Luận văn thạc sĩ nhóm con nội soi và biểu diễn tự đẳng cấu của SL 2 r

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
------------------

Tơ Văn Giáp

NHĨM CON N®I SOI
VÀ BIEU DIEN TU ĐANG CAU CUA SL(2,R)

LU¼N VĂN THAC SĨ

Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH
Mã so: 60.46.0102

Ngưài hưáng dan khoa HQC
GS.TSKH. ĐŐ NGOC
DIfiP

HÀ N®I- 2013


1

Mnc lnc
Ma đau
Lài cam ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
3

1 Kien thÉc chuan b%

1.1 Cau trúc cna SL(2, R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Tích phân quy đao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Liên hop őn đ%nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Nhóm Weil và nhóm Langlands, L-nhóm. . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
7
7
8

2 Nhóm con n®i soi và bieu dien cua SL(2, R)
2.1 Nhóm con n®i soi cna SL(2, R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bieu dien cna SL(2, R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Bieu dien cna GL(2, R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bieu dien cna SL(2, R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Tham so Langlands cho SL(2, R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Tham so Langlands cho GL(2, R). . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Tham so Langlands cho SL(2, R). . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9
10
12
12
13
13
14

3 The hi¾n hình HQC

15
3.1 Cơng thúc vet Arthur-Selberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2 Phép chuyen cho tích phân quy đao. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.3 Phép chuyen cho vet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Tài li¾u tham khao........................................................................................25


Ma đau
Cơng thúc vet Arthur-Selberg là sn tőng qt hóa cna cơng thúc vet Selberg tù
nhóm SL2 tói các nhóm thu GQN bat kì trên trưịng tőng qt, nó đưoc phát trien
boi James Arthur trong m®t chuoi các bài báo tù 1974 đen 2003. Cơng thúc vet
Arthur-Selberg mơ ta đ¾c trưng cna bieu dien cna nhóm G(A) trên phan rịi rac
L2 (G(F ) \ G(A)) cna L2 (G(F ) \ G(A)) trên ngơn ngu cna các du li¾u hình HQ c,
0
trong đó G là nhóm đai so thu GQn xác đ%nh trên trưòng tőng quát F và A là vành
adeles cna F. Có vài phiên ban cơng thúc vet khác nhau, phiên ban đau tiên là
cơng thúc vet "thơ" vói cỏc ieu kiắn phu thuđc vo nhung toỏn tu cat cut và
nó có nhưoc điem là khơng bat bien. Sau đó Arthur đã tìm ra và chúng minh cơng
thúc vet bat bien và công thúc vet őn đ%nh đem lai nhieu úng dung hơn.
Σ
Σ
T race R(f ) =

m(π) T race π(f ) =

π

a(γ)Oγ (f ).

γ

Công thúc vet őn đ%nh là cơng thúc vet cna nhóm G trên ngơn ngu phân bo őn
đ%nh. Tuy nhiên nhung phân bo őn đ%nh này lai khơng phân bo trên nhóm G mà
chúng phân bo trên m®t HQ các nhóm tna che ra đưoc GQI là nhóm con n®i soi cna
G. Tích phân quy đao khơng őn đ%nh trên nhóm G tương úng vói tích phõn n
%nh trờn nhúm con nđi soi H cna nú.
Viắc tính tốn cơng thúc vet cna bieu dien chính quy trnc tiep trên SL(2, R)
là khá phúc tap và cong kenh vì v¾y muc đích cna lu¾n văn này là trình bày
bài tốn thu cơng thúc vet cna bieu dien chính quy cna SL(2, R) xuong nhóm
con n®i soi cna nú.
Luắn vn tắp trung lm rừ mđt so van e sau: Trình bày vi¾c thu cơng
thúc vet cna bieu dien chính quy cna SL(2, R) xuong nhóm con n®i soi H cna
nú.
Luắn vn bao gom 3 chng:
ã Chng 1 trỡnh by túm tat mđt so kien thỳc chuan b%.
ã Chng 2 trình bày ve nhóm con n®i soi và bieu dien chính quy cna SL(2,
R), tham so Langlands cho SL(2, R).
ã Chng 3 trỡnh by lm sỏng to viắc thu cơng thúc vet cna bieu dien
chính quy và tích phân quy đao trên nhóm con n®i soi cna SL(2, R).


Do thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu, kien thúc cịn han che nên khi làm
lu¾n văn khơng tránh khoi nhung han che và sai sót. Tác gia mong nh¾n đưoc sn
góp ý và nhung ý kien phan bi¾n cna quý thay cô và ban đQc.
Xin chân thành cam ơn!

Hà N®i, ngày 20 tháng 11 năm 2013
HQC viên

Tơ Văn Giáp


Lài cam ơn
Hồn thành đưoc lu¾n văn này, ngồi sn no lnc cna ban thân, tơi đã nh¾n
đưoc sn chi bao, giúp đõ tù nhieu phía cna các thay, cơ giáo, gia đình và ban
bè.
Tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói ngưịi thay kính men GS.TSKH. Đo NGQc
Di¾p, ngưịi đã trnc tiep truyen thu kien thúc, quyet đ%nh hưóng nghiên cúu và t¾n
tình hưóng dan cho tơi hồn thành ban lu¾n văn.
Tơi xin chân thành cam ơn các thay, cơ giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc,
Trưòng Đai HQc Khoa HQc tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i, nhung ngưịi đã
trnc tiep giang day và giúp đõ tơi trong q trình HQc t¾p tai trưịng cùng tồn
the ban bè và ngưịi thân đã đóng góp ý kien, giúp đõ, đ®ng viên tơi trong q
trình HQc t¾p, nghiên cúu và hồn thành lu¾n văn này.
Do thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu, kien thúc cịn han che nên
khi làm lu¾n văn khơng tránh khoi nhung han che và sai sót. Kính mong nh¾n
đưoc ý kien đóng góp cna các thay cơ và ban bè đong nghi¾p đe ban lu¾n
văn đưoc hồn chinh hơn.
Xin chân thành cam ơn.
Hà N®i, ngày 20 tháng 11 năm 2013
HQC viên
Tô Văn
Giáp


5

Chương 1

Kien thÉc chuan b%
Trong chương này, trình bày m®t so khái ni¾m cơ ban liên quan đen
nhóm SL(2, R), tích phân quy đao, liên hop őn đ%nh, nhóm Weil, nhóm
Langlands, và L-nhóm.

