Bài tập môn Cơ học đất nâng cao - Bài tập số 1 (Năm 2013)

Bài tập số 1
Môn học: CƠ HỌC ĐẤT NÂNG CAO
Giảng viên: TRẦN QUANG HỘ
Ngày nộp: 02/3/2013

Bài 1.
1) Từ điều kiện:

 ij   ij  0

Hãy rút ra các bất biến ứng suất ( stress invariants ) sau đây:
I 1   11   22   33   1   2   3
I 2   11 22   22 33   11 33   122   232   312   1 2   2 3   3 1
I 3   11 22 33  2 12 23 31   33 122   22 132   11 232   1 2 3

Giãi thích tại sao I1, I2, I3 là các bất biến ứng suất.
Tương tự rút ra các bất biến biến dạng ( strain invariants ) sau đây:
E1   11   22   33   1   2   3
E 2   11 22   22  33   11 33   122   232   312   1 2   2  3   3 1
E 3   11 22  33  2 12  23 31   33 122   22  132   11 232   1 2 3

2) Tensơ ứng suất lệch ( stress deviator tensor) và tensơ biến dạng lệch được định
nghĩa như sau:
1
s ij   ij  I1 ij
3
1
eij   ij  E1 ij
3

và từ điều kiện:

s ij  s ij  0

Hãy rút ra các bất biến sau đây:
J 1  s11  s 22  s33  s1  s 2  s 3  0
J2 

1 2
1
2
2
s11  s 22
 s332  2s122  2s 23
 2 s312  s12  s 22  s 32
2
2



EJ 1  e11  e22  e33  e1  e2  e3  0








EJ 2 

1 2

1
2
2
e11  e 22
 e332  2e122  2e 23
 2e312  e12  e 22  e32
2
2









3) Hãy viết I1, I2, I3, J2 theo ứng suất trục a và ứng suất bình r; và viết E1, EJ1
theo biến dạng dọc trục a và biến dạng theo bán kính r trong thí nghiệm ba trục.
Bài 2.
Cho một tensơ ứng suất như sau:
1 2 1 
 ij  2 2 3
1 3 4

Hãy tính:
a) Xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt bát diện.
b) Ứng suất thủy tĩnh p và tensơ ứng suất lệch, sij
c) Các giá trị chính ( s1, s2, s3) của tensơ ứng suất lệch.
Bài 3.

Trạng thái ứng suất tại một điểm được diễn tả bởi tensơ ứng suất sau đây:
30 45 60
 ij  45 20 50 MPa
60 50 10 

a) Hãy xác định các bất biến ứng suất I1, J2, J3 và .
b) Dựa trên các biểu thức tính ứng suất chính theo các bất biến ứng suất hãy
tính các ứng suất chính 1, 2 , và 3.
Bài 4.
Trạng thái ứng suất chính tại ba điểm khác nhau trong một loại vật liệu lần lượt
như sau (1, 2, 3) = (8, 1, 3), (1, 2, 3) = (1, 3, 8),và (1, 2, 3) = (3, 8, 1). Vẽ
các điểm mô tả ba trạng thái ứng suất nói trên trong khơng gian ứng suất chính và
trên mặt phẳng  ( hệ toạ độ Haigh- Westergaard, , , . )
Hết.