Luận văn thạc sĩ phân tích hàm nguyên và hàm phân hình

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Chu ĐÉc Hi¼p

PHÂN TÍCH HÀM NGUN VÀ HÀM PHÂN HèNH

LUẳN VN THAC S KHOA HOC

H Nđi - 2013


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Chu ĐÉc Hi¼p

PHÂN TÍCH HÀM NGUN VÀ HÀM PHÂN HÌNH

Chun ngành: Tốn giai tích
Mã so: 60.46.01.02

LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Ngưài hưáng dan khoa HQC:
GS. TSKH Hà Huy Khoái


LèI CAM ƠN
Trưóc khi trình bày n®i dung chính cna khóa lu¾n, em xin bày to lịng biet
ơn sâu sac tói GS.TSKH Hà Huy Khối, ngưịi thay đã t¾n tình hưóng dan đe

em có the hồn thành lu¾n văn này.
Em cũng xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the các thay cơ giáo
trong khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQ c Quoc
Gia H Nđi ó day bao em tắn tình trong suot q trình HQc t¾p tai khoa, đ¾c
bi¾t là PGS.TS Nguyen Đình Sang, ngưịi thay đã ln giúp đõ và có nhung ý
kien đóng góp quý báu trong q trình HQc t¾p và nghiên cúu. Em xin cam ơn
các thay phan bi¾n đã giúp đõ rat nhieu trong q trình hồn thành lu¾n văn.
Nhân d%p này em cũng xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban
bè đã ln bên em, cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ em trong suot q trình HQc t¾p
và thnc hiắn luắn vn ny.
H Nđi, ngy 09 thỏng 12 nm 2013
HQc viên

Chu ĐÉc Hi¼p

1


Mnc lnc
Lài cam ơn

1

Lài ma đau

4

1

Kien thÉc chuan b%

5

1.1 Hàm chinh hình m®t bien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2

1.1.1

Đ%nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Các tính chat cơ ban cna hàm chinh hình . . . . . . . . .

6

1.2 Hàm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Hàm phân hình....................................................................................10

1.4

Hàm ngun to........................................................................................12
1.4.1

M®t so đ%nh nghĩa.......................................................................12

1.4.2

Hàm gia nguyờn to.....................................................................12

1.4.3

Hm nguyờn to............................................................................13

Phõn tớch nghiẳm nguyờn cua mđt vi phng trỡnh vi phõn ai
so

16

2.1

ắt bi toỏn............................................................................................16

2.2

Mđt so b e..............................................................................................18

2.3

Phõn tớch nghiắm nguyờn cna mđt vi phng trỡnh vi phõn đai so 19

Ket lu¼n

27

Tài li¼u tham khao

28


LèI Me ĐAU
Khi nghiên cúu các hàm nguyên và hàm phân hình, ngưịi ta chú ý vi¾c phân
tích chúng thành nhung hàm hop. Đieu này hoàn toàn tương tn như viắc phõn
tớch mđt so nguyờn thnh thựa so nguyờn to (đ%nh lý cơ ban cna so HQc). Cách
phân tích như v¾y, khác vói trưịng hop so HQc, là khơng duy nhat. Tuy nhiên,
nhieu van đe tương tn so HQc cũng đưoc đ¾t ra.
Hưóng nghiên cúu nêu trên dan đen nhung khái ni¾m như hàm nguyên to,
hàm gia nguyên to. Lĩnh vnc nghiên cúu nhung tính chat cna các hàm nguyên
to và gia ngun to, đ¾c trưng hóa và phân lóp nhung hàm nguyên to và
gia nguyên to đã tro thành m®t lĩnh vnc thịi sn cna giai tích phúc, đưoc nhieu
nhà tốn HQc trên the giói quan tâm.
Ban lu¾n văn này có muc đích trình bày khái ni¾m hàm ngun to và gia
nguyên to, cũng như m®t vài ket qua gan đây trong hưóng nghiên cúu này.
N®i dung chính cna lu¾n văn đưoc viet theo bài báo “Factorization of
entire solutions of some algebraic differential equations” đăng trên tap chí
Journal of Mathematical analysis and applications năm 2006.


