Nghiên cứu ảnh hưởng của enso tới mưa gió mùa mùa hè trên lãnh thổ việt nam

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

NGUYEN HƯƠNG LIÊN

M®T SO KET QUA VE TÍCH PHÂN DAO đNG
VộI HM PHA L A THC

LUắN VN THAC S TỐN HOC
Chun Ngành: Tốn Giai Tích
Mã so: 60 46 01 02

Ngi hỏng dan khoa HQC: TS. V Nhắt Huy

H Nđi - 2017


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

NGUYEN HƯƠNG LIÊN

M®T SO KET QUA VE TÍCH PHÂN DAO đNG
VộI HM PHA L A THC

LUắN VN THAC S TỐN HOC
Chun Ngành: Tốn Giai Tích
Mã so: 60 46 01 02

Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS. Vũ Nh¾t Huy

Mnc lnc
Ma đau

5

1 KIEN THÚC CHUAN B±

6

1.1 Tích Phân Lebésgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1 Vành, σ - đai so và đ® đo . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian đo đưoc, ánh xa đo đưoc, hàm đo đưoc
7

6
. .

1.1.3 Tích phân Lebésgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2 Không Gian Các Hàm Giam Nhanh S (Rn)....................................11
1.3 Phép Bien Đői Fourier....................................................................12
1.3.1 Phép bien đői Fourier trong không gian các hàm giam
nhanh S (Rn)......................................................................12

1.3.2 Bien đői Fourier trong khơng gian L1(Rn)............................18
2 ƯéC LƯeNG TÍCH PHÂN DAO đNG

20

2.1 úc long tắp mỳc dúi...............................................................20
2.2 B e vander Corput.....................................................................21
2.3 Đánh giá tích phân dao đ®ng thơng qua các khơng điem cna đao
hàm cna hàm pha..........................................................................25
3 ĐÁNH GIÁ CHUAN CUA TỐN TU DAO Đ®NG

29

3.1 Chuan cna tốn tu dao đ®ng khi j < n/2 . . . . . . . . . . . .
3.2 Chuan cna toán tu dao đ®ng khi j > n/2 . . . . . . . . . . . .

29
36

3.3 Chuan cna tốn tu dao đ®ng khi j = n/2 . . . . . . . . . . . .

39

Ket lu¾n

43

Tài li¾u tham khao

43

4


Lài cám ơn
Trưóc khi trình bày n®i dung chính cna lu¾n văn, tơi xin gui lịi cam ơn chân
thành và sâu sac nhat cna mình tói TS. Vũ Nh¾t Huy, vì sn giúp đõ, chi bao t¾n
tình, cùng nhung lịi đ®ng viên vơ cùng ý nghĩa cna Thay trong suot q trình tơi
hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p.
Tơi cũng xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna các thay giáo, cơ giáo trong khoa
Tốn - Cơ - Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia H Nđi
v Khoa Sau ai HQc, ó nhiắt tình truyen thu kien thúc và tao đieu ki¾n giúp đõ tơi
hồn thành khóa Cao HQc.
Tơi xin gui lịi cam ơn đen gia đình, ban bè đã ln đ®ng viên, khuyen khích, giúp
đõ tơi rat nhieu trong suot thịi gian nghiên cúu và HQc t¾p.
Do mói làm quen vói cơng tác nghiên cúu khoa HQc và còn han che ve thịi gian
thnc hi¾n nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót. Tác gia kính mong
nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna các thay cơ và các ban đe luắn vn oc hon thiắn
hn.
H Nđi, thỏng 3 nm 2017
Nguyen Hương Liên


Ma đau
Tích phân dao đ®ng đã thu hút nhieu sn quan tâm cna các nhà Tốn HQc
và các nhà V¾t lý tù khi xuat hi¾n cơng trình Théorie Analytique de la Chaleur cna
Joseph Fourier vào năm 1822. Nhieu bài toán Lý thuyet phương trình đao hàm
riêng, hình HQc đai so, lý thuyet xác suat, lý thuyet so; các bài toán ve quang HQc,
âm HQc, cơ HQc lưong tu,... đeu có the a ve viắc nghiờn cỳu cỏc tớch phõn dao
đng. M¾c dù bài tốn này đã có tù lâu, nhưng do pham vi úng dung r®ng lón cna

nó, nên đen nay van có nhieu nhà Tốn HQc quan tâm nghiên cúu nó và đã thu
đưoc nhieu ket qua quan TRQNG.
Trong pham vi cna lu¾n văn này, chúng tơi dành phan lún cho viắc nghiờn cỳu chuan
cna toỏn tu dao đng Tλ trong đó