1.1 Cau trúc cua SL(2, R).
Kí hi¾u G = SL(2, R) là nhóm các ma tr¾n cap 2 × 2 trên trưịng so thnc R
vói đ%nh thúc bang 1.
G = SL(2, R) = ..

a

b
Σ|
c

a, b, c, d ∈ R; ad − bc = 1Σ .

Đai so Lie cna G gom cỏc ma trắn thnc cap 2ì2 cú vet bang 0, kí hi¾u g0 =
sl(2, R), vói cơ so gom các ma tr¾n:
.
0 1
0 0
H=

1
Σ; X = .

0 −1

Σ;Y = .

00

.

10

0
Tỏc đng phõn tuyen tớnh.

Kớ hiắu H l nua trên cna m¾t phang phúc, túc là H = {z = x + iy | x, y ∈
R và y > 0}. .Tác đ®nΣg phân tuyen tính cna G trên H đưoc xác đ%nh như
sau: moi g
a b
Vói
Σ
∈ G, z ∈ H, ta
=
az + b
c
có d
z = cz + d .
.
a

gz =
b

De thay

c
d

Im(gz) =

Do đó neu z ∈ H thì gz ∈ H.

Im(z)

. c

|cz + d|2

.

GQI K là nhóm các ma tr¾n g =
ai+

a b

Σ ∈ G thoa mãn gi = i hay
b ci+d = i.


6

Khi đó

a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, và ad − bc = 1.

− sin θ cosθ

Nói cách khác K là nhóm các ma tr¾n
.r(θ) =

cosθ sin θ Σ và

θ ∈ [0, 2π) .

Phân loai các phan tE cua G.

Giá tr% riêng λ cna phan tu g ∈ SL(2, R) thoa mãn phương trình đ¾c trưng
λ2 − tr(g)λ + 1 = 0

và do đó

λ =

tr(g)±

√

tr(g)2 4
.
2

* Neu |tr(g)| < 2 thì g đưoc GQI là elliptic.

* Neu |tr(g)| = 2 thì g đưoc GQI là parabolic.
* Neu |tr(g)| > 2 thì g đưoc GQI là hyperbolic.

Phân tích Iwasawa và phân tích Cartan cua G.

Phân tích Iwasawa cna G là G = KAN , trong đó Σ |
K = .uθ = exp θ(X − Y ) = .
θ

.
A = .at = exp tH
=
N = .ns = exp tX = .

cosθ

θ ∈ [0, 2π)Σ ,

sin

− sin θ

et 0 Σ |
0
e−t

t ∈ RΣ ,

1 s
Σ | s ∈ RΣ .

01

a
Do đó ta có K ∼= S1, A ∼= R và N ∼= R. Vói g = .

b

c

Σ ∈ G, khi đó phân

tích
Iwasawa cna nó là g = uθatns, trong đó
e

iθ

a ic
−t

=

√
=√
, e a2 + c2
a2

+
c2

ab + cd
,s=√
.
a2 + c2

Tương tn, ta có cơng thúc phân tích phan tu cna G theo tích AN K và cũng đưoc
GQI là phân tích Iwasawa. Ngồi ra, ta cũng có phân tích Cartan cna G là G =
KAK .
Nhóm con dÈng (tâm hóa).

Cho γ ∈ G, nhóm con dùng cna phan tu γ trong G, kí hi¾u Gγ,


7

.

Gγ = g ∈ G| g−1γg = γ

Σ

.


Phan tu γ ∈ G là phan tu nua đơn chính quy manh neu nhóm con dùng Gγ cna
nó là m®t xuyen cnc đai túc là Gγ = T = SO(2, R) và ta cũng có nhóm thương
Gγ\G = {Gγx | x G}.
đ o trờn G.

Mđt đ o à trên Gγ \G đưoc GQI là G-bat bien phai neu µ(Ax) = µ(A) vói

MQI t¾p Borel A trong Gγ \G và MQI x ∈ G. Đ® đo G-bat bien trái oc %nh
ngha tng tn. Mđt đ o à trờn G GQI là đ® đo Haar neu nó bat bien dưói tác
đ®ng cna G.
Đoi vói phân tích Iwasawa G = ANK , phan tu x ∈ G ta có phân tích x = ank
(vói a ∈ A, n ∈ N, k ∈ K), kí hi¾u da, dn, dk tương úng là đ® đo Haar trên
A, N, K. Khi đó đ® đo trên G, kí hi¾u dx, và ta có dx = da dn dk.
Vói hàm f xác đ%nh và kha tích trên G, ta có
∫
∫ ∫ ∫
f (x)dx = dk da f (ank)dn.

G

K
N

A

Đoi vói phân tích Cartan G = KAK , vói MQI x ∈ G ta có phân tích x = k1 ak2 ,
∫
∫
∫
f (x)dx = dk1dk2

G

K×K

|t2 − t−2 |f (k1 at k2 )da,

A

trong đó k1, k2 ∈ K và a ∈ A, (xem [L],[C]).

