Luận văn thạc sĩ phân phối ổn định và một số ứng dụng trong thống kê

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------

LÃ THỊ LƯƠNG

PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG THỐNG KÊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------

LÃ THỊ LƯƠNG

PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG THỐNG KÊ
Chuyên ngành: Xác suất thống kê
Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn: PGS. TS Hồ Đăng Phúc

Hà Nội - 2012

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Lời mở đầu

4

1

Một số kiến thức cơ sở về phân phối ổn định

7

1.1

Định lý giới hạn trung tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Định lý giới hạn trung tâm cổ điển . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

Định lý giới hạn trung tâm suy rộng . . . . . . . . . . . .

9

1.2

Phân phối ổn định.................................................................................... 15
1.2.1

Định nghĩa.................................................................................. 15

1.2.2

Hàm đặc trưng của phân phối ổn định........................................ 17

1.3

Các cách tham số hóa khác đối với phân phối ổn định........................... 22

1.4

Ý nghĩa các tham số của phân phối ổn định............................................ 23

1.5

Mômen của phân phối ổn định và các tính chất...................................... 25

1.6

Phép biến đổi tuyến tính của các biến ngẫu nhiên ổn định.....................26

1.7

Hàm mật độ xác suất và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên ổn định 27
1.7.1

Các phân phối ổn định đặc biệt.................................................. 27

1.7.2

Các tính chất giải tích của phân phối ổn định............................ 28

1.7.3

Khai triển dạng chuỗi của hàm mật độ ổn định..........................29

1.7.4

Vấn đề tính số............................................................................. 32

3


1.7.5
2

3

4

Mô phỏng................................................................................... 33

Ước lượng các tham số của phân phối ổn định

34

2.1

Phương pháp phân vị............................................................................... 34

2.2

Phương pháp dựa trên hàm đặc trưng...................................................... 36

2.3

Phương pháp hợp lý cực đại.................................................................... 38

2.4

Kiểm định đánh giá dáng điệu đuôi của phân phối ổn định....................40

Mô hình thống kê đối với phân phối ổn định

42

3.1

Mơ hình tuyến tính với nhiễu ổn định..................................................... 42

3.2

Mơ hình hồi quy đối với các sai số α − ổn định không chuẩn................43

3.3

Mơ hình ARMA...................................................................................... 46

Áp dụng mơ hình ARMA với sai số phân phối ổn định

48

4.1

Công ty cổ phần Xuyên Thái Bình và cổ phiếu PAN.............................. 48

4.2

Mơ hình ARMA đối với mã cổ phiếu PAN.............................................. 50

4.3

Ước lượng các tham số phân phối ổn định của phần dư.........................56

4.4

Kiểm định tính phù hợp với phân phối ổn định của sai số......................57
4.4.1

Sử dụng kiểm định Kolmogorov-Smirnov.................................. 57

4.4.2

Sử dụng kiểm định Khi bình phương......................................... 58

Kết luận

59

Tài liệu tham khảo

61

4


Lời mở đầu
Trong các phương pháp phân tích thống kê cổ điển, giả thiết phân phối chuẩn
(Gauss) của các tác động ngẫu nhiên thường được sử dụng để xây dựng các cơng
cụ ước lượng, kiểm định và các mơ hình nói chung. Tuy nhiên, khi áp dụng giả
thiết phân phối chuẩn đó sẽ khơng thấy sự xuất hiện của biến cố phá sản trong các
mơ hình kinh tế thơng thường. Nhìn vào dữ liệu của giá tài sản, ta thấy số lượng và
kích thước của các thua lỗ hoặc lợi nhuận có biên độ giao động lớn hơn rất nhiều
so với các dự đốn theo mơ hình xây dựng theo giả thiết phân phối chuẩn.
Xem xét các dữ liệu liên quan đến diễn biến của các chỉ số lợi nhuận, nếu áp
dụng các tính tốn dựa trên giả thiết phân phối chuẩn, ta có thể kì vọng một thua
lỗ lớn hơn bốn lần độ lệch chuẩn (4σ) chỉ xuất hiện một lần trong 126 năm. Mặc
dầu vậy, chỉ trong 21 năm, thua lỗ lớn hơn 4 sigma trên chỉ số tổng lợi nhuận
của FTSE100 đã được ghi nhận ở 11 trường hợp của các ngày 22/10/1987 (58%),
30/11/1987 (4.4%), 11/9/2001 (5.9%), 15/7/2002 (5.6%), 19/7/2002 (4.7%), 22/7