∫ eiλS(x,y)ψ(x, y)φ(y)dy,

Tλφ(x) =
R

sau đó chúng tơi nghiên cỳu dỏng iắu tớch phõn k d% dao đng cú dang
I(λ) = ∫R eiλϕ(x) f (x)dx,

trong đó λ là m®t so dương đn lón, ϕ là hàm trơn đưoc GQI là hàm pha, f là
hàm trơn có giá tr% phúc GQI là hàm biên đ®. Theo Elias M. Stein, có ba van đe cơ
ban khi xét dáng đi¾u cna I(λ), khi λ → ∞, là đ%a phương hóa, đánh giá và ti¾m
c¾n. Có nhieu phương pháp và cơng cu đe khao sỏt dỏng iắu cna tớch phõn dao
đng I(), trong đó vi¾c su dung các tính chat cna đa di¾n Newton cna hàm pha ϕ
là m®t trong nhung cơng cu huu hi¾u.
Ngồi phan mo đau, ket lu¾n và tài li¾u tham khao, lu¾n văn đưoc chia làm
ba chương:
Chương 1: Kien thÉc chuan b%. Chương này trình bày nhung kien thúc cơ
ban ve tích phân Lebésgue, tích phân Fourier trong khơng gian các hàm giam
nhanh S (Rn) làm cơ so đe xây dnng n®i dung chương tiep theo.
Chương 2: Ưác lưang tớch phõn dao đng. Chng ny trỡnh by ve viắc
ỏnh giá t¾p múc dưói qua đó chúng minh bő đe vander Corput và phương pháp


đánh giá tích phân dao đ®ng thơng qua các khơng điem cna đao hàm cna hàm pha.
Chương 3: Đánh giá chuan cua tốn tE dao đ®ng. Chương này trình bày

ve chuan cna tốn tu dao đ®ng tù khơng gian L2(R) vào L2(R).


Chương 1
KIEN THÚC CHUAN B±
Trong chương này, lu¾n văn trình by cỏc khỏi niắm, tớnh chat c ban v mđt
so đ%nh lý quan TRQNG trong lý thuyet ve tích phân Lebésgue và phép bien đői
Fourier. N®i dung chương này đưoc tham khao chính trong các tài li¾u [1], [2] và [3].

1.1
1.1.1

Tích Phân Lebésgue
Vành, σ - đai so và đ® đo

Đ%nh ngha 1.1.
GQI l

Cho X l mđt tắp bat k. Mđt HQ A cỏc tắp con cua X ac

mđt - đai so neu nó thóa mãn 3 đieu ki¾n sau:

(a) X ∈ A;
S
(b) A kín đoi vái phép hap đem đưac, túc là neu Ai ∈ A(i ∈ N) thì ∞ Ai ∈ ;
i=1

(c) A kín đoi vái phép lay phan bù, túc là neu A ∈ A thì Ac := X/AA A.
%nh ngha 1.2.

Mđt HQ C cỏc tắp con cua X đưac GQI là m®t vành trên X neu

nó thóa mãn các đieu ki¾n sau:
(a) C kín đoi vái phép hap huu han, túc là neu Ai ∈ C(i ∈
R∗
(b) Neu A, B ∈ C thì A/B ∈ C.

)

thì

S
n
i=
1

Ai ∈ C;

Ngồi ra, neu X ∈ C thì ta nói rang C là vành có đơn v% hay đai so.
Kí hi¾u R = R ∪ {±∞}.
Đ%nh nghĩa 1.3. Cho A là m®t σ - đai so trên X. Ánh xa µ : A −→ R đưac GQI
là m®t đ® đo neu cỏc ieu kiắn sau õy ac thúa món:
(a) à 0, A A;
(b) à l -cđng tớnh trờn A, túc là neu Ai ∈ A(i = 1, 2, ...) v ri nhau tựng ụi mđt thỡ
[

à.