1.2

Tích phân quy đao.

Cho G = SL(2, R), γ ∈ G là phan tu nua đơn chính quy manh cna G, Gγ = T
là nhóm con dùng cna γ , hàm f ∈ Cc∞ (G). Tích phân quy đao cna hàm f trên
quy đao cna γ đưoc cho boi
Oγ (f ) = ∫
Gγ\G

trong đó
dx˙

1.3

f (x−1 γx)dx˙ ,

là đ® đo G-bat bien phai trên thương Gγ\G.

Liên hap on đ%nh.

Cho G = SL(2, R), γ, γ J ∈ G đưoc GQI là liên hop neu ton tai x ∈ G sao
cho
J
γ = xγx−1 .
Đoi vói phan tu chính quy nua đơ.n .manh, Σta nói rang γ, γ J ∈ G là liΣên hop

a
sao cho
đ%nh neu ton tai x ∈ SL(2, C) =
| a, b, c, d ∈ C ; ad −
őn

bc = 1


γ J = xγx−1 .

Cho f ∈ Cc∞ (G), γ ∈ G là phan tu chính quy manh, khi đó tích phân quy đao őn
đinh cna hàm f đoi vói phan tu γ đưoc cho boi
SOγ (f ) =

Σ

γ J ∈S(γ)

Oγ (f ).
J

Trong đó S(γ) là t¾p hop các phan tu đai di¾n cna các lóp liên hop trong lóp
liên hop őn đ%nh cna γ.

1.4

Nhóm Weil và nhóm Langlands, L-nhóm.

* Ta kí hi¾u WR là nhóm Weil cna R xác đ%nh như sau:

- Nhóm Weil cna C là WC = C×.
- Nhóm Weil cna R là nhóm con các ma trắn trong SU (2) oc sinh boi
..

0

z 0

0 1

ì
, z ∈ C Σ và wσ = . 1

z
¯

Σ.

Kí hi¾u Gal(C/R) là nhóm Galois cna mo r®ng C/R gom hai phan tu: m®t phan
tu là tn đong cau đong nhat, phan tu còn lai là tn đong cau liên hop phúc.
Phan tu wσ tác đ®ng liên hop như là phan tu khơng tam thưịng trong nhóm
Gal(C/R) trên C×. Ánh xa WR → Gal(C/R) đưoc xác đ%nh boi σ ›→ wσ, chú ý
rang
w2 = −1 do đó mo r®ng cna WC = Cì boi Gal(C/R) l mo rđng khụng tam

thũng.
* Nhúm Langlands, kí hi¾u LF , LF = WR, neu trưịng cơ so F là C ho¾c R và
LF = WR × SL(2, C), neu F p-adic.
Kí hi¾u Gˇ là nhóm Lie phúc thu GQN cna G = SL(2, R), khi đó Gˇ = P GL(2, C).
Nhóm Galois Gal(C/R) tác đ®ng trên Gˇ qua tn đong cau chinh hình đưoc gia

thiet giu ngun tách. Nhóm G là tách nên tác đ®ng đó là tam thưịng. WR tác
đ®ng tói Gal(C/R) qua ánh xa tn nhiên cna nó.
* L-nhóm cna G, kí hi¾u L G = Gˇ w WR .


Chương 2

Nhóm con n®i soi và bieu dien cua
SL(2, R)
Trong chng ny, trỡnh by khỏi niắm ve nhúm con nđi soi, bieu dien và
phân loai bieu dien cna SL(2, R), tham so Langlands cho SL(2, R).

2.1

Nhóm con n®i soi cua SL(2, R).

Khỏi niắm nđi soi xuat hiắn vỡ liờn hop trên R và trên C có the có sn khác bi¾t.
Vói θ ∈/ Zπ , hai phép quay
Σ
cosθ sin θ Σ
cosθ sin θ
.
.r(θ) =
r( θ) =
− sin θ cosθ

sin θ

cosθ

−

không liên hop trong SL(2, R) m¾c dù chúngvàliên−hop trong SL(2, C) và GL(2, R)
boi hai phan tu tương úng
ω=.

−i 0
−1 0
Σ và α = .
Σ.
0
0

Hop cna các t¾p hop các liên hop cna phan tu trong c¾p (r(θ), r(−θ)) đưoc GQI
là m®t lóp liên hop őn đ%nh.
Tương tn hai phan tu lũy đơn
11
1 −1
u0 = .
Σ và u−1 = .
Σ
0
01
0

là liên hop o trong SL(2, C) nhưng không liên hop trong SL(2, R). Có hai lóp
liên hop nhưng chi có m®t lóp liên hop őn đ%nh cna phan tu lũy đơn khơng tam
thưịng. N®i soi trên ve phő cũng đưoc mơ ta de dàng cho SL(2, R): bieu dien
chuoi rịi rac và giói han cna bieu dien chuoi rịi rac đưoc cho theo tùng c¾p GQI
đưoc GQI là L-gói.

Đ%nh nghĩa 2.1. Nhóm con n®i soi H cua nhóm G là nhóm tna ché ra mà L-nhóm
L
H là thành phan liên thơng cua tâm hóa cua m®t phan tu nua đơn cua L-nhóm


L

G.

Trong tat ca các ví du o trên nhung đoi tưong trong tùng c¾p đưoc thay the boi
liên hop dưói phan tu ω = iα trong chuan hóa cna SO(2) trong SL(2, C).
Chú ý rang neu σ là phan tu khơng tam thưịng cna nhóm Galois thì phan tu
aσ = wσ(w)−1 = .

