Luận văn thạc sĩ sử dụng kỹ thuật phễu tìm đường ngắn nhất giữa hai điểm trong đa giác đơn và trên mặt khối đa diện

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Đ¾NG TH± NGOC ÁNH

SU DUNG KY THU¾T "PHEU" TÌM
ĐƯèNG NGAN NHAT GIUA HAI ĐIEM
TRONG ĐA GIÁC ĐƠN VÀ TRÊN MắT
KHOI A DIfiN

LUắN VN THAC S KHOA HOC

H Nđi - 2016


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

Đ¾NG TH± NGOC ÁNH

SU DUNG KY THU¾T "PHEU" TÌM ĐƯèNG
NGAN NHAT GIUA HAI ĐIEM TRONG ĐA
GIÁC ĐƠN VÀ TRÊN M¾T KHOI ĐA DIfiN

Chun ngành: Tốn úng
dung Mã so:
60 46 01 06

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC:
PGS.TS. PHAN THÀNH AN

Hà N®i - 2016


Lài cam ơn
Lịi đau tiên trong ban lu¾n văn này cho phép tơi đưoc gui lịi cam ơn
chân thành và sâu sac nhat tói thay Phan Thành An, thay đã dành nhieu thịi
gian q giá cna mình t¾n tình chi bao, hưóng dan và giúp đõ đe tơi có the
hồn thành lu¾n văn này.
Tơi cũng xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the các thay cơ đã day
bao tơi trong suot q trình HQc t¾p, đ¾c bi¾t là các thay cơ trong khoa Tốn
Cơ Tin HQc, trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i.
Tơi cũng xin đưoc gui lịi cam ơn tói gia đình, ban bè và các anh ch% trong
cùng nhóm nghiên cúu đã ln cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ tơi trong suot q
trình thnc hi¾n lu¾n văn tot nghi¾p. Đ¾c bi¾t, tơi xin gui lịi cam ơn tói anh Lê
Hong Trang, em Đong Văn Vi¾t, em Phong Th% Thu Huyen đã giúp đõ tơi
trong q trình nghiên cúu và hồn thi¾n lu¾n văn, cùng vói ch% Nguyen Th%
Vân Hịa, anh Pham Quang Khoái và các anh ch% em trong bđ mụn Toỏn
trũng ai HQc Lõm nghiắp ó tao ieu ki¾n rat nhieu đe tơi có thêm thịi
gian HQc t¾p v nghiờn cỳu luắn vn.
H Nđi, thỏng 10 nm 2016
HQc viên
Đ¾ng Th% NGQc Ánh

3


Mnc lnc

1 Kien thÉc chuan b%

5

1.1 M®t so kien thúc cơ ban ve lý thuyet đo th% và đ® phúc tap
thuắt toỏn
5
1.1.1 o th%, cõy v chu trỡnh...................................................5
1.1.2 đ phỳc tap thu¾t tốn....................................................7
1.2 Đ%nh nghĩa đa giác đơn và đưịng gap khúc..............................8
1.3 Phép tam giác phân đa giác.........................................................11
1.4 Khái ni¾m điem trong và điem trong tương đoi...........................12
1.5 Đ%nh nghĩa dãy m¾t tam giác và đưịng đi DQc theo dãy m¾t
tam giỏc........................................................................................13
1.6 Khỏi niắm gúc tai mđt iem trờn be mắt khoi đa di¾n..............15
1.7 Phép l¾t.......................................................................................16
2 Thu¾t tốn tìm đưàng đi ngan nhat giEa 2 điem trong đa giác
đơn sE dnng ky thu¾t “pheu” cua Lee và Preparata

19

2.1 Cây đoi ngau................................................................................19
2.2 Hình ong tay và hình pheu...........................................................21
2.3 Thu¾t tốn tìm đưịng đi ngan nhat giua 2 điem trong hình ong tay24
2.4 Chúng minh tính đúng và đánh giá đ® phúc tap cna thu¾t tốn .26
2.4.1 Chúng minh tính đúng đan cna thuắt toỏn ..........................26
2.4.2 ỏnh giỏ đ phỳc tap cna thuắt tốn..............................28
2.5 Chương trình minh HQA thu¾t tốn trên java...............................29

2

3 Thu¾t tốn tìm đưàng đi ngan nhat giEa hai điem trên be m¾t
khoi đa di¾n

34

3.1 Hình pheu trong khơng gian 3 chieu............................................35
3.2 Thu¾t tốn tìm đưịng đi ngan nhat giua hai điem dQc theo dãy
m¾t tam giác................................................................................40
3.3 Chúng minh tính đúng đan và đánh giá đ® phúc tap cna thu¾t tốn42
3.3.1 Chúng minh tính đúng đan cna thu¾t tốn ..........................42
3.3.2 ỏnh giỏ đ phỳc tap cna thuắt toỏn..............................46
3.4 Vớ du minh HQA cho thu¾t tốn trên phan mem javaview.............46
Ket lu¾n