Chương 1

Kien thÉc chuan b%
1.1

Hàm chinh hình m®t bien

1.1.1

Đ%nh nghĩa

Gia su l mđt tắp mo trong C.
Cho u : Ω → C
z = x + iy −→ u(z) = u(x, y).
u ∈ C1(Ω).
Ta có: dz = dx + idy, dz = dx − idy và do u ∈ C1(Ω) nên
∂u
∂u

=

1

du =

dx + dy
∂x
∂y
1 ∂u

.

Σ
.
1 ∂u
1
+
dz +
i
2
2
∂y

Đ¾t

∂u

=

1

.

∂
z

1 ∂u

∂u

∂x

∂u
2

+
∂
x

1 ∂u
i
∂y

∂x

Σ
và

∂u
∂
z

=

1
2

∂u
1 ∂u
−
i ∂y

.
∂
x

∂u

−

i
∂y

Σ
dz.

1 ∂u

Σ
.


∂u

Khi đó:

∂u
dz

Ta có đ%nh nghĩa sau đây. du

∂z

∂z

dz.

+

=
Đ%nh nghĩa 1.1. Neu u ∈ C1(Ω) và
∂u

= 0, ∀z ∈ Ω thì ta nói rang u là

∂z
hàm
chinh
hình
trong
Ω.
T¾p
hop
tat
ca
các hàm chinh hình trong Ω ký hiắu
l H().
Cho K l mđt tắp compact trong C, neu ton tai mđt tắp mo W C sao cho

K ⊂ W và f ∈ H(W ) thì ta nói rang f là hàm chinh hình trên K.

1.1.2

Các tính chat cơ ban cua hàm chinh hình

Tính chat 1. MQI hàm u ∈ H(Ω) là kha vi vô han trên Ω. Hơn nua, neu
u ∈ H(Ω) thì đao hàm uJ cũng thu®c H(Ω).
Tính
m®t
compact bat kỳ, K ⊂ Ω, vói MQI lân c¾n
mo W chat
⊂ Ω 2.
cnaCho
K. K
Khilàđó,
vóit¾p
MQI hàm chinh hình u ∈ H(Ω) ton tai các
hang so cj , j = 0, 1, ... (khơng phu thu®c u) sao cho
∂j u
(j)
sup
.
∂z j
(z)| ≤ cj ||u||L1 (W ) ,
(j)
u
u |
z∈K
trong đó
=
Tính chat 3. Tőng cna chuoi lũy thùa
∞

Σ
u(z) = anzn
n=0

là m®t hàm chinh hình trên phan trong cna đưịng trịn h®i tu và ngưoc lai, neu


∞

f ∈ H(V (z0)). Khi

Σ
f (z) = cn(z − z0) .
n
n=0

đó:

Tính chat 4. Cho u : C → C là hàm chinh hình, neu u b% ch¾n thì u là hàm
hang.


Tính chat 5. (Ngun lý mơ đun cEc đai) Neu f là hàm chinh hình khác
hang trên m®t mien D và liên tuc trên D thì |f| đat cnc đai trên ∂D.
Tính chat 6. Gia su f là hàm chinh hình trên D, liên tuc trên D và khơng
tri¾t tiêu trong D, thì |f| đat cnc tieu trên ∂D.

1.2

Hàm nguyên

Đ%nh
nghĩa 1.2. Hàm f (z) chinh hình trên tồn m¾t phang phúc C đưoc
GQI là hàm nguyên.
Hàm nguyên f (z) khai trien đưoc thành chuoi lũy thùa:
Σ
∞

f (z) =n cnz .
n=0

Ví du:

nΣ
=0

ez

n

z ,
=

sin z

nΣ
=1

(−1

n!
∞

n−1

z2n−1
.
(2n − 1)!

∞

=

)

M®t hàm ngun mà khơng ton tai giói han khi z → +∞ thì đưoc GQI là
hàm ngun siêu vi¾t.
Các hàm ngun khơng phai là hàm nguyên siêu vi¾t chi là nhung đa thúc.
Như v¾y các đa thúc khai trien đưoc thành chuoi lũy thùa huu han. Bây giị ta đ
%nh nghĩa cap cna m®t hàm nguyên.
Cho f (z) là m®t hàm nguyên. Ta đ%nh nghĩa hàm
Mf (r) = max| f (z) .
|z|=r |
Theo nguyên lý mơđun cnc đai, neu f khác hang so thì Mf (r) là hàm tăng
theo
r.
Đ%nh
M®tdương
hàm tngun
f (z) đưoc GQI là có cap huu han neu

ton tai nghĩa
m®t so1.3.
nguyên
sao cho:


Mf (r) < ert


vói
MQI r đn lón (r > r0 nào đó, r0 = r0 (t) l mđt so phu thuđc vo
t). Cắn
dúi đúng cna các so t nói trên đưoc GQI là cap cna hàm nguyên f
(z) và đưoc ký hi¾u là f (t).
Tù bat đang thúc: log log Mf (r) ≤ t log r, ta có
log log Mf
log r
f (t) =
limr→+∞
Đ%nh nghĩa 1.4. Gia su f (z) có cap huu han, kieu cna hàm f (z) úng vói cap
ρ là m®t đai lưong đưoc ký hi¾u và xác đ%nh boi
M(f r)
σ = limr→+∞
Khi đó de thay rang σ là c¾n dưói đúng cna các so A sao cho
f

M (r) < eArρ
còn cap dưói cna f là đai lưong:

log log Mf

log r

f ∗ (t) =

limr→+∞
Sau đây là m®t so tính chat ve hàm nguyên.
Đ%nh
lý 1.5.
Gialũy
su thùa
f (z): là hàm nguyên siêu vi¾t có cap huu han và có khai
trien thành
chuői
∞

Σ
f (z) = cnz .
n
n=0

Khi đó
n log n
f (t) =
limn→+∞


log .

1

Σ


và

cn

(σeρ)1/ρ = limn→+∞n1/ρ|cn|1/n.


Đ%nh lý 1.6. Đoi vái hàm nguyên f (z) bat kỳ, các hàm f (z) và f J (z) có cùng
cap và cùng kieu.
Chúng minh. Ta viet

f (z)
=

∫
0

z

f J (w)dw + f (0).

Tù đó ta có :
Mf (r) ≤ rM ft (r) + |f (0)| vói |z| = r.
Theo cơng thúc tích phân Cauchy, ta có :
1
∫
f J (z) =

2πi
và do đó :

|w|=2r


f

Do đó

(w − z)2
dw,

(w
)

Mft (r)

Mf (2r)
.
r

<

Tù f (t) =
limr→+∞
minh.

Mf (2r)

Mf (r) − |f ≤
Mf t (r) < r .
(0)|
r
log log
Mf (r)
(r) Mf
, đ%nh lý đưoc chúng
và σ =
f
log r
r
limr→+∞

Đ%nh
lý 1.7.
Gia
là m®t
hàm
chsnh hình
trong hình
trịn(Cơng
|z| R, f Jensen).
(0) ƒ= 0
vàsu
r ,f r(z)
, ...,
rn, ...
là môđun

các
không điem cua hàm f (z) trong |z| < R, 1sap2xep theo
m®t thú tn khơng
giam. Khi đó neu rn ≤ r ≤ rn+1
2r
= 1∫
n
iθ
log r |f
2π log |f (re )|dθ.
(0)|
rr1n · · ·

0

Chúng minh. GQI n(z) hay n(x, t) là so khơng điem cna f (z) trong hình

trịn


|z| ≤ x vói so khơng
điem b®i p đưoc đem p lan. Khi đó neu rn ≤ r ≤ rn+1
rn
n
Σ
lo
= n log r − log rj
g

j=1

rr1 · · ·
n

n−1

Σ
=

j(log rj+1 − log rj ) + n(log r − log rn )
j=1
n−1

Σ
=
j
j=1

rj+1

dx

r

∫ d
x
x

rj

∫ x

.

(1.1)

+n
rn

Do i = n(x) vói rj ≤ x ≤ rj+1 và n = n(x) vói rn ≤ x ≤ r, kéo theo ve
phai
cna (1.1) bang :

∫r n(x dx.
)
x
0

Do đó cơng thúc Jensen có the viet dưói dang :
r

∫ n)(x
x
0

dx

1
2π

∫
2r
0

log |f (reiθ)|dθ − log |f (0)|.

=

1.3

Hàm phân hình

thưịng
l¾p cnaloai
hàm
f neu
tai mđt
r >
0
sao l
choiem
%nhbat
ngha
1.8.cụ(Phõn
iem
bat ton
thng
cụ so
lẳp).
iem

a C oc f ∈ H(0 < |z − a| < r).
Neu a là điem bat thưịng cơ l¾p cna hàm f và :
GQI


• lim f (z) = A huu han thì ta nói a là điem bat thưịng khu đưoc.
z→a

• lim f (z) ∞
= thì ta nói a là điem bat thưịng cnc điem.
z→a

• lim f (z) khơng ton tai thì a đưoc GQI là điem bat thưòng cot yeu.
Neu
z→a

a là điem bat thưịng cot yeu cna hàm f (z) thì vói MQI so phúc w0 ∈ C
ton tai m®t dãy so phúc zn → a sao cho f (zn ) → w0 khi n → +∞.