−1 0
Σ
0 −1

sinh ra m®t nhóm con cap 2 và có the đong nhat nó vói H 1 (C/R, SO(2)). Đ¾c
trưng cna 2-nhóm đưoc GQI là đ¾c trưng n®i soi, có hai nhóm con n®i soi cna
SL(2, R) tng ỳng vúi hai ắc trng ny. Nhúm con nđi soi tương úng vói đ¾c
trưng tam thưịng là chính SL(2, R), trong khi đó nhóm con n®i soi tương úng
vói đ¾c trưng khơng tam thưịng là xuyen compact T (R) = SO(2, R).

2.2

Bieu dien cua SL(2, R).

Đ%nh nghĩa 2.2. Cho G l mđt nhúm (GL(2, R) hoắc SL(2, R)), E là khơng
gian Hilbert. M®t bieu dien cua G trong E là m®t đong cau tù G vào nhóm tn

đang cau tuyen tính liên tnc GL(E) cua E.
π : G → GL(E),

sao cho vái MQI véc tơ v ∈ E thì ánh xa tù G vào E xác đ%nh bái x ›→ π(x)v là
ánh xa liên tnc.
Bieu dien π đưac GQI là bieu dien unita neu π(x) là unita vái MQI x ∈ G.
Đ%nh nghĩa 2.3. Cho π bieu dien cua nhóm G trong khơng gian Hilbert E, W
là m®t khơng gian con cua E. Ta nói W là G-bat bien neu π(x)W ⊂ W vái MQI x
∈ G.
Đ%nh nghĩa 2.4. M®t bieu dien π : G → GL(E) GQI là bat kha quy neu E khơng
có khơng gian con bat bien nào khác ngoài {0} và E.
Cho π là bieu dien cna G trong không gian Hilbert E, gia su rang
Mˆ
E =

trong đó ..Elà khơng
K =n gian riêng thú n cna

En ,

cosθ sin θ
Σ|

− sin θ cosθ
θ ∈ [0, 2π)Σ .

Phan tu v ∈ E là K-huu han neu π(K)v sinh m®t khơng gian véc tơ huu han chieu.
Đ%nh nghĩa 2.5. Bieu dien π cua G trong không gian Hilbert E đưac GQI là
chap nh¾n đưac neu dimEn huu han vái MQI n.
Xét phân tích Iwasawa cna nhóm G = SL(2, R): G = PK (vói P = AN), σ là bieu

dien cna P trên không gian Hilbert V. GQI H(σ) là không gian các ánh xa f : G → V
sao cho
1
f |K ∈ L 2
(K) và f (py) = ∆(p) 2 σ(p)f (y),

trong đó ∆(p) = α(a) là hàm modular trên P.
Đ%nh nghĩa 2.6. Bieu dien π cua G trên H(σ) cho bái t%nh tien phía phai
trên bien, túc là π(y)f (x) = f (xy), GQI là bieu dien cam sinh cua σ lên G .
Đ¾t ρ(a) = α(a)1/2, vói moi so phúc s và x = ank ∈ G xác đ%nh
ρs(x) = ρs(ank) = ρ(a)s+1.

Khi đó
ρs(k) = ρs(n) = 1.

De thay hàm µs : P → C∗ cho boi às = (a)s = as l mđt ắc trng (túc là đong
cau liên tuc vào C∗). Neu nó có giỏ tr% tuyắt oi bang 1 thỡ às l mđt đ¾c
trưng unita.
Kí hi¾u Hs là khơng gian cna bieu dien πs cam sinh boi µs, nó là khơng gian
Hilbert các hàm xác đ%nh trên G sao cho
i) f (any) = ρs+1 f (y);
ii) f |K ∈ L2 (K).
Đ%nh nghĩa 2.7. HQ các bieu dien {πs } xác đ%nh như trên GQI là bieu dien chuői
chính cua SL(2, R).
Gia h¼ so cua chuői rài rac.

Cho G = SL(2, R), tâm cna G là Z(G) = {g ∈ G| ∀x ∈ G, gx = xg}, π là
bieu dien chuoi ròi rac cna G. Ta nói hàm f ∈ Cc∞ (G) là m®t gia h¾ so (chuan

tac) đoi vói π neu vói bat kì bieu dien bat kha quy tăng vùa phai π J ta có
.1
neu π c π,
J
trace π (f ) =

j

0 trưịng hop cịn lai.

Ta kí hi¾u fπ là gia h¾ so đoi vói π (nó là khơng duy nhat). Tích phân quy đao cna
fπ đoi vói phan tu chính quy nua đơn γ đưoc xác đ%nh boi.
Oγ (fπ ) = . Θ (γ−1) neu γ là elliptic,
π

0
trong đó Θπ là đ¾c trưng cna π.

trưịng hop cịn lai.


L-gói.

Xét m®t bieu dien chuoi rịi rac π và kí hi¾u fπ là gia h¾ so tương úng. Hai
bieu dien chuoi ròi rac π và π J cna G đưoc GQI là thu®c cùng m®t L-gói neu vói
bat kì phan tu nua đơn chính quy manh γ ta có
SOγ (fπ ) = c(π, π J )SOγ (fπ ),
J

trong đó c(π, π J ) là hang so khác không.

2.2.1

Bieu dien cua GL(2, R).

Tat ca các bieu dien bat kha quy chap nh¾n đưoc cna GL(2, R) đeu là
thương con cna chuoi chớnh (à1, à2), trong ú ài l ắc trng cna R×. Các
bieu dien chuoi chính là đưoc cam sinh boi cỏc ắc trng tự nhúm con
Borel:(à1, à2) l bieu dien chính quy phai trong khơng gian các hàm trơn sao
cho
. .1
..
Σ Σ
f

α x
0 β

g =
µ1(α)µ2(β)

α2 f (g).

.. β

Gia su rang tích µ1 µ2 là unita, ta có ba loai thương con theo giá tr% cna µ = µ1 µ−2 1
- Bieu dien chuoi chính bat kha quy π(µ1, µ2) khi µ ƒ= xn.sign(x) vói n ∈ Z
\ {0}. Nhung bieu dien ny l unita húa neu à l unita hoắc neu µ = |x|s
vói s là so thnc và −1 < s < 1.
- Bieu dien huu han chieu π(µ1, µ2) khi µ = xn.sign(x). Bieu dien này là unita
hóa

neu n = ±1.
- Bieu dien chuoi rịi rac σ(µ1, µ2) khi µ = xn.sign(x) vói n ∈ Z \ {0}.
Nhung bieu dien này là unita hóa.
Nhung bieu dien khác nhau là tương đương khi hốn v% µi: π(µ1, µ2) c π(µ2, µ1).
2.2.2

Bieu dien cua SL(2, R).

Bat kì bieu dien bat kha quy cna SL(2, R) đeu là han che cna bieu dien bat
kha quy cna GL(2, R). Han che này ho¾c có phan cịn lai bat kha quy (là
trưịng hop bieu dien chuoi chính có giá tr% tham so cùng loai) ho¾c b% tách
làm hai thành phan bat kha quy mà hop cna nó là m®t L-gói cho SL(2, R).
Hai bieu dien π và π J là cùng thu®c m®t L-gói neu và chi neu trên quan h¾
tương đương chúng đưoc liên hop boi α:
π J c π ◦ Ad(α) trong đó

α=.

−1 0
0

Σ.

Ta có sn phân loai sau đây:
- Bieu dien chuoi chính bat kha quy π(µ) thu đưoc boi han che cna π(µ1, µ2) trên


SL(2, R) vói µ ƒ= xn.sign(x), n ∈ Z.
- Bieu dien huu han chieu π(µ) thu đưoc boi han che cna π(µ1, µ2) trên SL(2, R)
vói µ = xn.sign(x), n ƒ= 0.

- Bieu dien chuoi rịi rac L-gói σ(D+ , D− ) thu đưoc boi han che cna σ(µ1, µ2) trên
|n|

|n|

SL(2, R) vói µ = xn.sign(x), n ∈
Z \ {0}.

- Giói han cna bieu dien chuoi rịi rac L-gói σ(D+, D−) thu đưoc boi han che cna
0

0

π(µ1, µ2) trên SL(2, R) vói µ = sign(x).

Các L-gói cna bieu dien đưoc chi rừ boi cỏc ắc trng à v à1 l tương đương.

2.3

Tham so Langlands cho SL(2, R).

Tham so Langlands là lóp Gˇ − liên hop cna đong cau chinh hình
ϕ : LR → LG,

sao cho hop vói phép chieu tn nhiên cna LG → WR thành
LR →

LG

→ W R,

là phép chieu tn nhiên cna LR lên trên WR sao cho anh cna các phan tu cna WR
là nua đơn. Tham so đưoc GQI là thích hop (vói G) neu anh cna ϕ trong Gˇ
khơng nam trong nhóm con parabolic trù khi nó là G.
2.3.1

Tham so Langlands cho GL(2, R).

M®t tham so Langlands cho GL(2, R) là lóp liên hop đong cau cna WR trong
GL(2, C) vói anh nua đơn.
Vói z = ρ.eiθ, đ¾t χs,n(z) = ρseinθ khi đó trên liên hop các ánh xa chap nh¾n
đưoc có dang như sau:
- Vói si ∈ C , mi ∈ Z2
.
.
vói ϕs1,m1,s2,m2
m1
ϕs1,m1,s2,m2
(z) =

χs1,0(z)
0

0

(−1)
0

(z) Σ (wσ) =

0
(−1)m2 Σ

χs2,0

và trên liên hop ta có ϕs1,m1,s2,m2 c ϕs2,m2,s1,m1 .
- Vói s ∈ C , n ∈ Z
ϕs,n(z)
=

.

χs,n(z)
0

0
χs,−n(z)

Σ vói ϕs,n(wσ)
=

.

0 ( 1)n
0
−1

Σ

và trên liên hop ta có ϕs,n c ϕs,−n.

Giao cna hai t¾p hop các lóp liên hop cna các ánh xa là lóp nhung tham so có dang
ϕs,0 c ϕs,1,s,0 c ϕs,0,s,1


Kớ hiắu l ong cau tự WR Cì xác đ%nh boi ε(z) = 1 và ε(wσ) = −1
Neu ϕ là m®t tham so Langlands thì
ϕ⊗εcϕ

neu và chi neu ϕ thu®c lóp ϕs,n vói s và n bat kì.
Tương úng giua bieu dien bat kha quy và tham so Langlands cho GL(2, R) thu
đưoc như dưói đây. Ta có m®t song ánh tn nhiên giua các lóp tương đương
cna bieu dien bat kha quy chap nh¾n đưoc cna GL(2, R) và các lóp liên hop
cna đong cau chap nh¾n đưoc cna WR trong GL(2, C) như sau:
π(µ1 , µ2 ) −→ ϕs

,m
,s
1
1 ,m
2

vói µi = |x|si sign(x)mi

và
σ(µ1, µ2) −→ ϕs,n vói µ1µ2(x) = |x|2ssign(x)n+1

trong đó
µ1 µ−2 1 (x) = xn sign(x). Tham so Langlands tương úng vói bieu dien
tăng vùa phai neu anh cna ánh xa b% ch¾n túc là si thuan ao.
2.3.2

Tham so Langlands cho SL(2, R).