56

Tài li¾u tham khao

58

2


Danh mnc ký hi¾u
[a, b] ho¾c ab
a1a2...ak
S = {f1 , f2 , ..., fm+1 }
E = {e1, e2, ..., em}

fi ∩ fi+1
σ
d(x, y)
length(x, y)
SP (x, y)
L(x, y)
Oxyz
r(x) ho¾c x

Đoan thang noi 2 điem a và b
Đưòng gap khúc đi qua các đinh a1, a2, ..., ak
Dãy m + 1 m¾t tam giác
T¾p m canh ke cna dãy m + 1 m¾t tam giác
Giao cna hai m¾t tam giác fi và fi+1
Phân hoach cna đoan [a, b]
Khoang cách Euclid giua hai điem x, y DQc theo S
Đ® dài đoan thang noi 2 điem x và y
Đưòng đi ngan nhat tù x đen y
Đưòng đi tùy ý tù điem x đen y
Tam giác có 3 đinh lan lưot là x, y, z
Anh cna điem x qua phép l¾t r

2


Lài ma đau
Hình HQc tính tốn đưoc bat nguon tù lĩnh vnc phân tích và thiet ke giai
thu¾t sau nhung năm 1970, có tam quan TRQng rat thiet thnc. Nhieu úng dung
có the áp dung hình HQc tính tốn như nh¾n dang mau, đo HQA máy tính, xu lý
anh, tn đng húa, hắ thong thụng tin %a lý hay cỏc bài tốn trong cơng nghi¾p

như cách bo trí mach kim loai, ban mach... Giai quyet tot các bài toán này trên
máy tính vói toc đ® cao và chính xác là het súc can thiet.
Trong đó bài tốn tìm đưịng đi ngan nhat giua hai điem trong m®t mien
hình HQc là m®t trong nhung van đe cơ ban và có nhieu ỳng dung trong ky
thuắt robot, ky thuắt tn đng, thụng tin đ%a lý. . . (xem [5],[18]). Thnc te đó
đã thu hút rat nhieu nhà toán HQc quan tâm nghiên cúu như Dijkstra, Lee,
Preparata, O’Rourke . . .
Lu¾n văn t¾p trung nghiên cúu thu¾t tốn tìm đưịng đi ngan nhat giua
hai điem trong m®t đa giác đơn trong khơng gian 2 chieu, sau đó phát trien
thu¾t tốn tìm đưịng đi ngan nhat giua 2 điem trên be m¾t khoi đa di¾n
trong 3 chieu. Vói bài tốn tìm đưịng đi ngan nhat trong đa giác đơn, năm
1984 các tác gia Lee và Preparata đã đưa ra thu¾t tốn đe giai quyet bài
tốn vói đ® phúc tap ve thịi gian là tuyen tính, thơng qua vi¾c tam giác
phân đa giác, sau đó thu¾t tốn tiep tuc xây dnng các hình “pheu” sao cho
đưòng biên cna pheu chúa đưòng đi ngan nhat can tìm (xem [13]).
Dna trên ý tưong đã đưoc trình bày trong ban thao cna An, Giang, Phú
và Polthier (xem [7]), lu¾n văn tiep tuc trình bày chi tiet thu¾t tốn su dung
ky thu¾t “pheu” tương tn trong 2 chieu ket hop vói ky thu¾t l¾t đe tìm
đưịng đi ngan nhat giua hai điem trên be m¾t khoi đa di¾n trong không
gian 3 chieu.
7


Tù đó tác gia cHQN đe tài “SE dnng ky thu¾t “pheu” tìm đưàng
ngan nhat giEa hai điem trong đa giác đơn và trên m¾t khoi đa
di¾n”.
Lu¾n văn đưoc chia thành ba chương.
Chương 1: Kien thúc chuan b%.
Vói quan điem là chương cơ so, trong phan này chúng tơi trình bày h¾ thong
các kien thúc cơ ban ve lý thuyet o th%, đ phỳc tap thuắt toỏn, %nh ngha a