%nh
chinh
hỡnh trờn tắp trự ra mđt so iem bat
thũngngha
l cnc 1.9.
điem M®t
tronghàm
Ω đưoc
GQI là hàm phân hình trên Ω.
Ví du hàm f (z) =

1


, f (z) = tan z, f (z)
= cot z đeu là các hàm
phân
hình.

z−a

T¾p hop các hàm phân hình trên Ω đưoc ký hi¾u bang M(Ω).
Neu a là khơng điem cna hm f chinh hỡnh trong mđt lõn cắn cna điem a
thì ta có the viet:
f (z) = (z − a)Kϕ(z),
vói ϕ(z) là hàm chinh hình trong lân c¾n cna điem a và ϕ(a) ƒ= 0, K là so
nguyên dương. Khi đó, ta nói K là cap cna khơng điem a hay cịn nói a là
khơng điem b®i K cna hàm f .
Neu a là cnc điem cna hàm f (z) thì ta có the bieu dien
ϕ(z)
f (z) = (z − a)K
trong đó ϕ(z) là m®t hàm chinh hình trong mđt lõn cắn cna iem a v (a) = 0,
cũn K là m®t so ngun dương. Khi đó ta GQI K là cap cna cnc điem.
M®t
điem
thì hàm
nó làphân
m®t hình
hàm có
huuđiem

ty. z = ∞ là bat thưịng khu đưoc ho¾c là cnc
Cap cna hàm phân hình:
log T (r,
ρ = limr→+∞
Kieu cna hàm phân hình:

f )
log r

T (r, f )
σ = limr→+∞ rρ ,
trong đó T là hàm đ¾c trưng Nevanllina.

.


Đ%nh nghĩa 1.10. Cho fn(z) và gm(z) là các hàm đa thúc. Khi đó hàm h(z) =
f)n(z
đưoc GQI là hàm huu ty.
gm(z
)
Hàm huu ty là hàm phân hình có huu han cnc điem. Như v¾y hàm huu ty
có the phân tích thành tích các phân thúc đơn gian.


1.4
1.4.1

Hm nguyờn to
Mđt so %nh ngha

Hm
phõn g(z),
hỡnh h(z)
= fkiắn
(g(z))
oc
GQI l có nhân tu trái f (z) và
nhân
tu phai
vói đieu
f (z)
là hàm
khơng tuyen tính và phân
hình, g(z) là hàm khơng tuyen tính và ngun (g(z) có the là hàm phân
hình khi f (z) là
hàm huu ty).
Đ%nh
nghĩa
h(z)
hàm
ngun
ngun
neu
mQI phân
tích 1.11.
có dang
trênđưoc
kéo GQI
theolàcác

hàm
f (z) to
hay(gia
g(z)
là hàmto)tuyen
tính (đa thúc trù khi f là hàm huu ty).

1.4.2

Hàm gia ngun to

Có nhieu ví du tam thưịng cna hàm gia nguyên to. Ví du, MQI đa thúc đeu
là hàm gia ngun to. Đa thúc có b¾c ngun to là hàm nguyên to. Sau đây, ta
se nghiên cúu m®t so ví du khơng tam thưịng cna hàm gia ngun to.
Đ%nh lý 1.12. Hàm phân hình siêu vi¾t cap huu han có nhieu nhat huu han
cnc điem và khơng điem là hàm gia nguyên to.
Chúng
minh.
g = to.
h(fTheo
) thoa
mãnlýgia
thiet cna
đ%nh
và gia
su m®t
f khơng
phai hàm
gia Lay
ngun

đ%nh
Picard,
h(z)
có lý
nhieu
nhat
cnc
điem, gia su cnc điem đó là b và nhieu nhat m®t khơng điem a. Vì v¾y, ta có
bieu thúc
(z − a)n