/2002 (5.1%), 1/8/2002 (4.9%), 30/9/2002 (4.9%), 12/ 3/2003 (4.6%) và 21/1/2008
(5.6%). Chúng ta phải kết luận rằng có vấn đề liên quan đến sự phù hợp của phân
phối chuẩn đối với lợi nhuận của FTSE100.
Vấn đề đó cũng có thể thấy khi vào năm 2008 Lehman Brothers đưa ra danh
sách các ngân hàng bảo hộ phá sản với số tiền nợ 613 tỷ dolar, vượt quá 150 tỷ
dolar trái phiếu nợ; Merill Lych đồng ý bán tài sản của mình cho ngân hàng của
Mỹ với giá 50 tỷ dolar, chỉ bằng 1/3 giá trị của nó trong 52 tuần cao nhất; cổ phiếu


của AIG rơi từ 52 tuần cao nhất của 70.13 dolar vào 9/10/2007 đến mức thấp nhất
1.25 dolar vào 16/9/2008 khi Quỹ Dự trữ Liên bang Mỹ công bố một khoản vay 85
tỷ dolar, theo điều khoản và điều kiện được thiết kế để bảo vệ lợi ích của chính phủ
Mỹ và người nộp thuế.
Chính độ lớn của các giá trị cực biên như trên sẽ dẫn đến sự xuất hiện của biến
cố phá sản. Một hệ thống đo lường rủi ro tốt có thể đưa ra một ước lượng hợp lý
của xác suất xảy ra của các sự kiện cực biên khơng biết trước. Các thí dụ trên đây
cho thấy ước lượng của xác suất xảy ra sự kiện cực biên đưa ra bởi phân phối
chuẩn là sai lầm. Từ đó ta thấy sử dụng giả thiết phân phối chuẩn có thể dẫn đến rất
nhiều kết luận sai về việc suất hiện các giá trị cực biên trong tài chính. Bằng chứng
trên đây khiến người ta phải kết luận rằng không nên sử dụng phân phối chuẩn
trong đánh giá rủi ro. Điều này đặt ra một câu hỏi về hiệu lực của giả thiết phân
phối chuẩn và đòi hỏi tìm kiếm một giả thiết thay thế.
Một cách giải quyết do nhiều tác giả đề xuất trong thời gian gần đây và được
trình bày một phần trong luận văn là thay thế phân phối chuẩn bằng phân phối ổn
định. Mục đích của luận văn này là thử nghiệm sử dụng phân phối α ổn định trong
phân tích dữ liệu chuỗi thời gian tài chính bằng mơ hình tự hồi quy trung bình
trượt (ARMA).
Ngồi phần Mở đầu, Luận văn gồm 4 chương và phần Kết luận. Chương 1
trình bày một số kiến thức cơ sở của phân phối ồn định. Chương này nêu cụ thể các
định nghĩa, các tính chất của phân phối ổn định, hàm đặc trưng của phân phối ổn

định, các cách tham số hóa đối với phân phối ổn định, các phân phối ổn định đặc
biệt, khai triển dạng chuỗi của hàm mật độ ổn định.
Chương 2 giới thiệu một số phương pháp ước lượng các tham số của phân phối
ổn định như phương pháp phân vị được đưa ra bởi McCulloch (1986); phương
pháp hàm đặc trưng của Press (1972), Paulson, Holcomb và Leitch (1975); phương
pháp ước lượng hợp lý cực đại do DuMouchel (1975), John Nolan(2002), Mittnik,
Rachev, Doganoglu và Chenyao (1999) đề xuất.
Chương 3 giới thiệu một số mơ hình thống kê đối với phân phối ổn định như


mơ hình tuyến tính với nhiễu ổn định, mơ hình hồi quy đối với các sai số α- ổn
định không chuẩn, mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA.
Chương 4 trình bày việc thử nghiệm áp dụng mơ hình tự hồi quy trung bình
trượt ARMA với sai số phân phối ổn định cho số liệu chuỗi thời gian của mã
chứng khốn PAN của Cơng ty cổ phần Xun Thái Bình. Chương này lần lượt đưa
ra các nội dung phân tích thống kê để xây dựng mơ hình ARMA cho số liệu của
mã chứng khoán PAN, ước lượng các tham số phân phối ổn định cho sai số của mơ
hình đó bằng ba phương pháp đã trình bày ở Chương 2 và kiểm định tính phù hợp
với phân phối ổn định của sai số. Trong chương này, việc ước lượng các tham số
cho phân phối ổn định của sai số được thực hiện với sự hỗ trợ của phần mềm
stable.exe, việc đưa ra kết luận về sự phù hợp của số liệu với phân phối chuẩn hay
phân phối ổn định được tiến hành dựa trên phương pháp kiểm định Phương pháp
Kolmogorov- Smirnov và phương pháp Khi-bình phương có sử dụng phần mềm
thống kê R.
Phần Kết luận tổng kết lại những kết quả cơ bản của Luận văn và đưa ra một số
ý kiến về khả năng ứng dụng của phân phối ổn định cùng hướng nghiên cứu tiếp
của vấn đề này.
Mặc dù đã rất cố gắng trình bày vấn đề một cách mạch lạc và cô đọng nhưng
chắc chắn luận văn khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả mong
nhận được sự nhận xét, đánh giá và góp ý của q thầy cơ và các bạn để luận văn