giỏc đơn, phép tam giác phân đa giác. Ngoài ra, trong phan này chúng tơi cũng
trình bày thêm các kien thúc ve dãy m¾t tam giác, đưịng đi DQc theo dãy m¾t,
đ%nh nghĩa phép l¾t và các tính chat cna phép l¾t trong khơng gian 3 chieu. Đây
là nhung kien thúc cơ so can thiet cho chương 2 và chương 3.
Chương 2: Thu¾t tốn tìm đưịng đi ngan nhat giua 2 điem trong đa giác
đơn su dung ky thu¾t “pheu” cna Lee và Preparata.
Chương này trình bày chi tiet thu¾t tốn su dung ky thu¾t pheu cna Lee và
Preparata trong bài báo đăng trên tap chí Networks năm 1984 (xem [13]). Sau
đó chúng tơi trình bày ví du cu the minh HQA cho tùng bưóc cna thu¾t tốn
bang các hình anh minh HQA tù chương trình đưoc viet bang ngơn ngu l¾p trình
java boi Josh Tyler năm 1998.
Chương 3: Thu¾t tốn tìm đưịng đi ngan nhat giua hai điem trên be m¾t
khoi đa di¾n.
Chương cuoi trình bày đ%nh nghĩa pheu trong không gian 3 chieu đưoc đưa
ra boi An, Giang, Phú và Polthier (xem [7]) và chúng minh m®t so tính chat
mói cna pheu. Sau đó dna trên ý tưong cna thu¾t tốn đã trình bày trong [7],
chúng tơi trình bày thu¾t tốn mói tiep tuc su dung ky thu¾t pheu đe tìm
đưịng đi ngan nhat giua hai điem trên be mắt cna mđt khoi a diắn trong
khụng gian 3 chieu. Phan cuoi chương là m®t so ví du cu the minh HQA cho
thu¾t tốn trên phan mem hình HQc tính toỏn javaview.
H Nđi, ngy 11 thỏng 10 nm 2016
HQc viờn
ắng Th% NGQC Ánh


Chương 1
Kien thÉc chuan b%
Trong chương này lu¾n văn t¾p trung trình bày m®t so kien thúc làm cơ
so cho viắc trỡnh by v nghiờn cỳu nđi dung cna cỏc chương tiep theo.

1.1
1.1.1

M®t so kien thÉc cơ ban ve lý thuyet o th% v
đ phẫc tap thuắt toỏn
o th%, cõy và chu trình

Lý thuyet đo th% là m®t trong nhung ngành khoa HQc ra địi khá sóm và gan
ket nhieu ngành khoa HQc vói nhau, giúp chúng ta mơ ta hình HQc và giai quyet
nhieu bài tốn thnc te phúc tap liên quan đen các khái ni¾m như đưịng đi, chu
trình, đưịng đi ngan nhat...
Các khái ni¾m sau đưoc trình bày theo tài li¾u [3].
Đ%nh nghĩa 1.1.1. T¾p hop V = cỏc oi tong v bđ E cỏc cắp sap
thú tn và không sap thú tn các phan tu cna V oc GQI l mđt o th%. Kớ
hiắu l G = (V, E).
ã V l tắp hop cỏc snh.
ã E V ì V l tắp hop cỏc canh.

Neu c¾p đinh khơng sap thú tn đưoc GQI là canh, c¾p đinh sap thú tn đưoc
GQI

là canh có hưóng.

Ví dn 1.1.1. Cho đo th% G như trong hình dưói đây.


b
a

c

e
d

Hình 1.1: Đo th% huu han có 5 đinh

- T¾p đinh V = {a, b, c, d, e}
- T¾p canh E = {(a, b), (a, c), (b, c), (d, b), (d, c), (e, a), (e, b), (e, d)}
Neu (a, b) là m®t canh cna đo th% G thì ta nói đinh b ke vói đinh a, hay hai
đinh a và b cùng ke vói canh (a, b).
Hai canh ke nhau là hai canh có ít nhat m®t đinh chung.
Đo th% vô hưáng là đo th% chi chúa các canh vô hưóng.
Đơn đo th% (GQI tat là đo th%) là đo th% mà moi c¾p đinh đưoc noi vói nhau
boi khơng quá m®t canh.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Cho đo th% G = (V, E), đưàng đi trong đo th% là m®t dãy
các đinh < x1, x2, ..., xk > sao cho moi đinh trong dãy(khơng ke đinh đau tiên)
ke vói đinh trưóc nó bang m®t canh nào đó, nghĩa là ∀i = 2, 3, ..., k canh
(xi−1, xi) ∈ E . Ta nói đưịng đi này đi tù đinh đau x1 đen đinh cuoi xk.
Đ%nh nghĩa 1.1.3. Chu trình là m®t đưịng đi khép kín (đinh cuoi trùng vói
đinh đau cna đưịng đi).
Chu trình đơn là chu trình mà các đinh trên nó khác nhau tùng đơi m®t.
Trong đo th% G = (V, E), b¾c cna đinh v trong đo th%, kí hi¾u là deg(v) là
so canh ke vói đinh v.
Tiep theo, chỳng tụi trỡnh by mđt khỏi niắm c ban trong lý thuyet đo th%.
Đó là khái ni¾m cây đưoc Caley đưa ra đau tiên vào năm 1857.
Cây là đo th% vơ hưóng liên thơng khơng có chu trình.