α(z)

h(z) = (z − b)m
e
trong đó n và m là các so ngun khơng âm và α(z) là hàm ngun. Do g(h(z))
có
huu han
nên siêu
h(z)vi¾t.
phai Đ%nh
có cap lý
0. đưoc
Do đóchúng
α(z) minh.
là hang. V¾y h(z) khơng
thecap
là hàm
ngun

Đáng chú ý là h(z) phai có vơ han các cnc điem hay vô han các không điem,


trù khi n ho¾c m bang 0. Suy ra h(z) có dang c(z − d)n vói n là so nguyên và
c, d là hang so.
Đ%nh
lý 1.13.
Cho
là m®tsiêu
đa thúc
và thì
τ là
khác
khơng. Neu
F (z)
l Q(z)
hm nguyờn
viắtkhỏc
dang0m
vỏimđt
so chang
thúasomón
:
F nguyờn
(z + to.
) F (z) =
Q(z)ecz, F (z) là hàm gia
Chúng minh. Gia su F (z) = f (g(z)), vói f là hàm ngun siêu vi¾t. Ta có :
f (g(z + τ )) − f (g(z)) = Q(z)ecz.
Do đó :

g(z + τ ) − g(z) = Q1(z)eaz+b
vói Q1(z) là đa thúc và a, b là hang so. g có cap lón nhat là 1, kieu là 0. Do đó
a = 0, vì v¾y :
g(z + τ ) − g(z) = cJ Q1 (z)
vói
cJ là
so. Đieu
này lón
kéonhat
theo là
g (n)
là hàm
hồnhàm
vói n
ngun.
Do đó
g (n)hang
(z) cũng
có cap
1,(z)
kieu
là 0. tuan
Mà m®t
tuan
hồn
khơng phai hang phai có ít nhat cap 1 và kieu dương. Do đó g (n) (z) phai là
hang so và suy ra g(z) là đa thúc. Đ%nh lý đưoc chúng minh.

1.4.3

Hàm ngun to

Đ%nh
1.14.
g là
m®t hàm
ngun
cóchu
capkỳ
nho
ngun nghĩa
F (z) là
tuanCho
hồn
mơđulơ
đa thúc
g vói
τ hơn
neu 1. Ta nói hàm

F (z + τ ) − F (z) = g(z).
Ta nêu ra m®t vài ket qua :


Cho ai(z)
hàm
han ρ.
Cho
(z) cũng
là các

hàm1) nguyên
và glài (z)
− nguyên
gj (z)(i to
ƒ=cój)cap
là huu
các hàm
siêu
vi¾tgiho¾c
đa thúc
có
cap lón hơn ρ. Khi đó :
n

Σ
ai (z)egi (z) = a0 (z)
i=1

chi xay ra khi : a0(z) = a1(z) = ... = an(z) = 0.
2) Neu h là hàm ngun và tuan hồn mơđulơ đa thúc g vói chu kỳ τ thì
MQI nhân tu phai có dang :
l(z) = H1 (z) + g ∗ (z)eH2 (z)+az
trong
đó Hi, i = 1, 2 là hàm tuan hồn vói chu kỳ τ , a là hang so và g∗(z)
là đa thúc.
3) M®t hàm ngun h dang mũ tuan hồn mơđulơ a thỳc khụng hang hoắc
l mđt hm nguyờn to, hoắc có dang :

h(z) = f ((z + c)2)
vói f là m®t hàm nguyên và c là m®t hang so.

Ta nêu ra đ%nh lý quan TRQNG sau :
Đ%nh lý 1.15. (Đ%nh lý cơ ban 1) Cho p(z) là m®t đa thúc không hang, a
và b là hai hang so bat kỳ (a ƒ= 0). Khi đó :
h(z) = eaz+b + p(z)

là hàm nguyên to.

Chúng
Theo: ket qua 3), neu h(z) không phai là hàm ngun to thì ta có
the vietminh.
dưói dang

hay h(z − c) = f (z2).

h = f ((z + c)2)

Suy ra
eaz+bt + p(z − c) = h(z − c),


l
mđtbhm
chan.so,
Tachỳng
chi can
cú nhõn
J
o õy
l hang
ta chỳng

suy raminh
rang h(z)
vúi Kkhụng
nguyờn
dnghuu
eKaty.
eaz+bt
phai
Thắt vắy, gia su h(z) có nhân huu ty thì h(z) có the viet dưói dang :
h(z) =

R1(z )

g(z) ⇒ eaz+b + p(z) =

R1(z )

g(z).