A i =

∞ µ(A );

i


i=1

i=1


(c) µ khơng đong nhat bang +∞ trên A , túc là ton tai A ∈ A sao cho µ(A) < +∞.
Chú ý: Thay cho σ - đai so A ta có the lay vành C và đ%nh nghĩa đ® đo hồn tồn
S
tương tn, trù đieu ki¾n (b) ta phai gia thiet thêm rang ∞ Ai ∈ , gia thiet này khơng
i=1

can thiet neu C là m®t σ - đai so.

C

Mđt đ o à trờn vnh C oc GQi l huu han neu vói MQI A ∈ A, µ(A) < +.
đ o à oc GQI l - huu han neu vói MQI A ∈ C ton tai các t¾p An ∈ C(n = 1, 2, ...)
n

sao cho A ⊂

1.1.2

S

An và µ(An) < ∞.

Khơng gian đo đưac, ánh xa đo ac, hm o ac

Mđt tắp hop X cựng vúi mđt σ - đai so A trên X đưoc GQI là mđt khụng gian
o oc, kớ hiắu l (X, A). Neu trờn A xỏc %nh mđt đ o à thỡ ta cú mđt khụng
gian o (X, A, à).
Cho (X, ) v (Y, Υ) là hai không gian đo, ánh xa f : X → Y
Đ%nh nghĩa 1.4.
Ánh xa f đưac GQI là (χ, Υ) đo đưac neu vái MQI B ∈ Υ
có f −1 (B) ∈ χ. Túc là ngh%ch anh cua tắp o ac l mđt tắp o ac (trng hap
này ta viet f −1 (Υ) ⊂ χ).
Cho không gian đo (X, χ) và hàm f : X → R đưoc GQI là hàm thnc đo đưoc
neu nó là (χ, B) đo đưoc, trong đó B là σ - đai so Borel trên R.
Đ%nh lý 1.1. Các đieu ki¾n sau là tương đương:
a) f là (χ, B) đo đưac.
b) {x ∈ X, f (x) < a} ∈ χ, ∀a ∈ R.
c) {x ∈ X, f (x) ≤ a} ∈ χ, ∀a ∈ R.
d) {x ∈ X, f (x) > a} ∈ χ, ∀a ∈ R.
e) {x ∈ X, f (x) ≥ a} ∈ χ, ∀a ∈ R.
Chúng minh. (a) ⇒ (b): hien nhiên.
T
1
(b) ⇒ (c): do {x ∈ X, f (x) ≤ a} = ∞ {x ∈ X, f (x) < a + } ∈ χ.
n
(c) ⇒ (d): {x ∈ X, f (x) > a} = R/{x ∈ X, f (x) ≤ a} ∈ χ.
T
1
(d) ⇔ (e): do {x ∈ X, f (x) ≥ ∞ { ∈
x X, f (x) − } ∈ χ.

a} =
n
>a
n=1

n=1

(e) ⇒ (a): GQI D là lóp nua khoang [a, ∞) vói a ∈ R. Ta có σ(f −1 (D)) = f −1 (σ(D)).
M¾t khác, de thay σ(D) = B. V¾y f −1 (B) ⊂ χ.
T
Hơn nua, {x ∈ X, f (x) = +∞} = {x ∈ X, f (x) ≥ n} ∈ χ.


n∈N


T
Tương tn, {x ∈ x, f (x) = −∞} = {f (x) ≥ n}c ∈ χ. V¾y f −1 ({±∞}) ∈ χ.
n∈N

Do đó các đieu ki¾n trên tương đương nhau.
Đ%nh nghĩa 1.5.

Hàm f GQI là hàm đơn gian neu ton tai huu han các t¾p rài nhau

E1, E2, ..., Em và các so thnc α1, α2, ..., αm sao cho


αi neu xi ∈ Ei (i = 1,

m
f (x) 2, ..., m)

0
neu i ∈/ Ei

=

S

hay f (x) Σ
m
=

1

1.1.3

αi 1Ei (x).

Tích phân Lebésgue

1) Tích phân cua hàm đơn gian
Lóp các hàm đơn gian trên (Ω, A) đưoc kí hi¾u S := S(Ω, A).