Tù song ánh giua các lóp tương đương cna bieu dien và lóp liên hop cna
tham so Langlands cho GL(2, R) suy ra song ánh giua các lóp tương đương Lgói cna bieu dien bat kha quy chap nh¾n đưoc cna SL(2, R) và các lóp liên
hop cna các đong cau chap nh¾n đưoc cna WR trong PGL(2, C).
- Tham so hóa cho π(µ) là lóp liên hop cna tham so hóa phép chieu ϕs,m đưoc
xác đ%nh boi ϕs,m,0,0 vói µ(x) = |x|ssign(x)m.
- Tham so hóa cho Dn± là lóp liên hop cna tham so hóa phép chieu ϕn xác đ%nh boi
ϕ0,n.
Ta thay rang
ϕ0,n ⊗ ε = αϕ0,nα−1 trong đó α = .

−1 0
Σ.
0

Nhưng ε có m®t tâm anh do đó tham so hóa phép chieu xác đ%nh boi ϕ0,n và
ϕ0,n ⊗ε là bang nhau. Đieu này chi ra rang anh phép chieu cna α thu®c tâm
hóa cna anh phép chieu cna ϕ0,n.
Cho ϕn là tham so hóa phép chieu xác đ%nh boi ϕ0,n và Sϕn là tâm hóa anh cna ϕn
và Sϕn là thương cna
boi thành phan liên thông S0 cna nó nhân vói tâm Z ˇ
Sϕn

cna Gˇ :
+ Khi n ƒ= 0 ta có Sϕn = Sϕn c {1, α}.
+ Khi n = 0 nhóm Sϕ0 là m®t xuyen nhưng
Sϕ
0

ϕ
n

lai đưoc sinh boi anh cna α.
0

G


Chương 3

The hi¾n hình HQC
Trong chương này, trình bày cách thu cơng thúc vet tù nhóm SL(2, R) xuong
nhóm con n®i soi H cna nó thơng qua phép chuyen n®i soi cho tích phân quy
đao và phép chuyen n®i soi cho vet.

3.1

Cơng thÉc vet Arthur-Selberg.

Cho G là nhóm compact đ%a phương, Γ là nhóm con rịi rac cna G và R là
bieu dien chính quy cna G trên L2(Γ\G)
[R(g)φ](x) = φ(xg) vói g ∈ G, x ∈ Γ\G.

Gan vói đ® đo Haar dg trên G, ta xác đ%nh bieu dien cna đai so L1(G) (đoi vói
tích ch¾p) cho boi
∫
∫
−1

R(f )φ(x) = f (g)φ(xg)dg = f (x
G

g)φ(g)dg.

G

Gia su f ∈ Cc∞ (G). Bang cách tách tích phân, ta có the viet
R(f )φ(x)

Σ f −1
(x γg)φ(g)dg
∫

Γ\
G

Kf (x, g)φ(g)dg.

=

=∫

Γ\G γ∈Γ

Do đó R(f ) là m®t tốn tu tích phân vói hat nhân trơn
Kf (x, g) =Σf (x−1γg).
γ∈Γ

R(f ) là lóp vet và có the tính vet cna nó theo hai cách.

tiên, ta có the viet
Σ Đau
Γ\
−1
f (x γx)dx.
G
trace R(f
Kf (x, x)dx Γ\G γ∈Γ
)=∫

=∫

Kí hi¾u [γ] = { δ−1γδ | δ ∈ Γγ\Γ }, trong đó Γγ là tâm hóa cna γ trong Γ. Khi đó,
ta có


Γ\G

∫

δ∈ΣΓγ

f
(x−1δ−1γδx)dx
=∫

Γγ\
G

f (x−1γx)dx =

vol(Γγ\Gγ) ∫

Gγ\
G

f (x−1γx)dx.

\Γ

Σ

trace R(f ) = vol(Γγ \Gγ ) Oγ (f ).

Do đó, ta có

[γ]

Cũng có the tính trace R(f ) bang cách thú hai theo ket qua cna Gelfand,
Graev và Piatetski-Shapiro, L2(Γ\G) phân tích rịi rac thành tőng trnc tiep cna
các bieu dien bat kha quy cna G, xuat hiắn vúi moi bđi so huu han. Vỡ v¾y
trace R(f )Σ
= m(π)trace π(f ),
π∈Gˆ

trong đó Gˆ là đoi ngau unita cna G, m(π) là b®i so cna π và trace π(f ) là vet cna
∫
toán tu π(f ) = G f (x)π(x)dx. Vì v¾y, ta có cơng thúc
Σ
Σ
vol(Γγ \Gγ ) Oγ (f ) =

[γ]

m(π)trace π(f ).

π∈Gˆ

Chú ý rang trong ve trái (ve hình HQc) thùa so đau tiên phu thu®c vào Γ nhưng
khơng phu thu®c vào f trong khi đó thùa so thú hai lai phu thu®c vào f mà
khơng phu thu®c vào Γ. Tương tn cho ve phai (ve phő) cna công thúc. Phân phoi
Oγ (f ) và trace π(f ) là bat bien theo nghĩa bat bien dưói liên hop cna f boi
m®t phan tu cna G.
Cơng thÉc tong Poisson.