1.1.2

đ phẫc tap thuắt toỏn

Mđt cụng viắc cú the cú nhieu cách khác nhau đe thnc hi¾n, nhat là thu¾t
tốn. Có the có nhieu thu¾t tốn khác nhau thnc hi¾n mđt cụng viắc. Ta
phai tỡm mđt ngụn ngu no ú e so sỏnh oc toc đ thnc hiắn thuắt
toỏn khi lm cựng mđt viắc.
Mđt thúc o hiắu qua cna thuắt tốn là đo thịi gian mà máy tính su dung
đe giai bài tốn theo thu¾t tốn đang xét, khi các giá tr% đau vào có m®t kích
thưóc xác đ%nh. Gan vói thịi gian gian tính tốn là đ® phúc tap thi gian. Viắc
biet oc đ phỳc tap thũi gian cho mđt thuắt toỏn l rat quan TRQNG, vỡ ta cú
the kiem soỏt oc thũi gian chay thuắt toỏn l mđt phỳt, mđt nm hay mđt
triắu nm.
Mđt thúc o thỳ hai l o bđ nhú ũi hoi e thnc hiắn thuắt tốn đó
khi giá tr% đau vào có kích thưóc cho trưóc. Gan vói b® nhó tính tốn là đ®
phúc tap khụng gian. Viắc biet đ phỳc tap ve khụng gian cho ta bưóc chuan
b% và thay đưoc kha năng đáp ỳng trong viắc thnc thi thuắt toỏn. đ phỳc
tap ve khơng gian gan vói cau trúc du li¾u nên trong pham vi luắn vn,
chỳng tụi bo qua đ phỳc tap ve khụng gian.
đ phỳc tap ve thũi gian cna thuắt tốn có the đưoc xem xét qua các
phép tốn đưoc dùng. Thơng thưịng so các phép tính đưoc thnc hi¾n phu
thu®c vào cõ cna bài tốn, túc là đ® lón cna au vo. Vỡ the đ phỳc tap
thuắt toỏn l mđt hm phu thuđc cừ au vo n cna thuắt toỏn. Tựy thuđc
tựng bi toỏn m n cú the nhắn nhung giá tr% khác nhau. Ví du bài tốn
tính giai thùa thì n là so can tính giai thùa, nhưng trong phép tính đoi vói ma
tr¾n thì n lai là so hng hoắc so cđt cna ma trắn.
Tuy nhiờn, phan lón so các phép tốn cơ ban thnc hi¾n thu¾t tốn là
hồn tồn khác nhau vói cùng m®t cõ đau vào. Do đó ngưịi ta đưa ra các
khái ni¾m sau (xem [1]).
ã đ phỳc tap trũng hop tot nhat
ã đ phúc tap trưòng hop xau nhat

• Đ® phúc tap trưịng hop trung bình

Tuy nhiên, trong úng dung thnc tien chúng ta khơng can biet chính xác
hàm tính tốn này mà chi can biet m®t ưóc lưong đn tot cna chúng.
Đe ưóc lưong đ® phúc tap thu¾t tốn, ta thưịng dùng khái ni¾m b¾c Ơ-lón.
Đ%nh nghĩa 1.1.4. (xem [1]) Cho m®t hàm so g(n) xác đ%nh dương, ta đ
%nh nghĩa O(g(n)) là t¾p hop tat ca các hàm f (n) xác đ%nh dương và thoa
mãn: ∃ hang so c và n0 sao cho ∀n “ n0 và f (n) ™ cg(n).
Khi đó neu f (n) ∈ O(g(n)) thì ta nói rang f (n) là Ơ lón cna g(n).

M®t so tính chat ve đ® phÉc tap cua thu¾t tốn
1.Neu f1 (n) ∈ O(g1 (n)) và f2 (n) ∈ O(g2 (n)) thì f1 (n) + f2 (n) ∈ O(g1 (n) + g2 (n)).
2.Neu

f1 (n) ∈ O(g1 (n)) và f2 (n) ∈ O(g2 (n)) thì f1 (n).f2 (n) ∈ O(g1 (n).g2 (n)).

3.Cho P (n) = aknk + ak−1nk−1 + ... + a1n + a0 là đa thúc b¾c k, ak > 0. Khi
đó
P (n) ∈ O(nk).

M®t so đ® phÉc tap thng gắp
ã đ phỳc tap hang so, O(1). So phép tính/thịi gian chay/dung lưong b®

nhó khơng phu thu®c vào đ lún au vo.
ã đ phỳc tap tuyen tớnh, O(n). So phép tính/thịi gian chay/dung lưong

b® nhó có xu hưóng ti lắ thuắn vúi đ lún au vo.
ã đ phỳc tap đa thúc, O(P (n)) vói P là đa thúc bắc cao (tự bắc 2 tro lờn).
ã Ngoi ra cũn cú cỏc đ phỳc tap logarit O(logn) hoắc hm m O(2n).

Trưòng hop hàm mũ là trưòng hop xau nhat và khó thnc hi¾n trên thnc
te.