được hoàn thiện.


Chương 1

Một số kiến thức cơ sở về phân
phối ổn định
1.1

Định lý giới hạn trung tâm

Định lý giới hạn trung tâm là một trong những nền tảng của suy luận thống kê.
Dạng cơ bản của định lý này, do Lindeberg và Lévy đưa ra, nói rằng cho trước một
dãy n biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với phương sai hữu hạn, tổng của
chúng hội tụ đến một phân phối chuẩn khi n tăng đến ∞. Quy luật này rất quan
trọng trong suy luận thống kê bởi hai lý do sau:
• Hầu hết các thống kê mẫu được xây dựng bằng cách thêm dần các biến ngẫu
nhiên độc lập cùng phân phối tương ứng với các cá thể mới được đưa thêm
vào mẫu;
• Một số hiện tượng được quan tâm trong thống kê có thể được coi là tổng
hợp đóng góp của nhiều thành phần nhỏ.


Do vậy, phân phối chuẩn được dùng khá phổ biến trong cả suy luận thống kê
và trong mơ hình hóa thống kê. Ví dụ, chúng ta đưa ra giả thiết nhiễu trong hồi
quy và các mơ hình chuỗi thời gian là kết quả của một số lớn các hiệu ứng nhỏ với
phương sai hữu hạn, dẫn tới phân phối của chúng là chuẩn. Từ đó các ước lượng
thực nghiệm thường được coi là có phân phối gần giống phân phối chuẩn. Tính
chất lý thuyết của phân phối chuẩn như một luật giới hạn phù hợp với bằng chứng
thực nghiệm. Hai khía cạnh trên đây hỗ trợ và khuyến khích sử dụng rộng rãi phân

phối chuẩn trong các suy luận thống kê.

1.1.1

Định lý giới hạn trung tâm cổ điển

Phần dưới đây trình bày và chứng minh định lý giới hạn trung tâm cổ điển, đây
là một kết quả nổi tiếng nên nhắc lại để so sánh với một vài kết quả sẽ được trình
bày trong phần tiếp theo.
ndãyµcác
phân
{X(Lindeberg-Lévy).
trung
sai nhiên
σ 2 < ∞.
đại
i}, i = 1, ..., n, với
Định
lý 1.1
Cho
một
biến ngẫu
độcKhi
lậpđócùng
1 bình
Xi −và
µ phương
lượngphối
Sn = √ ∑
(1.1)

n i=1 σ

hội tụ theo phân phối tới luật chuẩn tắc N (0, 1).
Chứng minh. Trước hết ký hiệu Zi là biến chuẩn hóa của Xi, có trung bình 0 và
phương sai 1, Zi =

Xi−µ

σ

. Các Zi được xác định, và chúng có cùng hàm đặc trưng

φZ (t). Khi đó hàm đặc trưng của Sn được cho bởi
n

φSn (t) =
∏e

.

itZin−1/2

=
i=1

t

ΣΣn

√

n

ΣφZ

Khai triển chuỗi McLaurin hàm đặc trưng của Zi dẫn tới
. t
φ

Σ

Z

i


t

√
n

2t

2E

2n

≈ 1 + i √ E (Zi)
n

+i

.

Σ
Z2 .


Bởi vậy hàm đặc trưng của tổng Sn là

n

t2 Σ

Σ
1−

Vì lim

.

1+

a

Σn

= ea

φSn (t) ≈

.

2n
n
→
∞

2
t

lim φSn (t) = e− 2

n→∞

n

Đây là hàm đặc trưng của phân phối chuẩn
N (0, 1).
Định lý Lindeberg-Lévy là một
trong rất nhiều các phiên bản của định
lý giới hạn trung tâm, được trình bày
trong luận văn này như một bước đệm
để xây dựng định lý giới hạn trung tâm
tổng quát, sẽ được nghiên cứu trong
phần tiếp theo.