Xét m®t lóp con cna S gom các hàm khơng âm S + := {f ∈ S : f ≥ 0}.
∫
Σ
Đ%nh nghĩa 1.6. Cho f ∈ S + có bieu dien f =
αii1A . Ta GQI giá tr%

f dµ :=
m
Σ
αiµ(Ai) l tớch phõn cua hm f theo đ o à.
i=1

2) Tích phân cua hàm đo đưac khơng âm

Trưóc het ta đ%nh nghĩa tích phân cho hàm đo đưoc khơng âm, sau đó ta có
the đ%nh nghĩa cna hàm đo đưoc bat kỳ bang hi¾u cna hai tích phân trên tùng
thành phan cna nó.
Kí hi¾u L+ = L+(Ω, A) là lóp các hàm đo đưoc không âm.
Đ%nh nghĩa 1.7. Cho hàm f ∈ L+. Tích phân cua hàm f theo đ® đo µ đưac đ
%nh nghĩa như sau:
∫
∫
fdµ = sup

X

n

fndµ.
X

3) Tích phân cua hàm đo đưac bat kỳ
Vói MQI hàm f đo đưoc ta có f = f + − f − trong đó
f

+

:= max(f, 0) và

f − := max(−f, 0)

Ta có đ%nh nghĩa tích phân cna hàm đo đưoc bat kì như sau:


∫

Đ%nh nghĩa 1.8. 1. Neu ít nhat m®t trong hai giá tr%
f +dµ
∫ fdµ :=∫ −
∫

đai lưang

X

X

f + dµ và

X

∫

f − dµ huu han thì

X

f − dµ,

X

đưac GQI là tích phõn cua hm o ac f theo đ o à. Trong trưàng hap này ta
∫
nói tích phân
f dµ xác đ%nh.
X
∫
∫
2. Hàm đo đưac f đưac GQI là kha tích neu các giá tr%
f + dµ và
f − dµ là các
so
X

thnc huu han.

X

3. Neu Ω = Rd, A = B(Rd) và µ = λd ta gQI tích phân đưac đ%nh nghĩa như trên là tích
phân Lebésgue.
Đ%nh lý 1.2. (Beppo - Levi ve sn hđi tn n iắu)

Gia su fn l dóy hm o ac

khụng õm, hđi tn n iắu tng en hàm f. Khi đó ta có: lim ∫
fndµ =

n

Chúng minh.

fdµ.

→+∞
X

Vói moi n có m®t dãy hàm đơn gian khơng âm {gn,p }∞p=1 đơn

đi¾u tăng đen fn.
Vì fn+1 ≥ fn nên cũng như trên, ta có the gia thiet rang gn+1,p ≥ gn,p . Khi đó ta có
gn+1,n+1 ≥ gn+1,n ≥ gn,n.

Nh vắy dóy {gn,n }n=1 l mđt dóy n iắu tăng.
∫
∫
∫
Vói k ≤ n ta có gk,n ≤ gn,n ≤ fn và do đó gk,ndµ ≤ gn,ndµ ≤ fndµ.
X

Cho n → ∞ ta đưoc các bat đang thúc tương úng:
n

n

X

fk ≤ lim gn,n ≤ f và

∫

n

X

n

fkdµ ≤ lim

∫

X

X

X

k

gn,ndµ ≤ lim

∫

n

n

fndµ.

∫
∫
∫
Cho k → ∞, ta đưoc: f ≤ lim gn,n ≤ f và lim fkdµ ≤ lim gn,ndµ ≤ lim fndµ.
X ∫
X ∫
X
∫
∫
Túc
là:
lim
g
=
f
và
lim
f
dµ
=
lim
g
dµ
=
lim
g
dµ
=

fdµ.
n,n
n
n,n
n,n
Đ%nh lýnđưoc chúng n→+∞
minh.
n
n
X

Đ%nh lý 1.3. (Fatou)

X

X

X

Cho fn là dãy các hàm đo đưac
∫
∫ khơng âm, khi đó:
limn→+∞fndµ ≤ limn+

fndà

X
X

Chỳng minh.

ắt gn = inf fn+k , ta cú gn ≥ 0 và đơn đi¾u tăng đen limfn .


k

∫
∫
Theo đ%nh lý Beppo - Levi ta có: lim
g
dµ
n
limfndµ
X
X
Nhưng gn ≤ fn nên

∫

X

∫

gndµ ≤
X

∫

=

fndµ và do đó
gndµ ≤ lim

∫

limfndµ = limn
X
X

∫ fndµ.