1.2

Đ%nh nghĩa đa giác đơn và đưàng gap khúc


Đe có the đ%nh nghĩa chính xác ve đa giác đơn, ta can phai su dung ket
qua cna đ%nh lý đưòng cong Jordan. Đ%nh lý đưòng cong Jordan đã chi ra
rang bat


bỳ m®t đưịng cong đơn khép kín nào cũng chia mắt phang thnh 2 phan,
trong ú cú mđt phan b% giói han boi phan cịn lai (xem [12] ho¾c [15]).
Đe có the đ%nh nghĩa ve đưịng cong đơn khép kín là m®t van đe khơng de.
Theo lý thuyet topo đưàng cong đơn khép kín J (xem [12]) cịn GQI là đưàng
cong Jordan, là anh cna m®t ánh xa liên tuc 1-1 tù R/Z vào R2 .
Hai phan đưoc xác đ%nh boi m®t đưịng cong Jordan đưoc GQI là phan trong
và phan ngồi cna đưịng cong. Trong đó, mien b% ch¾n đưoc GQI là phan trong
và mien khơng b% ch¾n đưoc gQI là phan ngoài (xem thêm [15]).
Đây cũng là cơ so đe có the xây dnng đ%nh nghĩa ve đa giác đơn.
Trưóc het, ta can nhac lai m®t so khái ni¾m cơ ban có liên quan (xem [16]).
Khơng gian Rn (∀n “ 1) đưoc trang b% chuan ǁxǁ = .x2 1+ x2 2+ ... + x2n vói
x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn đưoc GQi là khơng gian Euclid n chieu, kí hi¾u E = Rn .

Kí hi¾u d(x, y) là khoang cách Euclid giua hai điem x, y trong E.
Đưàng đi trong R2 là m®t ánh xa liên tuc
γ : [a, b] ⊂ R → R2

Neu γ(a) = x và γ(b) = y thì x, y là các điem cuoi cna γ và ta nói rang đưịng
γ noi các điem x và y.

M®t phân hoach cna đoan [a, b], kí hi¾u là σ đưoc xác đ%nh boi m®t dãy
huu han các so thnc ti, i = 0, ..., n thoa mãn a = t0 ™ t1 < ... < tn−1 ™ tn = b
vói n “ 1.
Đ%nh nghĩa 1.2.1. Đ® dài cna đưịng γ : [a, b] → Rn kí hi¾u là length(γ) đưoc
xác đ%nh như sau:
n−1

Σ
length(γ) := sup d(γ(ti), γ(ti+1))

Đoan thang đi qua hai điem a và b, kí hi¾u là [a, b] ho¾c ab (xem [15]) l
mđt tắp con úng cna ũng thang đi qua hai điem a và b, các điem này đưoc
GQI

là các điem cuoi cna đoan thang [a, b]. T¾p con đóng o đây bao gom ca

các điem cuoi.


Theo [15] đa giác đơn là mien phang đưoc giói han boi mđt tắp huu han
cỏc oan thang tao thnh m®t đưịng cong đơn khép kín. Tuy nhiên, đe
tránh đưa lý thuyet topo vào bài viet chúng ta trình bày đ%nh nghĩa đa giác
đơn như sau.
Đ%nh nghĩa 1.2.2. (xem [15]) Cho v0 , v1 , v2 , ..., vn−1 là n iem thuđc cựng mđt
mắt phang, kớ hiắu ei = [vi , vi+1 ] vói 0 ™ i ™ n − 1 và vn ≡ v0 là n đoan thang
noi các điem đã cho. Khi đó mien trong đưoc giói han boi nhung đoan thang

này đưoc gQI là m®t đa giác đơn neu và chi neu chúng thoa mãn các đieu ki¾n
sau:
1.Moi đoan thang ke nhau ei và ei+1 có duy nhat m®t điem chung là vi+1.

Túc là ei ∩ ei+1 = vi+1 vói i = 0, ..., n − 1.
2.Các đoan thang khơng ke nhau thì khơng cat nhau. Túc là ei ∩ ej = ∅ vói
j ƒ= i + 1.

Điem vi đưoc GQi là đsnh cna đa giác đơn và đoan ei GQI là canh cna đa giác đơn.
Kí hi¾u đa giác đơn vói các đinh vi là P = (v0 , v1 , ..., vn−1 ).