1.1.2

Định lý giới hạn trung
tâm suy rộng

Trong định lý giới hạn trung tâm cổ
điển trên đây, các biến ngẫu nhiên Xi
được giả thiết là có phương sai hữu
hạn. Khi phương sai của các thành phần
đó bằng vơ cùng, thì chúng ta phải giải
quyết như thế nào? Câu hỏi đó sẽ được
trả lời trong phần tiếp theo. Định lý giới
hạn trung tâm suy rộng, nới lỏng giả
thiết về tính hữu hạn của phương sai,
xác định một họ phân phối mới, mà
phân phối chuẩn là một trường hợp đặc


biệt, chắc chắn phù hợp hơn với điều
kiện thực tế.
Trước tiên ta đưa ra khái niệm về
tính ổn định của phân phối xác suất
như sau:
F(x)
gọi
là cổn
nếuổn
với
bất
kỳ
số dương
, cđịnh
và1954).
các

số
thực
11.1
2 (Tính
dphân
d2 được
Định
nghĩa
đinh,
1, các
Gnedenko
và
Komogrov
Hàm
phối
đều
tồn
tại
các
số
c
>
0
và d sao cho
F (c1x + d1) F

(c2x + d2) = F

(cx + d)

(1.2)
Cơ sở xuất phát để xây dựng định
lý giới hạn trung tâm suy rộng được
dựa trên
khẳng định: Phân phối ổn định là luật
giới hạn cho tổng chuẩn hóa
n X1+X2+ · · · +Xn
S =
n
−D .
Cn


Kết quả này do Lévy (1924) đưa ra và được phát biểu chính thức trong định lý
sau đây:
Định
lý 1.2
F(x) là ổn định khi và chỉ khi nó là phân phối
giới hạn
của(Lévy). Hàm phân phối
X1+X2+ · · · +Xn
Sn= nhiên độc lập cùng phân
−Dn.phối nào đó.
(1.3)
với một dãy {Xi} các biến ngẫu
Cn
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh điều kiện cần của Định lý, cịn điều kiện đủ có thể
tham khảo trong [Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables
Gnedenko, B. & Kolmogorov, A. (1954), Addison-Wesley, Reading (trang163)].
Giả sử Sn hội tụ đến một phân phối giới hạn xác định F (x). Ta sẽ chỉ ra F (x) là ổn

định. Theo bổ đề được trình bày trong [Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables Gnedenko, B. & Kolmogorov, A. (1954), Addison-Wesley,
Reading (trang146)], nếu X có phân phối khơng suy biến, thì đại lượng vô hướng
Cn phải thỏa mãn
lim Cn = ∞
Cn+1
lim
=1
n→∞ Cn
n→∞

Lấy hai số dương c1, c2 sao cho c1 < c2. Với mọi ε, l ≥ lε , chọn một số m sao cho
Cm c 2
0≤
− <ε
C1
c1
C1D1+CmDm+d1C1+d2Cm
Cho hai số thực d1, d2, đặt Cn = C1 cvà
. Khi đó, tổng
C
1 Dn =
(1.3) được viết lại thành
n
Σ
Σ
Σ
Σ
C1 X1 + ... + Xn
1
1

Cm Xl+1 + ... + Xl+m
m
2
−D −δ +
−D −δ .
Vì Sn hội
nên hai số hạng trên
C tụ đến FC(x),
C hội tụ (Định
Cm lý 2, trang 42, Limit Distri1
butions for Sums of Independent Random Variables Gnedenko, B. & Kolmogorov,
n