X


Đ%nh lý đưoc chúng minh.
Đ%nh lý 1.4. (Fatou - Lebésgue) Gia su fn là m®t dãy các hàm kha tích và
g là hàm kha tích sao cho |fn | ≤ g vái MQI n. Khi đó ta có:
∫
∫
∫
∫
limfndµ ≤ lim

fndµ ≤ lim fndµ ≤

X

X

limfndµ

X

X

Chúng minh.

Ta có −g ≤ fn ≤ g. Trưóc het, ta xét hàm fn + g ≤ 0.

Áp dung đ%nh lý Fatou, ta có:
∫ lim(fn + g)dµ ≤

∫ (fn + g)dµ

lim
X

hay
∫

X

limfndµ +

X

∫

∫

gdµ ≤ lim fndµ +

X
X

X

X

∫
∫

Do g là hàm kha tích, 0 ≤

∫
gdµ.

∫
gdµ < +∞ nên ta suy ra

limfndµ ≤ lim

fndµ.

X
X

Tiep theo, ta xét các hàm g − fn ≥ 0 vói MQI n.
Ta có
∫

∫
lim(g − fn)dµ ≤ lim (g − fn)dµ
X
X

Tù đó vói chú ý rang lim(−fn) = −lim(fn), ta suy ra:
lim

∫
X

Đ%nh lý đưoc chúng minh.

limfndµ
fndµ ≤ ∫


Đ%nh lý 1.5. (Đ%nh lý Lebésgue ve sn h®i tn b% ch¾n)

Gia su fn là dãy hàm

kha tích sao cho |fn | ≤ g vái MQI n, fn → f (h.k.n) và g - kha tích. Khi đó hàm f
cũng kha tích, ngồi ra:
∫
a)X |fn − f | dµ → 0(n → ∞);
∫
b)∫fdµ = ∫ lim fndµ = limfndµ.
X

X

n

n

X


Chúng minh.

Tù h¾ thúc |fn | ≤ g vói MQI n, cho n → ∞, ta đưoc |fn | ≤ g(h.k.n).

Tù đó suy ra f - kha tích.
Theo gia thiet limn fn = f (h.k.n) hay
lim |fn − f | = lim |fn − f | = lim |fn − f |(h.k.n).

Và |fn − f | ≤ 2g(h.k.n) vói 2g ∈ L1 . Áp dung đ%nh lý Fatou - Lebésgue, ta cú:

lim

|fn f | dà = 0.

n

X

X
Tự hắ thỳc .X fn dµ −
f dµ.X ≤ |fn − f | dµ, suy ra:Xlimn fXn dµ
∫ lý đưoc chúng minh.
Đ%nh
= f dµ.

1.2

Khơng Gian Các Hàm Giam Nhanh S (Rn)

Đ%nh nghĩa 1.9. Khơng gian S (Rn) là t¾p hap
S (Rn) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn) : sup .xαDβϕ (x). < ∞ ∀α, β ∈ +Zn }.

Cho hàm ϕ ∈ S (Rn), khi đó

x∈Rn

lim
ǁxǁ→
∞

x αDβϕ (x) = 0 ∀α, β ∈ +Zn .

Đieu này dan đen hàm ϕ (x) là hàm giam ve 0 khi ǁxǁ → ∞ nhanh hơn bat kỳ
hàm có dang như sau 1/P (x) , x ∈ Rn . Vì v¾y, chúng ta GQI S (Rn ) là khơng gian
các hàm giam nhanh.
Ví dn 1.1.

Khơng gian C0∞ (Rn ) là không gian con cua không gian các hàm

giam nhanh S (Rn).
Chúng minh.

Xét hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ).

Khi đó, ta đ¾t
suppϕ = K, K là t¾p compact trong Rn.
Vói MQI x ∈/ K , suy ra
Dβ ϕ (x) = 0 ∀β ∈ Z+n .

Do đó
sup .xαDβϕ (x). = sup .xαDβϕ (x). < ∞ ∀α, β ∈+Zn .
x∈Rn

x∈K
n

Đieu này dan đen hàm ϕ ∈ S (R ), tù đây suy ra đưoc C0∞ (Rn ) là không gian con
cna không gian các hàm giam nhanh S (Rn).
Chúng minh đưoc hoàn thành.


2

Ví dn 1.2. Cho hàm so ϕ (x) = e−ǁxǁ , x ∈ Rn. Khi đó ϕ là hàm so thu®c khơng
gian các hàm giam nhanh S (Rn).
Chúng minh.
+x

2

Theo gia thiet, ta có ǁxǁ2 = x2 + x2 + ... nên
n
1
2
2

−ǁ
e
xǁ

M¾t khác

2

=e

−x1

.
Dβϕ (x) =

2

.e

−x2

2

2

...e−xn, x ∈ Rn.

Σ.

Dβ e−x
11

2

2

2

Σ

Dβ e−x
2

2

2

Σ

Dβ e−x

n

n

2

= e−x1 .e−x2 ...e−xn Q (x1, x2, ..., xn)
2

∀β
∈ Zn , x ∈ Rn,
+

= e−ǁxǁ Q (x1, x2, ..., xn)

trong đó Q (x1, x2, ..., xn) là hàm chúa các lũy thùa cna x1, x2, ..., xn.
Do đó
Ta thay rang

xαDβϕ (x) =
xαQ(x1

, , ..., x
)en−ǁxǁ
x2
Zn .

lim ta e−|t|2 = 0

t→∞

Tù đây, suy ra

lim xαQ
ǁxǁ→ (x1

V¾y nên, ta
có

∞

2

∀α, β ∈

+

vói MQI a ∈ R.
2

, , ..., x
) ne−ǁxǁ = 0
x2
Zn .

sup .xαDβϕ (x). < ∞

∀α ∈

+

∀α, β ∈ Zn ,
+

x∈Rn

do đó dan đen ϕ là hàm thu®c vào khơng gian các hàm giam nhanh S(Rn).
Chúng minh đưoc hoàn thành.

1.3

Phép Bien Đoi Fourier

Đoi tưong chính cna chúng ta nghiên cúu trong phan này, se là phép bien đői
Fourier cna nhung hàm thu®c khơng gian các hàm giam nhanh S (Rn).

1.3.1

Phép bien đoi Fourier trong không gian các hàm giam nhanh
S (Rn)

Đ%nh nghĩa 1.10. Cho hàm f ∈ S (Rn). Bien đői Fourier cua hàm f ký hi¾u là
f^(ξ) hay F (f ) (ξ), là hàm đưac xác đ
∫R e−i(x,ξ)f (x) dx
%nh bái
n

F (f ) (ξ) = f^(ξ) = −n/
2
(2π)

trong đó x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) ∈ Rn.


Đ%nh nghĩa 1.11.
đ%nh bái

Bien đői Fourier ngưac cua hàm f ∈ S (Rn) là hàm đưac xác
F

−1

∫

(f ) (x) = f∨(x) = (2π)−n/2 ei(x,ξ) f (ξ) dξ
Rn

n

trong đó x = (x1, x2, ..., xn) ∈ R , ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) ∈ Rn.
Tù đ%nh nghĩa trên ta de dàng suy ra: Bien đői Fourier (và ngưoc cna nó) là
tuyen tính, nghĩa là:
F[λ1 f1 + λ2 f2 ] = λ1 F[f1 ] + λ2 F[f2 ]

và
F −1 [λ1 f1 + λ2 f2 ] = λ1 F −1 [f1 ] + λ2 F −1 [f2 ]

Bây giò ta xét các tính chat cna bien đői Fourier, bien đői Fourier ngưoc cna
hàm thu®c khơng gian các hàm giam nhanh S (Rn) bang cách đi nghiên cúu ky
hơn các

m¾nh đe sau đây, dna trên tài li¾u (xem [1],[3],[6]).
Đ%nh lý 1.6.

Cho hàm ϕ ∈ S (Rn). Khi đó Fϕ, F −1ϕ ∈ S (Rn) và

•D α Fϕ (ξ) = (−i)|α|F (xαϕ (x)) (ξ) ,
,

D α F −1 ϕ (ξ) = i|α|F−1 (xαϕ (x)) (ξ)

•ξ α Fϕ (ξ) = (−i)|α|F (Dαϕ (x)) (ξ) ,

ξ α F −1 ϕ (ξ) = i|α|F−1 (Dαϕ (x)) (ξ) .

Chúng minh.

Theo đ%nh nghĩa phép bien đői Fourier cna hàm ϕ thu®c khơng

gian các hàm giam nhanh S (Rn), có
F

( ϕ) (ξ) = (2π)−n/2

∫

e−i(x,ξ)ϕ (x) dx.

(1.1)

Rn

Áp dung đ%nh lý ve tính kha vi các tích phân phu thu®c tham so, ta có đao hàm
D (Fϕ) (ξ) vói MQI α ∈ Zn và
+
ξ
Σ
α

Dα (Fϕ) (ξ) = Dα .(2π)−n/2 ∫
ξ

ξ

= (2π)−n/2
−

∫
Rn

e−i(x,ξ)ϕ (x) dx
Rn

(−ix)αe−i(x,ξ)ϕ (x) dx

= ( ∫i)|α|(2π)−n/2

e−i(x,ξ)xαϕ (x)dx
Rn

= (−i)|α|F (xαϕ (x)) (ξ) ∀ϕ ∈ S (Rn) ,

do tích phân

∫R
n

e−i(x,ξ)xαϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S (Rn)

(1.2)


hđi tu tuyắt oi v eu theo trong Rn và MQI α ∈ + . Vì
Zn
α
.
e−i(x,ξ)xαϕ (x) ≤ |x| |ϕ (x)|
.
∀ϕ ∈ S (Rn) .
Do hàm ϕ ∈ S (Rn) nờn dan
en
Rn

|x| | (x)| dx




+

Z+

hđi tu tuyắt đoi và đeu theo ξ
trong Rn .
Do
đó,
ton tai
đao
hàm
Dα
(Fϕ)
(ξ),

dan
đen
Fϕ ∈
C∞
(R n ).

Vì the
moi ξ
∈ R n,
β, γ ∈

Zn , có
ξ β Dγ .e−i(x,ξ) ϕ (x)Σ = 0
∀ϕ ∈ S (Rn ) .


x

Su dung phép tính tích phân tùng phan |β| lan

cho (1.2), ta đưoc
F
∫

Dξα ( ϕ) (ξ) e−i(x,ξ) (−iDx )β
Σ
= ξ−β(2π)
(x)
dx,
−n/2

.

(−ix)α ϕ

Rn

Như v¾y, vói moi α,
F
β ∈ Zn , có
∫

+

ξβDα( ϕ)
.
−i(x,ξ)
(−iDx )β (−ix)α ϕ
(ξ) =ξ (2π) e

Σ

−n/2

R

(x) dx,
n

(1.3)

nh¾n thay rang
.
∫e−i(x,ξ)(−iDx)β (−ix)αϕ (x) dx
R
Σ
.
β
n
.

Σ

.
. (1.4)
∫≤
dx
n
Rn (1
+

ϕ (x) (1 +
+ (−x)
1
ǁxǁ)

α

sup D
xǁxǁ)
∈
R

n+1
x

n

Ket hop (1.3) và (1.4), ta nh¾n đưoc
α
sup .ξβD
Fϕ (ξ).
ξ

ξ∈Rn

x

β
α −n/2
≤

(2π)
sup..(1
Dx∈R
(−x)
ϕ (x)
+ ǁxǁ)n+1

≤ C x∈R
sup n 1 +

Do ϕ ∈
S (Rn)
nên
.

Σn+1+|α| Σ
β 2∈ Zn . γ≤β
ǁxǁ

Σ
Σ
2 n+1+|α|

1 + ǁxǁ

d
x
n+1

∀α,

|Dγ ϕ (x)|

|Dγ ϕ (x)| < ∞ ∀α,

n

β∈Z .
x∈Rn

(1 +
ǁxǁ)
Rn

n

.

sup

.

Σ

∫

γ≤β

+

+

Đieu này dan đen Fϕ ∈ S (Rn).
ta nh¾n đưoc
Tù công thúc (1.3), cho α = 0, β ∈+
Zn
(−iDx)βe−i(x,ξ)ϕ (x) dx
R
∫
ξβFϕ (ξ) = (2π)−n/2 ∫

= (2π)−n/2

e−i(x,ξ)(−iDx)βϕ (x) dx

R


= (−i) F
|β|

.

Σ

e−i(x,ξ)ψ (ξ) dξ,
ψ
(
x
=

(2
π

D ϕ (x) (ξ) ∀ϕ ∈ S
(Rn ) .
β

V¾y phép bien đői Fourier là
ánh xa tuyen tính liên tuc trên
khơng gian các hàm giam nhanh
S ( R n) .

−
/2

Đoi
vói phép bien đői Fourier ngưoc
F−1 ta chúng minh tương tn.
Chúng minh đưoc hoàn thành.
Cho hàm ϕ ∈ S (Rn).

Đ%nh lý 1.7.
Khi đó

.

F−1Fϕ = FF−1ϕ = ϕ.

∫

Rn

khi đó ϕ, ψ ∈ S (Rn), ta
có
∫Rn ϕ (x)
Σ
(2π)−n/2

∫

Rn

Tù đó suy ra phép bien đői Fourier
(cũng như ngưac cua nó) là phép úng
1-1.
Th¾t v¾y,

Chúng minh.

F [f1 ] = F [f2 ] ⇒ F −1 [F [f1 ]] =
F −1 [F [f2 ]] ⇒ f1 = f2

M¾nh đe 1.1. Cho các hàm ϕ, ψ ∈
F
S (Rn). Khi đó,
∫Rn ϕ (x) ψ
∫
và
(x) dx ψ (ξ)Fϕ (ξ) dξ
=

∫Rn

Rn

|ϕ

|Fϕ (ξ)| dξ.

(x)|
2

dx

=∫

Chúng minh. Su dung đ%nh
nghĩa bien đői Fourier cho hàm
F hàm
ψ (x) trong không gian các

giam nhanh S (Rn), có ∫

e−i(x,ξ)ψ (ξ)
dξ
ϕ (x) Fψ (x)
dx =
dx.

2

Rn

(1.5)


Tương tn, ta nh¾n đưoc
Fϕ (ξ) = (2π)−n/2 ∫

e−i(x,ξ)ϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S (Rn) ,
R

vói ϕ, ψ ∈ S (Rn), nên
∫Rn ψ (ξ).(2π)−n/2

Σ dξ =
e−i(x,ξ)ϕ (x) dx
Rn

∫

∫

Rn

ψ (xi) (Fϕ) (ξ) dξ.

(1.6)

M¾t khác, vói các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn) theo đ%nh lý Fubini, có

−n/2
e−i(x,ξ)ψ (ξ) dξΣdx
∫
R
n ϕ (x).(2π)
Rn

∫

.
= ∫ ψ (ξ) (2π)−n/2
Rn

e−i(x,ξ)ϕ (x) dxΣdξ. (1.7)

∫

Rn

Ket hop (1.5), (1.6) và (1.7), ta đat đưoc
ϕ (x) Fψ (x) dx = ∫ ψ (ξ) (Fϕ) (ξ) dξ ∀ϕ, ψ ∈ S (Rn) .

∫

(1.8)

Rn

Bang cách cho hàm
ψ=

F−1ϕ

ta thay rang

F −1 ϕ = Fϕ, ϕ =
Fψ

và su dung (1.8), ta nh¾n
đưoc
∫

2

2

|ϕ (x)| dx = ∫ |Fϕ (ξ)| dξ∀ϕ ∈ S (Rn) .
Rn

Như v¾y, phép bien đői Fourier F là m®t đang cau tuyen tính, tn liên hop, đang
cn trên khơng gian các hàm giam nhanh S (Rn ) vói khơng gian metric L- 2 (Rn ).
M¾nh đe đưoc chúng minh.
Dưói đây ta se trình bày m®t so tính chat khác cna phép bien đői Fourier,
trong khơng gian các hàm giam nhanh S (Rn).
M¾nh đe 1.2.

Cho hàm ϕ ∈ S (Rn). Khi đó
.
Σ

i) Fϕ (ξ − h) = F

ei(h,x) ϕ (x) (ξ) ,

ξ, h ∈ Rn .

ii) F (ϕ (x − h)) (ξ) = e−i(h,ξ)Fϕ (ξ) , ξ, h ∈ Rn.
iii) F (ϕ (tx)) (ξ) = t−nFϕ (ξ/t) , t ƒ= 0, ξ ∈ Rn.