Hình 1.2: Đa giác khơng đơn

Hình 1.3: Đa giác đơn

Đưàng gap khúc q1 q2 ...qk là m®t dãy có thú tn các điem qi (i = 1, 2, ..., k)
sao cho moi c¾p điem ke nhau qi và qi+1 (i = 1, 2, ..., k 1) the hiắn mđt oan
thang. Cỏc điem qi GQI là các đinh cna đưòng gap khúc (xem [13]).
M®t đưịng gap khúc gQI là đơn neu bat kỳ hai đoan thang khơng liên tiep
trong đó đeu khơng cat nhau.


q8

q4

q1

q7

q3

q7

q2

q4
q2

q8

q5

q3
q1

q6

q6
q5

Hình 1.4: Đưịng
gap
khúc
có 8
đinh

Hình 1.5:
Đ
ư

ị
n
g
g
a
p
k
h
ú
c
đ
ơ
n
c
ó
8
đ
i
n
h

Tiep theo, chúng tơi
trình bày đ%nh nghĩa ve
tiep

tuyen

và đưịng

cong loi theo [20] như

sau.
M®t đưịng thang l đi
qua m®t điem A cna


đưịng cong γ đưoc GQI là

chéo khơng cat nhau

m®t tiep tuyen vói γ tai

cna P .

A neu đưịng cong đó nam

Vúi mđt a giỏc tựy ý

hon ton trong nua mắt

luụn ton tai ít nhat m®t

phang đưoc xác đ%nh boi

cách tam giác phân đa

l (xem [20] trang 15).

giác (xem [15], trang 7).

Đưịng cong γ

GQI

đưoc

là đưịng cong loi neu

Có nhieu thu¾t tốn
tam

giác

phân

khác

moi điem trên đó đeu ton

nhau đã đưoc nghiên

tai duy nhat m®t đưịng

cúu vói đ® phúc tap ve

tiep

thịi gian là O(nlog n)

tuyen

(xem

[20]

trang 15).

(xem [15], [10]) hoắc đ
phỳc tap l O(n) (xem

1.3

Phộp tam giác
phân đa giác

Đưàng chéo cua đa
giác đơn P là đoan thang
[vi, vj ] nam trong đa giác
và thoa mãn đieu ki¾n
khơng cat bat kỳ canh
nào cna P , vói j ƒ= i + 1
và 0 ™ i, j ™ n − 1 (xem
[13]).
Hai đưịng chéo GQI là
khơng cat nhau neu t¾p
hop các giao điem cna
chúng nam trong t¾p hop
các điem cuoi cna chúng.
Phép tam giác phân đa
giác là phép phân chia
m®t đa giác P thành các
tam giác boi các đưòng

[6], [24]).


Sau đây là m®t so ket qua đã đưoc chúng minh trong [15]:
1.

Moi đa giác có so đinh lón hơn hoắc bang 4 eu ton tai ớt nhat

mđt ũng chộo (Bő đe 1.2.2).
Moi đa giác

2.

P có n đinh đeu có the phân chia thành

các tam giác bang cách thêm vào (toi thieu là 0) các đưòng chéo (Đ
%nh lý 1.2.3).
3.

Moi phép tam giác phân m®t đa giác P có n đinh su dung n− 3
đưòng chéo và chia P thành n − 2 tam giác (Bő đe 1.2.4).

d1

d6

d3
d2

d7
d8

d4

d5

Hình 1.6: M®t phép tam giác phân đa giác có 11 đinh thành
9 tam giác boi 8 đưịng chéo

1.4

Khái ni¾m điem trong và iem trong tng oi

Cho mđt tắp C Rn, bao đóng cna C kí hi¾u C là giao cna tat ca cỏc tắp
úng chỳa C (xem [4]).
Mđt iem x C GQI là m®t điem trong cna C neu có mđt hỡnh cau tõm
x nam TRQN trong C . Tắp các điem trong cna C GQI là phan trong cna C và ký

hi¾u là intC .
T¾p C ⊂ Rn GQI l mđt tắp loi neu nú chỳa TRQN oan thang noi hai điem
bat kỳ thu®c nó. Nói cách khác, (1 − λ)a + λb ∈ C vói MQI a, b ∈ C và 0 ™ λ ™
1.
M®t điem x thu®c tắp loi C Rn GQI l mđt iem trong tương đoi cna C
neu vói moi a ∈ C đeu có m®t so λ > 0 đe điem x + λ(a − x) ∈ C . T¾p các điem
trong tương đoi cna C GQI là phan trong tương đoi cna C kí hi¾u là riC .
T¾p hop C \ riC GQI là biên tương đoi cna C kí hi¾u là ∂C . M®t điem thu®c


∂C GQI là điem biên cna t¾p loi C .

x ∈ intC

C

Hình 1.7: Minh

1.5

HQA

x ∈ ∂C

điem trong và điem biên cna t¾p C

Đ%nh nghĩa dãy m¾t tam giác và đưàng đi DQC
theo dãy m¾t tam giác

Trưóc het, ta trình by mđt so khỏi niắm c ban sau.
Khoi a diắn trong khụng gian R3 oc xỏc %nh boi mđt tắp huu han
các đa giác sao cho moi canh cna đa giác này trùng vói đúng m®t canh cna
đa giác khác (túc là các đa giác ke nhau). Khi đó các đinh và các canh cna
đa giác cũng là các đinh và canh cna khoi đa di¾n (xem [21]).
Be m¾t cna khoi đa di¾n bao gom tat ca các đinh, các canh và mien
trong cna các đa giác. Trong lu¾n văn này chúng tơi gia thiet rang be m¾t
cna khoi đa diắn bao gom cỏc mắt tam giỏc.