n

.
A. (1954), Addison-Wesley, Reading ), tương ứng đến F

−

c

1

1

Σ

x + d1 và

.
−1
F c2là
x+
cách khác, vì phân phối giới hạn của tổng chuẩn hóa
(1.3)
F
(x),d2do. Nói
đó Fmột
(x) = F c−1 1 x + d1 .F c−2 1 x + d2
Σ
.
Σ .
Bởi vậy (1.2) được thỏa mãn và F (x) là ổn định.
Σ
Theo định lý trên, nếu phân phối giới hạn của (1.3) tồn tại, thì nó phải là ổn
định. Tuy nhiên, định lý đó khơng cung cấp thơng tin về điều kiện cho sự tồn tại
như vậy, trừ trường hợp các Xi có phương sai hữu hạn, phân phối chuẩn tắc là phân
phối giới hạn duy nhất.
Kết quả trình bày tiếp sau đây sẽ hoàn thiện phiên bản suy rộng của Định lý
giới hạn trung tâm. Trước tiên ta giới thiệu khái niệm về miền hút.
Định nghĩa 1.2 (Miền hút). Nếu tổng chuẩn hóa (1.3), với các số thực Cn và Dn
được lựa chọn phù hợp, hội tụ dến phân phối giới hạn S, thì Xi (hoặc phân phối của
nó) được gọi là bị hút bởi S; miền hút của S là tập hợp tất cả các phân phối được
hút bởi S.
Từ định nghĩa trên và từ Định lý giới hạn trung tâm cổ điển, rõ ràng rằng mọi
phân phối với phương sai hữu hạn đều được hút bởi luật chuẩn. Định lý sau đây
cho thấy khi thay thế điều kiện phương sai hữu hạn bằng một điều kiện nhẹ hơn về
dáng điệu của phân phối ỏ phần đi, tổng chuẩn hóa (1.3) sẽ có một phân phối

giới hạn, và theo kết quả của định lý đã nêu phía trên, phân phối giới hạn đó phải
là ổn định.
Định nghĩa 1.3 (Hàm biến đổi chậm). Hàm không âm l (x) được gọi là một hàm
biến đổi chậm ở vô cực, nếu ∀x > 0
t→∞ l

lim
.

(tx)

=1

l (t)
Định lý sau chỉ ra mỗi liên hệ giữa miền hút và tính biến đổi chậm của hàm

phân phối:


Định lý 1.3. Ký hiệu u (x) =

−x∫
x

t 2 dF (t). Lúc đó hàm phân phối F (x) thuộc miền
hút của một phân phối ổn định nếu và chỉ nếu
1. lim u(x) = x2−α l (x),
x→∞
1 − F( x)

2. lim

= p và lim
= q,

F(−x)

x→∞ 1−F (x)+F(−x)

x→∞ 1−F (x)+F(−x)

với
0phân
<
≤ 2 ổn
(được
gọil là
mũbiến
đặc đổi
trưng
của
định),
là số
hàm
chậm
và p,
q ∈αphối
R.
Có thể chứng minh giả thiết 1 tương đương
với

x2

lim
[1 −

(
1
.
4
)

2 <

=
− α ∞.

F (x)
+F
(−x)]
x→∞

u (x)
α
Điều này về cơ bản có nghĩa định lý trên đúng
đối với phân phối có đi nặng biến đổi chính
qui. Giả thiết 2 và 3 là tương tự như giả thiết 1,
để cập riêng cho dáng
2

điệu của đuôi trái và đuôi phải. Khi X đối xứng, ta

có ngay p = q = 1 .
Chứng minh. Ta chỉ chứng minh điều kiện cần
của Định lý, điều kiện đủ có thể
tham

khảo

trong

[Feller,W.

(1966), An

Introduction to Probability Theory and its
Applications, John Wiley & Sons, New York,
trang 304]. Ta sử dụng các định lý trong
[Feller,W.

(1966),

An

Introduction

to

Probability Theory and its Applica- tions, John


Wiley & Sons, New York,

x→
∞

trang 301], liên quan đến
sự hội tụ của tổng chuẩn
hóa (1.3). Sử dụng ký hiệu
đại lượng vơ cùng bé, có
thể viết lại các điều kiện
của Định lý thành
a) v2 (x)

Σ−+
x

tdF (t)

∫x

Σ2

= o [u

n Ω dt ,
b) lim nt2dF {(t) }=

với Ω là một độ đo nói
chung,
n→∞

c) n[
1−
F
(η
)+
F
(−
η
)]
<
ε,
cho
m
ọi
n∈
N
vớ
iη
đủ
lớ
n.
C
hún
gt
ab
ắt
đầu
bằn
gđ
iều

kiệ
na
.
Nếu đồng thời lim v (x)
hữu hạn và lim u (x)
bằng ∞, khi đó điều kiện
(a) được
t

ỏa mãn.


để
đưa
trái
biểuhữuthức
đó hằng
lim sốvquy
(x)tâm=thích
0.
Nếu
cả haivếgiới
hạn của
trên đều
hạn, tavề
chỉ 0,
cần do
tìm một
hợpNếu
x→∞

cả hai giới hạn trên đều khơng tồn
tại, thì điều kiện 1 được đảm bảo nếu
u (x) tiến ra vô cùng nhanh hơn v2 (x). Theo bất đẳng thức Schwarz ta có:
[v (x) − v (a)]2 ≤ u (x)[1 − F (a) + F (−a)]
với x > a. Do đó điều kiện là được thỏa mãn với
lim u (x) = ∞.
x→∞

Điều kiện c là dễ dàng suy ra từ (1.4). Như vậy chỉ còn kiểm tra điều kiện b, theo
giả thiết 1 có thể chọn Cn sao cho
lim n u (Cn) = 1,
2

n→∞ Cn
n

n2

lim C u
n→∞

(Cnx) = x2−α .

Nếu α =
thỏa
nếu
lấy độ 2−α
đo Ω tập trung tại gốc tọa độ.
< 2, điều kiện b được
và c tương

đương
với
lim nmãn
u+ (C
nx) = px
2

n→∞ Cn

lim u− (Cnx) = qx2−α
n

2

n→∞ Cn

ký hiệu
+x
∫

u+ (x) =

0

∫0

t2dF (t); u− (x) =

−x

t2dF (t).

Và lập luận tương tự như phần trên, ta có kết quả riêng cho u+ (x) và u− (x).
Như vậy chúng đã chứng minh tổng chuẩn hóa hội tụ tới một giới hạn. Theo định
lý (1.2), phân phối giới hạn phải là ổn định. Chứng minh đã được hồn thành.
Ghi
chúvà1.1.
giới hạn (1.4) bằng 0, ta có α = 2, tương ứng với phân phối
Gauss,
điềuKhi
kiện
x2 [1 − F (x) + F
= 0.
lim
(−x)]
x→∞

u (x)


Có thể được dùng như một sự nới lỏng giả định phương sai hữu hạn trong định lý
giới hạn trung tâm cổ điển.
Ví dụ 1.1. Ta đưa ra ví dụ minh họa, về một phân phối không thỏa mãn các định
lý giới hạn trung tâm cổ điển nhưng thỏa mãn các điều kiện miền hút của luật ổn
định. Đó là phân phối Cauchy được định nghĩa là
1 1
F (x) = 2 − π arctan(x),

1
f (x) = π (1 +

hơn).
Lưu
rằng phân phối này là
do
đó F (−x)
= 1 −cóFmơmen
(x) và áp
với
∈
R. ýPhân
cóđối
kỳ xứng,
vọng 2x
(và
nó khơng
cấpdụng
cao
2 do−đó
(1.4)x ta
thu
đượcphối này khơng
[1 1 1 arctan(x)
]
2x2[1−F (x)] =
+x
x
2 
x→∞
x→∞ π t−arctan(t)]

lim
lim
−x
∫
+
1

t

dt

2

π

2
−x2 1+t
x2 π
π 2
2

[

= lim

x→∞

= lim
x→∞

[
−arctan(x)]

[x−arctan(x)]
x[π π −arctan(x)]
1

2

=1

−

arctan(x)
x

bởi vì cả tử số và mẫu số đều tiến tới 1. Do đó tổng của các biến ngẫu nhiên
Cauchy được thu hút bởi một phân phối ổn định với đặc số mũ là 1 (là một phân
phối Cauchy).
Hệ quả sau của đinh lý (1.3), Gnedenko và Kolmogorov (1954) đã đưa ra kết
quả sau, mơ tả các đăc tính cần thiết của các hằng số chuẩn hóa Cn và Dn trong
(1.3).
Hệ quả 1.1. Các đại lượng vô hướng Cn và Dn của (1.3) phải có dạng:
√α
n
Cn =
+∞
 
∫
n

√
nếu 1 < α ≤ 2
n
(x)

xdF
Dn 
=
nếu α =
ℑ lnφ n−
α
Σ −∞ . 1 ΣΣ


0 nếu α < 1

(1.5)


1.2

Phân phối ổn định

Kết quả phần trước chỉ ra tầm quan trọng của phối ổn định: Mặc dù miền hút
của của luật chuẩn là khá rộng và bao gồm tất cả các phân phối với phương sai hữu
hạn, khi xử lý các hiện tượng với phương sai vô hạn cũng có thể tồn tại một phân
phối giới hạn, miễn là các giả thiết của Định lý (1.3) được thỏa mãn, và giới hạn
này thuộc loại phân phối ổn định. Phần tiếp theo tiến hành mơ tả các thuộc tính
chính và đặc điểm chính của phân phối ổn định.

