Bài tập môn Cơ học đất nâng cao - Bài tập số 1 (Năm 2011)

Bài tập số 1
Môn học: CƠ HỌC ĐẤT NÂNG CAO
Giảng viên: TRẦN QUANG HỘ
Ngày nộp: 3/11/2011
Bài 1.

 ij   ij  0

1) Từ điều kiện:

Hãy rút ra các bất biến ứng suất ( stress invariants ) sau đây:

I1   11   22   33   1   2   3
2
2
I 2   11 22   22 33   11 33   122   23
  31
  1 2   2 3   3 1
2
I 3   11 22 33  2 12 23 31   33 122   22 132   11 23
  1 2 3

Giãi thích tại sao I1, I2, I3 là các bất biến ứng suất.
Tương tự rút ra các bất biến biến dạng ( strain invariants ) sau đây:
E1   11   22   33   1   2   3
2
2
E 2   11 22   22  33   11 33   122   23
  31
  1 2   2  3   3 1
2

E 3   11 22  33  2 12  23 31   33 122   22  132   11 23
  1 2 3

2) Tensơ ứng suất lệch ( stress deviator tensor) và tensơ biến dạng lệch được định
nghĩa như sau:
1
s ij   ij  I 1 ij
3
1
eij   ij  E1 ij
3

và từ điều kiện:
s ij  s ij  0

Hãy rút ra các bất biến sau đây:

J 1  s11  s 22  s33  s1  s 2  s3  0
J2 

1 2
1
2
2
2
2
s11  s 22
 s 33
 2 s122  2 s 23
 2 s31

 s12  s 22  s 32
2
2









EJ 1  e11  e22  e33  e1  e2  e3  0
EJ 2 

1 2
1
2
2
2
2
e11  e22
 e33
 2e122  2e23
 2e31
 e12  e22  e32
2
2









3) Hãy viết I1, I2, I3, J2 theo ứng suất trục a và ứng suất bình r; và viết E1, EJ1 theo
biến dạng dọc trục a  và biến dạng theo bán kính r trong thí nghiệm ba trục.


Bài 2
Cho một tensơ ứng suất như sau:
1 2 1 
 ij  2 2 1
1 1 3

Hãy tính:
a) Ứng suất thủy tĩnh p và tensơ ứng suất lệch, sij
b) Các giá trị chính ( s1, s2, s3) của tensơ ứng suất lệch.
Bài 3
Trạng thái ứng suất chính tại ba điểm khác nhau trong một loại vật liệu lần lượt như
sau (1, 2, 3) = (11, 1, 3), (1, 2, 3) = (1, 3, 11),và (1, 2, 3) = (3, 11, 1). Vẽ các
điểm mô tả ba trạng thái ứng suất nói trên trong khơng gian ứng suất chính và trên
mặt phẳng  ( hệ toạ độ Haigh- Westergaard, , , . )