Hỡnh 1.8: Minh

HQA

mđt khoi đa di¾n có 98 m¾t tam giác

(Tham khao [7]) Cho S = {f1, f2, ..., fm+1} l mđt dóy mắt tam giác nam trên
be m¾t cna khoi đa di¾n P, cho x và y là hai điem thoa mãn đieu ki¾n:
(A1 ) x ∈ f1 , y ∈ fm+1 và fi ∩ fi+1 là m®t canh cna P vói (i = 1, ..., m).


Tù sau phan này, khi cho x, y ∈ S có nghĩa là x, y thoa mãn đieu ki¾n (A1)
và fi ∩ fi+1 := ei .
Đ%nh nghĩa 1.5.1. (xem [7]) Đưịng đi DQc theo dãy m¾t S = {f1 , f2 , ..., fm+1 }
noi hai điem x và y là m®t ánh xa liên tuc γ : [a, b] R S thoa món ieu kiắn:
ã (a) = x; γ(b) = y
• γ([a, b]) ⊂ ∪m+
i=1 fi
1

• Ton tai m®t phân hoach σ cna đoan [a, b], sao cho a ™ t1 < ... < tm ™ b và
γ(ti) ∈ ei vói (i = 1, ..., m).

Tiep theo ta làm rõ đ%nh nghĩa đ® dài đưịng đi DQc theo dãy m¾t tam giác
S như sau.

Đ%nh nghĩa 1.5.2. (xem [7]) Cho γ là m®t đưịng đi tù điem x tói điem y
DQc

theo dãy m¾t S , khi đó
n−1
Σ

length(x, y) := length(γ) := sup d(γ(ti), γ(ti+1))

đưoc gQI là đ® dài đưịng γ .
e đây supremum đưoc lay theo t¾p hop các phân hoach σ =
{ti}n

cna [a, b].
i=
0

M®t đưịng đi đưoc GQi là đo đưac neu đ® dài cna nó là huu han.
Bo đe 1.5.1. (xem [7]) Cho x và y l hai iem thuđc dóy mắt S , khi ú
luụn ton tai m®t đưàng đi đo đưac noi x và y DQc theo S .
GQI Γ là t¾p hop tat ca các đưòng γ : [a, b] → S noi điem x và y .
Đ%nh nghĩa 1.5.3. Đưòng đi γ ∗ noi x và y DQc theo S GQI là m®t đưịng đi ngan
nhat neu thoa mãn:
length(γ∗) = inf{ γ}
γ∈Γ


1.6

Khỏi niắm gúc tai mđt iem trờn be mắt khoi
a di¾n

Trong phan này, ta nhac lai các khái ni¾m ve tőng các góc tai m®t đinh,
và góc bên trái, bên phai tai mđt iem cna ũng i trờn be mắt khoi a
diắn (xem [17]).
Cho v l mđt inh cna S và {f1 , f2 , ..., fk } ⊂ S l mđt tắp cỏc mắt tam giỏc

cú chung inh v và θi lan lưot là các góc nam trong tam giác fi tai v (1 ™ i ™
k).

Khi đó, tőng các góc tai đinh v là góc θ đưoc xác đ%nh boi θ =

Σk
i=
1

θi .

v
p

pJ
γ3 γ1
γ2

Hình 1.9: Góc tai m®t điem trên 3 đưòng đi γ1, γ2 và γ3

Xét đưòng đi γ trên be m¾t khoi đa di¾n, góc trái và góc phai cna đưịng γ
tai m®t điem lan lưot kí hi¾u là θl và θr. Khi đó θl + θr = θ.
Neu γ đi qua m®t đinh v khi đi tù m¾t fi đen m¾t fj (1 ™ i < j ™ k ),
gia thiet v ∈ fi ∩ fj thỡ mđt trong hai gúc l hoắc r nam trên be m¾t cna S và
góc đó đưoc GQI là góc trong cua đưàng γ tai đsnh v.
Neu đưịng γ đi qua m®t điem trong tương đoi p cna canh ei ∈ E , khi đó ca
θl và θr đeu GQI là góc trong cua đưàng γ tai điem p.

Ví du trong hình 1.9
- Tai đinh v thu®c ca 3 m¾t tam giác f4 , f5 , f6 và đưịng γ3 đi qua v. Khi đó, góc

θr là góc trong vì góc này nam trên be m¾t cna S .


- Tai iem p (hoắc pJ) thuđc ũng 1 (hoắc γ2) có 2 góc θl và θr đeu là góc
trong.