Xét trưịng hop quen thu®c G = R, Γ = Z, gia su rang f ∈ Cc∞ (R), cho tốn tu
tích ch¾p R(f ) trên L2(T ) = L2(Z\R)
∫

∫

R(f )φ(x) = f (y)φ(x + y)dy
f (y − x)φ(y)dy
=

∫

R

Σ
∫

R

=
f (y + n −
x)φ(y)dy =

Kf (x, y)φ(y)dy.
T

T

Σn∈Z
trong đó Kf (x, y) =
hai
cách.

f (y + n − x) ∈ C∞(T × T ), ta có the tính vet cna R(f ) bang

Σ

n∈Z

trace R(f )∫ Kf (x, x)dx = f (n).
=
n∈Z
T

2πin
M¾t khác, ta có the chéo hóa R(f ) su dung

Σ cơ so trnc chuan en = e , n ∈ Z,
R(f ) = fˆ(n)en (fˆ là bien đői Furier cna f ). Do đó


trace R(f ) = fˆ(n).
n∈Z


Vì v¾y, ta có cơng thúc tőng Poisson
Σ

f (n) =

n∈
Z

Σ

fˆ(n).

n∈
Z

Phan tiep theo cna chương này ta se ln kí hi¾u G = SL(2, R), Γ = SL(2, Z)
và H là nhóm con n®i soi cna nó (túc là H = SL(2, R) trong trũng hop ắc
trng nđi tam thũng hoắc H = SO(2, R) trong trưịng hop khơng tam
thưịng).

3.2

Phép chuyen cho tích phân quy đao.

Xét xuyen elliptic T = SO(2, R) v l mđt ắc trng nđi soi tng úng vói
nhóm con n®i soi H cna G. Ta có κ = 1 neu H = SL(2, R) và κ = −1 neu H =
SO(2, R). GQI B là nhóm con Borel cna G chúa T, B gom tat ca các ma tr¾n
tam giác trên trong SL(2, R) có dang
. a b Σ
0 a−1

Kí hi¾u
∆B(γ) =

Y

.

(1 − γ−α),

α>0

trong đó tích đưoc lay trên các nghi¾m dương xác đ%nh boi B. CHQN nhóm con
Borel BH = B trong H chúa TH = T tương thích vói đang cau j: TH c T .
M®t κ - tích phân quy đao đoi vói phan tu chính quy γ ∈ T đưoc xác đ%nh boi:
Oκγ(f

T\
G

κ(x)f (x−1 γx)dx˙

)=∫

Khi κ = 1, κ - tích phân quy đao là tích phân quy đao őn đ%nh và đưoc kí hi¾u là
SOγ (f ).
Ta nhac lai L-nhóm cna G, kí hi¾u L G và L G = Gˇ w WR = P GL(2, C) w WR .
Tương tn, L-nhóm L H = Hˇ w WR cna H, là thành phan liên thơng cna tâm hóa
cna m®t phan tu nua đơn trong LG.
Đ%nh nghĩa 3.1. Phép nhúng chap nh¾n đưac cua LH vào trong LG là m®t L-đong
cau η : L H → L G má r®ng tn nhiên cua → sao cho han che cua nó trên Hˇ là
Gˇ
Hˇ chsnh hình và là đong nhat trên WR.
M¾nh đe 3.1. Gia su cú mđt phộp nhỳng chap nhắn ac η : LH → LG. Ta có the
gan vái b® ba (G, H, ) mđt ắc trng G,H cua T vỏi tớnh chat sau.
Cho f l mđt gia hắ so đoi vái chuői rài rac trên G, khi đó ton tai m®t hàm f H là
tő hap tuyen tính cua các gia h¾ so đoi vái chuői rài rac trên H sao cho γ = j(γH )
chính quy trong T và
SOγ H (f

H

κ
) = ∆HG (γH , γ)O
(f )
γ


vái ∆GH (γH , γ) là thùa so chuyen cho bái công thúc
∆G (γH, γ) = (−1)q(G)+q(H)χG,H ∆B
H
(γ−1).∆B

H

(γ−1)−1.
H

Phép bien đői f ›→ f H cna gia h¾ so có the đưoc mo r®ng cho tat ca các hàm
trong Cc∞ (G); đe làm đieu này ngưịi ta phai mo r®ng tương úng γ ›→ γH (GQI là
chuan hóa), đoi vói tat ca các phan tu nua đơn chính quy và xác đ%nh các thùa so
chuyen đoi vói xuyen.
Đ%nh lý 3.1. Gia su cú mđt phộp nhỳng chap nhắn ac : LH → LG. Ta có the
xác đ%nh thùa so chuyen ∆G H(γH , γ) sao cho vái bat kì f ∈ Cc∞ (G) ton tai m®t hàm
f

H

vái

∈ Cc∞ (H)

SO
γ

H

(f

H

κ

) = ∆HG (γH , γ)O
(f )
γ

khi γH là dang chuan cua γ chính quy nua đơn và
SOγ H(f

H

)=0

khi γH khơng là dang chuan.
Khi κ = 1 thì nhóm con n®i soi cna G là chính nó túc là H = SL(2, R) và κ-tích
phân quy đao chính là tích phân quy đao őn đ%nh. Đây là trưòng hop tam
thưòng. Sau đây ta se chúng minh cu the đ%nh lý này đoi vói SL(2, R) khi κ =
−1 (nhóm con n®i soi cna G là H = SO(2, R)) thơng qua vi¾c su dung dáng
đi¾u ti¾m c¾n cna tích phân quy đao. Gia su f là hàm trơn có giá compact
trên G, khi đó tích phân
quy đao cna f trên quy đao cna γ ∈ G là
f (x−1 γx)dx˙ ,

Oγ (f ) = ∫
Gγ\G

Chú ý rang tích phân này phu thu®c vào sn lna cHQN đ® đo Haar trên G và Gγ .
Gia su thêm rang f là hàm K-tâm túc là f (xk) = f (kx), vói MQI k ∈ K và
x ∈ G Chúng ta se nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n cna Oγ (f ) trong hai trưịng
hop:
Trưàng hap γ có dang đưàng chéo khi γ → 1.

γ=.

a

0

Σ vói ab = 1.

Vói moi x ∈ G ta có phân tích Iwasawa
cna x là x = ank, trong đó
0
Σ
.
.a =

y
0

y−1

0

;n=

1
t

+

Σ ; k = r(θ) vói y ∈ R , t ∈ R, θ ∈ [0, 2π).

Khi đó x−1γx = (ank)−1γ(ank) = k−1n−1a−1γ ank. Vì f là hàm K-tâm nên

0 1


f (k−1n−1a−1γ ank) = f (n−1a−1γ an).


M¾t khác a, γ đeu là các ma tr¾n dang đưịng chéo nên chúng giao hốn, túc là
n−1a−1γ an = n−1γa−1 an = n−1γ n.

Do đó đoi vói cách cHQN đ® đo Haar chuan, ta có
∫
f (n−1γn)dn.

Oγ (f ) =
N

Hơn
nua,

Σ.

1
n γn = .
01

a0

−1

Σ.

1 −t

Σ

.

a (b − a)t

=

Σ
.

t
0

0

∫

Oγ (f ) =

Vì
v¾y

.

R

f

0

a (b − a)t
0

Σ
dt.

Đ¾t ∆(γ) = |a − b| thì hàm
h(γ) = ∆(γ)Oγ (f ) = |a −
b|

.

∫
f

a (b − a)t
0

Σ
dt

R

thác trien tói m®t hàm trơn trên A (nhóm các ma tr¾n có dang đưịng chéo).

Trưàng hap γ = r(θ) khi θ → 0.

Vói x ∈ G, ta xét phân tích Cartan cna x là x = k1ak2, trong đó
k1 = r(α); a = .

y

0
−10

+

Σ ; k2 = r(β) vói y ∈ R , α, β ∈ [0, 2π).

x−1 γx = (k1 ak2 )−1 γ(k1 ak2 ) = k2−1 a−1 k1−1 γ k1 ak2 .

Khi đó

Vì f là hàm K-tâm nên
f (k2−1 a−1 k1−1 γ k1 ak2 ) = f (a−1 k1−1 γ k1 a).

M¾t khác k1−1 γ k1 = r(α)−1 r(θ)r(α) = r(−α + θ + α) = r(θ), nên
f (a−1 k1−1 γ k1 a) = f (a−1 γ a).

Hơn nua,
.−
y
1
a

γa =

.

0Σ
−1
.

0

y

Σ

cosθ sin .
θ
−
Σ sin θ
.

cosθ

Σ y .0
0 y−1

=
y−1
cosθ
y−1 sin θ

−y sin
θ


=

y
cosθ
cosθ y−2 sin θ
−y2 sin θ cosθ

y

Σ
.

0

Σ
0 y−1

Or(θ) (f ) = c.F (sinθ),

Do đó

vói hang so c phu thu®c vào viắc chQn đ.o Haar v
dt
a() t
|.

1


trong ú a() = 1 − λ2.
Ta có
∫ ∞ .
1

a(λ)

tλ

.=

∫
∞

)(t2 − 1)Σ
t

Σ

1

.1dt −
∞

1

.=

∫
∞

∫

dt

−1

a(λ) tλ
−t−1λ a(λ)

1

f

f

=

∫

1

∫

.

∞

f

=
1

tλ

a(λ)

tλ

∞

.

f
1

∫

a(λ) tλ
−t−1λ a(λ) dt +

Σ

(t−1)−1λ
−t−1λ

a(λ)

0

.
Σ a(λ)
−tλ

f

a(λ) tλ dt
−t−1λ a(λ) +

c
a

Do
đó

−a

0 1
a −c

∫∞

Σ

d(t−1)

t−1λ
a(λ) dt

∫

1

1

(−1)f
0

dt.

a(λ)

.
−1
Σt λ

a(λ)

Chú
. ý rang f là hàm K-tâm nên vói a,b,c bat kì, ta có
a Σ = f ..
Σ.
ΣΣ = f ..
Σ.
b

dt
t2

−t−1λ a(λ)

a(λ)

−tλ

f
b

( 1)

Σ d(t−1)

Σ

f

=

f

a(λ)
−t−1λ
a(λ)

∫

a(λ) tλ
−t−1λ a(λ) dt−

∞

t2

.Σ −

∞

=

1∞ −
.dt

Σ

.

−t−1λ a(λ)

dt

∫

a(λ) tλ
−t−1λ a(λ)

.

∞

1

Σ

∫

1

Σ|t − t ∫ |

tλ

f

,
t

−t λ
a(λ)

1

a(λ)
f −1
−t λ a(λ)

F (λ) =

f

|t −
t−1

F (λ) =

0
−1 0

.

1

b −a

ΣΣ = f .

a

Σ.

−c
−1 0
a

a(λ)

tλ

−c


Σ

−b
F (λ) =
1)f

a

ε(t −

−t−1λ a(λ)

dt, vói ε(x) = sign(x).

0

Đe nghiên cúu ti¾m c¾n cna nó khi λ → 0 ta xét
.
0
∞
∫
A(λ) =

a(λ) tλ
0 a(λ)
Σ dt.

ε(t −
1)f

Theo công thúc Taylor-Lagrange, ta có
F (λ) = A(λ) + λB(λ),

.

∞
∫

trong đó

ε(t −
1)g

B(λ)
=
0

a(λ)
−t−1λ
a(λ)

tλ

Σ dt
,
t