1.2.1

Định nghĩa

Mặc dù những tính ổn định đã được xác định trong (1.3), ta sẽ cung cấp thêm
một vài định nghĩa tương đương có tính minh họa nhiều hơn, theo phương pháp
tiếp cận của Samorodnitsky và Taqqu (1994).
Định nghĩa 1.4 (Tính chia được vô hạn). Một biến ngẫu nhiên X được gọi là chia
được vô hạn nếu và chỉ nếu mọi n ∈ N, nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổng
của n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối, nghĩa là

X = Xn,1 + Xn,2 + ... + Xn,n.
(1.6)
Từ định nghĩa trên, điều kiện đủ của chia được vô hạn là hàm đặc trưng của X
được viết bằng lũy thừa bậc n của một số hàm đặc trưng khác phụ thuộc vào n. Ví
dụ: phân phối chuẩn, Poisson, Cauchy tất cả đều có tính chia được vơ hạn.
Ví dụ 1.2. Tất cả các phân phối chuẩn là chia được vơ hạn.
. 2
2
µσ
σ, có
Nếu
xét
một
biến
ngẫu
nhiên
X
∼
N

µ,
thể
viết phân
dướicho
dạng
tổng
của
µ/ n,
σX2/hai
biến
ngẫu
nhiên
X
và
X
với
phân
phối
N
/2, nhiên
/&
kỳ
có
2 . Kolmogorov,
thể thể
được
viết dưới
biến ngẫu
XTổng
phối

N
Có
chứng
minh1 dạng
được2tổng
rằng của
(xemn Gnedenko,
B.
A.bất
(1954),
i với quát
n, Limit
n .
.
Σ
Distributions for Sums of Independent Random
Variables, Addison-Wesley, Read.
Σ
Σ


ing.) hàm đặc trưng của luật chia được vô hạn phải có dạng
Σ

i
t
u
1 + u2
+
Σ

∫

e−itu − 1
iδ t
φ (t) =
1+
dG
+
u2






,

(1.7)

exp
u2
(u)
−∞
với δ là một hằng số thực và G (u) là một hàm khơng giảm có biến phân bị chặn.
−t2/2. Sau đây là một định
Khi u tương
= 0, hàm
dưới
tích
phân

được
nghĩa
nghĩa
đương
vớidấu
tính
chia
được
vơ định
hạn, đơi
khilàđược
gọi là công thức Lévy.
Đặt

u

2
∫ 1 + vv2

M (u) =
−∞
+
∫
∞

N (u) =

dG
1 + vv2 2 (v)
dG

< 0;

> 0;
∀u

u

(v)

∀u
δ =G
Khi đó (1.7) được viết lại thành

.

2

.
φ (t) =
exp

δ

iδ t −

0

+

Σ

. Σ
− G 0− .

2

iut

∫0

2

Σ
t +−∞
2

e−iut − 1

∫ Σ
+

+

0

eiut − 1 −

Σ

1+
dM (u)+
2
u
Σ

i ut

1+
u2

dN (u)


(1.8)


Tiếp đây là định nghĩa trực quan hơn của phân phối ổn định.
Định nghĩa 1.5 (Tính ổn định, Samorodnitsky và Taqqu 1994). Một biến ngẫu
nhiên X được gọi là có phân phối ổn định nếu và chỉ nếu cho các số dương bất kỳ
c1, c2, tồn tại một số dương c và một số thực d sao cho
cX + d = c1X1 + c2X2,

(1.9)

với
chặt.X1 và X2 độc lập và có cùng phân phối với X . Nếu d = 0, X được gọi là ổn định


Chú ý định nghĩa trên là tương đương với (1.3) đã sử dụng trong phần trước.

Một định nghĩa khác tương đương và trực quan hơn, được bắt nguồn từ (1.9).
Định nghĩa 1.6 (Ổn định). Một biến ngầu nhiên X được gọi là có phân phối ổn
định nếu và chỉ nếu cho một số tự nhiên bất kỳ n ≥ 2, tồn tại nột số dương Cn và
Dn sao cho

n
X1 + X2C+
... + Xn
X=
− Dn

(1.10)

Xi là bản sao độc lập của X . Nếu Dn = 0, X được gọi là ổn định chặt.
Như vậy, một biến ngẫu nhiên là ổn định nếu nó có thể được chia nhỏ ra thành
một loạt các biến ngầu nhiên giống hệt nhau thông qua các hằng số chuẩn hóa.
Từ định nghĩa (1.10), phân phối ổn định đại diện cho trường hợp đặc biệt chia
được vô hạn. Trái với (1.6), những số hạng Xi trong (1.10) có phân phối giống X
sau khi điều chỉnh tỉ lệ theo hằng số Cn.
.
2
Ví dụ√của
1.3. nPhân
chuẩn
ổn định.
vậy
xét N
biếnnµ,
ngẫu
µ, σ lập

.
Tổng
bản phối
sao độc
lậplàcủa
X cóThật
phân
phối
nσ . VìX ∼
vậyN thiết
X1+X2+...+Xn
.
C
n
và
D
−
D
n =
n = (n − 1) µ, khi đó X =
n.
Σ định
Định nghĩa 1.7 (Ổn định, miền hút). Một biến ngẫu nhiên X được gọi là ổn
nếu nó có một miền hút khác rỗng, tức là nếu có một Σdãy các biến ngẫu nhiên Yi
2
nhiên

C

độc lập, cùng phân phối sao cho

n

∑n Yi
i=1

C

n

d
− Dn −→ X

chọn Cn > 0 và Dn.

1.2.2

Hàm đặc trưng của phân phối ổn định

Cách đơn giản nhất để mô tả phân phối ổn định là đưa ra dạng hàm đặc trưng
của nó.


Định lý 1.4. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên ổn định S1 (α, β , γ, δ1) có dạng

πα
α
 exp , iδ1t − γ α |t| Σ1 − iβ sgn (t) tan
Σ, nếu α
1

2
.
Σ
Σ
Σ nếu α = 1
2
exp iδ1t − γ |
1 + iβ sgn(t) ln|
t|
π
φ1 (t) =
t|
(1.11)

với 0 < α ™ 2, −1 ™ β ™ 1, γ > 0 và δ ∈ R. Ngược lại nếu một biến ngẫu nhiên
có
hàm đặc trưng dạng (1.11) thì biến ngẫu nhiên đó có phân phối ổn định.
Chứng minh. Chú ý định nghĩa ổn định (1.2) có thể hiểu dưới dạng hàm đặc trưng
t
lnφ . Σc = lnφ .

t
t
c1Σ + lnφ . c2 Σ + iβ t,

với β = (d − d1 − d2). Vì phân phối ổn định là chia được vô hạn, nên ta sử dụng
biều thức (1.8) để viết lại biểu thức trên như sau

lnφ

.
tΣ
−
c

2
Σ
σ 2
2c t +

= idct
+∞

iut

∫0
−∞

e−iut − 1

1+
u2

Σ
dM (cu)+

∫

+
. tΣ

0

1 +
2 iut
Σe − 1 − u
ΣdN (cu),
iut

∫0

2
Σ
σ 2
t +
e−iut − 1
lnφ
−∞
= idc1 t 2c1
c−
∫
+∞Σ
Σ
iut
iut

iut
1+
u2

Σ
dM (c1u)+
σ2
2

2


+

−1−

e

dN (c1u) + idc2 t − 2 t
+
2c

1+

u2

0
∫0 Σ

+

iut

eiut − 1

−

1+

Σ
dM (c2u)+

u2

−∞
+∞

∫

+

0

1 +
2 iut
Σe − 1 − u
ΣdN (c2u).
iut

(1.12)


Vì biểu diễn trên có tính duy nhất, nên
Σ1

σ

c2

1
+

c

+

2
1

1

Σ = 0,

(1.13)

c22

M (cu) =M (c1u) + M (c2u)

∀u < 0

(1.14)

N (cu) =N (c1u) + N (c2u)
Từ (1.14) và sử dụng tính chất ổn định, ta có

∀u > 0

(1.15)

N (cu) = N (c1u) + N (c2u) + ... + N (cnu),
với số tự nhiên n bất kỳ. Đặc biệt, nếu c1 = c2 = ... = cn = 1, thì
N (cu) = nN (u),
cmogorov,
phụ thuộc
n, vàLimit
c = c(n).
Theo lậpfor
luân
(trang
Gnedenko,
B. & KolA.vào
(1954),
Distributions
Sums
of 166,
Independent
Random
Variables, Addison-Wesley, Reading.) N thỏa mãn
λ N (u) = N [γ(λ )u] ∀λ > 0,

(1.16)

γ(λ
) là u,

hàm
và′(u)
liên
Trừ
đồng
nhấthàm
bằngliên
0, cịn
lại N(u)
khác
0 ở khắp
mọi
nơi.
Vìtrường
vậy một
từhợp
(1.15)
suylàrahàm
N(u)
có đạo
tục
với
mọi
ký giảm
hiệu
N
làtục.
đạo
hàm
cấp

củaN(u)
N(u),
λ N′(u) = cN′ (cu),
N′(u)
N′(cu)
=cN
(1.17)
thì
ta
nhận
được
N(u)
N(cu)
Trong (1.16), nếu u = 1 và xác định α = − N(1)
′

(1)

Do đó,

N′(c)
−α =

N(c)

N(c) = −k2cα ,

(1.18)