1.7

Phép l¾t

Hai m¾t tam giác f và f J đưoc GQI là ke nhau neu chúng có chung m®t canh
và canh chung này đưoc GQI là canh ke cna 2 m¾t tam giác đó.

f4

f2

f1

f3

Hình 1.10: M¾t f1 khơng ke vói f4

Hình 1.11: M¾t f1 ke vói f2

Dãy các m¾t tam giỏc ke nhau l mđt dóy cỏc mắt F = {f1 , f2 , ..., fk+1 } vói
k ≥ 1 sao cho m¾t fi ke vói fi+1 , i = 1, 2..., k.
Đ%nh nghĩa phép l¾t o đây đưoc trình bày theo [14] trang 649.
Trưóc het chúng tơi trình bày đ%nh nghĩa phép l¾t tam giác f J lên tam giác f

quanh canh ke e như sau. Phép l¾t m¾t f J lên m¾t f là xác đ%nh anh cna f J lên
m¾t phang chúa m¾t f qua phép quay f J quanh canh ke e sao cho m¾t f J nam
o phía đoi di¾n vói f (túc là m¾t f và f J nam o hai phía đoi vói canh e).
GQI (α) là m¾t phang chúa m¾t f . Khi đó, đ%nh nghĩa phép l¾t o trên tương
đương vói đ%nh nghĩa phép l¾t là ánh xa r đưoc cho như sau:
r : f J ⊂ R2 → (α) ⊂ R2
. Σ
.
Σ. Σ
x1
cos θ − sin θ
x1
x=
›→ r(x) =
.
sin θ cos
x2
x2
θ
Trong đó θ = π − arccos(˙a1 , ˙a2 ) vói 0 ™ θ ™ π và ˙a1 , ˙a2 lan lưot là các

véc tơ pháp tuyen cna các m¾t phang chúa f và f J .
Tù đó phép l¾t cho mđt dóy cỏc mắt tam giỏc oc %nh ngha như sau.
Đ%nh nghĩa 1.7.1. (xem [14]) Cho dãy các m¾t tam giác S = {f1 , f2 , ..., fm+1 }
vói E = {e1, e2, ..., em} là dãy các canh ke có thú tn. Phép l¾t dãy m¾t tam giác


này đưoc xác đ%nh như sau: Xoay f1 quanh e1 đen khi m¾t phang chúa f1 trùng
vói m¾t f2 (f1 và f2 nam o hai phía đoi vói e1 ), tiep theo xoay f1 và f2 quanh
canh e2 đen khi m¾t phang cna chúng trùng vói m¾t f3 , tiep tuc làm như v¾y

đen khi các m¾t f1 , f2 , ..., fm nam trên cùng m¾t phang vói fm+1 .
Moi mắt tam giỏc oc gan vúi mđt hắ TQA đ trong R2 , vỡ vắy ket qua cna
phộp lắt DQc theo E cho phép chúng ta bieu dien các iem thuđc mắt f1 , f2 , ..., fm
theo hắ TQA đ chỳa mắt fm+1 .
Bo e 1.7.1. Cho hai m¾t tam giác f1 và f2 vái canh ke là e1 . Khi đó, phép l¾t
m¾t f1 lên f2 là bao tồn góc và khoang cách. Túc là:
1. Neu cho 2 iem p v q bat k thuđc mắt f1 , GQI p và q lan lưat là anh cua
p và q qua phép l¾t. Khi đó length(p, q) = length(p, q)
2. Neu cho A^ là góc bat kỳ nam trong m¾t f1 tao bái các tia

− →
− →
A x và A y .

GQI
− → − →
− → − →
A x, A y lan lưat là anh cua các tia A x, A y qua phép l¾t lên m¾t f2 .

Khi đó
^ tao bái −A→x, −A→y có so đo bang góc A ban đau.
anh cua góc A^ là A
^

Chúng minh. 1. Xét ánh xa
r : f1 ⊂ R2 → (α) ⊂ R2
. Σ
.
Σ. Σ
x1

cos θ − sin θ
x1
x=
›→ r(x) =
.
sin θ cos
x2
x2
θ
Như v¾y r là phép l¾t m¾t f1 lên m¾t f2 bang cách xoay m¾t f1 vói góc xoay

là quanh canh ke e1 en khi mắt f1 thuđc cùng m¾t phang nhưng o phía đoi
di¾n vói m¾t f2 .
Trong đó θ = π − arccos(˙a1 , ˙a2 ) vói 0 ™ θ ™ π , ˙a1 và ˙a2 lan lưot là các
véc tơ pháp tuyen cna m¾t phang chúa f1 và f2 .
Dùng đ%nh nghĩa cna song ánh, de dàng chi ra đưoc phép l¾t r là song ánh.
Vì the các điem anh r(p) = p và r(q) = q ton tai duy nhat.
Tiep theo ta chúng minh r bao tồn khoang cách.
Th¾t v¾y, gia su p = (p1, p2)T và q = (q1, q2)T . Như v¾y đ® dài đoan [p, q] là: