc, hàm lưong
giác, hàm logarít ... liên tuc trên mien xác đ%nh cna chúng.
2. Gia su f (x) và g(x) là các hàm liên tuc trên D ⊆ R. Khi đó (f + g)(x)

=
f (x) + g(x), (f ◦ g)(x) = f (g(x)) cũng là các hàm liên tuc trên D.


ƒ
3. Gia su g(x) = 0 vói MQI x R, khi đó

(x)

f

g(x)


cũng là hàm liên tuc. Trong
trưịng hop ngưoc lai, nó liờn tuc trờn tắp xỏc %nh cna nú.
Mđt so tớnh chat khác cna hàm so liên tuc:
Đ%nh lý 1.1.5. (Đ%nh lý ve giá tr% trung gian).
Gia su f (x) liên tnc trên đoan [a, b]. Neu f (a) ƒ= f (b) thì vái MQI so thnc
M
nam giua f (a) và f (b) đeu ton tai c ∈ (a, b) sao cho f (c) = M.
M¼nh
đe neu
1.1.6.
Gia=su
f (x)
g(x) là hai hàm xác đ%nh và liên tnc trên
R. Khi đó
f (x)
g(x)

váivà
MQI x ∈ Q thì f (x) ≡ g(x) trên R.
Chúng minh. Vói moi x ∈ R, ta xét dãy so huu ty sn, n ∈ N thoa mãn
lim sn = x. Do f (r) = g(r) vói MQI r ∈ Q nên f (sn ) = g(sn ) vói

n→+∞

MQI

n ∈ N. Lay giói han hai ve khi n → +∞, chú ý f (x) và g(x) là hai hàm liên
tuc, ta có
.⇒
Σ
.
n
n
lim f (sn) =lim g(sn) f
lim sn = g lim
n→+∞
n→+∞
→+∞
→+∞ s Σ ⇒ f (x) = g(x).
n

Vói x ∈ R bat kỳ ta có f (x) = g(x). Hay là f (x) = g(x) vói MQI x ∈ R.


Nhẳn
mắnh
e trờn

ta cúvúi
theMQI
thayxgia
thiet
f (x)
= l
g(x)
vúi MQIxột
x 1.1.7.
Q bangTrong
gia thiet
f (x)
= g(x)
∈ A,
trong
đó A
t¾p
hop trù m¾t trong R bat kỳ. Vói đ%nh nghĩa ve t¾p hop trù m¾t như sau.
Đ%nh nghĩa 1.1.8. T¾p A ∈ R đưoc GQI là t¾p trù m¾t trong R neu và chi neu
∀x, y ∈ R, x < y thì đeu ton tai a ∈ A sao cho x < a < y.
Ví dn 1.1.9. 1. Q là t¾p trù m¾t trong R.
≤ ∈N
. m . ∈ Z ∈ NΣ
2. Gia su 2 p R . T¾p A =
m ,n
trù m¾t trong .
n
p

1.2. Hàm so chan, hàm so le

Đ%nh nghĩa 1.2.1. Xét hàm so f (x) vói t¾p xác đ%nh D(f ) ⊆ R và t¾p giá tr%
R(f ) ⊆ R. Khi đó
i) f (x) đưoc GQI là hàm so chan trên M ⊆ D(f ) neu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M
và
f (−x) = f (x) vói MQI x ∈ M .
ii) f (x) đưoc GQI là hàm so le trên M ⊆ D(f ) neu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và
f (−x) = −f (x) vói MQI x ∈ M .

1.3. Hàm so tuan hoàn và phan tuan hoàn
Đ%nh
1.3.1.
Hàm
đưoc
GQI là hàm tuan hồn (c®ng tính)
chu kì nghĩa
a, a >
0 trên
M ,soMf (x)
⊆ D(f
) neu
vói MQI x ∈ M thì ta có x
± a ∈ M và f (x + a) = f (x) vói MQI x ∈ M . So thnc T > 0 nho
nhat (neu có) thoa mãn f (x + T ) = f (x) vói MQI x ∈ M đưoc GQI là
chu kì cơ so cna hàm so tuan hồn f (x).
Đ%nh
Hàm
(x) đưoc
phan
chu kì nghĩa
b, b >1.3.2.

0 trên
M so⊆f D(f
) neu GQI
vóilàMQI
x tuan
∈ Mhồn
thì (c®ng
ta có tính)
x±
b ∈ M và f (x + b) = −f (x) vói MQI x ∈ M .
Ví dn 1.3.3. (IMO 1968) Cho so√thnc a. Gia su hàm f : R → R thoa mãn
1
f (x + a) =
+ f (x) − [f (x)]2, ∀x ∈ R.
2


Chúng minh rang f (x) là hàm tuan hoàn. Lay ví du hàm f trong trưịng hop
a
= 1.
1
Giai. Gia su f là hàm can tìm. Ta thay rang
1
f (x) −

2

2

≤ f (x) ≤ 1 vói MQI x ∈ R. Đ¾t

1

= g(x), vói MQI x ∈ R.
1 Khi đó 0 ≤ g(x) ≤ , ∀x ∈ R và ta có
2
g(x + a) = . − [g(x)]2, ∀x ∈ R.

Hay là [g(x + a)]2 =

−
1

4
[g(x)]2. Suy ra


1 4
[g(x + 2a)] = − [g(x + a)]2 = [g(x)]2 ⇒ g(x + 2a) = g(x),
∈ R.
4
Do đó f (x + 2a) = f (x) vói MQI x ∈ R hay f (x) là hàm tuan hồn.
1
π
1
2

bài Vói
tốn.a = 1 de dàng kiem chúng hàm f (x) =.
2

.

.
sin
. x +
2
2

∀x

, ∀x

1.4.∈ RTính
đơn đi¾u cua hàm so
thoa mãn
Đ%nh
1.4.1.
Gia sunua
hàmkhoang
so f (x)
xácđoan
đ%nh thnc.
trên I Khi
∈ D(f
o đây
chi xét nghĩa
I là m®t
khoang,
hay
đó, ),hàm

so ta
f
(x) đưoc GQI là khơng giam (ho¾c khơng tăng) trên I ⊆ D(f ) neu vói
MQI a, b ∈ I thì f (a) ≥ f (b) ⇔ a ≥ b (tương úng f (a) ≥ f (b) ⇔ a ≤
b).
Đ%nh nghĩa 1.4.2. Hàm so f (x) đưoc GQI là đong bien (đơn đi¾u tăng) trên
I ⊆ D(f ) neu vói MQI a, b ∈ I ta có f (a) > f (b) ⇔ a > b.
Đ%nh nghĩa 1.4.3. Hàm so f (x) đưoc GQI là ngh%ch bien (đơn đi¾u giam) trên
I ⊆ D(f ) neu vói MQI a, b ∈ I ta có f (a) > f (b) ⇔ a < b.

1.5. Tính chat ánh xa cua hàm so
Gia su ∅ = X ⊆ R. Xét hàm so f : X → R, ta có các đ%nh nghĩa sau :
Đ%nh nghĩa 1.5.1. Hàm so f (x) đưoc GQI là đơn ánh trên X neu vói MQI
a, b ∈ X thì f (a) = f (b) ⇔ a = b.


Đ%nh nghĩa 1.5.2. Hàm so f (x) đưoc GQI là tồn ánh tù X vào Y neu vói MQI
y ∈ Y thì ton tai x ∈ X thoa mãn f (x) = y.
Đ%nh
Hàm
(x) ánh
đưoctùgQI
song
vùa là nghĩa
đơn ánh1.5.3.
trên X
vùasolàftoàn
X làvào
Y .ánh tù X vào Y neu nó
Đ%nh

nghĩa
→sau:
Y làvói
m®t
Khif −1
đó,(y)
ta =
cóxthe
%nh nghĩa
hàm1.5.4.
so f −1Gia
: Ysu→f X: X
như
moisong
y ∈ánh.
Y thì
khiđ
và−1chi khi x là phan tu duy nhat cna X thoa
mãn f (x) = y. Ta GQI
f là hàm so ngưoc cna f . Có the thay rang f −1 là song ánh tù Y vào X.


Chương 2

M®t so phương trình hàm
cơ ban
2.1. Phương trình hàm Cauchy
Bài tốn 2.1.1. (Phương trình hàm Cauchy)
Tìm tat ca các hàm so f (x) liên tuc trên R thoa mãn
f (x + y) = f (x) + f (y),

∀x, y ∈ R.
(2.1)
Lài giai. Vói MQI n ∈ N∗ , tù (2.1) ta suy ra f (x1 + x2 + ... + xn ) =
f (x1 ) + f (x2 ) + ... + f (xn ), trong đó x1 , x2 , ..., xn ∈ R tùy ý. Lay x1
= x2 = ... = xn = x
ta đưoc
f (nx) = nf (x),
R.

∀x ∈

(i)

Đ¾c bi¾t, khi ta lay x = 1 thì ta có f (n) = nf (1), ∀n ∈ N∗. Trong (i), thay
1
x = , ta có
n
1
1
1
f (1) = nf . Σ hay f . Σ = f (1),
∀n ∈ N∗.
n
n
n
m
1
m
Tù đó. vói MQI m, n ∈ N∗ ta có f .
Σ = mf . Σ =

f (1). Đieu này có


n

nghĩa là

n

f (x) = xf (1),
Q +.

(ii)

n
∀x ∈


) thay
x0
= =y f=(0)
0, =tafcó(x)
2f+(0)
= f (0)
f (0)==−f
0. (x)
Khi
đó, Trong
thay y(2.1
= −x

ta có
f (−x)
nên ⇒
f (−x)
hay f (x) là hàm le. Do đó tù (ii) dan đen f (x) = xf (1), ∀x ∈ Q. Nhưng
f (x) và xf (1) là hai hàm liên tuc trên R nên theo M¾nh đe 1.1.6 ta suy ra
f (x) = xf (1) vói MQI x ∈ R. Đ¾t f (1) = a, the thì f (x) = ax, hàm
này thoa mãn bài tốn.
V¾y nghi¾m cna bài tốn phương trình hàm Cauchy là f (x) = ax vói
mQi
x ∈ R, vói a ∈ R tựy ý.
Nhẳn
2.1.2.
1. Vúi
ieu
kiắnkhi
(2.1),
chi can
gia tuc
thiettrờn
f (x)
liờn tuc
tai mđtxột
iem
x0
R cho
trúc,
ú ta
f (x)
se liên

R. Th¾t
v¾y,
theo gia
thiet thì lim
x→x f (x) = f (x0). Vói moi x1 ∈ R ta có
0

f (x) = f (x − x1 + x0) + f (x1) − f (x0),
Tù đó suy ra
lim f (x) = lim

f (x

∀x ∈ R.

x1 + x0) + f (x1)

f

x→x1

(x0)

−
−
}
= lim{f (x− x1 + x0}) + f (x1)
−
x→x
x→x1

{

f (x0)

1

= f (x0) + f (x1) − f (x0) = f (x1).
Do x1 ∈ R bat kỳ nên f liên tuc trên R.
lịichi
giai
ta nh¾n
thay là
rang
neu =
thieu
hàm
f (x)
liên
hàm2.fTù
(x)
thoa
mãn (2.1)
f (x)
ax,gia
∀xthiet
∈ Q,
trong
đó a
tùytuc

ý. thì
TùR,
bàithoa
tốnmãn
phương trình hàm Cauchy ta có the thay rang, hàm f (x) liên
tuc 3.
trên
f (x1 + x2 + ... + xn) = f (x1) + f (x2) + ... + f (xn),

∀x1, x2,

..., xn ∈ R
van chi là hàm f (x) = ax, ∀x ∈ R, vói a ∈ R bat kỳ.
bangphương
[0,
ho¾c
(−∞,
0]. thay
4. Ket quaRcna bài tốn
trình hàm+∞)
Cauchy se
khơng thay
đői neu
ta
Các hàm f thoa mãn tính chat (2.1) đưoc GQI là hàm c®ng tính, hay
thoa
mãn phương trình hàm Cauchy (theo m®t so tài li¾u). Đe có the xác đ%nh hồn
tai
cácR,gia
là hàm

đơn đi¾u
trêntuc
R; trên
f (x)
≥ 0m®t
tồnđiem,
hàmbang
c®ng m®t
tính trong
f trên
ta thiet:
có thef thay
gia thiet
f liên
R
hay chi vói MQI x ≥ 0, hay f b% ch¾n trên m®t đoan nào đó, ...


Vì tính quan TRQNG cna lóp bài tốn phương trình hàm Cauchy, ta se đi tìm
hieu các bài tốn này.
Bài
trìnhtốn
(2.1).2.1.3. Xác đ%nh hàm so f (x) đơn đi¾u trên R và thoa mãn phương
Lài
giai.
đã biet
(x)ý.thoa
mãn
thì neu
f (r)f =đơn

ar đi¾u
vói thì
MQI r ∈
R, vói
a =Taf (1)
∈ R ftùy
Ta se
chi(2.1
ra )rang
f (x)
= ax vói MQI x ∈ R. Ta đi chúng minh cho trưịng hop f khơng giam,
trưịng hop f khơng
tăng tương tn.
Gia su f khơng giam trên R. Khi đó, a = f (1) ≥ f (0) = 0.
Vói moi x ∈ R bat kỳ, xét hai dãy so huu ty sn giam và qn tăng cùng có giói
han
là giam
x. Khi
đóR,
f nên
(sn ) as
= as
n và f (qn ) = aqn vói MQI n ∈ N. Ngồi ra, f
khơng
trên
n ≥ f (sn ) ≥ f (x) ≥ f (qn ) = aqn vói MQI n ∈
N.
Lay giói han hai ve khi n → +∞ ta có
lim asn ≥ f (x)≥ lim
n→+∞

→+∞
n
aqn ⇒ ax ≥ f (x) ≥ ax.
V¾y f (x) = ax, nhưng x ∈ R bat kì nên f (x) = ax vói MQI x ∈ R.
Nh¼n xét 2.1.4. Tuy tù gia thiet f đơn đi¾u trên R và thoa mãn (2.1), ta cũng
có
the suy ra f liên tuc tai x = 0, tù đó suy ra f (x) = xf (1) vói
MQI x ∈ R. Nhưng cách làm trên khỏ ngan GQN v rừ rng đc lắp hn l
neu qui ve tính
liên tuc cna f . Ngồi ra, đây cũng là ket qua nen tang cna các bài toán ve lúp
phng trỡnh hm vựa cđng tớnh vựa n iắu.
f ra
đơnf đi¾u
boi khơng
f (x) giam
≥ 0 vói
x ≥
ket hop
f
thoaNeu
mãnthay
(2.1gia
) thìthiet
ta suy
là hàm
trênMQI
R, do
đó 0,
f (x)
= ax

vói MQI x ∈ R, vói a ≥ 0. Đ¾c bi¾t, neu f (x2n ) = [f (x)]2n , n ∈ N∗ thì ta
se suy ra đưoc f (x) ≡ 0 ho¾c f (x) = x vói MQI x ∈ R. Cịn trưịng hop f
(x) ≤ 0 vói MQI x ≥ 0 thì ta se suy ra hàm f không tăng trên R, và tù đó
f (x) = ax vói MQI x ∈ R, vói a ≤ 0.
Bài
tốn
Tìm [c,
tat ca
xác đ%nh trên R, thoa mãn (2.1)
và b%
ch¾n2.1.5.
trên đoan
d] các
vói hàm
c < fd (x)
bat kỳ.
Lài
Giaxsu∈fQlàvói
hàm
f thoa
) nên
=
ax giai.
vói MQI
a thoa
= f mãn
(1). bài
Ta tốn.
chi raDo
đieu

này mãn
cũng (2.1
đúng
khifx(x)
∈ R,
nghĩa là f (x) = ax vói MQI x ∈ R.


n và
x, lay
sao x
cho∈nx
− dkì.≤ Khi
rn ≤đónxvói− moi
c, khi
f (nx
b% thuđc
chắndovo
Thnc
vắy,
R bat
n ú
N
ton
tai rrn)n
Q, phu c nx − rn ≤ d. Ta có
|f (nx − rn )| = |f (nx) − f (−rn )| = |nf (x) − arn |
= |n(f (x) − ax) + a(nx − rn )| ≥ n|f (x) − ax| − |a(nx −
rn )|.
|f (nx − |ad|},

rn )| +và
|a(nx
−−
rn r
)| )≥b%n|f
(x)
ax|.n Nhưng
|a(nx
− rSuy
)| ≤ramax{|ac|,
f (nx
ch¾n
vói−MQI
∈ N. Nên
n|f
n
(x) n− ax| cũng b% ch¾n vói MQI n ∈ N. Đieu
này chi xay ra khi f (x) − ax
= 0. V¾y f (x) = ax vói MQI x ∈ R.
Q
hopekhác
sobài
f (x).
theotrình
ta se hàm
trình Cauchy
bày m®ttrong
so dang
cơ ban
trên,nhau

ta đãcna
tìmhàm
hieu
tốnTiep
phương
các
trưịng khác cna phương trình hàm Cauchy.
Bài tốn 2.1.6. Xác đ%nh các hàm so f (x) liên tuc trên R thoa mãn đieu ki¾n
f (x + y) = f (x)f (y),
R.

∀x, y ∈

(2.2)

Lài giai. Ta thay rang f (x) ≡ 0 là nghi¾m cna bài tốn (2.2).
Xét trưịng hop f (x) khơng đong nhat bang 0. Khi đó ton tai x0 ∈ R mà
f
(x
0. Theo (2.2) thì f (x0 ) = f (x + (x0 − x)) = f
(x)f0 )(xƒ=
0 − x) x ∈ R. Suy ra f (x) ƒ= 0 vói MQI x ∈ R và
x
x
x
f (x) = f . 2+ 2 Σ = Σf . 2 ΣΣ2 > 0,

∀x ∈ R.

0 vói MQI

Đ¾t ln f (x) = g(x). Khi đó g(x) là hàm liên tuc trên R và
g(x+y) = ln f (x+y) = ln[f (x)f (y)] = ln f (x)+ln f (y)
g(x)+g(y),
∀x =
∈
R. Theo bài tốn phương
trình
hàm
Cauchy
thì
g(x)
=
bx,
b
∈
R
tùy ý.
bx
x
Hay f (x) = e = a vói a > 0 tùy ý. Thu lai, hàm này thoa mãn bài
toán.
Q
Bài toán 2.1.7. Xác đ%nh các hàm so f (x) liên tuc trên R \{0} thoa
mãn đieu
ki¾n
(xy)
f (x)ftrình
(y), (2.3
∀x,

∈ R \ f{0}.
Lài giai. Thay x =f 1
vào =phương
) tay đưoc
(x)(1 − f (2.3)
(1))
= 0 vói MQI x ∈ R.


Neu f (1) ƒ= 1 thì ta có f (x) ≡ 0 vói MQI x ∈ R. Nghi¾m này thoa mãn bài
tốn.
Xét f (1) = 1. Khi đó
1
1
f
(1)
=
f
.
x
·
Σ
=
f
(x)
·
f
.
Σ ,∀x
2 ∈ R \ {0}.

2
V¾y
0
vóif (x) ƒ= 0 vói MQI x ∈ R \ {0}. Do đó f (x ) = f (x)f (x) = [f (x)] >
MQI x ∈ R \ {0}.
x
xv
t
Xét
x,Ry và
∈ g(u
R+. +
Đ¾t
x==g(u)g(v)
eu, y = e
vàMQI
f (e
)y=∈g(t).
Khi bài
đó g(t)
liêna)tuc
trên
v)
vói
x,
R. Theo
tốn
t
trên thì g(t)
=

a
vói
MQI
t
∈
R,
a
>
0
tùy
ý,
và
do
đó
f
(x)
=
f
(eu) =
+
u
ln x
ln a
α
g(u) = a = a
=x
= x vói MQI x ∈ R , trong đó α = ln a.
−
b) Khi x, y ∈ R thì xy ∈ R+. Vói y = x, thì tù (2.3) và ket qua phan a),
ta

có [f (x)]2 = f (x2 ) = (x2 )α vói MQI x ∈ R− , α ∈ R xác đ%nh o trên. Do f (x) ƒ=
0
vói MQI x

0 và f (x) là hàm liên tuc trên R− , nên
f (x) = |x|α , ∀x ∈ R−ho¾c − |x|α , ∀x ∈ R− .

Ket hop a) và b) và thu lai các ket qua ta có ket luắn : Nghiắm cna (2.3) l
mđt trong cỏc hm so sau
1. f (x) ≡ 0 vói MQI x ∈ R \ {0}.
α |x|α vói MQI x ∈ R \ {0}, α ∈ R tùy ý.
2. f
(x)

|x|=
, ∀x ∈
+
3. R
−|x|α, ∀x ∈ R−, α ∈ R tùy ý.
Bài
đieutốn
ki¾n2.1.8. Xác đ%nh các hàm so f (x) liên tuc trên R \{0} thoa mãn
f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R \ {0}.
(2.4)
Lài giai. a) Trưóc het xét x, y ∈ R+. Đ¾t x = eu, y = ev, f (et) =
g(t). Khi đó (2.4) tro thành

g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R.
Ngoài ra, g(t) liên tuc trên R. Nên theo bài tốn phương trình hàm
Cauchy, ta có g(t) = at. Do đó f (x) = a ln x vói MQI x ∈ R+ , a ∈ R tùy

ý.


b) Khi x, y ∈ R− thì xy ∈ R+. Vói y = x, tù (2.4) và ket qua phan a) ta có
f (x) =

1

f (x2) =

1

a ln(x2) = a ln |x|, ∀x ∈ R−


2

2

vói a xác đ%nh o trên.
MQI x ∈ R thì f (x) = a ln |x| vói a ∈ R tùy ý. Hàm này
thoaNhư
mãnv¾y,
bài vói
tốn.
V¾y nghi¾m cna bài tốn là f (x) = a ln |x| vói MQI x
∈ R \ {0}, vói a ∈ R tùy ý.
Bài tốn 2.1.9. (Phương trình hàm Pexider)
ca các
thoaTìm

mãntatđieu
ki¾nhàm so f (x), g(x), h(x) xác đ%nh và liên tuc trên R và
f (x + y) = g(x) + h(y), ∀x, y ∈ R.
Lài
Thay
y =
=c=
thìbta ta
có có
f (x)
= g(x)
+ c+vói
x ∈ giai.
R. Cịn
thay
x 0=và0 đ¾t
và h(0)
đ¾t g(0)
f (y)
= h(y)
b MQI
vói
MQI y ∈ R. Tù đó thay vào đieu ki¾n ta thu đưoc
f (x + y) = f (x) + f (y) − b − c,

∀x, y ∈ R.

Bang cách đ¾t f (z) − b − c = k(z) vói MQI z ∈ R thì ta có
k(x + y) = k(x) + k(y), ∀x, y ∈ R.
ra, ta

cũng thay
f (x)thì
liêntatuc
liênatuc.
v¾y,
theoNgồi
bài tốn
phương
trìnhrang
hàm do
Cauchy
có nên
k(x)k(x)
= ax,
∈ RDotùy
ý.
Suy ra vói MQI x ∈ R thì
f (x) = ax + b + c, g(x) = ax + b, h(x) = ax + c, vói a,
b, c ∈ R tùy ý. Thu lai, ta thay rang các hàm so này thoa mãn bài
tốn.
Nh¼n xét. Ta thay rang có the có thêm nhung bài tốn “dang phương trình
hàm Pexider”, úng vói các dang cơ ban cna phương trình hàm Cauchy. Tuy
như:
f hàm
(x), so
g(x),
liênnhieu
tuc hơn.
trênTaRlay thoa
nhiên,Tìm

đieucác
ki¾nhàm
cna các
có theh(x)
địi hoi
ví du mãn
đơn
gian
f (x + y) = g(x)h(y), ∀x, y ∈ R.
Cauchy
trưịng
khác
cnaphương
hàm trình
so hàm
f (x).
Ta đi
xét m®ttrong
vài vícác
du đơn
gian, hop
áp dung
khá nhau
trnc tiep


Ví dn 2.1.10. (Olympic sinh viên 2010)
Tìm hàm f : R → R liên tuc thoa mãn f (1) = 2010 và
f (x + y) = 2010xf (y) + 2010yf (x), ∀x, y ∈ R.
Lài giai. Đ¾t 2010−xf (x) = g(x). Khi đó, g(x) liên tuc trên R và

g(x + y) = g(x) + g(y),
∀x, y ∈ R.
x
g(x) =suy
ax,
f (x)
= ax2010
vói x
MQI
x
x ∈Tù
R.đây
Mà dan
f (1)đen
= 2010,
ra aa ∈
= R.
1. Do
Nênđó,
f (x)
= x2010
vói MQI
∈
R. Thu lai thay đây là nghi¾m cna bài tốn.
Ví dn 2.1.11. Tìm f : R → R thoa mãn các đieu ki¾n sau
i) f (x + y) = f (x) + f (y) vói MQI x, y ∈ R,
ii) f (xy) = f (x)f (y) vói MQI x, y ∈ R.
Lài
Trong
ii) lay y = x, ta có f (x2 ) = [f (x)]2 vói MQI x ∈ R. Do đó f

(x) giai.
≥ 0 vói
MQI x ≥ 0. Trong i) ta xét vói y ≥ 0, ta có f (x + y) = f (x)
+ f (y) ≥ f (x) vói MQI x ∈ R, y ≥ 0. Suy ra f (x) đong bien trên 2R. Như
v¾y, 2f c®ng tính và đong bien nên f (x) = ax, a ≥ 0. Nhưng f (x ) = [f
(x)] nên a = 0 ho¾c a = 1. Suy ra f (x) ≡ 0 vói MQI x ∈ R ho¾c f (x) ≡
x vói MQI x ∈ R. Thu lai thay õy l hai nghiắm cna bi toỏn.
Nhẳn
xột. Tự bi toỏn neu ta thay gia thiet ii) bang gia thiet f (x2n ) = [f
(x)]2n hay f (xn ) = xn , 2 ≤ n ∈ N∗ thì nghi¾m cna bài tốn van là f (x)
≡ 0 vói MQI x ∈ R ho¾c f (x) ≡ x vói MQI x ∈ R.
Ví
Xác đ%nh
tat ca
f (x) đong bien trên R+ thoa
mãndn
đieu2.1.12.
ki¾n f (xy)
= f (x)
+ fcác
(y)hàm
vói so
MQI x, y > 0.
Lài
Vóitx,
y >
ta g(t)
có the
đ¾t bien
x =trên

eu ,Ry và
= g(u
ev . Và
đ¾t=fg(u)
(et ) =
g(t) giai.
vói MQI
∈ R.
Khi0đó,
đong
+ v)
+
g(v) vói MQI u, v ∈ R. Do đó g(x) = ax, a > 0. Nên f (x) = f (eu ) =
g(u) = au = a ln x vói MQI x > 0, vói a > 0.

Ví dn 2.1.13. Tìm hàm f : R → R+ đong bien thoa mãn f (x + y) = f
(x)f (y)
vói MQI x, y ∈ R.
Lài
giai. Vì f (x) > 0, ∀x ∈ R nên ta có the đ¾t g(x) = ln f (x), vói
MQI x ∈ R. Do f (x) đong bien nên g(x) cũng đong bien. Ngoài ra tù
phương trình đieu


ki¾n, ta có
ln f (x + y) = ln f (x) + ln f (y) ⇒ g(x + y) = g(x) + g(y),

∀x, y ∈ R.
Do đó g(x) = ax, a > 0. Suy ra f (x) = eax = cx vói c = ea > 0 tùy ý.
Ví dn 2.1.14. Xác đ%nh hàm f : R+ → R thoa mãn

i) f (xy) = f (x)f (y) vói MQI x, y > 0.
ii) lim f (x) = 1.
x→1

Lài giai. Vói MQI x > 0, ta có f (x)
=f(

√
x
√ x) =

√
x)]2 ≥ 0. Neu ton tai

x0 > 0 mà f (x0) = 0 thì
[f (
x
f (x) = f

.x0

Σ·
(x
x0

=f

x
) · f .x Σ = 0, ∀x > 0.

0

mâu thuan vói ii). Nên f (x) > 0 vói MQI x > 0. Tù i)
de Đieu
suy ranày
+f (1) = 1. Do đó f (x) liên tuc tai x = 1. Ta chi ra f (x) liên
tuc trên R . Th¾t v¾y, vói bat kỳ x0 > 0 ta có
lim [f (yx0 ) − f (x0 )] = lim [f (x0 )f (y) − f (x0 )] = f (x0 ) lim [f (y) − 1]
= 0.
y→1

y→1

y→1

Đieu này chi ra f (x) liên tuc tai x0 > 0 bat kỳ. Do đó f (x) liên
tuc trên R+ . Đ¾t g(x) = ln f (x), thì g(x)
liên tuc và g(xy) = ln f (xy)
= ln f (x)f (y) = ln f (x) + ln f (y) = g(x) + g(y) vói MQI
x, y > 0.
Tùa đây suy ra g(x) = a ln x vói MQI x > 0 ⇒ f (x) = eg(x) = ea ln x =
x vói
MQI
x
>
0.
Thu
lai,
ta
đi

đen
ket
lu¾n
nghi¾m
cna
bài
tốn
là f (x)
= xa vói MQI x > 0 vói a ∈ R bat kỳ.

2.2. Phương trình hàm Jensen
Bài
2.2.1.
(Phương trình hàm Jensen) Tìm hàm f (x) xác đ%nh và
liên toán
tuc trên
R
.thoa mãn Σ
x +y
f (x ) + f ( y )
f
=
,
∀x, y ∈ R.
Lài giai. Đ¾t f (x) − f2 (0) = g(x).
2 Ta có g(x) liên tuc trên R vói g(0) =
0 và


.

g

x+y
2

Σ
=

g (x ) + g ( y )
2

, ∀x, y ∈ R.